中考数学知识点专题分类复习：第6讲分式及其运算

2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式（含解析）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感；2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力；3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识；4．通过学习能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值。

考点1：分式的概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；3.分式有意义的条件：B≠0；4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0考点2：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.考点3：分式的运算考点4：分式化简求值（1）有括号时先算括号内的；（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；（3）进行乘除法运算（4）约分；（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，最终化为最简分式；（6）带入相应的数或式子求代数式的值【题型1：分式的相关概念】【典例1】（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【典例2】（2023•广西）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2【答案】A【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，解得x≠﹣1．故选：A．1．（2022•凉山州）分式有意义的条件是（）A．x＝﹣3B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠0【答案】B【解答】解：由题意得：3+x≠0，∴x≠﹣3，故选：B．2．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（）A．0B．﹣1C．1D．0或1【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故选：A．【题型2：分式的性质】【典例3】（2023•兰州）计算：＝（）A．a﹣5B．a+5C．5D．a 【答案】D【解答】解：＝＝a，故选：D．1．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．2．（2023•自贡）化简：＝x﹣1．【答案】x﹣1．【解答】解：原式＝＝x﹣1．故答案为：x﹣1．【题型3：分式化简】【典例4】（2023•广东）计算的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝＝．故本题选：C．1．（2023•河南）化简的结果是（）A．0B．1C．a D．a﹣2【答案】B【解答】解：原式＝＝1．故选：B．2．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：原式＝+＝＝，故选：D．【题型4：分式的化简在求值】【典例5】（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【答案】，．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．1．（2023•辽宁）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝x+2，当x＝3时，原式＝3+2＝5．2．（2023•大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣+＝＝＝＝，当x＝1时，原式＝＝．3．（2023•西宁）先化简，再求值：，其中a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根．【答案】，6．【解答】解：原式＝[﹣]×a（a﹣b）＝×a（a﹣b）﹣＝﹣＝；∵a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，∴a+b＝﹣1ab＝﹣6，∴原式＝．1．（2023春•汝州市期末）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；B、＝＝，不是最简分式，不符合题意；C、是最简分式，符合题意；D、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；故选：C．2．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍【答案】B【解答】解：∵＝＝×2，∴如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值扩大2倍，故选：B．3．（2023•河北）化简的结果是（）A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6【答案】A【解答】解：x3（）2＝x3•＝xy6，故选：A．4．（2023秋•来宾期中）若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣2B．0C．2D．【答案】C【解答】解：由题意得：x﹣2＝0且3x﹣1≠0，解得：x＝2，故选：C．5．（2023秋•青龙县期中）分式的最简公分母是（）A．3xy B．6x3y2C．6x6y6D．x3y3【答案】B【解答】解：分母分别是x2y、2x3、3xy2，故最简公分母是6x3y2；故选：B．6．（2023春•沙坪坝区期中）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解；A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝＝，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝﹣1，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．7．（2023春•原阳县期中）化简（1+）÷的结果为（）A．1+x B．C．D．1﹣x【答案】A【解答】解：原式＝×＝×＝1+x．故选：A．8．（2023•门头沟区二模）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x＞2C．x≥2D．x≤2【答案】A【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：A．9．（2023春•武清区校级期末）计算﹣的结果是（）A．B．C．x﹣y D．1【答案】B【解答】解：﹣＝＝．故答案为：B．10．（2023春•东海县期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝﹣，故选：C．11．（2023秋•莱州市期中）计算的结果是﹣x．【答案】﹣x．【解答】解：÷＝•（﹣）＝﹣x，故答案为：﹣x．12．（2023秋•汉寿县期中）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为（用含a、b、m的最简分式表示）．【答案】．【解答】解：由题意得：平均每天比原计划要多读的页数为：﹣＝﹣＝，故答案为：．13．（2023春•宿豫区期中）计算＝1．【答案】1．【解答】解：＝＝＝1，故答案为：1．14．（2023•广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．（1）因式分解A；（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；（2）..【解答】解：（1）2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）；（2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），＝＝．15．（2023秋•思明区校级期中）先化简，再求值：（），其中．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．16．（2023秋•长沙期中）先化简，再求值：，其中x＝5．【答案】，．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当x＝5时，原式＝＝．17．（2023•盐城一模）先化简，再求值：，其中x＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（+）•＝•＝•＝x﹣1，当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．18．（2022秋•廉江市期末）先化简（﹣x）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．【答案】﹣，0．【解答】解：原式＝（﹣）•＝﹣•＝﹣，∵（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠±1，当x＝0时，原式＝﹣＝0．1．（2023秋•西城区校级期中）假设每个人做某项工作的工作效率相同，m个人共同做该项工作，d天可以完成若增加r个人，则完成该项工作需要（）天．A．d+y B．d﹣r C．D．【答案】C【解答】解：工作总量＝md，增加r个人后完成该项工作需要的天数＝，故选：C．2．（2023秋•长安区期中）若a＝2b，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解答】解：∵a＝2b，∴＝＝＝＝＝，∴表示的点落在段③，故选：C．3．（2023秋•东城区校级期中）若x2﹣x﹣1＝0，则的值是（）A．3B．2C．1D．4【答案】A【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣1＝x，∴x﹣＝1，∴（x﹣）2＝1，∴x2﹣2+＝1，∴x2+＝3，故选：A．4．（2023秋•鼓楼区校级期中）对于正数x，规定，例如，，则＝（）A．198B．199C．200D．【答案】B【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（1）+f（1）＝2，f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝2，f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝2，…f（100）＝＝，f（）＝＝，f（100）+f（）＝2，∴＝2×100﹣1＝199．故选：B．5．（2023秋•延庆区期中）当x分别取﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣2，﹣1，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2023【答案】A【解答】解：当x＝﹣a和时，＝＝0，当x＝0时，，则所求的和为0+0+0+⋯+0+（﹣1）＝﹣1，故选：A．6．（2022秋•永川区期末）若分式，则分式的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】B【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．7．（2023春•铁西区月考）某块稻田a公顷，甲收割完这块稻田需b小时，乙比甲多用0.3小时就能收割完这块稻田，两人一起收割完这块稻田需要的时间是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：乙收割完这块麦田需要的时间是（b+0.3）小时，甲的工作效率是公顷/时，乙的工作效率是公顷/时．故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为＝（小时）．故选：B．8．（2023春•临汾月考）相机成像的原理公式为，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．下列用f，u表示v正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵，去分母得：uv＝fv+fu，∴uv﹣fv＝fu，∴（u﹣f）v＝fu，∵u≠f，∴u﹣f≠0，∴．故选：D．9．（2023•内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（）A．199B．200C．201D．202【答案】C【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝2×100+1＝201．故选：C．10．（2023春•灵丘县期中）观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…＝﹣将以上等式相加得到+++…+＝1﹣．用上述方法计算：+++…+其结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由上式可知+++…+＝（1﹣）＝．故选A．11．（2023秋•顺德区校级月考）先阅读并填空，再解答问题．我们知道，（1）仿写：＝，＝，＝．（2）直接写出结果：＝．利用上述式子中的规律计算：（3）；（4）．【答案】（1），；；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1），＝；＝，故答案为：，；；（2）原式＝1﹣+++...++＝1﹣＝；故答案为：；（3）＝＝1﹣+﹣+﹣+⋯⋯+＝1﹣＝；（2）原式＝×（）+×（）+×（）+...+×（）＝（）＝＝．12．（2023秋•株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：，；解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式；（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案为：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值为整数，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．13．（2023秋•涟源市月考）已知，求的值．解：由已知可得x≠0，则，即x+．∵＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7，∴．上面材料中的解法叫做“倒数法”．请你利用“倒数法”解下面的题目：（1）求，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）24；（3）．【解答】解：（1）由，知x≠0，∴．∴，x•＝1．∵＝x2+＝（x﹣）2+2＝42+2＝18．∴＝．（2）由＝，知x≠0，则＝2．∴x﹣3+＝2．∴x+＝5，x•＝1．∵＝x2+1+＝（x+）2﹣2+1＝52﹣1＝24．∴＝．（3）由，，，知x≠0，y≠0，z≠0．则＝，＝，y+zyz＝1，∴+＝，+＝，+＝1．∴2（++）＝++1＝．∴++＝．∵＝++＝，∴＝．14．（2022秋•兴隆县期末）设．（1）化简M；（2）当a＝3时，记M的值为f（3），当a＝4时，记M的值为f（4）．①求证：；②利用①的结论，求f（3）+f（4）+…+f（11）的值；③解分式方程．【答案】（1）；（2）①见解析，②，③x＝15．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝；（2）①证明：；②f（3）+f（4）+⋅⋅⋅+f（11）＝＝＝＝；③由②可知该方程为，方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得：，整理，得：，解得：x＝15，经检验x＝15是原方程的解，∴原分式方程的解为x＝15．15．（2023春•蜀山区校级月考）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子次数比分母大，则该分式可以拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分成整式与分式：方法一：原式＝＝＝x+1+2﹣＝x+3﹣；方法二：设x+1＝t，则x＝t﹣1，则原式＝＝．根据上述方法，解决下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式和的形式，得＝；（2）任选上述一种方法，将拆分成整式与分式和的形式；（3）已知分式与x的值都是整数，求x的值．【答案】（1）；（2）；（3）﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5．【解答】解：（1）由题知，，故答案为：．（2）选择方法一：原式＝＝．选择方法二：设x﹣1＝t，则x＝t+1，则原式＝＝＝＝＝．（3）由题知，原式＝＝＝＝．又此分式与x的值都是整数，即x﹣4是39的因数，当x﹣4＝±1，即x＝3或5时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±3，即x＝1或7时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43时，原分式的值为整数；综上所述：x的值为：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时，原分式的值为整数．16．（2023春•兰州期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝2+．若假分式的值为正整数，则整数a的值为1，0，2，﹣1；（3）将假分式化为带分式（写出完整过程）．【答案】（1）真分式；（2）2+；1，2，﹣1；（3）x﹣1﹣．【解答】解：（1）由题意得：分式是真分式，故答案为：真分式；（2）＝＝2+，当2+的值为正整数时，2a﹣1＝1或±3，∴a＝1，2，﹣1；故答案为：2+；1，2，﹣1；（3）原式＝＝＝x﹣1﹣．1．（2023•湖州）若分式的值为0，则x的值是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣3【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，解得：x＝1，故选：A．2．（2023•天津）计算的结果等于（）A．﹣1B．x﹣1C．D．【答案】C【解答】解：＝＝＝＝，故选：C．3．（2023•镇江）使分式有意义的x的取值范围是x≠5．【答案】x≠5．【解答】解：当x﹣5≠0时，分式有意义，解得x≠5，故答案为：x≠5．4．（2023•上海）化简：﹣的结果为2．【答案】2．【解答】解：原式＝＝＝2，故答案为：2．5．（2023•安徽）先化简，再求值：，其中x＝．【答案】x+1，．【解答】解：原式＝＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．6．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【答案】；﹣1．【解答】解：（﹣a+1）÷＝•＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝＝﹣1．7．（2023•淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝•＝，当a＝+1时，原式＝＝．8．（2023•朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．【答案】，1．【解答】解：原式＝[+]•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝1．。

