冀教版八年级数学下册教案教学设计22.2 第1课时 平行四边形的判定定理1

22.2.2平行四边形的判定教案-2022-2023学年冀教版八年级下册数学教学目标：1. 了解平行四边形定义和性质。

2. 能够判断图形是否为平行四边形。

3. 能够运用平行四边形的性质解决简单的几何问题。

教学重难点：重点：平行四边形的定义和性质、平行四边形的判定。

难点：分析、解决几何问题。

教学过程：一、导入新课（10分钟）1. 教师出示两个平行四边形，让学生总结这些图形有哪些共同的性质。

2. 引导学生通过观察和思考，引出平行四边形的定义和基本性质。

二、讲解平行四边形的定义和基本性质（20分钟）1. 定义：平行四边形是有四个边两两平行的四边形。

2. 性质：（1）对角线互相平分。

（2）相邻角互补，对角线上的角互补。

（3）对边平行，对边相等。

（4）任意两边之和大于第三边。

三、判定平行四边形（25分钟）1. 给出若干个四边形，让学生判断哪些是平行四边形，哪些不是平行四边形，并解释原因。

2. 在判断的过程中，引导学生尝试使用平行四边形的性质。

四、解决几何问题（25分钟）1. 给出一些问题，让学生运用平行四边形的性质来解决问题。

2. 教师进行点拨指导，鼓励学生发表自己的想法和意见。

五、课堂小结（5分钟）教师对本节课的重点和难点进行总结，并强调平行四边形的定义、性质、判定和应用。

教具准备：1. 平行四边形的示意图。

2. PPT或黑板、白板等教具。

评价：1. 学生熟练掌握了平行四边形的定义、性质和判定方法。

2. 有些学生在解决几何问题时还存在一定的困难，并需要进一步加强练习。

3. 学生在对问题的分析和解决中体现了一定的思维能力，但还需要加强训练。

冀教版数学八年级下册22.2《平行四边形的判定》教学设计1一. 教材分析冀教版数学八年级下册22.2《平行四边形的判定》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握平行四边形的判定方法。

通过本节课的学习，使学生能运用平行四边形的判定方法解决实际问题，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了平行线的性质，四边形的分类等基础知识，具备一定的观察、操作、探究能力。

但对于平行四边形的判定方法，学生可能存在理解上的困难，需要通过实例分析，加深对知识点的理解。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平行四边形的判定方法，能运用平行四边形的判定方法解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、探究等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：平行四边形的判定方法。

2.难点：如何灵活运用平行四边形的判定方法解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生发现问题，提出假设，验证结论。

2.启发式教学法：教师提问，学生思考，共同探讨，解决问题。

3.合作学习法：学生分组讨论，共同完成任务，培养团队协作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示平行四边形的判定方法及相关实例。

2.学生活动材料：准备相关图形，供学生观察、操作。

3.教学视频：搜集相关生活实例视频，用于引导学生思考。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活实例视频，引导学生观察并提出问题：“这些实例中，哪些是平行四边形？如何判断一个四边形是平行四边形呢？”从而引出本节课的主题——平行四边形的判定。

2.呈现（10分钟）教师通过课件，呈现平行四边形的判定方法，引导学生观察、思考，并总结出判定平行四边形的条件。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，根据平行四边形的判定方法，判断给定的四边形是否为平行四边形。

