完整版)勾股定理培优专项练习

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勾股定理练（根据对称求最小值）

基本模型：已知点A、B为直线m同侧的两个点，请在直线m上找一点M，使得AM+BM有最小值。

1、已知边长为4的正三角形ABC上一点E，AE=1，AD⊥BC于D，请在AD上找一点N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。

解：由于AE=1，所以DE=√3.连接BE，设∠EBN=x，则∠EBD=∠ABE-x=60°-x。由正弦定理得：

EN/ sinx = BN/sin(60°-x)。=。EN/BN = sinx/sin(60°-x)

由于sinx/sin(60°-x)在[0,1]内单调递增，所以EN/BN最小值对应的x值也是最小值。又由于XXX，所以问题转化为：在直线AD上找一点N，使得MN+EB最小。

连接AC，设交点为F，则∠ABF=∠FBD=30°，BF=AB/2=2.由于AF=AD-DF=√3-DF，所以MN+EB=BF+MN+EF=BF+FN。由于FN=AF-AN=AF-AE=√3-1，所以MN+EB=2+MN+√3-1=MN+3+√3.因此，EN+BN的最小值为3+√3，此时x=30°。

2、已知边长为4的正方形ABCD上一点E，AE=1，请在对角线AC上找一点N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。

解：连接BE，设∠EBN=x，则∠EBD=∠ABE-x=45°-x。由正弦定理得：

EN/sinx = BN/sin(45°-x)。=。EN/BN = sinx/sin(45°-x)

由于sinx/sin(45°-x)在[0,1]内单调递增，所以EN/BN最小值对应的x值也是最小值。又由于XXX，所以问题转化为：在对角线AC上找一点N，使得MN+EB最小。

连接BD，设交点为F，则∠ABF=∠FBD=45°，BF=AB/√2=2√2.由于AF=AD-DF=4-DF，所以MN+EB=BF+MN+EF=BF+FN。由于FN=AF-AN=AF-AE=3-DF，所以MN+EB=2√2+MN+3-DF。因此，EN+BN的最小值为2√2+3，此时x=22.5°。

3、如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=23.试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（）

解：连接AB，设交点为C，则AC=2，BC=3.由于MN⊥a，所以MN=AC+BC=5.又因为AM+MN+NB=AB+2MN，所以问题转化为：在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，使得XXX最小。

设点M(x,0)，点N(y,3)，则MN=√[(x-y)²+9]。由于MN最小，所以x=y。又因为MN⊥a，所以M、N在直线a、b的垂线上，即M(x,2)、N(x,0)。此时AM+NB=√[(x-2)²+4]+√[x²+9]，对x求导得x=2/3，所以AM+NB的最小值为√(16/9+4)+√(4/9+9)=10.

4、已知AB=20，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA=10，CB=5.

1）在AB上找一点E，使EC=ED，并求出EA的长；

解：连接CD，设交点为F，则AF=AB-EB=20-EC-ED=20-2EC。由于EC=ED，所以AF=20-2EC。又因为AD²+DF²=AF²，所以DF=√(AF²-AD²)=√(400-100EC²)。由于DF=EB-BF=EB-√(CB²-DF²)=EB-√(25-400/AF²)，所以EB=DF+√(25-400/AF²)=√(400-100EC²)+√(25-400/AF²)。又因为EA²=ED²+DA²=(EC+CB)²+DA²=(EC+5)²+100，所以EA=√[(EC+5)²+100]。

2）在AB上找一点F，使FC+FD最小，并求出这个最小值。

解：连接AC，设交点为E，则AE=√(100-25)=5√3.由于FC+FD=EB+BF+FD=EB+DF，所以问题转化为：在AB上找一点F，使得EB+DF最小。

同上题，设EB=√(400-100x²)+√(25-400/((20-2x)²+100))，DF=√(400-100((20-x)/2)²)，则EB+DF=√(400-100x²)+√(25-400/((20-2x)²+100))+√(400-25(x-10)²/4)。对x求导得x=10/3，所以FC+FD的最小值为2√(100/9+25/9)+2√(100/9+25/36)=10/3(√10+√13)。

5、如图，在梯形ABCD中，∠C=45°，∠BAD=∠B=90°，AD=3，CD=22，M为BC上一动点，则△AMD周长的最小值为．

解：连接AC，设交点为E，则∠AEC=45°，所以AE=EC。又因为AD=3，所以CE=22-3-2EC=19-2EC。由于MN∥AD，所以XXX，即MN=(19-2EC)/22MD。由于AM+MD=AD=3，所以问题转化为：在BC上找一点M，使得AM+MN最小。

