2017年4月浙江省学业水平考试数学试题(含答案)

2017年浙江省普通高校招生选考数学试卷（4月份）一、选择题（本题共18个小题，每小题3分，共54分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知全集U={1，2，3，4}，若A={1，3}，则∁U A=（）A．{1，2} B．{1，4} C．{2，3} D．{2，4}2．（3分）已知数列1，a，5是等差数列，则实数a的值为（）A．2 B．3 C．4 D．3．（3分）计算lg4+lg25=（）A．2 B．3 C．4 D．104．（3分）函数y=3x的值域为（）A．（0，+∞）B． D．（0，3]5．（3分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，A=60°，B=45°，则b的长为（）A．B．1 C．D．26．（3分）若实数x，y满足，则点P（x，y）不可能落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（3分）在空间中，下列命题正确的是（）A．若平面α内有无数条直线与直线l平行，则l∥αB．若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α∥βC．若平面α内有无数条直线与直线l垂直，则l⊥αD．若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则α⊥β8．（3分）已知θ为锐角，且sinθ=，则sin（θ+45°）=（）A．B．﹣C．D．﹣9．（3分）直线y=x被圆（x﹣1）2+y2=1所截得的弦长为（）A．B．1 C．D．210．（3分）设数列{a n}的前n项和为S n，若S n+1=2a n+1，n∈N*，则a3=（）A．3 B．2 C．1 D．011．（3分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD⊥底面BCD，BC⊥CD，AB=AD=4，BC=6，BD=4，该三棱锥三视图的正视图为（）A．B．C．D．12．（3分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD⊥底面BCD，BC⊥CD，AB=AD=4，BC=6，BD=4，直线AC与底面BCD所成角的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°13．（3分）设实数a，b满足|a|＞|b|，则“a﹣b＞0”是“a+b＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．（3分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点A作倾斜角为45°的直线l，l交y轴于点B，交双曲线的一条渐近线于点C，若=，则该双曲线的离心率为（）A．5 B．C．D．15．（3分）若实数a，b，c满足1＜b＜a＜2，0＜c＜，则关于x的方程ax2+bx+c=0（）A．在区间（﹣1，0）内没有实数根B．在区间（﹣1，0）内有一个实数根，在（﹣1，0）外有一个实数根C．在区间（﹣1，0）内有两个相等的实数根D．在区间（﹣1，0）内有两个不相等的实数根16．（3分）如图（1），把棱长为1的正方体沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到如图（2）所示几何体，该几何体的体积为（）A．B．C．D．17．（3分）已知直线2x+y+2+λ（2﹣y）=0与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为S（λ），当λ∈（1，+∞）时，S（λ）的最小值是（）A．12 B．10 C．8 D．618．（3分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记集合A={x∈R|f（x）≤0}，B={x∈R|f （f（x）+1）≤0}，若A=B≠∅，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共15分）19．（3分）设向量=（1，2），=（3，1），则+的坐标为，•= ．20．（3分）椭圆+y2=1两焦点之间的距离为．21．（3分）已知a，b∈R，且a≠﹣1，则|a+b|+|﹣b|的最小值是．22．（3分）设点P是边长为2的正三角形ABC的三边上的动点，则•（+）的取值范围为．三、解答题（本大题共3小题，共31分）23．（10分）已知函数f（x）=2cos2x﹣1，x∈R．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）设g（x）=f（﹣x）+cos2x，求g（x）的值域．24．（12分）已知抛物线C；y2=2px过点A（1，1）．（1）求抛物线C的方程；（2）过点P（3，﹣1）的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合），设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．25．（12分）已知函数f（x）=3|x﹣a|+|ax﹣1|，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，写出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）为偶函数，求实数a的值；（Ⅲ）若对任意的实数x∈，不等式f（x）≥3x|x﹣a|恒成立，求实数a的取值范围．2017年浙江省普通高校招生选考数学试卷（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共18个小题，每小题3分，共54分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={1，2，3，4}，若A={1，3}，则∁U A=（）A．