2025年中考数学考点分类专题归纳分 式要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式，其中A 叫做分子，B 叫做分母. 2.分式的基本性质（M 为不等于0的整式）.3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． 3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算 a b a b c c c±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. a c ad bc b d bd±±=；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算：a c ac b d bd ⋅=，其中a 、b 、c 、d 是整式，bd ≠0.两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算：a c a d ad b d b c bc÷=⋅=，其中a 、b 、c 、d 是整式，bcd ≠0. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算： nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭分式的乘方，把分子、分母分别乘方。

4．零指数5．负整数指数1p p a a -=（a ≠0，p 为正整数）6．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．1．（2024•武汉）若分式在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ）A ．x ＞﹣2B ．x ＜﹣2C ．x ＝﹣2D ．x ≠﹣22．（2024•温州）若分式的值为0，则x 的值是（ ）A ．2B ．0C ．﹣2D ．﹣53．（2024•葫芦岛）若分式的值为0，则x 的值为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．±14．（2024•莱芜）若x ，y 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A ．B ．C ．D ．5．（2024•株洲）下列运算正确的是（ ）A ．2a+3b ＝5abB ．（﹣ab ）2＝a 2bC ．a 2•a 4＝a 8D ．6．（2024•曲靖）下列计算正确的是（ ）A．a2•a＝a2B．a6÷a2＝a3C．a2b﹣2ba2＝﹣a2b D．（）37．（2024•河北）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁8．（2024•淄博）化简的结果为（）A．B．a﹣1 C．a D．19．（2024•南充）已知3，则代数式的值是（）A．B．C．D．10．（2024•内江）已知：，则的值是（）A．B．C．3 D．﹣311．（2024•北京）如果a﹣b＝2，那么代数式（b）•的值为（）A．B．2C．3D．412．（2024•孝感）已知x+y＝4，x﹣y，则式子（x﹣y）（x+y）的值是（）A．48 B．12C．16 D．12 13．（2024•沙坪坝区）计算：（π﹣3）0﹣（）﹣2＝___ _．14．（2024•盐城）要使分式有意义，则x的取值范围是_____．15．（2024•湖州）当x＝1时，分式的值是_ ．16．（2024•沈阳）化简：．17．（2024•大庆）已知，则实数A＝__ _．18．（2024•包头）化简：（1）＝_ ．19．（2024•昆明）若m3，则m2___．20．（2024•永州）化简：（1）_ _．21．（2024•福建）计算：（）0﹣1＝___．22．（2024•南通）计算：（1）（﹣2）2（﹣3）0﹣（）﹣2；（2）．23．（2024•湖北）化简：•．24．（2024•百色）已知a2＝19，求的值．25．（2024•山西）计算：（1）（2）2﹣|﹣4|+3﹣1×6+20．（2）•．26．（2024•徐州）计算：（1）﹣12+20240﹣（）﹣1；（2）．27．（2024•益阳）化简：（x﹣y）•．28．（2024•陕西）化简：（）．29．（2024•十堰）化简：30．（2024•南京）计算（m+2）．31．（2024•泸州）化简：（1）．32．（2024•黑龙江）先化简，再求值：（a），其中a，b＝1．33．（2024•重庆）计算：（1）（x+2y）2﹣（x+y）（x﹣y）；（2）（a﹣1）34．（2024•万州区）计算（1）（x+2y）（x﹣2y）+4y（x+y）（2）（y﹣1）．35．（2024•铁岭）先化简，再求值：（a+2），其中a．36．（2024•辽阳）先化简，再求值：（），其中a＝2cos30°+（）﹣1﹣（π﹣3）037．（2024•葫芦岛）先化简，再求值：（），其中a＝3﹣1+2sin30°．38．（2024秋•沙坪坝区校级月考）先化简，再求值：（a+1），其中a＝2（tan45°﹣cos30°）39．（2024•广元）先化简，再求值：（），其中a2．40．（2024•锦州）先化简，再求值：（2），其中x＝3．41．（2024•青海）先化简，再求值：（1），其中m＝2．42．（2024•毕节市）先化简，再求值：，其中a是方程a2+a﹣6＝0的解．。

