易错点02 方程(组)与不等式(组)-备战2021年中考数学一轮复习易错题(原卷版)

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方程（组）与不等式（组）易错点1：运用等式性质2时，注意除数不能为零;解方程(组）的基本思想：消元降次。

易错题1：已知方程组2326x yx y+=⎧⎨+=⎩①②，则x+y的值为…………………………………（）A。

-3 B.0 C。

2 D。

3错解：C正解：D赏析：本题错误的原因是在解方程组的过程中出现了错误，且没有检验就计算x+y。

一般做法是:先用代入法或加减法求得方程组的解,如用代入法:由①得，y＝3－2x③，把③代入②,得x＋2（3－2x）＝6，解得x＝0，把x＝0代入③，得y＝3，∴3xy=⎧⎨=⎩,再求x+y的值。

若将两个方程相加：①＋②，得3x＋3y＝9，再方程两边同除以3，得x＋y＝3,这样可直接求得结果,计算简便且不易出错。

易错点2：解一元二次方程的有关问题时忽略二次项系数不为零的条件，在用韦达定理时忽略△≥0的条件，从而出错。

易错题2：若关于x的一元二次方程ax2＋2(a＋2）x＋a＝0有两个实数根，则实数a的取值范围是___________________.错解：a≥﹣1正解:a≥﹣1且a≠0赏析：错误的原因是忽略了二次项系数a≠0的条件.首先计算判别式△＝[2（a＋2)］2－4a2＝8a＋8，接下来由方程有两个实数根，得△≥0，∴8a＋8≥0，解这个不等式,得a≥﹣1，又∵二次项系数a≠0，∴实数a的取值范围是a≥﹣1且a≠0。

方程（组）与不等式（组） ——2021年中考数学真题专项汇编1.【2021年河北，3】已知a b >，则一定有44a b --，“□”中应填的符号是( ) A.> B.<C.≥D.=2.【2021年重庆，3】不等式2x ≤在数轴上表示正确的是( ) A.B.C.D.3.【2021年天津，7】方程组234x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是( )A. 02x y =⎧⎨=⎩B. 11x y =⎧⎨=⎩C. 22x y =⎧⎨=-⎩D. 33x y =⎧⎨=-⎩4.【2021年河南，7】若方程220x x m -+=没有实数根，则m 的值可以是( )A. -1B. 0C. 1D.5.【2021年福建，6】某市2018年底森林覆盖率为63%.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，那么，符合题意的方程是( ) A.()0.6310.68x +=B.()20.6310.68x += C.()0.63120.68x +=D.()20.63120.68x +=6.【2021年山东临汾，12】某工厂生产A ，B 两种型号的扫地机器人.B 型机器人比A 型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫1002m 所用的时间，A 型机器人比B 型机器人多用40分钟.两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A 型扫地机器人每小时清扫2m x ，根据题意可列方程为( ) A.10010020.53x x =+ B.10021000.53x x +=C.10021003 1.5x x+=D.10010021.53x x =+ 7.【2021年广东，14】若一元二次方程20x bx c ++=（b ,c 为常数）的两根1x ，2x 满足131x -<<-，213x <<，则符合条件的一个方程为________.8.【2021年广东15】若1136x x +=且01x <<，则221x x-=______. 9.【2021年江苏南京，10】设1x ，2x 是关于x 的方程230x x k -+=的两个根，且122x x =，则k =______.10.【2021年山东枣庄，13】已知x ，y 满足方程组43123x y x y +=-⎧⎨+=⎩，则x y +的值为________.11.【2021年陕西，16】解方程：213111x x x --=+-. 12.【2021年河北，21】已知训练场球筐中有A 、B 两种品牌的乒乓球共101个，设A 品牌乒乓球有x 个.(1)淇淇说：“筐里B 品牌球是A 品牌球的两倍.”嘉嘉根据她的说法列出了方程：1012x x -=.请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；(2)据工作人员透露：B 品牌球比A 品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明A 品牌球最多有几个.13.【2021年天津，19】解不等式组43,65 3.x x x +≥⎧⎨≤+⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答. （Ⅰ）解不等式①，得_______________； （Ⅱ）解不等式②，得_______________； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为___________.14.【2021年重庆，23】某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A 产品，乙车间生产B 产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出.已知A 产品的销售单价比B 产品的销售单价高100元，1件A 产品与1件B 产品售价和为500元. （1）A 、B 两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着5G 时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期.今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B 产品的生产车间.预计A 产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加%a ；B 产品产量将在去年的基础上减少%a ，但B 产品的销售单价将提高3%a .则今年A 、B 两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加2925%a .求a 的值.15.【2021年福建，20】某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元.（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%.现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？答案以及解析1.答案：B解析：解：根据不等式的性质，不等式两边同时乘以负数，不等号的方向改变. a b >， 44a b ∴-<-.故选：B. 2.答案：D 3.答案：B 4.答案：D 5.答案：B 6.答案：D 7.答案：240x -= 8.答案：6536- 9.答案：2 10.答案：-211.答案：解：方程两边都乘以()()11x x +-得：()()()27371x x x --=+-， 238131x x x -+-=-， 222183x x x --=--+， 23x -=，12x =-，检验：当82x =-时，()()130x x +-≠，所以15x =-是原方程的解.12.答案：(1)嘉嘉所列方程为1012x x -=， 解得：2333x =，又x 为整数，2333x ∴=不合题意，∴淇淇的说法不正确.(2)设A 品牌乒乓球有x 个，则B 品牌乒乓球有()101x -个， 依题意得：10128x x --≥， 解得：1362x ≤，又x 为整数，x ∴可取的最大值为36.答：A 品牌球最多有36个. 13.答案：（Ⅰ）1x ≥-； （Ⅱ）3x ≤；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示（Ⅳ）13x -≤≤.14.答案：（1）设B 产品的销售单价为x 元，则A 产品的销售单价为()100x +元. 根据题意，得()100500x x ++=. 解这个方程，得200x =. 则100300x +=.答：A 产品的销售单价为300元，B 产品的销售单价为200元.（2）设去年每个车间生产产品的数量为t 件，根据题意，得 ()()()293001%20013%1%5001%25a t a t a t a ⎛⎫+⋅++⋅-=⋅+ ⎪⎝⎭设%a m =，则原方程可化简为250m m -=. 解这个方程，得121,05m m ==（舍去）.20a ∴=.答：a 的值是20.15.答案：（1）设该公司当月零售农产品x 箱，批发农产品y 箱. 依题意，得70404600,100,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得20,80.x y =⎧⎨=⎩所以该公司当月零售农产品20箱，批发农产品80箱.（2）设该公司零售农产品m 箱，获得总利润w 元.则批发农产品的数量为(1000)m -箱， 该公司零售的数量不能多于总数量的30% 300m ∴≤依题意，得7040(1000)3040000,300w m m m m =+-=+≤. 因为300>，所以w 随着m 的增大而增大， 所以300m =时，取得最大值49000元， 此时1000700m -=.所以该公司应零售农产品300箱、批发农产品700箱才能使总利润最大，最大总利润是49000元.。

2021年中考数学暑假重点知识点总结专题二 方程(组)与不等式(组)一、一次方程(组)1、定义定义1：含有未知数的等式叫做方程。

定义2：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是()00ax b a +=≠。

定义3：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

定义4：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程，它的一般形式是()00,0ax by c a b ++=≠≠。