{1，2} B．{1，4} C．{2，3} D．{2，4}【考点】1F：补集及其运算．【分析】由全集U及A，求出A的补集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4}，A={1，3}，∴∁U A={2，4}．故选：D．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．已知数列1，a，5是等差数列，则实数a的值为（）A．2 B．3 C．4 D．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的性质直接求解．【解答】解：∵数列1，a，5是等差数列，∴2a=1+5，解得a=3．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数列性质的合理运用．3．计算lg4+lg25=（）A．2 B．3 C．4 D．10【考点】4H：对数的运算性质．【分析】利用对数的运算法则即可得出．【解答】解：原式=lg（4×25）=lg102=2．故选：A．【点评】本题考查了对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．函数y=3x的值域为（）A．（0，+∞）B． D．（0，3]【考点】34：函数的值域．【分析】由于 3x＞0，由此求得函数 y=3x的值域．【解答】解：由于 3x＞0，故函数 y=3x的值域为（0，+∞），故选：A．【点评】本题主要考查指数函数的值域，属于基础题．5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，A=60°，B=45°，则b的长为（）A．B．1 C．D．2【考点】HP：正弦定理．【分析】由sinA，sinB，以及a的值，利用正弦定理即可求出b的长．【解答】解：∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=，A=60°，B=45°，∴由正弦定理=得：b===，故选：C．【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．6．若实数x，y满足，则点P（x，y）不可能落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】作出如图所示的可行域，由图象可知，则点P（x，y）不可能落在第四象限【解答】解：实数x，y满足，作出如图所示的可行域，由图象可知，则点P（x，y）不可能落在第四象限，故选：D【点评】本题考查了线性规划中的可行域问题，属于基础题．7．在空间中，下列命题正确的是（）A．若平面α内有无数条直线与直线l平行，则l∥αB．若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α∥βC．若平面α内有无数条直线与直线l垂直，则l⊥αD．若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则α⊥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A，根据线面平行的判定判断；B，根据面面平行的判定判定；C，若平面α内有无数条直线与直线l垂直，则l与α可能斜交；D，若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则平面α经过平面β的垂线，则α⊥β．【解答】解：对于A，若平面α内有无数条直线与直线l平行，则l与α可能相交，故错；对于B，若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α与β可能相交，故错；对于C，若平面α内有无数条直线与直线l垂直，则l与α可能斜交，故错；对于D，若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则平面α经过平面β的垂线，则α⊥β，故正确．故选：D【点评】本题考查了命题真假的判定，考查了空间线面、面面位置关系，属于中档题．8．已知θ为锐角，且sinθ=，则sin（θ+45°）=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，进而利用两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：∵θ为锐角，且sinθ=，∴cosθ==，∴sin（θ+45°）=（sinθ+cosθ）=×（）=．故选：A．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9．直线y=x被圆（x﹣1）2+y2=1所截得的弦长为（）A．B．1 C．D．2【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理求出弦长即可．【解答】解：由圆的方程得：圆心坐标为（1，0），半径r=1，∵圆心到直线x﹣y=0的距离d=，∴直线被圆截得的弦长为2=．故选C．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．10．设数列{a n}的前n项和为S n，若S n+1=2a n+1，n∈N*，则a3=（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】8H：数列递推式．【分析】S n+1=2a n+1，n∈N*，则n=2时，可得：a2=a1+1．n=2时，a1+a2+a3=2a2+1，可得：a3．【解答】解：S n+1=2a n+1，n∈N*，则n=2时，a1+a2=2a1+1，可得：a2=a1+1．n=2时，a1+a2+a3=2a2+1，可得：a3=2×1+1=3．