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一、一元二次方程1. 定义•等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一般形式为：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。
2. 解法•配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程。
步骤包括：移项、除二次项系数、配方、开平方。
•公式法：利用一元二次方程的求根公式x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)（当b² - 4ac ≥ 0时）求解。
•因式分解法：将方程的一边化为0，另一边分解为两个一次因式的积，从而转化为求解两个一元一次方程。
3. 根与系数的关系•若一元二次方程x² + px + q = 0的两个根为x₁和x₂，则有：x₁ + x₂ = -p，x₁x₂ = q。
二、实际问题与一元二次方程1. 应用步骤•审：读懂题目，弄清题意，明确已知量和未知量以及它们之间的等量关系。
•设：设出未知数。
•列：列出方程，这是关键步骤，需找出能够表达应用题全部含义的相等关系，并列出含有未知数的等式。
•解：解方程，求出未知数的值。
•验：检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。
•答：写出答案。
2. 常见类型•数字问题：如三个连续整数、连续偶数（奇数）的表示。
•增长率问题：设初始量为a，终止量为b，平均增长率或降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a(1±x)² = b。
•利润问题：常用关系式有总利润=总销售价-总成本，或总利润=单位利润×总销售量，或利润=成本×利润率。
•图形的面积问题：根据图形的面积与图形的边等高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。
三、二次函数1. 定义•一般地，形如y = ax² + bx + c（a, b, c是常数，a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。
2. 性质•抛物线的开口方向由a的符号决定：a > 0时，开口向上；a < 0时，开口向下。
最新人教版九年级数学上册知识点总结全套数学上册知识点总结21.1 一元二次方程知识点一：一元二次方程的定义一元二次方程是指等号两边都是只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程。
注意以下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。
知识点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax2+ bx + c = 0(a≠0)。
其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
知识点三：一元二次方程的根一元二次方程的根是指使方程左右两边相等的未知数的值。
方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
21.2 降次——解一元二次方程21.2.1 配方法知识点一：直接开平方法解一元二次方程1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a，x2=a。
2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。
3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二：配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：①把常数项移到等号的右边；②方程两边都除以二次项系数；③方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；④若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
21.2.2 公式法知识点一：公式法解一元二次方程一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=b±b2-4ac2a，这个公式叫做一元二次方程的求根公式。
新人教版九年级数学上册知识点归纳
一. 整式的加减法和乘法
- 整式的加减法
- 同类项的加减法原则
- 不同类项的加减法原则
- 整式的乘法
- 单项式乘法
- 多项式乘法
二. 因式分解与整式的乘法
- 因式分解
- 公因式提取法
- 平方差公式
- 立方差公式
- 和差化积公式
- 整式的乘法
- 定积分法
- 化简法
三. 一次函数与二次函数
- 一次函数
- 函数的概念和表示方法
- 函数的图象
- 函数的性质和应用
- 二次函数
- 函数的概念和表示方法
- 函数的图象
- 函数的性质和应用
四. 几何图形的认识
- 点、线和面的基本概念
- 几何图形的分类
- 几何图形的性质和判定方法
五. 平面坐标系
- 平面直角坐标系
- 平面直角坐标系中的点及其坐标- 平面直角坐标系中的线段及其长度- 平面直角坐标系中的图形
六. 相交与平行线
- 直线的概念和表示方法
- 直线的性质和判定方法
- 直线间的位置关系
- 平行线判定的方法
七. 形状与变换
- 图形的相似关系和判定方法
- 图形的全等关系和判定方法
- 图形的对称关系和判定方法
- 图形的平移、旋转和翻转
八. 数据的收集和处理
- 数据的收集和整理方法
- 数据的图表表示
- 数据的统计分析
以上是新人教版九年级数学上册的知识点归纳，包括整式的加减法和乘法、因式分解与整式的乘法、一次函数与二次函数、几何
图形的认识、平面坐标系、相交与平行线、形状与变换，以及数据的收集和处理。
九年级数学（上）知识点（２）被开方数中不含有开得尽方的整数或整式。
３、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
７、二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，在合并同类二次根式，合并同类二次根式与合并同类项类似，将同类二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变。
注意：二次根式加减混合运算的实质就是合并同类二次根式，不是同类二次根式不能合并。
８、二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。
在运算过程中，有理数（式）中的运算率及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用。
９、比较两数大小的常用方法：（１）平方法：若ａ＞０，ｂ＞０，且ａ²＞ｂ²，则ａ＞ｂ；（２）把跟号外的非负因式移到根号内，然后比较被开方数的大小。