第二十二章 四边形22.2 平行四边形的判定第1课时教学目标1.理解一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；2.掌握平行四边形的判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定方法进行推理论证.教学重难点重点：理解一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；难点：掌握平行四边形的判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定方法进行推理论证.教学过程旧知回顾 1.平行四边形定义是什么？ 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.请你简述平行四边形的性质. ⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎩中心对称图形对边平行且相等平行四边形对角相等、邻角互补对角线互相平分导入新课思考：怎样判定一个四边形是平行四边形？ 思考方向：从平行四边形的边、角、对角线. 今天我们先从边和角的角度来探讨一下. 探究新知 平行四边形的判定（一）判定方法1：定义定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形→两组对边分别平行（性质）平行四边形←两组对边分别平行（判定）平行四边形的判定方法1符号语言：∵AB ∥CD 且AD ∥BC （已知），∴四边形ABCD 是平行四边形（平行四边形的定义）.（二）判定方法2：平行四边形的判定定理1.一起探究教学反思A DB C小明用下列方法得到一个四边形ABCD . 画两条互相平行的直线，在这两条直线上分别截取线段AB ＝CD ，连接AD ，BC ，得四边形ABCD .问题：（1）将线段AB 沿BC 方向平行移动，线段AB与CD 能不能重合？你认为这样得到的四边形ABCD 是不是平行四边形？（2）由此，你发现了什么结果？与大家交流. 学生自学：独立思考提出猜想，努力给出证明过程. 教师指点：（利用平行四边形的定义）猜测：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 已知：AB ∥CD ， AB＝CD . 求证：四边形ABCD 是平行四边形. 证明：如图，连接BD . ∵ AB ∥CD，∴ ∠ABD ＝∠CDB . ∵ AB ＝CD，BD ＝DB ， ∴ △ABD ≌△CDB . ∴ ∠ADB ＝∠CBD ，∴ AD ∥BC .∴ 四边形ABCD 是平行四边形 . 总结：平行四边形的判定定理： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 几何语言： ∵ AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴ 四边形ABCD 是平行四边形. 教师强调：是同一组对边平行且相等. 思考：一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形吗？ 如图，一组对边AB ∥CD ，另一组对边AC 与BD 相等，但是四边形ABCD 不是平行四边形，是等腰梯形！ 2.例题讲解 例1 已知：如图所示，在ABCD 中，E 为BA 延长线上一点，F 为DC 延长线上一点，且AE ＝CF ，连接BF ，DE . 求证：四边形BFDE 是平行四边形. 教师指点，学生分析：利用一组对边平行且相等（BE ∥CF 且BE ＝ 教学反思CF ）.证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥CD ，AB ＝CD . 又∵ AE ＝CF ，∴ BE ＝BA +AE ＝DC +CF ＝DF ，且BE ∥DF ， ∴ 四边形BFDE 是平行四边形.例2 求证：平行线间的距离处处相等.已知：如图，EF ∥MN ，A ，B 为直线EF 上任意两点，AD ⊥MN ，垂足为D ，BC ⊥MN ，垂足为C .求证：AD ＝BC .教师指点，学生分析：可证明四边形ABCD 为平行四边形.证明：∵ AD ⊥MN ，BC ⊥MN ，∴ AD ∥BC . 又∵ EF ∥MN ，∴ 四边形ADCB 是平行四边形. ∴ AD ＝BC .此题的几何语言：∵ EF ∥MN ，AD ⊥MN ，BC ⊥MN ， ∴ AD ＝BC .（三）判定方法3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形， 思考：两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？ 学生自主完成解答过程.已知：如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D .求证：四边形ABCD 是平行四边形.证明：∵ ∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ，∠A +∠B +∠C +∠D ＝360°，∴ ∠A +∠B ＝180°， ∠ AD ∥BC . 同理，AB ∥CD .∴ 四边形ABCD 是平行四边形. 归纳总结一、平行四边形的判定方法1.两组对边分别__________的四边形是平行四边形.2.一组对边______________的四边形是平行四边形.3.两组对角分别__________的四边形是平行四边形. 二、平行线间的距离________. （四）随堂训练1.下列条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（ D ） A.一组对边相等 B.一组对边平行 C.两条对角线相等 D.两组对角分别相等教学反思ABCD∴∠AEB＝∠CFD，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF.由AE⊥BD，CF⊥BD得AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形.课堂小结一、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.二、平行线间的距离处处相等.布置作业完成教材第125页习题A组.板书设计第二十二章四边形22.2平行四边形的判定第1课时⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形平行四边形的判定补充：两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行线间的距离处处相等教学反思第二十二章四边形22.2平行四边形的判定第2课时教学目标1.通过探索，掌握平行四边形的判定定理2，判定定理3；2.掌握平行四边形的判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定方法进行推理论证.教学重难点重点：掌握平行四边形的判定定理2，判定定理3；难点：掌握平行四边形的判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定方法进行推理论证.教学过程旧知回顾回忆上一节所学的判定平行四边形的方法（1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；（定义）（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（判定定理）（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形.（拓展）导入新课继续猜想：对角线满足什么条件的四边形也是平行四边形呢？探究新知平行四边形的判定定理2与判定定理3（一）观察与思考小亮和小芳分别按下列方法得到了各自的四边形.小亮的做法：用4根木条搭成如图所示的四边形，其中AB＝CD，AC＝BD.小芳的做法：画两条直线相交于点O，截取OA＝OC，OB＝OD;连接AB，BC，CD，DA，得到四边形ABCD.问题：（1）小亮和小芳的做法各自满足怎样的条件?（2）观察：你认为他们得到的四边形是平行四边形吗?（3）提出你的猜想，并试着说明理由.教学反思（二）探索新知猜想1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC . 求证：四边形ABCD 是平行四边形. 证明：如图，连接AC .在△ABC 和△CDA 中，AB CDBC DAAC CA ⎧⎪⎨⎪⎩＝（已知），＝（已知），＝（公共边）， ∴ △ABC ≌△CDA （SSS ）， ∴ ∠1＝∠2， ∠3＝∠4， ∴ AB ∥DC ，AD ∥BC ， ∴ 四边形ABCD 是平行四边形. 猜想2：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O 且OA ＝OC ，OB ＝OD. 求证：四边形ABCD 是平行四边形. 证明：在△AOB 和△COD 中，OA OC AOB COD OB OD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝，＝，＝，∴ △AOB ≌△COD ， ∴ ∠ABO ＝∠CDO ， ∴ AB ∥CD. 同理AD ∥BC. ∴ 四边形ABCD 是平行四边形（平行四边形的定义）. 你还有其他解法吗？试一试. 解法2：证明：在△AOB 和△COD 中， OA OC AOB COD OB OD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝，＝，＝，∴ △AOB ≌△COD ， ∴ ∠ABO ＝∠CDO ，AB ＝CD ， ∴ AB ∥CD ， ∴ 四边形ABCD 是平行四边形. （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 归纳小结 平行四边形的判定定理2： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 符号语言： ∵ AB ＝CD ，AD ＝BC （已知）， ∴ 四边形ABCD 是平行四边形. 平行四边形的判定定理3： 教学反思（2）（32.如图，AB ＝DC ＝EF ，AD ＝BC ，DE ＝CF ，图中有哪些互相平行的线段？解：图中互相平行的线段有：AB ∥DC ∥EF ，AD ∥BC ，DE ∥CF . 理由如下：∵ AB ＝DC ，AD ＝BC ，∴ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥BC ，AB ∥DC. ∵ DC ＝EF ，DE ＝CF ，∴ 四边形CDEF 是平行四边形， ∴ DC ∥EF ，DE ∥CF .3.已知：如图，ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 上的点，且AE ＝CG ，BF ＝DH.求证：四边形EFGH 是平行四边形.证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ ∠B ＝∠D ，AB ＝CD. ∵ AE ＝CG ， ∴ BE ＝DG . ∵ BF ＝DH ，∴ △BEF ≌△DGH ， ∴ EF ＝HG.同理可证△AEH ≌△CGF ， ∴ EH ＝FG.∴ 四边形EFGH 为平行四边形.课堂练习1.判断对错：（1）有一组对边平行的四边形是平行四边形.（ ）（2）有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定教学反思是平行四边形.（ ）（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形. （ ）（4）一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形. （ ） （5）有一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形. （ ）2.如图，四边形ABCD 的对角线交于点O ，下列哪组条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形（ ）A.OA ＝OC ，OB ＝ODB.AB ＝CD ，AO ＝COC.AB ＝CD ，AD ＝BCD.∠BAD ＝∠BCD ，AB ∥CD3.如图，AB ，CD 相交于点O ，AC ∥DB ，AO ＝BO ，E ，F 分别是OC ，OD 的中点．求证：（1）△AOC ≌△BOD ；（2）四边形AFBE 是平行四边形.参考答案1.× × √ × √2.B3.证明：（1）∵ AC ∥BD ，∴ ∠C ＝∠D . 又∵ ∠COA ＝∠DOB ，AO ＝BO ， ∴ △AOC ≌△BOD （AAS ）.（2）∵ △AOC ≌△BOD ，∴ CO ＝DO .∵ E ，F 分别是OC ，OD 的中点，∴ EO ＝FO . 又∵ AO ＝BO ，∴ 四边形AFBE 是平行四边形.课堂小结平行四边形的判定方法： 从边的角度：定义判定定理1 判定定理2 从对角线角度：判定定理3 从角的角度：拓展.布置作业完成教材第128页习题A 组.板书设计第二十二章 四边形 22.2 平行四边形的判定教学反思第2课时123⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形平行四边形的判定拓展：两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形数学冀教版版八年级上教案12。

