对数函数的图像与性质

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对数函数

图象与性质：

要点 定义 符号

对数函数 一般地，函数log(0ayxa且1)a叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0,) ()log(0afxxa且1)a

注：xya与logayx(0a且1)a互为反函数

对数函数的图象 1a 01a

对数函数的图象特征 （1）图象都在y轴的右边 （1）图象都在y轴的右边

（2）函数图象都经过（1，0）点 （2）函数图象都经过（1，0）点

（3）从左往右看，图象逐渐上升 （3）从左往右看，图象逐渐下降 .

（4）图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. （4）在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 .

注意：当底与真数均大于1或均大于0小于1，则log0ax；当底与真数一个大于1另一具大于0小于1，则log0ax

底不同的两个图象的关系 （1）logayx与1logayx(0a且1)a的图象关于x轴对称

几个不同的指数函数的图象规律：

当1x时，图象是“底大图低”

即10badc

指数函数与对数函数的关系 xya与logayx(0a且1)a互为反函数，它们的图象关于直线yx对称

典例精讲剖析

例1.函数log(25)4ayx的图象恒过定点 logayxlogbyxlogcyxlogdyx

2

例2.

已知()fx是对函数xya(0a且1)a的反函数，并且()fx的图象经过1(3,)2P，求3()3f的值

例3. 求下列函数的定义域：

（1）2logayx (2)log(42)ayx （3）(1)log(164)xxy

例4. 求函数2()log||fxx的定义域，并画出它的图象.

练习：

1.下列函数是对数函数的是 ( )

（二）、指数函数和对数函数

一、指数和对数

1、指数的概念

（1）整数指数幂

①正整数指数幂：an= ②零指数幂：a0=

③负整数指数幂：a-n=

(2)分数指数幂

①正分数指数幂(0,,)mnaamnN=

②负分数指数幂(0,,)mnaamnN=

2、指数的运算性质

（1）mnaa （2）()mna

（3）()nab= （a,b>o,m,nR）

例1、计算下列各式的值3313(1)630.12548 20.5203710(2)(2)0.1(2)3.2927

411--2.5322251(3)0.0001+27-+499（）（） 141030.753327(4)(0.064)()[(2)]160.018

3、对数

(1)对数的概念：如果a(a>0, a1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的 ，记作 .其中a叫做对数的 ，N叫做

（2）对数的性质：①log1a ②logaa ③logaNa=

④logloglogcacbba（两个推论⑴loglog1abba，⑵loglogmnaanbbm）

（3）对数的运算性质

如果a>o ,a1,M>0,N>0,则

(1)log()(2)log(3)lognaaaMMNMN

例1、求下列各式的值 19(1)log81 1(2)4lg23lg5lg5 1324(3)lglg8lg2452493

5log333332(4)2log2loglog859 3948(5)(log2log2)(log3log3)

对数函数图像及性质

一般地，如果a（a>0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log(a)（N）=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

底数则要>0且≠1 真数>0

对数的运算性质

当a>0且a≠1时，M>0,N>0，那么：

（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）

(4)log(a^n)(M)=1/nlog(a)(M)(n∈R)

（5）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）

(6)a^(log(b)n)=n^(log(b)a) 证明：

设a=n^x则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a)

(7)对数恒等式：alog（a)N=N;

log（a）a^b=b

（8）由幂的对数的运算性质可得(推导公式)

1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M ,

log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M 2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M ,

log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M

3.log(a^n)M^n=log(a)M ,

log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M

4.log(以 n次根号下的a 为底)(以 n次根号下的M

为真数)=log(a)M ,

log(以 n次根号下的a 为底)(以 m次根号下的M 为真数)=(n/m)log(a)M

5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1

对数与指数之间的关系

- 1 - 对数函数图像及性质

对数函数是数学中一类重要的函数，可用于描述各种实际问题。其图像表示的是一种数的幂函数 y=ax的反函数，称为“对数函数”，记做y=loga x。

一、定义

定义：设a>0，a≠1，x>0。定义函数y=logax（a>0），称之为“a的对数函数”，其中x叫做“对数函数的底数”，y叫做“对数函数的指数”，底a叫做“对数函数的底”。若a＝10，则简称为“常用对数函数”，记作y=logx。

二、三角函数与对数函数的关系

1. 三角函数的原函数和反函数

三角函数的原函数和反函数都可以用对数函数来表示，如：sin

x=loga(y)，cos x=loga(y)，tan x=loga(y)（其中，a>0，a≠1，y>0）。

2. 三角函数的运算公式

给出的三角函数的运算公式，也可以表示为对数函数的运算公式：

sin(x+y)=loga [sin xsin y+cos xcos y]，cos(x+y)=loga [cos xcos

y-sin xsin y]，tan(x+y)=loga [tan x+tan y]（其中，a>0，a≠1）。

三、对数函数图像分析

对数函数的图像与其定义有密切的关系，其图像对于理解函数的性质和研究函数的特性至关重要。

1.数函数的本质

先来表述函数的本质：函数y=logax，是由自然对数lnx的“基 - 2 - 数换底”特性衍生出来的，所以又称“对数”。其定义域为x>0，其值域则是所有实数集。

2.数函数图像的特点

对数函数的图像具有以下特点：

（1）它是单调函数，即图像以折线形式呈现，斜率由正变负；

（2）x=1时，y=0；

（3）当a>1时，x由０接近于+∞，y由-∞接近于+∞；

（4）当a＜1时，x由+∞接近于０，y由+∞接近于-∞；