高中数学66个易错点：基本不等式，奇偶性，充分必要性

别再搞错高考数学这些常见易错点1充分必要条件的混淆颠倒清晰明白得充分必要条件的概念和意义，必要不充分和充分不必要的区别就在于：比如p能够推出q，而q推不出p，确实是充分不必要条件，p不能够推出q，而q却能够推出p，确实是必要不充分。

另外小心发生语序判定错误，例如，“p的充分条件是q”等价于“q是p的充分条件”，q 推出p，专门多学生一看到充分条件就“前推后”，导致错误，要注意题目的措辞。

2求解函数值域时，定义域永久排第一位有关函数的题，不管是要求什么，第一步第一看定义域，那个是关键。

假如用了换元法求函数值域，一定要先求出“新元”的范畴。

3小心弄错图像变换方向牢记函数图像的变换口诀，函数平移时，左加右减，上加下减。

遇到方程曲线平移时，也能够转化成按向量(h,k)平移，x变成(x-h)，y变成(y-k)，如此更不容易出错。

4危险三视图依照三视图还原空间几何体时，专门是跟旋转体(圆柱、圆锥、球)三视图相关时，或者正四面体的侧视图并不是等边三角形，球内接正方体的正视图并不是圆内接正方形，诸如此类等等。

面对这类题型时，平常一定要多观看、摸索，并加以积存。

5小心空间点线面中的伪命题我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一样在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。

什么缘故在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在19 78年就尖锐地提出:“中小学语文教学成效差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时刻,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数只是关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其要紧缘故确实是腹中无物。

专门是写议论文,初中水平以上的学生都明白议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的差不多结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。

高三数学易错点整理【导语】高三数学复习很重要，想要在有间里复习好，需要掌控易错知识点，下面是作者给大家带来的高三数学易错点，期望对你有帮助。

高三数学易错点(一)1、遗忘空集致误由于空集是任何非空集合的真子集，因此B=?时也满足B?A。

解含有参数的集合问题时，要特别注意当参数在某个范畴内取值时所给的集合多是空集这种情形。

2、忽视集合元素的三性致误集合中的元素具有肯定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。

3、混淆命题的否定与否命题命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p 的否定是否定命题所作的判定，而“否命题”是对“若p，则q”情势的命题而言，既要否定条件也要否定结论。

4、充分条件、必要条件颠倒致误对于两个条件A，B，如果A?B成立，则A是B的充分条件，B是A 的必要条件;如果B?A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件;如果A?B，则A，B互为充分必要条件。

解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判定。

5、“或”“且”“非”知道不准致误命题p∨q真?p真或q真，命题p∨q假?p假且q假(概括为一真即真);命题p∧q真?p真且q真，命题p∧q假?p假或q假(概括为一假即假);綈p真?p假，綈p假?p真(概括为一真一假)。

求参数取值范畴的题目，也能够把“或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”对应起来进行知道，通过集合的运算求解。

6、函数的单调区间知道不准致误在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函数图像上去分析问题、寻觅解决问题的方法。

对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。

7、判定函数奇偶性忽视定义域致误判定函数的奇偶性，第一要推敲函数的定义域，一个函数具有奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具有这个条件，函数一定是非奇非偶函数。

邱崇学长在高中阶段时，将数学分为九大模块进行学习，他在学习的过程中总结了这九大模块的易
错易混淆的必考点，一共是66个!
高中数学
九大模块易错易混66个必考点
一、集合与函数
1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏
图进行求解。

2.在应用条件时，易忽略是空集的情况
3.你会用补集的思想解决有关问题吗?
4.筒单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?
5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别。

6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则。

7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称。

8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域。

高中数学不等式部分错题精选一、选择题：1．设,,1x y R x y ∈+>则使成立的充分不必要条件是A 1x y +≥B 1122x y >>或 C 1x ≥ D x<-1错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为D 。