平行四边形的判定【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法。

2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题。

3．通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力。

【教学重难点】1．重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法。

2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用。

【教学过程】一、课堂引入取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC，AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？结论：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

二、习题分析1．已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是AD，BC的中点，求证：BE=DF。

分析：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单。

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AD ∵CB ，AD =CD 。

∵E 、F 分别是AD ，BC 的中点，∵DE ∵BF ，且DE =21AD ，BF =21BC 。

∵DE =BF 。

∵四边形BEDF 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形平行四边形)。

∵BE =DF 。

此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此应使学生获得清晰的证明思路。

2．已知：如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AC 上两点，且BE ∵AC 于E ，DF ∵AC 于F 。

求证：四边形BEDF 是平行四边形。

分析：因为BE ∵AC 于E ，DF ∵AC 于F ，所以BE ∵DF 。

需再证明BE =DF ，这需要证明∵ABE 与∵CDF 全等，由角角边即可。

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AB =CD ，且AB ∵CD 。

22.2平行四边形的判断第 1 课时平行四边形的判判定理11．掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判断方法； (要点 )2．平行四边形性质定理与判判定理的综合应用． (难点 )一、情境导入我们已经知道，假如一个四边形是平行四边形，那么它就拥有以下的一些性质：1．两组对边分别平行且相等；2．两组对角分别相等；3．两条对角线相互均分．那么，如何判断一个四边形是不是平行四边形呢？自然，我们可以依据平行四边形的原始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判断．那么能否存在其余的判断方法呢？二、合作研究研究点一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形已知，如图 E、F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点， AF ＝ CE，DF ＝ BE，DF ∥ BE，四边形ABCD 是平行四边形吗？请说明原由．分析：首先依据条件证明△ AFD ≌△ CEB，可获取AD ＝ CB，∠DAF ＝∠ BCE，可证出AD∥ CB，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出结论．解：四边形 ABCD 是平行四边形，证明：∵DF ∥ BE，∴∠ AFD ＝∠ CEB ，又∵ AF ＝CE、DF ＝ BE，∴△ AFD ≌△ CEB (SAS)，∴AD ＝ CB，∠ DAF ＝∠ BCE，∴ AD ∥ CB，∴四边形 ABCD 是平行四边形．方法总结：此题主要观察了平行四边形的判断，以及三角形全等的判断与性质，解题的要点是依据条件证出三角形全等．研究点二：平行四边形的判判定理与性质的综合应用【种类一】利用性质与判断证明如图，已知四边形ABCD 是平行四边形， BE⊥ AC 于点 E， DF ⊥ AC 于点 F .(1)求证：△ ABE≌△ CDF ；(2)连接 BF 、DE ，试判断四边形 BFDE是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．分析：(1)依据“AAS”可证出△ABE≌△ CDF；(2)首先根据△ABE≌△ CDF 得出 AE＝ FC ，BE＝ DF ，再利用已知得出△ ADE ≌△ BCF ，从而得出DE ＝ BF，即可得出四边形BFDE 是平行四边形．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD， AB∥CD.∴∠BAC＝∠DCA .∵ BE⊥ AC 于 E， DF ⊥AC 于 F，∴∠AEB ＝∠ DFC ＝ 90° .在△ ABE 和△ CDF∠DFC ＝∠ BEA，中，∠FCD＝∠EAB，∴ △ ABE≌ △AB＝ CD，CDF (AAS) ；(2)解：四边形BFDE 是平行四边形，原由以下：∵△ ABE ≌△ CDF ，∴ AE＝ FC ，BE ＝DF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ， AD∥ CB.∴∠ DAC ＝∠ BCA.在△ ADE 和△ CBF 中，AD ＝ BC，∠DAE ＝∠ BCF，∴△ ADE≌△ CBF ，AE＝ FC，∴DE ＝ BF，∴四边形 BFDE 是平行四边形．方法总结：平行四边形对边相等，对角相等，对角线相互均分及它的判断，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角分别置于一个四边形的对边或对角的地址上，经过证明四边形是平行四边形达到上述目的．【种类二】利用性质与判断计算如图，已知六边形 ABCDEF 的六个内角均为 120°，且 CD ＝ 2cm，BC＝8cm，AB ＝8cm， AF ＝5cm.试求此六边形的周长．分析：由∠ A＝∠ B＝∠C＝∠D＝∠E ＝∠ F＝120°，联想到它们的邻补角 (即外角 )为等边三角形．事实上，设BC、ED的延长线交于点N，则△ DCN 为等边三角形．由∠E ＝ 120°，∠N＝ 60°，可知 EF∥ BN.同理可知ED ∥ AB，于是从平行四边形下手，找出解题思路．解：延长 ED 、 BC 交于点 N ，延长 EF 、BA 交于点 M.∵∠ EDC＝∠ BCD ＝120°，∴∠NDC ＝∠ NCD ＝ 60° .∴∠ N＝60° . 同理，∠ M＝ 60° .∴△ DCN 、△ FMA 均为等边三角形．∴∠ E＋∠ N＝ 180° .同理∠E＋∠ M＝ 180° .∴ EM∥BN ，EN∥ MB.∴四边形 EMBN 是平行四边形．∴ BN＝ EM ，MB ＝ EN.∵CD＝ 2cm，BC＝ 8cm，AB＝ 8cm，AF ＝ 5cm ，∴ CN＝ DN ＝ 2cm ， AM ＝ FM ＝5cm.∴ BN＝ EM ＝ 8＋ 2 ＝ 10(cm) ， MB ＝ EN ＝8＋ 5＝ 13(cm) ．∴ EF＋ FA＋ AB＋ BC＋ CD ＋DE ＝ EF＋ FM ＋ AB＋ BC＋ DN＋ DE ＝ EM ＋AB＋ BC＋ EN＝ 10＋ 8＋ 8＋ 13＝ 39(cm) ，∴此六边形的周长为 39cm.方法总结：解此题的要点是作辅助线，将“ 不规则” 的六边形变为“ 规则” 的平行四边形，从而利用平行四边形的知识来解决．三、板书设计一组对边平行且相等的四边形是平行四边形本节课，学习了平行四边形的两种判断方法，对整个课堂的学习过程进行反思，可以促进理解，提升认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环 .均为 60°，假如可以构成三角形的话，则必。