分式的运算知识点总结一、分式的含义和性质1. 分式的定义分式是指两个整数的比例，通常用a/b表示，其中a称为分子，b称为分母，b不等于0。

分式通常表示成有理数的形式，例如1/2、3/4等。

2. 分式的性质分式有以下性质：（1）分式的分母不可以为0，因为0不能作为除数。

（2）分式可以化简，即约分，将分子与分母的公因数约掉。

（3）分式可以相互转换，即通过乘以相同的数或者分式和分数的换算，可以将分式相互转换。

二、分式的加减法1. 分式的相加分式的相加即将两个分式的分子相加，分母不变，然后化简得到最简分式。

例如：1/2 + 1/3 = (1*3+1*2)/(2*3) = 5/6。

2. 分式的相减分式的相减即将两个分式的分子相减，分母不变，然后化简得到最简分式。

例如：2/3 - 1/4 = (2*4-1*3)/(3*4) = 5/12。

三、分式的乘除法1. 分式的相乘分式的相乘即将两个分式的分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母，然后化简得到最简分式。

例如：1/2 * 2/3 = (1*2)/(2*3) = 2/6 = 1/3。

2. 分式的相除分式的相除即将两个分式的分子相除作为新的分子，分母相除作为新的分母，然后化简得到最简分式。

例如：3/4 ÷ 1/2 = (3*2)/(4*1) = 6/4 = 3/2。

四、分式的乘方和括号的运算1. 分式的乘方分式的乘方即将分式的分子和分母分别进行乘方运算，得到新的分子和分母，然后化简得到最简分式。

例如：(1/2)^2 = 1^2/2^2 = 1/4。

2. 分式的括号运算分式的括号运算即根据括号内的运算顺序进行计算，先乘除后加减，然后化简得到最简分式。

例如：(1/2 + 1/4) ÷ (1/2 - 1/4) = (2/4 + 1/4) ÷ (2/4 - 1/4) = 3/4 ÷ 1/2 = 3/4 * 2/1 = 3/2。