定义5：把两个方程合在一起，就组成了方程组。

定义6：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，这样的方程组叫做二元一次方程组。

定义7：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

定义8：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

2、等式的性质性质1：若a =b ，则a ±c =b ±c 。

等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。

性质2：若a =b ，则ac =bc ；a b c c=(c ≠0)。

等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

3、解一元一次方程的一般步骤①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。

4、解二元一次方程组的方法①代入消元法；②加减消元法。

代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。

这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

5、方程(组)与实际问题解有关方程(组)的实际问题的一般步骤：第1步：审题。

认真读题，分析题中各个量之间的关系。

单元核心考点过关练二 方程(组)与不等式(组)(时间:45分钟 满分:100分)一、选择题(共6小题,每小题4分,满分24分)1.若关于x 的方程2x -m =x -2的解为x =5,则m 的值为 (D )A.-5B.5C.-7D.72.若x -2m >3的解集为x >-1,则m 的值是(B ) A.-1 B.-2 C.1 D.23.关于x ,y 的方程组{x +py =0,x +y =3的解是{x =1,y =▲,其中y 的值被盖住了,不过仍能求出p ,则p 的值是 (C )A .-14B .14C .-12D .12 4.(2022·辽宁盘锦)甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同,已知两人每天共做140个零件.若设甲每天做x 个零件,则所列方程正确的是 (A )A .360x =480140−xB .360140−x =480x C .360x +480x =140D .360x -140=480x 5.(2021·四川广安)关于x 的一元二次方程(a +2)x 2-3x +1=0有实数根,则a 的取值范围是(A )A.a ≤14且a ≠-2B.a ≤14C.a <14且a ≠-2D.a <14 6.(2021·蚌埠联考)如图所示的运算程序,规定:从“输入一个x 值”到“结果是否大于18”为一次程序操作.如果程序操作恰好进行了2次后停止,那么满足条件的所有整数x 的和是 (C )A.21B.26C.30D.35二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)7.已知{x =3−m,y =2m +1,用含有y 的式子表示x 可表示为 x =7−y 2 . 8.若分式方程x−3x−1=m x−1无解,则m = -2 .9.(2022·安庆怀宁调研)设a ,b 是方程x 2+x -2022=0的两个实数根,则a 2+2a +b 的值为 2021 . 10.已知{2x −a >0,3x −4<5是关于x 的一元一次不等式组. (1)若不等式组无解,则a 的取值范围是 a ≥6 ;(2)若不等式组有三个整数解,则a 的取值范围是 -2≤a <0 .【解析】解不等式2x -a >0,得x >a 2;解不等式3x -4<5,得x <3.(1)若不等式组无解,则a 2≥3,解得a ≥6;(2)若不等式组有三个整数解,则-1≤a 2<0,解得-2≤a <0.三、解答题(共5小题,满分56分)11.(8分)解分式方程:2x x−1-31−x =1. 解:去分母,得2x +3=x -1.解得x =-4.检验:当x =-4时,x -1≠0,∴原分式方程的解为x =-4.12.(8分)解方程:2x 2-5x +3=0.解:因式分解,得(2x -3)(x -1)=0.解得x 1=32,x 2=1.13.(8分)(2021·江苏盐城)解不等式组:{3x −1≥x +1,4x −2<x +4.解:{3x −1≥x +1, ①4x −2<x +4, ②解不等式①,得x ≥1.解不等式②,得x <2.∴不等式组的解集为1≤x<2.14.(14分)(2021·山东东营)“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现了水稻亩产量700公斤的目标,第三阶段实现了水稻亩产量1008公斤的目标.(1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同,求亩产量的平均增长率;(2)按照(1)中亩产量增长率,科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤,请通过计算说明他们的目标能否实现.解:(1)设亩产量的平均增长率为x.根据题意,得700(1+x)2=1008,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).答:亩产量的平均增长率为20%.(2)1008×(1+20%)=1209.6(公斤).∵1209.6>1200,∴他们的目标能实现.15.(18分)关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值..解:(1)根据题意,得Δ=(-3)2-4k≥0,解得k≤94(2)由题意得k=2,∴方程为x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2.;当相同的根为x=1时,把x=1代入方程(m-1)x2+x+m-3=0,得m-1+1+m-3=0,解得m=32当相同的根为x=2时,把x=2代入方程(m-1)x2+x+m-3=0,得4(m-1)+2+m-3=0,解得m=1,而m-1≠0,∴不符合题意,舍去.综上所述,m的值为3.2。

易错02方程（组）与不等式（组）易错点一：遇到括号易出错解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。