22.2 平行四边形的判定教学设计思想：为了加深学生对平行四边形的认识，充分调动学生的学习兴趣，激发学生的探索欲望，本课不仅让学生观察，还动手实际操作，然后老师设置问题，引导学生积极思考，讨论交流，大胆说理，充分发挥学生的主体作用。

老师根据学生情况适当点拨，给予指导，辅助学生探究。

教学目标：知识与技能：熟记平行四边形的判定条件，并会在解题过程中灵活应用；会根据简单的条件画出平行四边形，并说明画图的依据是什么；能说出平行四边形的性质与判定在应用时前提条件的差别。

过程与方法：经历平行四边形判定条件的探究过程，并能灵活运用平行四边形的3个判定条件；学会探究的方法，发展说理的基本技能。

情感态度价值观：通过学习，体会几何证明的方法美。

教学重难点：重点：探究平行四边形的识别条件，能灵活应用难点：掌握平行四边形的性质和判定的区别及熟练应用教学方法：启发探索、讨论分析法课时安排：1课时教具准备：多媒体或小黑板，常用画图工具学具准备：三角板，四根长度相等的小木棒教学过程一、复习引入上节课我们已经知道了平行四边形的边、角及对角线所具有的性质，请同学们回忆一下都有哪些？学生口答，老师板书.反过来，如果已经给出一个任意的四边形，我们能否利用平行四边形的边、角、对角线的特性来判断它是不是一个平行四边形呢？这节课我们就来一起研究一下（板书课题）二、观察与思考1、利用定义：两组对边分别平行→ 平行四边形探究：从平行四边形的性质定理1 可知，平行四边形的对边相等，那么反之是否成立呢？已知，四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC.求证：四边形ABCD为平行四边形.证明： AB//CD， AD//BC平行四边形判定定理1：如果一个四边形的两组对边分别相等,那么这个四边形是平行四边形简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形探究：两组对边分别平行，两组对边分别相等都可证明一个四边形是平行四边形，那么一组对边即平行又相等能否得到一个四边形是平行四边形呢？已知，四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD.求证：四边形ABCD为平行四边形.平行四边形判定定理2：如果一个四边形的一组对边平行且相等,那么这个四边形是平行四边形.简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.注：平行和相等的是同一组对边三、范例讲解已知：如图，□ABCD 中，E、F分别是边AB、CD的中点. 求证：四边形EBFD为平行四边形.四、课堂小结我们一起回忆一下平行四边形的识别办法都有哪些？在今后解决平行四边形问题时要尽可能地运用平行四边形的相应定理，不要总是依赖于全等三角形，否则不利于掌握新的知识．五、板书设计。

