人教版高中数学【选修2-2】[知识点整理及重点题型梳理]_定积分的简单应用(提高)

庖丁巧解牛知识·巧学一、定积分在几何中的应用定积分可以用来计算曲边梯形的面积,某些曲面面积可以表示成几个曲边梯形面积的和或差的形式,因此也可以用定积分来计算.知识拓展 求面积的解题步骤:①画出图形; ②确定图形范围,定出积分的上、下限;③确定被积函数,注意分清被积函数的上、下位置; ④写出平面图形面积的定积分表达式;⑤运用微积分基本公式计算定积分,求出平面图形的面积. 二、定积分在物理中的应用 1.变速直线运动的路程物体做变速直线运动经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)〔v(t)≥0〕在时间区间［a,b ］上的定积分,即s=⎰badt t v )(.方法点拨 变速直线运动的速度函数往往是分段函数.所以求积分时要利用定积分的性质将其分成几段积分的和. 2.变力做功如果力是变力F(x)(F 是x 的函数),那么,物体沿着与F 相同的方向从x=a 移动到x=b 时,力F 做的功W=⎰badx x F )(.深化升华 只有当物体沿着与F 相同的方向从x=a 移动到x=b 时,力F 做的功才是W=⎰badx x F )(.当方向不同时,算法不同.问题·探究问题1 被积函数f(x)在区间［a,b ］上恒为正值时(如图1-7-2),定积分⎰badx x f )(表示什么呢?图1-7-2思路:本题考查定积分的几何意义,可以利用定积分来表示曲边梯形的面积. 探究:表示曲边梯形AMNB 的面积. 问题2 计算下列定积分:⎰⎰⎰ππππ2020sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ,由计算结果你能发现什么结论?思路:利用微积分基本定理,计算曲边梯形的面积,从中发现结论. 探究:因为(-cosx)′=sinx, 所以⎰πsin xdx =(-cosx)π0=(-cosπ)-(-cos0)=2;⎰ππ2sin xdx =(-cosx)π20=(-cos2π)-(-cosπ)=-2;⎰π20sin xdx =(-cosx)π20=(-cos2π)-(-cos0)=0.由以上结果可以发现,定积分的值可能取正值,可能取负值,也可能取0.(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时,定积分的值取正值,且等于曲边梯形的面积;(2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时,定积分的值取负值,且等于曲边梯形的面积的相反数; (3)当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为0. 典题·热题例1如图1-7-3,求直线y=2x+3与抛物线y=x 2所围成的图形的面积.图1-7-3思路分析:从图形可以看出,所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差,进而可以用定积分求出面积.为了确定被积函数和积分的上,下限,我们需要求出两条曲线交点的横坐标.解:由方程组⎩⎨⎧=+=2,32xy x y 2可得x 1=-1,x 2=3. 故所求图形的面积为S=33231)3()32(31331231231=-+=-+----⎰⎰x x x dx x dx x . 深化升华 求平面图形面积的一般步骤是: ①画图,并将图形分割成若干曲边梯形;②对每个曲边梯形确定其存在的范围,从而确定积分上限和下限; ③确定被积函数;④求出各曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值之和. 拓展延伸 求由曲线y 2=x 和y=x 2所围成图形的面积.解:如图1-7-4,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.由⎪⎩⎪⎨⎧==22,xy x y 得出交点的横坐标为x=0及x=1.图1-7-4所以所求图形的面积为S=313132)3132(103231021=-=-=-⎰⎰x x dx x dx x . 例2求椭圆⎩⎨⎧==tb y t a x sin ,cos (0≤t≤2π)的面积.思路分析:椭圆是中心对称图形,故只需算出第一象限内的面积,再乘以4就是椭圆的面积. 解:如图1-7-5所示,椭圆在第一象限的面积图1-7-5P=4)22sin (2sin )sin (sin )cos (sin 022020220abt t ab tdt ab dt t a t b t a td b ydx aπππππ=-==-∙==⎰⎰⎰⎰所以S=4P=πab.例3一辆汽车的速度—时间曲线图如图1-7-6所示,求此汽车在这1 min 内行驶的路程.图1-7-6思路分析:由速度—时间曲线图可写出速度函数的表达式,进而运用公式可求得路程s. 