中考数学真题分类汇编及解析(二十八)菱形
- 格式：docx
- 大小：795.92 KB
- 文档页数：26
代码
菱形中考题及其解析
2801 （2022•武威中考）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（ ）
A．√3 B．2√3 C．3√3 D．4√3
【解析】选B．在菱形ABCD中，∠A＝60°，所以△ABD为等边三角形，
设AB＝a，由图2可知，△ABD的面积为3√3，所以S△ABD=√34a2＝3√3，解得：a＝2√3.
2801 （2022•自贡中考）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（ ）
A．（5，﹣2） B．（2，﹣5） C．（2，5） D．（﹣2，﹣5）
【解析】选B.因为四边形ABCD是菱形，所以OA＝OC，即点A与点C关于原点对称，
因为点A（﹣2，5），所以点C的坐标是（2，﹣5）.
2801 （2022•株洲中考）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（ ）
A．OB=12CE B．△ACE是直角三角形
C．BC=12AE D．BE＝CE
【解析】选D．因为四边形ABCD是菱形，
所以AO＝CO=12，AC⊥BD，
因为CE∥BD，
所以△AOB∽△ACE，
所以∠AOB＝∠ACE＝90°，𝐴𝑂𝐴𝐶=𝑂𝐵𝐶𝐸=𝐴𝐵𝐴𝐸=12，
所以△ACE是直角三角形，OB=12CE，AB=12AE，
所以BC=12AE
2801 （2022•河南中考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
【解析】选C．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
所以△COD为直角三角形．
因为OE＝3，点E为线段CD的中点，所以CD＝2OE＝6．所以C菱形ABCD＝4CD＝4×6＝24．
2801 （2022•赤峰中考）如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上．∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（ ）
A．3 B．5 C．2√2 D．32√3
【解析】选A．根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E'，连接DE'交AC与点P，此时PD+PE有最小值为DE'，
因为四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），所以OA＝OC＝3，∠DBC＝60°，
所以△BCD是等边三角形，所以DE'＝OC＝3，即PD+PE的最小值是3．
2801 （2022•海南中考）如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF：CE＝1：2，EF=√7，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．45√7
【解析】选B．过点D作DH⊥AB于点H，如图，
因为四边形ABCD是菱形，
所以AD＝AB＝CD，AB∥CD．
因为EF⊥AB，DH⊥AB，
所以DH∥EF，
所以四边形DHFE为平行四边形，
所以HF＝DE，DH＝EF=√7．
因为点E是边CD的中点，
所以DE=12CD，
所以HF=12CD=12AB．
因为BF：CE＝1：2，
所以设BF＝x，则CE＝2x，
所以CD＝4x，DE＝HF＝2x，
AD＝AB＝4x，
所以AF＝AB+BF＝5x．
所以AH＝AF﹣HF＝3x．
在Rt△ADH中，
因为DH2+AH2＝AD2，
所以(√7)2+(3𝑥)2=(4𝑥)2．
解得：x＝±1（负数不合题意，舍去），
所以x＝1．
所以AB＝4x＝4．
即菱形ABCD的边长是4.
2801 （2022·恩施州中考）如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若AD＝4，AB＝2．则四边形MBND的周长为（ ）
A．52 B．5 C．10 D．20
【解析】选C．由作图过程可得：PQ为BD的垂直平分线，所以BM＝MD，BN＝ND．
设PQ与BD交于点O，如图，
则BO＝DO．
因为四边形ABCD是矩形，
所以AD∥BC，所以∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，
在△MDO和△NBO中，{∠𝑀𝐷𝑂=∠𝑁𝐵𝑂∠𝐷𝑀𝑂=∠𝐵𝑁𝑂𝑂𝐷=𝑂𝐵，
所以△MDO≌△NBO（AAS），
所以DM＝BN，所以四边形BNDM为平行四边形，
因为BM＝MD，所以四边形MBND为菱形，所以四边形MBND的周长＝4BM．
设MB＝x，则MD＝BM＝x，
所以AM＝AD﹣DM＝4﹣x，
在Rt△ABM中，因为AB2+AM2＝BM2，所以22+（4﹣x）2＝x2，解得：x=52，
所以四边形MBND的周长＝4BM＝10．
2802 （2022•武威中考）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2√5cm，AC＝4cm，则BD的长为8
cm．
【解析】因为四边形ABCD是菱形，AC＝4cm，
所以AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO＝2cm，
因为AB＝2√5cm，所以BO=√𝐴𝐵2−𝐴𝑂2=4cm，所以DO＝BO＝4cm，所以BD＝8cm.