JJ 冀教版 八年级数学 下册第二学期春 教学设计 教案 第二十二章 四边形第二十二章 四边形22.1 平行四边形的性质第1课时 平行四边形的性质定理11．理解平行四边形的概念；(重点)2．掌握平行四边形边、角的性质；(重点)3．利用平行四边形边、角的性质解决问题．(难点)一、情境导入如图，平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称图形呢？它又具有哪些基本性质呢？二、合作探究探究点一：平行四边形的定义如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD 是平行四边形．解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC ＝∠ACB ，根据平行线的判定推出AD ∥BC ，AB ∥CD ，根据平行四边形的定义推出即可．证明：∵∠1＋∠B ＋∠ACB ＝180°，∠2＋∠D ＋∠CAD ＝180°，∠B ＝∠D ，∠1＝∠2，∴∠DAC ＝∠ACB ，∴AD ∥BC .∵∠1＝∠2，∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．方法总结：平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．探究点二：平行四边形的边、角特征【类型一】 利用平行四边形的性质求边长如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．解析：∵四边形ADEF为平行四边形，∴DE＝AF＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB ＝∠FEB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF.∴AD＝BF，∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.方法总结：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．【类型二】利用平行四边形的性质求角如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度数为()A．35°B．55°C．25°D．30°解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝125°，∴∠B＝55°.∵CE⊥AB于E，∴∠BEC＝90°，∴∠BCE＝90°－55°＝35°.故选A.方法总结：平行四边形对角相等，邻角互补，并且已知一个角或已知两个邻角的关系，可求出其他角，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．【类型三】利用平行四边形的性质证明有关结论如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP.求证：FP＝EP.解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC＝∠GCB，根据等腰三角形性质求出∠DGC ＝∠DCG，推出∠DCG＝∠GCB，根据“等角的补角相等”求出∠DCP＝∠FCP，根据“SAS”证出△PCF≌△PCE即可得出结论．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB.∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG，∴∠DCG＝∠GCB.∵∠DCG＋∠ECP＝180°，∠GCB＋∠FCP＝180°，∴∠ECP＝∠FCP.在△PCF和△PCE中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CF＝CE，∠FCP＝∠ECP，CP＝CP，∴△PCF≌△PCE(SAS)，∴PF＝PE.方法总结：平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等常综合应用，利用平行四边形的性质可以解决一些相等的问题，在证明时应用较多．【类型四】判断直线的位置关系如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2AD ，M 为AB 的中点，连接DM 、MC ，试问直线DM 和MC 有何位置关系？请证明．解析：由AB ＝2AD ，M 是AB 的中点的位置关系，可得出DM 、CM 分别是∠ADC 与∠BCD 的平分线．又由平行线的性质可得∠ADC ＋∠BCD ＝180°，进而可得出DM 与MC 的位置关系．解：DM 与MC 互相垂直．证明如下：∵M 是AB 的中点，∴AB ＝2AM .又∵AB ＝2AD ，∴AM ＝AD ，∴∠ADM ＝∠AMD .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠AMD ＝∠MDC ，∴∠ADM ＝∠MDC ，则∠MDC ＝12∠ADC ，同理∠MCD ＝12∠BCD .∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＋∠DCB ＝180°，∴∠MDC ＋∠MCD ＝12∠BCD ＋12∠ADC ＝90°.∵∠MDC ＋∠MCD ＋∠DMC ＝180°，∴∠DMC ＝90°，∴DM 与MC 互相垂直．方法总结：根据平行四边形的性质，将已知条件转化到同一个三角形中，即可判断两条直线的关系．探究点三：两平行线间的距离如图，已知l 1∥l 2，点E ，F 在l 1上，点G ，H 在l 2上，试说明△EGO 与△FHO 面积相等．解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．证明：∵l 1∥l 2，∴点E ，F 到l 2之间的距离都相等，设为h .∴S △EGH ＝12GH ·h ，S △FGH ＝12GH ·h ，∴S △EGH ＝S △FGH ，∴S △EGH －S △GOH ＝S △FGH －S △GOH ，∴△EGO 的面积等于△FHO 的面积．方法总结：根据两平行线间的距离可知，夹在两条平行线间的任何平行线段都相等，而后可推出两三角形同底等高，面积相等．三、板书设计1．平行四边形的定义2．平行四边形的边、角特征3．两平行线间的距离学生通过观看多媒体课件的演示和动手操作的过程，得出并掌握平行四边形的性质，效果比较好．例题能够引导学生用不同的方法去解决问题并加以变式练习，使教师能根据学生的掌握情况及时解决学生在练习的过程中发现问题，并通过投影指出错误，规范说理过程，极大提高课堂效率．JJ 冀教版 八年级数学 下册第二学期春 教学设计 教案 第二十二章 四边形第2课时 平行四边形的性质定理21．掌握平行四边形对角线互相平分的性质；(重点)2．利用平行四边形对角线互相平分解决有关问题．(难点)一、情境导入如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 为对角线，BC ＝6，BC 边上的高为4，你能算出图中阴影部分的面积吗？二、合作探究探究点一：平行四边形的对角线互相平分【类型一】 利用平行四边形对角线互相平分求线段已知▱ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△DOA 的周长长5cm ，求这个平行四边形各边的长．解析：平行四边形周长为60cm ，即相邻两边之和为30cm.△AOB 的周长比△DOA 的周长长5cm ，而AO 为共用，OB ＝OD ，因而由题可知AB 比AD 长5cm ，进一步解答即可．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，AB ＝CD ，AD ＝BC .∵△AOB 的周长比△DOA 的周长长5cm ，∴AB －AD ＝5cm ，又∵▱ABCD 的周长为60cm ，∴AB ＋AD ＝30cm ，则AB ＝CD ＝352cm ，AD ＝BC ＝252cm. 方法总结：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．【类型二】 利用平行四边形对角线互相平分证明线段或角相等如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F .求证：OE ＝OF .解析：根据平行四边形的性质得出OD ＝OB ，DC ∥AB ，推出∠FDO ＝∠EBO ，证出△DFO ≌△BEO 即可．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD ＝OB ，DC ∥AB ，∴∠FDO ＝∠EBO .在△DFO和△BEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∠FOD ＝∠EOB ，∴△DFO ≌△BEO (ASA)，∴OE ＝OF .方法总结：利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质．【类型三】 判断直线的位置关系如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 交于O 点，点E 、F 分别是AO 、CO 的中点，试判断线段BE 、DF 的关系并证明你的结论．解析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA ＝OC ，OB ＝OD .利用中点的意义得出OE ＝OF ，从而利用△FOD ≌△EOB 可得出BE ＝DF ，BE ∥DF .