解:由速度—时间曲线易知,v(t)=⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈∈].0640[,905.1]4010[,30]101[,3，；，，；，t t t t t 由变速直线运动的路程公式可得s=dt t dt tdt ⎰⎰⎰+-++6040401010)905.1(303604024010100)9043(3023t t t +-++==1 350(m).答:此汽车在这1 min 内行驶的路程是1 350 m. 方法归纳 ①由定积分的几何意义知,⎰badt t v )(表示由曲线v=v(t),直线t=a,t=b 及v=0围成图形的面积.故有以下解法:由定积分的几何意义知,此汽车在这1 min 行驶的路程s 等于梯形OABC 的面积, 即s=S 梯形OABC =230)6030(⨯+=1 350(m).②变速直线运动的路程:物体做变速直线运动经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)〔v(t)≥0〕在时间区间［a,b ］上的定积分,即s=⎰badt t v )(.拓展延伸 某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时,发现该厂生产的颗粒输送仪,其运动规律属于变速直线运动,且速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)满足函数关系:v(t)=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+≤≤.6020,140,2010,604,100,2t t t t t 某公司拟购买一台颗粒输送仪,要求1 min 行驶的路程超过7673 m,问该厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一?思路分析:必须首先利用定积分将这家生产厂生产的颗粒输送仪1 min 行驶的路程计算出来,再与7 673作比较得出结论.解:由变速直线运动的路程公式有s=x t t t t dt dt t dt t 6020201021003602020101002140)602(31140)604(+++=+++⎰⎰⎰=7 13331(m)<7 673(m).答:不可以列入.例4一物体在力F(x)=2 004x+1(单位:N)的作用下,沿与力F 相同的方向,从x=1处运动到x=2处,求力F 做的功. 思路分析:力F 做的功就是⎰21)(dx x F解:W=⎰+21)12004(dx x =(1 002x 2+x)21=3 007(J).答:力F 所做的功为3 007 J.深化升华 应用问题最后要还原到题目中去用文字作答.例5设有一长为25 cm 的弹簧,若加以100 N 的力,则弹簧伸长到30 cm,求使弹簧伸长到40 cm 所做的功.思路分析:因为弹簧的力是一个变力,所以不能用常规方法解,要用定积分去求解. 解:设x 表示弹簧伸长的厘米数,F(x)表示加在弹簧上的力,则F(x)=kx. 依题意,使弹簧伸长5 cm,需要的力是100 N, 即100=5k,k=20,于是F(x)=20x. 现在需计算由x=0到x=15所做的功:W=1502151020x xdx =⎰2 250(N·cm).深化升华 本题考的是求变力所做的功:一物体在力F 的作用下,沿着与力F 相同的方向移动了s,则F 所做的功为W=Fs.如果力是变力F(x),由定积分的定义,物体沿与F 相同的方向从x=a 移到x=b 时,则力F 所做的功是W=⎰badx x F )(.例6列车以72 km/h 的速度行驶,当制动时列车获得加速度a=-0.4 m/s 2,问列车应在进站前多长时间以及离车站多远处开始制动?思路分析:因列车停在车站时,速度为0,故应先求速度的表达式,之后令v=0,求出t,再据v 和t 应用定积分计算出路程.解:已知列车的速度v 0=72 km/h=20 m/s,列车制动时获得的加速度a=-0.4 m/s 2.设列车由开始制动到经过t 秒后的速度为v,则v=v 0+⎰tadt 0=20-⎰tdt 04.0=20-0.4t.令v=0得t=50(s).设列车由开始制动到停止所走过的路程为s, 则有s=⎰⎰-=5050)4.020(t vdt dt=500(m).答:列车应在到站前50 s,离车站500 m处开始制动.。