专题06 分式方程一、单选题1．（2022·江苏无锡）方程213x x =-的解是（ ）． A ．3x =-B ．1x =-C ．3x =D ．1x =【答案】A【解析】【分析】根据解分式方程的基本步骤进行求解即可．先两边同时乘最简公分母(3)x x -，化为一元一次方程；然后按常规方法，解一元一次方程；最后检验所得一元一次方程的解是否为分式方程的解．【详解】解：方程两边都乘(3)x x -，得 23x x =-解这个方程，得3x =-检验：将3x =-代入原方程，得 左边13=-，右边13=-，左边=右边． 所以，3x =-是原方程的根．故选：A ．【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤和验根是解题的关键．2．（2022·内蒙古通辽）若关于x 的分式方程：121222k x x --=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ） A ．2k <B ．2k <且0k ≠C ．1k >-D ．1k >-且0k ≠【答案】B【解析】【分析】先解方程，含有k 的代数式表示x ，在根据x 的取值范围确定k 的取值范围．【详解】解：∵121222k x x--=--， ∵()22121x k --+=-，解得：2x k =-，∵解为正数，∵20k ->，∵2k ＜，∵分母不能为0，∵2x ≠，∵22k -≠，解得0k ≠，综上所述：2k ＜且0k ≠，故选：B ．【点睛】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．3．（2022·辽宁营口）分式方程322x x =-的解是（ ） A ．2x =B ．6x =-C ．6x =D ．2x =-【答案】C【解析】【分析】先去分母，去括号，移项，合并同类项得出答案，最后检验即可．【详解】 解：322x x =-， 去分母，得3(2)2x x -=， 去括号，得362x x -=，移项，得326x x -=，所以6x =．经检验，6x =是原方程的解．故选：C ．【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．4．（2022·湖北恩施）一艘轮船在静水中的速度为30km/h ，它沿江顺流航行144km 与逆流航行96km 所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km/h ，则符合题意的方程是（ ）A ．144963030v v =+- B ．1449630v v =- C ．144963030v v =-+ D ．1449630v v=+ 【答案】A【解析】【分析】先分别根据“顺流速度=静水速度+江水速度”、“逆流速度=静水速度-江水速度”求出顺流速度和逆流速度，再根据“沿江顺流航行144km 与逆流航行96km 所用时间相等”建立方程即可得．【详解】解：由题意得：轮船的顺流速度为(30)km/h v +，逆流速度为(30)km/h v -， 则可列方程为144963030v v =+-， 故选：A ．【点睛】本题考查了列分式方程，正确求出顺流速度和逆流速度是解题关键．5．（2022·海南）分式方程2101x -=-的解是（ ） A ．1x =B ．2x =-C ．3x =D ．3x =-【答案】C【解析】【分析】按照解分式方程的步骤解答即可．【详解】 解：2101x -=- 2-（x -1）=02-x +1=0-x =-3x =3检验，当x =3时，x -1≠0，故x =3是原分式方程的解．故答案选C ．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,以及检验，特别是检验是解分式方程的关键．6．（2022·黑龙江哈尔滨）方程233x x =-的解为（ ） A ．3x =B ．9x =-C ．9x =D ．3x =-【答案】C【解析】【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】 解：233x x =- 去分母得：23(3)x x =-，去括号得：239x x =-，移项、合并同类项得：9x -=-，解得：x =9，经检验：x =9是原分式方程的解，故选：C ．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增根． 7．（2022·黑龙江）已知关于x 的分式方程23111x m x x --=--的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．4m >B ．4m <C ．4m >且5m ≠D ．4m <且1m ≠ 【答案】C【解析】【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到40m ->且410m --≠，即可求解．【详解】方程两边同时乘以(1)x -，得231x m x -+=-，解得4x m =-，关于x 的分式方程23111x m x x--=--的解是正数， 0x ∴>，且10x -≠，即40m ->且410m --≠，4m ∴>且5m ≠，故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键． 8．（2022·山东潍坊）观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比2021年4月增加267万吨，当月增速为6.6%（计算方法：267100% 6.6%4036⨯≈）．2022年3月当月增速为14.0%-，设2021年3月原油进口量为x 万吨，下列算法正确的是（ ）A ．4271100%14.0%4271x -⨯=- B ．4271100%14.0%4271x -⨯=- C ．4271100%14.0%x x -⨯=- D ．4271100%14.0%x x -⨯=- 【答案】D【解析】【分析】根据题意列式即可．【详解】解：设2021年3月原油进口量为x 万吨，则2022年3月原油进口量比2021年3月增加(4271-x )万吨， 依题意得：4271100%14.0%x x -⨯=-， 故选：D ．【点睛】本题考查了列分式方程，关键是找出题目蕴含的数量关系．9．（2021·四川巴中）关于x 的分式方程2m x x +--3＝0有解，则实数m 应满足的条件是（ ） A ．m ＝﹣2B ．m ≠﹣2C ．m ＝2D ．m ≠2【答案】B【解析】【分析】解分式方程得：63m x x +=-即46x m =-，由题意可知2x ≠，即可得到68m -≠.【详解】 解：302m x x +-=- 方程两边同时乘以2x -得：630m x x +-+=，∵46x m =-，∵分式方程有解，∵20x -≠，∵2x ≠，∵68m -≠，∵2m ≠-，故选B.【点睛】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键. 10．（2021·内蒙古呼伦贝尔）若关于x 的分式方程2233x a x x ++=--无解，则a 的值为（ ） A ．3 B ．0 C ．1- D ．0或3【答案】C【解析】【分析】直接解分式方程，再根据分母为0列方程即可．【详解】 解：2233x a x x++=--， 去分母得：2﹣x ﹣a ＝2（x ﹣3），解得：x ＝83a -， 当833a -=时，方程无解， 解得1a =-．故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程无解，解题关键是明确分式方程无解的条件，解方程，再根据分母为0列方程． 11．（2021·四川宜宾）若关于x 的分式方程322x m x x -=--有增根，则m 的值是（ ） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2【答案】C【解析】【分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根x =2代入整式方程，即可求解．【详解】 解：322x m x x -=--， 去分母得：()32x x m --=，∵关于x 的分式方程322x m x x -=--有增根，增根为：x =2， ∵()2322m --=，即：m =2，故选C ．【点睛】本题主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化为整式方程是解题的关键．12．（2021·广西贺州）若关于x 的分式方程43233m x x x +=+--有增根，则m 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】【分析】 根据分式方程有增根可求出3x =，方程去分母后将3x =代入求解即可.【详解】解：∵分式方程43233m x x x +=+--有增根， ∵3x =，去分母，得()4323m x x +=+-，将3x =代入，得49m +=，解得5m =．故选：D ．【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键． 13．（2021·黑龙江）已知关于x 的分式方程3121m x +=-的解为非负数，则m 的取值范围是（ ） A ．4m ≥-B ．4m ≥-且3m ≠-C ．4m >-D ．4m >-且3m ≠- 【答案】B【解析】【分析】根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解．【详解】解：由关于x 的分式方程3121m x +=-可得：42m x +=，且12x ≠， ∵方程的解为非负数， ∵402m +≥，且4122m +≠， 解得：4m ≥-且3m ≠-，故选B ．【点睛】本题主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．14．（2020·黑龙江鹤岗）已知关于x 的分式方程433x k x x -=--的解为非正数，则k 的取值范围是（ ） A ．12k ≤-B ．12k -≥C ．12k >-D ．12k <- 【答案】A【解析】【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k 的不等式，解出k 的范围即可．【详解】 解：方程433x k x x-=--两边同时乘以(3)x -得：4(3)x x k --=-， ∵412x x k -+=-，∵312x k -=--， ∵43k x =+， ∵解为非正数， ∵403k +≤， ∵12k ≤-，故选：A ．【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．15．（2020·湖北荆门）已知关于x 的分式方程2322(2)(3)x k x x x +=+--+的解满足41x -<<-，且k 为整数，则符合条件的所有k 值的乘积为（ ）A ．正数B ．负数C ．零D ．无法确定 【答案】A【解析】【分析】先解出关于x 的分式方程得到x =63k -，代入41x -<<-求出k 的取值，即可得到k 的值，故可求解．【详解】关于x 的分式方程2322(2)(3)x kx x x +=+--+得x =217k -，∵41x -<<- ∵21471k --<<-解得-7＜k ＜14∵整数k 为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13， 又∵分式方程中x ≠2且x ≠-3∵k ≠35且k ≠0∵所有符合条件的k 中，含负整数6个，正整数13个，∵k 值的乘积为正数,故选A ．【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法． 16．（2020·黑龙江牡丹江）若关于x 的方程201mx x -=+的解为正数，则m 的取值范围是（） A ．2m < B ．2m <且0m ≠ C ．2m > D ．2m >且4m ≠【答案】C【解析】【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据方程的解为正数得出不等式，且不等于增根，再求解.【详解】解：∵解方程201mx x -=+，去分母得：()210mx x -+=，整理得：()22m x -=，∵方程有解， ∵22x m =-，∵分式方程的解为正数， ∵202m >-，解得：m ＞2，而x≠-1且x≠0，则22m-≠-1，22m-≠0，解得：m≠0，综上：m的取值范围是：m＞2.故选C.【点睛】本题主要考查分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程的解的概念．17．（2020·四川泸州）已知关于x的分式方程3211mx x+=---的解为非负数，则正整数m的所有个数为（）A．3B．4C．5D．6本号资料@皆来源于微*信公#众号：数学【答案】B【解析】【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，即可解题．