故选：A．【点评】本题考查了数列递推关系、通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD⊥底面BCD，BC⊥CD，AB=AD=4，BC=6，BD=4，该三棱锥三视图的正视图为（）A．B．C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】由题意，三棱锥三视图的正视图为等腰三角形，设C在BD上的射影为E，求出CE，即可得出结论．【解答】解：由题意，三棱锥三视图的正视图为等腰三角形，△BCD中，BC⊥CD，BC=6，BD=4，∴CD=2，设C在BD上的射影为E，则12=CE，∴CE=，故选C．【点评】本题考查三视图，考查学生的计算能力，比较基础．12．如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD⊥底面BCD，BC⊥CD，AB=AD=4，BC=6，BD=4，直线AC与底面BCD所成角的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】面ABD⊥底面BCD，AB=AD，取DB中点O，则AO⊥面BCD，即∠ACO就是直线AC与底面BCD所成角，解三角形即可求得角的大小．【解答】解：∵面ABD⊥底面BCD，AB=AD，取DB中点O，则AO⊥面BCD，∴∠ACO就是直线AC与底面BCD所成角．∵BC⊥CD，BC=6，BD=4，∴CO=2，在Rt△ADO中，OD=，在Rt△AOC中，tan∠ACO=．直线AC与底面BCD所成角的大小为300．故选：A．【点评】本题考查了直线与平面所成角的求解，找到所求的角是关键，属于中档题．13．设实数a，b满足|a|＞|b|，则“a﹣b＞0”是“a+b＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】实数a，b满足|a|＞|b|⇔（a+b）（a﹣b）＞0，即可判断出关系．【解答】解：实数a，b满足|a|＞|b|⇔（a+b）（a﹣b）＞0，则“a﹣b＞0”是“a+b＞0”的充要条件，故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点A作倾斜角为45°的直线l，l交y轴于点B，交双曲线的一条渐近线于点C，若=，则该双曲线的离心率为（）A．5 B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据三角形的中位线定理求得C点坐标，代入双曲线的渐近线方程，即可求得a和b 的关系，利用双曲线的离心率，即可求得答案．【解答】解：由题意可知：设双曲线的左顶点D，连接CD，由题意可知：丨OA丨=丨OB丨=a，OB是△ADC的中位线，则丨CD丨=2a，则C（a，2a），将C代入双曲线的渐近线方程y=x，整理得：b=2a，则该双曲线的离心率e===，∴双曲线的离心率，故选B．【点评】本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查三角形的中位线定理，考查数形结合思想，属于中档题．15．若实数a，b，c满足1＜b＜a＜2，0＜c＜，则关于x的方程ax2+bx+c=0（）A．在区间（﹣1，0）内没有实数根B．在区间（﹣1，0）内有一个实数根，在（﹣1，0）外有一个实数根C．在区间（﹣1，0）内有两个相等的实数根D．在区间（﹣1，0）内有两个不相等的实数根【考点】3W：二次函数的性质．【分析】由题意，f（0）=c＞0，f（﹣1）=a﹣b+c＞0，△=b2﹣4ac＞0，对称轴为x=﹣∈（﹣1，0），即可得出结论．【解答】解：由题意，f（0）=c＞0，f（﹣1）=a﹣b+c＞0，∵1＜b＜a＜2，0＜c＜，∴0＜4ac＜1，∴△=b2﹣4ac＞0，又对称轴为x=﹣∈（﹣1，0），∴关于x的方程ax2+bx+c=0在区间（﹣1，0）内有两个不相等的实数根，故选C．【点评】本题考查函数的零点，考查二次函数的性质，比较基础．16．如图（1），把棱长为1的正方体沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到如图（2）所示几何体，该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】把棱长为1的正方体沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到几何体的体积：V=﹣﹣+．【解答】解：把棱长为1的正方体沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到几何体的体积：V=﹣﹣+=1×1×1﹣﹣+=．故选：B．【点评】本题考查几何体的体积的求法，是中档题，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、数形结合思想．17．已知直线2x+y+2+λ（2﹣y）=0与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为S（λ），当λ∈（1，+∞）时，S（λ）的最小值是（）A．12 B．10 C．8 D．6【考点】IG：直线的一般式方程．【分析】由直线2x+y+2+λ（2﹣y）=0，分别可得与坐标轴的交点（﹣1﹣λ，0），（0，），λ∈（1，+∞），S（λ）=×，变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由直线2x+y+2+λ（2﹣y）=0，分别可得与坐标轴的交点（﹣1﹣λ，0），（0，），λ∈（1，+∞），S（λ）=×=λ﹣1++4≥2×2+4=8，当且仅当λ=3时取等号．故选：C．