2011年普通高等学校招生全国统一考试数学(理科)(浙江省,word精校版)2011.6.7

2011年浙江高考理科和文科数学试卷及答案几msja.Eii 芍绘為WL 曲村快豐畫］fi 即■畫师尿.间时尊if ■析几啊帕■* 里总为楚和杠住nietitin «#迪廿=（I 〕解血觥直可輛曲鮭的HM 方管力叮■一以料心矶。

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2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(浙江卷)本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．选择题部分(共50分)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重新试验中事件A 恰好发生k 次的概率()=(1)k kn k n n P k C p p -- (k ＝0，1，2，…，n )台体的体积公式11221()3V h S S S S =+其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高 柱体的体积公式 V ＝Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh ＝其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 S ＝4πR 2球的体积公式343V R π＝其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设函数2,0(),0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩.若f (α)＝4，则实数α等于( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或22．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z ＝( ) A ．3－i B ．3＋i C ．1＋3i D ．33．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )4．下列命题中错误．．的是( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5．设实数x ，y 满足不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．14B ．16C ．17D ．196．若02πα<<，02πβ-<<，1cos(+)=43πα，3cos()=42πβ-，则cos()2βα+等于( )A 3B ．3-C ．539D ．69-7．若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“1a b <或1b a>”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知椭圆C 1：2222=1x y a b + (a ＞b ＞0)与双曲线C 2：2214y x -=有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点， 若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132 B ．a 2＝13 C ．b 2＝12D ．b 2＝29．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )A ．15 B ．25 C ． 35 D ．4510．设a ，b ，c 为实数，f (x ) ＝(x ＋a )(x 2＋bx ＋c )，g (x )＝(ax ＋1)(cx 2＋bx ＋1)．记集合S ＝{x |f (x )＝0，x ∈R }，T ＝{x |g (x )＝0，x ∈R }，若|S |，|T |分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是( ) A ．|S |＝1且|T |＝0B ．|S |＝1且|T |＝1C ．|S |＝2且|T |＝2D ．|S |＝2且|T |＝3非选择题部分(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是________．13．设二项式6()x x(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ， 若B ＝4A ，则a 的值是________．14．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与 β的夹角θ的取值范围是________． 15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.16．设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．17．设F 1，F 2分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上．若125F A F B =，则点A 的坐标是________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且214ac b =. (1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．19．已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R )，设数列的前n 项和为S n ，且11a ，21a ，41a 成等比数列， (1)求数列{a n }的通项公式及S n ； (2)记A n ＝1231111n S S S S ++++…，B n ＝2-112221111+n a a a a +++…，当n ≥2时，试比较A n 与B n 的大小．20．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A －MC －B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．21．已知抛物线C 1：x 2＝y ，圆C 2 ：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为点M.(1)求点M 到抛物线C 1的准线的距离；(2)已知点P 是抛物线C 1上一点(异于原点)，过点P 作圆C 2的两条切线，交抛物线C 1于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程．22．设函数f (x )＝(x －a )2ln x ，a ∈R .(1)若x ＝e 为y ＝f (x )的极值点，求实数a ；(2)求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(0，3e]，恒有f (x )≤4e 2成立.注：e 为自然对数的底数．参考答案1．B 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．A 8．C 9．B 10．D11．答案：0 12．答案：5 13．答案：214．答案：[6π，56π] 15．答案：5316．21017．答案：(0，1)或(0，－1)18．解：(1)由题设并利用正弦定理，得5414a c ac ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1,1,4a c =⎧⎪⎨=⎪⎩或1,41.a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝222211cos 22p b b b B --， 即231cos 22p B =+，因为0＜cos B ＜1，得p 2∈(32，2)，由题设知p ＞062p <<19．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则(2214111()a a a =⋅，得(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )．因为d ≠0，所以d ＝a 1＝a ．所以a n ＝na ，(1)2n an n S +=. (2)因为1211()1n S a n n =-+，所以 123111121(1)1n n A S S S S a n =++=-++…+．因为a 2n －1＝2n －1a ，所以21122211()111112112n nn B a a a a a --=+++=⋅-…+ 21(1)2n a =-． 当n ≥2时，0122n nn n n n C C C C =+++…+＞n ＋1，即111112n n -=-+，所以，当a ＞0时，A n ＜B n ； 当a ＜0时，A n ＞B n . 20．解：方法一：(1)证明：如图，以O 为原点，以射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz . 则O (0，0，0)，A (0，－3，0)，B (4，2，0)，C (－4，2，0)，P (0，0，4)，A P ＝(0，3，4)，BC ＝(－8，0，0)，由此可得A 0P BC ⋅=，所以A P BC ⊥，即AP ⊥BC ．(2)解：设PM PA λ=，λ≠1，则PM ＝λ(0，－3，－4)．BM BP PM BP PA λ=+=+＝(－4，－2，4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC ＝(－4，5，0)，BC ＝(－8，0，0)．设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由11·0,·0,BM n BC n ⎧=⎪⎨=⎪⎩得1111423440,80,x y z x λλ--(+)+(-)=⎧⎨-=⎩ 即1110,23,44x z y λλ=⎧⎪+⎨=⎪-⎩可取n 1＝(0，1，2344λλ+-)． 由220,0,AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即2222340,450,y z x y +=⎧⎨-+=⎩得22225,43,4x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可取n 2＝(5，4，－3)． 由n 1·n 2＝0，得4－3×2344λλ+-＝0，解得25λ=，故AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3.方法二：(1)证明：由AB ＝AC ，D 是BC 的中点，得AD ⊥BC ． 又PO ⊥平面ABC ，得PO ⊥BC ．因为PO ∩AD ＝O ，所以BC ⊥平面P AD ，故BC ⊥P A ．(2)解：如图，在平面P AB 内作BM ⊥P A 于M ，连结CM . 由(1)知AP ⊥BC ，得AP ⊥平面BMC ． 又AP ⊂平面APC ， 所以平面BMC ⊥平面APC ．在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2＋BD 2＝41，得41AB =在Rt △POD 中，PD 2＝PO 2＋OD 2， 在Rt △PDB 中，PB 2＝PD 2＋BD 2， 所以PB 2＝PO 2＋OD 2＋DB 2＝36，得PB ＝6. 