对数函数的图像与性质
对数函数是很多科学及技术应用中不可或缺的重要数学工具之一。它的图像具有一种独特的形状，具有带有裂点的**U**型曲线，并且这个曲线受到独立复杂的影响。
在数学上，对数函数是一种有理函数，它的输入和输出都是正实数。它主要表示x和y之间的关系，即满足y = logax。其中x是自变量，a是对数的底数，y是因变量，logax是对数函数。
图像方面，当a=e时，y=lnx，它的图像可以表示为从右往左水平向上斜线，交点是坐标原点(0,0）。当0
从数学性质上来看，对数函数的曲线是单调递增的，并且其图像像抛物线一样，存在一个顶点，其函数值在顶点处切变，它是一种特殊的函数。另外，对数函数具有另一个重要的性质，即当两数相乘时，它们以原来的数乘以某个固定的值的形式相加，即有a1×a2=a1+a2的性质。
总的来说，对数函数的图像具有其独特的形状，并且它的数学性质也是非常重要的，它可以在科学、工程和经济领域中发挥着极其重要的作用。
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对数函数
图象与性质：
要点 定义 符号
对数函数 一般地，函数log(0ayxa且1)a叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0,) ()log(0afxxa且1)a
注：xya与logayx(0a且1)a互为反函数
对数函数的图象 1a 01a
对数函数的图象特征 （1）图象都在y轴的右边 （1）图象都在y轴的右边
（2）函数图象都经过（1，0）点 （2）函数图象都经过（1，0）点
（3）从左往右看，图象逐渐上升 （3）从左往右看，图象逐渐下降 .
（4）图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. （4）在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 .
注意：当底与真数均大于1或均大于0小于1，则log0ax；当底与真数一个大于1另一具大于0小于1，则log0ax
底不同的两个图象的关系 （1）logayx与1logayx(0a且1)a的图象关于x轴对称
几个不同的指数函数的图象规律：
当1x时，图象是“底大图低”
即10badc
指数函数与对数函数的关系 xya与logayx(0a且1)a互为反函数，它们的图象关于直线yx对称
典例精讲剖析
例1.函数log(25)4ayx的图象恒过定点 logayxlogbyxlogcyxlogdyx
2
例2.
已知()fx是对函数xya(0a且1)a的反函数，并且()fx的图象经过1(3,)2P，求3()3f的值
例3. 求下列函数的定义域：
（1）2logayx (2)log(42)ayx （3）(1)log(164)xxy
例4. 求函数2()log||fxx的定义域，并画出它的图象.
练习：
1.下列函数是对数函数的是 ( )
（二）、指数函数和对数函数
一、指数和对数
1、指数的概念
（1）整数指数幂
①正整数指数幂：an= ②零指数幂：a0=
③负整数指数幂：a-n=
(2)分数指数幂
①正分数指数幂(0,,)mnaamnN=
②负分数指数幂(0,,)mnaamnN=
2、指数的运算性质
（1）mnaa （2）()mna
（3）()nab= （a,b>o,m,nR）
例1、计算下列各式的值3313(1)630.12548 20.5203710(2)(2)0.1(2)3.2927
411--2.5322251(3)0.0001+27-+499（）（） 141030.753327(4)(0.064)()[(2)]160.018
3、对数
(1)对数的概念：如果a(a>0, a1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的 ，记作 .其中a叫做对数的 ，N叫做
（2）对数的性质：①log1a ②logaa ③logaNa=
④logloglogcacbba（两个推论⑴loglog1abba，⑵loglogmnaanbbm）
（3）对数的运算性质
如果a>o ,a1,M>0,N>0,则
(1)log()(2)log(3)lognaaaMMNMN
例1、求下列各式的值 19(1)log81 1(2)4lg23lg5lg5 1324(3)lglg8lg2452493
5log333332(4)2log2loglog859 3948(5)(log2log2)(log3log3)
对数函数的图象和性质教学设计
北京十八中 王丽敏
教学目标：
①认知性学习目标：理解对数函数概念，掌握对数函数的图象和性质。
②技能性学习目标：通过对数函数的学习，培养学生用类比的方法探索研究数学问题的素养，树立相互联系，相互转化的观点；渗透数形结合的思想，提高数学发现能力；能初步利用对数函数的图象和性质解决简单问题。
③体验性学习目标：培养学生良好的心理素质，在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作，拉近学生之间、师生之间的情感距离，提高学生对数学的兴趣。
教学重点：掌握对数函数的图象，利用对数函数的图象研究对数函数的性质是本节课的教学重点。
教学难点：正确画出对数函数的图象，结合对数函数图象，得出对数函数性质。
教学过程：
1、创设情境，导入新课：
利用以下三个问题，由指数函数引出对数函数，并且明确指数函数和对数函数间的关系。
问题1：你能把xy2 和xy21改为对数形式吗？
问题2：函数xy2log和xy2；函数xy21log和xy21有什么联系？
问题3：为何限定底数10aa且？对数函数的定义域值域分别是什么？
在明确了对数函数概念以及对数函数和指数函数的关系的基础上继续引导学生进行以下探索。
2、实验探索，寻找规律：
问题4：用尽量多的方法画出对数函数xy2log及xy21log的图象。
当学生掌握对数函数图象的画法后，继续提出以下问题，让学生讨论。
问题5：利用TI图形计算器研究当函数的底数变化时，函数图象如何变化？
设计意图：本节主要内容都是在观察对数函数图象基础上展的。多种作图方法相对比，能加深学生对对数函数图象的认识。显然利用TI图形计算器最为快捷，避免了复杂的运算，为接下来的探索做了准备。
3、根据探索所得形成规律：
问题5：根据图象总结对数函数图象的特点。
选几个小组汇报自己观察得到的结论，教师对各组的结论进行总结：
对数函数图像及性质
一般地，如果a（a>0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log(a)（N）=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
底数则要>0且≠1 真数>0
对数的运算性质
当a>0且a≠1时，M>0,N>0，那么：
（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）
(4)log(a^n)(M)=1/nlog(a)(M)(n∈R)
（5）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）
(6)a^(log(b)n)=n^(log(b)a) 证明：
设a=n^x则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a)
(7)对数恒等式：alog（a)N=N;
log（a）a^b=b
（8）由幂的对数的运算性质可得(推导公式)
1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M ,
log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M 2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M ,
log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M
3.log(a^n)M^n=log(a)M ,
log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M
4.log(以 n次根号下的a 为底)(以 n次根号下的M
为真数)=log(a)M ,
log(以 n次根号下的a 为底)(以 m次根号下的M 为真数)=(n/m)log(a)M
5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1
对数与指数之间的关系