易错提醒：（1）分数线具有括号的作用，如果分子是一个多项式，应该把它看作一个整体，故去分母后，应该用括号括起来；（2）去括号时需乘多项式的每一项，若括号前面是负号，去括号时项的符号要改变．例1．解方程．(1)()()3278x x x -=--(2)3157123x x ---=【答案】(1)16x =(2)=5x 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．（1）根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可．（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可．【详解】（1）()()3278x x x -=--去括号，得3678x x x-=-+移项，得3876x x x --=-+合并同类项，得61x -=-系数化为1，得16x =（2）3157123x x ---=去分母，得()()3312576x x ---=去括号，得9310146x x --+=移项，得9106314x x -=+-合并同类项，得5x -=-系数化为1，得=5x 例2．下列变形正确的是（）A ．由521335x x -+-=去分母，得5(5)33(21)x x --=+B ．由4(21)2(5)4x x --+=去括号，得842104x x --+=C ．由623x x --=移项，得632x x --=D ．由23x =系数化为1，得23x =【答案】C【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．根据去分母、去括号、移项、未知数的系数化为1的要求逐项分析即可．【详解】A ．由521335x x -+-=去分母，得5(5)453(21)x x --=+，故不正确，不符合题意；B ．由4(21)2(5)4x x --+=去括号，得842104x x ---=，故不正确，不符合题意；C ．由623x x --=移项，得632x x --=，正确，符合题意；D ．由23x =系数化为1，得32x =，故不正确，不符合题意；故选C ．变式1．解方程：(1)()()2125x x x +=+-；(2)321223x x +--=．【答案】(1)7x =(2)=1x -【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键．（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．【详解】（1）解：()()2125x x x +=+-，2225x x x +=+-，2252x x x --=--，7x -=-，7x =．（2）解：321223x x +--=，()()3312221x x +-=-，391242x x +-=-，342912x x -=--+，1x -==1x -．变式2．已知关于x 的方程()3312m x m +--=的解是4x =，求m 的值．【答案】m 的值为5【分析】本题主要考查方程的解，把4x =代入方程解关于m 的方程即可求解，掌握解方程的方法是解题的关键．【详解】解：∵4x =是关于x 的方程()3312m x m +--=的解，∴()33412m m +⨯--=，整理得，392m m +-=，去分母得，1823m m -=+，移项得，2318m m --=-，合并同类项得，315m -=-，系数化为1得，5m =，∴m 的值为5．变式3．（1）解方程：()()3114x x +=-+．（2）下面是小明同学解一元一次方程11124x x +--=的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解：去分母，得()()2114x x +--=．…………………………………第一步去括号，得2214x x +--=．……………………………………………第二步移项，得2421x x -=-+．………………………………………………第三步合并同类项，得3x =．……………………………………………………第四步任务①第一步的依据是________；②第________步开始出现错误，错误的原因是________；③该方程的正确解为________．【答案】（1）32x =-；（2）①等式的基本性质；②二，括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；③1x =【分析】本题考查解一元一次方程．掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．（1）去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可；（2）①根据等式的基本性质作答即可；②第二步，去括号出现错误；③按照步骤正确的求解即可．【详解】解：（1）去括号，得3314x x +=--．移项，得3143x x +=--．合并同类项，得46=-x ．方程两边同除以4，得32x =-．（2）①第一步的依据是等式的基本性质；故答案为：等式的基本性质；②第二步开始出现错误，错误的原因是括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；故答案为：二，括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；③去分母，得()()2114x x +--=．去括号，得2214x x +-+=．移项，得2421x x -=--．合并同类项，得1x =．故答案为：1x =．变式4．下面是佳佳作业中一个问题的解答过程：1223x x +-=-解：()()3122x x +=--①3342x x +=--②3234x x +=--③75x =-④(1)第①步的变形为______（填去分母、去括号、移项或合并同类项）；(2)解方程的过程中开始出现错误的步骤是第______步，请写出该方程正确的求解过程．【答案】(1)去分母(2)②，过程见解析【分析】本题考查了将分式方程化为一元一次方程，去分母、去括号、移项合并同类项：（1）由题可得分式方程变成了一元一次方程，可知这一步是去分母；（2）去括号时，如果括号之前是负数，则括号里的符号均需改变，由此可知②错误；按照正常的求解过程正常解答即可；正确计算是解题的关键．【详解】（1）解：由题可得，第一步为分式方程变成了一元一次方程，∴第①步的变形为去分母，故答案为：去分母；（2）解：解答过程中②出现错误，去括号时出错，括号之前是负数，括号里的符号均需改变，故答案为：②；正确求解过程如下：1223x x +-=-，去分母得：3(1)2(2)x x +=--，去括号得：3342x x +=-+，移项可得：3243x x -=--，解得：7x =-．1．下列方程变形正确的是（）A ．由41x =-得4x =-B ．由530x +=得53x =-C ．由123x x =+得321x x =+D ．由()214x --=得214x --=【答案】B【分析】本题考查了解一元一次方程的方法，根据等式的性质逐项判断即可，熟练掌握等式的性质是解题的关键．【详解】解：A 、41x =-两边同时除以4，可得到14x =-，原变形错误，该选项不符合题意；B 、530x +=两边同时减去3，可得到53x =-，原变形正确，该选项符合题意；C 、123x x =+每项同时乘以6，可得到326x x =+，原变形错误，该选项不符合题意；D 、()214x --=去括号可得224x -+=，原变形错误，该选项不符合题意；故选：B ．2．小琪解关于x 的方程4234x x k ++-=，在进行“去分母”步骤时，等号右边的“2”忘记乘最简公分母，她求得的解为=1x -，则k 的值为（）A ．133B ．2C ．－1D ．－3【答案】A【分析】本题考查了一元一次方程的求解，根据题意得出方程()()4432x x k +-+=，将=1x -代入方程即可求解．【详解】解：由题意得：小琪去分母后得到的方程为：()()4432x x k +-+=，将=1x -代入方程得：()()414312k ⨯-+-⨯-+=，解得：133k =，故选：A ．3．佳佳同学解一元一次方程1211124224x x --+=-的过程如下：解：去分母，得12(21)2(12)x x +-=--，第一步去括号，得142212x x +-=--，第二步移项，得422112x x +=--+，第三步合并同类项，得62x =，第四步系数化为1，得13x =．前四个步骤中，开始出现错误．．的是（）A ．第一步B ．第二步C ．第三步D ．第四步【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，熟记去括号时，括号前面是符号，括号内各项都要改变符号是解本题的关键．【详解】解：1211124224x x --+=-去分母，得12(21)2(12)x x +-=--，第一步去括号，得142212x x +-=-+，第二步∴出现错误在第二步，去括号时，括号前面的负号，去括号后，括号内第二项没有改变符号；故选：B4．下面是小友同学解方程212134x x -+=-的过程如下，请仔细阅读，并解答所提出的问题：解：去分母，得4(21)13(2)x x -=-+，①去括号，得84136x x -=-+，②移项，得83164x x +=++，③合并同类项，得1111x =，④系数化为1，得1x =，⑤(1)该同学的解答过程从第______步开始出错；(2)写出正确的解答过程．【答案】(1)①(2)见解析【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；（1）由去分母漏乘可得该同学的解答过程从第①步开始出错；（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；【详解】（1）解：该同学的解答过程从第①步开始出错（2）解：212134x x -+=-，去分母，得()()4211232x x -=-+，去括号，得841236x x -=--，移项，得831264x x +=-+，合并同类项，得1110x =，系数化为1，得1011x =．5．解方程(1)()310321-=-x x ；(2)311123x x --=-【答案】(1)73x =-(2)1x =【分析】本题考查解一元一次方程，关键是掌握解法步骤．（1）根据去括号、移项、合并同类项、化系数为1的解法步骤求解即可；（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的解法步骤求解即可．【详解】（1）解：去括号，得31063-=-x x 移项、合并同类项，得37x -=化系数为1，得73x =-∴原方程的解为73x =-；（2）解：去分母，得()()331621-=--x x 去括号，得93622-=-+x x 移项、合并同类项，得1111x =，化系数为1，得1x =∴原方程的解为1x =．6．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定22a b b ab =+☆，如：213321315=+⨯⨯=☆．(1)求()25-☆的值；(2)若1382a +⎛⎫= ⎪⎝⎭☆，求a 的值；(3)若12x m =☆，12x n =☆（其中x 为有理数），试比较4m 与n 的大小．【答案】(1)5(2)43a =-(3)4m n=【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，整式的加减计算，解一元一次方程：（1）根据新定义可得()()2255225-=+⨯-⨯☆，据此计算即可；（2）根据新定义可得方程2132382a ++⨯⨯=，解方程即可得到答案；（3）根据新定义求出2x x m +=，244x x n +=，再利用作差法求出4m n -的结果即可得到结论．【详解】（1）解：由题意得()()2255225-=+⨯-⨯☆2520=-5=；（2）解：：由题意得，2132382a ++⨯⨯=，∴()9318a ++=，解得：43a =-；（3）解：根据题意得：2122x x m +⨯=，即2x x m +=，()22212x x n +⨯⋅=，即244x x n+=∴()()2222444444440m n x x x x x x x x -=+-+=+--=，∴4m n =．7．在学习《求解一元一次方程》之后，老师在黑板上出了一道解方程的题，下面是小乐同学的解题过程，请仔细阅读并完成相应的任务．211521346x x x -++-=-解：()()()4213112252x x x --+=-+………………第一步843312104x x x ---=--…………………第二步831012434x x x --=-++………………第三步515x -=……………………………第四步3x =-……………………………第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第一步的变形的依据是；第二步去括号时依据的运算律是；②以上解题过程中从第步开始出现错误，这一步错误的原因是；③请直接写出该方程的正确解：；任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给同学们提一条建议．【答案】任务一：①等式的基本性质；乘法分配律；②三；移项时10x -没有变号；③1x =；任务二：①去分母时要给每一项乘以分母的最小公倍数数，特别是常数项是易错点；②去括号时，如果括号外是“-”号，括号内每一项都要变号；③移项时，注意移动项的符合的变化（不唯一）．【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤以及注意事项是解题的关键．任务一：根据解一元一次方程的基本步骤逐步分析、判定即可解答；任务二：结合解一元一次方程的经验，总结注意事项即可．【详解】解：任务一：①以上解题过程中，第一步的变形的依据是等式的基本性质；第二步去括号时依据的运算律是乘法分配律；②以上解题过程中从第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项时10x -没有变号；由()()()4213112252x x x --+=-+，843312104x x x ---=--，831012434x x x -+=-++，1515x =，1x =③该方程的正确解：1x =；故答案为：①等式的基本性质；乘法分配律；②三；移项时10x -没有变号；③1x =；任务二：解一元一次方程需要注意以下事项：①去分母时要给每一项乘以分母的最小公倍数数，特别是常数项是易错点；②去括号时，如果括号外是“-”号，括号内每一项都要变号；③移项时，注意移动项的符合的变化易错点二：①忽视二次项系数为0;②解方程易失根一、一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a +≠+=，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项二、求解方程过程中需满足等式的性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等易错提醒：（1）不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件；（2）若用到两边同时除以一个多项式时，要考虑多项式为0和多项式不为0两种情况，不然会造成丢根例3．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A ．1k >-B ．1k <C ．1k ≥-且0k ≠D ．1k >-且0k ≠【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的概念；由题意得00k ∆>≠，，求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，∴2(2)4(1)00k k ∆=--⨯->≠，，解得：1k >-且0k ≠；故选：D ．例4．关于方程()()32632x x x +=+的描述，下列说法错误的是（）A ．它是一元二次方程B ．解方程时，方程两边先同时除以()32x +C ．它有两个不相等的实数根D ．用因式分解法解此方程最适宜【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的定义、解法及根的判别式，根据一元二次方程的定义、解法及根的判别式逐一判断即可求解，掌握一元二次方程的定义、解法及根的判别式是解题的关键．【详解】解：A 、方程()()32632x x x +=+整理得为2316120x x --=，故方程是一元二次方程，该说法正确，不合题意；B 、解方程时，方程两边先同时除以()32x +，会漏解，故该说法错误，符合题意；C 、由2316120x x --=得：()()21643124120∆=--⨯⨯-=>，故方程有两个不相等的实数根，该说法正确，不合题意；D 、用因式分解法解此方程最适宜，该说法正确，不合题意；故选：B ．变式1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（）A ．()()213x x x --=B ．20ax bx c ++=C ．2210x x --=D ．22350x x +-=【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的识别，注意掌握判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．【详解】解：A 、由()()213x x x --=可得2243x x x -+=即430x -+=，不是一元二次方程，选项错误；B 、20ax bx c ++=形式是一元二次方程，但二次项系数a 没有标注不等于0，选项错误；C 、2210x x --=符合一元二次方程定义．