在Rt △POA 中，P A 2＝AO 2＋OP 2＝25，得P A ＝5.又cos ∠BP A ＝2222PA PB AB PA PB ++⋅＝13，从而PM ＝PB cos ∠BP A ＝2，所以AM ＝P A －PM ＝3. 综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3.21．解：(1)由题意可知，抛物线的准线方程为：14y =-，所以圆心M (0，4)到准线的距离是174.(2)设P (x 0，20x )，A (x 1，21x )，B (x 2，22x )，由题意得x 0≠0，x 0≠±1，x 1≠x 2.设过点P 的圆C 2的切线方程为y －20x ＝k (x －x 0)， 即y ＝kx －kx 0＋20x .① 20021k+＝1，即(x 02－1)k 2＋2x 0(4－x 02)k ＋(x 02－4)2－1＝0.设P A ，PB 的斜率为k 1，k 2(k 1≠k 2)，则k 1，k 2是上述方程的两根，所以k 1＋k 2＝20020241x x x (-)-，k 1k 2＝22020411x x (-)--. 将①代入y ＝x 2，得x 2－kx ＋kx 0－x 02＝0，由于x 0是此方程的根，故x 1＝k 1－x 0，x 2＝k 2－x 0，所以k AB ＝221212x x x x --＝x 1＋x 2＝k 1＋k 2－2x 0＝20020241x x x (-)-－2x 0，k MP ＝2004x x -. 由MP ⊥AB ，得k AB ·k MP ＝220000200244(2)()1x x x x x x (-)--⋅-＝－1，解得20235x =， 即点P 的坐标为(235235)，所以直线l 的方程为31154y x =+. 22．解：(1)求导得()22()ln x a f x x a x x(-)'＝－＋()(2ln )1x a x ax＝－＋－．因为x ＝e 是f (x )的极值点，所以()e (e )(3e)0f a a'＝－－＝，解得a ＝e 或a ＝3e.经检验，符合题意，所以a ＝e 或a ＝3e.(2)①当0＜x ≤1时，对于任意的实数a ，恒有f (x )≤0＜4e 2成立． ②当1＜x ≤3e 时，由题意，首先有f (3e)＝(3e －a )2ln(3e)≤4e 2，解得ln(33e 3e)e a ≤≤＋ln(3e)由(1)知()()(2ln 1)f x x a x ax'＝－＋－，令h (x )＝2ln x ＋1－ax，则h (1)＝1－a ＜0，h (a )＝2ln a ＞0，且()()()3e+ln(3e)3e 2ln 3e 12ln 3e 13ah e≥＝＋－＋－32l (l n3n3e 0e>＝－.又h (x )在(0，＋∞)内单调递增，所以函数h (x )在(0，＋∞)内有唯一零点，记此零点为x 0，则1＜x 0＜3e ，1＜x 0＜A ．从而，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.即f (x )在(0，x 0)内单调递增，在(x 0，a )内单调递减，在(a ，＋∞)内单调递增．。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学试题卷本试卷共4页，三大题21小题。

满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i2. 函数()20y x x =≥的反函数为(A)()24x y x R =∈ (B) ()204x y x =≥(C)()24y x x R =∈ (D) ()240y x x =≥ 3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是(A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 55.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A)13(B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于(A)22 (B) 33 (C) 63(D) 1 7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种 8.曲线21xy e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为(A)13 (B) 12 (C) 23(D) 19.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(A) 12-(B) 14- (C) 14 (D) 1210.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos AFB ∠= (A)45 (B) 35 (C) 35- (D) 45- 11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π12. 设向量,,a b c 满足11,,,602a b a b a c b c ===---=，则c 的最大值等于 (A) 2 (B)3 (C) 2 (D) 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. ()201x-的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .14. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，5sin 5α=，则tan 2α= . 15. 已知12F F 、分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F AF ∠的角平分线，则 2AF = .16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABCD A B C D - 的棱11BB CC 、上，且12B E EB =,12CF FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。

2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(浙江卷)本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．选择题部分(共50分)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重新试验中事件A 恰好发生k 次的概率()=(1)k k n kn n P k C p p -- (k ＝0，1，2，…，n ) 台体的体积公式11221()3V h S S S S =++其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高 柱体的体积公式 V ＝Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh ＝其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 S ＝4πR 2球的体积公式343V R π＝其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设函数2,0(),0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩.若f (α)＝4，则实数α等于( ) A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或22．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z ＝( ) A ．3－i B ．3＋i C ．1＋3i D ．33．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )4．下列命题中错误．．的是( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5．设实数x ，y 满足不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．14B ．16C ．17D ．196．若02πα<<，02πβ-<<，1cos(+)=43πα，3cos()=423πβ-，则cos()2βα+等于( )A ．33B ．33-C ．539D ．69-7．若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“1a b <或1b a>”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知椭圆C 1：2222=1x y a b + (a ＞b ＞0)与双曲线C 2：2214y x -=有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点， 若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132 B ．a 2＝13 C ．b 2＝12D ．b 2＝29．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )A ．15 B ．25 C ． 35 D ．4510．设a ，b ，c 为实数，f (x ) ＝(x ＋a )(x 2＋bx ＋c )，g (x )＝(ax ＋1)(cx 2＋bx ＋1)．记集合S ＝{x |f (x )＝0，x ∈R }，T ＝{x |g (x )＝0，x ∈R }，若|S |，|T |分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是( ) A ．|S |＝1且|T |＝0B ．|S |＝1且|T |＝1C ．|S |＝2且|T |＝2D ．|S |＝2且|T |＝3非选择题部分(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是________．13．设二项式6()a x x-(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ， 若B ＝4A ，则a 的值是________．14．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与 β的夹角θ的取值范围是________． 15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.16．设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．17．设F 1，F 2分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上．若125F A F B = ，则点A 的坐标是________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且214ac b =. (1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．19．已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R )，设数列的前n 项和为S n ，且11a ，21a ，41a 成等比数列，(1)求数列{a n }的通项公式及S n ； (2)记A n ＝1231111n S S S S ++++…，B n ＝2-112221111+n a a a a +++…，当n ≥2时，试比较A n 与B n 的大小．