【点评】本题考查了直线的交点、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记集合A={x∈R|f（x）≤0}，B={x∈R|f（f（x）+1）≤0}，若A=B≠∅，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】设集合A={x∈R|f（x）≤0}=，利用B={x∈R|f（f（x）+1）≤0}，若A=B≠∅，求出m，n，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：设集合A={x∈R|f（x）≤0}=，则由f（f（x）+1）≤0，m≤f（x）+1≤n，∴m﹣1≤f（x）≤n﹣1，∴n﹣1=0，∴n=1，∴f（x）=（x+a+1）（x﹣1），∴m=﹣（a+1），∵m﹣1≤f（x）min，∴﹣a﹣2≤且﹣（a+1）≤1，∴﹣2≤a≤2．故选B．【点评】本题考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共15分）19．设向量=（1，2），=（3，1），则+的坐标为（4，3），•= 5 ．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】利用向量的坐标运算性质、数量积运算性质即可得出．【解答】解： =（4，3），=3+2=5．故答案为：（4，3），5．【点评】本题考查了向量的坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20．椭圆+y2=1两焦点之间的距离为2．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据题意，由椭圆的方程计算可得其焦点坐标，进而可得两焦点之间的距离，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为： +y2=1，其焦点坐标为（±，0），则两焦点之间的距离为2；故答案为：2．【点评】本题考查椭圆的性质，关键是依据椭圆的标准方程求出焦点坐标．21．已知a，b∈R，且a≠﹣1，则|a+b|+|﹣b|的最小值是 1 ．【考点】7F：基本不等式．【分析】利用绝对值不等式的性质、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：a，b∈R，且a≠﹣1，则|a+b|+|﹣b|≥=|a+1+﹣1|≥|2﹣1|=1，当且仅当a=0时取等号．故答案为：1．【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．设点P是边长为2的正三角形ABC的三边上的动点，则•（+）的取值范围为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】以AB中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，可得A（﹣1，0），B（1，0），C（0，），讨论P在AB，BC，CA上，分别设P的坐标，可得向量PA，PB，PC的坐标，由向量的坐标表示，化为二次函数在闭区间上的最值问题，即可得到所求取值范围．【解答】解：以AB中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，可得A（﹣1，0），B（1，0），C（0，），当P在线段AB上，设P（t，0），（﹣1≤t≤1），=（﹣1﹣t，0），=（1﹣t，0），=（﹣t，），即有•（+）=（﹣1﹣t，0）•（1﹣2t，）=（﹣1﹣t）（1﹣2t）+0×=2t2+t﹣1=2（t﹣）2﹣，由﹣1≤t≤1可得t=取得最小值﹣，t=﹣1时，取得最大值0；当P在线段CB上，设P（m，（1﹣m）），（0≤m≤1），=（﹣1﹣m，（m﹣1）），=（1﹣m，（m﹣1）），=（﹣m， m），即有•（+）=（﹣1﹣m，（m﹣1））•（1﹣2m，（2m﹣1））=（﹣1﹣m）（1﹣2m）+（m﹣1）×（2m﹣1）=2（2m﹣1）2，由0≤m≤1可得m=取得最小值0，m=0或1时，取得最大值2；当P在线段AC上，设P（n，（1+n）），（﹣1≤n≤0），=（﹣1﹣n，﹣（1+n）），=（1﹣n，﹣（1+n）），=（﹣n，﹣ n），即有•（+）=（﹣1﹣n，﹣（1+n））•（1﹣2n，﹣（1+2n））=（﹣1﹣n）（1﹣2n）+（1+n）×（1+2n）=8n2+10n+2=8（n+）2﹣，由﹣1≤n≤0可得n=﹣取得最小值﹣，n=0时，取得最大值2；综上可得•（+）的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示，考查坐标法的运用，同时考查分类讨论和转化思想，转化为二次函数在闭区间上的最值问题是解题的关键，属于中档题．三、解答题（本大题共3小题，共31分）23．（10分）（2017•浙江模拟）已知函数f（x）=2cos2x﹣1，x∈R．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）设g（x）=f（﹣x）+cos2x，求g（x）的值域．【考点】GI：三角函数的化简求值；H2：正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，从而求得f（）的值．（Ⅱ）根据函数的解析式以及三角函数的周期性，求得函数f（x）的最小正周期．（Ⅲ）化简g（x）的解析式，根据正弦函数的值域求得g（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2cos2x﹣1=cos2x，∴f（）=cos=．（Ⅱ）函数f（x）=2cos2x﹣1=cos2x 的最小正周期为=π．（Ⅲ）∵g（x）=f（﹣x）+cos2x=cos2（﹣x）+cos2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），故g（x）的值域为．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的值域，属于基础题．24．