正确．D 、22350x x +-=含有分式，属于分式方程，选项错误．故选：C ．变式2．若关于x 的一元二次方程2(2)20k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为（）A ．0k ≥B ．0k ≥且2k ≠C ．32k ≥D ．32k ≥且2k ≠【答案】B【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式0∆≥，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式0∆≥，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(2)20k x kx k --+=有实数根，∴()()224280k k k k ∆=---=≥，且20k -≠，解得0k ≥且2k ≠，故选：B变式3．一元二次方程x （x －2）＝2－x 的根是（）A ．－1B ．0C ．1和2D ．－1和2【答案】D【分析】先将原方程整理为x 2﹣x ﹣2=0，再利用十字相乘法进行计算即可.【详解】解：x （x －2）＝2－x ，去括号移项得，x 2﹣2x+x ﹣2=0，合并同类项得，x 2﹣x ﹣2=0，∴（x+1）（x ﹣2）=0解得x 1=﹣1，x 2=2.故选D.【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解此题的关键在于熟练掌握解一元二次方程的各个方法.变式4．选择适当的方法解方程；(1)()()3121x x x -=-(2)()428x x x -=-【答案】(1)122,13x x ==(2)122,2x x ==【分析】本题考查公式法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．（1）用因式分解法解一元二次方程即可；（2）先整理成一般式，再用配方法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：()()3121x x x -=-()()3210x x --=320x -=或10x -=解得：122,13x x ==；（2）解：()428x x x -=-2428x x x-=-2420x x +-=2446x x ++=()226x +=2x +=解得：122,2x x ==．1．下列方程中是一元二次方程的是（）A ．2120x x--=B ．2220x xy y -+=C ．()230x -=D ．2256x x x =-+【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】A ．方程2120x x--=是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B ．方程2220x xy y -+=是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C ．方程()230x -=，是一元二次方程，故本选项符合题意；D ．方程2256x x x =-+是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．故选：C ．2．方程220x x -=的解是（）A ．2x =B ．0x =C ．2x =或1x =D ．2x =或0x =【答案】D【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案．【详解】解：220x x -=∴()20x x -=解得10x =，22x =故选D ．【点睛】本题主要考查用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．3．解一元二次方程()22x x x -=-时，小明得出方程的根是1x =，则被漏掉的一个根是x =．【答案】2【详解】移项得x(x-2)-(x-2)=0，，提取公因式得(x-2)(x-1)=0，所以x-2=0或x-1=0，即x=2或x=1，则被漏掉的一个根是x=2，故答案为2.4．如果方程()22230pp x x ---+=是关于x 的一元二次方程，则P 的值是()A ．2B ．2-C ．2±D ．3【答案】B【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据一元二次方程的定义得出222p -=且20p -≠，再求出p 的值即可．【详解】解： 方程22(2)30pp x x ---+=是关于x 的一元二次方程，222p ∴-=且20p -≠，2p ∴=±且2p ≠，即2p =-．故选：B ．5．一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一个根为0，则m 的值为．【答案】1-【分析】本题考查一元二次方程的定义，方程的解，将0x =代入得出210m -=且10m -≠，求解即可．【详解】解：∵一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一个根为0，∴210m -=且10m -≠，解得1m =-，故答案为：1-．6．解方程：(1)2630x x ++=．(2)2(2)3(2)0x x ++=-．【答案】(1)13x =-，23x =-(2)122,1x x =-=【分析】本题考查了一元二次方程的解法：（1）根据公式法求解一元二次方程；（2）根据因式分解即可求解方程；解题的关键是掌握解一元二次方程的方法．【详解】（1）解：在2630x x ++=中，1,6,3a b c ===，∴243641324b ac ∆=-=-⨯⨯=，根据622b x a --==，可得13x =-，23x =-（2）解：2(2)3(2)0x x ++=-，提取公因式得()()2230x x ++-=，即()()210x x +-=，∴2010x x +=-=或，解得122,1x x =-=．7．已知关于x 的一元二次方程()222110k x k x --+=有两个实数根.(1)求k 的取值范围；(2)若方程两根之和为3-，求k 的值.【答案】(1)14k ≤且0k ≠(2)1k =-【分析】（1）本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义和方程有两个实数根，列式求解即可．（2）本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用12bx x a+=-结合k 的取值范围即可解题．【详解】（1）解：()2222Δ[21]4441441k k k k k k =---=-+-=-+，由题意得0∆≥，即410k -+≥，14k ∴≤，又20k ≠ 即0k ≠，14k ∴≤且0k ≠．（2）解：设该方程两根为1x ，2x ，则12221k x x k +=-，123x x +=- ，2213k k-∴=-，23210k k +-=，解得：113k =，21k =-，由（1）知14k ≤，1k ∴=-，经检验，1k =-是方程2213k k -=-的解且符合题意．易错点三：运用根的判别式时代入错误一、一元二次方程根的判别式:24b ac ∆=-.（1）当240b ac ∆=->时,原方程有两个不等的实数根;（2）当240b ac ∆=-=时,原方程有两个相等的实数根;（3）当240b ac ∆=-<时,原方程没有实数根.二、求根公式：当240b ac -≥时,方程20(0)ax bx c a ++=≠的根为2b x a-=易错提醒：需要将方程化成一般形式后，而且要注意确定a b c 、、前面的性质符号．例5．解方程：213x x -=．【答案】1x =2x =【分析】本题考查求根公式法解一元二次方程，移项，定系数，判断判别式，代入求根公式即可得到答案；【详解】解：原方程变形得，2310x x --=，∴1a =，3b =-，1c =-，∴2(3)41(1)130=--⨯⨯-=>△，∴(3)3212x --==⨯，∴132x =，232x -=；例6．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --++=有两个实数根，则k 的取值范围为．【答案】1k ≤-/1k-≥【分析】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系求参数，求不等式的解集的运用，掌握240b ac ∆=->方程有两个不相等的实根；240b ac ∆=-=方程有两个相等的实根；240b ac ∆=-<方程无实根的判定方法是解题的关键．根据方程有两个实根，可得0∆≥，由此即可求解．【详解】解：∵一元二次方程()222130x k x k --++=有两个实数根，∴()()2221430k k ⎡⎤∆=---+≥⎣⎦，整理得，224844120k k k -+--≥，解得，1k ≤-，故答案为：1k ≤-．变式1．一元二次方程244x x -=的根的情况为（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不等的实数根C ．没有实数根D ．有一个实数根【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=-，则方程没有实数根，据此求解即可．【详解】解：∵244x x -=，∴2440x x --=，∴()()244411616320∆=--⨯-⨯=+=>，∴原方程有两个不相等的实数根，故选：B ．变式2．已知关于x 的一元二次方程2320x x a -+=有两个不相等的实数根．(1)若1a =时，求方程的根；(2)求a 的取值范围．【答案】(1)122,1x x ==(2)98a <【分析】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：熟记“当0∆>时，方程有两个不相等的实数根”；熟练掌握一元二次的解法一公式法．（1）将1a =代入原方程，解之即可求出方程的根．（2）根据方程根的判别式0∆>，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的取值范围；【详解】（1）当1a =时，此时，方程为2320x x -+=，解得：()3,21x --=⨯即122,1x x ==，∴方程的根为122,1x x ==；（2）∵关于x 的一元二次方程2320x x a -+=有两个不相等的实数根，2(3)420,a ∴∆=--⋅>解得98a <，∴a 的取值范围为98a <；变式3．小明在解方程253x x -=-的过程中出现了错误，其解答如下：解：1a = ，=5b -，3c =-，⋯⋯第一步()()224541337b ac ∴-=--⨯⨯-=，⋯⋯第二步52x ∴=，⋯⋯第三步1x ∴=2x =．⋯⋯第四步(1)问：小明的解答是从第______步开始出错的；(2)请写出本题正确的解答．【答案】(1)一；(2)正确的解答见解析．【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．（1）先把方程化为一般式，再确定a 、b 、c 的值，从而可判断小明的解答从第一步开始出错了；（2）方程化为一般式得到1a =，=5b -，3c =，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【详解】（1）小明的解答是从第一步开始出错的，故答案为：一；（2）解：方程化为一般式为2530x x -+=，1a =，=5b -，3c =，()224541313b ac ∴-=--⨯⨯=，52x ∴=，152x ∴=，2x 变式4．求证：无论m 为何值，关于x 的一元二次方程()23210x m x m ----=总有两个不相等的实数根．【答案】见解析【分析】本题考查的是根的判别式，一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）的根与24b ac ∆=-的关系①当0∆>时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ0=时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ0<时，方程无实数根．先根据一元二次方程中a 、b 、c 的值求出∆的值，即可证明．【详解】证明：∵()()234121m m ∆=---⨯⨯--⎡⎤⎣⎦26984m m m =-+++()2112m =++，∴无论m 为何值，∆总大于0，∴无论m 为何值，关于x 的一元二次方程()23210x m x m ----=总有两个不相等的实数根．1．一元二次方程()225x x +=-的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握0∆>，方程有两个不相等的实数根；Δ0=方程有两个相等的实数根；Δ0<方程没有实数根是解题的关键．化成一般形式，计算方程根的判别式，进而判断即可．【详解】解：∵()225x x +=-2445x x x ++=-2390x x ++=∴2243419270b ac ∆=-=-⨯⨯=-<，∴方程无实数根．故选：C ．2．已知，O 的半径为一元二次方程22560x x --=的根，圆心O 到直线l 的距离4d =，则直线l 与O 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定【答案】C【分析】本题考查了解一元二次方程以及直线与圆的位置关系：当r d >，直线与圆相交，当r d =，直线与圆相切，当r d <，直线与圆相离，据此即可作答．【详解】解：∵22560x x --=∴1255044x x ==<故O 的半径为54，∵4d =4<∴直线与圆相离故选：C ．3．对于实数a ，b 定义运算“☆”为2a b a a b =-+☆，例如：24544517=-+=☆，则关于x 的方程()221x x -=-☆的根的情况，下列说法正确的是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【答案】B 【分析】题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式，准确理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．【详解】解：∵()221x x -=-☆，∴方程为()()22221x x x ---+=-，即2690x x -+=，2Δ436360b ac =-=-=，∴有两个相等的实数根，故选：B ．4．已知关于x 的方程()2121m x x ++=有两个实数根，那么m ．【答案】2m >-且1m ≠-【分析】本题考查了一元二次方程根的概念和根的判别式，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与2Δ4c b a =-有如下关系：当Δ0>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．【详解】解：关于x 的方程()2121m x x ++=有两个实数根，∴()104410m m +≠⎧⎨++>⎩，解得：2m >-且1m ≠-，故答案为：2m >-且1m ≠-．5．解方程：21x x +=．【答案】12x x =【分析】利用公式法求解即可．本题考查了解方程，选择适当解方程的方法是解题的关键．【详解】∵21x x +=，∴210x x +-=，()221,1,1,414115a b c b ac ===--=-⨯⨯-=∴x =，解得121122x x --==．6．(1)计算：()0212π122---+-+(2)解方程：27124x x -=【答案】(1) 3.5-+(2)12x =，227x =-【分析】本题主要考查了实数的运算，解一元二次方程，对于（1），根据224=，0(1)1π+==1122-=，22=对于（2），先整理，再求出224(12)47(4)2560b ac -=--⨯⨯-=>，然后根据求根公式求出解即可．【详解】（1）原式14122=--+-+3.5=-+（2）整理，得271240x x --=，由7a =，12b =-，4c =-，∴224(12)47(4)2560b ac -=--⨯⨯-=>，∴121614x ±==，∴12x =，227x =-．7．已知关于x 的一元二次方程221(1)1mm m x mx --+-=.(1)求m 的值；(2)用公式法解这个方程．【答案】(1)3(2)12141x x ==-，【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及公式法解一元二次方程；（1）根据一元二次方程的定义可得10m +≠，2212m m --=，解方程，即可求解；（2）根据公式法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：依题意，10m +≠，2212m m --=，∴2230m m --=，∴()()310m m -+=，∵10m +≠，解得：3m =；（2）解：当3m =时，原方程为24310x x --=，∴4,3,1a b c ==-=-，2491625b ac ∆=-=+=，∴358x ±==，解得：12114x x ==-，．易错点四：忽略检验根的存在分式方程的解法：①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）；③检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。