答案：8．
2802
（2022•广东中考）菱形的边长为5，则它的周长是 20 ．
【解析】因为菱形的四边相等，边长为5，所以菱形的周长为5×4＝20.
答案：20．
2802 （2022•温州中考）如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝60°．在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF，使点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，N在对角线AC上．若AE＝3BE，则MN的长为 √32 ．
【解析】连接DB交AC于点O，作MI⊥AB于点I，作FJ⊥AB交AB的延长线于点J，如图所示，
因为四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝1，
所以AB＝BC＝CD＝DA＝1，∠BAC＝30°，AC⊥BD，
因为△ABD是等边三角形，所以OD=12，
所以AO=√𝐴𝐷2−𝐷𝑂2=√12−(12)2=√32，
所以AC＝2AO=√3，
因为AE＝3BE，所以AE=34，BE=14，
因为菱形AENH和菱形CGMF大小相同，
所以BE＝BF=14，∠FBJ＝60°，
所以FJ＝BF•sin60°=14×√32=√38，
所以MI＝FJ=√38，所以AM=𝑀𝐼𝑠𝑖𝑛30°=√3812=√34，
同理可得，CN=√34，
所以MN＝AC﹣AM﹣CN=√3−√34−√34=√32.
答案：√32．
2802 （2022•成都中考）如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P'，点Q是AC上一动点，连接P'Q，DQ．若AE＝14，CE＝18，则
DQ﹣P'Q的最大值为 16√23 ．
【解析】如图，连接BD交AC于点O，过点D作DK⊥BC于点B，延长DE交AB于点R，连接EP′交AB于点J，作EJ关于AC的对称线段EJ′，则DP′的对应点P″在线段EJ′上．
当点P是定点时，DQ﹣QP′＝AD﹣QP″，
当D，P″，Q共线时，QD﹣QP′的值最大，最大值是线段DP″的长，
当点P与B重合时，点P″与J′重合，此时DQ﹣QP′的值最大，最大值是线段DJ′的长，也就是线段BJ的长．
因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，AO＝OC，
因为AE＝14．EC＝18，
所以AC＝32，AO＝OC＝16，
所以OE＝AO﹣AE＝16﹣14＝2，
因为DE⊥CD，所以∠DOE＝∠EDC＝90°，
因为∠DEO＝∠DEC，
所以△EDO∽△ECD，
所以DE2＝EO•EC＝36，
所以DE＝EB＝EJ＝6，
所以CD=√𝐸𝐶2−𝐷𝐸2=√182−62=12√2，
所以OD=√𝐷𝐸2−𝑂𝐸2=√62−22=4√2，
所以BD＝8√2，
因为S△DCB=12×OC×BD=12BC•DK，
所以DK=12×16×8√212√212×16×8√26√2=323，
因为∠BER＝∠DCK，
所以sin∠BER＝sin∠DCK=𝐷𝐾𝐶𝐷=32312√2=4√29，
所以RB＝BE×4√29=8√23，
因为EJ＝EB，ER⊥BJ，
所以JR＝BR=8√23，
所以JB＝DJ′=16√23，
所以DQ﹣P'Q的最大值为16√23．
解法二：DQ﹣P'Q＝BQ﹣P'Q≤BP'，显然P'的轨迹EJ，故最大值为BJ．勾股得CD，OD．△BDJ∽△BAD，BD2＝BJ*BA，可得BJ=16√23．
答案：16√23．
2802 （2022•达州中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长为 52 ．
【解析】因为四边形ABCD是菱形，
所以AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
因为AC＝24，BD＝10，
所以AO=12AC＝12，BO=12BD＝5，
在Rt△AOB中，
AB=√𝐴𝑂2+𝐵𝑂2=√122+52=13，
所以菱形的周长为13×4＝52．
答案：52
2802 （2022•娄底中考）菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为
√2 ．
【解析】连接AQ，作AH⊥BC于H，
因为四边形ABCD是菱形，所以AB＝CB，∠ABQ＝∠CBQ，
因为BQ＝BQ，所以△ABQ≌△CBQ（SAS），