【详解】解：去分母，得：m+2(x-1)=3，移项、合并，解得：x=52m，∵分式方程的解为非负数，∵52m≥0且52m≠1，解得：m≤5且m≠3，∵m为正整数∵m=1，2，4，5，共4个，故选：B．【点睛】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合条件的不等式的解．18．（2020·重庆）若关于x的一元一次不等式组()213212x xx a⎧-≤-⎪⎨->⎪⎩的解集为x≥5，且关于y的分式方程122+=---y a y y有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．-1B ．-2C ．-3D ．0【答案】B【解析】【分析】 首先由不等式组的解集为x ≥5，得a ＜3，然后由分式方程有非负整数解，得a ≥-2且a ≠2的偶数，即可得解.【详解】由题意，得()2132x x -≤-，即5x ≥12x a ->，即2x a +＞ ∵25a +＜，即3a ＜122+=---y a y y ，解得22a y += 有非负整数解，即202a y +=≥ ∵a ≥-2且a ≠2∵23a -≤＜且2a ≠ ∵符合条件的所有整数a 的数有：-2，-1,0,1又∵22a y +=为非负整数解， ∵符合条件的所有整数a 的数有：-2,0∵其和为202-+=-故选：B.【点睛】此题主要考查根据不等式组的解集和分式方程的解求参数的值，熟练掌握，即可解题.19．（2020·重庆）若关于x 的一元一次不等式结3132x x x a-⎧≤+⎪⎨⎪≤⎩的解集为x a ≤；且关于y 的分式方程34122y a y y y --+=--有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之积是（ ）# 本号资料皆来源于微@信公*众号：数学A ．7B ．－14C ．28D ．－56【答案】A【解析】【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a 的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a 的值，求出之和即可．【详解】 解：解不等式3132x x -≤+，解得x ≤7， ∵不等式组整理的7x x a≤⎧⎨≤⎩， 由解集为x ≤a ，得到a ≤7，分式方程去分母得：y −a ＋3y −4＝y −2，即3y −2＝a ，解得：y ＝+23a ， 由y 为正整数解且y ≠2，得到a ＝1，7，1×7＝7，故选：A ．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（2022·重庆）关于x 的分式方程31133x a x x x -++=--的解为正数，且关于y 的不等式组92(2)213y y y a +≤+⎧⎪-⎨>⎪⎩的解集为5y ≥，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A ．13B ．15C ．18D ．20【答案】A【解析】【分析】先通过分式方程求出a 的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a 的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a 的有限个整数解．【详解】由分式方程的解为整数可得：313x a x x ---=-解得：2=-x a又题意得：20a ->且23a -≠∵2a >且5a ≠，由()922y y +≤+得：5y ≥ 由213y a ->得：32a y +> ∵解集为5y ≥ ∵352a +< 解得：7a <综上可知a 的整数解有：3，4，6它们的和为：13故选：A ．【点睛】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等数组，掌握由解集倒推参数范围是本题关键．21．（2022·四川遂宁）若关于x 的方程221m x x =+无解，则m 的值为（ ） A ．0B ．4或6C ．6D ．0或4 【答案】D【解析】【分析】现将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当40m -=时，当40m -≠时，0x =或210x +=，进行计算即可．【详解】方程两边同乘(21)x x +，得2(21)x mx +=，整理得(4)2m x -=，原方程无解，∴当40m -=时，4m =；当40m -≠时，0x =或210x +=，此时，24x m =-， 解得0x =或12x =-，当0x =时，204x m ==-无解；当12x =-时，2142x m ==--，解得0m =； 综上，m 的值为0或4；故选：D ．【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．22．（2022·重庆）若关于x 的一元一次不等式组411351x x x a-⎧-≥⎪⎨⎪-⎩＜的解集为2x -≤，且关于y 的分式方程1211y a y y -=-++的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．－26B ．－24C ．－15D ．－13【答案】D【解析】【分析】 根据不等式组的解集，确定a ＞-11，根据分式方程的负整数解，确定a ＜1，根据分式方程的增根，确定a ≠-2，计算即可．【详解】 ∵ 411351x x x a -⎧-≥⎪⎨⎪-⎩①＜②，解∵得解集为2x -≤，解∵得解集为15a x +＜， ∵ 不等式组411351x x x a-⎧-≥⎪⎨⎪-⎩＜的解集为2x -≤， ∵125a +-＞， 解得a ＞-11， ∵ 1211y a y y -=-++的解是y =13a -，且y ≠-1，1211y a y y -=-++的解是负整数， ∵a ＜1且a ≠-2，∵-11＜a ＜1且a ≠-2，故a =-8或a =-5，故满足条件的整数a 的值之和是-8-5=-13，故选D．【点睛】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握不等式组的解法，灵活求分式方程的解，确定特殊解，注意增根是解题的关键．23．（2022·四川德阳）关于x的方程211x ax+=-的解是正数，则a的取值范围是（）A．a＞－1B．a＞－1且a≠0C．a＜－1D．a＜－1且a≠－2【答案】D【解析】【分析】将分式方程变为整式方程求出解，再根据解为正数且不能为增根，得出答案．【详解】方程左右两端同乘以最小公分母x-1，得2x+a=x-1．解得：x=-a-1且x为正数．所以-a-1＞0，解得a＜-1，且a≠-2.（因为当a=-2时，方程不成立.）．【点睛】本题难度中等，易错点：容易漏掉了a≠-2这个信息．24．（2020·云南昆明）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（）A．1600元B．1800元C．2000元D．2400元【答案】C【解析】【分析】设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x，根据“实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元”列出方程求解即可．【详解】解：设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x，根据题意得：80004000800011.2x x+-=， 解得：x ＝2000，经检验：x ＝2000是原方程的解，答：每间直播教室的建设费用是2000元，故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大．25．（2020·黑龙江齐齐哈尔）若关于x 的分式方程32x x -＝2m x -+5的解为正数，则m 的取值范围为（ ） A ．m ＜﹣10B ．m ≤﹣10C ．m ≥﹣10且m ≠﹣6D ．m ＞﹣10且m ≠﹣6【答案】D【解析】【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m 的范围即可．【详解】解：去分母得35(2)x m x =-+-， 解得102m x +=， 由方程的解为正数，得到100m +>，且2x ≠，104m +≠，则m 的范围为10m >-且6≠-m ，故选：D ．【点睛】本题主要考查了分式方程的计算，去分母化为整式方程，根据方程的解求出m 的范围，其中考虑到分式方程的分母不可为零是做对题目的关键．26．（2020·黑龙江牡丹江）若关于x 的分式方程21m x x =-有正整数解，则整数m 的值是（ ） A ．3B ．5C ．3或5D ．3或4【答案】D【解析】【分析】解带参数m 的分式方程，得到2122m x m m ==+--，即可求得整数m 的值．【详解】 解：21mx x =-，两边同时乘以()1x x -得：()21x m x =-，去括号得：2x mx m =-，移项得：2x mx m -=-，合并同类项得：()2m x m -=-，系数化为1得：2122mx m m ==+--，若m 为整数，且分式方程有正整数解，则3m =或4m =，当3m =时，3x =是原分式方程的解；当4m =时，2x =是原分式方程的解；故选：D ．【点睛】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为0这个条件．27．（2020·黑龙江黑龙江）已知关于x 的分式方程422x kx x -=--的解为正数，则x 的取值范围是（）A ．80k -<<B ．8k >-且2k ≠-C ．8k >-D ．4k <且2k ≠-【答案】B【解析】【分析】先解分式方程利用k 表示出x 的值，再由x 为正数求出k 的取值范围即可．【详解】方程两边同时乘以2x -得，()420x x k --+=， 解得：83kx +=．∵x 为正数， ∵803k+>，解得8k >-，∵2x ≠，∵823k +≠，即2k ≠-， ∵k 的取值范围是8k >-且2k ≠-．故选：B ．【点睛】本题考查了解分式方程及不等式的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，28．（2020·山东枣庄）对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：21a b a b ⊗=-，这里等式右边是实数运算．例如：21113138⊗==--．则方程()2214⊗-=--x x 的解是（ ） A ．4x =B ．5x =C ．6x =D ．7x = 【答案】B【解析】【分析】根据题中的新运算法则表达出方程，再根据分式方程的解法解答即可．【详解】 解：211(2)(2)4x x x ⊗-==--- ∵方程表达为：12144x x =--- 解得：5x =，经检验，5x =是原方程的解，故选：B ．【点睛】本题考查了新定义的运算法则的计算、分式方程的解法，解题的关键是理解题中给出的新运算法则及分式方程的解法．二、填空题29．（2022·辽宁大连）方程213x =-的解是_______． 【答案】5x =【解析】【分析】先去分母，化成一元一次方程，求解，检验分母不为0，即可.【详解】去分母得：23x =-，解得：5x =，检验：35320x -=-=≠，∵原方程的解为x =5.故答案为：5x =.【点睛】本题考查解分式方程，注意结果要代入分母，检验分母是否为0. 本号资料皆来源于微信#：数学30．（2022·湖南永州）解分式方程2101x x -=+去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______． 【答案】()1x x +【解析】【分析】根据解分式方程的方法中确定公分母的方法求解即可．【详解】 解：分式方程2101x x -=+的两个分母分别为x ，(x +1)， ∴最简公分母为：x (x +1)，故答案为：x(x +1)．【点睛】题目主要考查解分式方程中确定公分母的方法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键． 31．（2021·湖北黄石）分式方程11322-+=--x x x的解是______． 【答案】3x =【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】 解：11322-+=--x x x 去分母得：()()1132x x --=-，去括号化简得：26x =，解得：3x =，经检验3x=是分式方程的根，故填：3x=．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．32．（2020·山东济南）代数式31x-与代数式23x-的值相等，则x＝_____．【答案】7【解析】【分析】根据题意列出分式方程，去分母，解整式方程，再检验即可得到答案．