高三理科数学周清(四)函数及其性质(2)答案

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课时巩固过关练 四函数的图象与性质 (45分钟 80分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2021·天津高考)已知定义在R 上的函数f(x)=2|x-m|-1(m 为实数)为偶函数，记a=f(log 0.53)，b=f(log 25)，c=f(2m)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a【解析】选B.由f (x )为偶函数得m=0，所以a=2，b=4，c=0.所以c<a<b. 2.(高考猜测题)函数f(x)=(e x +e -x )sin x 的部分图象大致为( )【解析】选A.函数f(x)=(e x +e -x )sin x 是奇函数，排解B ，D ；当0<x<π时，f(x)>0，排解C.故A 正确. 【加固训练】函数f(x)=x x 2+a的图象不行能是( )【解析】选D.当a=0时，f(x)=xx 2+a =1x，C 选项有可能.当a ≠0时，f(0)=xx 2+a=0，所以D 图象不行能.3.(2021·菏泽模拟)给定函数①y=x12;②y=lo g12(x+1);③y=|x-1|;④y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是 ( )A.①②B.②③C.③④D.①④ 【解析】选B.①y=x 12在区间(0,1)上单调递增;②y=lo g12(x+1)在区间(0,1)上单调递减;③y=|x-1|={x −1,x ≥1,1−x,x <1在区间(0,1)上单调递减;④y=2x+1在区间(0,1)上单调递增.4.当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.(0,√22)B.(√22,1)C.(1,√2)D.(√2,2)【解析】选B.由于0<x ≤12，所以4x >1，又4x <log a x ，所以a ∈(0，1)，则函数y=4x 与y=log a x 的大致图象如图所示.所以只需满足log a12>2即可，解得a>√22，所以√22<a<1.【一题多解】本题还可用以下方法求解：选B.由于0<x≤12，所以4x>1，又4x<log a x，所以a∈(0，1).令f(x)=4x-log a x，则当0<x≤12时f(x)<0，故只需f(x)max<0，又f(x)在(0,12]上单调递增，故当x=12时，f(x)max=2-log a12，由2-log a12<0，解得a>√22，所以√22<a<1.【方法技巧】不等式恒成立问题解题技巧(1)分别参数法：若在等式或不等式中消灭两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且简洁通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.①f(x)≥m对任意x都成立⇔f(x)min≥m；②f(x)≤m对任意x都成立⇔m≥f(x)max.(2)数形结合法：若把不等式进行合理变形后，能格外简洁地画出不等号两边函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的问题转化为一个易解决的函数图象的问题，然后从图象中查找条件，就能解决问题.【加固训练】(2021·武汉模拟)若定义在[-2021，2021]上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[-2021，2021]有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2022，且x>0时，f(x)>2022，记f(x)在[-2021，2021]上的最大值和最小值为M，N，则M+N的值为( ) A.2021 B.2022 C.4027 D.4028【解析】选D.令x1=x2=0得f(0)=2022.设-2021<x1<x2<2021，且x2=x1+h(h>0)，则f(h)>2022.所以f(x2)=f(x1+h)=f(x1)+f(h)-2022>f(x1).可知f(x)在[-2021，2021]上是增函数.故M+N=f(2021)+f(-2021)=f(2021-2021)+2022=f(0)+2022=4028.5.(2021·山东高考)设函数f(x)={3x−b,x<1,2x,x≥1.若f(f(56))=4，则b=( )A.1B.78C.34D.12【解题提示】可以对分段函数f(x)分状况争辩，或将选项代入验证.【解析】选D.当f(56)=52-b≥1，即b≤32时，f(f(56))=f(52−b)=252−b=4，52-b=2得b=12；当f(56)=52-b<1，即b>32时，f(f(56))=f(52−b)=3(52−b)-b=4，解得b=78<32，舍去.故b=12.注：本题也可以将b=1，78，34，12逐一代入验算.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2021·沈阳二模)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，且f(1)=0，则不等式f(x-2)≥0的解集是.【解析】由题知x-2≥1或x-2≤-1，所以不等式的解集是(-∞，1]∪[3，+∞).答案：(-∞，1]∪[3，+∞)【加固训练】已知函数f(x)，g(x)都是R 上的奇函数，且F(x)=3f(x)+5g(x)+2.若F(a)=b ，则F(-a)= . 【解析】由题设F(a)=3f(a)+5g(a)+2=b. 3f(a)+5g(a)=b-2.又F(-a)=3f(-a)+5g(-a)+2 =-3f (a)-5g(a)+2=-(b-2)+2=4-b. 答案：4-b7.(高考猜测题)已知函数f(x)={(12)x,x ≥0,1−3x,x <0,若f(2a 2-3)>f(5a)，则实数a 的取值范围是 .【解析】由图象可知函数f(x)在定义域上单调递减，所以由f(2a 2-3)>f(5a)得，2a 2-3<5a ，即2a 2-5a-3<0，解得-12<a<3，即实数a 的取值范围是(−12,3).答案：(−12,3)8.设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f(x+1)=f(x-1)，已知当x ∈[0，1]时，f(x)=(12)1−x，则①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数； ③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中全部正确命题的序号是 . 【解析】在f(x+1)=f(x-1)中，令x-1=t ，则有 f(t+2)=f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确， 由于f(x)是偶函数，所以f(x-1)=f(1-x)， 结合f(x+1)=f(x-1)得f(1+x)=f(1-x)， 故f(x)的图象关于x=1对称. 当x ∈[0，1]时，f(x)=(12)1−x =2x-1，单调递增，所以f(x)在(1，2)上单调递减，在(2，3)上是增函数，故②正确.由②知，f(x)在一个周期区间[0，2]上的最大值为f(1)=1，最小值为f(0)=f(2)=12，所以函数f(x)的最大值为1，最小值为12，故③不正确.答案：①②【加固训练】(2021·长春一模)定义[x]表示不超过x 的最大整数.例如，[1.5]=1，[-1.5]=-2.若f(x)=sin(x-[x])，则下列结论中： ①y=f(x)为奇函数；②y=f(x)是周期函数，周期为2π； ③y=f(x)的最小值为0，无最大值； ④y=f(x)无最小值，最大值为sin1.正确的序号是 .【解析】f(1.5)=sin(1.5-[1.5])=sin0.5，f(-1.5)=sin(-1.5-[-1.5])=sin0.5，则f(1，5)=f(-1.5)，故①错.f(x+1)=sin(x+1-[x+1])=sin(x+1-[x]-1) =sin(x-[x])=f(x)，所以T=1，故②错.g (x)=x-[x]在[k ，k+1)(k ∈Z)内是单调递增的周期函数，知g(x)∈[0，1)，故f(x)∈[0，sin1)，故③正确，易知④错.综上，正确的序号为③.答案：③三、解答题(9题12分，10，11题每小题14分，共40分)9.(2021·泰安模拟)已知奇函数f(x)的定义域为[-1，1]，当x∈[-1，0)时，f(x)=-(12)x .(1)求函数f(x)在[0，1]上的值域.(2)若x∈(0，1]，y=14f2(x)-λ2f(x)+1的最小值为-2，求实数λ的值.【解析】(1)设x∈(0，1]，则-x∈[-1，0)，所以f(-x)=-(12)−x=-2x.又由于f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)，所以当x∈(0，1]时，f(x)=-f(-x)=2x，所以f(x)∈(1，2].又f(0)=0，所以当x∈[0，1]时函数f(x)的值域为(1，2]∪{0}.(2)由(1)知当x∈(0，1]时，f(x)∈(1，2]，所以12f(x)∈(12,1]，令t=12f(x)，则12<t≤1，g(t)=14f2(x)-λ2f(x)+1=t2-λt+1=(t−λ2)2+1-λ24.①当λ2≤12，即λ≤1时，g(t)>g(12)无最小值.②当12<λ2≤1即1<λ≤2时，g(t)min=g(λ2)=1-λ24=-2.解得λ=±2√3舍去. ③当λ2>1，即λ>2时，g(t)min=g(1)=-2，解得λ=4.综上所述：λ=4.10.(2021·威海模拟)已知函数f(x)=a-22x+1.(1)求f(0).(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论.(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)<f(2)的x的范围.【解题提示】(1)代入解析式直接计算.(2)利用单调性的定义求解和证明.(3)先由f(x)为奇函数求出a的值，再利用单调性解不等式.【解析】(1)f(0)=a-220+1=a-1，(2)由于f(x)的定义域为R，所以任取x1，x2∈R且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=a-22x1+1-a+22x2+1=2·(2x1−2x2)(1+2x1)(1+2x2)，由于y=2x在R上单调递增且x1<x2，所以0<2x1<2x2，所以2x1-2x2<0，2x1+1>0，2x2+1>0，所f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在R上单调递增.(3)由于f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)，即a-22−x+1=-a+22x+1，解得a=1.(或用f(0)=0去解)所以f(ax)<f(2)即为f(x)<f(2)，又由于f(x)在R上单调递增，所以x<2.【加固训练】(2021·安阳模拟)设f(x)=a x+b同时满足条件f(0)=2和对任意x∈R 都有f(x+1)=2f(x)-1成立.(1)求f(x)的解析式.(2)设函数g(x)的定义域为[-2，2]，且在定义域内g(x)=f(x)，且函数h(x)的图象与g(x)的图象关于直线y=x对称，求h(x).(3)求函数y=g(x)+h(x)的值域.【解析】(1)由f(0)=2，得b=1，由f(x+1)=2f(x)-1，得a x(a-2)=0，由a x>0得a=2，所以f(x)=2x+1.(2)由题意知，当x∈[-2，2]时，g(x)=f(x)=2x+1.设点P(x，y)是函数h(x)的图象上任意一点，它关于直线y=x对称的点为P′(y，x)，依题意点P′(y，x)在函数g(x)的图象上，即x=2y+1，所以y=log2(x-1)，即h(x)=log2(x-1)(x∈[54,5]).(3)由已知得，y=log2(x-1)+2x+1，且定义域是[54,2].由于函数g(x)=2x+1与h(x)=log2(x-1)在区间[54,2]上均为增函数，当x=54时，y=2√24-1，当x=2时，y=5，所以函数y=g(x)+h(x)(x∈[54,2])的值域为[2√24-1，5].11.(探究创新题)函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f(x+1)=f(x-1)成立，已知当x∈[1，2]时，f(x)=log a x.(1)求x∈[-1，1]时，函数f(x)的表达式.(2)求x∈[2k-1，2k+1](k∈Z)时，函数f(x)的表达式.(3)若函数f(x)的最大值为12，在区间[-1，3]上，解关于x的不等式f(x)>14. 【解析】(1)由于f(x+1)=f(x-1)，且f(x)是R上的偶函数，所以f(x+2)=f(x)，所以f(x)={log a(2+x),x∈[−1,0]log a(2−x),x∈(0,1].(2)当x∈[2k-1，2k]时，f(x)=f(x-2k)=log a(2+x-2k)，同理，当x∈(2k，2k+1]时，f(x)=f(x-2k)=log a(2-x+2k)，所以f(x)={log a(2+x−2k),x∈[2k−1,2k],log a(2−x+2k),x∈(2k,2k+1].(3)由于函数是以2为周期的周期函数，故只需要考查区间[-1，1]，当a>1时，由函数f(x)的最大值为12，知f(0)=f(x)max=log a2=12，即a=4.当0<a<1时，则当x=±1时，函数f(x)取最大值为12，即log a(2-1)=12，舍去.综上所述a=4.当x∈[-1，1]时，若x∈[-1，0]，则log4(2+x)>14，所以√2-2<x≤0；若x∈(0，1]，则log4(2-x)>14，所以0<x<2-√2，所以此时满足不等式的解集为(√2-2，2-√2)， 由于函数是以2为周期的周期函数，所以在区间[1，3]上，f(x)>14的解集为(√2，4-√2)，综上所得不等式的解集为(√2-2，2-√2)∪(√2，4-√2).【加固训练】(2021·浙江高考)设函数f(x)=x 2+ax+b(a ，b ∈R). (1)当b=a 24+1时，求函数f(x)在[-1，1]上的最小值g(a)的表达式.(2)已知函数f(x)在[-1，1]上存在零点，0≤b-2a ≤1，求b 的取值范围. 【解题提示】(1)将函数进行配方，利用对称轴与给定区间的位置关系，通过分类争辩确定函数在给定区间上的最小值，并用分段函数的形式进行表示；(2)设定函数的零点，依据条件表示两个零点之间的不等关系，通过分类争辩，分别确定参数b 的取值状况，利用并集原理得到参数b 的取值范围.【解析】(1)当b=a 24+1时，f(x)=(x +a 2)2+1，故其对称轴为x=-a2.当a ≤-2时，g(a)=f(1)=a 24+a+2， 当-2<a ≤2时，g(a)=f (−a2)=1，当a>2时，g(a)=f(-1)=a 24-a+2.综上，g(a)={ a 24+a +2,a ≤−2,1,−2<a ≤2,a 24−a +2,a >2.(2)设s ，t 为方程f(x)=0的解，且-1≤t ≤1，则{s +t =−a,st =b,由于0≤b-2a ≤1，因此−2t t+2≤s ≤1−2t t+2(-1≤t ≤1)，当0≤t ≤1时，−2t 2t+2≤b ≤t−2t 2t+2，由于-23≤−2t 2t+2≤0和-13≤t−2t 2t+2≤9-4√5，所以-23≤b ≤9-4√5， 当-1≤t ≤0时，t−2t 2t+2≤b ≤−2t 2t+2，由于-2≤−2t 2t+2<0和-3≤t−2t 2t+2<0，所以-3≤b<0综上可知，b 的取值范围是[−3,9−4√5].关闭Word 文档返回原板块。