1.7.2定积分在物理中的应用预习导引重点难点1・变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程S,等于其速度函数v=v(O(v(O三0)在时间区间00］上的定积分，即思考:利用定积分求变速直线运动物体的路程和位移时，如何区分位移和路程？一物体在恒力F(单位:N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s(单位:m),则力F所做的功为____ :.(2)变力F(Q的做功公式如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从兀="移动到x=b(“vb),那么变力F(x)所做的功为厂______ :课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE交流2 思考:求变力做功问题的关键是什么?课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 问题导学当堂检测一、求变速直线运动的路程E2活动与探究求变速直线运动的物体在时间区间由，切上的路程S课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU 时尸广v(r)d?课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 问题导学当堂检测正确吗?课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU当堂检测______ I例1 一质点在直线上从时刻QO(s)开始以速度v=r-4r+3(m/s)运动,求点在匸4 s时的位置及经过的路程.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测又\v(r)=r2-4r+3=(M)(r-3),/在区间［0,1 ］及［3,4］上的v(t)三0, 在区间［1,3］上，叩）W0. ••在t=4 s时的路程为(几4丫+3)&+|『t2-4t+3)dt| +『(t2-4t+3)dt =f^ (?-4z+3)dr-J13 (r-4z+3)d?+J^ (r-4r+3)dr =4(m).课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIUS3迁移与应用若某一物体以速度v(0=4-r2做直线运动,求它在t=l到?=4这段时间内的路程.问题导学当堂检测------------- 名師修津----------------物体做变速直线运动的速度叫等于加速度函数a=a(t)在时间妝切上的定积分;物体做变速直线运动经过的位移s,等于其速度函数v= v(r) 在时间区间［"0］上的定积分.用定积分解决简单的物理问题时，关键是要结合物理学中的相关内容，将物理意义转化为用定积分解决.问题导学当堂检测二、求变力做功吧活动与探究当力F的方向与运动方向夹角为0时，怎样求力F所做的功?课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUEKETANG HEZUO TANJIU----- 例2由胡克定律知，把弹簧拉长所需要的力与弹簧的伸长 量成正比，现知2 N 的力能使一个弹簧伸长3 eg 试求要把弹簧拉伸0.4 m 所做的功.当堂检测问题导学当堂检测唸迁移与应用1・已知弹簧拉长0.02 g需要98 N的力，则把弹簧拉长到0.1 m所做的功为（）A.24.5 JB.23.5 JC.22.5 JD.25.0 J问题导学当堂检测2•在原点O有一个带电量为+g的点电荷，它所产生的电场对周围电荷有作用力•现有一个单位正电荷从距离为0处沿着射线方向移至距O点为b@<b）的地方，求电场力做的功.（电场力F = /c・卷（k为常数））问题导学当堂检测------------- 名師❷障---------------- 由于力F的大小随物体的位置变化而变化,因此将其记为F(Q,F(Q 在［G0］上所做的功W=f^ F(x)(k・要解决好变力做功问题,必须熟悉相关问题导学当堂检测的物理知识，正确写出被积函数.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 当堂检测2问题导学1 •物体以速度v(?)=3?-2r+3做直线运动，它在t=0到匸3这段时间内的位移是()A.9B.18C.27D.362•物体以速度v(?)=2-f 做直线运动，则它在t=l 到t=3这段时间的路程为 ()问题导学3•做直线运动的质点在任意位置兀处，所受的力F(x)=l+e^则质点沿着 与F(x)相同的方向，从点x 1=0处运动到点x 2=l 处，力F(x)所做的功是 () 1A. 1+eB.eC -D.e-1问题导学4•如果1 N 力能拉长弹簧1 cm,为了将弹簧拉长6 eg 所耗费的功为问题导学5•质点做直线运动,其速度叩）=汽2丫+1（单位:凶3）・则它在第2秒内所走 的路程为 ・问题导学£_© _________。