【详解】解：根据题意得：3213x x=--，去分母得：3x﹣9＝2x﹣2，解得：x＝7，经检验x＝7是分式方程的解．故答案为：7．【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．33．（2020·山东潍坊）若关于x的分式方程33122x mx x+-=--有增根，则m的值为_____.【答案】3【解析】【分析】把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得m的值．【详解】去分母得3x-(x-2)=m+3，当增根为x=2时，6=m+3∵m=3．故答案为3．【点睛】考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：∵让最简公分母为0确定增根；∵化分式方程为整式方程；∵把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 34．（2022·广东广州）分式方程3221x x =+的解是________ 【答案】3x = 【解析】 【分析】先去分母，将分式方程转化成整式方程求解，再检验即可求解； 【详解】解：方程两边同时乘以2x (x +1)，得 3(x +1)=4x 3x +3=4x x =3，检验：把x =3代入2x (x +1)=2×3(3+1)=24≠0， ∵原分式方程的解为：x =3． 故答案为：x=3． 【点睛】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是将分式方程转化成整式方程求解，注意：解分式方程一定要验根．35．（2022·黑龙江齐齐哈尔）若关于x 的分式方程2122224x mx x x ++=-+-的解大于1，则m 的取值范围是______________． 【答案】m >0且m ≠1 【解析】 【分析】先解分式方程得到解为1x m =+，根据解大于1得到关于m 的不等式再求出m 的取值范围，然后再验算分母不为0即可． 【详解】解：方程两边同时乘以()()22x x +-得到：22(2)2x x x m ，整理得到：1x m =+， ∵分式方程的解大于1， ∵11m +>，解得：0m >，又分式方程的分母不为0， ∵12m 且12m ，解得：1m ≠且3m ≠-，∵m 的取值范围是m >0且m ≠1． 【点睛】本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件． 36．（2021·湖北湖北）关于x 的方程2220x mx m m -+-=有两个实数根,αβ．且111αβ+=．则m =_______．【答案】3 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得22,m m m αβαβ+==-，再根据111αβ+=可得一个关于m 的方程，解方程即可得m 的值． 【详解】解：由题意得：22,m m m αβαβ+==-， 111αβαβαβ++==， 221mm m∴=-，化成整式方程为230m m -=， 解得0m =或3m =，经检验，0m =是所列分式方程的增根，3m =是所列分式方程的根， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．37．（2021·湖南常德）分式方程1121(1)x x x x x ++=--的解为__________． 【答案】3x = 【解析】 【分析】直接利用通分，移项、去分母、求出x 后，再检验即可． 【详解】解：1121(1)x x x x x ++=-- 通分得：212(1)(1)x x x x x x -+=--，移项得：()301x x x -=-， 30x ∴-=，解得：3x =，经检验，3x =时，(1)60x x -=≠， ∴3x =是分式方程的解，故答案是：3x =． 【点睛】本题考查了对分式分式方程的求解，解题的关键是：熟悉通分，移项、去分母等运算步骤，易错点，容易忽略对根进行检验．38．（2021·四川凉山）若关于x 的分式方程2311x mx x-=--的解为正数，则m 的取值范围是_________． 【答案】m ＞-3且m ≠-2 【解析】 【分析】先利用m 表示出x 的值，再由x 为正数求出m 的取值范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以x -1得，()231x x m --=-， 解得3x m =+， ∵x 为正数，∵m +3＞0，解得m ＞-3． ∵x ≠1，∵m +3≠1，即m ≠-2．∵m 的取值范围是m ＞-3且m ≠-2． 故答案为：m ＞-3且m ≠-2． 【点睛】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．39．（2020·四川巴中）若关于x 的分式方程31(1)x mx x x +=--有增根，则m =_________． 【答案】4-或0 【解析】 【分析】先确定最简公分母，令最简公分母为0求出x 的值，然后把分式方程化为整式方程，再将x 的值代入整式方程，解关于m 的方程即可得解． 【详解】解：分式方程最简公分母为(1)x x -，由分式方程有增根，得到10x -=或0x =，即0x =或1x =， 分式方程去分母得：23x x m +=-， 把0x =代入方程得：0m =-， 解得：0m =．把1x =代入方程得：13m +=-， 解得：4m =-． 故填：4-或0． 【点睛】本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：∵让最简公分母为0确定增根；∵化分式方程为整式方程；∵把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．40．（2022·重庆）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7，需香樟数量之比为4:3:9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2:3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_________． 【答案】35【解析】 【分析】适当引进未知数，合理转化条件，构造等式求解即可． 【详解】设三座山各需香樟数量分别为4x 、3x 、9x ．甲、乙两山需红枫数量2a 、3a ．∵425336x a x a +=+，∵3a x =，故丙山的红枫数量为()742955x a x x +-=， 设香樟和红枫价格分别为m 、n ．∵()()()()()16695161 6.25%120%695125%mx x x x n x m x x x n +++=-⋅-+++⋅+， ∵:5:4m n =，∵实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为()()()()161 6.25%120%3695125%5x mx x x n⋅-⋅-=++⋅+， 故答案为：35．【点睛】本题考查了未知数的合理引用，熟练掌握未知数的科学设置，灵活构造等式计算求解是解题的关键． 41．（2021·山东潍坊）若x ＜2，且12102x x x +-+-=-，则x ＝_______． 【答案】1 【解析】 【分析】先去掉绝对值符号，整理后方程两边都乘以x ﹣2，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】 解：12x +-|x ﹣2|+x ﹣1＝0， ∵x ＜2， ∵方程为12x +-2﹣x +x ﹣1＝0， 即12x =--1， 方程两边都乘以x ﹣2，得1＝﹣（x ﹣2）， 解得：x ＝1，经检验x ＝1是原方程的解， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了解分式方程和绝对值，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．42．（2021·四川雅安）若关于x 的分式方程11222k x x--=--的解是正数，则k 的取值范围是______． 【答案】4k <且0k ≠ 【解析】 【分析】根据题意，将分式方程的解x 用含k 的表达式进行表示，进而令0x >，再因分式方程要有意义则2x ≠，进而计算出k 的取值范围即可． 【详解】解： 2(2)11x k -+-=420x k --=42kx -=根据题意0x >且2x ≠ ∵402422kk -⎧>⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩∵40k k <⎧⎨≠⎩∵k 的取值范围是4k <且0k ≠． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．43．（2021·辽宁本溪）为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，A 种奖品的单价比B 种奖品的单价多10元，用300元购买A 种奖品的数量与用240元购买B 种奖品的数量相同．设B 种奖品的单价是x 元，则可列分式方程为________． 【答案】30024010x x=+ 【解析】 【分析】设B 种奖品的单价为x 元，则A 种奖品的单价为（x +10）元，利用数量=总价÷单价，结合用300元购买A 种奖品的件数与用240元购买B 种奖品的件数相同，即可得出关于x 的分式方程． 【详解】解：设B 种奖品的单价为x 元，则A 种奖品的单价为（x +10）元， 依题意得：30024010x x =+， 故答案为：30024010x x=+ 【点睛】本题考查了根据实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 44．（2021·河北）用绘图软件绘制双曲线m ：60y x=与动直线l ：y a =，且交于一点，图1为8a =时的视窗情形．（1）当15a =时，l 与m 的交点坐标为__________；（2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O 始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的12，其可视范围就由1515x -≤≤及1010y -≤≤变成了3030x -≤≤及2020y -≤≤（如图2）．当 1.2a =-和 1.5a =-时，l 与m 的交点分别是点A 和B ，为能看到m 在A 和B 之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的1k，则整数k =__________．【答案】 ()4,15 4 【解析】 【分析】（1）结合题意，根据一次函数和反比例函数的性质列分式方程并求解，即可得到答案；（2）当 1.2a =-和 1.5a =-时，根据一次函数、反比例函数和直角坐标系的性质，分别计算k 的值，再根据题意分析，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得6015y x== ∵4x = ∵0x ≠ ∵4x =是6015x=的解 ∵当15a =时，l 与m 的交点坐标为：()4,15 故答案为：()4,15； （2）当 1.2a =-时，得601.2y x==- ∵50x =- ∵0x ≠ ∵50x =-是601.2x=-的解 ∵l 与m 的交点坐标为：()50, 1.2--∵（1）视窗可视范围就由1515x -≤≤及1010y -≤≤，且10 1.210-<< ∵1550k -<-根据题意，得k 为正整数 ∵103k >∵4k =同理，当 1.5a =-时，得40x =- ∵1540k -<-∵83k >∵3k =∵要能看到m 在A 和B 之间的一整段图象 ∵4k = 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系的性质，从而完成求解． 45．（2020·四川眉山）关于x 的分式方程11222kx x-+=--的解为正实数，则k 的取值范围是________． 【答案】2k >-且2k ≠ 【解析】 【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】 解：11222kx x-+=-- 方程两边同乘（x -2）得，1+2x -4=k -1， 解得22k x +=222k +≠，022k +> 2k ∴>-，且2k ≠故答案为：2k >-且2k ≠ 【点睛】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．46．（2020·内蒙古呼和浩特）分式22x x -与282x x-的最简公分母是_______，方程228122-=--x x x x 的解是____________．。