（易错题精选）初中数学方程与不等式之不等式与不等式组难题汇编及答案一、选择题1 .若关于x 的不等式组［上2, f 10无解，且关于y 的分式方程=2 -二匕有非正 口 6匕.u y +3 y + 3整数解，则符合条件的所有整数k 的值之和为（）A. - 7B. - 12C. - 20D. - 34【答案】B 【解析】 【分析】先根据不等式组无解解出 k 的取值范围，再解分式方程得 y 」^_,根据方程有解和非正fc + 2整数解进行综合考虑 k 的取值，最后把这几个数相加即可. 【详解】• .10+2k>2+k,解得 k> — 8.解分式方程 丝二=2 一 两边同时乘y+3 y+3ky- 6=2 (y+3) - 4y,〃“口12 解得y= ------ .k + 2因为分式方程有斛，. • -------- a 3 ,即k+2w- 4,斛得kw- 6 .fc + 2又•.•分式方程的解是非正整数解，，k+2=- 1, -2, -3, -6, -12.解得 k= — 3, — 4, — 5, —8, — 14. 又「 k> — 8, 「♦k= - 3, —4, —5. 贝［f- 3-4-5= - 12. 故选：B. 【点睛】本题主要考查解不等式组、解分式方程的方法，解决此题的关键是理解不等式组无解的意 义，以及分式方程有解的情况.【答案】D 【解析】•••不等式组x-k<2x - 2k >10 无解,y+3),得2,若旧工在实数范围内有意义，则 x 的取值范围在数轴上表示正确的是（【分析】x+2>0,再解不等式即可.根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得【详解】••・二次根式、,x 2在实数范围内有意义，・•・被开方数x+2为非负数，..・x+2 四，解得：x>2.故答案选D. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.3.若某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内到达，已知他每分钟走90米，若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x分钟，则列出的不等式为()A. 210x 90(18 x) 2100B. 90x 210(18 x) 2100C. 210x 90(18 x) 2.1 D, 210x 90(18 x) 2.1【答案】A【解析】设至少要跑x分钟，根据“1吩钟走的路程》210怵”可得不等式：210x+90(18二) 》2100 故选A.3x 6 04.不等式组的所有整数解的和为()4 2x 0A. 1B. 1C. 2D. 2【答案】D【解析】【分析】求出不等式组的解集，再把所有整数解相加即可. 【详解】3x 6 04 2x 03x 6 0解得x 24 2x 0解得2 x・•.不等式组的解集为2x2・•.不等式组的所有整数解为2, 1,0,1・•.不等式组的所有整数解之和为2 10 1 2故答案为： D ．【点睛】本题考查了解不等式组的问题，掌握解不等式组的方法是解题的关键．5． 若 m n ,则下列不等式中成立的是 （ ）A ． m+a<n+bB ． ma>nbC ． ma 2>na 2D ． a-m<a-n【答案】 D【解析】 【分析】根据不等式的性质判断． 【详解】A. 不等式两边加的数不同，错误；B. 不等式两边乘的数不同，错误；C. 当 a=0 时，错误；D.不等式两边都乘-1,不等号的方向改变，者防口a,不等号的方向不变，正确；故选 D.点睛：不等式的性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘 （或除以）同一个负数，不等号的方向改变.xm06 .关于x 的不等式组恰有五个整数解，那么 m 的取值范围为（）2x 3 3 x 2A ． 2 m 1B ． 2 m 1C ． m 1D ． m 2【答案】 A【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，然后结合有五个整数解，即可求出 m 的取值范围．【详解】解不等式 ① ，得： x m ，解不等式 ② ，得：x 3，・ •.不等式组的解集为：m x 3, ・ . •不等式组恰有五个整数解， ・••整数解分别为:3、2、1、0、1；m 的取值范围为 2 m 1 ；故选： A ．解：xm02x 3 3 x 2本题考查了解不等式组，根据不等式组的整数解求参数的取值范围，解题的关键是正确求 出不等式组的解集，从而求出m 的取值范围.x 1人7,不等式组的解集在数轴上可以表不为（）x 3A.--- B -^B. I ， 1AC.」Hl?-10；0 1【解析】【分析】 分别解不等式组中的每一个不等式，再求解集的公共部分. 【详解】 由-xW I 得x 川， 则不等式组的解集为-KX 3. 故选：B. 【点睛】此题考查在数轴上表示不等式的解集.解题关键是求不等式组的解集，判断数轴的表示方 法，注意数轴的空心、实心的区别.8.如图，用长为40米的铁丝一边靠墙围成两个长方形，墙的长度为米，列出不等式组，求出 x 的取值范围即可.解：设与墙垂直的一边的长为 x 米，根据题意得:40 3x 25，40 3x 30 …10 解得：一wx^53故选：D.D.30米，要使靠墙的边不小于25米，那么与墙垂直的一边的长度 x 的取值范围为（ t*A. 0 米 x 5米B.C. 0米 x —米3D.竺米x3设与墙垂直的一边的长为x 米，根据铁丝长40米，墙的长度30米，靠墙的一边不小于 25U此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列 出不等式组，注意本题要用数形结合思想.2a 5y 1即可.【详解】解：「不等式（a-2）. a 2 0, 2a 5 , ---- 4 , a 2.一 3 解得a 一 ,2.•-2a=3,・•.不等式2a-5y >1整理为3 5y 1 , 一 12 斛得：y 一 .5故选：B. 【点睛】本题考查了含字母系数的不等式的解法，有一定难度，注意不等式两边同乘以（或除以） 同一个负数，不等号的方向改变.10.某种商品的进价为 800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%,则至多可打（）A. 6折B. 7折C. 8折D. 9折【答案】B 【解析】 【详解】9.如果不等式（a2)x 2a 5的解集是 x 4 ,则不等式2a5y 1的解集是（）A. yB.C.2D. y 一5根据不等式的性质得出c 2a 0,——4, 解得a2a=3,再解不等式x> 2a-5的解集是xv 4,设可打x 折，则有1200X--800 >800 X 5%10解得x>7.即最多打7 折．故选B．【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以10．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解．11.已知x=2是不等式x 5 ax 3a 2 0的解，且x=l不是这个不等式的解，则实数a 的取值范围是( )A. a>1B. a<2C. 1<a<2D. 1< a<2【答案】 C【解析】. x=2 是不等式(x-5)(ax-3a+2) ? 0 的解，，(2- 5)(2a- 3a+2)? 0,解得：a? 2,,. x=1不是这个不等式的解，，(1-5)(a-3a+2)>0,解得：a>1,••.1<a?2,故选C.12 ．关于x 的不等式4x 12 的正整数解有( )A．0 个B．1 个C．3 个D．4 个【答案】 C【解析】【分析】先解不等式求出解集，根据解集即可确定答案.【详解】解不等式4x 12 得x 3，，该不等式的正整数解有：1、2、3,故选：C.【点睛】此题考查不等式的正整数解，正确解不等式是解题的关键.x5313 ．不等式组的整数解的个数是( )x 6 4x 3A．2 B．3 C．4 D．5【答案】 C【解析】先分别求出每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集，最后确定整数解的个数即可．x 5 3① x 6 4x 3②‘由①得：x>-2, 由②得：x<3,所以不等式组的解集为：-2<x<3, 整数解为-1, 0, 1, 2,共4个， 故选C. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组的方法以及解集的 确定方法是解题的关键.解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大 小小无解了.2的解集在数轴上表示为2先解不等式组，然后根据不等式组的解集判断即可. 【详解】2x 2① x 2②由①，得x> 1, 由②，得x*Z・,.不等式组的解集为 1vxwz 故选C. 【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握解不等式组是解题的关键.x a, 0 ,15.若关于x 的不等式组的整数解只有3个，则a 的取值范围是（）5 2x 1A. 6Qv7B. 5<a<6C. 4<a<5D. 5<a<6【答案】B 【解析】2x 14.不等式组x()根据解不等式可得，2vxQ,然后根据题意只有3个整数解，可得a的范围.【详解】解不等式x- aWQ得：x<a,解不等式5-2xv1,得：x>2,则不等式组的解集为2vxQ.•••不等式组的整数解只有3个，・•.5Qv6.故选：B．【点睛】本题主要考查不等式的解法，根据题意得出 a 的取值范围是解题的关键.16．如果a b , c 0 ，那么下列不等式成立的是（）A． a c b B．a c b cC．ac 1 bc 1 D．a c 1 b c 1【答案】 D【解析】【分析】根据不等式的性质即可求出答案．【详解】解：c 0 ,c 1 1 ,. a b,..a c 1 b c 1 ,故选：D．【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于中等题型．17,已知实数a（a 0）, b, c满足a b c 0, 2a b 0,则下列判断正确的是（）．2A． c a，b24ac B．c a ，b24acC．c a，b24ac D．c a，b24ac【答案】 A【解析】【分析】由2ab 0,可得b 2a,代入a b c 0可得答案，再由b 2a得至Ub2 4a2,禾U 用已证明的基本不等式 c a ，利用不等式的基本性质可得答案．解：Q 2a b 0,b 2a, b 2 4a 2,Q a b c< 0,a 2a c< 0,c< a,Q a> 0, 4a>0,2一4a >4ac,「2、b >4ac.故选A.【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键.6x + 218 .不等式x- 2> ------- 的解集是（ ）4A. xv - 5B. x>-5C. x> 5D. xv 5 【答案】A【解析】【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得. 【详解】去分母得：4x- 8>6x+2,移项、合并同类项，得：-2x> 10,系数化为1 ,得：x< - 5.故选A.【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其 需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变. 3x 1, 519 .如图，不等式组 2x 1 5根据解一元一次不等式组的步骤：先解第一个不等式，再解第二个不等式，然后在数轴上 表示出两个解集找公共部分即可 .的解集在数轴上表示为（A.C.【详解】3x 1 5 ①由题意可知：不等式组,…，不等式①的解集为x 2,不等式②的解集为2x 1 5 ②2x3,在数轴上表示应为x 3 ,不等式组的解集为故选C.【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，熟知和掌握不等式组解法的步骤和在数轴上表示解集是解题关键.x a 220.如果关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（）x 3a 2A. a<2B. a>2C. a>2D. a<2【答案】D【解析】【分析】由不等式组无解，利用不等式组取解集的方法确定出a的范围即可.【详解】一…… x> a 2……,•,不等式组无解，，a+2>a- 2,解得：a<2x< 3a 2故选D.【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解答本题的关键.。

