§3.2一元二次不等式及其解法(二)

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3.2一元二次不等式及其解法

知识要点梳理

知识点一：一元二次不等式的定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。比如：250xx.

任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：20axbxc(0)a或20axbxc(0)a.

知识点二：一般的一元二次不等式的解法

一元二次不等式20axbxc或20axbxc(0)a的解集可以联系二次函数2yaxbxc(0)a的图象，图象在x轴上方部分对应的横坐标x值的集合为不等式20axbxc的解集，图象在x轴下方部分对应的横坐标x值的集合为不等式20axbxc的解集.

设一元二次方程20(0)axbxca的两根为12xx、且12xx，acb42，则相应的不等式的解集的各种情况如下表：

24bac 0 0 0

二次函数

cbxaxy2（0a）的图象

20(0)axbxca的根 有两相异实根

)(,2121xxxx 有两相等实根

abxx221 无实根

的解集)0(02acbxax 21xxxxx或 abxx2 R

的解集)0(02acbxax 21xxxx  

注意：

（1）一元二次方程20(0)axbxca的两根12xx、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线ycbxax2与x轴的交点的横坐标；

（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；

（3）解集分0,0,0三种情况，得到一元二次不等式20axbxc与20axbxc的解集。

1 一元二次不等式及其解法（知识讲解与典型例题）

课标要求分析：

经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的联系。掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。课标建议在一元二次不等式的学习中，应注重了解一元二次不等式的实际背景。求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解。鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图。

本周学习目标：

1．掌握一元二次不等式的基本解法；

2．了解一元二次不等式与相应函数，方程的联系，体会数形结合的数学思想；

3．初步掌握高次(分式)不等式、无理不等式与绝对值不等式的解法；

4．能将实际问题转化为数学问题，建立不等式模型，求解不等式。

本周学习重难点：

一元二次不等式的基本解法及与相应函数、方程的联系。

本周学习内容：

1．一元一次不等式的解法回顾

为引入一元二次不等式和梳理不等式解法作准备。

2．一元二次不等式的解法

一元二次不等式的一般形式：

由一元二次不等式的一般形式，即可发现其与二次函数和二次方程的联系，

进而可以利用函数图象得到不等式的解集。

设，两根为，。

结合图象按判别式分类归纳下表：

解集判别式

R

注意：

（1）的情形要转化为的情形；

（2），解集的变化。

关于含参讨论注意： 2 （1）对二次项系数讨论：定不等式类型、定图象（开口方向）类型；

（2）对根的讨论：判别式（根的个数，交点个数）、根的分布（根的大小）；

（3）对解集的讨论：画函数图象草图，根据图象定解集。

（4）书写表达的规范。

3．高次（分式）不等式的解法

简单高次不等式的解法：穿线法。

注意：系数化正，右上往左下，奇穿偶不穿。单独考虑孤立点。

（回顾变号零点存在定理，穿线法的原理还是一个数形结合的思想。）

§3.2 一元二次不等式及其解法 《必修5》（P76）

各位评委老师，您们好：

今天我要说课的题目是《一元二次不等式及其解法》。我将从以下四个方面进行说课。

一. 教材分析

本课是《普通高中课程标准实验教材A版▪必修5》的第三章第二节。一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式和一元一次不等式组的延续和深化。不等式与数、式、方程、函数、三角函数等内容有密切的联系，讨论方程或方程组的解的情况，研究函数的定义域、值域、单调性、最大值、最小值，讨论线性规划问题等，都要经常用到不等式的知识。不等式在解决各类实际问题时也有广泛的应用。可见，不等式在中学数学里占有重要地位，是进一步学习数学的基础知识。

二.教学目标分析

1. 知识目标

(1) 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系

(2) 掌握图像法解一元二次不等式的方法，明确一元二次不等式的解题步骤。

2.技能目标

(1)培养数形结合的能力、分类讨论的思想方法

(2)培养抽象概括能力和逻辑思维能力；

3.情感目标

激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。我将本课的教学

本节的重点是：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，探索出一元二次不等式的解法。难点在于理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

三.教学方法分析

数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下，学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想。为了更好地体现课堂教学中“以学生为主体”教学理念，在本节课的教学过程中，采用启发引导，学生探究的方式展开教学。我设计了①创设情境，提出问题，②合作交流，探究新知，③④数学运用，深化认知，⑤练习检测，反馈新知,⑥谈谈收获，强化思想，⑦布置作业，实践新知，环环相扣、层层深入的教学环节，在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节．

3.2 一元二次不等式及其解法(二)

自主学习

知识梳理

1．解分式不等式的同解变形法则：

(1)fxgx>0⇔____________；

(2)fxgx≤0⇔________________；

(3)fxgx≥a⇔fx－agxgx≥0.

2．处理不等式恒成立问题的常用方法：

(1)一元二次不等式恒成立的情况：

ax2＋bx＋c>0 (a≠0)恒成立⇔____________；

ax2＋bx＋c≤0 (a≠0)恒成立⇔____________.

(2)一般地，若函数y＝f(x)，x∈D既存在最大值，也存在最小值，则：

a>f(x)，x∈D恒成立⇔____________；

a

自主探究

对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)，你能借助二次函数的图象，探求两根满足下列特征的等价条件吗？

(1)两个正根⇔____________；

(2)两个负根⇔____________；

(3)一正一负根⇔____________；

(4)两根都小于k⇔____________；

(5)一根大于k，一根小于k⇔____________.

(注：答案不唯一)

对点讲练

知识点一 分式不等式的解法

例1 解分式不等式：

(1)x＋12－x≥－2；(2)x2＋2x－3－x2＋x＋6<0.

总结 简单的分式不等式在求解时多化为fxgx>0，fxgx<0的形式，在变形的过程中，要注意等价性，同时要注意不等号是否含有等号，如fxgx≥0应⇔ fx≥0gx>0或 fx≤0，gx<0但不等价于f(x)g(x)≥0，要注意这一点．

变式训练1 解不等式：x＋2x2＋x＋1>1.

知识点二 恒成立问题

例2 设函数f(x)＝mx2－mx－1.

(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；

(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．