设点M(x,0)，则AM=√(x²+1)，MN=(19-2EC)/22√(x²+4)。由于AM+MN最小，所以x=EC。又因为x∈[0,BC]，所以EC∈[0,10]。因此，△AMD周长的最小值为√(10²+1)+19/11(√5-1)。

6、如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB边上一点，则EM+BM的最小值为．

解：连接CE，设交点为F，则AF=AB-BF=6-EM。由于BM+EF=BF，所以问题转化为：在AD上找一点M，使得EM+BF最小。

设点M(x,0)，则EM=√(x²+9/4)，BF=6-3x/2.因此，EM+BF=√(x²+9/4)+6-3x/2.对x求导得x=1/3，所以EM+BM的最小值为√(1/9+9/4)+6-1=7+√(10/3)。

7、如图∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

解：连接QR，设交点为S，则QS=PO=10，RS=PO/√2=5√2.由于△PQR的周长为PQ+QR+RP，所以问题转化为：在OA、OB上找两点Q、R，使得PQ+QR+RP最小。

设OQ=x，则OR=10-x，PS=OQ/√2，SR=OR/√2，PQ²=PS²+QS²=1/2x²+100，QR²=PS²+SR²=1/2(10-x)²+50，RP²=SR²+OR²=1/2(10-x)²+50.因此，PQ+QR+RP=3/2x+15/√2.对x求导得x=5/√2，所以△PQR的周长最小值为15+5√2.

8、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

解：连接BD，设交点为F，则AF=√(12)=2√3.由于△ABE是等边三角形，所以AE=EB=2√3/√3=2.设PE=x，则PD=2-x，所以PD+PE=2+x。由于PE=AC-AP=2√2-AP，所以问题转化为：在对角线AC上找一点P，使得2√2-AP+AP最小。

因此，PD+PE的和最小值为2+2√2.

9、在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________cm

解：设AP=x，则PC=2-x，QB=1-x/2，PQ=√(x²+1)。由于△PBQ的周长为PB+QB+PQ，所以问题转化为：在对角线AC上找一点P，使得PB+QB+PQ最小。

因此，△PBQ的周长最小值为2-√2+√5.

10、在长方形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点，若P、Q是BC边上的两动点，且PQ=2，当四边形APQE的周长最小时，求BP的长。

解：设BP=x，则BQ=8-x，AQ=√(4+x²)，AP=2-x/2，EP=4-x/2.因此，四边形APQE的周长为AQ+QP+PE+EB+BP=√(4+x²)+2+4-x/2+2√(4-x/2)。

对x求导得x=2，所以BP的长为2. 2、一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，上底面直径为10cm。一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求蚂蚁爬行的最短路程。

3、一个高18m，周长5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长。建议手动操作，以便更好地理解。

4、一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），求蚂蚁走路线最短，并计算最短路线的长度。

5、圆柱形中，高为1.2m，底面周长为1m。在内壁离底部0.3m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎在外壁，离上沿0.3m与蚊子相对的点A处。求壁虎捕捉蚊子的最短距离。

折叠问题

1、折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。

2、把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处。证明B'E=BF，并猜想AE/AB=BF/B'E，给出证明。

3、有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD=。

4、折叠长方形ABCD的一边AD，点D落在BC边的D′处，AE是折痕，已知CD=6cm，CD'=2cm，则AD的长为。

5、在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10.将BC向BA方向翻折过去，使点C落在BA上的点C′，折痕为BE，则EC的长度是（）A、53B、53－5C、10－53D、5 +3

6、把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=√3，BC=7，求重合部分△EBD的面积。

弦图有关问题 1、直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A、4B、6C、16D、55

2、2002年8月，北京举行了第24届国际数学家大会，其会标取材于我国古代数学家XXX的《勾股圆方图》。该图形是由四个全等的直角三角形和一个中间的小正方形拼成的大正方形。如果大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，则求(a+b)²的值。

答案：C、25

3、如图，三角形ABC为直角三角形，三边上分别有半圆，面积分别为S1、S2、S3，且S1、S2、S3按照大小依次排列。求S1、S2、S3之间的关系。

答案：A、S1+S2>S3

4、如图，北京第24届国际数学家大会会标由4个全等的直角三角形拼合而成，大小正方形的面积分别为52和4.求直角三角形的两条直角边的长。

答案：7和24