勾股定理的培优专题

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勾股定理培优专题

一、基础知识

1.勾股定理的逆定理是：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。

2.勾股定理的逆定理和勾股定理的题设和结论相反，被称为互逆命题。

3.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。

4.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 3、4、5 等，称为勾股数。

巩固练：

1.如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a+b=c，那么这个三角形是直角三角形，这个定理叫做勾股定理的逆定理。

2.如果两个命题中，第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。

3.分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有 1、2、3 号。

4.若 △ABC 中，(b-a)(b+a)=c，则 ∠B=90°。

5.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的 △ABC 是直角三角形。

6.若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以 a-2、a、a+2 为边的三角形的面积为 6(a-1)。

7.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假。

1) 两直线平行，同位角相等。逆命题为：同位角相等，则两直线平行。真。

2) 若 a>b，则 a>b。逆命题为：若 a≤b，则 a≤b。假。

二、例题和训练

考点一：证明三角形是直角三角形

例1：已知：如图，在 △ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD=AD·BD。求证：△ABC 是直角三角形。

训练：已知：在 △ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，满足 a+b+c+3√3=10a+24b+26c。试判断 △ABC

的形状。

例2：如图，在直角 △ABC 中，∠B=90°，BD 垂直于

AC，且 AD=CD。求证：AB=BC。

训练：如图，在 △ABC 中，∠B=90°，BD 垂直于 AC，且 AD=CD，E 是 AB 边上的一点，且 DE=CE。求证：AE=EC。

例3：如图，在 △ABC 中，∠B=90°，D 是 AC 边上的一点，且 BD=CD。求证：AB=BC。

训练：如图，在 △ABC 中，∠B=90°，D 是 AC 边上的一点，且 BD=CD。E 是 AB 边上的一点，且 DE=CE。求证：AE=EC。

延伸训练：

1.已知 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=20°，D 是 AB 边上的一点，E 是 AC 边上的一点，且 ∠XXX∠BEC=70°。求证：BC=BD+BE。

2.已知 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=20°，D 是 AB 边上的一点，E 是 AC 边上的一点，F 是 BC 边上的一点，且

FE=FD。求证：∠BFC=60°。

3.已知 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=20°，D 是 AB 边上的一点，E 是 AC 边上的一点，F 是 BC 边上的一点，且

∠BFC=60°。求证：FD=FE。

已知在直角三角形ΔABC中，∠C=90°，M为BC的中点，MD⊥AB于D，证明AD=AC+BD。

解题思路：根据勾股定理逆定理，若直角三角形中一个直角边的中点与斜边上一点连接成垂线，则垂线长等于斜边两段长度之和。因此，我们可以利用这个定理来证明AD=AC+BD。

首先，连接AM，BM，得到AM=BM=AC/2.又因为MD⊥AB，所以∠AMD=90°，因此可以利用勾股定理得到：

AD²=AM²+MD²=(AC/2)²+BD²

同时，根据勾股定理得到：

AC²=AB²-BC²=AB²-(2BM)²=AB²-AC²

化简得到：

2AC²=AB²+BC²

代入上式，得到：

AD²=2(AC²+BD²)-(AB²+BC²)

因此，只需要证明2(AC²+BD²)-(AB²+BC²)=(AC+BD)²即可。

化简得到：

2AC²-2AB²+2BD²=2AC·BD+2AC·BC

移项得到：

2BD²-2AC·BD=2AC·BC-2AC²+2AB²

化简得到：

2(BD-AC)²=2AB²-2AC²+2AC·BC

代入AC²=AB²-BC²，得到：

2(BD-AC)²=2AB²-2BC²+2AC·BC

化简得到：

BD-AC)²=AB²-BC²+AC·BC

代入AB·BC=2S，得到：

BD-AC)²=AC²+4S

因此，只需要证明(BD-AC)²=AC²+4S即可。

由于∠XXX与∠DCB互余，因此∠XXX∠XXX，得到ΔEDC∽ΔXXX。因此，可以列出比例式：

ED/EB=DC/BC

化简得到：

ED=n-m

代入AB²=AD²+BD²和AC²=AD²+CD²，得到：

AB²=AD²+BD²=(AD+BD)²-2AD·BD

AC²=AD²+CD²=(AD+CD)²-2AD·CD

代入n-m=ED，得到：

AB²-AC²=2AD·(BD-CD)+2BD·CD-2AD²+2AC²

化简得到：

AB²-AC²=2AD·(BD-CD)+4S

代入AB²+BC²=AC²，得到：

2(AC²+BD²)-(AB²+BC²)=AC²+4S

因此，得证AD=AC+BD。

例题：在等腰三角形ABC中，底边BC=20，D为AB上一点，CD=16，BD=12，求△XXX的周长。

解题思路：根据勾股定理，得到AD²=AB²-BD²和CD²=AB²-BC²/4.代入CD=16和BD=12，得到：

AD²=AB²-144

AB²-BC²/4=AB²-400

化简得到：

BC=24

代入AB²=AD²+144，得到：

AB=8√10

因此，△XXX的周长为：

AB+BC+AC=16√10+20

1.南北向XXX为我国领海线，XXX以西为我国领海，以东为公海。上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一艘走私艇C正在以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来。A立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意。A告知B，A和C两艇的距离是13海里，A和B两艇的距离是5海里。B测得距离C艇的距离是12海里。如果走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？

2.观察下列式子：3+4=5；8+6=10；15+8=17；24+10=26……你是否发现了其中的规律？请用含n的代数式表示此规律并证明，然后根据规律写出接下来的式子。

3.如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10cm，宽为4cm。将一个直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合）并在AD上平行移动。①能否使三角板的两直角边分别通过点B和点C？如果能，请计算此时AP的长度；如果不能，请说明理由。②再次移动三角板的位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？如果能，请计算此时AP的长度；如果不能，请说明理由。

4.喜欢爬山的同学都知道，很多名山上都有便于游人观光的索道。如图所示，山的高度AC为800m，从山上A与山下B处各建一索道口，且BC=1500m。一名游客从山下索道口坐缆车到山顶，知缆车每分钟走50m。那么大约多长时间后该游客才能到达山顶？请说明理由。

5.如图18-2-5，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4.请计算S2和S3的值。

6.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3.请计算∠XXX的度数。

7.下列条件中，不是直角三角形的是（）

A。三内角之比为1∶2∶3

B。三边长的平方之比为1∶2∶3

C。三边长之比为3∶4∶5

D。三内角之比为3∶4∶5

8.如图18-2-4所示，有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10cm，∠D=120°。请计算该零件另一腰AB的长度。

4.已知正方形ABCD的边长为4，其中E为AB的中点，F为AD上的一点，且AF=5.求判断△XXX的形状。

5.给定一个零件的形状如图18-2-7所示，规定其中∠A和∠BDC都应为直角。工人师傅测量了零件各边的尺寸：AD=4，AB=3，BD=5，DC=12，BC=13.问这个零件是否符合要求？

6.已知△ABC的三边长分别为k-1，2k，k+1（k>1），证明△ABC是直角三角形。

7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，问△A1B1C1是否为直角三角形？为什么？

8.在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A(3,1)，B(2,4)，问△OAB是否为直角三角形？借助网格证明你的结论。

9.若△ABC的三边长为a、b、c，根据下列条件判断△ABC的形状：（1）a²+b²+c²+200=12a+16b+20c；（2）a³-a²b+ab²-ac²+bc²-b³=0.

10.如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求CD的长度。

11.已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积。