解：BE ＝DF ，BE ∥DF .理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点，∴OE ＝OF ，又∵∠FOD ＝∠EOB ，∴△FOD ≌△EOB (SAS)，∴BE ＝DF ，∠ODF ＝∠OBE ，∴BE ∥DF .方法总结：在解决平行四边形的问题时，如果有对角线的条件时，则首选对角线互相平分的方法解决问题．探究点二：平行四边形的面积在▱ABCD 中，(1)如图①，O 为对角线BD 、AC 的交点．求证：S △ABO ＝S △CBO ；(2)如图②，设P 为对角线BD 上任一点(点P 与点B 、D 不重合)，S △ABP 与S △CBP 仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．解析：(1)根据“平行四边形的对角线互相平分”可得AO ＝CO ，再根据等底等高的三角形的面积相等解答；(2)根据平行四边形的性质可得点A 、C 到BD 的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等解答．(1)证明：在▱ABCD 中，AO ＝CO .设点B 到AC 的距离为h ，则S △ABO ＝12AO ·h ，S △CBO ＝12CO ·h ，∴S △ABO ＝S △CBO ； (2)解：S △ABP ＝S △CBP .理由如下：在▱ABCD 中，点A 、C 到BD 的距离相等，设为h ，则S △ABP ＝12BP ·h ，S △CBP ＝12BP ·h ，∴S △ABP ＝S △CBP . 方法总结：平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形．另外，等底等高的三角形的面积相等．三、板书设计1．平行四边形对角线互相平分2．平行四边形的面积通过分组讨论学习和自主探究，加强了学生在教学过程中的实践活动，也使学生之间的合作意识增强，与同学交流学习的气氛更浓厚，从而加深了同学之间的友谊和师生之间的教学和谐，使得教学过程更加流畅，教学相长．22.2 平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定定理11．掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法；(重点)2．平行四边形性质定理与判定定理的综合应用．(难点)一、情境导入我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就具有如下的一些性质：1．两组对边分别平行且相等；2．两组对角分别相等；3．两条对角线互相平分．那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法呢？二、合作探究探究点一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形已知，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．解析：首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，可证出AD∥CB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出结论．解：四边形ABCD是平行四边形，证明：∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB，又∵AF＝CE、DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．方法总结：此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出三角形全等．探究点二：平行四边形的判定定理与性质的综合应用【类型一】利用性质与判定证明如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)连接BF、DE，试判断四边形BFDE是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．解析：(1)根据“AAS”可证出△ABE≌△CDF；(2)首先根据△ABE≌△CDF得出AE＝FC，BE＝DF，再利用已知得出△ADE≌△BCF，进而得出DE＝BF，即可得出四边形BFDE 是平行四边形．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAC＝∠DCA.∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB＝∠DFC＝90°.在△ABE和△CDF中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DFC＝∠BEA，∠FCD＝∠EAB，AB＝CD，∴△ABE≌△CDF(AAS)；(2)解：四边形BFDE是平行四边形，理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴AE＝FC，BE＝DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB.∴∠DAC＝∠BCA.在△ADE和△CBF中，⎩⎪⎨⎪⎧AD＝BC，∠DAE＝∠BCF，AE＝FC，∴△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形．方法总结：平行四边形对边相等，对角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．【类型二】利用性质与判定计算如图，已知六边形ABCDEF的六个内角均为120°，且CD＝2cm，BC＝8cm，AB ＝8cm，AF＝5cm.试求此六边形的周长．解析：由∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°，联想到它们的邻补角(即外角)均为60°，如果能够组成三角形的话，则必为等边三角形．事实上，设BC、ED的延长线交于点N，则△DCN为等边三角形．由∠E＝120°，∠N＝60°，可知EF∥BN.同理可知ED∥AB，于是从平行四边形入手，找出解题思路．解：延长ED、BC交于点N，延长EF、BA交于点M.∵∠EDC＝∠BCD＝120°，∴∠NDC＝∠NCD＝60°.∴∠N＝60°.同理，∠M＝60°.∴△DCN、△FMA均为等边三角形．∴∠E＋∠N＝180°.同理∠E＋∠M＝180°.∴EM∥BN，EN∥MB.∴四边形EMBN是平行四边形．∴BN＝EM，MB＝EN.∵CD＝2cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF＝5cm，∴CN ＝DN＝2cm，AM＝FM＝5cm.∴BN＝EM＝8＋2＝10(cm)，MB＝EN＝8＋5＝13(cm)．∴EF ＋F A＋AB＋BC＋CD＋DE＝EF＋FM＋AB＋BC＋DN＋DE＝EM＋AB＋BC＋EN＝10＋8＋8＋13＝39(cm)，∴此六边形的周长为39cm.方法总结：解此题的关键是作辅助线，将“不规则”的六边形变成“规则”的平行四边形，从而利用平行四边形的知识来解决．三、板书设计一组对边平行且相等的四边形是平行四边形本节课，学习了平行四边形的两种判定方法，对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环.第2课时平行四边形的判定定理2、31．掌握平行四边形的判定定理；(重点)2．综合运用平行四边形的性质与判定解决问题．(难点)一、情境导入我们已经学习了哪些平行四边形的判定方法？平行四边形的对角线互相平分的逆命题是什么？是否是真命题．是否存在其他的判定方法？二、合作探究探究点一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．解析：根据题意，利用全等可证明AD＝FE，DF＝AE，从而可判断四边形DAEF为平行四边形．解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF(SAS)，∴AC＝DF＝AE.同理可证△ABC ≌△EFC ，∴AB ＝EF ＝AD ，∴四边形DAEF 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．方法总结：利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，证明边相等，可通过证明三角形全等解决．探究点二：对角线相互平分的四边形是平行四边形如图，AB 、CD 相交于点O ，AC ∥DB ，AO ＝BO ，E 、F 分别是OC 、OD 的中点．求证：(1)△AOC ≌△BOD ；(2)四边形AFBE 是平行四边形．解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC ≌△BOD ；(2)此题已知AO ＝BO ，要证四边形AFBE 是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE ＝OF 即可．证明：(1)∵AC ∥BD ，∴∠C ＝∠D .在△AOC 和△BOD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠D ，∠COA ＝∠DOB ，AO ＝BO ，∴△AOC ≌△BOD (AAS)；(2)∵△AOC ≌△BOD ，∴CO ＝DO .