20．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A －MC －B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．21．已知抛物线C 1：x 2＝y ，圆C 2 ：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为点M.(1)求点M 到抛物线C 1的准线的距离；(2)已知点P 是抛物线C 1上一点(异于原点)，过点P 作圆C 2的两条切线，交抛物线C 1于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程．22．设函数f (x )＝(x －a )2ln x ，a ∈R .(1)若x ＝e 为y ＝f (x )的极值点，求实数a ；(2)求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(0，3e]，恒有f (x )≤4e 2成立.注：e 为自然对数的底数．参考答案1．B 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．A 8．C 9．B 10．D 11．答案：0 12．答案：5 13．答案：214．答案：[6π，56π] 15．答案：5316．答案：210517．答案：(0，1)或(0，－1)18．解：(1)由题设并利用正弦定理，得5414a c ac ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1,1,4a c =⎧⎪⎨=⎪⎩或1,41.a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝222211cos 22p b b b B --， 即231cos 22p B =+，因为0＜cos B ＜1，得p 2∈(32，2)，由题设知p ＞0，所以622p <<.19．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则(2214111()a a a =⋅，得(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )．因为d ≠0，所以d ＝a 1＝a ．所以a n ＝na ，(1)2n an n S +=. (2)因为1211()1n S a n n =-+，所以123111121(1)1n n A S S S S a n =++=-++…+．因为a 2n －1＝2n －1a ，所以21122211()111112112n nn B a a a a a --=+++=⋅-…+ 21(1)2n a =-． 当n ≥2时，0122n nn n n nC C C C =+++…+＞n ＋1，即111112n n -=-+，所以，当a ＞0时，A n ＜B n ； 当a ＜0时，A n ＞B n . 20．解：方法一： (1)证明：如图，以O 为原点，以射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz . 则O (0，0，0)，A (0，－3，0)，B (4，2，0)，C (－4，2，0)，P (0，0，4)，A P＝(0，3，4)，BC ＝(－8，0，0)，由此可得A 0P BC ⋅= ，所以A P BC ⊥，即AP ⊥BC ．(2)解：设PM PA λ= ，λ≠1，则PM＝λ(0，－3，－4)． BM BP PM BP PA λ=+=+＝(－4，－2，4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC ＝(－4，5，0)，BC＝(－8，0，0)．设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由11·0,·0,BM n BC n ⎧=⎪⎨=⎪⎩得1111423440,80,x y z x λλ--(+)+(-)=⎧⎨-=⎩即1110,23,44x z y λλ=⎧⎪+⎨=⎪-⎩可取n 1＝(0，1，2344λλ+-)． 由220,0,AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即2222340,450,y z x y +=⎧⎨-+=⎩得22225,43,4x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可取n 2＝(5，4，－3)． 由n 1·n 2＝0，得4－3×2344λλ+-＝0，解得25λ=，故AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3.方法二：(1)证明：由AB ＝AC ，D 是BC 的中点，得AD ⊥BC ． 又PO ⊥平面ABC ，得PO ⊥BC ．因为PO ∩AD ＝O ，所以BC ⊥平面P AD ，故BC ⊥P A ．(2)解：如图，在平面P AB 内作BM ⊥P A 于M ，连结CM .由(1)知AP ⊥BC ，得AP ⊥平面BMC ． 又AP ⊂平面APC ，所以平面BMC ⊥平面APC ．在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2＋BD 2＝41，得41AB =. 在Rt △POD 中，PD 2＝PO 2＋OD 2， 在Rt △PDB 中，PB 2＝PD 2＋BD 2，所以PB 2＝PO 2＋OD 2＋DB 2＝36，得PB ＝6.在Rt △POA 中，P A 2＝AO 2＋OP 2＝25，得P A ＝5.又cos ∠BP A ＝2222PA PB AB PA PB++⋅＝13，从而PM ＝PB cos ∠BP A ＝2，所以AM ＝P A －PM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3.21．解：(1)由题意可知，抛物线的准线方程为：14y =-，所以圆心M (0，4)到准线的距离是174.(2)设P (x 0，20x )，A (x 1，21x )，B (x 2，22x )，由题意得x 0≠0，x 0≠±1，x 1≠x 2.设过点P 的圆C 2的切线方程为y －20x ＝k (x －x 0)， 即y ＝kx －kx 0＋20x .① 则2002|4|1kx x k+-+＝1，即(x 02－1)k 2＋2x 0(4－x 02)k ＋(x 02－4)2－1＝0.设P A ，PB 的斜率为k 1，k 2(k 1≠k 2)，则k 1，k 2是上述方程的两根，所以k 1＋k 2＝20020241x x x (-)-，k 1k 2＝22020411x x (-)--. 将①代入y ＝x 2，得x 2－kx ＋kx 0－x 02＝0，由于x 0是此方程的根，故x 1＝k 1－x 0，x 2＝k 2－x 0，所以k AB ＝221212x x x x --＝x 1＋x 2＝k 1＋k 2－2x 0＝20020241x x x (-)-－2x 0，k MP ＝2004x x -. 由MP ⊥AB ，得k AB ·k MP ＝220000200244(2)()1x x x x x x (-)--⋅-＝－1，解得20235x =， 即点P 的坐标为(235±，235)，所以直线l 的方程为31151145y x =±+. 22．解：(1)求导得()22()ln x a f x x a x x(-)'＝－＋()(2ln )1x a x ax＝－＋－．因为x ＝e 是f (x )的极值点，所以()e (e )(3e)0f a a '＝－－＝，解得a ＝e 或a ＝3e.经检验，符合题意，所以a ＝e 或a ＝3e.(2)①当0＜x ≤1时，对于任意的实数a ，恒有f (x )≤0＜4e 2成立． ②当1＜x ≤3e 时，由题意，首先有f (3e)＝(3e －a )2ln(3e)≤4e 2，解得2e ln(33e 3e)e a ≤≤－＋2eln(3e).由(1)知()()(2ln 1)f x x a x a x'＝－＋－， 令h (x )＝2ln x ＋1－ax，则h (1)＝1－a ＜0，h (a )＝2ln a ＞0，且()()()2e 3e+ln(3e)3e 2ln 3e 12ln 3e 133eah e≥＝＋－＋－132l (l n3n3e )0e>＝－.又h (x )在(0，＋∞)内单调递增，所以函数h (x )在(0，＋∞)内有唯一零点，记此零点为x 0，则1＜x 0＜3e ，1＜x 0＜A ．从而，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.即f (x )在(0，x 0)内单调递增，在(x 0，a )内单调递减，在(a ，＋∞)内单调递增．。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学（必修+选修II ）第Ⅰ卷一、选择题1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=A ．2i -B ．i -C ．iD ．2i2．函数2(0)y x x =≥的反函数为A ．2()4x y x R =∈B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈ D ．24(0)y x x =≥3．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是A ．1a b +＞B ．1a b -＞C ．22a b ＞D ．33a b ＞4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =A ．8B ．7C ．6D ．55．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．96．已知直二面角α− ι−β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于A ．23B ．33C ．63D ．17．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种 8．曲线y=2xe -+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为A ．13 B ．12C ．23D ．19．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=A ．-12B ．1 4-C ．14D ．1210．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=A ．45B ．35C ．35-D ．45-11．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π12．设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于A ．2B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 （注意：在．试卷上作答无效．．．．．．．） 13．（1-x ）20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: ．2y 214．已知a ∈（2π，π），sinα=55，则tan2α=15．已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 227y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为（2，0），AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2| = ．16．己知点E 、F 分别在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4的棱BB 1 、CC 1上，且B 1E =2EB, CF=2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上．．．．．作答无效．．．．） △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知A —C =90°，a+c=2b ，求C ．18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立（I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；（Ⅱ）X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。

