线性方程组解的几何意义

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线性方程组解的EXCEL制作方法

摘要：本文主要介绍了EXCEL在数学中的一个应用，可以快速求解线性方程组，所以解决了求解方程组繁琐的问题。同时也解决了在建筑工程中求解方程组繁琐的问题，在实际中有一定的应用价值，但这个操作（可求解二次到五次方程组），只能解决方程组有一种解的情况，解决方程组多种解的情况还需后人多多努力。

0 引言

求解方程组一般来说都是通过草纸，一步一步的求出解，不但速度慢，费脑力，而且一不小心就算错结果，如何快速求解方程组是一个热点，所以如何利用EXCEL快速求解方程组是一个新的话题。

1、 求解多次方程组，一般都是通过矩阵的知识，应用到矩阵的逆矩阵，矩阵的相乘等，求解的步骤麻烦，计算量很大，很费时间与脑力。

2、利用EXCEL中矩阵的知识求解方程组，设计好程序，只需改变未知数前的系数即可得到相应的答案，简单快捷。制作方法如下所示：

2.1 设计工作表

①首先新建两个工作表，由左至右分别命名为目录、二次、三次、四次、五次。

②单击“工具——选项”选中视图，将网格线前的对号去掉。这样就把工作表中的网格线去除掉了。

③单击“格式——工作表——背景”分别为每个工作表添加来自文件的背景图片。这样可以美化工作表，使我们使用时感觉更加轻松。

④在目录工作表，输入的文字，并为其中一些文字设置超链接，分别连接到相应的“次数”工作表上，并在工作表最下方添加“注”（用来说明该EXCEL文件的使用方法），分别设计字体的样式，达到美化的效果。最终效果如下图所示： 第 2 页 共 4 页

⑤后在在其余工作表中，根据名字分别输入相应次数的方程组（未知数前的系数任意输入），和“x=”，并且为它们所在的单元格设置属性，添加图案，填充颜色等。最后在工作表的右下角选中一个单元格输入“返回”，设置超链接到目录。例如名为“五次”的工作表中输入五次方程组，得到的效果如下图所示： 第 3 页 共 4 页

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线性方程组解的应用

作者：潘劲松

来源：《哈尔滨师范大学·自然科学学报》2013年第01期

【摘 要】 齐次线性方程组有非零解的条件定理在代数，解析几何上有重要的应用.用齐次线性方程组有非零解的充要条件定理可以解决初等数学中的某些问题.方程组的解结构和相应的行向量组或列向量组的相关性分析是该理论的难点，齐次方程组有非零解与对应的行向量组或列向量组线性相关性有对应关系，非齐次方程组有解和向量的表示有一种对应关系，要学会灵活的应用这些关系来分析问题.

【关键词】 齐次线性方程组；非零解；系数行列式

参 考 文 献

[1] 潘劲松.高职应用数学[M].长沙：湖南教育出版社，2010.

[2] 杨桂元.线性方程组解的有关问题[J].大学数学，2008（4）：157-161.

[3] 耿秀荣，陈雪雯.多个齐次线性方程组有非零公共解的充要条件[J]. 绵阳师范学院学报，2010（11）：5-8.

[4] 周尚启.线性方程组解的结构[J].高等数学研究， 2005（3），56-57.

[5] Brezinski C.Projection methods for linear systems[J].Journal of Computational and Applied

（责任编辑：李家云）

线性代数讲稿

341§3.4 线性方程组解的结构

线性方程组无解和有唯一解,无须研究其解的结构；所谓解的结构主要是对

无穷多个解的情况．为了有利于研究和应用，常把方程组的解写成向量的形式．

一、齐次线性方程组解的结构

对含n个未知数的齐次线性方程组

0AX= (3.4.1)