函数的基本性质一、单选题1.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增且存在零点的是（）A．y＝e x B．C．D．y＝（x﹣1）2【答案】C【分析】根据基本初等函数的图象与性质，零点的含义，以及函数图象的变换法则，逐一判断每个选项即可．【解答】解：函数y＝e x＞0恒成立，不存在零点，即A不符合题意；函数恒成立，不存在零点，即B不符合题意；函数在（0，+∞）上单调递增，且当x＝1时，y＝0，所以函数的零点为x＝1，即C正确；函数y＝（x﹣1）2在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，即D不符合题意．故选：C．【知识点】函数的零点、函数的单调性及单调区间2.已知实数m是给定的常数，函数f（x）＝x3+﹣mx+1的图象不可能是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】对函数f（x）求导可得f'（x）＝（3x+1）（x﹣m），不妨取m＝0、m＞0和三类讨论函数f（x）的单调区间，并与选项进行匹配即可作出选择．【解答】解：f（0）＝1，f'（x）＝3x2+（1﹣3m）x﹣m＝（3x+1）（x﹣m），当m＞0时，函数f（x）在和（m，+∞）上单调递增，在上单调递减，选项A，C的图象有可能符合题意；当m＝0时，令f'（x）＜0，得；令f'（x）＞0，得或x＞0．所以函数f（x）在和（0，+∞）上单调递增，在上单调递减，选项B的图象不符合题意；当时，函数f（x）在（﹣∞，m）和上单调递增，在上单调递减，选项D的图象有可能符合题意．故选：B．【知识点】函数的单调性及单调区间3.定义在R的函数f（x）＝﹣x3+m与函数g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[2，+∞）C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【答案】B【分析】根据题意，分析易得f（x）在R上为减函数，求出g（x）的解析式，分析可得g（x）在[﹣1，1]上为减函数，结合二次函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝﹣x3+m，其定义域为R，则R上f（x）为减函数，g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx＝x2﹣kx+m在[﹣1，1]上为减函数，必有x＝≥1，解可得k≥2，即k的取值范围为[2，+∞）；故选：B．【知识点】函数的单调性及单调区间4.若ln（a+4b）＝lna+lnb﹣1，则的取值范围为（）A．（，7）B．[，7）C．（，+∞）D．[9，+∞）【答案】D【分析】利用对数运算法则，推出＝，然后利用基本不等式转化求解函数的最大值即可．【解答】解：由ln（a+4b）＝lna+lnb﹣1，可得a+4b＝，所以＝，因为a＞0，b＞0，所以＝（a+b）•（）＝5+≥5+4＝9．当且仅当a＝2b＝6e时，取等号．所以的取值范围为[9，+∞）．故选：D．【知识点】函数的最值及其几何意义5.已知函数f（x）＝，则函数y＝在区间[m，m+2]（﹣2≤m≤0）上的最大值的取值范围是（）A．[1，2]B．[，2]C．[1，]D．[1，]【答案】D【分析】零点分段取绝对值，在利用换元法，作出图象，分段讨论m，即可求解最大值的取值范围；【解答】解：函数f（x）＝，则f（x）＝，设g（x）＝f（x）+1，可得g（x）＝，作出g（x）的图象，从图象可知，当x＝﹣2时，可得g（x）的最大值为1；当﹣2＜m＜﹣1时，g（x）max＝＝＝∈（1，）；当﹣1≤m≤0时，g（x）max＝＝，综上，可得在区间[m，m+2]（﹣2≤m≤0）上的最大值的取值范围是[1，]；故选：D．【知识点】函数的最值及其几何意义6.设f（x）是R上的奇函数且满足f（x﹣1）＝f（x+1），当0≤x≤1时，f（x）＝5x（1﹣x），则f（﹣2020.6）＝（）A．B．C．﹣D．﹣【答案】D【分析】根据题意，分析可得f（x）是周期为2的周期函数，结合函数的奇偶性可得f（﹣2020.6）＝f （﹣2020﹣0.6）＝f（﹣0.6）＝﹣f（0.6），又由函数的解析式计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），即f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为2的周期函数，又由f（x）为奇函数，则f（﹣2020.6）＝f（﹣2020﹣0.6）＝f（﹣0.6）＝﹣f（0.6），当0≤x≤1时，f（x）＝5x（1﹣x），则f（0.6）＝5×0.6×0.4＝，故f（﹣2020.6）＝﹣f（0.6）＝﹣，故选：D．【知识点】抽象函数及其应用、函数奇偶性的性质与判断7.已知函数f（x）＝ln+ax+b（a，b∈R），对任意的x∈（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）都有f（﹣x）+f（x）＝6，且f（5）＝3，则f（9）﹣f（﹣5）＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意，由f（﹣x）+f（x）＝6，则有（ln+ax+b）+（ln﹣ax+b）＝2b＝6，分析可得b的值，又由f（5）＝3，解可得a的值，由f（﹣x）+f（x）＝6可得f（﹣5）的值，由解析式可得f（﹣9）的值，计算可得答案【解答】解：根据题意，f（x）＝ln+ax+b，若f（﹣x）+f（x）＝6，则有（ln+ax+b）+（ln﹣ax+b）＝2b＝6，则有b＝3，又由f（5）＝3，则f（5）＝ln+5a+3＝3，解可得a＝，则f（x）＝ln+x+b，对任意的x∈（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）都有f（﹣x）+f（x）＝6，且f（5）＝3，则f（﹣5）＝6﹣3＝3，则f（9）﹣f（﹣5）＝ln+9×+3﹣3＝，故选：C．【知识点】函数奇偶性的性质与判断、抽象函数及其应用8.对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），且当x≥l时，f（x）＝x2+lgx，若a＝f（2），b＝f（logπ3），c＝f（﹣1），则a，b，c之间的大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【答案】C【分析】首先根据f（2﹣x）＝f（x），得出函数关于x＝1对称，再将对应的自变量转化到区间[1，+∞）内，利用函数的单调性作出判断．【解答】解：∵f（2﹣x）＝f（x），∴f（x）关于直线x＝1对称，∴，c＝f（﹣1）＝f（3），且，又当x≥l时，f（x）＝x2+lgx，故函数f（x）在[1，+∞）单调递增，∴，即b＜a＜c．故选：C．【知识点】奇偶函数图象的对称性、函数单调性的性质与判断9.已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）＝﹣f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣2017）＝（）A．﹣2B．﹣1C．2D．1【答案】D【分析】利用函数的奇偶性的定义以及函数的周期性化简，可得f（﹣2017）＝f（1），代入已知解析式，求解即可得到答案【解答】解：由已知函数是偶函数，且x≥0时，都有f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），所以f（﹣2017）＝f（2017）＝f（4×504+1）＝f（1）＝log22＝1．故选：D．【知识点】函数的周期性10.偶函数f（x）对于任意实数x，都有f（2+x）＝f（2﹣x）成立，并且当﹣2≤x≤0时，f（x）＝2﹣x，则＝（）A．B．﹣C．D．﹣【答案】C【分析】先通过偶函数f（2+x）＝f（2﹣x），可推断函数f（x）是以4为周期的函数，故可以把f（）转化为f（）＝f（﹣），再利用其为偶函数以及解析式可得结论．【解答】解：对任意实数x都有f（4+x）＝f[2+（2+x）]＝f[2﹣（2+x）]＝f（﹣x），由于f（x）为偶函数，所以f（﹣x）＝f（x）．所以f（4+x）＝f（x）．所以函数f（x）是以4为周期的周期函数．所以．故选：C．【知识点】函数的周期性11.已知函数f（x）的图象关于原点对称，且满足f（x+1）+f（3﹣x）＝0，当x∈（2，4）时，f（x）＝﹣log（x﹣1）+m，若＝f（﹣1），则实数m的值是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意，分析可得f（x+1）＝﹣f（3﹣x）＝f（x﹣3），即f（x+4）＝f（x），故函数f（x）的周期为4，据此可得f（2021）＝f（1），结合函数的解析式可得f（1）和f（﹣1）的值，进而可得若，则有＝m+1，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+1）+f（3﹣x）＝0，又由f（x）为奇函数，则f（x+1）＝﹣f（3﹣x）＝f（x﹣3），即f（x+4）＝f（x），故函数f（x）的周期为4，则f（2021）＝f（1+2020）＝f（1），当x∈（2，4）时，，则f（3）＝m+1，即f（2021）＝f（1）＝﹣f（3）＝﹣m﹣1，又由f（x）为奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝m+1，若，则有＝m+1，解可得：m＝﹣；故选：C．【知识点】函数的周期性12.已知函数f（x）＝﹣x2+a，g（x）＝x2e x，若对任意的x2∈[﹣1，1]，存在唯一的x1∈[﹣，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是（）A．（e，4]B．（e+，4]C．（e+，4）D．（，4]【答案】B【分析】求得f（x）在（，2]的值域A，以及函数y＝g（x）的导数，判断单调性，求得在[﹣1，1]的值域B，由题意可得B包含于A，可得a的不等式，解不等式可得所求范围．【解答】解：f（x）＝﹣x2+a在[﹣，2]的值域为[a﹣4，a]，但f（x）在（，2]递减，此时f（x）∈[a﹣4，a﹣）．g（x）＝x2e x的导数为g′（x）＝2xe x+x2e x＝x（x+2）e x，可得g（x）在[﹣1，0]递减，（0，1]递增，则g（x）在[﹣1，1]的最小值为g（0）＝0，最大值为g（1）＝e，即值域为[0，e]．对任意的x2∈[﹣1，1]，存在唯一的x1∈[﹣，2]，使得f（x1）＝g（x2），可得[0，e]⊆[a﹣4，a﹣），可得a﹣4≤0＜e＜a﹣，解得e+＜a≤4．故选：B．【知识点】函数恒成立问题二、多选题13.已知函数f（x）的定义域是[﹣1，5]，且f（x）在区间[﹣1，2）上是增函数，在区间[2，5]上是减函数，则以下说法一定正确的是（）A．f（2）＞f（5）B．f（﹣1）＝f（5）C．f（x）在定义域上有最大值，最大值是f（2）D．f（0）与f（3）的大小不确定【答案】AD【分析】结合函数的单调性及函数是否在x＝2处连续分别检验各选项即可判断．【解答】解：因为在区间[2，5]上是减函数，故f（2）＞f（5）成立，A正确；因为f（x）在区间[﹣1，2）上是增函数，在区间[2，5]上是减函数，但在x＝2处不一定连续，故无法比较f（0）与f（3）的大小，B不正确，D正确，当函数在x＝2处连续时，x＝2处函数的最大值，当函数在x＝2处不连续时，x＝2时，函数不能取得最大值，C错误；故选：AD．【知识点】函数单调性的性质与判断14.已知不等式e x≥x+1，对任意的x∈R恒成立．以下命题中真命题的有（）A．对∀x∈R，不等式e﹣x＞1﹣x恒成立B．对∀x∈（0，+∞），不等式ln（x+1）＜x恒成立C．对∀x∈（0，+∞），且x≠1，不等式lnx＜x﹣1恒成立D．对∀x∈（0，+∞），且x≠1，不等式恒成立【答案】ABCD【分析】A由已知不等式e x≥x+1，结合对称性可得e﹣x＞1﹣x恒成立；B把已知不等式两边取对数可得不等式ln（x+1）＜x恒成立；C直接利用导数证明不等式lnx＜x﹣1恒成立；D对x分类证明对∀x∈（0，+∞），且x≠1，不等式恒成立．【解答】解：由e x≥x+1对任意的x∈R恒成立，如图，结合对称性可知，对∀x∈R，不等式e﹣x＞1﹣x恒成立，故A正确；由e x≥x+1，且x∈（0，+∞），两边取对数，得x＞ln（x+1），即ln（x+1）＜x，故B正确；令f（x）＝lnx﹣x+1，则f′（x）＝＝，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）max＝f（1）＝0，则lnx﹣x+1＜0，即lnx＜x﹣1，故C正确；当x∈（0，+∞），且x≠1时，不等式等价于，即，若x∈（0，1），则，令g（x）＝，g′（x）＝，∴g（x）在（0，1）上为增函数，则g（x）＜g（1）＝0，即；若x∈（1，+∞），则，令g（x）＝，g′（x）＝，∴g（x）在（0，1）上为增函数，则g（x）＞g（1）＝0，即．∴不等式恒成立．D正确．故选：ABCD．【知识点】函数单调性的性质与判断15.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（4﹣x）＝f（x），则下列说法正确的是（）A．f（x+8）＝f（x）B．f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增C．f（2019）+f（2020）+f（2021）＝0D．f（x）＝cos（）是满足条件的一个函数【答案】ACD【分析】由已知结合函数的周期性，奇偶性分别检验各选项即可判断．【解答】解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（4﹣x）＝f（x），所以f（﹣x）＝﹣f（x），f（4+x）＝f（﹣x），所以f（4+x）＝﹣f（x），所以f（x+8）＝f（x），A正确；由已知无法判断函数在区间（﹣2，2）上单调性，B错误；f（2019）+f（2020）+f（2021）＝f（3）+f（4）+f（5）＝f（1）+f（0）+f（﹣1）＝0，C正确；f（x）＝cos（）＝﹣sin为奇函数，周期T＝＝8，D正确．故选：ACD．【知识点】函数的周期性、函数奇偶性的性质与判断16.若对任意满足x+2y＝2的正实数x，y，＞2m2（m∈N*）恒成立，则正整数m的取值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】AB【分析】由题意可得2m2＜（）min，将2x+4y＝（x+2y）2代入此不等式的右边，化简整理，运用基本不等式可得最小值，解得m的范围，可得所求值．【解答】解：＞2m2（m∈N*）恒成立，即为2m2＜（）min，由x+2y＝2，x＞0，y＞0，可得＝＝＝++4≥2 +4＝16，当且仅当2x＝3y，又x+2y＝2，即x＝，y＝时，上式取得等号，则2m2＜16，解得﹣2＜m＜2，则正整数m的取值为1，2．故选：AB．【知识点】函数恒成立问题三、填空题17.已知函数f（x）＝e|x|+x2﹣e，则满足不等式f（m﹣2）≤1的m取值范围是．【答案】【分析】函数f（x）为偶函数，由导数可知函数在（0，+∞）单调递增，进而转化不等式，求解得到答案．【解答】解：由题意可知，函数f（x）为定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）＝e x+x2﹣e，则f′（x）＝e x+2x＞0，故函数f（x）在（0，+∞）单调递增，∴不等式f（m﹣2）≤1等价为|m﹣2|≤1，解得1≤m≤3．故答案为：[1，3]．【知识点】函数单调性的性质与判断18.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝g（x）﹣g（﹣x），且f（x）在R单调递增，对任意的x1，x2∈（0，+∞），恒有f（x1）•f（x2）＝f（x1+x2），则使不等式成立的m取值范围是．【答案】[0，9）【分析】由于定义在R上的函数f（x）＝g（x）﹣g（﹣x），所以f（﹣x）＝g（﹣x）﹣g（x）＝﹣f （x），由此得出函数f（x）为奇函数，且在R上递增；对任意的x1，x2∈（0，+∞），恒有f （x1）•f（x2）＝f（x1+x2），则[f（+）]2＝f（2+1）；使不等式可以转化为一个无理不等式，解不等式即可求出满足条件的实数m的取值范围．【解答】解：由于定义在R上的函数f（x）＝g（x）﹣g（﹣x），所以f（﹣x）＝g（﹣x）﹣g（x）＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数；∵对任意的x1，x2∈（0，+∞），恒有f（x1）•f（x2）＝f（x1+x2），则[f（+）]2＝f（2+1）；不等式⇔不等式f（2+1）＞f（m﹣2），∵f（x）在R单调递增，∴2+1＞m﹣2；∴m﹣2﹣3＜0；解得0≤m＜9；故答案为：[0，9）．【知识点】函数单调性的性质与判断19.已知函数f（x）＝+3，x∈[﹣6，6]，若f（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m＝．【答案】8【分析】先对函数f（x）解析式化简，化简为f（x）＝g（x）+4的形式，且g（x）为奇函数，进而可以求解．【解答】解：由题意可得f（x）＝log＝log，令函数g（x）＝log+，定义域为[﹣6，6]关于原点对称，且g（﹣x）＝log+＝﹣log﹣＝﹣g（x），即函数g（x）为奇函数，其最大值和最小值的和为0，所以函数f（x）的最大值和最小值的和m+M＝4+4＝8，故答案为：8．【知识点】函数的最值及其几何意义20.用M I表示函数y＝sin x在闭区间I上的最大值，若正数a满足M[0，a]≥2M[a，2a]，则M[0，a]＝；a的取值范围为．【分析】通过数形结合，分类讨论结合正弦性质找出解题思路．【解答】解：如图是函数y＝sin x，x∈[0，3π]的图象，若0＜a＜，y＝sin x在[0，a]上单调递增，所以，M[0，a]＝sin a，此时，M[a，2a]＞sin a＝M[0，，a]这与已知M[0，a]≥2M[a，2a]，矛盾．所以，a≥，所以M[0，a]＝1，故正确答案是：1．显然2a≥时，M[a，2a]＝1，这与已知M[0，a]≥2M[a，2a]，矛盾．所以，2a＜即a＜，所以≤a＜．又已知，M[0，a]≥2M[a，2a]，即≥M[a，2a]，因为当时，π≤2a＜，M[a，2a]＝sin a或sin2a，所以，⇔⇔故正确答案为：1，[，]．【知识点】函数的最值及其几何意义21.设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且，则g[f（﹣8）]＝．【答案】-1【分析】根据题意，由函数的奇偶性计算可得g（x）的解析式以及f（﹣8）的值，进而有g[f（﹣8）]＝g（﹣2），代入g（x）的解析式，计算即可得答案．【解答】解：根据题意，设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝log3（﹣x+1），又由函数为R上的奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log3（﹣x+1），即g（x）＝﹣log3（﹣x+1），有由函数为奇函数，则f（﹣8）＝﹣f（8）＝﹣2，g[f（﹣8）]＝g（﹣2）＝﹣log3[﹣（﹣2）+1]＝﹣1；故答案为：﹣1．【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数的值22.已知f（x）是定义在R上且周期为4的奇函数，当x∈（2，4]时，f（x）＝﹣x2+7x﹣12，则f（2021）的值是．【答案】0【分析】根据题意，由函数的周期性可得f（2021）＝f（﹣3），利用解析式求出f（3）的值，又由函数为奇函数可得f（﹣3）的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上且周期为4的函数，则f（2021）＝f（﹣3+2024）＝f（﹣3），当x∈（2，4]时，f（x）＝﹣x2+7x﹣12，则f（3）＝﹣9+21﹣12＝0，又由f（x）为奇函数，则f（﹣3）＝﹣f（3）＝0，故f（2021）＝0，故答案为：0【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数的周期性、抽象函数及其应用23.已知f（x）是定义在R上的周期为4的周期函数，在区间[﹣2，2]上，f（x）＝，且f（5）＝2f（），则3a+2b+c的值为．【答案】1【分析】利用已知条件，建立关于a，b，c的方程组，解出即可得解．【解答】解：依题意，，即，∴，∴3a+2b+c＝3a+c＝1．故答案为：1．【知识点】函数的周期性24.f（x）是定义域为R的偶函数，对∀x∈R，都有f（x+4）＝f（﹣x），当0≤x≤2时，，则＝．【分析】根据题意，分析可得f（x+4）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，进而可得f（﹣）＝f（）＝f（），f（21）＝f（1），结合函数的解析式计算可得f（）、f（1）的值，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）是定义域为R的偶函数，对∀x∈R，都有f（x+4）＝f（﹣x），则有f（x+4）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则有f（﹣）＝f（）＝f（4+）＝f（），f（21）＝f（1+4×5）＝f（1），又由当0≤x≤2时，，则f（）＝﹣1，f（1）＝1，则＝f（）+f（1）＝（﹣1）+1＝；故答案为：．【知识点】函数的周期性25.已知函数，若对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（1﹣x）≤f（x+m）恒成立，则实数m的取值范围是﹣﹣．【分析】由题意可得f（x）为偶函数，求得f（x）在x≥0上连续，且为减函数，f（|1﹣x|）≤f（|x+m|），即为|x﹣1|≥|x+m|，即有（2x﹣1+m）（m+1）≤0，由一次函数的单调性，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数，当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣2﹣x+x3＝f（x），同样x＞0，可得f（﹣x）＝f（x），且f（0）＝﹣1，则f（x）为偶函数，且f（x）在x≥0上为减函数，对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（1﹣x）≤f（x+m）恒成立，可得f（|1﹣x|）≤f（|x+m|），即为|x﹣1|≥|x+m|，即有（2x﹣1+m）（m+1）≤0，由一次函数的单调性，可得：（2m﹣1+m）（m+1）≤0，且（2m+2﹣1+m）（m+1）≤0，即为﹣1≤m≤且﹣1≤m≤﹣，即有﹣1≤m≤﹣，则m的范围是[﹣1，﹣]，故答案为：[﹣1，﹣]．【知识点】函数恒成立问题26.已知函数f（x）＝ax﹣lnx﹣1，g（x）＝，用max{m，n}表示m，n中的最大值，设φ（x）＝max{f（x）．g（x）}．若φ（x）≥在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围为【分析】讨论0＜x＜3，x≥3，g（x）与y＝的关系，问题转化为f（x）≥在（0，3）恒成立，运用参数分离和构造函数法，结合导数求得最大值，可得所求范围．【解答】解：当x∈（0，3）时，g（x）＝＜；x∈[3，+∞）时，g（x）≥，所以φ（x）≥在[3，+∞）必成立，问题转化为f（x）≥在（0，3）恒成立，由ax﹣lnx﹣1≥恒成立，可得a≥+在x∈（0，3）恒成立，设h（x）＝+，x∈（0，3），可得h′（x）＝，由0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）递增，1＜x＜3时，h′（x）＜0，h（x）递减，可得x＝1处，h（x）取得极大值，且为最大值，则h（x）max＝h（1）＝，故a≥，即a的取值范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．【知识点】函数恒成立问题27.若不等式|ax2+bx+c|≤1对于∀x∈[﹣1，1]上恒成立，则|a|+|b|+|c|的最大值是，若|ax2+bx+c|≤1对于∀x∈[0，1]上恒成立，则2|a|+3|b|+4|c|的最大值是．【答案】【第1空】5【第2空】265【分析】对第一问，可令x＝0，x＝﹣1，x＝1，得到绝对值不等式，通过绝对值的性质和可加性，可得所求最大值；对第二问，可令x＝0，x＝1，x＝，x＝，通过绝对值不等式的性质和可加性，化简变形可得所求最大值．【解答】解：对第一问，不等式|ax2+bx+c|≤1对于∀x∈[﹣1，1]上恒成立，可得x＝0时，|c|≤1①，x＝﹣1时，|a﹣b+c|≤1，②x＝1时，|a+b+c|≤1，③①②相加可得|a﹣b+c|+|c|≤2，又|a﹣b+c|+|c|≥|a﹣b|，即为|a﹣b|≤2，①③相加可得|a+b+c|+|c|≤2，又|a+b+c|+|c|≥|a+b|，即为|a+b|≤2，则|a﹣b|+|a+b|≤4，又|a﹣b|+|a+b|≥2|a|，则|a|≤2；由|a﹣b|+|a+b|≥2|b|，则|b|≤2；可得|a|+|b|+|c|≤5，即|a|+|b|+|c|的最大值为5；对第二问，若|ax2+bx+c|≤1对于∀x∈[0，1]上恒成立，当x＝0时，|c|≤1，x＝1时，|a+b+c|≤1，①x＝时，|++c|≤1，②，x＝时，|++c|≤1，③由①②相加可得|a+b+c|+|++c|≤2，由|a+b+c|+|++c|≥|+|，即|3a+2b|≤8，可得﹣8≤3|a|﹣2|b|≤8，④由①③相加可得|a+b+c|+|++c|≤2，由|a+b+c|+|++c||≥|+|，即|4a+3b|≤9，可得﹣9≤4|a|﹣3|b|≤9，⑤由2|a|+3|b|＝18（3|a|﹣2|b|）﹣13（4|a|﹣3|b|），可得2|a|+3|b|≤8×18+9×13＝261，则2|a|+3|b|+4|c|的最大值为265．故答案为：5，265．【知识点】函数恒成立问题。