2011年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2011•浙江）设函数2,0(),0x x f x x x -⎧=⎨>⎩…，若f （a ）4=，则实数(a = )A ．4-或2-B ．4-或2C ．2-或4D ．2-或22．（5分）（2011•浙江）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若1z i =+，则(1)(z z +=g) A ．3i -B ．3i +C ．13i +D ．33．（5分）（2011•浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()A ．B ．C ．D ．4．（5分）（2011•浙江）下列命题中错误的是( )A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=I ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5．（5分）（2011•浙江）设实数x 、y 满足不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪⎩厖，若x 、y 为整数，则34x y+的最小值是( ) A ．14B ．16C ．17D ．196．（5分）（2011•浙江）若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，3cos()42πβ-，则cos()(2βα+= )A 3B ．3C 53D ．67．（5分）（2011•浙江）若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <”或“1b a>”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（5分）（2011•浙江）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若1C 恰好将线段AB 三等分，则( ) A ．2132a =B ．23a =C ．212b =D ．22b =9．（5分）（2011•浙江）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( ) A ．15B ．25 C ．35D ．4510．（5分）（2011•浙江）设a ，b ，c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++．记集合{|()0S x f x ==，}x R ∈，{|()0T x g x ==，}x R ∈．若{}S ，{}T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是( )A ．{}1S =且{}0T =B ．{}1S =且{}1T =C ．{}2S =且{}2T =D ．{}2S =且{}3T = 二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）（2011•浙江）若函数2()||f x x x a =-+为偶函数，则实数a = ． 12．（4分）（2011•浙江）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是 ．13．（4分）（2011•浙江）设二项式6((0)x a x>的展开式中的3x 系数为A ，常数项为B ，若4B A =，则a 的值是 ．14．（4分）（2011•浙江）若平面向量α，β满足||1α=，||1β„，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ的范围是 ． 15．（4分）（2011•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若1(0)12P X ==，则随机变量X 的数学期望()E X = ． 16．（4分）（2011•浙江）设x ，y 为实数，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是 ．17．（4分）（2011•浙江）设1F ，2F 分别为椭圆2213x y +=的焦点，点A ，B 在椭圆上，若125F A F B =u u u r u u u u r；则点A 的坐标是 ．三、解答题（共5小题，满分72分）18．（14分）（2011•浙江）在ABC ∆中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin sin sin ()A C p B p R +=∈．且214ac b =．（Ⅰ）当54p =，1b =时，求a ，c 的值； （Ⅱ）若角B 为锐角，求p 的取值范围．19．（14分）（2011•浙江）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为()a a R ∈设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S ； （Ⅱ）记1231111n nA S S S S =+++⋯+，1122111n n B a a a -=++⋯+，当2n …时，试比较n A 与n B 的大小．20．（15分）（2011•浙江）如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知8BC =，4PO =，3AO =，2OD = （Ⅰ）证明：AP BC ⊥；（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A MC B --为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．21．（15分）（2011•浙江）已知抛物线21:C x y =，圆222:(4)1C x y +-=的圆心为点M （Ⅰ）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；（Ⅱ）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程．22．（14分）（2011•浙江）设函数2()()f x x a lnx =-，a R ∈ （Ⅰ）若x e =为()y f x =的极值点，求实数a ；（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的(0x ∈，3]e ，恒有2()4f x e …成立． 注：e 为自然对数的底数．2011年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设函数2,0(),0x x f x x x -⎧=⎨>⎩„，若f （a ）4=，则实数(a = )A ．4-或2-B ．4-或2C ．2-或4D ．2-或2【考点】3T ：函数的值【专题】51：函数的性质及应用【分析】分段函数分段处理，我们利用分类讨论的方法，分0a „与0a >两种情况，根据各段上函数的解析式，分别构造关于a 的方程，解方程即可求出满足条件 的a 值． 【解答】解：当0a „时若f （a ）4=，则4a -=，解得4a =- 当0a >时若f （a ）4=，则24a =，解得2a =或2a =-（舍去） 故实数4a =-或2a = 故选：B ．【点评】本题考查的知识点是分段函数，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x 、y 取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．2．（5分）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若1z i =+，则(1)(z z +=g ) A ．3i -B ．3i +C ．13i +D ．3【考点】5A ：复数的运算 【专题】5N ：数系的扩充和复数【分析】求出z ，然后代入(1)z z +g ，利用复数的运算法则展开化简为：(,)a bi a b R +∈的形式，即可得到答案．【解答】解：Q 复数1z i =+，i 为虚数单位，1z i =-，则(1)(2)(1)3z z i i i +=+-=-g 故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，共轭复数，考查计算能力，是基础题，常考题型．3．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )A ．B ．C ．D ．【考点】8L ：由三视图还原实物图；LC ：空间几何体的直观图 【专题】5Q ：立体几何【分析】根据已知中的三视图，结合三视图中有两个三角形即为锥体，有两个矩形即为柱体，有两个梯形即为台体，将几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案． 【解答】解：由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形 故该几何体上部分是一个三棱柱 下部分是三个矩形故该几何体下部分是一个四棱柱 故选：D ．【点评】本题考查的知识点是由三视图还原实物图，如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N 棱锥(N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱(N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱(N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台． 4．（5分）下列命题中错误的是( )A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=I ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【考点】2K ：命题的真假判断与应用；LQ ：平面与平面之间的位置关系【专题】5F ：空间位置关系与距离；5L ：简易逻辑【分析】本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答时：A 注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B 反证法即可获得解答；C 利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D 结合实物举反例即可． 