高手支招3综合探究1.复合函数的定积分的求法.(1)“凑型”法有些定积分的计算题,直接应用积分公式不好求,甚至是不能求,此时应将被积函数进行适当变形后再求解.(2)“变量代换”法过去在求解数学问题时,我们经常运用变量代换的方法,使问题的基础环境发生转化,其中体现出来的数学思想就是等价转化思想.在求定积分的问题上,变量代换仍有很高的价值,这样的代换主要用于“把不可直接运用积分公式的问题转化成可以直接运用积分公式的问题”.2.分段函数的定积分的求法.学习函数的时候,函数的解析式有用统一一个式子给出的,也有用分段的形式给出的.在积分的学习中,函数也可以用分段的形式给出.求分段函数定积分可以利用积分的可加性,将区间[a,b]上的积分按分段函数的段分成几部分积分的和.分段的标准是使每一段上的函数表达式确定,即是按照原函数分段的情况分即可,无需分得过细.3.任意曲边形面积的计算方法.几种常见的曲边梯形面积的计算方法有几种？计算公式是什么？(1)x 型区域(如图所示):①由一条曲线y=f(x)(其中f(x)≥0)与直线x=a,x=b(a<b)以及x 轴所围成的曲边梯形的面积:S=⎰a b f(x)dx(如图a);②由一条曲线y=f(x)(其中f(x)≤0)与直线x=a,x=b(a<b)以及x 轴所围 成的曲边梯形的面积:S=|⎰a b f(x)dx|=-⎰a bf(x)dx(如图b); ③由两条曲线y=f(x),y=g(x)(其中f(x)≥g(x))与直线x=a,x=b(a<b)所围成的曲边梯形的面积:S ⎰a b|f(x)-g(x)|dx(如图c);图a 图b 图c(2)y 型区域(如图所示):①由一条曲线y=f(x)(其中x≥0)与直线y=a,y=b(a<b)以及y 轴所围成的曲边梯形的面积,可由y=f(x)得x=h(y),然后利用S=⎰a b h(y)dy 求出(如图a);②由一条曲线y=f(x)(其中x≤0)与直线y=a,y=b(a<b)以及y 轴所围成的曲边梯形的面积,可由y=f(x)先求出x=h(y),然后利用S=|⎰a b h(y)dy|=-⎰a bh(y)dy 求出(如图b);③由两条曲线y=f(x),y=g(x)与直线y=a,y=b(a<b)所围成的曲边梯形的面积,可由y=f(x),y=g(x)先分别求出x=h1(y),x=h2(y),然后利用S=⎰ab|h1(y)-h2(y)|dy求出(如图c).图a 图b 图c高手支招4典例精析【例1】计算下列定积分.(1)⎰-13(4x-x2)dx; (2)⎰0221xx+dx；(3)⎰2π(x+sinx)dx;(4)⎰-22ππcos2xdx.思路分析：由微积分基本定理可知,求定积分的关键是求出被积函数的一个原函数. 解：(1)⎰-13(4x-x2)dx=(2x2-33x)|3-1=(2·32333-)-［2x(-1)23)1(3--］=320;(2)⎰0221xx+dx=21x+|20=(221+-1)=5-1;(3)⎰2π(x+sinx)dx=(22x-cosx)|20π=［2)2(2π-cos2π］-(0-1)=82π+1;(4)⎰-22ππ-2πcos2xdx=⎰-22ππ22cos1x+dx=2x|22ππ-+41sin2x|22ππ-=2π.【例2】求函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈]3,2[,2]2,1[,]1,0[,3xxxxxx在区间[0,3]上的积分.思路分析：f(x)在[0,3]上的积分可按照f(x)的分段标准,分成[0,1],[1,2],[2,3]上三段积分的和. 解：由积分的性质知,⎰03f(x)dx=⎰01f(x)dx+⎰12f(x)dx+⎰23f(x)dx=⎰01x 3dx+⎰12x dx+⎰232x dx=⎰01x 3dx+⎰1221x dx+⎰232x dx =44x |10+3223x |21+2ln 2x |32=41+234-32+2ln 42ln 8- =2ln 4324125++-. 【例3】 已知函数f(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤.42,1,22,1,20,sin x x x x x ππ求⎰04f(x)dx. 思路分析：将[0,4]上的积分分成[0,2π],[2π,2],[2,4]三个区间上的积分. 解：⎰04f （x ）dx=⎰20πsinxdx+⎰22π1dx+⎰24（x-1）dx =-cosx |20π+x |22π+(22x -x ）|42=1+(2-2π)+(4-0)=7-2π. 【例4】 (2006山东青岛二模)已知f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),且f(-1)=2,f′(0)=0,⎰01f （x ）dx=-2,求a,b,c 的值.思路分析：本题主要考查函数知识间的联系,同时考查了导数、定积分等基本运算能力.解答本题的方法是:根据题设条件,列出方程组,通过解方程组求出a,b,c 的值.解：由f(1)=2得,a-b+c=2,①又f ′(x)=2ax+b,∴f′(0)=b=0,②而⎰01f （x ）dx=⎰01（ax 2+c ）dx=(31ax 3+cx)|10=31a+c, ∴31a+c=-2,③ 由①②③得a=6,b=0,c=-4.【例5】 求由曲线y 2=x,y=x 2所围成图形的面积.思路分析：利用定积分,按照求面积的基本步骤进行.