高三数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.函数的最小正周期为．【答案】π【解析】因为，所以函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期为【考点】三角函数的周期2.已知函数，下面结论错误的是（）A．函数的最小正周期为2B．函数在区间［0，］上是增函数C．函数的图象关于直线＝0对称D．函数是奇函数【答案】D.【解析】A：最小正周期，∴A正确；B：当时，，∴B正确；C：∵，∴C正确；D：∵，∴是偶函数，∴D错误.【考点】三角函数的图象和性质.3.已知函数f(x)＝4sinxcos(x－)－1(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)当x∈[－π，]时，求函数f(x)的取值范围．【答案】(1)π；(2)[－2，1]【解析】(1)先化简函数表达式，利用T＝求周期；(2)根据已知条件，先确定出整体变量(2x－)的范围，然后根据正弦函数的性质求出f(x)的取值范围．试题解析：(1)∵函数f(x)＝4sinxcos(x－)－1＝4sinx(cosxcos＋sinxsin)－1＝2sinxcosx＋2sin2x－1＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)，∴T＝，∴函数f(x)的最小正周期π；(2)∵x∈[－，]，∴2x∈[－，]，∴2x－∈[－π，]，∴f(x)∈[－2，1]．【考点】两角和与差的三角函数，正弦型函数的性质，最小正周期，值域4.函数的最小正周期是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由周期公式，又,所以函数的周期，故选B.【考点】三角函数的最小正周期.5.设函数f(x)＝3sin(x＋)，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．【答案】2【解析】f(x)＝3sin(x＋)的最小正周期T＝2π×＝4，f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为＝2．6.已知函数(1)求的值；（2）当时，求函数的值域.【答案】（1）2 ；（2）.【解析】本题主要考查倍角公式、两角和的正弦公式、诱导公式、三角函数值域等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用倍角公式和两角和的正弦公式化简表达式，使之化简成的形式，将代入解析式，用诱导公式化简得到数值；第二问，利用第一问化简的表达式，将代入，先得到角的范围，再利用数形结合得到函数的值域.（1） .2分4分6分（2）， 8分， 10分，即的值域是 12分【考点】倍角公式、两角和的正弦公式、诱导公式、三角函数值域.7.江西高考设f(x)＝sin 3x＋cos 3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．【答案】[2，＋∞)【解析】由于f(x)＝sin 3x＋cos 3x＝2sin，则|f(x)|＝2≤2，要使|f(x)|≤a恒成立，则a≥2.8.已知函数的部分图象如图所示，则( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得：，又，，所以.【考点】三角函数图像与性质9.已知函数的图象由的图象向右平移个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则的值为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的图象在轴右侧的第一个对称轴为，所以，关于对称的直线为，由图象可知，通过向右平移之后，横坐标为的点平移到，所以，故应选A.10.已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x（1）求f(x)的最小正周期及最大值。

第1讲函数、基本初等函数的图象与性质考情解读(1)高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．(2)函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一识图，二用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．1．函数的三要素定义域、值域及对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.3．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． (2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况.热点一 函数的性质及应用例1 (1)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．(2)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝________. 思维启迪 (1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用f (x )的性质和x ∈[0，12]时的解析式探求f (3)和f (－32)的值．答案 (1)(－1,3) (2)－14解析 (1)∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减， 则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3. (2)根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t ) ＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到 f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14.所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝0＋⎝⎛⎭⎫－14＝－14. 思维升华 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．(1)(2013·重庆改编)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝________.(2)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________________________________________________________________________． 答案 (1)3 (2)⎝⎛⎭⎫－2，23 解析 (1)lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝－lg(lg 2)，由f (lg(log 210))＝5，得a [lg(lg 2)]3＋b sin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，则f (lg(lg 2))＝a (lg(lg 2))3＋b sin(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. (2)易知f (x )为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知， f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0， 令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g (m )<0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝－x －2<0，g (2)＝3x －2<0，∴－2<x <23.热点二 函数的图象例2 (1)下列四个图象可能是函数y ＝10ln|x ＋1|x ＋1图象的是________．(2)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．思维启迪 (1)可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象．(2)考虑函数f (x )的单调性． 答案 (1)③ (2)b >a >c解析 (1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，其图象可由y ＝10ln|x |x 的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，y ＝10ln|x |x 为奇函数，图象关于原点对称，所以，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1的图象关于点(－1,0)成中心对称．所以①④不可能是；又x >0时，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1>0，所以②不可能是，图象③可能是．(2)由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f (－12)＝f (52)，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .思维升华 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．(1)(2013·课标全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a的取值范围是________．(2)形如y ＝b|x |－a (a >0，b >0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”．若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg |x |图象的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 (1)[－2,0] (2)4解析 (1)函数y ＝|f (x )|的图象如图．①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立．②当a >0时，只需在x >0时，ln(x ＋1)≥ax 成立． 比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立． 即a ≥x －2成立，所以a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0. (2)由题意知，当a ＝1，b ＝1时， y ＝1|x |－1＝⎩⎨⎧1x －1(x ≥0且x ≠1)，－1x ＋1(x <0且x ≠－1)，在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．热点三 基本初等函数的图象及性质例3 (1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________．(2)已知α，β∈[－π2，π2]且αsin α－βsin β>0，则下面结论正确的是________．①α>β；②α＋β>0；③α<β；④α2>β2.思维启迪 (1)可利用函数图象或分类讨论确定a 的范围；(2)构造函数f (x )＝x sin x ，利用f (x )的单调性．答案 (1)(－1,0)∪(1，＋∞) (2)④解析 (1)方法一 由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )． 方法二 对a 分类讨论：当a >0时，log 2a >log 12a ，即log 2a >0，∴a >1.当a <0时，log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－a )<0，∴－1<a <0.(2)设f (x )＝x sin x ，x ∈[－π2，π2]，∴y ′＝x cos x ＋sin x ＝cos x (x ＋tan x )， 当x ∈[－π2，0]时，y ′<0，∴f (x )为减函数，当x ∈[0，π2]时，y ′>0，∴f (x )为增函数，且函数f (x )为偶函数，又αsin α－βsin β>0， ∴αsin α>βsin β，∴|α|>|β|，∴α2>β2.思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．(1)设15<(15)b <(15)a <1，那么a a ，b a ，a b 的大小关系式是________．(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．答案 (1)a b <a a <b a (2)0解析 (1)因为指数函数y ＝(15)x 在(－∞，＋∞)上是递减函数，所以由15<(15)b <(15)a <1，得0<a <b <1，所以0<ab<1.所以y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝(a b )x 在(－∞，＋∞)上都是递减函数，从而a b <a a ，(ab )a <1得b a >a a ，故a b <a a <b a .(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.1．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．(3)对于解析式较复杂的一般用导数法． (4)对于抽象函数一般用定义法． 2．函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )． 3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a . (2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．4．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中． 5．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较． 6．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用．真题感悟1．(2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 答案516解析 ∵f (x )是以4为周期的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫294＝f ⎝⎛⎭⎫8－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34， f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫8－76＝f ⎝⎛⎭⎫－76.∵当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫34＝34×⎝⎛⎭⎫1－34＝316.∵当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ，∴f ⎝⎛⎭⎫76＝sin 7π6＝－12. 又∵f (x )是奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34＝－316， f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫76＝12. ∴f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎫416＝12－316＝516.2．(2014·福建改编)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是________．答案 ②解析 由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.图象①中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；图象②中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；图象③中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；图象④中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故图象②正确． 押题精练1．已知函数f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为________．答案 ①解析 据已知关系式可得f (x )＝⎩⎨⎧e－ln x＋⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x (0<x ≤1)，eln x－⎝⎛⎫x －1x ＝1x(x >1)，作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象．2．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是________．答案 (4，＋∞)解析 ∵f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12m ＝－log 12n ，∴mn ＝1，∴0<m <1，n >1，∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减，当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.3．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )的最小值为________． 答案 －1解析 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f (x )|，|f (x )|≥g (x )，－g (x )，|f (x )|<g (x )，故h (x )的最小值为－1.4．已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 则所有正确命题的序号为________． 答案 ①②④解析 令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0，①正确； 根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，可得函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，②正确； 根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确； 由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8，④正确．故正确命题的序号为①②④.(推荐时间：40分钟)1．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 答案 －9解析 令g (x )＝f (x )－1＝x 3cos x ，∵g (－x )＝(－x )3cos(－x )＝－x 3cos x ＝－g (x )， ∴g (x )为定义在R 上的奇函数．又∵f (a )＝11， ∴g (a )＝f (a )－1＝10，g (－a )＝－g (a )＝－10. 又g (－a )＝f (－a )－1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－9.2．(2014·浙江改编)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是________．答案 ④解析 幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，图象①不正确；②由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故②错；图象③中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故③错．图象④是正确的．3．(2014·朝阳模拟)已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值为________． 答案 －lg 2解析 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝lg(－x )． 又函数f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )， 所以当x <0时，f (x )＝－lg(－x )． 所以f ⎝⎛⎭⎫1100＝lg 1100＝－2，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100＝f (－2)＝－lg 2. 4．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________． 答案 －1解析 因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.5．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则f (x －2)>0的解集为________．答案 {x |x <0或x >4}解析 由于函数f (x )是偶函数，因此有f (|x |)＝f (x )，不等式f (x －2)>0，即f (|x －2|)>0，f (|x －2|)＝2|x －2|－4>0， |x －2|>2，即x －2<－2或x －2>2，由此解得x <0或x >4.∴f (x －2)>0的解集为{x |x <0或x >4}．6．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)．7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，cos πx ，x <0的图象上关于y 轴对称的点共有________对． 答案 3解析 因为y ＝cos πx 是偶函数，图象关于y 轴对称．所以，本题可转化成求函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 图象的交点个数的问题．作函数图象如图，可知它们有三个交点，即函数f (x )图象上关于y 轴对称的点有3对．8．(2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，2解析 由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a . ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )． ∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)， ∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在[0，＋∞)上递增．∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1，∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13e x (x ≥2)，f (x ＋1)(x <2)，则f (ln 3)＝________. 答案 e解析 f (ln 3)＝f (ln 3＋1)＝13eln 3＋1＝e ，故填e. 10．已知函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 {a |a ≤2}解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －a )，x ≥a ，－x (x －a )，x <a ，由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0知，函数y ＝f (x )在[2，＋∞)单调递增，当a ≤0时，满足题意，当a >0时，只需a ≤2，即0<a ≤2，综上所述，实数a 的取值范围为a ≤2.11．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 －10解析 因为f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12，即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b 2＋212＋1＝b ＋43， 所以－12a ＋1＝b ＋43. 整理，得a ＝－23(b ＋1)．① 又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .② 将②代入①，得a ＝2，b ＝－4.所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)；③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则判断f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系为________．答案 f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)解析 由已知得f (x )是以4为周期且关于直线x ＝2对称的函数．所以f (4.5)＝f (4＋12)＝f (12)， f (7)＝f (4＋3)＝f (3)，f (6.5)＝f (4＋52)＝f (52)． 又f (x )在[0,2]上为增函数．所以作出其在[0,4]上的图象知f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)．13．设函数f (x )＝1＋(－1)x 2(x ∈Z )，给出以下三个结论： ①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋(－1)x ＋12＋1＋(－1)x 2 ＝1＋(－1)x ＋1＋(－1)x 2＝1，③正确． 14．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________．①f (x )＝e x ＋e －x ；②f (x )＝ln 5－x 5＋x； ③f (x )＝tan x 2；④f (x )＝4x 3＋x . 答案 ②③④解析 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．①中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图象不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不是“和谐函数”；②中f (0)＝ln 5－05＋0＝ln 1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x 5＋x＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 5－x 5＋x为“和谐函数”；③中，f (0)＝tan 0＝0，且f (－x )＝tan －x 2＝－tan x 2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x 2为“和谐函数”；④中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”，所以，②③④中的函数都是“和谐函数”．。