【解答】解：由题意可知：A 、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；B 、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；C 、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l 的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l 平行，又Q 两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；D 、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误． 故选：D ．【点评】本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用．值得同学们体会和反思． 5．（5分）设实数x 、y 满足不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪⎩厖，若x 、y 为整数，则34x y +的最小值是( ) A ．14B ．16C ．17D ．19【考点】7C ：简单线性规划 【专题】59：不等式的解法及应用【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪⎩厖的平面区域，然后分析平面区域里各个整点，然后将其代入34x y +中，求出34x y +的最小值．【解答】解：依题意作出可行性区域2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪⎩厖如图，目标函数34z x y =+在点(4,1)处取到最小值16z =．故选：B ．【点评】在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解． 6．（5分）若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，3cos()42πβ-cos()(2βα+= ) A 3B ．3C 53D ．6 【考点】GP ：两角和与差的三角函数 【专题】56：三角函数的求值【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin()4πα+和sin()42πβ-的值，进而利用cos()cos[()()]2442βππβαα+=+--通过余弦的两角和公式求得答案．【解答】解：02πα<<Q ，02πβ-<<，∴3444πππα<+<，4422ππβπ<-< 122sin()149πα∴+=-=，16sin()1423πβ-=-=53cos()cos[()()]cos()cos()sin()sin()2442442442βππβππβππβαααα∴+=+--=+-++-故选：C ．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值．关键是根据cos()cos[()()]2442βππβαα+=+--，巧妙利用两角和公式进行求解． 7．（5分）若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <”或“1b a>”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；71：不等关系与不等式 【专题】5L ：简易逻辑【分析】因为“01ab <<” ⇒ “1a b <”或“1b a >”．“ 1a b <”或“1b a>”不能推出“01ab <<”，所以“01ab <<”是“1a b <”或“1b a>”的充分而不必要条件． 【解答】解：a Q 、b 为实数，01ab <<，∴ “10a b <<”或“10b a>>” ∴ “01ab <<” ⇒ “1a b <”或“1b a>”． “1a b <”或“1b a>”不能推出“01ab <<”， 所以“01ab <<”是“1a b <”或“1b a>”的充分而不必要条件． 故选：A ．【点评】本题考查充分分条件、必要条件和充要条件，解题时要注意基本不等式的合理运用．8．（5分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若1C 恰好将线段AB 三等分，则( ) A ．2132a =B ．23a =C ．212b =D ．22b =【考点】4K ：椭圆的性质；KI ：圆锥曲线的综合 【专题】5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先由双曲线方程确定一条渐近线方程为2y x =，根据对称性易知AB 为圆的直径且2AB a =，利用椭圆与双曲线有公共的焦点，得方程225a b -=；设1C 与2y x =在第一象限的交点的坐标为(,2)x x ，代入1C 的方程得：222224a b x b a =+；对称性知直线2y x =被1C 截得的弦长=，根据1C 恰好将线段AB 三等分得：23a=，从而可解出2a ，2b 的值，故可得结论．【解答】解：由题意，2C 的焦点为(0)，一条渐近线方程为2y x =，根据对称性易知AB 为圆的直径且2AB a =1C ∴的半焦距c 225a b -=①设1C 与2y x =在第一象限的交点的坐标为(,2)x x ，代入1C 的方程得：222224a b x b a =+②，由对称性知直线2y x =被1C 截得的弦长=，由题得：23a=，所以x =③ 由②③得2211a b =④ 由①④得2 5.5a =，20.5b = 故选：C ．【点评】本题以椭圆，双曲线为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题思路清晰，但计算有点烦琐，需要小心谨慎．9．（5分）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( ) A ．15B ．25 C ．35D ．45【考点】6C ：等可能事件和等可能事件的概率 【专题】5I ：概率与统计【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是把5本书随机的摆到一个书架上，共有55A 种结果，满足条件的事件是同一科目的书都不相邻，表示出结果，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是把5本书随机的摆到一个书架上，共有55120A =种结果， 下分类研究同类书不相邻的排法种数假设第一本是语文书（或数学书），第二本是数学书（或语文书）则有4222132⨯⨯⨯⨯=种可能；假设第一本是语文书（或数学书），第二本是物理书，则有412118⨯⨯⨯⨯=种可能； 假设第一本是物理书，则有142118⨯⨯⨯⨯=种可能．∴同一科目的书都不相邻的概率4821205P ==， 故选：B ．【点评】本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题是浙江卷理科的一道选择题目，这种题目可以作为选择或填空出现，也可以作为一道解答题目出现．10．（5分）设a ，b ，c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++．记集合{|()0S x f x ==，}x R ∈，{|()0T x g x ==，}x R ∈．若{}S ，{}T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是( )A ．{}1S =且{}0T =B ．{}1S =且{}1T =C ．{}2S =且{}2T =D ．{}2S =且{}3T = 【考点】12：元素与集合关系的判断；18：集合的包含关系判断及应用 【专题】5J ：集合【分析】通过给a ，b ，c 赋特值，得到A ，B ，C 三个选项有正确的可能，故本题可以通过排除法得到答案．【解答】解：2()()()f x x a x bx c =+++Q ，当()0f x =时至少有一个根x a =-，当240b c -=时，()0f x =还有一根2bx =-，只要2b a ≠，()0f x =就有2个根；当2b a =，()0f x =是一个根；当240b c -<时，()0f x =只有一个根； 当240b c ->时，()0f x =有二个根或三个根． 当0a b c ===时{}1S =，{}0T =，当0a >，0b =，0c >时，{}1S =且{}1T =， 当1a c ==，2b =-时，有{}2S =且{}2T =． 故选：D ．【点评】本题考查解决选择题时，常通过举特例，利用排除法将一定不正确的选项排除，从而选出正确选项，排除法是解决直接求解有困难的选择题的一个好方法，合理恰当的运用，可以提高解题的速度．二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）若函数2()||f x x x a =-+为偶函数，则实数a = 0 ． 【考点】3I ：奇函数、偶函数 【专题】51：函数的性质及应用【分析】根据()f x 为偶函数，利用偶函数的定义，得到等式恒成立，求出a 的值． 【解答】解：()f x Q 为偶函数 ()()f x f x ∴-=恒成立即22||||x x a x x a -+=--恒成立 即||||x a x a +=-恒成立 所以0a = 故答案为：0．【点评】本题考查偶函数的定义：()()f x f x =-对于定义域内的x 恒成立． 12．（4分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是 7 ．【考点】7E ：循环结构 【专题】11：计算题【分析】本题循环结构是当型循环结构，根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论． 【解答】解：如图，这个循环结构是当型循环结构， 第一次循环：0100299S =-=，1k =； 第二次循环：99297S =-=，2k =； 第三次循环：297293S =-=，3k =； 第四次循环：393285S =-=，4k =；第五次循环：485269S =-=，5k =； 第六次循环：569237S =-=，6k =； 第七次循环：637227S =-=-，7k =． 270S =-<Q ，∴输出7k =．故答案为：7．【点评】本题考查当型循环结构的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 13．（4分）设二项式6((0)x a x->的展开式中的3x 系数为A ，常数项为B ，若4B A =，则a 的值是 2 ． 【考点】DA ：二项式定理 【专题】5P ：二项式定理【分析】首先写出二项展开式的通项，化简后按照要求确定字母的指数，得到特征项． 【解答】解：二项式6()(0)x a x>的展开式，通项为366266()()k kkkk kC xC a xx--=-，令3632k -=，得到2k =，所以3x 系数为222615A C a a ==；令3602k -=，4k =，所以常数项为4446()15B C a a =-=， 又4B A =，所以4215415a a =⨯，0a >，解得2a =； 故答案为：2【点评】本题考查了二项展开式的特征项的求法，关键是正确写出通项．14．