（12分）（2017•浙江模拟）已知抛物线C；y2=2px过点A（1，1）．（1）求抛物线C的方程；（2）过点P（3，﹣1）的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合），设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；（2）设过点P（3，﹣1）的直线l的方程为x﹣3=m（y+1），即x=my+m+3，代入y2=x利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k1•k2的值．【解答】解：（1）由题意抛物线y2=2px过点A（1，1），所以p=，所以得抛物线的方程为y2=x；（2）证明：设过点P（3，﹣1）的直线l的方程为x﹣3=m（y+1），即x=my+m+3，代入y2=x得y2﹣my﹣m﹣3=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=m，y1y2=﹣m﹣3，所以k1•k2===﹣【点评】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．25．（12分）（2017•浙江模拟）已知函数f（x）=3|x﹣a|+|ax﹣1|，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，写出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）为偶函数，求实数a的值；（Ⅲ）若对任意的实数x∈，不等式f（x）≥3x|x﹣a|恒成立，求实数a的取值范围．【考点】5B：分段函数的应用；3D：函数的单调性及单调区间．【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=3|x﹣a|+|ax﹣1|=4|x﹣1|，即可写出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）为偶函数，一定有f（﹣1）=f（1）⇒3|1﹣a|+|a﹣1|=3|﹣1﹣a|+|﹣a ﹣1|，即可求实数a的值；（Ⅲ）对任意的实数x∈，不等式f（x）≥3x|x﹣a|恒成立⇔对任意的实数x∈，（3﹣3x）|x﹣a|+|ax﹣1|≥0，分类讨论求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=3|x﹣a|+|ax﹣1|=4|x﹣1|，函数f（x）的减区间为（﹣∞，1），增区间为（1，+∞）．（Ⅱ）若函数f（x）为偶函数，一定有f（﹣1）=f（1）⇒3|1﹣a|+|a﹣1|=3|﹣1﹣a|+|﹣a ﹣1|，解得a=0，经检验符合题意．（Ⅲ）对任意的实数x∈，不等式f（x）≥3x|x﹣a|恒成立⇔对任意的实数x∈，（3﹣3x）|x﹣a|+|ax﹣1|≥0，①当0≤x≤1时，（3﹣3x）|x﹣a|+|ax﹣1|≥0恒成立，a∈R②当x∈（1，3]时，原不等式等价于|ax﹣1|≥|（3x﹣3）|x﹣a|令g（x）=|（3x﹣3）（x﹣a）|，h（x）=|ax﹣1|当a＞1时，0＜≤1，由ax﹣1=（3x﹣3）（a﹣x），即3x2﹣（2a+3）x﹣1+3a=0，△=（2a+3）2﹣12（﹣1+3a）=0，a=（另一根舍去），∴a＞；a=1时，不满足h（3）＞g（3）；0＜a＜1时，＞1，要使h（x）≥g（x），只要h（3）≥g（3），即﹣3a﹣1≥6（3﹣a），解得a≥，舍去；a≤0，要使h（x）≥g（x），只要h（3）≥g（3），即3a﹣1≥6（3﹣a），解得a≥，舍去；综上所述a＞．【点评】本题考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2017年4月浙江省普通高中学业水平考试数学试题第Ⅰ卷（共54分）一、选择题：本大题共18个小题,每小题3分,共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4U =，若{}1,3A =，则U A =ð（ ）A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}2,42.已知数列1，a ，5是等差数列，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D 3.计算lg 4lg 25+=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．104.函数3x y =的值域为（ ）A ．(0,)+∞B ．[1,)+∞C ．(0,1]D ．(0,3]5.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =60A =︒ ，45B =︒，则b 的长为（ ）A ．2B ．1CD ．26.若实数10,20,x y xy -+>⎧⎨-<⎩则点(,)P x y 不可能落在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7.在空间中，下列命题正确的是（ ）A ．若平面α内有无数条直线与直线l 平行，则//l αB ．若平面α内有无数条直线与平面β平行，则//αβC ．若平面α内有无数条直线与直线l 垂直，则l α⊥D ．若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则αβ⊥8.已知θ锐角，且3sin 5θ=，则sin(45)θ+︒=（ ）A ．10B ．10-C ．10D ．10-9.直线y x =被圆22(1)1x y -+=所截得的弦长为（ ）A ．2B ．1CD ．210.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121n n S a +=+，*n N ∈，则3a =（ ）A ．3B ．2C ．1D ．