第二十二章一元二次根式一．知识框二.知识概念１.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程．2 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax +bx+c=0（a≠0）．2这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．２.一元二次方程的解法：2（1）运用开平方法解形如（x+m） =n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．２（2）配方法：将一元二次方程变形为(x+p) =q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q ＜0,方程无实根．2 2（3）公式法：将方程化为一般形式ax +bx+c=0，当b -4ac≥0时，将a、b、c代入式子第二十三章旋转一.知识框架二．知识概念 1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。
人教版九年级上册数学知识点一、集合与不等式1. 集合的概念集合是由一些确定的元素构成的整体。
用大写字母A、B、C等表示集合，元素用小写字母a、b、c等表示。
2. 集合的运算（1）交集运算：集合A与集合B的交集，表示为A∩B，表示同时属于A和B的元素组成的集合。
（2）并集运算：集合A与集合B的并集，表示为A∪B，表示属于A或B的元素组成的集合。
（3）差集运算：集合A与集合B的差集，表示为A-B或A\B，表示属于A但不属于B的元素组成的集合。
（4）补集运算：集合A相对于全集U的补集，表示为A'或A^c，表示不属于A的元素组成的集合。
3. 不等式不等式是含有不等号的数学陈述。
常见的不等号有大于号（>）、大于等于号（≥）、小于号（<）和小于等于号（≤）。
二、平面图形的认识1. 点、线、线段和射线的概念（1）点：空间中没有长度、宽度和高度的位置，用大写字母表示。
（2）线段：由两个端点以及连接两个端点的线段本身组成。
（3）射线：起点为给定点的一条直线，并且从起点向某个方向延伸，用带箭头的线段表示。
2. 平面图形的分类（1）三角形：由三条线段组成的图形。
（2）四边形：由四条线段组成的图形。
（3）多边形：由多条线段组成的图形。
3. 常见平面图形的性质（1）正方形：四条边相等且都垂直。
（2）长方形：相邻两条边相等且都垂直。
（3）平行四边形：对边平行且对边相等。
三、整式与分式1. 代数式与整式（1）代数式：用字母和数字相结合表示数的式子。
（2）整式：只含有字母、数字和运算符的代数式。
2. 分式分式是包含分子和分母的算式，分式的值一般是一个有理数。
四、分数的计算1. 分数运算（1）分数的加减运算：先找到两个分数的公共分母，然后将分子相加（或相减），再将结果的分子写在分数线上。
（2）分数的乘法运算：将两个分数的分子相乘，分母相乘。
（3）分数的除法运算：先将除数与被除数的分子和分母交换位置，再按照分数的乘法运算进行计算即可。
人教版九年级数学上册知识点人教版九年级数学上册知识点概述一、实数与代数表达式1. 实数的概念与性质- 正实数、负实数、零- 实数的四则运算- 实数的大小比较2. 代数表达式的运算- 整式的加法与减法- 乘法分配律- 幂的乘方与积的乘方- 单项式与多项式的乘法- 多项式的因式分解3. 二次根式的运算- 二次根式的定义- 二次根式的乘法与除法- 二次根式的加法与减法- 完全平方公式与平方差公式二、方程与不等式1. 一元一次方程与不等式- 方程的解法- 含绝对值的一元一次方程- 一元一次不等式的解集2. 二元一次方程组- 代入法与消元法- 方程组的解的情况3. 一元二次方程- 一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）- 一元二次方程根的判别式三、平面图形的性质1. 平行线与角- 平行线的判定与性质- 同位角、内错角、同旁内角- 角的平分线2. 三角形的性质- 三角形的内角和外角- 等腰三角形与等边三角形的性质- 三角形的中位线定理3. 特殊三角形- 直角三角形的性质与勾股定理- 直角三角形的判定- 含30°角的直角三角形的性质4. 平行四边形与圆- 平行四边形的性质与判定- 圆的基本性质- 圆周角与圆心角的关系- 扇形与弧长四、空间图形的性质1. 空间图形的观察- 视图的画法- 空间图形的展开图2. 空间图形的测量- 体积的计算- 表面积的计算五、统计与概率1. 统计- 数据的收集与整理- 频数与频率- 统计图表的绘制与解读2. 概率- 随机事件的概率- 概率的计算- 用树状图法解决简单的概率问题以上是人教版九年级数学上册的主要知识点概述。
这些知识点构成了九年级数学课程的核心内容，学生需要掌握这些概念、公式和解题方法，以便在数学学习中取得良好的成绩。
教师和家长应指导学生通过练习和应用这些知识点，加深理解和记忆，提高解题能力。
最新版人教版九年级数学全册知识点第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2) 且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为2的形式，ax +bx+c=0(a≠0)则这个方程就为一元二次方程．（ 4）将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0 时，应满足（ a≠0）21.2降次——解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法：用直接开平方法解形如(x- m)2=n (n ≥0) 的方程，其解为x=± m.直接开平方法就是平方的逆运算. 通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。
这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。
1.转化：将此一元二次方程化为 ax^2+bx+c=0 的形式 ( 即一元二次方程的一般形式）2.系数化 1：将二次项系数化为 13.移项：将常数项移到等号右侧4.配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式6.开方：左右同时开平方7.求解：整理即可得到原方程的根3、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△的值代入求根公式x=(b2- 4ac≥0) 就可得到方程的根。
=b2-4ac的值，当b2- 4ac≥0时，把各项系数a, b, c因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
人教版九年级上册数学知识点总结
九年级上册知识点
二次根式知识点
考点1、无理数
无限不循环的小数，叫做无理数。
常见的无理数：
1、π以及π的有理数倍数。
2、、、；
3、2．…………
考点2、二次根式的概念
形如（a≥）的式子叫做二次根式。
1、被开放数a是一个非负数；
2、二次根式是一个非负数，即≥；
3、有限个二次根式的和等于，则每个二次根式的被开方数必须是0.