解：如图,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.由y 2=x,y=x 2得出交点的横坐标x=0及x=1.所以所求图形的面积为S=⎰01x dx-⎰01x 2dx=(2332x -31x 3）|10=32-31=31. 【例6】 试求曲线y=2a (a x e +a x e -)和直线x=0,x=a,y=0围成的图形(如图)绕x 轴旋转一圈所得旋转体的体积.思路分析：虽然曲线y=2a (a x e +a xe -)形式上比较复杂,但图已给定了,根据图形可直接用公式求解.解：因为[2a (x a e 2-2a (x a e 2-+2x]′=x a e 2+2+x a e 2-,所以V=π⎰0a y 2dx =π⎰0a 42a (a x e 2+2+a x e 2-)dx=4πa 2[2a (a x e 2-a x e 2-)+2x]|0a =4πa 2[2a (e 2-e -2)+2a]. 【例7】 求椭圆⎩⎨⎧==t b y t a x sin ,cos (0≤t≤2π)的面积. 思路分析：椭圆是中心对称图形,故只需算出第一象限内的面积,再乘以4就是整个椭圆的面积.解：如图所示,椭圆在第一象限的面积P=⎰0a ydx=⎰22πbsintd(acost)=⎰22πbsint·(-asint)dt =ab ⎰20πsin 2tdt=2ab (t-22sin t )|20π=4ab π. 所以S=4P=πab.【例8】 某电厂冷却塔外形如右下图所示,它双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A 、A′是双曲线的顶点,C 、C′是冷却塔上口直径的两个端点,B 、B′是下底直径的两个端点,已知AA′=14 m,CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m.(1)建立坐标系并写出该双曲线方程.(2)求冷却塔的容积.(精确到1 m 3,塔壁厚度不计,π取3.14)思路分析：应用题是高考数学的一个热点,它能考查我们的理解能力,以及数学建模能力.本题首先要理解题意,建立平面直角坐标系,将其转化为代数问题.解：(1)如图所示,建立直角坐标系xOy,使AA′在x 轴上,AA′的中点为坐标原点O,CC′与BB′平行于x 轴.设双曲线方程为22a x -22b y =1(a ＞0,b ＞0),则a=21AA′=7. 又设B(11,y 1),C(9,y 2),因为点B 、C 在双曲线上,所以有22122711b y -=1, ① 2222279by -=1, ② 由题意,知y 2-y 1=20.③由①②③,得y 1=-12,y 2=8,b=72.故双曲线方程为984922y x -=1; (2)由双曲线方程,得x 2=21y 2+49. 设冷却塔的容积为V(m 3),则V=π⎰-128x 2dy=π⎰-128(21y 2+49)dy=π(61y 3+49y)|812-. 经计算,得V≈4.25×103(m 3).答:冷却塔的容积为4.25×103 m 3.高手支招5思考发现1.用微积分基本定理求定积分,关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x),即找被积函数的原函数.利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系,运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x).2.利用定积分求所围成平面图形的面积,要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限.3.实际上F(x)+c(c 为常数)的导数和F(x)的导数相同,故⎰a bf(x)dx 可以写成\-\相同,但结果与F(b)-F(a)相同,故省略了c.4.求一个几何体的体积与求一个曲边图形的面积一样,都是通过“分割、近似、求和、取极限”这四步方法,体现了微积分的思想.。

1.7.2 定积分在物理中的应用1．通过具体实例了解定积分在物理中的应用．2．会求变速直线运动的路程、位移和变力做功问题．利用定积分求变速直线运动的路程和位移时，应如何区分路程和位移？【做一做1】 已知自由下落物体的速度为v ＝gt ，则物体从t ＝0到t ＝t 0所走过的路程为( )A.13gt 20B ．gt 20 C.12gt 20 D.14gt 20【做一做2】 一物体在F (x )＝5x ＋3(单位：N)的作用下，沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝5(单位：m)处，则F (x )做的功等于( )A ．75 JB ．77.5 JC ．79.5 JD ．80 J答案：s ＝∫b a v (t )d t W ＝∫b a F (x )d x思考探究提示：分清运动过程中物体运动的变化情况，即找出v (t )≥0的时间段及v (t )＜0的时间段，然后分别求积分即求各段上的位移．