（4分）若平面向量α，β满足||1α=，||1β…，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ的范围是 [30︒，150]︒ ．【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角 【专题】5A ：平面向量及应用【分析】根据平行四边形的面积，得到对角线分成的两个三角形的面积，利用正弦定理写出三角形面积的表示式，表示出要求角的正弦值，根据角的范围写出符合条件的角． 【解答】解：Q 11||||sin 24αβθ=r r1sin 2||||θαβ∴=r r ，||1α=rQ ，||1βr „， 1sin 2θ∴…，[0θ∈Q ，]π [30θ∴∈︒，150]︒，故答案为：[30︒，150]︒，或5[,]66ππ，【点评】本题考查两个向量的夹角，考查利用正弦定理表示三角形的面积，考查不等式的变化，是一个比较简单的综合题目．15．（4分）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若1(0)12P X ==，则随机变量X 的数学期望()E X =53． 【考点】CG ：离散型随机变量及其分布列；CH ：离散型随机变量的期望与方差 【专题】5I ：概率与统计【分析】根据该毕业生得到面试的机会为0时的概率，做出得到乙、丙公司面试的概率，根据题意得到X 的可能取值，结合变量对应的事件写出概率和做出期望．【解答】解：由题意知X 为该毕业生得到面试的公司个数，则X 的可能取值是0，1，2，3， 1(0)12P X ==Q ， ∴211(1)312p -=， 12p ∴=，2111111114(1)32232232212P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=2112111115(2)32232232212P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，1452(3)112121212P X ==---=， 4525()1231212123E X ∴=⨯+⨯+⨯=， 故答案为：53【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，考查生活中常见的一种题目背景，是一个基础题目．16．（4分）设x ，y 为实数，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是 ． 【考点】7F ：基本不等式及其应用 【专题】59：不等式的解法及应用【分析】设2t x y =+，将已知等式用t 表示，整理成关于x 的二次方程，二次方程有解，判别式大于等于0，求出t 的范围，求出2x y +的最大值． 【解答】解：2241x y xy ++=Q2(2)31x y xy ∴+-= 令2t x y =+则2y t x =-23(2)1t t x x ∴--= 即226310x tx t -+-=∴△222924(1)15240t t t =--=-+…解得t2x y ∴+【点评】本题考查利用换元转化为二次方程有解、二次方程解的个数由判别式决定． 17．（4分）设1F ，2F 分别为椭圆2213x y +=的焦点，点A ，B 在椭圆上，若125F A F B =u u u r u u u u r ；则点A 的坐标是 (0,1)± ． 【考点】4K ：椭圆的性质【专题】5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】作出直线1F A 的反向延长线与椭圆交于点B '，由椭圆的对称性，得115F A B F '=u u u r u u u u r，利用椭圆的焦半径公式及向量共线的坐标表示列出关于1x ，2x 的方程，解之即可得到点A 的坐标．【解答】解：方法1：直线1F A 的反向延长线与椭圆交于点B ' 又Q 125F A F B =u u u r u u u u r由椭圆的对称性，得115F A B F '=u u u r u u u u r设1(A x ，1)y ，2(B x '，2)y由于椭圆2213x y +=的a 1b =，c =c e a ∴===，1F 0)．11||F A x =Q ，12|||F B x '，12|5|x x =，由于1x ，2x „∴10x ->20x ->，12)5x x =125(x x =． ① 又Q 三点A ，1F ，B '共线，115F A B F ='u u u r u u u u r1((x ∴-，120)5(y x -=，20)y -∴125()x x ．②由①+②得：10x =． 代入椭圆的方程得：11y =±，∴点A 的坐标为(0,1)或(0,1)-方法2：因为1F ，2F 分别为椭圆2213x y +=的焦点，则12(2,0),(2,0)F F -，设A ，B 的坐标分别为(A A x ，)A y ，(B B x ，)B y ，若125F A F B =u u u r u u u u r ；则25(2)5A B A B x x y y ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩，所以625A B AB x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为A ，B 在椭圆上，所以22221313A AB B x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，代入解得01A A x y =⎧⎨=⎩或01A A x y =⎧⎨=-⎩，故(0,1)A ±． 方法三、由1||(1)cos e λλθ-=+，5λ=，6e =，6cos θ=，3sin θ=， 2tan k θ==，由222(2)33y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩，即可得到(0,1)A ±． 故答案为：(0,1)±．【点评】本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、向量共线等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想． 三、解答题（共5小题，满分72分）18．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin sin sin ()A C p B p R +=∈．且214ac b =．（Ⅰ）当54p =，1b =时，求a ，c 的值；（Ⅱ）若角B 为锐角，求p 的取值范围． 【考点】HU ：解三角形 【专题】58：解三角形【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得a 和c 的值． （Ⅱ）先利用余弦定理求得a ，b 和c 的关系，把题设等式代入表示出2p ，进而利用cos B 的范围确定2p 的范围，进而确定pd 范围．【解答】（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理得5414a c ac ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故可知a ，c 为方程251044x x -+=的两根，进而求得1a =，14c =或14a =，1c =（Ⅱ）解：由余弦定理得22222222112cos ()22cos cos 22b ac ac B a c ac ac B p b b B b =+-=+--=--，即231cos 22p B =+， 因为0cos 1B <<，所以23(2p ∈，2)，由题设知p R ∈p <<p < 又由sin sin sin A C p B +=知，p 是正数p << 【点评】本题主要考查了解三角形问题．学生能对正弦定理和余弦定理的公式及变形公式熟练应用．19．（14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为()a a R ∈设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S ； （Ⅱ）记1231111n nA S S S S =+++⋯+，1122111n n B a a a -=++⋯+，当2n …时，试比较n A 与n B 的大小．【考点】83：等差数列的性质；8E ：数列的求和；8K ：数列与不等式的综合 【专题】54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法【分析】（Ⅰ）设出等差数列的公差，利用等比中项的性质，建立等式求得d ，则数列的通项公式和前n 项的和可得．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的n a 和n S ，代入不等式，利用裂项法和等比数列的求和公式整理n A 与n B ，最后对0a >和0a <两种情况分情况进行比较． 【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由2214111()a a a =g ， 得2111()(3)a d a a d +=+，因为0d ≠，所以1d a a == 所以n a na =，(1)2n n naS +=（Ⅱ）解：Q 1211()1n S a n n =-+123111121(1)1n n A S S S S a n ∴=+++⋯+=-+ Q 1122n n a a --=，所以11121111()22n n n a a a ---==g g 为等比数列，公比为12， 112211()1111212(1)1212n nn n B a a a a a --=++⋯+==--g g 当2n …时，0121n n n nn n =++⋯+>+痧?，即111112n n -<-+ 所以，当0a >时，n n A B <；当0a <时，n n A B >．【点评】本题主要考查了等差数列的性质．涉及了等差数列的通项公式，求和公式以及数列的求和的方法，综合考查了基础知识的运用．20．（15分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知8BC =，4PO =，3AO =，2OD = （Ⅰ）证明：AP BC ⊥；（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A MC B --为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．【考点】LW ：直线与平面垂直；MJ ：二面角的平面角及求法 【专题】5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角；5Q ：立体几何【分析】以O 为原点，以AD 方向为Y 轴正方向，以射线OP 的方向为Z 轴正方向，建立空间坐标系，我们易求出几何体中各个顶点的坐标．()I 我们易求出AP u u u r ，BC u u u r 的坐标，要证明AP BC ⊥，即证明0AP BC =u u u r u u u rg ；()II 要求满足条件使得二面角A MC β--为直二面角的点M ，即求平面BMC 和平面APC的法向量互相垂直，由此求出M 点的坐标，然后根据空间两点之间的距离公式，即可求出AM 的长．