2021年高三上学期第四次周测数学试题含答案一．选择题 (本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)1．已知全集U=R，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是( )2．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A． B． C． D．3. 已知函数是定义在区间上的奇函数，若，则的最大值与最小值之和为（）A．0 B．2 C．4 D．不能确定4．设，则的大小关系是( )A．B．C．D．5．已知，，则的值为（）A．B．C．D．6. 中，角的对边分别为,设的面积为，，则角等于（）A．B．C．D．7．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于（）A．B．C．D．8.在中，已知，，点在斜边上，，则的值为（）A．B．C．D．9．在中，角的对边分别为，若，则的值为（）A．B．C．D．10. 设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意∈，都有成立，则称和是上的“密切函数”，区间称为和的“密切区间”.若,在上是“密切函数”，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．11．椭圆的半焦距为，左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于，两点，若四边形是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．12．已知是定义在上的奇函数，当0 < x < 3时，那么不等式的解集是（）A．B．C ．D ．二．填空题 (本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡的相应位置．) 13．对于实数，表示不超过的最大整数，观察下列等式：910111213141521⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦按照此规律第个等式等号右边为 ． 14．阅读如图所示程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填的是 ．15．已知函数，则函数的零点个数为 个．16．在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．已知点 是角终边上一点，，定义．对于下列说法： ①函数的值域是； ②函数的图象关于原点对称；③函数的图象关于直线对称； ④函数是周期函数，其最小正周期为； ⑤函数的单调递减区间是 其中正确的是 ．（填上所有正确命题的序号）三．解答题 (本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．) 17．（本小题满分12分）已知数列{a n }的首项为1，前n 项和S n 满足． （1）求S n 与数列{a n }的通项公式；（2）设（n ∈N *），求使不等式成立的最小正整数．18．（本小题满分12分）在某高校自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生都要参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为五个等级.某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为的考生有人.（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为的人数； （2）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为. 在至少一科成绩为的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为的概率.19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝45°，PD 平面ABCD ，PD =AD =1，点E 为AB 上一点，且，点F 为PD 中点.第（18）题图（1）若，求证：直线AF 平面PEC ；（2）是否存在一个常数，使得平面PAB 平面PED ，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分） 已知抛物线和直线，直线与轴的交点，过点的直线交抛物线于、两点，与直线交于点。

函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；(2) 一些单调性的判断规则：①若f (x)与g(x)在定义域内都是增函数(减函数)，那么f (x) + g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)即“同加异减”减时和第一个单调性相同。

②复合函数的单调性规则是“同增异减”。

2．函数的奇偶性的定义：(1)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = —f (x)，则称f (x)为.奇函数的图象关于对称。

(2)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = f (x)，则称f (x)为.偶函数的图象关于对称。

(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。

3．奇偶函数图象的对称性(1)若y = f (a + x)是偶函数，则 f (a + x) = f (a - x) o f (2a - x) = f (x) o f (x)的图象关于直线x= a对称；(2)若y = f (b + x)是偶函数，则 f (b - x) = - f (b + x) o f (2b - x) = - f (x) o f (x)的图象关于点(b,0)中心对称；4.若函数满足f Q + a)= f Q)，则函数的周期为T=a。

二、例题讲解1.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+ 8)上单调递减的函数是()A. y = 2|x|B. y = x3C. y = -x2+1D. y=cosx【答案】C【解析】试题分析：偶函数需满足f (-x) = f (x)，由此验证可知A,C,D都是偶函数，但要满足在区间(0,+ 8) 上单调递减，验证可知只有C符合.考点：偶函数的判断，函数的单调性.2. f (x) = x2-2x + 4的单调减区间是.【答案】(fl) 【解析】试题分析：将函数进行配方得/(，) =，2—2x + 4 = (x —1)2+3,又称轴为x = l,函数图象开口向上，所 以函数的单调减区间为(-8,1) . 考点：二次函数的单调性.3 .函数y = log (%2 +2% —3)的单调递减区间为()2A. (— °°, —3)B. (— °°, — 1)C. (1, +°°)D. ( — 3, — 1) 【答案】A 【解析】试题分析：由x2 + 2x —3>0,得％<—3或x>l, .♦./(%)的定义域为(―8,—3)U(L+8).y = log (%2 + 2% —3)可看作由 y = log 沈和 M = %2 + 2% — 3 复合而成的，u - X2 +2x-3 = (x +1)2 -4 2 2在(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，又y = log "在定义域内单调递增，.・.y = log (%2+2%-3)在2 2(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，所以y = log (%2+ 2% —3)的单调递减区间是(―叫—3),故选A.2考点：复合函数的单调性.4 .已知丁 = %2+2(〃 — 2)% + 5在区间(4,+8)上是增函数，则a 的范围是( )【答案】B 【解析】试题分析：函数y = %2+2(〃-2)% + 5的图像是开口向上以x = 2-a 为对称轴的抛物线，因为函数在区 间(4,+8)上是增函数，所以2 —a V 4,解得“之―2 ,故A 正确。