分式的概念与运算知识点总结分式是数学中常见的一种表示方法，用于表示两个数之间的比例关系或部分关系。

本文将对分式的概念和运算相关的知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和运用分式。

一、分式的基本概念1. 分式的定义：分式是由分子和分母组成的表达式，其中分母不能为零。

2. 分式的读法：分子通常读作“分子”，分母读作“分母”。

例如，"3/4 "读作“三分之四”。

3. 分式的意义：分式表示部分与整体的比例关系，可用于表示分数、比率、百分比等概念。

二、分式的基本形式1. 真分式：分子小于分母的分式，如：3/4。

2. 假分式：分子大于等于分母的分式，如：5/4。

3. 整式：分子恒为零的分式，如：0/6。

4. 真分数：分子绝对值小于分母的分式，如：|-2/5|。

5. 假分数：分子绝对值大于等于分母的分式，如：|7/2|。

三、分式的基本运算1. 分式的相等：若两个分式的分子、分母完全相同，则它们相等。

例如，1/2 = 2/4。

2. 分式的加减运算：将两个分式的分母取相同的公倍数，然后将分子相加或相减。

例如，1/3 + 1/4 = 7/12。

3. 分式的乘除运算：将两个分式的分子相乘，分母相除。

例如，2/3 × 4/5 = 8/15。

4. 分式的倒数：将分式的分子与分母互换位置得到的新分式称为原分式的倒数。

例如，倒数为3/4的分式为4/3。

5. 分式的化简：将分式的分子和分母约分，使它们没有公因数。

例如，8/12可以化简为2/3。

四、分式的应用1. 分式在比例问题中的应用：通过设置分式的比例关系来求解问题。

例如，已知一辆车以每小时60公里的速度行驶，求2小时行驶的距离。

2. 分式在百分数问题中的应用：将百分数转化为分式，进行运算。

例如，计算75%的数值为多少。

3. 分式在平均数问题中的应用：通过设置分式的平均数关系来求解问题。

例如，已知某次数学考试的平均分为80分，其中A同学的得分为90分，求B同学的得分。

专题6 分式及其运算考点一、分式的概念和性质1．（2022·云南·昆明中考模拟）要使12022x +有意义，则x 的取值范围为（ ）A ．0x ≠B ．2022x >-C ．2022x ≠D ．2022x ≠-2．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式25x ，1π，224x +，x 2﹣23，1x ，12x x ++中，属于分式的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．（2022·广东·中考三模）若分式55m m --的值为零，则m =（ ） A ．5-B ．5C ．5±D ．04．（2022·云南·中考三模）下列函数中，自变量x 的取值范围错误的是（ ） A ．11212y x x ⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭B ．)1y x =≥C ．)1y x =≤D ．21y x =-（x 为任意实数）5．（2022·湖北黄石·中考真题）函数11y x =-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．3x ≠-且1x ≠B ．3x >-且1x ≠C ．3x >-D ．3x ≥-且1x ≠6．（2022·广西·中考真题）当x =______时，分式22xx +的值为零． 7．（2022·湖南邵阳·x 的取值范围是_________． 8．（2022·湖南·长沙市中考二模）若分式11x x --的值为零，则x 的值为______． 考点二、分式化简9．（2022·四川绵阳·中考二模）下列分式属于最简分式的是（ ） A ．265xy xB ．x y y x--C ．22x y x y++D ．2293x y x y-+10．（2022·四川眉山·中考真题）化简422a a +-+的结果是（ ） A ．1 B ．22a a +C ．224a a - D ．2a a +11．（2022·辽宁沈阳·中考真题）化简：21111x x x -⎛⎫-⋅= ⎪+⎝⎭______．12．（2022·四川自贡·中考真题）化简：22a3a42a3a2a4a4--⋅+-+++＝____________．13．（2022·西藏·中考真题）计算：222242a a aa a a+⋅---．14．（2022·辽宁大连·中考真题）计算2224214424x x xx x x x-+÷--+-．15．（2022·湖北十堰·中考真题）计算：2222a b b abaa a⎛⎫--÷+⎪⎝⎭．16．（2022·四川泸州·中考真题）化简：22311 (1). m m mm m-+-+÷17．（2022·湖南常德·中考真题）化简：231 122a aaa a+-⎛⎫-+÷⎪++⎝⎭18．（2022·甘肃武威·中考真题）化简：()2233322x x xx x x++÷-++．考点三、分式化简求值19．（2022·山东济南·中考真题）若m－n＝2，则代数式222m n mm m n-⋅+的值是（）A．－2B．2C．－4D．420．（2022·山东菏泽·中考真题）若22150a a --=，则代数式2442a a a a a -⎛⎫-⋅⎪-⎝⎭的值是________． 21．（2022·四川成都·中考真题）已知2272a a -=，则代数式2211a a a a a --⎛⎫-÷⎪⎝⎭的值为_________． 22．（2022·四川广安·中考真题）先化简：2242(2)244x xx x x x -++÷--+，再从0、1、2、3中选择一个适合的数代人求值．23．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）先化简，再求值：2344111x x x x x -+⎛⎫--÷ ⎪--⎝⎭，其中3x =．24．（2022·山东聊城·中考真题）先化简，再求值：244422a a a a a a --⎛⎫÷-- ⎪-⎝⎭，其中112sin 452a -⎛⎫=︒+ ⎪⎝⎭．25．（2022·辽宁锦州·中考真题）先化简，再求值：2233111211x x x x x x --⎛⎫÷-+ ⎪-++-⎝⎭，其中|1x =+．26．（2022·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：25244111a a a a a a +++⎛⎫+-÷⎪++⎝⎭，其中11|2|2a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．27．（2022·湖北荆州·中考真题）先化简，再求值：222212a b a b a b a ab b ⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中113a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()02022b =-．28．（2022·四川广元·中考真题）先化简，再求值：22x x +÷（1﹣211x x --），其中x 是不等式组()211532x x x x ⎧-<+⎨+≥⎩的整数解．29．（2022·新疆·中考真题）先化简，再求值：22931121112a a a a a a a ⎛⎫--÷-⋅⎪-+--+⎝⎭，其中2a =．30．（2022·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：2344111a a a a a ++⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭，其中10(1tan 45π2)a -=︒+-答案与解析考点一、分式的概念和性质1．（2022·云南·昆明中考模拟）要使12022x +有意义，则x 的取值范围为（ ）A ．0x ≠B ．2022x >-C ．2022x ≠D ．2022x ≠-【答案】D【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可．【详解】解：根据分式有意义即分母不为0，得到20220x +≠，即2022x ≠-，故D 正确． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，理解分式有意义的条件(分母不能为零)是解题关键．2．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式25x ，1π，224x +，x 2﹣23，1x ，12x x ++中，属于分式的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个A ．5-B ．5C ．5±D ．0【答案】A【分析】根据分式的值为零的条件列式计算即可． 【详解】解：由题意得：|m |−5＝0且m −5≠0， 解得：m ＝−5， 故选：A ．【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．4．（2022·云南·云大附中三模）下列函数中，自变量x 的取值范围错误的是（ ） A ．11212y x x ⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭B ．)1y x =≥C ．)1y x =≤D ．21y x =-（x 为任意实数）5．（2022·湖北黄石·中考真题）函数1y x =-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．3x ≠-且1x ≠ B ．3x >-且1x ≠C ．3x >-D ．3x ≥-且1x ≠6．（2022·广西·中考真题）当x =______时，分式22xx +的值为零． 【答案】0【分析】根据分式值为零，分子等于零，分母不为零得2x =0，x +2≠0求解即可． 【详解】解：由题意，得2x =0，且x +2≠0，解得：x =0， 故答案为：0．【点睛】本题考查分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件“分子为零，分母不为零”是解题的关键．7．（2022·湖南邵阳·x 的取值范围是_________．【答案】x >2##2＜x【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数和分式有意义的条件：分母不为0即可求出结论．【详解】解：由题意可得x-2>0， 解得：x >2， 故答案为：x >2．【点睛】本题考查的是分式及二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0解题的关键．8．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校二模）若分式11x x --的值为零，则x 的值为______．考点二、分式化简9．（2022·四川绵阳·二模）下列分式属于最简分式的是（ ） A ．265xy xB ．x y y x--C ．22x y x y ++D ．2293x y x y-+10．（2022·四川眉山·中考真题）化简422a a +-+的结果是（ ） A ．1 B ．22a a +C ．224a a -D ．2aa +11．（2022·辽宁沈阳·中考真题）化简：1111x x x -⎛⎫-⋅= ⎪+⎝⎭______． 【答案】1x -##1x -+12．（2022·四川自贡·中考真题）化简：2a 3a 42a 3a 2a 4a 4--⋅+-+++ ＝____________．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．13．（2022·西藏·中考真题）计算：222242a a a a a a +⋅---． 24a a a a --2)(2)(2)a a a a -+-22a - 【点睛】本题考查了分式的化简，理解并掌握分式的计算法则，注意在解题过程中需注意的事项，仔细计算是本题的解题关键．14．（2022·辽宁大连·中考真题）计算2224214424x x x x x x x-+÷--+-．22222122x x x x x xx 211.xxx【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握15．（2022·湖北十堰·中考真题）计算：2222a b b ab a a a ⎛⎫--÷+ ⎪⎝⎭．16．（2022·四川泸州·中考真题）化简：22311 (1). m m mm m-+-+÷17．（2022·湖南常德·中考真题）化简：231 122a aaa a+-⎛⎫-+÷⎪++⎝⎭18．（2022·甘肃武威·中考真题）化简：()2233322x x xx x x++÷-++．考点三、分式化简求值19．（2022·山东济南·中考真题）若m－n＝2，则代数式222m n mm m n-⋅+的值是（）A．－2B．2C．－4D．420．（2022·山东菏泽·中考真题）若22150a a--=，则代数式2442a aaa a-⎛⎫-⋅⎪-⎝⎭的值是________．【答案】15【分析】先按分式混合运算法则化简分式，再把已知变形为a2-2a=15，整体代入即可．21．（2022·四川成都·中考真题）已知2272a a -=，则代数式2211a a a a a--⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的值为_________． 【答案】72##3.5##312 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简22．（2022·四川广安·中考真题）先化简：2242(2)244x xxx x x-++÷--+，再从0、1、2、3中选择一个适合的数代人求值．23．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）先化简，再求值：344111x xxx x-+⎛⎫--÷⎪--⎝⎭，其中3x=．24．（2022·山东聊城·中考真题）先化简，再求值：244422a a a a a a --⎛⎫÷-- ⎪-⎝⎭，其中112sin 452a -⎛⎫=︒+ ⎪⎝⎭．25．（2022·辽宁锦州·中考真题）先化简，再求值：2233111211x x x x x x --⎛⎫÷-+ ⎪-++-，其中|1x =+．x 26．（2022·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：25244111a a a a a a +++⎛⎫+-÷ ⎪++⎝⎭，其中11|2|2a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．27．（2022·湖北荆州·中考真题）先化简，再求值：222212a b a b a b a ab b ⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中113a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()02022b =-．28．（2022·四川广元·中考真题）先化简，再求值：22x x +÷（1﹣211x x --），其中x 是不等式组()211532x x x x ⎧-<+⎨+≥⎩的整数解．29．（2022·新疆·中考真题）先化简，再求值：22931121112a a a a a a a ⎛⎫--÷-⋅ ⎪-+--+⎝⎭，其中2a =．30．（2022·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：344111a a a a a ++⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭，其中10(1tan 45π2)a -=︒+-。