【解答】解：以O 为原点，以AD 方向为Y 轴正方向，以射线OP 的方向为Z 轴正方向，建立空间坐标系，则(0O ，0，0)，(0A ，3-，0)，(4B ，2，0)，(4C -，2，0)，(0P ，0，4) ()I 则(0AP =u u u r ，3，4)，(8BC =-u u u r，0，0) 由此可得0AP BC =u u u r u u u rg ∴AP BC ⊥u u u r u u u r即AP BC ⊥()II 设PM PA λ=u u u u r u u u r，1λ≠，则(0PM λ=u u u u r ，3-，4)-(4BM BP PM BP PA λ=+=+=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r，2-，4)(0λ+，3-，4)- (4AC =-u u u r ，5，0)，(8BC =-u u u r，0，0)设平面BMC 的法向量(a a =r，b ，)c 则00BM a BC a ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u r r g u u u r r g 4(23)(44)080a b c a λλ--++-=⎧⎨-=⎩令1b =，则(0a =r ，1，23)44λλ+-平面APC 的法向量(b x =r，y ，)z 则00AP b AC b ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u r rg 即340450y z x y +=⎧⎨-+=⎩令5x =则(5b =r，4，3)- 由0a b =r r g 得2343044λλ+-=-g解得25λ=故3AM =综上所述，存在点M 符合题意，此时3AM =【点评】本题考查的知识点是线线垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题，其中建立空间坐标系，求出相关向量，然后将垂直问题转化为向量垂直即向量内积等0是解答本题的关键．21．（15分）已知抛物线21:C x y =，圆222:(4)1C x y +-=的圆心为点M （Ⅰ）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；（Ⅱ）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程．【考点】KJ ：圆与圆锥曲线的综合 【专题】5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】()I 由题意抛物线21:C x y =，可以知道其准线方程为14y =-，有圆222:(4)1C x y +-=的方程可以知道圆心坐标为(0,4)，所求易得到所求的点到线的距离； ()II 由于已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），所以可以设出点P 的坐标，利用过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A ，B 两点，也可以设出点A ，B 的坐标，再设出过P 的圆2C 的切线方程，利用交与抛物线2C 两点，联立两个方程，利用根与系数之间的关系整体得到两切线的斜率的式子，有已知的MP AB ⊥，得到方程进而求解． 【解答】解：()I 由题意画出简图为：由于抛物线21:C x y =准线方程为：14y =-，圆222:(4)1C x y +-=的圆心(0,4)M ，利用点到直线的距离公式可以得到距离1174()44d =--=．()II 设点0(P x ，20)x ，1(A x ，21)x ，2(B x ，22)x ； 由题意得：01x ≠±，12x x ≠，设过点P 的圆2C 的切线方程为：200()y x k x x -=-即200y kx kx x =-+①2211k =+，即222220000(1)2(4)(4)10x k x x k x -+-+--= 设PA ，PB 的斜率为1k ，212()k k k ≠，则1k ，2k 应该为上述方程的两个根， ∴20012202(4)1x x k k x -+=-，2201220(4)11x k k x --=-g ；代入①得：22000x kx kx x -+-= 则1x ，2x 应为此方程的两个根， 故110x k x =-，220x k x =-220001212002002(4)422,1ABMP x x x k x x k k x x k x x --∴=+=+-=-=-由于MP AB ⊥，202315AB MP k K x ∴=-⇒=g 故2323(,)55P ±∴3115:4l y x =±+直线的方程为．【点评】此题重点考查了抛物线即圆的标准方程，还考查了相应的曲线性质即设出直线方程，利用根与系数的思想整体代换，进而解出点的坐标，理应直线与圆相切得到要求的直线方程．22．（14分）设函数2()()f x x a lnx =-，a R ∈ （Ⅰ）若x e =为()y f x =的极值点，求实数a ；（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的(0x ∈，3]e ，恒有2()4f x e …成立． 注：e 为自然对数的底数．【考点】6C ：函数在某点取得极值的条件；6E ：利用导数研究函数的最值 【专题】53：导数的综合应用【分析】（Ⅰ）利用极值点处的导数值为0，求出导函数，将x e =代入等于0，求出a ，再将a 的值代入检验．（Ⅱ）对(0x ∈，3]e 进行分区间讨论，求出()f x 的最大值，令最大值小于24e ，解不等式求出a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）求导得2()()2()()(21)x a af x x a lnx x a lnx x x-'=-+=-+-，因为x e =是()f x 的极值点， 所以f '（e ）0= 解得a e =或3a e =．经检验，a e =或3a e =符合题意，所以a e =，或3a e =．（Ⅱ）①当01x <„时，对于任意的实数a ，恒有2()04f x e <„成立 ②当13x e <„时，由题意，首先有22(3)(3)34f e e a ln e e =-„，解得33e a e由（Ⅰ）知2()()2()()(21)x a af x x a lnx x a lnx x x-'=-+=-+-，令()21ah x lnx x=+-，则h （1）10a =-<，h （a ）20lna =>且(3)2312312(303a h e ln e ln e ln e e =+-+-=>… 又()h x 在(0,)+∞内单调递增，所以函数()h x 在在(0,)+∞内有唯一零点，记此零点为0x 则013x e <<，01x a <<，从而，当0(0,)x x ∈时，()0f x '>， 当0(x x ∈，)a 时，()0f x '<，当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在0(0,)x 内是增函数， 在0(x ，)a 内是减函数，在(,)a +∞内是增函数．所以要使得对任意的(0x ∈，3]e ，恒有2()4f x e „成立只要有2200022()()4(3)(3)34f x x a lnx e f e e a ln e e⎧=-⎨=-⎩„„ 有000()210ah x lnx x =+-=得0002a x lnx x =+，将它代入22000()()4f x x a lnx e =-„得2320044x ln x e „又01x >，注意到函数234x ln x 在(1,)+∞上是增函数故01x e <„，再由0002a x lnx x =+，及函数2xlnx x +在(1,)+∞上是增函数，可得13a e <„， 由22(3)(3)34f e e a ln e e =-„解得33e a e -+，所以得33e a e -．综上，a的取值范围为33e a e -．【点评】本题考查函数的极值的概念，导数运算法则，导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等分析问题和解决问题的能力，解题的关键是准确求出导数，利用二次求导和函数零点分区间计论导函数的符号，得到原函数的单调性，本题属于难题．考点卡片1．元素与集合关系的判断【知识点的认识】1、元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．2、集合中元素的特征：（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．【命题方向】题型一：验证元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理科）一、选择题（1）设函数 若，则实数 （ ） （A ） —4或—2 （B ） —4或2 （C ）—2或4 （D ）—2或2（2）把负数的共轭复数记作i,i 为虚数单位。

若z=1+i,则（ ）（A ） （B ） （C ） （D)3(3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 （ ）（4）下列命题中错误的是 （ ）（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定直线平行于平面β（B ）如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β（C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ（D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β（5）设实数x 、y 是不等式组，若x 、y 为整数，则34x y + 的最小值为 （ ）（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19（6）若02πα<<，02πβ-<<，1cos ()23πα+=，3cos ()42πβ-=，则cos ()2βα+= （A ）3 （B ）3- （C ）53 （D ）6- 2,0,(),0.x x f x x x -≤⎧=⎨⎩>()4f α=α=z (1)z z -+•=3i -3i +13i +250x y +->270x y +->， 0x ≥，0y ≥（7）若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <”或1b a>的 （ ） （A ）充分二而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）已知椭圆 221221x y C a b =+=（a >b >0）与双曲线 22214y C x =-=有公共的焦点，1C 的一条最近线与以2C 的长轴为直径的圆相交于,A B 来两点。

若1C 恰好将线段AB 三等分，则 （ ）（A ）232a = （B ） 2a =13 （C ） 212b = （D ）2b =2 （9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地排成一排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 （ ）（A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ）45（10）设,,a b c 为实数，22()()(),()(1)(1)f x x a x bx c g x ax ax bx =+++=+++。

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷．．．．上作答无效。

