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复变函数（§1.1）§1.1复数运算(一)复数的基本概念一个复数z可以表为某个实数x与某个纯虚数i y的和，z = x + i y， (1.1.1) 这称为复数的代数式，x和y分别为该复数的实部和虚部，并分别记作Re z和Im z。
如果将x和y当作平面上点的坐标(图1−1)，复数z就跟平面上的点一一对应起来。
这个平面称为复数平面，两个坐标轴分别称为实轴和虚轴。
如果将x和y当作矢量的直角坐标分量(图1−1)，复数z还可以用复数平面上的矢量来表示。
改用极坐标ρ和φ (图1−1)代替直角坐标x和y，两者之间的关系如下{ρ=√x2+y2，φ=arctan(yx )；{x=ρcos φ ，y=ρsin φ 。
(1 .1 .2 )则复数z可表为三角式或指数式，即z = ρ ( cos φ + i sin φ ) ，(1 .1 .3 )或z =ρe iφ(1 .1 .4 )ρ称为该复数的模，记作|z|。
φ称为该复数的幅角，记作Arg z 。
一个复数的辐角值不能唯一地确定，可以取无穷多个值，并且彼此相差2π的整数倍。
通常约定，以arg z表示其中满足条件0 ≤ Arg z <2π的一个特定值，并称arg z为Arg z的主值，或z的主幅角。
于是有φ = Arg z = arg z + 2kπ(k = 0，±1，±2 … ) 。
复数“零”(即实部x及虚部y都等于零的复数)的辐角没有明确意义。
一个复数z的共扼复数 z∗，指的是对应的点对实轴的反映，即z∗= x –i y = ρ (cos φ –i sin φ) = ρe−iφ(1 .1 .5 )(二)无限远点前面我们将模为有限值的复数跟复数平面上的有限远点一一对应起来，在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复数平面上的一点相对应，并且称这一点为无限远点。
关于无限远点，可作如下理解.把一个球放在复数平面上，球以南极S跟复数平面相切于原点，如(图1−2) 所示。
(cos sin )nnin nn i ez φφφρρ=+=1212z z z z +≤+1212z z z z -≥-1212121221()()z z x x y y i x y x y =-++121112212222222222x x y y y y z x x i z y y x x -+=+++n sin )i i n nφφφ=+=2*,zzz zz z z ==数学物理方法教学提纲第一篇复变函数论第一章复变函数1.1 复数与复数运算复数的代数式：z=x+iy R e z=x I m z=y 复数平面，实轴和虚轴复数z 可以用复数平面上的矢量来表示。
复数的三角式：复数的指数式：复数的模记作 复数的辐角记作：Argz复数的辐角值可以取无穷多个值，彼此相差2π的整数倍 幅角的主值： π2arg 0 z ≤arg 2Argz z k φπ==+ (0,1,2,k =±±……）共轭复数：(cos sin )i z x iy i e φφφ-*=-=ρ-=ρ复数的和：121212()()z z x x i y y +=+++两个复数的和对应于两个矢量的合矢量，并且有 复数的差：121212()()z z x x i y y -=-+-，并且有 复数的积：复数的商：复数的乘、除、乘方和开方的运算采用三角式或指数式比代数式方便12()121212)1212cos(sin()i z z i e φφρρφφφφρρ+⎡⎤++⎢⎥⎣⎦=+=11121222[cos()sin()]z i z ρφφφφρ=-+-整数次幂： n(整数) 可以取n 个不同的值。
注意点：i z e φ=ρcos sin z i φφ=ρ(+)z ||00()()lim lim z z w f z z f z z z∆→∆→∆+∆-=∆∆1.2 复变函数复变函数的定义：若在复数平面上存在一个点集E ，对于E 的每一点Z ，按照一定规律，有一个或多个复数值w 与之相对应，则称w 为Z 的函数（复变函数），记作w=f(z)，z ∈E邻域：以复数Z 0为圆心，以任意小正实数ε为半径做一个圆，则园内所有点的集合称为Z 0的邻域。