而路程是各段位移的绝对值之和．【做一做1】 C s ＝00220001d 22t t t gt t g gt ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭⎰.故选C. 【做一做2】 B W ＝∫50F (x )d x ＝∫50(5x ＋3)d x＝⎝⎛⎭⎫5x 22＋3x |50＝1252＋15＝77.5(J)．故选B.1．在变速直线运动中，如何求路程、位移？剖析：用定积分解决变速直线运动的位移与路程的问题时，分清运动过程中的变化情况是解题的关键，做变速直线运动的物体所经过的路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程s 和位移s 1分别为(1)若v(t)≥0(a≤t≤b)，则s＝∫b a v(t)d t，s1＝∫b a v(t)d t.(2)若v(t)≤0(a≤t≤b)，则s＝－∫b a v(t)d t，s1＝∫b a v(t)d t.(3)在区间[a，c]上v(t)≥0，在区间[c，b]上v(t)＜0，则s＝∫c a v(t)d t－∫b c v(t)d t，s1＝∫b a v(t)d t.对于给出速度—时间曲线的问题，关键是由图象得到速度的解析式及积分的上、下限，需要注意是分段函数的要分段求路程，然后求和．2．如何求变力做功？剖析：(1)求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力F的表达式，这是求功的关键．(2)由功的物理意义，已知物体在变力F(x)的作用下，沿力F(x)的方向做直线运动，使物体从x＝a移到x＝b(a＜b)．因此，求功之前还应求出位移的起始位置与终止位置．(3)根据变力做功公式W＝∫b a F(x)d x即可求出变力F(x)所做的功．求变力做功时，要注意单位，F(x)的单位为N，x的单位为m.题型一求变速直线运动的路程、位移【例题1】有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求：(1)点P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；(2)点P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．分析：(1)解不等式v(t)>0或v(t)<0→确定积分区间→求t＝6时的路程以及位移(2)求定积分∫t0v(t)d t→令∫t0v(t)d t＝0，求t反思：(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．如本例第(1)小题求解时，易出现路程和位移相同的错误．题型二求变力所做的功【例题2】设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．分析：先根据拉长弹簧所用的力与其伸长的长度成正比求拉力F(x)的表达式，然后用积分求变力做功．反思：解决变力做功注意以下两个方面：①首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步．②根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．题型三利用定积分求解其他物理问题【例题3】A，B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点速度达24 m/s，从C点到B站前的D点也以1.2 t(m/s)的速度行驶，从D点开始刹车，经t s后，速度为(24－1.2t)m/s.在B点恰好停车，试求：(1)A ，C 间的距离；(2)B ，D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间．分析：做变速运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )，v (t )≥0在时间区间[a ，b ]上的积分，即s ＝∫b a v (t )d t .需根据题意写出函数v ＝v (t )，确定时间区间，用定积分求解．反思：本题是利用定积分解决物理问题，分清运动过程中的变化情况是解题的关键．答案：【例题1】 解：(1)由v (t )＝8t －2t 2≥0，得0≤t ≤4，即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动，当t ＞4时，P 点向x 轴负方向运动．