．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题 （1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i （D ）2i（2）函数2(0)y x x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 （A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13 （B ）3 （C ）6 （D ）9(6)已知直二面角α –ι- β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 (A)23 (B)33 (C)63(D) 1(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种(8)曲线y=2xe-+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(A)13(B)12(C)23(D)1(9)设()f x是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x=2(1)x x-，则5 ()2f-=(A) -12(B)14- (C)14(D)12(10)已知抛物线C：24y x=的焦点为F，直线24y x=-与C交于A，B两点．则cos AFB∠=(A)45(B)35(C)35- (D)45-(11)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π(12)设向量a，b，c满足a=b =1，a b =12-，,a cb c--=060，则c的最大值等于(A)2 (B)3 (c)2 (D)1第Ⅱ卷注意事项：1、答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理）本试卷分第Ⅰ卷本试卷分第Ⅰ卷本试卷分第Ⅰ卷((选择题选择题))和第Ⅱ卷和第Ⅱ卷((非选择题非选择题))两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷第Ⅰ卷注意事项：注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

．．．．．．．．．．3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

的。

一、选择题(1)(1)复数复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z z --=（A ）2i - （（B ）i - （（C ）i （（D ）2i 【答案】【答案】B B【命题意图】本题主要考查复数的运算【命题意图】本题主要考查复数的运算. .【解析】1z z z --=|z|21z --=2-(1+i)-1=i -. (2)(2)函数函数2(0)y x x =³的反函数为的反函数为（A ）2()4x y x R =Î （（B ）2(0)4x y x =³（C ）24y x =()x R Î （（D ）24(0)y x x =³ 【答案】【答案】B B【命题意图】本题主要考查反函数的求法【命题意图】本题主要考查反函数的求法. .【解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y ³,所以函数2(0)y x x =³的反函数为aA 2(0)4x y x =³.(3)(3)下面四个条件中，使下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （（B ）1a b -＞ （（C ）22a b ＞ （（D ）33a b ＞ 【答案】【答案】A A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质. .【解析】即寻找命题P ,使P a b Þ>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A. (4)(4)设设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k kSS+-=，则k =（A ）8 8 （（B ）7 7 （（C ）6 6 （（D ）5 【答案】【答案】D D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. . 【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k kk k k k SSk k k+++--=+´+´-´+´=+=，解得5k =.解法二解法二::221[1(1)2](12)4424k kk k SSaak k k+++-=+=++´++´=+=，解得5k =.(5)(5)设函数设函数()cos (0)f x x w w =>，将()y f x =的图像向右平移3pp个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则w 的最小值等于的最小值等于 （A ）13（（B ）3 （（C ）6 （（D ）9 【答案】【答案】C C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性及三角函数图像的平移变换【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性及三角函数图像的平移变换. . 【解析】由题意得2()3k k Zpp w´=Î,解得6k w =,又0w >,令1k =,得min 6w =.(6)(6)已知直二面角已知直二面角l a b --,点A a Î，AC l ^,C 为垂足为垂足,,B b Î，BD l ^,D 为垂为垂 足．若2,1AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于的距离等于(A)23 (B)33 (C)63(D) 1 【答案】【答案】C C【命题意图】本题主要考查空间点到平面距离的求法【命题意图】本题主要考查空间点到平面距离的求法. .【解析】如图【解析】如图,,过D 作DE BC ^,垂足为E ,因为l a b --是直二面角是直二面角, , AC l ^,∴AC ^平面b , ∴AC DE ^,BC DE ^,AC BC C =I ,∴DE ^平面ABC ,故DE 的长为点D 到平面ABC 的距离的距离..在Rt BCD D 中,由等面积法得12633BD CD DE BC ´´===. (7)(7)某同学有同样的画册某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种 【答案】【答案】B B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力. .【解析】分两类【解析】分两类::一是取出1本画册本画册,3,3本集邮册本集邮册,,此时赠送方法有144C =种；种； 二是取出2本画册本画册,2,2本集邮册，此时赠送方法有246C =种.故赠送方法共有1010种种.(8)(8)曲线曲线21xy e -=+在点在点(0,2)(0,2)(0,2)处的切线与直线处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为成的三角形的面积为 (A)13 (B)12 (C)23(D)1 【答案】【答案】A A【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程和三角形面积公式【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程和三角形面积公式. . 【解析】'22,xy e-=-∴曲线21xy e-=+在点在点(0,2)(0,2)(0,2)处的切线的斜率处的切线的斜率2,k =-故切线方程是22y x =-+,在直角坐标系中作出示意图得围成的三角形的三个顶点分别为成的三角形的三个顶点分别为(0,0)(0,0)(0,0)、、(1,0)(1,0)、、(23, 23)，∴三角形的面积是1211233S =´´=.(9)(9)设设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ££时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12【答案】【答案】A A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. . 【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()()2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=-´´-=-. (10)(10)已知抛物线已知抛物线C ：224y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB Ð=A B C D (A)45(B)35(C)35-(D)45-【答案】【答案】D D【命题意图】本题主要考查直线与抛物线的位置关系【命题意图】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,,余弦定理的应用余弦定理的应用. .【解析】联立2424y xy x ì=í=-î消去y 得2540x x -+=,解得1,4x x ==,不妨设A 点在x 轴的上方轴的上方,,于是A ，B 两点的坐标分别为两点的坐标分别为(4,4),(1,(4,4),(1,2-),),又又(1,0)F ,可求得35,5,2AB AF BF ===.在ABF V 中,由余弦定理2224cos 25AF BF AB AFB AF BF +-Ð==-´´.(11)(11)已知平面已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4p ，则圆N 的面积为的面积为 (A)7p (B)9p (C)11p (D)13p【答案】【答案】D D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质. .【解析】如图所示【解析】如图所示,,由圆M 的面积为4p 知球心O 到圆M 的距离23OM =,在Rt OMND 中,30OMN °Ð=, ∴132ON OM ==,故圆N 的半径2213r R ON =-=,∴圆N的面积为213S r p p ==.(12)(12)设向量设向量a r ，b r ，c r 满足满足|||||1a b ==r r ，12a b =-r r g ，,60a c b c °<-->=r r r r ，则||c r 的最大值等于的最大值等于(A)2 (B)3 (c)2 (D)1【答案】【答案】A A【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积运算、向量加减法、四点共圆的条件及数形结合的思想【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积运算、向量加减法、四点共圆的条件及数形结合的思想. .【解析】如图，设,,AB a AD b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r，则120,60BAD BCD °°Ð=Ð=，180BAD BCD °Ð+Ð=，∴,,,A B C D 四点共圆，当AC 为圆的直径时，||c r最大，最大值为2.绝密★启用前绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学理科数学((必修必修++选修II)第Ⅱ卷第Ⅱ卷注意事项：注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。