一轮复习补充作业1：函数的基本性质综合参考答案1．（1）（1,0） （2）0x = （3）0x =；1x = （4）②2.（1）令x=-1,有f(-1+4)=f(-1)+f(2),即f(3)=2+f(2),再令x=-3,有f(-3+4)=f(-3)+f(2),即f(3)+f(2)=2,这样可得f(3)=2,f(2)=0,这样f(x+4)=f(x)周期为4,从而f(2007)+f(2009)=f(3)+f(1)=2+2=4,故选D.（2）∵f(x)·f(x+2)=13,∴f(x+2)=()13f x .∴f(x+4)= ()13f x+2)=f(x).∴f(x)是以4为周期的周期函数.∴f(99)=f(24×4+3)=f(3)=f(1+2)=()13f 1=132 3.4. ()f x 图象关于点()0,2对称.()x f 在区间()+∞,2上单调递增，在区间()2,∞−上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.1242x x −<< ，且函数在()+∞,2上单调递增，所以()()124x f x f −<，又由()()4+−=−x f x f ，有()[]()()1111444)4(x f x f x f x f −=+−=−−=−， ∴()()<+21x f x f ()()114x f x f −+()()011=−=x f x f .选A.5.由定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x 可知()f x 为奇函数，由()(2)f x f x =−可知函数关于直线1x =对称，又()()(2)f x f x f x −=−=−−，则()(2)f x f x =−+，即(2)()f x f x +=−，所以(4)(2)()f x f x f x +=−+=，即4为函数()f x 的周期，又()(2)f x f x =−，且()(2)f x f x =−+，故(2)(2)f x f x −=−+，即函数()f x 的额图像关于点(2,0)对称，由此可作出函数()f x 的部分图象如图示：方程7()20f x x −+=即2()7x f x −=，因此方程7()20f x x −+=所有的根及转化为函数2(),7x y f x y −==的图象的交点问题，作出函数27x y −=的图象，如图示，可以看到两图象的交点关于点(2,0)对称，其中在点(2,0)的两侧对称的交点各有三个，故方程7()20f x x −+=所有的根之和为34214⨯+= ，故选：D6．因为函数()()212x x k f x k k ⋅−=∈+R 为奇函数，所以()()f x f x −=−，即2210122x x x x k k k k−⋅−+=+⋅+， 化简整理得()()21410x k −+=，所以210k −=，解得1k =±，当1k =时，()2121x x f x −=+，定义域为R ，不符合题意；当1k =−时，()21212121x x x f x −−==−−−−，定义域为()(),00,∞−+∞，A 选项正确；因为()13f −=，()13f =−，()()11f f −>，所以()f x 在定义域上不是单调递增的，B 选项错误； ()2121x f x +=−−，令()1t f x =+，函数图象如图所示． 若函数()x ϕ有四个零点，则2270t at a ++−=有两个大于2的实根，2222Δ=4(7)0222270a a a a a ⎧−−>⎪⎪−>⎨⎪⎪++−>⎩ 符合题意的a 不存在，C 选项正确； 若函数()x ϕ仅有三个零点分别为123,,x x x ，满足123x x x <<且130x x +=，则2270t at a ++−=有一个实根1t 大于2，另一根(]20,2t ∈，由韦达定理得122t t a +=−>，21270t t a =−>，其中()11f x t +=的两根为12,x x ，()21f x t +=的实根为3x ．()()111121121x t f x f x =+=+=−−，()()131123322112112x x x t f x f x +=+=−−==−− 因为122t t −=，()()22474a a −−−=，解得a =±，所以()3,2a =−−−．D 选项正确．故选：B7．()f x 是奇函数，()()()()0f x f x f x f x ∴−=−⇒+−=恒成立，即)())log log 0a a ax a x +−=恒成立，化简得，()222log 910a x a x +−=，即()2222291190x a x a x +−=⇒−=，则290a −=，解得3a =±，又0a >且1a ≠，3a ∴=， 则())3log 3f x x =，所以())33log 3log f x x ⎛⎫==，由复合函数的单调性判断得，函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，又()f x 为奇函数，所以()f x 在R 上单调递减；由()()20f ax bx f ax a +++<恒成立得，()()()()22333333f x bx f x f x bx f x +<−+⇒+<−−恒成立，则()223333330x bx x x b x +>−−⇒+++>恒成立，所以()234330b ∆=+−⨯⨯<恒成立，解得93b −<<. 8． ()f x 是定义在[]11−，上的奇函数，∴当a ，[]11b ∈−，，且0a b +≠时，()()f b f b =−−，由()()()()0a b f a f b ++>成立，即()()()0f a f b a b −−>−−，()f x ∴在[]11−，上是增函数()()11max f x f ∴==，()221f x m tm ∴<++对任意的[]11t ∈−，恒成立，等价于()2max 21f x m tm <++对任意的[]11t ∈−，恒成立，2121m tm ∴<++，即220tm m +>对任意的[]11t ∈−，恒成立，令()22g t tm m =+转化为()()1010g g ⎧−>⎪⎨>⎪⎩，解得2m <−或2m >．9． 由()()10f x f x ++=得，()()1f x f x +=−，所以，()()()()()()()111f x f x f x f x ++=−+=−−=，即()()2f x f x +=.所以“()()10f x f x ++=”是“()f x 是周期为2的周期函数”的充分条件.如下图是一个周期为2得函数，得不出()()10f x f x ++=，所以“()()10f x f x ++=”是“()f x 是周期为2的周期函数”的不必要条件.所以“()()10f x f x ++=”是“()f x 是周期为2的周期函数”的充分不必要条件.故选：A. 10．因为(1)y f x =+的图象关于直线1x =−对称，所以()y f x =向左平移一个单位关于直线1x =−对称，所以()y f x =关于直线0x =（y 轴）对称，所以()y f x =是偶函数，所以(2)(2)f f −=，又因为(4)()(2)f x f x f +=−，令2x =−得：2(2)(2)f f =−，所以2(2)(2)(2)f f f =−=，所以(2)(2)0f f =−=，所以(4)()f x f x +=,所以()f x 周期为4，12,[0,2]x x ∈，当12x x ≠时，都有()()12210f x f x x x −<−，所以()()12120f x f x x x −>−，所以()f x 在[0,2]单调递增，所以()f x 草图如下： 由图像可得：(3)(3)(4)f f f −=>且11()(5)(3)(3)2f f f f >==−,所以110()(3)(4)2f f f >>−> 11111(3)(4)2f f f <<−⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以选项C 正确.故选: C. 11． ()11y f x =−+是奇函数，则有()()1111f x f x −+=−−−+⎡⎤⎣⎦，即()()112f x f x −+−−=−，故选项A 判断正确；选项B 判断错误；把函数()11y f x =−+的图像向左平移1个单位长度再向下平移1个单位长度，可以得到函数()y f x =的图像，则由函数()11y f x =−+有对称中心()0,0，可知函数()y f x =有对称中心()1,1−−.选项C ：由()()11f x f x =+−，可得函数()y f x =的周期为2.判断错误； 选项D ：由()()11f x f x +=−−，可得函数()y f x =有对称轴0x =.判断错误.故选：A12． 函数()y f x =是R 上的奇函数，()00f ∴=，由题意可得()()100f f =−=，当0x ≥时，()()()21f x f x f x +=−+=，()()()()()()2021202220212022100f f f f f f ∴+−=−=−=，A选项正确；当0x ≥时，()()1f x f x +=−，则2616log 555f f ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2449log 555f f ⎛⎫⎛⎫−=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4462555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴−≠−+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则函数()y f x =不是R 上周期为2的函数，B 选项错误； 若x 为奇数时，()()10f x f ==，若x 为偶数，则()()00f x f ==，即当Z x ∈时，()0f x =，当0x ≥时，()()2f x f x +=，若N n ∈，且当()2,21x n n ∈+时，()20,1x n −∈，()()()20,1f x f x n =−∈，当()1,2x ∈时，则()10,1x −∈，()()()11,0f x f x ∴=−−∈−，当()21,22x n n ∈++时，()21,2x n −∈，则()()()21,0f x f x n =−∈−，所以，函数()y f x =在[)0,∞+上的值域为()1,1−，由奇函数的性质可知，函数()y f x =在(),0∞−上的值域为()1,1−，由此可知，函数()y f x =在R 上的值域为()1,1−，D 选项错误；如图所示：由图象可知，当11x −<<时，函数y x =与函数()y f x =的图象只有一个交点，当1x ≤−或1≥x 时，()()1,1f x ∈−，此时，函数y x =与函数()y f x =没有交点，则函数y x =与函数()y f x =有且只有一个交点，C 选项错误.故选：A.13．因为定义在R 上的连续奇函数()f x 满足(4)()f x f x −=−，所以[(4)4](4)()f x f x f x −−=−−=，即(8)()f x f x −=，所以()f x 是以8为周期的函数，8k （k Z ∈且0k ≠）也是其周期，又(4)()()f x f x f x −−=−−=，则(48)()f x f x −−+=，即()(4)f x f x =−，所以函数()f x 的一条对称轴为422x ==，又8k （k Z ∈且0k ≠）是()f x 的周期，所以()()()84f x f x k f x =+=−，则()84422k x k k Z +==+∈为函数的对称轴，所以46()x k k Z =−∈也是函数的对称轴，故①正确；可画出函数的模拟图象如下：由图可知，函数()f x 的单调递减区间为[86,82]()k k k Z −−∈，故②错误；由图可知，()f x 在一个周期内有两个最值点，在区间(2020,2020)−上有505个完整周期，有1010个最值点，在区间[2021,2020]−−和[2020,2021]上无最值点，故在区间[2021,2021]−上有1010个最值点，故③正确；由图中12345,,,,m m m m m 五条直线可知，关于x 的方程()0f x m −=在区间[8,8]−上有根，则所有根的和可能为0或4±或8±，故④正确.综上，正确的个数为3个.14．因为()1f x +是奇函数，所以函数()y f x =的图象关于点()1,0成中心对称，即(2)()0f x f x −+=．又因为函数()f x 为奇函数，所以(2)()()f x f x f x −=−=−，即(2)()f x f x +=，所以函数()y f x =是周期为2的周期函数．由于函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，得(2)(4)0f f ==．又因为当(]0,1x ∈时，21()log f x x，所以21log 212f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，11122f f ⎛⎫⎛⎫−=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是得出7311222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==−=− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，51122f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．作出函数()y f x =与函数()sin y x π=的图象如下图所示，由图象可知，函数()y f x =与函数()sin y x π=在区间[]1,m −上从左到右10个交点的横坐标分别为1−，12−，0，12，1，32，2，52，3，72，第11个交点的横坐标为4．因此，实数m 的取值范围是7,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故实数m 的最小值为72． 15．由()()110f x f x ++−−=，易知()f x 为奇函数，∴10x −≤≤，即01x ≤−≤时，()()(21)12x x f x f x −−=−−=−−=−，又()()11f x f x +=−，即()()110f x f x −+−−=，则(2)()f x f x +=−，∴()4()f x f x +=，易知()f x 的周期为4，当32x −−≤≤，即120x −≤+≤时，则2()(2)(12)x f x f x −−=−+=−−，当21x −≤≤−，即021x ≤+≤时，则2()(2)12x f x f x +=−+=−，综上，可得[]3,6−上()f x 的图象如下：()()()21g x x f x =−−在[]3,6−上的零点，即为()f x 与12y x =−的交点横坐标，如上图知：共四个交点，且四个交点分别关于()2,0对称，即所有零点之和为448+=.16．∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()1f x +为奇函数，∴()(),(1)(1)f x f x f x f x −=−+=−+， ∴(2)()()f x f x f x +=−−=−，∴(4)(2)()f x f x f x +=−+=，∴函数()f x 的周期为4，令1x =−可得(1)(1)(1)f f f =−−=−即(1)(1)0f f =−=,∴()9(1)(1)0f f f −=−==，由(2)()()f x f x f x +=−−=−得(2)()()f x f x f x '''+=−=−，∴(4)()f x f x ''+=，又()12f '=−∴(9)(1)(1)2f f f '''−=−=−=，∴曲线()y f x =在点()()9,9f −−处的切线方程为02(9)y x −=+即2180x y −+=.17．由函数(1)=−y f x 的图象关于点(1,0)对称知函数()y f x =的图象关于原点对称，即函数()y f x =是奇函数，由任意的x ，总有(2)(2)f x f x −=+成立，即(4)()f x f x +=恒成立，于是得函数()y f x =的周期是4，又当(0,2)x ∈时，2()21f x x x =−+，则当(0,2)x ∈时，0()1f x ≤<，而()f x 是奇函数，当(2,0)x ∈−时，1()0f x −<≤，又(2)(2)f f −=，f (-2)=-f (2)，从而得(2)(2)(0)0−===f f f ，即[2,2)x ∈−时，1()1f x −<<，而函数()y f x =的周期是4，于是得函数()y f x =在R 上的值域是(1,1)−，因对任意x ∈R ，存在t ∈R ，使得()()>f x g t 成立，从而得不等式()1g x ≤−，即21mx x +≤−在R 上有解， 当0m ≤时，取2x =−，4221m −≤−<−成立，即得0m ≤，当0m >时，210mx x ++≤在R 上有解，必有140m ∆=−≥，解得14m ≤，则有104m <≤， 综上得14m ≤，所以满足条件的实数m 构成的集合为1{|}4≤m m . 18． ()1g x +为偶函数，则()g x 关于1x =对称，即()()2g x g x =−，即()()()()112x f x x f x −=−−，即()()20f x f x +−=，()f x ∴关于()1,0对称，又f (x )是定义域为R 的偶函数，∴()()()22f x f x f x =−−=−− ∴f (x －4)＝f [(x －2)－2]＝－f (x －2)＝－[－f (x )]＝f (x )，即f (x －4)＝f (x )，()f x ∴周期为4，∴()()()()5.5 1.5 2.5 2.52f f f f ==−==，()()()0.5 2.5 1.5 2.53g g f ∴−===.19．对于A ，由已知得11()sin()sin 2()sin sin 222f x x x x x πππ−=−+−=−，即()()π−≠f x f x ，故()f x 不关于2x π=对称，故A 错误；对于B ，331sin sin 310222f πππ⎛⎫=+=−≠ ⎪⎝⎭，故B 错误； 对于C ，利用二倍角公式知()sin (1cos )f x x x =+，令()0f x =得sin 0x =或cos 1x =−，即()x k k Z π=∈，所以该函数在区间[]0,10内有4个零点，故C 错误；对于D ，求导2()cos cos 22cos cos 1f x x x x x '=+=+−，令cos x t =，由57,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，知1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即2()21g t t t =+−，利用二次函数性质知()0g t ≥，即()0f x '≥，可知()f x 在区间57,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 正确；故选：D.20．函数2257y x x =−+的图象 关于直线54x =对称，函数ln |45|y x =− 的图象也关于直线54x =对称，故函数()21ln 45257f x x x x =−−−+的图象关于直线54x =对称， 当54x >时，函数2257y x x =−+函数单调递增，函数ln |45|y x =− 单调递增，故()21ln 45257f x x x x =−−−+单调递减，当54x <时，()21ln 45257f x x x x =−−−+单调递增，故由不等式()()312f t f t −>−成立可得：550|31||2|44t t <−−<−− ，整理得：34t ≠ 且222913(3)(),161411044t t t t −<−−−< ， 故1324t −<< 且31148t << 21．由题设，()1111()2(2)e e x x f x a f x x x−−++=−−=+，定义域为{|0x x ≠且2}x ≠， 所以()f x 关于1x =对称，C 正确； 又()222222111(e )e e 114(1)1()(2)(2)e x x x x x a f x x x x a x −−−+−−−+=+−'+−−=−， 当0a <时，不妨假设1a =−，则221224(1)()(12e e )x x x x f x x −−−+−−'=，显然424221e 8e 99e 0e 8(3)99e f −−'==+<+，此时()f x 在()2,+∞上有递减区间，A 错误；当0a >时，在()2,+∞上()0f x '>，即()f x 在()2,+∞上递增，B 错误；由()()f m x f m x −++=()1111e 122e 1m x x m m x m x m a m x x −−−+++−+−−−−++−()11e e m x x m a +−−−++，不可能为定值，故D 错误.故选：C22．函数()112e e 1x x f x ++=+定义域为R ，且()002e 11e 1f −==+，即点()1,1−在函数图象上， R x ∀∈，2e 2e 22e 2e 1e (1)(11e )e 11x x xx x x x f x f x −−−−+−+=+=+=++++，因此，函数()f x 的图象关于点()1,1−对称，依题意，不妨令221,1x y =−=，则点()11,x y 与()33,x y 关于点()1,1−对称，即132x x +=−且132y y +=，所以()()2222123123(3)318x x x y y y +++++=−+=. 23．设(),P x y 是函数()g x 的图象上任意一点，其关于直线1x =的对称点为()2,Q x y −在()f x 的图象上，所以()()2211a x ay g e x f x +−=−=−+=，其定义域为R ，且()g x 为奇函数，所以()20101a ag e −=−=+，即210a e a −−+=，即()2210a e a −−−−=，令()1x x e x ϕ=−−，求导()1x x e ϕ'=−当0x <时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；当0x >时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；所以当且仅当0x =时，()0x ϕ=，所以20a −=，即2a =，故()221e 1x f x −=−+，易知函数()f x 在R 上递减，所以()(21)()(3)f x f a f x f <−⇒<，不等式的的解集为(3,)+∞．24．由题意得()()40f f =，()()31f f =，所以()()()816466,393616,a b a b a b ⎧+++=⎪⎨+++=−+++⎪⎩解得6,8,a b =−⎧⎨=⎩所以()()()()()()()2422226864262426f x x x x x x x x x x =−−++=−−+=−−−+()22222x ⎡⎤=−−+⎣⎦. 令()22x t −=，若[]0,5x ∈，则[]0,9t ∈.令()()222h t t =−+，[]0,9t ∈，故()[]2,51h t ∈，即当[]0,5x ∈时，()[]2,51f x ∈.存在1x ，2x ，…，[]0,5n x ∈（*N n ∈）使得()()12nn i i f x f x ==∑成立，即存在1x ，2x ，…，[]0,5n x ∈（*N n ∈），使得()()()()121n n f x f x f x f x −=+++，由[]0,5x ∈时，()f x 的最小值为2，最大值为51，得()()()()()1215121n n f x f x f x f x n −≥=+++≥−，得532n ≤，又*N n ∈，所以可得n 的最大值为26. 25．令0,0x y ==，得(0)(0)(0)f f f −=，所以(0)0f =；令0,x y x ==，得(0)()()f f x f x −=−，故()()f x f x −=−，()f x 为奇函数，故A 正确;任取1211x x −<<<，则121212()()()1x x f x f x f x x −−=−， 因为121212121212121(1)(1)10111x x x x x x x x x x x x x x −−+−+−+==>−−−，故1212101x x x x −−<<−， 121212()()()01x x f x f x f x x −−=<−，121212()()()1x x f x f x f x x −<=−，故()f x 为增函数，所以C 正确； 1111115523()()()()()()()11232376123f f f f f f f ++=−−==<+⨯，所以D 错误； 1()()()()()()12a b f a f b f a f b f f ab ++=−−==+，所以112a b ab +=+，则221a b ab +=+，123222b a b b −==+−−，当(1,1)b ∈−，(1,1)a ∈−，所以存在,a b ，使得1()()2f a f b f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以B 正确.故选：ABC. 26．对于选项A ：(1)f x +为偶函数，故(1)(1)f x f x +=−+，令52x =得：753()(1)()222f f f =−+=−，又(1)f x −为奇函数，故(1)(1)f x f x −=−−−，令12x =得：311()(1)()222f f f −=−−=−−，其中1131244f ⎛⎫−=−+= ⎪⎝⎭，所以1373()(24)22f f f ⎛⎫−=− −⎪⎝⎭=−=，故选项A 正确； 对于选项B ：因为(1)f x −为奇函数，所以()f x 关于()1,0−对称，又(1)f x +为偶函数，则()f x 关于1x =对称，所以()f x 周期为428⨯=，故()()71f x f x =+−，所以()()()(7)(1)1187f x f x f x f x f x −+=−−=−−=−−+=−+,从而(7)f x +为奇函数，故选项B 正确；对于选项C ：2()1f x x =−+在(1,0)x ∈−上单调递增，又()f x 关于()1,0−对称，所以()f x 在()2,0−上单调递增，且()f x 周期为8，故()f x 在(6,8)上单调递增，故选项C 错误；对于选项D ：根据题目条件画出()f x 与lg y x =−的函数图象，如图所示：其中lg y x =−单调递减且lg121−<−，所以两函数有6个交点，故方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解， 故选项D 正确.故选：ABD27．对于D ，()f x 的定义域为()0,2π，()f x π+的定义域为(),ππ−，且()()()()()()ln ln sin ln ln sin f x x x x x x x ππππππ+=++−⋅+=−++−⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，记()()g x f x π=+，则有[][]()ln()ln()sin()ln()ln()sin ()g x x x x x x x g x ππππ−=−−++⋅−=−++⋅=−， 故()f x π+是奇函数，选项D 正确.对于AB ，()()()()()()()ln ln sin ln ln sin f x x x x x x x f x πππππππ−=−++⋅−=−++⋅=−+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 故()f x 的图像关于点(),0π对称，选项B 正确，选项A 错误；对于C ，令()0f x =，则有()ln ln 2sin 0x x x π+−⋅=⎡⎤⎣⎦，即()ln ln 20x x π+−=或sin 0x =，解得()21x x π−=或x π=，即12x ππππ<=+=，20x πππ=−=>或x π=， 故()f x 有3个零点，选项C 错误.故选：BD28．由已知关系式()()()()()2,f x f y f x y f x y x y R =++−∈，对于A ，∵()00f =，故令0x =，得()()()()20f f y f y f y =+−，则()()f y f y −=−，∴()f x 是奇函数，令1,0x y ==，得()()()()2101010f f f f =++−，则()10,f =又()00f =，故一定是单调增函数是错误的，故A 错误；对于B ，∵()01f =时，令0x =，则()()()()20f f y f y f y =+−，进而有()()−=f y f y ，∴()f x 是偶函数，此时不妨取()cos f x x =，显然有()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=，即满足()()()()()2,f x f y f x y f x y x y R =++−∈，且()cos f x x =有最大值1.故B 能成立.对于C 来说，()cos f x x =显然满足题意，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭C 能成立.对于D ，∵()112f =，特取1y =，则()()()()()2111,f x f f x f x x y R =++−∈，进而有()()()11f x f x f x =++−，整理得()()()11f x f x f x +=−−①.且有()()()21f x f x f x +=+−②,由①②得()()21f x f x +=−−，推得()()3f x f x +=−，又得()()6f x f x +=，∴()f x 是最小正周期为6的周期函数，根据()112f =，特取1,0x y ==，则()()()()21011f f f f =+得()01f =.再取0,1x y ==，即()()()()20111f f f f =+−， 解得()()1112f f −==，令1x =−，1y =.于是()()()()21102f f f f −=+−，解得()111222222f −=⨯⨯−=−.∴()()()1100617222f f f =⨯−=−=−.故D 成立.故选：BCD . 29．由()(2)()f x f x f x −=−+=，故(4)(2)f x f x −+=+，所以()(4)f x f x =+，故()f x 的周期为4，又()10f =，(2)(0)0f f =−=，()()()()()()202120224505145052120f f f f f f +=⨯++⨯+=+=，A 正确；若10−<≤x ，则()()21x f x f x −=−=−，若12x <≤，则2()(2)12x f x f x −=−−=−，若56x <≤，则6()(4)12x f x f x −=−=−，B 正确；由上分析可得函数图象如下：由(]0,x a ∈，则(]11,1t x a =+∈+，要使1()2f t ≤恒成立，由图知：13a +<，即2a <，故a 无最大值，C 错误；由()g x 解析式及其图象：[0,4)上有3个交点，所以在[0,2020)x ∈上有1515个公共点，在[2020,2022]x ∈有2个公共点，故[0,2022]x ∈共有1517个公共点，D 错误.故选：AB.30．对于A ，由44010x x ⎧−≠⎨−≠⎩得：1x ≠，即()f x 定义域为{}1x x ≠，不关于原点对称，()f x ∴为非奇非偶函数，A 错误；对于B ，()112121144242x x x x x xf x x x+++++=+=+−⋅−，()()1122112412121444224244444xx x x x x x x xx x x x f x x x x x −−−−⋅−−−=−=−=−=−−−⋅−⋅−， ()()112f x f x ∴++−=，()f x ∴图象关于点()1,1对称，B 正确；对于C ，当1x >时，()1141212xxf x x=+−−；2x t =在()1,+∞上单调递增，4y t t =−在()2,+∞上单调递增，422xx y ∴=−在()1,+∞上单调递增，1422x x y ∴=−在()1,+∞上单调递减； 11y x=−在()1,+∞上单调递增，111y x ∴=−在()1,+∞上单调递减；()f x ∴在()1,+∞上单调递减；由B 知：()f x 图象关于()1,1对称，()f x ∴在(),1−∞上单调递减；当1x >时，2044xx >−，11111x x x =+>−−，()1f x ∴>，()f x ∴在()1,+∞上无零点； 当1x <时，()11000143f =+=−<−，()1111210123044f −=+=>−， ()01,0x ∴∃∈−，使得()00f x =，则()f x 在(),1−∞上有唯一零点0x x =；综上所述：()f x 有唯一一个零点，C 正确；对于D ，由C 知：()f x 在(),1−∞和()1,+∞上单调递减，又1x >时，()1f x >；1x ∴<时，()1f x <； ①当22311x x +>⎧⎨>⎩，即1x >时，由()()223f x f x +>得：223x x +<，解得：1x <−（舍）或3x >；②当22311x x +<⎧⎨<⎩时，不等式组无解，不合题意；③当22311x x +>⎧⎨<⎩，即11x −<<时，()231f x +>，()21f x <，满足题意；④当22311x x +<⎧⎨>⎩，即1x <−时，()231f x +<，()21f x >，不合题意；综上所述：()()223f x f x +>的解集为：()()1,13,−+∞，D 正确.故选：BCD.31．对于A ，令1x t =−，则()()22f t f t +−=，即()()22f x f x +−=， 又()()224f x f x ++−=，()()()()()242422f x f x f x f x ∴+=−−=−−=+； 令0x =得：()()112f f +=，()()224f f +=，()11f ∴=，()22f =， 则由()()22f x f x +=+可知：当x ∈Z 时，()f x x =，A 正确； 对于B ，令1x t =+，则()()22f t f t −++=，即()()22f x f x −++=， ()()()()()2224222f x f x f x f x ∴−=−+=−−−=−−，由A 的推导过程知：()()22f x f x −=−，()()()22f x f x f x ∴−=−−=−，B 正确； 对于C ，()f x 为R 上的增函数，∴当0T >时，x T x +>，则()()f x T f x +>；当0T <时，x T x +<，则()()f x T f x +<，∴不存在非零实数T ，使得任意x ∈R ，f x T f x ，C 错误；对于D ，当1c =时，()()f x cx f x x −=−；由()()112f x f x −++=，()()224f x f x ++−=知：()f x 关于()1,1，()2,2成中心对称，则当a Z ∈时，(),a a 为()f x 的对称中心；当[]0,1x ∈时，()f x 为R 上的增函数，()00f =，()11f =，()[]0,1f x ∴∈，()1f x x ∴−≤；由图象对称性可知：此时对任意x ∈R ，()1f x cx −≤，D 正确.故选：ABD.32．对于A ，当1λ=时，()()2f x f x =−，则()()222()f x f x f x +=+−=，当2x ≥时，()2()f x f x +=，所以()()2225log 80log 806log 4f f f ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭25log 45121144=−=−=，故A 错误；对于B ，当1λ=−时，()()2f x f x =−−，则()()42()f x f x f x +=−+=，当2x ≥时，()4()f x f x +=，所以()f x 在区间[)10,11内单调性与在区间[)2,3内的单调性相同，当[)2,3x ∈时，[)20,1x −∈，所以()f x 在区间[)2,3内单调性与在区间[)0,1内的单调性相反，故B 正确；对于C ，当2λ=时，当2x ≥，()()22f x f x =−，即当0x ≥，()()122f x f x =+，当[0,2]x ∈时，()[0,1]f x ∈，当[2,4]x ∈时，()[0,2]f x ∈，当[4,6]x ∈时，()[0,4]f x ∈，当136,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()8]f x ∈，所以()f x 在区间130,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的最大值为4.故C 错误；对于D ，当2λ=时，当2x ≥，()()22f x f x =−，即当0x ≥，()()122f x f x =+，由图像有：若函数()1x g x −=的图像与()f x 的图像在区间[]0,a 内的m 个交点，记为()(),1,2,3,,i i x y i m =⋅⋅⋅，且116mi i x ==∑，则a 的取值范围为[)7,9，故D 正确.故选：BD.33．由()f x 定义域为R ，()()1232f x f x +=−可得()()13f x f x +=−，()()1131f x f x ++=−−， 即()()22f x f x +=−，则函数()f x 图象关于直线2x =对称，A 正确；由()()22f x f x +=−以及()f x 为偶函数可得()()()222f x f x f x +=−=−，则()()4f x f x +=，即函数()f x 的周期为4，B 错误；由周期性知，()()()()()()20232022202032020232f f f f f f +=+++=+，又()()2121f f +=−， 即()()311f f ==，则()()20232022101f f +=+=，C 错误； 函数()g x 的定义域为()2,6−，()()2222eeee 22x xx xg x g x −+−−−−−−+===−==，可得函数()g x 图象关于直线2x =对称，分别画出()f x 和()g x 的图象如图所示：由图可得()f x 和()g x 的图象有四个交点，且关于直线2x =对称，则所有交点横坐标之和等于22228⨯+⨯=，D 正确.故选：AD. 34． (1)f x +为偶函数，故(1)(1)f x f x +=−+，令52x =得：753()(1)()222f f f =−+=−， (1)f x −为奇函数，故(1)(1)f x f x −=−−−，令12x =得：311()(1)()222f f f −=−−=−−，其中1131244f ⎛⎫−=−+= ⎪⎝⎭，所以1373()(24)22ff f ⎛⎫−=− −⎪⎝⎭=−=，A 正确； 因为(1)f x −为奇函数，所以()f x 关于()1,0−对称，又(1)f x +为偶函数，则()f x 关于1x =对称，所以()f x 周期为428⨯=，故()()71f x f x =+−，所以()()()(7)(1)1187f x f x f x f x f x −+=−−=−−=−−+=−+，从而(7)f x +为奇函数，B 正确；2()1f x x =−+在(1,0)x ∈−上单调递增，又()f x 关于()1,0−对称，所以()f x 在()2,0−上单调递增，且()f x 周期为8，故()f x 在(6,8)上单调递增，C 错误；根据题目条件画出()f x 与lg y x =−的函数图象，如图所示：其中lg y x =−单调递减且lg121−<−，所以两函数有6个交点，故方程()lg 0f x x +=有6个或5个实数解，D 正确.故选：AB35．因为()f x 周期为4，则()g x 的周期为4，又()f x 是奇函数，所以(2022)(50542)(2)(2)(3)(2)(1)(1)1g g g f f f f f =⨯+==+=+−=−=−，A 错误，B 正确； 令21x −≤<−，即12x <−≤，则()2()f x x f x −=+=−，即()2f x x =−−；令10x −≤<，即01x <−≤，则()()f x x f x −=−=−，即()f x x =；所以2,21(),112,12x x f x x x x x −−−≤<−⎧⎪=−≤≤⎨⎪−<≤⎩，根据周期性()y g x =在(6,7)上的图象与在(2,1)−−相同，所以，当21x −≤<−，即110x −≤+<时，()()(1)211g x f x f x x x =++=−−++=−，C 错误；由()f x 是周期为4的奇函数，则(2)()(2)f x f x f x +=−=−且(1)(1)f x f x −=−+，所以(1)(1)(2)(1)(2)()(1)()g x f x f x f x f x f x f x g x −=−+−=−−−−=++=，故()g x 关于12x =对称， ()(3)()(1)(3)(4)()(1)(1)()0g x g x f x f x f x f x f x f x f x f x +−=+++−+−=++−+−=，所以()g x 关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，D 正确.故选：BD 36．当[)1,2x ∈时，()()()3111133f x f x x =−=−；当[)2,3x ∈时，()()()3112299f x f x x =−=−；依次类推，当[),1x n n ∈+，n N ∈时，()()313nf x x n =−；对于A ，1128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，311123224f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合增函数定义，A 错误； 对于B ，()()min 0f x f n ==，()1f x <，∴对于[)12,0,x x ∀∈+∞，不等式()()121f x f x −<恒成立，B 正确；对于C ，当[),1x n n ∈+，n N ∈时，()10,3n f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；若1134n <，则2n ≥，n ∴的最小值为2，C 正确；对于D ，由()()()()2110mfx m f x m R +++=∈得：()()()()110mf x f x ++=，当0m =时，则()1f x =−，方程无解，不合题意；当0m ≠时，则()1f x m =−或()1f x =−；()f x ∴与1y m=−有且仅有三个不同交点； 当[)0,1x ∈时，()[)0,1f x ∈；当[)1,2x ∈时，()10,3f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；当[)2,3x ∈时，()10,9f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；当[)3,4x ∈时，()10,27f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；当[)4,5x ∈时，()10,81f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；111279m ∴≤−<，解得：279m −≤<−；D 正确.故选：BCD.37．对A ，由()()2()cos f x y f x y f x y ++−= ，令=0x ，得 ()()2(0)cos0f y f y f +−=，(0)0f =()()0f y f y ∴+−=，()f x ∴为奇函数，故A 正确； 对B ，令=2y π，得()()022f x f x ππ++−=，()2)2(f x f x ππ∴−=−+，()()f x f x π∴=−+()(2)f x f x π∴=+，∴()f x 是周期函数，故B 正确；对C ，当()2sin f x x =时，符合题意，但是()2f x ≤，故C 错误；对D ，当()2sin f x x =−时，符合题意，但是()f x 在ππ[,]22−上是减函数，故D 错误.故选：AB.38．221(1)0x x x x −+=−>恒成立，∴函数()f x 的定义域为R ，(0)1)0,()f f x =≠∴不是奇函数，∴A 错误；将()g x 的图象向下平移两个单位得26222,2222x x x x y +−=−=++向左平移一个单位得112212(),2212x x x x h x ++−−==++1221()(),()1221x x x x h x h x h x −−−−−===−∴++图象关于（0，0）对称，∴()g x 的图象关于（1，2）对称，∴B 正确；将()f x 的图象向左平移一个单位得())lg,k x x =()()))lglglg10,k x k x x x −+=+==()k x ∴为奇函数，()f x 关于（1，0）对称，因为())1gk x x ==在()0,+∞上递减，且())1gk x x =为奇函数()00k =，())k x x =∴在(),−∞+∞为减函数，()1)(1)]f x x x =+=−−∴在(),−∞+∞为减函数，又264()12222x x xg x +==+++为减函数，∴()F x 为减函数，∴()F x 在1-m 处取得最大值，则()F x 在1+m 处取得最小值，则()()()()1111044,M N f m f m g m g m +=++−+++−=+=∴C 错误; ()()21412124F a F a f a f a g a g a +−+⇔+−++−（）（）＞（）（）＞，()()()121242f a g a f a g a f a g a −+−−−（）＞-（）+=（2-）+，(21)(2)F a F a ∴−+>−，因为()F x 为减函数，则212,1,a a a −+<−∴>−∴D 正确．故选：BD ． 39．由11()lg(2022||)lg(2022||)()2022||2022||f x x x f x x x −=+−−=+−=+−+且定义域为R ，所以()f x 为偶函数，当,()0x ∈+∞时1()lg(2022)2022f x x x=+−+为增函数，故在(,0)x ∈−∞上()f x 为减函数，综上，由()log 2022(1)a f f ≥，即log 20221a ≤−或log 20221a ≥，当01a <<时，则112022a ≤<；当1a >时，则12022a <≤，所以a 的取值范围为1,1(1,2022]2022⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,1(1,2022]2022⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭40．因为()22f x +为偶函数，所以()22f x −+＝()22f x +，即()2f x −+＝()2f x +， 所以函数()f x 关于2x =对称，所以()f x −＝()4f x +，又因为()1f x +为奇函数，所以()1f x −+＝－()1f x +，所以函数()f x 关于(1,0)对称，()f x −＝－()2f x +＝－()2f x −+， 即()f x ＝－()2f x +，所以()2f x +＝－()f x ，()[22]f x ++＝－()2f x +＝()f x ，即()4f x +＝()f x ，所以()f x 的周期为4，在()1f x −+＝－()1f x +中令 0x =，得(1)(1)f f =−，所以(1)0f = ，即0a b +=，又因为()41f =，所以()01f =，即1b =，所以1a =−，所以当[]0,1x ∈时，()1f x x =−+，所以1111222f ⎛⎫=−+= ⎪⎝⎭，所以31111(1)(1)()22222f f f f ⎛⎫=+=−−=−=− ⎪⎝⎭，51131(2)(2)()22222f f f f ⎛⎫=+=−==− ⎪⎝⎭，73311(2)(2)()22222f f f f ⎛⎫=+=−== ⎪⎝⎭，9111(4)()2222f f f ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，所以则35792222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0.故答案为：0. 41．因为定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x +−=，所以设()()212g x f x x =−，则()()g x g x =−−，所以()()212g x f x x =−为奇函数，因为[)12,0,x x ∀∈+∞，都有()()()121212122f x f x x x x x x x −+>≠− 当12x x >时，则有()()()()1212122x x x x f x f x +−−>，即()()22121222x x fx f x −>−，所以()()12g x g x >，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，当12x x <时，则有()()22121222x x f x f x −<−， 所以()()12g x g x <，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，综上：()g x 在()0,∞+上单调递增， 因为()g x 为奇函数，则()g x 在R 上单调递增，()()112f x f x x −−>−变形为：()()()22111122f x x f x x −>−−−，即()()1g x g x >−，所以1x x >−，解得：12x >.故答案为：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭42．根据已知可得()y f x =的简图如下，则有1223+=2π+4πx x x x =，，又2213x x x ⋅=，可得2222)(4π)(2πx x x ⋅−−=，解得243x π=.故答案为43π 43．依题意，()()R,x f x f x ∀∈−=−，当01x ≤≤时，()f x 10x ≤≤-时，()()f x f x =−−=，又(1)f x +为偶函数，即(1)(1)−+=+f x f x ，即()(2)f x f x =−，当12x ≤≤，即021x ≤−≤时，()f x =，当23x ≤≤，即120x −≤−≤时，()f x = 因此，当[1,3]x ∈−时，101()223x x f x x x ⎧−≤<≤<=≤<≤≤⎩，显然有(2)()()(2)(2)f x f x f x f x f x +=−=−=−−=−，于是得()f x 是周期为4的周期函数，当02x ≤≤时，()01f x ≤≤，当24x ≤≤时，()10f x −≤≤， 令()|()|(||)g x f x f x =+，则()|()|(||)|()|(||)|()|(||)()g x f x f x f x f x f x f x g x −=−+−=−+=+=，函数()g x 是R 上的偶函数，()y g x =的图象关于y 轴对称，讨论0x ≥的情况，再由对称性可得0x ≤的情况，当0x ≥时，()|()|(||)|()|()g x f x f x f x f x =+=+，则02x ≤≤时，()2()g x f x =，当24x ≤≤时，()0g x =，当[4,44],N x k k k ∈+∈时，函数()y g x =的图象、性质与[0,4]x ∈的的图象、性质一致， 关于x 的方程|()|(||)f x f x ax +=有4个不同实根，即直线y ax =与()y g x =的图象有4个公共点， 当0x ≥时，函数()y g x =的部分图象如图，观察图象知，当直线y ax =过原点(0,0)及点(9,2)，即29a =时，直线29y x =与()y g x =的图象有5个公共点，当直线y ax =过原点(0,0)及点(5,2)，即25a =时，直线25y x =与()y g x =的图象有3个公共点，当直线29y x =绕原点逆时针旋转到直线25y x =时，旋转过程中的每个位置的直线y ax =(不含边界)与()y g x =的图象总有4个公共点，于是得，当0x ≥时，关于x 的方程|()|(||)f x f x ax +=有4个不同实根，有2295a <<，由对称性知，当0x ≤时，关于x 的方程|()|(||)f x f x ax +=有4个不同实根，有2259a −<<−，所以实数a 的取值范围是：2222(,)(,)5995−−⋃.故答案为：2222(,)(,)5995−−⋃ 44．因为定义在R 上的函数()f x 满足()(5)16f x f x ++=，所以(5)(10)16f x f x +++=，两式相减得()(10)f x f x =+，函数的周期为10T =，当(1,4]x ∈−时，令2()02x f x x =−=，得22x x =， 在同一坐标系中作出2,2x y x y ==的图象：由图象知22()x f x x =−有三个零点（y 轴的左侧一个1x ，右侧是2和4），当()4,9x ∈时，()ln 2220x f x x '=−<，()f x 递减，且(4)0f =，则函数无零点，所以()f x 在一个周期内有三个零点，当[]1,2019x ∈−时，有202个周期，所以有606个零点，又[]7,1x ∈−−时，[]103,9x +∈，()()640f f −==，[]2019,2021x ∈时，[]20201,1x −∈−，()()1120200f x f x +==，所以函数()f x 在区间[7,2021]−上的零点个数是 608，故答案为：608 45．因为()2f x +为偶函数，可得()()21f x f x +=−+①，又因为()31f x +为奇函数，可得()()3311f x f x +=−−+，即()()11f x f x +=−−+②，由②得，()()2f x f x =−−+，由①得，()()2=−+f x f x ，所以()()()()244f x f x f x f x ⎡⎤=−+=−−+=+⎣⎦，即()f x 是以4为周期的周期函数，由②中，令0x =，有()()11f f =−，即()10f =，因此0a b +=，又由()()401f f ==，所以1b =，1a =−，当[]0,1x ∈时，()1f x x =−+，所以1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，311111122222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=−−+=−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，511312222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=−+==− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，733112222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=−+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()()111141414242434344442222m f m m f m m f m m f m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()35714142434422222m f m f m f m f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中m N ∈，故1001110042502k k f k =⎡⎤⎛⎫⋅+=÷⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑．故答案为：50.46．对于A ，令()(),R h x f x c c =+∈，定义域为R ，则()()()h x f x g x ''==，3322h x f x c ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3322h x f x c ⎛⎫⎛⎫−=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3322h x h x ⎛⎫⎛⎫+=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然()()h x f x c =+也满足题设，即()f x 上下平移均满足题设，显然32f ⎛⎫⎪⎝⎭的值不确定，A 错误；对于B ，3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3322fx f x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=− ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫''+=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3322g x g x ⎛⎫⎛⎫+=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0x =可得3322g g ⎛⎫⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 正确；对于C ，由()()22g x g x +=−即()()22f x f x ''+=−，则()()22f x f x ''+=−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令()()22f x f x +=−−，显然满足要求，则()f x 关于()2,0对称，又3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()f x 关于32x =对称，则()()()31f x f x f x =−=−+，C 错误； 对于D ，由()()22g x g x +=−可得()g x 关于2x =对称，则()()13g x g x +=−；由3322g x g x ⎛⎫⎛⎫+=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()g x 关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，则 ()()()()()3122g x g x g x g x g x =−−=−+=−=+，D 正确.故选：BD.47．当01x ≤≤时，()2f x x =，()11f ∴=．当0x >时，()()()11f x f x f +=+，()()11f x f x ∴+=+，∴当[],1x n n ∈+，*n N ∈时，()()()()2112231()1=()1f x f x f x f x n n x n n f x +=−+=−+=⋯=−++=−+++，()2()f x x n n ∴=−+，[],1x n n ∈+*n N ∈，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴函数图象经过原点，且关于原点对称．直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有7个不同的公共点，∴当0x >时，直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有3个不同的公共点，∴由0x >时()f x 的图象可知：直线y kx =与函数()y f x =的图象相切位置在[]1,2x ∈时，直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有5个不同的公共点，直线y kx =与函数()y f x =的图象相切位置在[]2,3x ∈时，直线y kx=与函数()y f x =的图象恰有9个不同的公共点，∴直线y kx =与函数()y f x =的图象位置情况介于上述两种情况之间．当[]1,2x ∈时，由2(1)1y kxy x =⎧⎨=−+⎩得：2k = ，()2220x k x −++=，令0=，得：2k =．由2(2)2y kx y x =⎧⎨=−+⎩得：()2460x k x −++=，令0=，得：4k =．k ∴的取值范围为()4．故答案为：()4．。