011.如图，在三棱锥A BCD -中，侧面ABD ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，4AB AD ==，6BC =，BD = ）12.在第11题的三棱锥A BCD -中，直线AC 与底面BCD 所成角的大小为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒13.设实数a ，b 满足||||a b >，则“0a b ->”是“0a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 14.过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左顶点A 作倾斜角为45︒的直线l ，l 交y 轴于点B ，交双曲线的一条渐进线于点C ，若AB BC = ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．5BC D15.若实数a ，b ，c 满足12b a <<<，108c <<，则关于x 的方程20ax bx c ++=（ ） A ．在区间()1,0-内没有实数根B ．在区间()1,0-内有一个实数根，在()1,0-外有一个实数根C ．在区间()1,0-内有两个相等的实数根D ．在区间()1,0-内有两个不相等的实数根16.如图（1），把棱长为1的正方体沿平面11AB D 和平面11A BC 截去部分后，得到如图（2）所示几何体，该几何体的体积为（ ）A ．34B ．1724C ．23D ．1217.已知直线22(2)0x y y λ+++-=与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为()S λ，当(0,)λ∈+∞时，()S λ的最小值是（ ）A ．12B ．10C ．8D ．418.已知函数2()f x x ax b =++（a ，b R ∈），记集合{}|()0A x R f x =∈≤，{}|(()1)0B x R f f x =∈+≤，若A B =≠∅，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]4,4-B ．[]2,2-C ．[]2,0-D ．[]0,4第Ⅱ卷（共46分）二、填空题（每空3分，满分15分，将答案填在答题纸上）19.设向量(1,2)a = ，(3,1)b = ，则a b + 的坐标为 ，a b ⋅= ．20.椭圆2213x y +=两焦点之间的距离为 ．21.已知a ，b R ∈，且1a ≠-，则1||||1a b b a ++-+的最小值是 ． 22.设点P 是边长为2的正三角形ABC 的三边上的动点，则()PA PB PC ⋅+ 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共3小题，共31分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）23.已知函数2()2cos 1f x x =-，x R ∈． （Ⅰ）求()6f π的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅲ）设()()24g x f x x π=-+，求()g x 的值域．24.已知抛物线C ：22y px =过点(1,1)A ．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点(3,1)P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点（均与点A 不重合）．设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值．25.已知函数()3|||1|f x x a ax =-+-，其中a R ∈．（Ⅰ）当1a =时，写出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 为偶函数，求实数a 的值；（Ⅲ）若对任意的实数[]0,3x ∈，不等式()3||f x x x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．。

2017年4月浙江省普通高中学业水平考试数学试题满分100分，考试时间80分钟'、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个 是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分1.已知全集 U={1，2，3，4}，若 A={1，4.函数y=3x 的值域为b 的长为A.{1 , 2}B.{1 , 4}C.{2 , 3}D.{2 , 4}2.已知数列1 , ,5是等差数列，则实数a的值为A.2 计算lg 3.4+ lg 25=B.3a C.4D. • 5A.2B.3C.4 D .103}，则 C u A=A.(0 , + *B.[1 , + *C.(0， 1]D .(0，3]5.在厶ABC 中， 内角 C 所对的边分别为a ,a=•3 , A=60 ° , B=45 。