（易错题精选）初中数学方程与不等式之不等式与不等式组知识点总复习附解析(1)一、选择题1．在数轴上表示不等式x <2的解集，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】 把不等式x ＜2的解集在数轴上表示出来可知答案．【详解】在数轴上表示不等式x ＜2的解集故选：A ．【点睛】本题运用了不等式的解集在数轴上的表示方法，体现了数形结合的数学思想．2．某商品的标价比成本价高%a ，根据市场需要，该商品需降价%b ．为了不亏本，b 应满足（ ）A ．b a ≤B ．100100a b a ≤+C ．100a b a ≤+D ．100100a b a ≤- 【答案】B【解析】【分析】根据最大的降价率即是保证售价大于等于成本价，进而得出不等式即可．【详解】解：设成本为x 元，由题意可得：()()1%1%x a b x +-?，整理得：100100b ab a +?， ∴100100a b a≤+， 故选：B ．【点睛】 此题主要考查了一元一次不等式的应用，得出正确的不等关系是解题关键．3．关于 x 的不等式组21231xx a-⎧<⎪⎨⎪-+>⎩恰好只有 4 个整数解，则 a 的取值范围为（）A．-2≤a＜-1 B．-2＜a≤-1 C．-3≤a＜-2 D．-3＜a≤-2【答案】A【解析】【分析】首先确定不等式组的解集，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【详解】解：21231xx a-⎧<⎪⎨⎪-+>⎩①②解不等式组①，得x<72，解不等式组②，得x>a+1，则不等式组的解集是a+1<x<72，因为不等式组只有4个整数解，则这4个解是0，1，2，3．所以可以得到-1⩽ a+1<0，解得−2≤a＜−1．故选A．【点睛】本题主要考查了一元一次不等组的整数解.正确解出不等式组的解集，确定a+1的范围，是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】先解不等式，根据解集确定数轴的正确表示方法．【详解】解：不等式2x+1＞-3，移项，得2x ＞-1-3，合并，得2x ＞-4，化系数为1，得x ＞-2．故选C ．【点睛】本题考查解一元一次不等式，注意不等式的性质的应用.5．若关于x 的不等式(-1) 1m x m <-的解集为1x >，则m 的取值范围是（ ） A ．1m >B ．1m <C ．1m ≠D ．1m =【答案】B【解析】【分析】根据不等式的基本性质3，两边都除以m-1后得到x ＞1，可知m-1＜0，解之可得．【详解】∵不等式（m-1）x ＜m-1的解集为x ＞1，∴m-1＜0，即m ＜1，故选：B ．【点睛】此题考查不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．6．不等式组13x x -≤⎧⎨<⎩的解集在数轴上可以表示为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】分别解不等式组中的每一个不等式，再求解集的公共部分．【详解】由-x≤1，得x≥-1，则不等式组的解集为-1≤x ＜3．故选：B ．【点睛】此题考查在数轴上表示不等式的解集．解题关键是求不等式组的解集，判断数轴的表示方法，注意数轴的空心、实心的区别．7．如图，用长为40米的铁丝一边靠墙围成两个长方形，墙的长度为30米，要使靠墙的一边不小于25米，那么与墙垂直的一边的长度x 的取值范围为（ ）A ．0米5x <≤米B ．103x ≥米C ．0米103x <≤米 D ．103米5x ≤≤米 【答案】D【解析】【分析】 设与墙垂直的一边的长为x 米，根据铁丝长40米，墙的长度30米，靠墙的一边不小于25米，列出不等式组，求出x 的取值范围即可．【详解】解：设与墙垂直的一边的长为x 米，根据题意得：4032540330x x -≥⎧⎨-≤⎩， 解得：103≤x≤5； 故选：D ．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出不等式组，注意本题要用数形结合思想．8．不等式26x -≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】【分析】先求解出不等式的解集，再表示在数轴上【详解】解不等式：2x-6≥02x≥6x≥3数轴上表示为：故选：B本题考查不等式的求解，需要注意，若不等式两边同时乘除负数，则不等号需要变号9．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＜0，a+2b+c＝0，则（）A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥0【答案】C【解析】【分析】根据a﹣2b+c＜0，a+2b+c＝0，可以得到b与a、c的关系，从而可以判断b的正负和b2﹣ac的正负情况．【详解】∵a﹣2b+c＜0，a+2b+c＝0，∴a+c＝﹣2b，∴a﹣2b+c＝（a+c）﹣2b＝﹣4b＜0，∴b＞0，∴b2﹣ac＝222222a c a ac cac+++⎛⎫-=⎪⎝⎭＝222242a ac c a c-+-⎛⎫= ⎪⎝⎭…，即b＞0，b2﹣ac≥0，故选：C．【点睛】此题考查不等式的性质以及因式分解的应用，解题的关键是明确题意，判断出b和b2-ac 的正负情况．10．不等式组213,151520x xx x-<⎧⎪++⎨-≥⎪⎩的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】分别解不等式求出不等式组的解集，由此得到答案.【详解】解213x x -<得x>-1， 解1510520x x ++-≥得3x ≤， ∴不等式组的解集是13x -<≤，故选：D.【点睛】此题考查解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确解每个不等式是解题的关键.11．不等式组10235x x +≤⎧⎨+<⎩的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 先分别解不等式，得到不等式组的解集，再在数轴上表示解集.【详解】因为，不等式组10235x x +≤⎧⎨+<⎩的解集是：x≤-1, 所以，不等式组的解集在数轴上表示为故选C【点睛】本题考核知识点：解不等式组.解题关键点：解不等式.12．根据不等式的性质，下列变形正确的是（ ）A ．由a ＞b 得ac 2＞bc 2B ．由ac 2＞bc 2得a ＞bC ．由–12a ＞2得a<2 D ．由2x+1＞x 得x<–1 【答案】B【分析】根据不等式的性质，逐一判定即可得出答案.【详解】解：A 、a ＞b ，c=0时，ac 2=bc 2，故A 错误；B 、不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故B 正确；C 、不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，而且式子右边没乘以﹣2，故C 错误；D 、不等式两边同时加或减同一个整式，不等号的方向不变，故D 错误.故选：B.【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练应用不等式的性质进行推断是解题的关键.13．不等式组354x x ≤⎧⎨+>⎩的最小整数解为（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．2 【答案】B【解析】【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解求最小值.【详解】解：354x x ≤⎧⎨+>⎩①② 解①得x≤3，解②得x ＞-1．则不等式组的解集是-1＜x≤3．∴不等式组整数解是0，1，2，3，最小值是0．故选：B.【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定x 的范围是本题的关键．14．若m －n ＞0，则下列各式中一定正确的是（ ）A ．m ＞nB ．mn ＞0C ．0m n <D ．－m ＞－n【答案】A【解析】∵m －n ＞0，∴m ＞n （不等式的基本性质1）.故选A.15．如果关于x的分式方程有负数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．﹣2 B．0 C．1 D．3【答案】B【解析】【分析】解关于y的不等式组，结合解集无解，确定a的范围，再由分式方程有负数解，且a为整数，即可确定符合条件的所有整数a的值，最后求所有符合条件的值之和即可．【详解】由关于y的不等式组，可整理得∵该不等式组解集无解，∴2a+4≥﹣2即a≥﹣3又∵得x＝而关于x的分式方程有负数解∴a﹣4＜0∴a＜4于是﹣3≤a＜4，且a为整数∴a＝﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3则符合条件的所有整数a的和为0．故选B．【点睛】本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．16．已知4＜m＜5，则关于x的不等式组420x mx-<⎧⎨-<⎩的整数解共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】先求解不等式组得到关于m 的不等式解集，再根据m 的取值范围即可判定整数解．【详解】不等式组0420x m x -<⎧⎨-<⎩①② 由①得x ＜m ；由②得x ＞2；∵m 的取值范围是4＜m ＜5，∴不等式组0420x m x -<⎧⎨-<⎩的整数解有：3，4两个． 故选B ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，用到的知识点是一元一次不等式组的解法，m 的取值范围是本题的关键．17．下列不等式变形正确的是（ ）A ．由a b >，得22a b -<-B ．由a b >，得22a b -<-C ．由a b >，得a b >D ．由a b >，得22a b > 【答案】B【解析】【分析】根据不等式的基本性质结合特殊值法逐项判断即可．【详解】解：A 、由a ＞b ，不等式两边同时减去2可得a-2＞b-2，故此选项错误；B 、由a ＞b ，不等式两边同时乘以-2可得-2a ＜-2b ，故此选项正确；C 、当a ＞b ＞0时，才有|a|＞|b|；当0＞a ＞b 时，有|a|＜|b|，故此选项错误；D 、由a ＞b ，得a 2＞b 2错误，例如：1＞-2，有12＜（-2）2，故此选项错误．故选：B ．【点睛】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．18．若m ＞n ，则下列不等式正确的是（ ）A ．m ﹣2＜n ﹣2B ．44m n >C ．6m ＜6nD ．﹣8m ＞﹣8n【答案】B【分析】将原不等式两边分别都减2、都除以4、都乘以6、都乘以﹣8，根据不等式得基本性质逐一判断即可得．【详解】A 、将m ＞n 两边都减2得：m ﹣2＞n ﹣2，此选项错误；B 、将m ＞n 两边都除以4得：m n 44> ，此选项正确； C 、将m ＞n 两边都乘以6得：6m ＞6n ，此选项错误； D 、将m ＞n 两边都乘以﹣8，得：﹣8m ＜﹣8n ，此选项错误，故选B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握握不等式的基本性质，尤其是性质不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．19．已知不等式组2010x x -⎧⎨+≥⎩＜，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】分别解不等式组中的每一个不等式，确定出各不等式解集的公共部分，进而在数轴上表示出来即可．【详解】2010x x -⎧⎨+≥⎩＜①②， 解①得：x<2，解②得：x≥-1，故不等式组的解集为：-1≤x<2，故解集在数轴上表示为：．故选D.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握解题方法以及解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键．20．若关于x 的不等式组21x x a <⎧⎨>-⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤-B ．3a <-C ．3a >D ．3a ≥ 【答案】D【解析】【分析】利用不等式组取解集的方法：大大小小找不到即可得到a 的范围．【详解】 ∵关于x 的不等式组21x x a <⎧⎨>-⎩无解， ∴a-1≥2,∴a ≥3.故选:D.【点睛】考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．。

