勾股定理培优

精心整理

精心整理 第19讲勾股定理

考点·方法·破译

1．会用勾股定理解决简单问题.

2．会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

3．勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证.

经典·考题·赏析

【例1】(达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是()

A．13B．26C．47D．94

【解法指导】观察勾股树，发现正方形A、B的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角边.此时直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即两个较小正方形面积之和等于较大正方形的面积，从而正方形E的面积等于正方形A、B、C、D四个面积之和，故选C．

【变式题组】

01．(安徽)如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形的边长是___________.

02．(浙江省温州)在直线l上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______.

03．(浙江省丽江)如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长是()

A．217 B．25 C．42 D．7

【例2】(青岛)如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要______cm.

【解法指导】细线缠绕时绕过几个面，则将这几个面展开后在同一平面内利用线段的公理：两点之间线段最短.画出线路，然后利用勾股定理解决，应填10，22916n.

【变式题组】

01．(恩施)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是()

A．521 B．25 C．1055 D．35 l A

1 D

C

B 2

第1题图 第2题图 第3题图 A C

B l1

l2 l3

B

A 3cm 1cm 6cm

第2题图 A B 吸管

10

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02．(荆州)如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位:cm)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为hcm，则h的最小值大位，参考数据:2＝1．4，3＝1．7:5约为_____cm.(精确到个＝2．2)

03．(荆州)若一边长为40cm的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径最小值为_____cm.(铁丝粗细忽略不计)

【例3】(荆州)如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为NM，则线段CN的长是()

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

【解法指导】对折问题即对称问题，设CN＝x，DN＝NE＝8－x.在Rt△CEN中，(8－x)2＝42＋x2x＝5.故选C

【变式题组】

01．在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12．求S四边形ABCD．

02．如图，△ABC中，AB＝13，AD＝6，AC＝5，D为BC边的中点.求S△ABC．

03．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，BC＝4，CD＝32.求AC．

【例4】（四川省初二数学联赛试题)如图，直线OB是一次函数y＝－2x的图象，点A的坐标为(0，2)，在直线OB上找点C，使得△ACO为等腰三角形，求点C坐标.

【解法指导】求C点坐标需分类讨论.

(1)若以O为顶点，OA为腰，则C在以O为圆心，OA的长为半径的圆与y＝－2x的交点处.

(2)若以A为顶点，AO为腰，则C在以A为圆心，AO的长为半径的圆与y＝－2x的交点处.

(3)若以C为顶点，则C在OA的中垂线与y＝－2x的交点处.

【解】⑴若以O为顶点，OA为腰，如图设C(t，－2t)，则在Rt△COD中，

OC2＝OD2＋CD24＝t2＋(－2t)25t2＝4 t＝255

∴C1(255，455），C2(255，455）

⑵若以A为顶点，AO为腰，如图，设C(t，－2t)，在Rt△ACE中

AC2＝CE2＋AE222＝t2＋(－2t－2)2 t＝0（舍去），t＝85 ∴C3(85，165)⑶若C为顶点，C在OA的中垂线上.∴C4(12，1)

【变式题组】

01．若A（3，2），B为x轴上一点，O为坐标原点.若△AOB是等腰三角形.求B点坐标. B10 15 A 2C

第1题AD

BEC FM

N

A

B C D

A

O

B y

x y＝－2x

A y

x D O C

A

O C y

x E 精心整理

精心整理 02．如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B为y＝2x上一点，若△AOB为等腰三角形.求B点坐标.

03．如图.在平面直角坐标系中，A(0，4)，B为y＝2x上一点，若△AOB为直角三角形.求B点坐标.

【例5】(福建省漳州)几何模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点.

问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小.

方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，则PA＋PB＝A'B的值最小(不必证明).

模型应用：⑴如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点.连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P，则PB＋PE的最小值是__________；

(2)如图2，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值.

【解】

(1)如图2，作P关于OB的对称点P1，关于OA的对称点P2，

连接P1P2，交OB于R，交OA于Q，则△PRQ的周长最小，且此时△PRQ的周长为PR＋RQ＋QP＝P1P2．

连接OP1，OP2，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＋∠3＝45°

∴∠P1OP2＝90°，OP1＝OP＝OP2，

在Rt△OP1P2中，P1P22＝OP12＋OP22，

∴P1P2＝102

【变式题组】

01．(荆门)一次函数y＝kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）.

⑴求该函数的解析式；

⑵O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.

02．（四川联赛试题)已知矩形ABCD的AB＝12，AD＝3，E、F分别是AB，DC上的点，则折线AFEC长的最小值为____________.

03．(陕西)如图，在锐角△ABC中，AB＝45，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是___________.

【例6】求x24＋2816x的最小值.

【解法指导】所求的两个根式之和的最小值，因被开方数不是完全平方式而无法化简，用代数方法求解困难，但被开方数的特点x2＋4＝x2＋22，(8－x)2＋16＝(8222x，－x)2＋42均为平方和结构，由此联想到勾股定理，题目就是求以2284x为斜边的两边之和的最小值，于是根据数形结合的思想转化为构造图形问题来解决.

【解】如图，作AB＝8，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝2，BD＝4.E是AB上一动点.设AE＝x.则BE＝8－x.∴CE＝222x，DE＝2284x.所以求代数式最小值问题转化为在AB上求一点E，使CE＋DE值最小.根据线段公理，连接CD交AB于H，则CD为所求.作CF⊥DB交DB延长线于F.在Rt△CDF中，CD＝22CFDF＝10.∴所求最小值为10.

【变式题组】

01.（恩施自治州）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x. A(4,0) y＝2x

x y

O A y＝2x

x y

O

AA

P B

l B

D C A P E

图1 O A Q P B

R

图2 O A Q P B

R P1

P2

OCAx y

B

D P C

A B D M

N

A C

2 F

B

4

D xH8－x E 精心整理

精心整理 ⑴用含x的代数式表示AC＋CE的长；

⑵请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小?

⑶根据⑵中的规律和结论，请构图求出代数式x24＋2129x的最小值

02．(咸宁)问题背景:

在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网络(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示.这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.

⑴请你将△ABC的面积直接填写在横线上______；

思维拓展:

⑵我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．．．.若△ABC三边的长分别为5a、22a、17a(a＞0)，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积；

探索创新:

⑶若△ABC三边的长分别为2216mn、2294mn、222mn（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法．．．求出这三角形的面积.

【例7】.(天津)已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N.

⑴当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2＝AM2＋BN2；

【思路点拨】考虑MN2＝AM2＋BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决.可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连接DN，只需证DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了.

请你完成证明过程:

⑵当扇形GEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2＝AM2＋BN2是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

【解法指导】观察求证的结论容易发现MN2＝AM2＋BN2符合匀股定理的结构形式.因此我们设法构造以MN为斜边的直角三角形.

【解】(l)证明:将△ABM沿直线CM对折，得△DCM，连DN.

∵△ACM≌△DCM∴∠1＝∠2，AC＝CD，∠A＝∠MDC

∵AC＝BC∴CD＝BC

∵∠MCN＝45°，∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3∴∠3＝∠4

在△DCN和△BCN中，

CD＝CB

∠3＝∠4∴△CDN≌△CBN，∴∠CDN＝∠B＝45°，BN＝DN