∵E 、F 分别是OC 、OD 的中点，∴OF ＝12OD ，OE ＝12OC ，∴EO ＝FO .又∵AO ＝BO ，∴四边形AFBE 是平行四边形． 方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．探究点三：平行四边形的判定定理的应用【类型一】 利用平行四边形的判定定理证明线段或角相等如图，在平行四边形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，点E ，点F 分别是OA ，OC 的中点，请判断线段DE ，BF 的位置关系和数量关系，并说明你的结论．解析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA ＝OC ，OB ＝OD .利用中点的意义得出OE ＝OF ，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形BFDE 是平行四边形，从而得出DE ＝BF ，DE ∥BF .解：DE ＝BF ，DE ∥BF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵E ，F 分别是OA ，OC 的中点，∴OE ＝OF ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴DE ＝BF ，DE ∥BF .方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．【类型二】 平行四边形的判定定理的综合运用如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F .(1)求证：△ABE ≌△CDF ；(2)连接BF 、DE ，试判断四边形BFDE 是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明． 解析：(1)根据“AAS ”可证出△ABE ≌△CDF ；(2)首先根据△ABE ≌△CDF 得出AE ＝FC ，BE ＝DF .再利用已知得出△ADE ≌△CBF ，进而得出DE ＝BF ，即可得出四边形BFDE 是平行四边形．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠DCA .∵BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴∠AEB ＝∠DFC ＝90°.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DFC ＝∠BEA ，∠FCD ＝∠EAB ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF (AAS)；(2)解：四边形BFDE 是平行四边形．理由如下：∵△ABE ≌△CDF ，∴AE ＝FC ，BE ＝DF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥CB ，∴∠DAC ＝∠BCA .在△ADE 和△CBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF ，AE ＝FC ，∴△ADE ≌△CBF (SAS)，∴DE ＝BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形．方法总结：熟练运用平行四边形的性质，可证明三角形全等，证明边相等，再利用两组对边分别相等可判定四边形是平行四边形．三、板书设计1．平行四边形的判定定理两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线相互平分的四边形是平行四边形．2．平行四边形的判定定理的应用在整个教学过程中，以学生看、想、议、练为主体，教师在学生仔细观察、类比、想象的基础上加以引导点拨．判定方法是学生自己探讨发现的，因此，应用也就成了学生自发的需要．在证明命题的过程中，学生自然将判定方法进行对比和筛选，或对一题进行多解，便于思维发散，不把思路局限在某一判定方法上．JJ 冀教版 八年级数学 下册第二学期春 教学设计 教案 第二十二章 四边形22.3 三角形的中位线1．了解三角形中位线的定义；2．掌握三角形的中位线定理；(重点)3．综合运用平行四边形的判定及三角形的中位线定理解决问题．(难点)一、情境导入如图所示，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC ，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，量得EF ＝5米，他想把四边形BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出需要篱笆的长度吗？二、合作探究探究点：三角形的中位线【类型一】 利用三角形中位线定理求线段的长如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 的中点，AF 平分∠CAB ，交DE 于点F .若DF ＝3，则AC 的长为( )A.32B ．3C ．6D ．9解析：如图，∵D 、E 分别为AC 、BC 的中点，∴DE ∥AB ，∴∠2＝∠3，又∵AF 平分∠CAB ，∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD ＝DF ＝3，∴AC ＝2AD ＝2DF ＝6.故选C.方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定等知识．解题的关键是熟记性质并熟练应用．【类型二】 利用三角形中位线定理求角如图，C 、D 分别为EA 、EB 的中点，∠E ＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为( )A ．80°B ．90°C ．100°D ．110°解析：∵C 、D 分别为EA 、EB 的中点，∴CD 是三角形EAB 的中位线，∴CD ∥AB ，∴∠2＝∠ECD ，∵∠1＝110°，∠E ＝30°，∴∠ECD ＝∠2＝80°，故选A.方法总结：根据三角形中位线定理可得出平行关系，所以利用三角形中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题．【类型三】 运用三角形的中位线定理进行证明如图所示，在四边形ABCD 中，AC ＝BD ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，AC 与BD 交于点O ，EF 分别交AC 、BD 于M 、N .求证：∠ONM ＝∠OMN.解析：图中有两个中点，但不在同一个三角形中，取AD 的中点P ，连接EP 、FP ，利用三角形的中位线定理即可证明．证明：取AD 的中点P ，连接EP 、FP ，则EP 为△ABD 的中位线．∴EP ∥BD ，EP ＝12BD ，∴∠PEF ＝∠ONM ，同理可知PF 为△ADC 的中位线，∴FP ∥AC ，FP ＝12AC ，∴∠PFE ＝∠OMN ，∵AC ＝BD ，∴PE ＝PF ，∴∠PEF ＝∠PFE ，∴∠ONM ＝∠OMN .方法总结：在三角形中，若已知一边的中点，常取其余两边的中点，以便利用三角形的中位线定理来解题．【类型四】 构造三角形中位线解题如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 为AB 的中点，在AB 的延长线上取一点D ，使BD ＝AB ，求证：CD ＝2CE.解析：直接找CD 与CE 之间的数量关系较困难，可取AC 的中点F ，间接找CD 与CE 之间的数量关系．证明：取AC 的中点F ，连接BF .∵BD ＝AB ，∴BF 为△ADC 的中位线，∴DC ＝2BF .∵E 为AB 的中点，AB ＝AC ，∴BE ＝CF ，∠ABC ＝∠ACB .∵BC ＝CB ，∴△EBC ≌△FCB .∴CE ＝BF ，∴CD ＝2CE .方法总结：恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键．三、板书设计1．三角形的中位线的概念2．三角形的中位线定理本节课，通过实际生活中的例子引出三角形的中位线，又从理论上进行了验证．在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机．对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环.22.4 矩形第1课时矩形的性质1．理解并掌握矩形的性质定理及推论；(重点)2．会用矩形的性质定理及推论进行推导证明；(重点)3．会综合运用矩形的性质定理进行证明与计算．(难点)一、情境导入如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什么？可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状．我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图所示．二、合作探究探究点：矩形的性质【类型一】运用矩形的性质求线段或角在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，则AB长为()A ．1cmB ．2cmC ．2.5cmD ．4cm解析：在矩形ABCD 中，O 是BC 的中点，∠AOD ＝90°.根据矩形的性质得到△ABO ≌△OCD ，则OA ＝OD ，∠DAO ＝45°，所以∠BOA ＝∠BAO ＝45°，即BC ＝2AB .