专题二 方程（组）与不等式（组）【易错分析】易错点1：运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为O 的情况，不考虑除数易导致选项出错.易错点2：运用不等式的性质３时，容易忘记变号导致结果出错.易错点3：关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数导致出错.易错点4：关于一元一次不等式组有解无解的条件易忽视相等的情况.易错点5：解分式方程时易忘记检验，导致运算结果出错.易错点6: 关于换元法及整体代入的题目易忽视整体的非负性或整体是否有解导致结论出错.【考点闯关】好题1.已知mx =my ,下列结论错误的是 （ ）A . x =yB . a +mx =a +myC ．mx －y =my －yD ． ππmy mx = 解析：考查了等式性质的应用，题中A 的变形是在已知等式两边同时除以m ，而m 是否为零不明确，所以A 的结论是错误的.答案：A好题2. 解方程（3+x ）2=3（3+x ）解析：此题若两边同除以（3+x ），得：x +3=3，∴x =0，这时就漏解（3+x ）=0, 答案：移项，得：（3+x ）2－3（3+x ）=0（3+x ）（3+x －3）=0（3+x ）x =0∴x =－3或0好题3．若b a <，则下列各式中一定成立的是（ ）A ．11-<-b aB ．33b a >C ． b a -<-D ． bc ac < 解析：考查了不等式的性质，特别要注意运用不等式的性质3时，不等式两边同乘以或除以一个负数，不等号的方向要改变.答案：A好题4．已知关于x 的二次方程（1－2K ）x 2－201=-x k 有实数根，则K 的取值范围是解析：此题有两处易错，一是：忽视二次项系数1－2K ≠0，二是：有实数根是ac b 42-≥0，而不是ac b 42-＞0. 答案：2110≠≤≤k k 且 好题5. 如果一元一次不等式组3x x a >⎧⎨>⎩的解集为3x >.则a 的取值范围是: （ ） A .3a > B .3≥a C .3≤a D .3πa解析:利用同大取大可以得到a <3易忽视a =3时解集也为3x >这种情况，导致错选D 答案：C好题6. 若不等式组0,122x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，则a 的取值范围是( ) A .a ＞－1． B .a ≥－1． C .a ≤1． D .a ＜1．解析：同上题一样，学生在考虑有解无解题目时，弄不清什么时候该带等号什么时候不该带等号导致出错.答案：A好题7.已知关于x 的不等式组0521x a x -⎧⎨->⎩≥，只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ．解析：学生考虑本题往往只考虑整数，不考虑区间值，相当然认为2-=a 导致出错. 答案：32a -<-≤好题8.解方程x x-=-22482 解析：解分式方程时易忘记检验，导致结论出错.答案：两边同时乘以（4－x 2）并整理得8=2（2+x ），解之得x =2经检验x =2是增根，原方程无解.好题9．已知5)3)(1(2222=-+++y x y x , 则22y x +的值等于解析：学生解题时易直接换元令a y x =+22，解得42=-=a a 或然后直接填答案，易忽视a 不能为负数这个隐含条件.答案：4。