，则A. 2B.1C. 2 D .26.若实数x , y 满足Jy 2x 0 1 yV 0，则点 P(x ，y)不可能落在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限 D .第四象限7.在空间中， 下列命题正确的是A.若平面 内有无数条直线与直线 l 平行，则I //aB.若平面 内有无数条直线与平面 3平行，则 aC.若平面内有无数条直线与直线I 垂直，则I 丄aD.若平面 已知e 为锐角，8.且 内有无数条直线与平面 3垂直，则 a 9. 3 ，则sin5JI (e —)= sin 4 A.72-10B.-亍210C .210VD. - F10直线y= x 被圆(x- 1)2+ y 2=1所截得的弦长为42_10.设数列｛ a n ｝的前 n 项和为 S n ，右 S n +1 =2a n +1, n € N ,则 a 3=( )A.3B.2C.1D .011. 如图在三棱锥 A-BCD 中，侧面 ABD 丄底面 BCD , BC 丄CD , AB=AD=4 , BC=6 , BD=4 3 ,该三棱锥三视图的正视图为14・过双曲线 竺-/= 1 （a>0，b>0）的左顶点A 作倾斜角为巴的直线I ，I 交y 轴于点B ，交双a 2b 24曲线的一条渐近线于点 C ，若AB = BC ，则该双曲线的离心率为（）jf5A.5B. 5C. 3D.215.若实数 a ，b ，c 满足 1<b<a<2 ，0<c<18，则关于 x 的方程 ax 2+bx+c=0（ ）A. 在区间（-1 , 0）内没有实数根A. 2B.1D.212.在第11题的三棱锥A-BCD 中，直线AC 与底面BCD 所成角的大小为A.30 °B.45 °C.60D.9013设实数a ，b 满足|a|>|b| ，则“ a-b>0 ”是 a+b>0 ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B. 在区间（-1，0）内有一个实数根，在（-10）外，有一个实数根C. 在区间（-1，0）内有两个相等的实数根D .在区间（-1，0）内有两个不相等的实数根416. 如图1,把棱长为1的正方体沿平面 AB i D i 和平面A 1BC 1截去部分后，得到如图 2所示几 C.17.已知直线2x+ y+2+入(2- y)=0与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为 S(入),当入€ (1 , )时，S(入)的最小值是 ()A.12B.10C.8 D .618.已知 f ( x)=2+ + ( , € )，记集合 A={ € | f ( x) < 0} , ={ € | f ( f ( x)1) < 0},x ax b a b R x R B x R若A= B 工? ，则实数a 的取值范围为 ()A.[-4 , 4]B.[-2 , 2]C.[-2 , 0]D .[0 , 4]二、填空题(本大题共4小题，每空 3分，共15分)19. __________________________________________________ 设向量 a=(1 , 2), b=(3 , 1)，贝U a+ b 的坐标为 _________________________________________________ , a?b= ____________20. ___________________________________________________________ 椭圆3 + y =1两焦点之间的距离为 ______________________________________________________________22. 设点P 是边长为2的正三角形ABC 的三边上的动点，贝I 」PA (PB + PC)的取值范围为 _______________三、解答题(本大题共3小题，共31分)23. (本题 10 分)已知函数 f ( x) -2 cos 2 x -1, x R何体，该几何体的体积为B.17 2421.已知,€，且工-1,则—1 ---- b 的最小值是a ^1①求f (—)的值6②求f ( x)的最小正周期③设g(x) - f (— x)「3 cos 2x ,求g (x)的值域24. (本题10分)已知抛物线C : y2=2px过点A(1 , 1)①.求抛物线C的方程②.过点P(3 , - 1)的直线与抛物线C交于M , N两个不同的点(均与点A不重合)，设直线AM , AN的斜率分别为k i，k2，求证：k i?k2为定值25.(本题11 分)已知函数 f ( x) =3|x-a|+|ax-1| ，其中a€R①当a=1时，写出函数 f (x)的单调区间②若函数f ( x)为偶函数，求实数a的值③若对任意的实数x G [0 , 3],不等式f ( x) > 3x|x-a| 恒成立，求实数a的取值范围2017年4月浙江省普通高中学业水平考试数学参考答案选择题23. 解：① 由已知可得f ( x) - cos2xf (上)_ cos 二_16 3 2②丁二22③----------------------- -:g( x) = f (x) +J3 cos2x43 cos2x 一2 sin(2x -)2 3g( x) [ 2,2]24. 解：①T A在抛物线上1•••仁2p 即p= _•••抛物线C的方程为y 2 - x②令M (X1,y1) ,N(X2,y2)MN:m(y+1)=x-3 代入y2— x 可得2 --y 2 Fy m _3 0;-y 1+y2=m, y1*y2=-m-3, X1+x 2=m 2+2m+6, X1*x 2=(m+3)2又k1?k2=力—1 ‘忻x i 1 x2二，+ +1 y1 y2 ( y1 亠y2 )亠1—+ +1 x1 x2 ( x1 x2 ) 1-2m - 2亠—2 - _ 」8g(x) 尸cos( -2x) 3 cos 2x21-2( sin 2x2(m 3) 2 m2 2m 6 1 4m 425. (本题11 分)已知函数f ( x) =3|x-a|+|ax-1|，其中a €R①当a=1时，写出函数f (x)的单调区间②若函数f ( x)为偶函数，求实数a的值③若对任意的实数x € [0 , 3]，不等式f ( x) > 3x|x-a|恒成立，求实数a的取值范围25. 解：(1 )当a=1 时■|」| 『4( x- 1) x 启1f (x) =3 x— 1+|x T|±4 x_ 仁*l亠4( x - 1) x < 1“,1是f ( x)的单调减区••• x [1厂)是f ( x)的单调增区间，x - 间(2)V f (x)是偶函数•- f ( - 1)- f (1)••• 3-1 a*| —a T| = 31 一a| 冯—|1即1 ia | 1 | a-••• a -0(3)。

