九年级下册数学教案《解直角三角形的应用举例》
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九年级下册数学教案
《解直角三角形的应用举例》
教材分析
解直角三角形是继勾股定理后对直角三角形的进一步学习，主要研究如何利用解直角三角形的有关知识，解决与直角三角形有关的实际问题。比如：方向角问题、仰角俯角问题、坡度问题等。我们要理解解直角三角形的方法，理解方向角、仰角、俯角、坡度等名词的意义，掌握将实际问题转化为数学模型的思想方法，达到灵活运用数学知识解决实际问题的目的。
学情分析
《解直角三角形的应用举例》是直角三角形的学习中重要的教学内容，是在学生已经学习了锐角三角函数的基本知识上，要求学生会运用“解直角三角形”的知识，按照一定的规则，解决实际生活中碰到的问题，从而达到“能力培养与方法习得”、“情感态度与价值观”的教学目标。
教学目标
1、掌握仰角、俯角的概念，会正确运用概念解直角三角形的知识，解决实际问题。
2、体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途。
3、感知解直角三角形的应用与现实生活的密切联系，进一步认识将数学知识运用于实践的意义。
教学重点
将实际问题转化为解直角三角形问题。
教学难点
将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素间的关系求解。
教学方法
讲授法，演示法，讨论法，练习法
教学过程
一、复习导入
1、在直角三角形中，（由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程）叫做解直角三角形。
2、如图，在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系：
（1）三边之间的关系
a2 + b2 = c2（勾股定理）
（2）两锐角之间的关系
∠A + ∠B = 90°
（3）边角之间的关系
sin A = ∠A的对边斜边 = ac
cos A = ∠A的邻边斜边 = bc
tan A = ∠A的对边∠A的邻边 = ab
二、探究问题
1、2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接。“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行。如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数）？
分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点。
如图，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O的有关问题；其中点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点O是从组合体中观测地球时的最远点，PQ̂ 的长就是地球表面上P，Q两点间的距离，为计算PQ̂ 的长，需先求出∠POQ（即α）的度数。
解：设∠POQ = α，在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形。
∵cosα = OQOF = 64006400+343 ≈ 0.9491。
∴α≈18.36°。
∴PQ̂ 的长为
18.36π180 × 6400 ≈
18.36×3.142180
× 6400 ≈ 2051km
当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km。
2、热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高（结果取整数）？
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角。因此，在图中，α = 30°，β = 60°。
在Rt△ABD中，α= 30°，AD = 120m，所以可以利用解直角三角形的知识，求出BD；类似地，可以求出CD，进而求出BC。
解：如图，α= 30°，β= 60°，AD = 120m。
∵tan α = BDAD ，tanβ = CDAD ，
∴ BD = AD，tan α = 120 × tan30°
= 120
× √33
= 40√3
CD = AD · tanβ = 120
× tan60°
= 120 × √3
= 120√3
∴ BC = BD + CD = 40√3 + 120√3
= 160√3
≈ 277m
因此，这栋楼高约为277m。
3、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处。这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？
解：如图，在Rt△APC中，
PC = PA · cos（90°- 65°）
= 80 × cos25° ≈ 72.505
在Rt△BPC中，∠B = 34°，
∵sin B = PCPB ，
∴ PB =
PCPB = 72.505sin34° ≈ 130 n mile
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130n
mile。
4、归纳
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案。
三、巩固习题
1、如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（结果保留小数点后一位）。
解：tan45°= BCCD = BC40 = 1
BC = 40m
tan 50°= ACCD = AC40 ≈ 1.19
AC ≈ 47.67m
旗杆的高度AB大约高：47.67 - 40 = 7.47m
2、如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AF = DE = 6m。斜面坡度i = 1:1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i = 1:3是指DE与CE的比。根据图中数据，求：
（1）坡角α和β的度数；
tanα = AFBF = 11.5 = 23
α ≈ 33.69°
tanβ = DECE = 13
β ≈ 18.44°
（2）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）。
解：AF = DE = 6m
BF = 6×1.5 = 9m
AB = √62 + 92 = √117 ≈ 10.8 m
教学评价
解直角三角形的应用是在学生掌握了直角三角形的边角关系、三边关系、角角关系的基础上，对锐角三角函数的应用，教学根据学情，将解直角三角形及其应用结合在一起学习，通过创设学生熟知的贴近生活的活动情境，帮助学生在熟悉的事物、情境中学习，理解数学，感受数学与现实生活的联系，激发学生学习的热情。课堂气氛民主，体现了和谐的师生关系。