由矩形ABCD 的周长为24cm ，得2AB ＋4AB ＝24cm ，解得AB ＝4cm.故选D.方法总结：解题时矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．【类型二】 运用矩形的性质解决有关面积问题如图，矩形ABCD 的对角线的交点为O ，EF 过点O 且分别交AB ，CD 于点E ，F ，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( )A.15B.14C.13D.310解析：∵在矩形ABCD 中，AB ∥CD ，OB ＝OD ，∴∠ABO ＝∠CDO .在△BOE 和△DOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABO ＝∠CDO ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF (ASA)，∴S △BOE ＝S △DOF ，∴S 阴影＝S △AOB ＝14S 矩形ABCD .故选B.方法总结：运用矩形的性质，通过证明全等三角形进行转化，将求不规则图形的面积转化为求简单图形面积是解题的关键．【类型三】 运用矩形的性质证明线段相等如图，在矩形ABCD 中，以顶点B 为圆心、边BC 长为半径作弧，交AD 边于点E ，连接BE ，过C 点作CF ⊥BE 于F .求证：BF ＝AE .解析：利用矩形的性质得出AD ∥BC ，∠A ＝90°，再利用全等三角形的判定得出△BFC ≌△EAB ，进而得出答案．证明：在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，∴∠AEB ＝∠FBC .∵CF ⊥BE ，∴∠BFC＝∠A ＝90°.由作图可知，BC ＝BE .在△BFC 和△EAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠CFB ，∠AEB ＝∠FBC ，EB ＝BC ，∴△BFC ≌△EAB (AAS)，∴BF ＝AE .方法总结：涉及与矩形性质有关的线段的证明，可运用题设条件结合三角形全等进行证明，一般是将两条线段转化到一对全等三角形中进行证明．【类型四】 运用矩形的性质证明角相等如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且EF ＝ED ，EF ⊥ED .求证：AE 平分∠BAD .解析：要证AE 平分∠BAD ，可转化为△ABE 为等腰直角三角形，得AB ＝BE .又AB ＝CD ，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定和矩形的性质，即可求证．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝∠BAD ＝90°，AB ＝CD ，∴∠BEF ＋∠BFE ＝90°.∵EF ⊥ED ，∴∠BEF ＋∠CED ＝90°.∴∠BFE ＝∠CED ，∴∠BEF ＝∠EDC .在△EBF与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFE ＝∠CED ，EF ＝ED ，∠BEF ＝∠EDC ，∴△EBF ≌△DCE (ASA)．∴BE ＝CD .∴BE ＝AB ，∴∠BAE＝∠BEA ＝45°，∴∠EAD ＝45°，∴∠BAE ＝∠EAD ，∴AE 平分∠BAD .方法总结：矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形中去解决．三、板书设计矩形的性质矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．通过多媒体演示知识的探究过程，让学生在体验、实践的过程中有更直观地认识，扩大认知结构，发展能力，更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，使课堂教学真正落实到学生的发展上．第2课时 矩形的判定1．掌握矩形的判定方法；(重点)2．能够运用矩形的性质和判定解决实际问题．(难点)一、情境导入我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线相等且互相平分；2．四个内角都是直角．这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？二、合作探究探究点一：有一个角是直角的平行四边形是矩形如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的高，AE 是△BAC 的外角平分线，DE ∥AB 交AE 于点E .求证：四边形ADCE 是矩形．解析：首先利用外角性质得出∠B ＝∠ACB ＝∠F AE ＝∠EAC ，进而得到AE ∥BC ，即可得出四边形AEDB 是平行四边形，再利用平行四边形的性质得出四边形ADCE 是平行四边形，再根据AD 是高即可得出四边形ADCE 是矩形．证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB .∵AE 是△BAC 的外角平分线，∴∠F AE ＝∠EAC .∵∠B ＋∠ACB ＝∠F AE ＋∠EAC ，∴∠B ＝∠ACB ＝∠F AE ＝∠EAC ，∴AE ∥BC .又∵DE ∥AB ，∴四边形AEDB 是平行四边形，∴AE 平行且等于BD .又∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝DC ，∴AE 平行且等于DC ，故四边形ADCE 是平行四边形．又∵∠ADC ＝90°，∴平行四边形ADCE 是矩形．方法总结：平行四边形的判定与性质以及矩形的判定常综合运用，解题时利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形再证明其中一角为直角即可．探究点二：对角线相等的平行四边形是矩形如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，延长OA 到N ，ON ＝OB ，再延长OC 至M ，使CM ＝AN .求证：四边形NDMB 为矩形．解析：首先由平行四边形ABCD 可得OA ＝OC ，OB ＝OD .若ON ＝OB ，那么ON ＝OD .而CM ＝AN ，即ON ＝OM .由此可证得四边形NDMB 的对角线相等且互相平分，即可得证．证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO ＝OC ，OD ＝OB .∵AN ＝CM ，ON ＝OB ，∴ON ＝OM ＝OD ＝OB ，∴MN ＝BD ，∴四边形NDMB 为矩形．方法总结：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．探究点三：有三个角是直角的四边形是矩形如图，▱ABCD各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH 是矩形．解析：利用“有三个内角是直角的四边形是矩形”证明四边形EFGH是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∵AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC，∴∠HAB＝12∠DAB，∠HBA＝12∠ABC，∴∠HAB＋∠HBA ＝12(∠DAB＋∠ABC)＝12×180°＝90°，∴∠H＝90°.同理∠HEF＝∠F＝90°，∴四边形EFGH 是矩形．方法总结：题设中隐含多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．探究点四：矩形的性质和判定的综合运用【类型一】矩形的性质和判定的运用如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD 上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是矩形；(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．解析：(1)证明四边形EFGH对角线相等且互相平分；(2)根据题设求出矩形的边长CD 和BC，然后根据矩形面积公式求得．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO －AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形；(2)解：∵G是OC的中点，∴GO＝GC.∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°.又∵DG ＝DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD＝OD.∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm.∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝DB2－DC2＝43cm，∴S矩形ABCD＝4×43＝163(cm2)．方法总结：若题设条件与这个四边形的对角线有关，要证明一个四边形是矩形，通常证这个四边形的对角线相等且互相平分．【类型二】矩形的性质和判定与动点问题如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？。