考点3、移因式于根号内、外的方法
移因式于根号外
1、当根号外的数是一个负数时，把负号留在根号外，然后把这个数平方后移到根号内
2、当根号内的数是一个正数时，直接把这个数平方后移到根号内
移因式于根号内
1、当根号内的数是正数时直接开方移到根号外
2、当根号内的数是负数时开方移到根号外后要添上负号
考点4、最简二次根式
知识回顾：
满意下列前提的二次根式，叫做最简二次根式：
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
知识特点：
1、最简二次根式中一定不含有分母；
n2、对于数大概代数式，它们不能在写成a×m的方式。
考点5、二次根式的化简与计算
二次根式的化简，实际上就是把二次根式化成最简二次根式，然后，通过合并同类二次根式的方法进行二次根式的加减运算。
二次根式的加减运算：a
二次根式的乘法运算：.
+b
=
=（a+b），（m≥）；
，( a≥0, b≥0)；
二次根式的除法运算：÷=，( a≥0, b＞0)；
二次根式的乘方运算：=a，( a≥0)；
二次根式的开方运算：=
考点6、
1、不同点：
XXX的平方，而
与
与
的异同点
表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平
透露表现一个实数a的平方的算术平方根；
时，=；时，2、不异点：当被开方数都长短负数，即
无意义，而
一元二次方程
考点1、一元二次方程
1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：
十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中，它的特征是：等式左边
叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
考点二、一元二次方程的解法
1、直接开平方法:
使用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的办法叫做直接开平办法。
直接
开平办法适用于解形如
是b的平方根，当
方程没有实数根。
2、配办法:
配方法的理论根据是完全平方公式
做未知数x，并用x代替，则有。
，把公式中的a看
时，
的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，
，，当b<0时，
配办法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，末了配成完全平方公式
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方
法。
一元二次方程的求根公式：
公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一
次项的系数为b，常数项的系数为c
4、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，
是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式
5、XXX定理
利用XXX定理去了解，XXX定理就是在一元二次方程中，，
利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用
考点三、一元二次方程根的判别式
根的判别式
一元二次方程中，
的根的判别式，通常用“
I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；
III当△<0时，一元二次方程没有实数根
考点四、一元二次方程根与系数的关系
如果方程的两个实数根是，那么
叫做一元二次方程
”来表示，即
，。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
扭转
把一个图形绕着某一点O滚动一个角度的图形变换叫做扭转，点O叫做扭转中央，滚动的角叫做扭转角．
1．对应点到旋转中心的距离相等；
2．对应点与扭转中央所连线段的夹角等于扭转角；
3．扭转前、后的图形全等及其它们的使用．
中心对称的两条基本性质：
1．关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，•而且被对称中心所平分；2．关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用．
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x，y）关于原点O的对称点P′（-x，-y）．
圆
常识点1圆的有关概念
（1）圆心和半径：圆心确定位置，半径确定大小。
等圆或同圆的半径都相等。
（2）弦：圆上随便两点之间的线段。
直径是圆中最长的弦。
（3）弧：圆上任意两点之间的部分。
完全重合的弧叫做等弧（强调度数相等且长度相等）（4）三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。
（5）经过不在同一条直线上的三个点唯一确定一个圆。
常识点2圆的有关性质
（1）圆是中心对称图形，也是轴对称图形。
(2)弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。
(3)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，也平分弦所对的优弧和劣弧。
(4)圆周角的性质：①同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半
②直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
知识点3与圆有关的位置关系
（1）点与圆的位置关系：圆的半径为r ,点到圆心的距离为d
①点在圆内②点在圆上内③点在圆外
（2）直线与圆的位置关系圆的半径为r ,直线到圆的距离为d
①直线与圆相交点在圆内
离点在圆内
②两圆外切③两圆相
⑤两圆内含
②直线与圆相切点在圆内③直线与圆相（1）圆与圆的位置关系①两圆外离
交④两圆内切
（2）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
（3）切线的判定：经过半径的外端点且垂直于该半径的直线是圆的切线。
（4）切线长定义：从圆外一点作圆的切线，该点到切点的距离叫切线长。
（5）切线长定理：从圆外一点作出圆的两条切线，它们的切线长相等，且该点到圆心的连线平分两切线的夹角。
（6）三角形的内心：是三个角的平分线的交点，它到三边的距离相等。
知识点4圆中的计算
（1）弧长公式：
（2）扇形面积：
（3）圆锥的侧面积：
或
（ｒ指底面圆的半径，l指母线长）
概率初步
1.随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的几率为1，即P（必然事件）=1；
②不大概事件发生的几率为，即P（不大概事件）=0；
③假如A为不确定事件（随机事件），那么＜P（A）＜1．
2.列举法和树状法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．。
