数学人教版九年级下册解直角三角形的应用举例

28.2解直角三角形及其应用举例

教案背景：

1、面向学生：初中三年级 学科：数学

2、课时：4课时（本节为3课时）

3、复习锐角三角函数的概念，解直角三角形的有关知识。

4、课前准备：导学案，多媒体课件。

教学课题：

28.2解直角三角形及其应用举例

教材分析：

解直角三角形的应用是在学生熟练掌握了直角三角形的解法的基础上进行教学，它是把一些实际问题转化为解直角三角形的数学问题，对分析问题能力要求较高，这会使学生学习感到困难，在教学中应引起足够的重视。本节课主要内容是通过认识仰角、俯角的意义，并结合解直角三角形的基本理论知识去解决生活中的简单实际问题，它是在学习了“锐角三角函数、解直角三角形的条件、方法”的基础上进一步深入教学，使学生能联系新旧知识学有所用。

教学方法：

本节课主要运用了小组探究、精讲点拨、合作交流。为了突出重点，突破难点，我充分运用了互联网的信息，制作了多媒体课件，另外对测量物体高度的方法进一步拓展，开阔了学生的知识面，提高了学生学习数学的兴趣。

教学过程：

一、教学目标：

（一）知识目标：

理解仰角、俯角的意义，准确运用这些概念来解决一些实际问题。

（二）能力目标：

培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力。

（三）情感与态度目标：

在探究学习过程中，注重培养学生的合作交流意识，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点：理解仰角和俯角的概念

教学难点：能解与直角三角形有关的实际问题。

三、关键：如何充分利用多媒体演示以及网络教学资源，使学生理解仰角和俯角的概念；并善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，这是突出重点和突破难点的关键。

四、教学过程设计：

（一）、复习引入，知识储备

1、解直角三角形

一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2、回想一下，解直角三角形的过程中用到了哪些知识？你能概括出直角三角形各元素之间的关系吗？

（1）三边之间的关系

（勾股定理） ；

（2）两锐角之间的关系

C B

A

(3) 边角之间的关系

sin A= ， cos A= ， tan A= ，

sinB= ， cosB= ， tanB=

3、平时观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？

三种：重叠、向上和向下。

在线与水平线所成的 中，视线在水平线上方时，视线与水

平线所成的角叫仰角，视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角。

（二）课内探究：

1、创设问题情景，引出新知：2012 年 6 月 18 日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接。“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km 的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地

球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少（地球半径约为 6 400 km，π 取

3.142，结果取整数）？

分析：（1）从组合体中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？

（2）从组合体中能直接看到的地球表面最远点，应是视线与地球相切时的切点 。

（3）在平面图形中，用什么图形可表示地球，用什么图形表示观测点，请根据题中的相关条件画出示意图。

如图，用⊙O 表示地球，点 F 是组合体的位置，FQ是⊙O 的切线，切点 Q 是从组合体观测地球时的最远点。

（1）问题中求最远点与 P 点的距离实际上是要求什么？需先求哪个量？怎样求？

（2弧PQ的长就是地面上 P、Q 两点间的距离，为计算弧PQ

的长需先求出∠POQ（即α）。

解：∵cos α =OFOQ= 34364006400

≈ 0.949 1，

∴ α ≈18.36°

∴ 弧PQ 的长为

18036.18  6400 18014.336.18 6400  2051km 水平线

视线 铅垂线

视线 视点 仰角 俯角 当组合体在 P 点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离 P 点约 2

051 km。

设计意图：学生思考问题，寻找解题方法。把问题抛给学生，对其养成独立思考、善于分析问题有所帮助，同时，通过实例创设问题情景，使学生感受到数学与生活的密切联系，增进对数学的理解，激发学习数学的兴趣。

处理方法：师生讨论说出解决方法，然后多媒体完成解题过程，并展示解题过程，完成之后小组交流，师生评价，既落实双基又满足不同层次学生的学习需要。

2、探究新知：

（1）、认识仰角与俯角：想要解决刚才的问题，我们先来了解仰角、俯角的概念，利用多媒体演示仰角、俯角。

设计意图：这里运用了动画直观演示，使学生思维从感性认识上升到理性认识，有利于培养学生的抽象思维能力。

（2） 展示、探究解直角三角形的简单应用。

例4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°，看这栋楼底部的俯角为 60°，热气球与楼的水平距离为 120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？

分析：（1）从热气球看一栋楼顶部的

仰角为 30°→α=30°。

（2）从热气球看一栋楼底部的

俯角为 60°→β=60°。

（3）热气球与高楼的

水平距离为120 m→AD=120 m，AD⊥BC。

（4）这个问题可归纳为什么问题解决？怎样解决？

解：如图，α=30°，β=60°，AD=120．

∵ tan α=ADBD ，tan β= ADCD

∴ BD=AD·tan α=120×tan 30°

=120×33 =340

CD=AD·tan β=120×tan 60°

=120×3 = 3120

∴ BC=BD+CD= 340 +3120

=3160≈277（m）

答：这栋楼高约为 277 m。

设计意图：此环节旨在拓宽学生视野，进一步了解解直角三角形的实际应用。

处理方法：

师： （1）题目中已知哪些条件，还要求哪些条件？

（2）请同学们独立思考，自己解决。 A B

C D α

β （3）小组讨论一下各自的解题思路，在班内交流展示。

先让学生独立考，探索解决方法，完成之后，同学之间互相检验。使学生巩固所学知识，同时也培养了学生的合作交流力。

3、归纳总结

应用解直角三角形的方法解决实际问题的一般步骤：

（1）首先要弄清题意，将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；

（2）根据条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形；

（3）得到数学问题的答案；

（4）得到实际问题的答案。

如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形中的量。

4、巩固训练

如图 两座建筑物的水平距离BC为30m,从A点测得D点的俯角α为

30° ，测得C点的俯角β为45° ，求这两座建筑物的高度？

设计意图：使学生巩固利用直角三角形的有关知识解决实际问题，考察建立数学模型的能力，转化的数学思想在学习中的应用，提高学生分析问题、解决问题的能力。以及在学习中还存在哪些问题，及时反馈矫正。

5、课堂小结：你还有那些方法测量物体的高度？

（1）、这节课你学到了什么？你有何体会？

（2）、这节课你还存在什么问题？

设计意图：1、学生回顾探索的整个过程，谈收获，交流体会如何构建直角三角形，并选择适当的关系式进行解题。2、让学生自主提出问题。生生互动解决问题。使学生对本节课学习的内容有个系统的认识。培养学生学习后及时反思的习惯，巩固所学知识。

6、作业

教科书习题 28.2 第 2，3，4 题．

实践性作业：利用今天学到的知识，测量我校教学大楼的高度。（以小组为单位）

作业设计目的：1、目的在于巩固和深化所学知识形成技能。2、目的在于把学到的知识应用到现实生活中。让学生感受到数学来源于生活又服务于生活。

板书设计

28.2解直角三角形及其应用举例 1、仰角与俯角

2、应用解直角三角形的方法解决实际问题的一般步骤：

（1）首先要弄清题意，将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；

（2）根据条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形；

（3）得到数学问题的答案；

（4）得到实际问题的答案。

教学反思