2017成都四中⾼三数学（理）周练4-参考答案⾼2017届2016～2017学年度下期第四次周练理科数学⼀、选择题（本题共12⼩题，每⼩题5分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的） 1.若复数z 满⾜(34)|43|i z i -=+,则z 的虚部为（）D A.4- B. 45-C. 4D.452.设全集U R =，若集合1{|0}4x A x x-=≥-，}2log |{2≤=x x B ，则=B A （） C A.{|4}x x <B. {|4}x x ≤C. }41|{<≤x xD.{|14}x x ≤≤3.下列说法正确的是（）A. “若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”；B. 在ABC ?中，“A B >” 是“”必要不充分条件；C. “若”是真命题； D.使得成⽴．【答案】C4. 设直线m 与平⾯α相交但不．垂直，则下列说法中正确的是（）B A.在平⾯α内有且只有⼀条直线与直线m 垂直；B.过直线m 有且只有⼀个平⾯与平⾯α垂直； C.与直线m 垂直的直线不可能．．．与平⾯α平⾏；D.与直线m 平⾏的平⾯不．可能与平⾯α垂直． 5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松⽵并⽣”的问题：松长五尺，⽵长两尺，松⽇⾃半，⽵⽇⾃倍，松⽵何⽇⽽长等．右图是源于其思想的⼀个程序框图，若输⼊的a 、b 分别为5、2，则输出的n =（ C ） A.2B.3C.4D.56.要得到函数sin 34y x π?=- 的图像，只需将函数cos3y x =的图像（ A ）4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移34π个单位 D.向左平移34π个单位7.(2nx 的展开式中各项⼆项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（ D ） A.120-B. 120C. 60-D.608.已知圆223(1)4x y -+=的⼀条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>没有公共点，则双曲线C 的离⼼率的取值范围是（ B ）A. B. (1,2] C. )+∞ D.[2,)+∞9.⼀个棱长为2的正⽅体沿其棱的中点截去部分后所得⼏何体的三视图如图⽰，则该⼏何体的体积为（ D ）A.7B.322 C. 647 D.323 10.已知()f x 满⾜对,()()0,0()x x R f x f x x f x e m ?∈-+=≥=+且时，（m 为常数），则(ln 5)f -的值为（ B ） A.4B. 4- C. 6D.6-11.已知抛物线C ：28y x =-的焦点为F ,直线l ：1x =，点A 是直线l 上⼀动点，直线AF 与抛物线C 的⼀个交点为B ,若3FA FB =-,则AB =( D )A.5B. 10C. 16D.2012.设函数()sin x f x e x π=，则⽅程()()xf x f x '=在区间()2014,2016-上的所有实根之和为（）A.2015B. 4030D.403222sin sin A B >tan α≠3πα≠()0,0x ?∈-∞0034xx<13.幂函数1222)33)(+-+-=m m x m m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则=m 1．14.矩形ABCD 中，P 为矩形ABCD 所在平⾯内⼀点，3,4PA PC ==,矩形对⾓线6AC =，则PB PD ?=为112-. 15.已知()3sin4cos 22x x f x =-的图象关于直线x θ=对称，则sin θ=2425-. 16.某公司租赁甲、⼄两种设备⽣产,A B 两类产品，甲种设备每天能⽣产A 类产品5件和B 类产品10件，⼄种设备每天能⽣产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为2000元，设备⼄每天的租赁费为3000元，现该公司⾄少要⽣产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为 23000 元．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本⼩题满分12分）设函数2()(32)32k k f x x k x k =-++?，x R ∈．k 为正整数，()0f x ≤的解集为212[,]kk a a -．（Ⅰ）求1234aa a a +++及数列{}n a 的前2n 项和2n S ；（Ⅱ）设212(1)nn n nb a a --=，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最⼤值．（Ⅰ）123415a a a a +++=，212332222n n Sn n +=+-+；（Ⅱ）18-．18.（本⼩题满分12分）如图，在四棱锥中P ABCD -，PA ⊥平⾯ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且AD CD ==，BC =2PA =．（Ⅰ）求证：AB ⊥；（Ⅱ）在线段PD 上，是否存在⼀点M ，使得⼆⾯⾓M AC D --的⼤⼩为45?，如果存在，求BM 与平⾯MAC所成的⾓的正弦值，如果不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）如图，由已知得四边形ABCD 是直⾓梯形，由已知AD CD ==BC =可得ABC ?是等腰直⾓三⾓形，即AC ⊥，⼜PA ⊥平⾯ABCD ，则PA AB ⊥，所以AB ⊥平⾯PAC ，所以AB PC ⊥． (4)分（Ⅱ）存在．法⼀：（猜证法）PB CMAADB C观察图形特点，点M 可能是线段PD 的中点．下⾯证明当M 是线段PD 的中点时，⼆⾯⾓M AC D --的⼤⼩为45 ．……5分过点M 作MN AD ⊥于N ，则//MN PA ，则MN ⊥平⾯ABCD ．过点M 作MG AC ⊥于G ，连接NG ，则MGN ∠是⼆⾯⾓M AC D --的平⾯⾓．AN =因为M 是线段PD 的中点，则1MN =，在四边形ABCD 求得1NG =，则45MGN ∠= ．……8分在三棱锥M ABC -中，可得13M ABC ABC V S MN -?=?，设点B 到平⾯MAC 的距离是h ，13B MAC MAC V S h -?=?，h =……10分则ABC MAC S MN S h =?，解得在Rt BMN ?中，可得BM =．设BM 与平⾯MAC 所成的⾓为θ，则sin h BM θ==．……12分法⼆：（作图法）过点M 作MN AD ⊥于N ，则//MN PA ，则MN ⊥平⾯ABCD ．过点M 作MG AC ⊥于G ，连接NG ，则MGN ∠是⼆⾯⾓M AC D --的平⾯⾓．若45MGN ∠= ，则NG MN =，⼜AN ==，易求得1MN =．即M 是线段PD 的中点．……8分（以下同解法⼀）法三：（向量计算法）建⽴如图所⽰空间直⾓坐标系．则(0,0,0)A，C，D ，(0,0,2)P，B，2)PD =-．设PM tPD =（01t ≤≤），则M的坐标为,22)t -．……6分设(,,)n x y z =是平⾯AMC 的⼀个法向量，则 00n AC n AM ??==??，得0(22)0t z ?+=??+-=??，则可取(1,1,)1n t =--．……8分⼜(0,0,1)m =是平⾯ACD 的⼀个法向量，所以|||||cos ,|cos 45||||m n m n m n ?<>===解得12t =．即点M 是线段PD 的中点．……10分此时平⾯AMC的⼀个法向量可取(1,1n =-，(BM =-．BM 与平⾯MAC 所成的⾓为θ，则sin |cos ,|n BM θ=<>= ．……12分19.（本⼩题满分12分）为了增强中⼩学⽣运动健⾝意识，某校举办中⼩学⽣体育运动知识竞赛，学校根据男⼥⽣⽐例从男⽣中随机抽取120⼈，⼥⽣中随机抽取100⼈，进⾏成绩统计分析，其中成绩在80分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男⽣成绩频数分布表以及⼥⽣成绩频率分布直⽅图如图：参考公式：22()n ad bc K -=，（n a b c d =+++），（i ）在其中2⼈为男⽣的条件下，求另1⼈为⼥⽣的概率；（ii ）设3⼈中⼥⽣⼈数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望．解：（Ⅰ）男⽣成绩优秀的⼈数为：572380+=⼈，⾮优秀的⼈数为：1208040-=⼈，⼥⽣成绩优秀的⼈数为：100(0.250.15)40?+=⼈，⾮优秀的⼈数为：1004060-=⼈，2220(80604040)15.64410.828120*********K ?-?=≈>∴有99.9%以上的把握认为体育运动知识竞赛成绩是否优秀与性别有关．（Ⅱ）（i ）设3⼈中⾄少有2名男⽣为事件A ，3⼈中⾄少有1名⼥⽣为事件B ，则322322120()33327P A C =+=， 3⼈中有2男1⼥的概率为223214()339P A B C ??== ，∴在其中2⼈为男⽣的条件下，另1⼈为⼥⽣的概率4()39(|)20()527P A B P B A P A === ，（ii ）3⼈中⼥⽣⼈数X 服从⼆项分布：1~(3,)3X B ，∴3312()33iii P X i C -??== ?（0,1,2,3i =） XX20.（本⼩题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离⼼率为2，且圆222:4C x y +=经过椭圆1C 短轴的两个端点，,C D 是圆2C 上两个动点，直线CD 交椭圆1C 于,A B 两点.（Ⅰ）求椭圆1C 的⽅程；22184x y +=（Ⅱ）当CD =时，求AB 的取值范围.21.（本题满分12分）设0a >且1a ≠，函数()2ln .x f x a x x x a =+--.（Ⅰ）当a e =时，求函数()f x 的单调区间；（其中e 为⾃然对数的底数）（Ⅱ）求函数()f x 的最⼩值；（Ⅲ）指出函数()f x 的零点个数，并说明理由.22.（本⼩题满分10分）选修4-4：坐标系与参数⽅程在直⾓坐标系xoy 中，曲线1C 的参数⽅程为=+=ββsin cos 1y x （β为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线2C 的极坐标⽅程为4cos ρθ=. （Ⅰ）将曲线1C 的⽅程化为极坐标⽅程；（Ⅱ）已知直线l 的参数⽅程为?==ααsin cos t y t x （παπ<<2，t 为参数，0≠t ），l 与1C 交与点A ，l 与2C 交与点B ，且AB =α的值.22. 解：（Ⅰ）θρcos 2= ————5分（Ⅱ）解⼀：直线l 的极坐标⽅程为(0)θαρ=≠，由2cos θαρθ=??=?得A 2cos ρα=，由4cos θαρθ=??=?得B 4cos ρα=，A B AB 2cos ρρα∴=-==. ⼜παπ<<2，23cos -=∴α65πα=∴. ————10分解⼆：把直线l 的参数⽅程代⼊1C 的普通⽅程0222=-+x y x ，得0cos 22=-αt t ，αcos 2=∴A t ，同理4cos α=B t ，A B AB t t 2cos α∴=-==παπ<<2，23cos -=∴α，65πα=.。