2．不等式(1)20x x -+≥的解集是A {|1}x x >B {|1}x x ≥C {|21}x x x ≥-≠且D {|21}x x x =-≥或 错解：选B ，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2的情形。

正确答案为D 。

3．已知1324a b a b -<+<<-<且，则2a+3b 的取值范围是A 1317(,)22-B 711(,)22-C 713(,)22-D 913(,)22-错解：对条件“1324a b a b -<+<<-<且”不是等价转化，解出a,b 的范围，再求2a+3b 的范围，扩大了范围。

正解：用待定系数法，解出2a+3b=52(a+b)12-(a-b),求出结果为D 。

4．若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ）A a ≤-21或a ≥21 B a ＜21 C -21≤a ≤21 D a ≥21正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。

5．已知函数y=㏒21(3x )52+-ax 在[-1，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围（ ）A a ≤-6B -60＜a ＜-6C -8＜a ≤-6D －8≤a ≤-6正确答案：C 错因：学生忘记考虑定义域真数大于0这一隐含条件。

6．f(x)=︱2x—1｜，当a ＜b ＜c 时有f(a)＞f(c)＞f(b)则（ ） A a ＜0,b ＜0,c ＜0 B a ＜0,b ＞0,c ＞0 C 2a-＜2c D 22+ac ＜2 正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法解题。

高中数学易错知识梳理高中数学知识体系庞大，概念繁多，很多同学在学习过程中容易出现错误。

为了帮助同学们更好地掌握数学知识，提高解题能力，下面对高中数学中一些易错的知识点进行梳理。

一、集合与函数1、集合中的元素特性易错点：忽略集合中元素的互异性。

例如，集合{1，2，a}，若 a＝ 1 或 2 时，就不满足元素的互异性。

2、空集易错点：空集是任何集合的子集，但容易忽略空集是某些集合的真子集。

例如，若集合 A ＝｛x ｜ x² 2x ＋ 1 ＝ 0} ＝｛1}，则空集是集合 A 的真子集。

3、函数的定义域易错点：求函数定义域时，容易忽略分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数函数的真数大于零等条件。

例如，函数 f(x) ＝ 1 ／（x 1)，定义域为x ≠ 1。

4、函数的单调性易错点：对函数单调性的定义理解不透彻，错误地认为函数在某个区间内的导数值大于零就是单调递增，小于零就是单调递减。

实际上，还需要考虑导数值为零的点。

5、函数的奇偶性易错点：判断函数奇偶性时，忽略函数定义域关于原点对称这个前提条件。

例如，函数 f(x) ＝√（x ＋ 1) ，其定义域为x ≥ －1 ，不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数。

二、三角函数1、三角函数的定义易错点：在利用三角函数定义求角的三角函数值时，忽略角所在的象限，导致符号错误。

2、诱导公式易错点：记错诱导公式，导致化简或计算错误。

例如，sin(π α) ＝sinα ，cos(π ＋α) ＝cosα 等。

3、三角函数的图象和性质易错点：对三角函数的周期性、对称性、最值等性质理解不深入。

例如，函数 y ＝sin(ωx ＋φ) 的周期为 T ＝2π ／｜ω| ，对称轴为 x ＝（kπ ＋π ／2 φ) ／ω （k∈Z）。

4、解三角形易错点：在解三角形时，使用正弦定理或余弦定理时忽略角的范围，导致多解或漏解。

三、数列1、等差数列和等比数列的通项公式易错点：记错公式或者在运用公式时，忽略首项和公差（公比）的取值。

别再搞错高考数学这些常见易错点1充分必要条件的混淆颠倒
清晰理解充分必要条件的概念和意义，必要不充分和充分不必要的区别就在于：比如p可以推出q，而q推不出p，就是充分不必要条件，p不可以推出q，而q却可以推出p，就是必要不充分。