中考数学方程(组)与不等式（组）复习知识点总结一、方程【知识梳理】1、知识结构方程分式方程的应用分式方程的解法分式方程的概念分式方程的关系根的判别式，根与系数一元二次方程的解法念一元二次方程的有关概一元二次方程二元一次方程组的应用二元一次方程组的解法二元一次方程组一元一次方程的应用一元一次方程的解法一元一次方程整式方程2、知识扫描(1)只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程。

(2)含有2个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1次，这样的方程叫二元一次方程.(3)含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.(4)二元一次方程组的解法有法和法.(5)只含有1 个未知数，并且未知数的最高次数是2且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为)0(02a cbx ax。

(6)解一元二次方程的方法有：①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法例：（1）042x（2）0342x x（3）4722x x （4）0232x x(7)一元二次方程的根的判别式：ac b42叫做一元二次方程的根的判别式。

对于一元二次方程)0(02a cbx ax当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根；反之也成立。

(8)一元二次方程的根与系数的关系：如果)0(02acbx ax的两个根是21,x x 那么ab x x 21，ac x x 21(9)一元二次方程)0(02a cbx ax的求根公式：)04(2422ac baacb bx(10)分母中含有未知数的方程叫分式方程.(11)解分式方程的基本思想是将分式方程通过去分母转化为整式方程.◆解分式方程的步骤◆1、去分母，化分式方程为整式方程；◆2、解这个整式方程；◆3、验根。

注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母．(2)因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程必须检验，检验是解分式方程必要的步骤．二、不等式【知识梳理】1、知识结构解法性质概念不等式2、知识扫描(1) 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为 0 的不等式，叫做一元一次不等式。

易错点02 方程（组）与不等式（组）1．一次方程（组）及其应用2．分式方程及其应用3．一元二次方程及其应用4．一次不等式（组）及其应用01各种方程（组）的解法要熟练掌握，方程（组）无解的意义是找不到等式成立的条件。

1．解方程组：．【答案】解：，由①得y＝2x﹣3③，把③代入②，得7x﹣3（2x﹣3）＝20，解得x＝11，把x＝11代入③，得y＝19，所以方程组的解为．【解析】由方程组中的第一个方程可得y＝2x﹣3，再利用代入消元法求解即可．1．已知关于x的方程+m+x＝3有一个实数根是x＝1，试求m的值．【答案】解：把x＝1代入方程有：+m+1＝3，＝2﹣m，两边同时平方得：m﹣2＝4﹣4m+m2，m2﹣5m+6＝0，（m﹣2）（m﹣3）＝0，m1＝2，m2＝3，由题意得：，∴，∴m＝2，经检验：m＝2是方程+m+1＝3的解，m＝3不符合题意，要舍去．综上，m＝2．【解析】先把方程的根代入方程，可以求出字母系数m值，然后根据无理方程中二次根式的双重非负性列不等式，得m＝2．2．已知方程组与有相同的解，求m和n值．【解析】两个方程组的解相同，也就是有一组x、y的值是这四个方程的公共解，当然也是其中任意两个方程的公共解，所以可以把原来的方程组打乱，重新组合起来求解．【答案】解：由已知可得，解得，把代入剩下的两个方程组成的方程组，得，解得m＝﹣1，n＝﹣4．3．已知，关于x、y二元一次方程组的解满足方程2x﹣y＝13，求a的值．【答案】解：由题意可得，解得，将代入2x﹣3y＝7a﹣9，得10+9＝7a﹣9，解得a＝4．【解析】根据题意组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a的方程中，解关于a 的方程即可得出a的值．4．若方程＝x﹣2m有一个根x＝1，求m的值及方程的其他的根．【答案】解：∵x＝1是方程＝x﹣2m的一个根，∴＝1﹣2m，∴m2﹣2m＝0，解得m＝0或m＝2，（1）当m＝0时，左边＝＝1，右边＝1∵左边＝右边∴m＝0是方程＝1﹣2m的解．（2）当m＝2时，左边＝＝3，右边＝1﹣2×2＝﹣3，∵左边≠右边，∴m＝2不是方程＝1﹣2m的解，把m＝0代入原方程得：＝x，x≥0，∴原方程有无数个解．【解析】首先根据x＝1是方程＝x﹣2m的一个根，把x＝1代入方程＝x﹣2m，然后根据二元一次方程的求解方法，求出实数m的值是多少即可，最后代入原方程解方程即可．02运用不等式的性质３时，容易忘记改不变号的方向而导致结果出错。

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中考常错易错题第一讲数与式、方程与不等式（组）明确目标﹒定位考点中考定位实数、二次根式，最简二次根式、同类二次根式；代数式、整式;整式的混合运算;乘法公式；因式分解.一元一次方程、二元一次方程组和一元二次方程的解法及应用；不等式及不等式组的解法及其不等式的应用。

一元一次方程、二元一次方程组和一元二次方程的解法及应用;不等式及不等式组的解法及其不等式的应用的相关错题及常错题。

归纳总结﹒思维升华1、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。

2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a｜≥0。

零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数,若｜a｜=a，则a≥0；若｜a|=—a，则a≤0。

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

2、科学记数法和近似数1、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字.2、科学记数法把一个数写做n a 10⨯±的形式，其中101<≤a ,n 是整数,这种记数法叫做科学记数法。