分式的概念和性质要点一、分式的概念一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式， 分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如πa 是整式而不能当作分式. （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如xy x 2是分式，与xy 有区别，xy 是整式，即只看形式，不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就 必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的 值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：MB M A B A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=，（其中M 是不等于零的整式）. 要点诠释：在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：xx x x x 1122-=+-，在变形后，字母x 的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有ab a b a b a b -=-=--，. 根据有理数除法的符号法则有ab a b a b -=-=-. 分式a b 与a b -互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分 母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.要点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高 次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的 最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.要点一、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：bdac d c b a =⋅，其中a,b,c,d 是整式，bd ≠0. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：bcad c d b a d c b a =⋅=÷，其中a,b,c,d 是整式，bcd ≠0. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式. 要点二、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛写成b a b a n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛； （2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如222222)(b b a b b a b b a -≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-.要点一、同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：cb ac b c a ±=±. 要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用 括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括 号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.要点二、异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：bdbc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=±. 要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变 成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.分式的混合运算，整数指数幂要点一、分式的混合运算与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式.要点诠释：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是 正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握..（2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的.（3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度.要点二、零指数幂、同底数幂的除法任何不等于零的数的零次幂都等于1，即()010≠=a a . 同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂.即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为整数）要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的-n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数， 即n n aa 1=-（a≠0，n 是正整数）. 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10的数表示成na 10⨯的形式，其中n 是正整数，101≤≤a .（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即n a 10⨯的形式，其中n 是正整数，101≤≤a .用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.分式方程的解法及应用要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未 知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.。

第六章 分式知识大全6.1 知识概念 1、分式：形如BA(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式(fraction)。

其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母 有理式：整式和分式统称有理式。

2、分式有意义的条件：分母不等于03、约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。

方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。

4、通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。

5、最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.6、最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。

6.2 分式的基本性质及四则运算（1）、基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示为：b a ＝m b m a ⨯⨯（用于通分）＝mb m a ÷÷（用于约分）（m ≠0） （2）、四则运算：1.同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用字母表示为：cb ac b c a ±=± 2.异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为:bdbc ad d c b a ±=±3.分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为： bdac d c b a =∙4.分式的除法法则:(1).两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：bcad d c d a =÷ (3)、除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:cd b a d c b a ∙=÷ 与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分. 6.3 分式知识点总结知识要点总结注意问题 题型分式的概念及有意义的条件BA的形式且B 中有字母 分母0≠B ，分式BA才有意义 1π 不是分式已知当x 为何值时，分式有意义? 当x 为何值时，分式无意义?分式值为0的条件分子等于0，分母不等于0二者必须同时满足，缺一不可当x 为何值时，分式的值为零? （4）当x= - 3时，分式的值是多少?分式的基本性质MB M A M B M A B A ÷÷=∙∙= 0,0≠≠B M ，且M B A ,,均表示的是整式不改变分式的值，使下列各式的分子或分母中最高次项的系数都是正数.分式的符号法则B-A B A -B -A --B A -===--=----=或BA B A B A B AA ，B 或BA 二者同时改变其中两个的符号，分式的值不变 分式约分确定公因式约分把分式中的分子、分母的公因式约去的变形过程叫约分 约分是一个恒等变形。