另外警惕发生语序判断错误，例如，“p的充分条件是q”等价于“q是p的充分条件”，q推出p，很多学生一看到充分条件就“前推后”，导致错误，要注意题目的措辞。

2求解函数值域时，定义域永远排第一位
有关函数的题，不管是要求什么，第一步首先看定义域，这个是关键。

如果用了换元法求函数值域，一定要先求出“新元”的范围。

3警惕弄错图像变换方向
牢记函数图像的变换口诀，函数平移时，左加右减，上加下减。

遇到方程曲线平移时，也可以转化成按向量(h,k)平移，x变成(x-h)，y变成(y-k)，这样更不容易出错。

4危险三视图
根据三视图还原空间几何体时，尤其是跟旋转体(圆柱、圆锥、球)三视图相关时，或者正四面体的侧视图并不是等边三角形，球内接正方体的正视图并不是圆内接正方形，诸如此类等等。

面对这类题型时，平时一定要多观察、思考，并
加以积累。

5小心空间点线面中的伪命题
注意一些立体几何的特殊反例。

比如，垂直于同一平面的两个平面平行(或垂直)就是个假命题，反例就是把一本书立在桌面上，书的两页既不平行也不一定垂直。

2021年高考数学易错点总结一、集合与函数一、进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况。

二、“否命题”与“命题的否定形式”的区别。

3、判断函数奇偶性时，易忽略查验函数概念域是不是关于原点对称求一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的概念域。

五、求函数单调性时，在多个单调区间之间应用“和”或“，”，而不能用符号“∪”和“或”。

六、解对数函数问题时，注意真数大于零，底数大于零且不等于1。

二、不等式7、利用均值不等式求最值时，注意：“一正；二定；三等”。

八、在求不等式的解集、概念域及值域时，其结果必然要用集合或区间表示；不能用不等式表示。

九、两个不等式相乘时，必需注意同向同正时才能相乘。

三、数列10.在“已知，求”的问题中，利用公式时注意需要验证，有些题目通项是分段函数。

11.应用数学归纳法一要注意步骤齐全，二要注意从先假设时成立，再结合一些数学方式用来证明时也成立。

四、三角函数1二、三角化简的通性通法：切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角。

13、函数的图象的平移，方程的平移易混：函数的图象的平移为“左+右-，上+下-”。

14、正弦定理时易忘比值还等于2R。

五、解析几何1五、在用点斜式、斜截式求直线的方程时，注意不存在的情况。

1六、通径是抛物线的所有核心弦中最短的弦。

17、在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后取得的方程中要注意：二次项的系数是不是为零？椭圆，双曲线二次项系数为零时直线与其只有一个交点，判别式的限制。

六、立体几何1八、三垂线定理及其逆定理；三垂线定理的关键是：一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是关键。

1九、异面直线所成角利用“平移法”求解时，必然要注意平移后所得角等于所求角（或其补角），特别是题目告知异面直线所成角，应历时必然要从题意起身，是用锐角仍是其补角，仍是两种情况都有可能。

20、两条异面直线所成的角的范围：0°≤α≤90°直线与平面所成的角的范围：0°≤α≤90°二面角的取值范围：0°≤α≤180°2一、经度为二面角，纬度为线面角、球面距离的求法；球的表面积和体积公式。

汉川二中 程涛一．不等式的性质易错点（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； （2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘， （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：1.已知a b c >>，且0a b c ++=则c a的取值范围是______（答：12,2⎛⎫--⎪⎝⎭） 2.对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a>>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0<<<则若；⑤b aa b b a ><<则若,0；、⑥ba b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）； 3.设,,1x y R x y ∈+>则使成立的充分不必要条件是 A1x y +≥ B 1122x y >>或 C 1x ≥ D x<-1 错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为D 。

4.下列四组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是（ ）A ． 甲 a ＞b ，乙a1 ＜b1 B 甲 ab ＜0，乙 ∣a+b ∣＜∣a －b ∣C 甲 a=b ，乙 a ＋b=2ab D 甲 ⎩⎨⎧<<<<1010b a ，乙 ⎩⎨⎧<-<-<+<2120b a b a 正确答案： D 错因：学生对不等式基本性质成立的条件理解不深刻。