高三数学理科周清自主检测题第Ⅰ卷 选择题（共60分） 2013.12.28一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}{}{}====Q P ，Q P ，b a Q a og P 则若0,,1,32A. {}0,3B. {}103，，C. {}203，，D. {}2103，，，2. 如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的体积为 A.13B.12C.16D.13.“=2πθ”是“曲线()sin y x θ=+关于y 轴对称”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.在等差数列{}()()135792354n a a a a a a ++++=中，，则此数列前10项的和10S = A.45B.60C.75D.905. 设向量()()cos ,1,2,sin a b αα=-=，若a b ⊥，则tan 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭等于 A.13-B.13C.3-D.36. 知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且等于则角B b a A ,1,3,3===πA.2πB.6π C.65π D.6π或65π7.若实数11.ea dx x=⎰则函数()sin cos f x a x x =+的图象的一条对称轴方程为A.0x =B.34x π=-C.4π-D.54x π=-8. 函数sin xy x=，(,0)(0,)x ππ∈-的图象可能是下列图象中的9. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ，则11++=x y s 的取值范围是A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,1B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21C. []2,1D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2110. 已知函数()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，则(1)f 的值为A． B． CD．已知0x 是xx f x1)21()(+=的一个零点，)0,(),,(0201x x x x ∈-∞∈，则（ ） A.0)(,0)(21<<x f x f B.0)(,0)(21>>x f x f C. 0)(,0)(21><x f x f D. 0)(,0)(21<>x f x f12已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量*1),1,(),,(N n n n b a a c n n n n ∈+==+。