故t ＝6时，点P 离开原点的路程为s 1＝∫40(8t －2t 2)d t －∫64(8t －2t 2)d t＝⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3|40－⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3|64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为∫60(8t －2t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3|60＝0. (2)依题意∫t 0(8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6， t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，t ＝6是所求的值．【例题2】 解：设x 表示弹簧伸长的量(单位：m)，F (x )表示加在弹簧上的力(单位：N)． 由题意，得F (x )＝kx ，且当x ＝0.05 m 时，F (0.05)＝100 N ，即0.05k ＝100，∴k ＝2 000.∴F (x )＝2 000x .∴将弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时所做的功为W ＝∫0.150 2 000x d x ＝1 000x 2|0.150＝22.5(J)．【例题3】 解：设A 到C 经过t 1 s ，由1.2t ＝24得t 1＝20(s)，∴AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2|200＝240(m)．(2)设从D →B 经过t 2 s ，由24－1.2t 2＝0得t 2＝20(s)，∴DB ＝∫200(24－1.2t )d t ＝240(m)．(3)CD ＝7 200－2×240＝6 720(m)．从C 到D 的时间为t 3＝6 72024＝280(s)． 于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．1一质点沿直线以v ＝3t ＋2(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度运动，则该质点在第3 s 到第6 s 间的运动路程为( )A ．46 mB ．46.5 mC ．87 mD ．47 m2一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力的单位：N ，位移的单位：m)作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处，作用力F (x )所做的功为( )A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J3一物体在力F (x )＝15－3x 2(力的单位：N ，位移的单位：m)作用下沿与力F (x )成30°角的方向由x ＝1直线运动到x ＝2处，作用力F (x )所做的功为( )B． C．D.J 24一物体以v (t )＝t 2－3t ＋8(m/s)的速度运动，则其在前30 s 内的平均速度为________．5一物体在力F (x )(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向运动，力—位移曲线如图所示．求该物体从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，力F (x )做的功．答案：1．B S ＝66263333d (32)d 22v t t t t t ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰ ＝223362632322⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝46.5(m)．2．C W ＝105()d F x x ⎰＝102321055(325)(5)x x x x x -+=-+⎰＝(103－102＋5×10)－(53－52＋5×5)＝825(J)．3．C W＝22232111()cos30d (153)d )F x x x x x x ︒=-=-⎰＝[(30－8)－(15－1)]＝．4．263 m/s 由定积分的物理意义，得s ＝30232300013(38)d 832t t t t t t ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭⎰ ＝7 890(m)，789030s v t ==＝263(m/s)． 5．分析：先根据图象确定力关于位移的函数关系式，再利用定积分求解．解：由力—位移曲线可知F (x )＝1023424x x x ⎧⎨+<⎩≤≤≤﹐0﹐﹐﹐因此该物体从x ＝0处运动到x ＝4处力F (x )做的功为242240202310d (34)d 10446(J)2x x x x x x ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭⎰⎰．。