5.a,b ∈R ，且a>b ，则下列不等式中恒成立的是（ ）A.a 2>b 2B.(21) a <(21)bC.lg(a －b)>0D.ba >1正确答案：B 。

高中数学易错、易混、易忘备忘录1.在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝Ａ⇔ＡＢ时，易忽略Ａ是空集Φ的情况2.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则 3 根据定义证明函数的奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称 4 求反函数时，易忽略求反函数的定义域 5 单调区间不能用集合或不等式表示. 6 用基本不等式求最值时，易忽略验证“一正二定三等”这一条件7 你知道函数(0,0)b y ax a b x=+>>的单调区间吗？（该函数在(,)-∞+∞和上单调递增；在[和（0上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！(其在第一象限的图像就象“√”，特命名为：对勾函数) 是奇函数，图像关于原点对称. 8 解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀 9 用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０ 尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略 10 等差数列中的重要性质：若m+n=p+q ，则m n p q a a a a +=+;（反之不成立）等比数列中的重要性质：若m+n=p+q,则m n p a a a a = （反之不成立） 11 用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝１的情况12 已知n S 求n a 时, 易忽略n ＝１的情况13 等差数列的一个性质：设n S 是数列{n a }的前n 项和, {n a }为等差数列的充要条件是：2n S an bn =+（a, b 为常数）其公差是2a14 你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若n n n c a b =其中{n a }是等差数列，{n b }是等比数列，求{n c }的前n 项的和） 15 你还记得裂项求和吗？（如111(1)1n n n n =-++） 16 在解三角问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？17 你还记得三角化简的通性通法吗？（ 异角化同角，异名化同名，高次化低次）18 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？1(||,2l r S lr α==扇形） 19 在三角中，你知道1等于什么吗？(这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用20 0与实数0有区别，0的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定 0可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直 21 0a =，则0a b ⋅=，但0a b ⋅=不能得到0a =或b = a b ⊥有0a b ⋅= 22 a b =时，有a c b c ⋅=⋅ 反之a c b c ⋅=⋅不能推出a b = 23一般地()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅ 24 使用正弦定理时易忘比值还等于2R ::sin :sin :sin a b c A B C = 25 两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”即ａ＞ｂ＞ｏ11a b ⇒<，ａ＜ｂ＜ｏ1a b ⇒> 26 分式不等式的一般解题思路是什么？（移项通分、零点分段） 27 解指对数不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零 ） 28 在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底或）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是…… 29常用放缩技巧：211111111(1)(1)1n n n n n n n n n-=<<=-++-- k k k k k k k k k +-=+-<<++=-+1112111130用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时, 易忽略斜率不存在的情况31直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是[0,),(0,),(0,2πππ 32 函数的图象的平移、方程的平移以及点的平移公式易混：33sin sin()3x x x y x y x πππ→-=−−−−−−→=-沿轴向右平移① 22sin 2sin ,sin 2y y y y x y x y x →-=−−−−−→-==+沿轴向上平移②即 212sin sin 2x x x y x y x →=−−−−−−−→=沿轴缩短到原来的③ 1221sin sin 2x x x y x y x →=−−−−−−−→=沿轴伸长到原来的倍④ 2121sin 2sin ,sin 2y y y y x y x y x →=−−−−−−−→==沿轴缩短到原来的⑤即 1221sin sin ,2sin 2y y y y x y x y x →=−−−−−−−→==沿轴伸长到原来的倍⑥即 33 定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及值可要搞清） 34 直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0 35 处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式 一般来说，前者更简捷 36处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系 37 在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形 38 还记得圆锥曲线方程中的a,b,c,p ,ca a c 2,的意义吗？ 39 离心率的大小与曲线的形状有何关系？（圆扁程度，张口大小）等轴双曲线的离心率是多少？40 在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制 （求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行） 41 椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形 （a ，b ，c ） 42 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦 （通径是过焦点，且垂直于x 轴的弦） 43 你知道椭圆、双曲线标准方程中a ，b ，c 之间关系的差异吗？45作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见 46 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、换点法、向量法） 47 求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法） 48 两条异面直线所成的角的范围：0°<α≤90°直线与平面所成的角的范围：0o ≤α≤90°二面角的平面角的取值范围：0°≤α≤180° 49 二项式()na b +展开式的通项公式中ａ与ｂ的顺序不变 50 二项式系数与展开式某一项的系数易混, 第ｒ＋１项的二项式系数为rn C 51 二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混 二项式系数最大项为中间一项或两项；展开式中系数最大项的求法为用解不等式组112r r r r T T T T +++≥⎧⎨≥⎩来确定ｒ 52 解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合 53 解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法或看为若干个恰好 54 二项式展开式的通项公式、n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率与二项分布的分布列三者易记混通项公式：1r n r r r n T C a b -+= （它是第ｒ＋１项而不是第ｒ项）事件A 发生k 次的概率：()(1)k k n k n n P k C p p -=-其中ｋ＝0,1,2,3,…,n,且0<p<1，p+q=1 55 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -= x x )'(ln = xx a a log 1)'(log = x x e e =)'( a a a x x ln )'(= 2();u u v uv uv u v uv v v '''-⎛⎫'''=+= ⎪⎝⎭，(())u x f u x f u '''=⋅高中数学重要基础知识记忆检查一、幂函数、指数函数和对数函数1、由n 个元素组成的集合，其非空真子集个数为 。