1.解的性质：X1是(3.4.1)的解，X2是(3.4.1)的解，k1 和k2为常数；则

2211XXkk+

也是(3.4.1)的解 [代入方程即可证明] ．

2.基本概念：① (3.4.1)的基础解系 —— (3.4.1)解向量集合的一个极大

线性无关向量组．

②(3.4.1)的通解 —— (3.4.1)基础解系的线性组合．

3.定理：若(3.4.1)系数矩阵的秩nrR<=)(A，则存在n - r个线性无关的解

向量α1，α2，…，α n – r ，它们构成(3.4.1)的基础解系，且(3.4.1)的全部解为，

X = k1 α1 + k2 α2 + …+ k n – r α n – r ，其中k1 ，k2 ，… k n – r ，为任意常数．

说明：① 齐次线性方程组的基础解系并不是唯一的，但所含线性无关向量

的个数却是确定的．

② 求齐次线性方程组的基础解系，在特征值和特征向量、实对称矩阵对角

化、二次型化为标准形等问题中都有重要的应用．

4.例题[P.113例1]：求齐次线性方程组

⎪⎪

⎩⎪⎪

⎨⎧

=−−+=++−−=−+=+++

05920232042032

432143214214321

xxxxxxxxxxxxxxx

的一个基础解系及通解．

解：对系数矩阵A进行初等行变换：（注：最后两步与教材不同）

⎥⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣⎡

→

⎥⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣⎡

→

⎥⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣⎡

−−−−

→

⎥⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣⎡

−−−−−

=

0000000012000121

0000000012001321

61200360036001321

5921232110421321

第

26卷　第

5期许昌学院学报

Vol.26.No.5

　2007年

9月

JOURNALOFXUCHANGUNIVERSITYSep.2007

收稿日期

:2007-01-21

作者简介

:闫运生(

1963—)

,男

,河南禹州人

,讲师

,研究方向

:应用数学、图论

.文章编号

:1671-9824(

2007)

05-0151-02

线性方程组解的稳定性

闫运生

(河南工业大学理学院

,河南郑州

450052)

摘　要

:在巴拿赫(

Banach)空间中利用无穷范数和算子理论证明了当系数及常数项中数据

发生扰动时线性方程组解的稳定性

.

关键词

:线性方程组

;扰动

;解的稳定性

中图分类号

:O174 文献标识码

:A

科学研究与生产实践中许多问题常常可以直接或者间接地归结为含有多个未知量的线性方程组的求解问题

,即求方

程组

:

a

11x

1+a

22x

2+...+a

1nx

n=b

1,

a

21x

1+a

22x

2+...+a

2nx

n=b

2,

… … …

a

n1x

1+a

n2x

2+...+a

nnx

n=b

m,(

1)

或　

AX=b中

x

1,x

2,...,x

n的值

.其中

a

ij,b

i(

i,j=1

,2

,…

,n)为常数

.

当(1)的系数矩阵

A

=(

a

ij)

n×

n为非奇异矩阵时

,其解的唯一性及存在性问题早已解决[1]

.本文讨论的问题是解的稳

定性问题

,即线性方程组(1)的系数

a

ij或

b

i的微小误差引起解的变化也是很微小的

.那么

,我们所获得的解才能与它的真

实解更接近

.所以对线性方程组解的稳定性的讨论不论在理论上还是在实践上都有一定的意义

.

本文中矩阵

A的范数定义为∞范数

,即

:‖(

a

ij)‖

=max

1Φ

iΦ

n{∑n

j=1|a

ij|},向量

b的范数仍定义为∞范数

,即

:‖

b‖

=

max

1Φ

iΦ

n{|b

i|}.

引理[1]

设线性空间

E为巴拿赫(

Banach)空间

,线性算子

T∈

B(

E)

,T具有有界线性逆算子

,则对任何‖Δ

T‖∈

B(

E)

,当‖Δ

T‖<1

‖

T-1

‖时

,算子

S=T+Δ

T也有有界逆算子

S-1

,且

S-1

=∑∞

n=0(