高三数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.函数的最小正周期为．【答案】π【解析】因为，所以函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期为【考点】三角函数的周期2.将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增【答案】A【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为，由得，故选A.【考点】1、三角函数图象的变换；2、三角函数的单调性.3.已知函数，.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在闭区间上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在闭区间上的最大值为，最小值为.【解析】（Ⅰ）将降次化一，化为的形式，然后利用求周期的公式即可得周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，又的范围为，由此可得的范围，进而结合图象可求得求在闭区间上的最大值和最小值.试题解析：解：（Ⅰ）由已知，有.所以，的最小正周期（Ⅱ）因为在区间上是减函数，在区间上是增函数. ...8分根据图像的对称性知其最小与最大值分别为：.所以，函数在闭区间上的最大值为，最小值为.【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的周期及最值.4.若函数f（x）="sin" 2xcos+cos 2x sin（x∈R），其中为实常数，且f（x）≤f（）对任意实数R恒成立，记p=f（），q=f（），r=f（），则p、q、r的大小关系是（）A．r<p<q B．q<r<p C．p<q<r D．q<p<r【答案】C【解析】,当时，函数取得最大值，函数的最小正周期,根据周期和对称性知,,,位于函数的增区间，所以,故选C.【考点】1.三角函数的性质；2.比较大小.5.设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 .【答案】【解析】由在区间上具有单调性，且知，函数的对称中心为，由知函数的对称轴为直线，设函数的最小正周期为，所以，，即，所以，解得.【考点】函数的对称性、周期性，容易题.6.将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向左平移φ个单位，得到偶函数g(x)的图象，则φ的最小正值为()A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得g(x)＝sin[2(x＋φ)＋]＝sin(2x＋2φ＋)，因为g(x)是偶函数，所以2φ＋＝kπ＋，k∈Z，可得φ的最小正值为，故选A．7.已知函数f(x)＝sinx＋cosx(x∈R)，函数y＝f(x＋φ)(|φ|≤)的图象关于直线x＝0对称，则φ的值为________．【答案】【解析】f(x)＝2sin(x＋)，y＝f(x＋φ)＝2sin(x＋＋φ)的图象关于x＝0对称，即f(x＋φ)为偶函数．∴＋φ＝＋kπ，k∈Z，φ＝kπ＋，k∈Z，又|φ|≤，∴φ＝．8.设函数.（1）求的值域；（2）记的内角的对边长分别为，若，，求的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】本题主要考查两角和的余弦公式、降幂公式、三角函数值域、余弦定理、特殊角的三角函数值等基础知识，考查学生的转化能力、计算能力、数形结合思想.第一问，利用两角和的余弦公式展开，用降幂公式化简，最后再一次用两角和的余弦公式将表达式化简成的形式，利用余弦函数的有界性求函数值域；第二问，先利用第一问的结论化简，得到B角的值，在中利用余弦定理解a边长.（1）因为，所以，所以的值域为． 6分（2）由得：，即．又因为在中，，故．在中，由余弦定理得：解得：或. ………12分【考点】两角和的余弦公式、降幂公式、三角函数值域、余弦定理、特殊角的三角函数值.9.函数的最小正周期为．【答案】【解析】【考点】三角函数的周期.10. [2014·合肥模拟]若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值为()A．5B．－1C．6D．【答案】A【解析】由题知sinαcosβ＋cosαsinβ＝，sinαcosβ－cosαsinβ＝，所以sinαcosβ＝，cosαsinβ＝，所以＝5，即＝5.11.已知向量m＝(sin x,1)，n＝，函数f(x)＝(m＋n)·m.(1)求函数f(x)的最小正周期T及单调递增区间；(2)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a＝2，c＝4，且f(A)是函数f(x)在上的最大值，求△ABC的面积S.【答案】（1）π(k∈Z)．（2）2【解析】(1)f(x)＝(m＋n)·m＝sin2x＋1＋sin xcos x＋＝＋1＋sin 2x＋＝sin 2x－cos 2x＋2＝sin＋2.因为ω＝2，所以T＝＝π.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，故所求单调递增区间为(k∈Z)．(2)由(1)知，f(A)＝sin＋2，又A∈，∴－<2A－<.由正弦函数图象可知，当2A－＝，即A＝时，f(x)取得最大值3，由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A.可得12＝b2＋16－2×4b×，∴b＝2.从而S＝bcsin A＝×2×4×sin ＝2.12.已知函数，其中为常数．（1）求函数的周期；（2）如果的最小值为，求的值，并求此时的最大值及图像的对称轴方程.【答案】（1），（2），最大值等于4，【解析】（1）研究三角函数性质，首先将其化为基本三角函数，即化为形如：，由倍角公式，降幂公式及配角公式得：，然后利用基本三角函数性质进行求解，即（2）由的最小值为，得，因此最大值为对称轴方程满足: ,即：.试题解析：解（1）． 4分. 6分（2）的最小值为，所以故 8分所以函数.最大值等于4 10分，即时函数有最大值或最小值，故函数的图象的对称轴方程为. 14分【考点】三角函数性质，三角函数式化简13.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的最小值和最大值.【答案】（1）；（2）的最小值为；的最大值为.【解析】本题主要考查降幂公式、诱导公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值等基础知识，考查数形结合思想，考查学生的计算能力.第一问，利用降幂公式、诱导公式、两角和的正弦公式化简表达式，使之得到的形式，再利用求函数周期；第二问，将代入，先求出的范围，再数形结合求出的范围，从而得到的最大值和最小值.试题解析：（1）∵∴. 7分（2）∵，∴，∴.当，即时，的最小值为；当，即时，的最大值为. -13分【考点】降幂公式、诱导公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值.14.下列函数中既是奇函数，又在区间(-1,1)上是增函数的为( )A．y=|x+1|B．y=sinx C．y=2x+2-x D．y=lnx【答案】B【解析】奇函数判定定义域关于原点对称 D选项不符合；满足f(-x)=-f(x)，A选项不符合，故B,C 是奇函数，y=sinx正弦函数的单调递增区间为,因为，所以(-1,1)为的子集，故B.y=sinx在区间(-1,1)是增函数，所以B选项符合题意，故选B【考点】奇偶性单调性正弦函数15.函数的部分图象如图所示，若，且，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】观察图象可知，，，∴，.将代入上式得，由已知得，故.函数图象的对称轴为.又，且，∴.故选．【考点】正弦型函数16.将函数f(x)＝sin(2x＋θ) 的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值可以是()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵P在f(x)的图象上，∴f(0)＝sin θ＝.∵θ∈，∴θ＝，∴f(x)＝sin，∴g(x)＝sin.∵g(0)＝，∴sin＝.验证，φ＝时，sin＝sin＝sin＝成立17.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,△EFG 是边长为2的等边三角形,则f(1)的值为()A．-B．-C．D．-【答案】D【解析】【思路点拨】由△EFG的高可得振幅A.由FG的长可得周期,从而得ω.由f(x)为奇函数可求φ,从而可求f(1).解:由△EFG是边长为2的等边三角形,得高为,即A=.又FG为半个周期长故T=4,∴ω==.又∵f(x)为奇函数,∴φ=kπ+,k∈Z,又∵0<φ<π,∴φ=.∴f(x)=cos(x+),∴f(1)=cosπ=-.18.已知且，则下面结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，，∴，当时，，∴为减函数，当时，，∴为增函数，且函数为偶函数，∵，∴，∴，∴.【考点】1.函数的单调性；2.函数的奇偶性.19.已知A，B，C，D是函数一个周期内的图象上的四个点，如图所示，B为轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，在轴上的投影为，则的值为（）Ａ． B．Ｃ． D．【答案】A【解析】因为是函数一个周期内的图象上的五个点，如图所示，为y轴上的点，为图象上的最低点，为该函数图象的一个对称中心，与关于点E对称，在轴上的投影为，所以，所以，因为,所以．故选A．【考点】三角函数图像和性质20.设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ) 的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则()．A．f(x)在单调递减B．f(x)在单调递减C．f(x)在单调递增D．f(x)在单调递增【答案】A【解析】f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sin.由最小正周期为π得ω＝2，又由f(－x)＝f(x)可知f(x)为偶函数，|φ|＜可知φ＝，所以f(x)＝cos2x在单调递减．21.函数y＝sin (φ>0)的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB______.【答案】－2【解析】如题图所示函数的最大值是1，周期T＝＝4，则AD＝＝1，BD＝3，PD＝1，则tan∠APD＝＝1，tan∠BPD＝＝3，所以tan∠APB＝tan(∠APD＋∠BPD)＝＝＝－2.22.若函数（）的图象关于直线对称，则θ=．【答案】【解析】研究三角函数的对称性，可从图像理解.因为三角函数的对称轴经过最值点，所以当时，取最值，即，又所以【考点】三角函数性质：对称轴.23.将函数的图像向右平移个单位长度后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后，所得到的函数解析式为，此函数的图象关于轴对称，则，解得，由于，当，取最小值，故选C.【考点】1.三角函数的图象平移；2.三角函数的对称性24.函数是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数【答案】D【解析】，故函数是最小正周期为的偶函数，选D.【考点】1.诱导公式；2.二倍角公式；3.三角函数的周期性；4.三角函数的奇偶性25.函数的部分图像如图所示，如果，且，则（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】，且,则由图像可知，又周期,且；,则，所以，所以，由.【考点】1.三角函数的图像；2.三角函数的对称性和周期性.26.将函数f(x)=2sin的图象向左平移个单位，得到函数y="g" (x)的图象．若y=g(x)在[]上为增函数，则的最大值( )A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由题意，要使其在[]为增函数，如图所示，只需，所以，选B.【考点】1、三角函数的图象变换；2、函数的单调性.27.已知函数在一个周期内的图象如图所示，点为图象的最高点，为图象与轴的交点，且三角形的面积为．（Ⅰ）求的值及函数的值域；（Ⅱ）若，求的值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先化简函数的解析式，求得最大值，根据三角形的面积求得线段的长度，然后根据图像分析可知线段的长度为函数周期的一半，据此可求得函数的周期，然后根据周期公式从而求出的值，然后将的值代入到解析式中求得值域；（Ⅱ）首先分析出角的范围，根据求得，利用同角三角函数的平方关系可得，然后通过和角的正弦公式展开可求得的值.试题解析：(Ⅰ)又，，则；则值域是 7分(Ⅱ)由得，，得则14分【考点】1.三角函数的图像；2.和角的正弦公式.28.函数是（）A．最小正周期为的偶函数B．最小正周期为2的偶函数C．最小正周期为2的奇函数D．最小正周期为的奇函数【答案】D【解析】，选.【考点】三角函数的变换及性质.29.已知 .【答案】【解析】，，，，，，，，.【考点】二倍角公式的运用，同角三角函数间的关系.30.如图所示为函数的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么（）.A．2B．1C．-1D．【答案】A【解析】由图象可得，即．再由，结合图象可得．又A，B两点之间的距离为5，可得，所以，．故函数，故故选A．【考点】正弦型函数的图象和性质31.已知函数f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+）B．f（x）=4sin（x+）C．f（x）=2cos（x+）D．f（x）=4sin（x+）【答案】C【解析】结合函数f（x）的图象由利用特值法f（）=0，可排除某些项即可得到答案．解：由函数f（x）的图象可知，f（）=0，从而可排除A，D；又f（﹣）=2，可排除B，故选C．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，突出考查特值法与排除法的综合应用，考查分析与计算的能力，属于中档题．32.已知函数在上是减函数，则的取值范围（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵x∈，ω＞0，∴ωx+∈[+,+]∵函数f(x)=sin(ωx+)在上单调递减，∴周期T=≥，解得ω≤4,∵f(x)=sin(ωx+)的减区间满足：+2kπ＜ωx+＜+2kπ，k∈Z,∴取k=0，得+,+，解之得≤ω≤故选C.【考点】正弦型函数的单调性点评：中档题，对正弦型函数的研究，注意将看作一个整体。