高中文科数学易错知识点梳理（一）一、集合、简易逻辑、函数、不等式1.集合及简易逻辑(1)研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序);例：已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y= (-2) (2)区分集合中元素的形式：例：{}x y x lg |=表示函数的定义域；{}x y y lg |=表示函数的值域；{}x y y x lg |),(=表示函数图象上的点集，(3)在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝Ａ⇔ＡＢ时，易忽略Ａ是空集Φ的情况例：()()02222<-+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论了a ＝2的情况了吗？(4) p 、q 形式的复合命题的真值表中，若p 、q 一真一假，则P 且q 假、P 或q 真。

(5)命题的四种形式及其相互关系；全称命题和存在命题.原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.“命题的否定”与“否命题”的区别2.函数定义域（1）求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则（2）求函数的定义域的常见类型记住了吗？复合函数的定义域弄清了吗？例：函数y=2)3lg()4(--x x x 的定义域是 ；函数)(x f 的定义域是[0,1],则)(log 5.0x f 的定义域 ；函数)(x f 的定义域是[b a ,],,0>->a b 则函数)()()(x f x f x F -+=的定义域 。

3.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称（1）函数的定义域是否关于原点对称这个判断一个函数的奇偶性必要非充分条件。

（2） 在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数; 4 函数的几个重要性质：(1)如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+，那么函数()x f y = 的图象关于直线a x =对称.(2)若函数()x f y =满足()()x b f x a f +=-对定义域内任意x 都成立，则 ()x f y =的图象的对称轴为2b a x +=(3)若函数()x f y =满足()()b x a f x a f 2=++-对定义域内任意x 都成立，则()x f y =的图象的对称中心为 （a ，b ）；(4)若函数()x f y =对定义域内任意x 都有)(),()(b a b x f a x ≠-=-成立，则()x f y =是以a b - 为周期的周期函数 ；若函数()x f y =对定义域内任意x 都有)(),()(b a b x f a x ≠--=-成立，则()x f y =是以a b -2 为周期的周期函数 ；(5)函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称；（6） 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称；（7） 函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称.(8)函数()x a f y +=与函数()x a f y -=的图象关于直线0=x 对称.（注意（1）—（3）同一函数()y f x =的图象的对称性，而（5）—（8）是两个函数图象的对称性。