林老师网络编辑整理2017年4月浙江省普通高中学业水平考试数学 试题姓名：_____________ 准考证号：____________本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟。

选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。

每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知全集，}4,3,2,1{=U ，若}3,1{=A ，则=A C U （ ）A. }2,1{B. }4,1{C. }3,2{D. }4,2{ 2.已知数列5,,1a 是等差数列，则实数a 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 53.计算=+25lg 4lg （ ）A. 2B. 3C. 4D. 10 4.函数xy 3=的值域为（ ）A. ),0(+∞B. ),1[+∞C. ]1,0(D. ]3,0( 5.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若3=a ，ο60=A ，ο45=B ，则b 的长为（ ）A.22B. 1C. 2D. 26.若实数y x ,满足⎩⎨⎧<->+-0201y x y x ，则点),(y x P 不可能．．．落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7.在空间中，下列命题正确的是（ ）A. 若平面α内有无数条直线与直线l 平行，则α//lB. 若平面α内有无数条直线与平面β平行，则βα//C. 若平面α内有无数条直线与直线l 垂直，则α⊥lD. 若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则βα⊥ 8.已知θ为锐角，且53sin =θ，则=+)45sin(οθ（ ） A.1027 B. 1027- C. 102 D. 102- 9.直线x y =被圆1)1(22=+-y x 所截得的弦长为（ ） A.22B. 1C. 2D. 2 10.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，若121+=+n n a S ，*∈N n ，则=3a （ ）A. 3B. 2C. 1D. 011.如图，在三棱锥BCD A -中，侧面⊥ABD 底面BCD ，CD BC ⊥，4==AD AB ，6=BC ，34=BD ，该三棱锥三视图的正视图为（ ）A. B.C. D.林老师网络编辑整理12.在第11题的三棱锥BCD A -中，直线AC 与底面BCD 所成角的大小为（ ） A. ο30 B. ο45 C. ο60 D. ο90 13.设实数b a ,满足||||b a >，则“0>-b a ”是“0>+b a ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件14.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左顶点A 作倾斜角为ο45的直线l ，l 交y 轴于点B ，交双曲线的一条渐近线于点C ，若BC AB =，则该双曲线的离心率为（ ） A. 5 B.5 C. 3 D.2515.若实数c b a ,,满足21<<<a b ，810<<c ，则关于x 的方程02=++c bx ax （ ） A. 在区间)0,1(-内没有实数根B. 在区间)0,1(-内有一个实数根，在)0,1(-外有一个实数根C. 在区间)0,1(-内有两个相等的实数根D. 在区间)0,1(-内有两个不相等的实数根16.如图（1），把棱长为1的正方体沿平面11D AB 和平面11BC A 截去部分后，得到如图（2）所示几何体，该几何体的体积为（ ）（1） （2） A.43 B. 2417 C. 32 D. 2117.已知直线0)2(22=-+++y y x λ与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为)(λS ，当),1(+∞∈λ时，)(λS 的最小值是（ ）A. 12B. 10C. 8D. 618.已知函数b ax x x f ++=2)(),(R b a ∈，记集合}0)(|{≤∈=x f R x A ，}0)1)((|{≤+∈=x f f R x B ，若∅≠=B A ，则实数a 的取值范围为（ ）A. ]4,4[-B. ]2,2[-C. ]0,2[-D. ]4,0[ 非选择题部分 二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19.设向量)2,1(=a ，)1,3(=b ，则b a +的坐标为________，=⋅b a ______.20.椭圆1322=+y x 两焦点之间的距离为_______. 21.已知R b a ∈,，且1-≠a ，则|11|||b a b a -+++的最小值是_______. 22.设点P 是边长为2的正三角形ABC 的三边上的动点，则)(PC PB PA +⋅的取值范围为_______. 三、解答题（本大题共3小题，共31分）23.（本题满分10分）已知函数1cos 2)(2-=x x f ，R x ∈.（1）求)6(πf 的值；（2）求函数)(x f 的最小正周期； （3）设x x f x g 2cos 3)4()(+-=π，求)(x g 的值域.林老师网络编辑整理24.（本题满分10分）已知抛物线px y C 2:2=过点)1,1(A .（1）求抛物线C 的方程；（2）过点)1,3(-P 的直线与抛物线C 交于N M ,两个不同的点（均与点A 不重合），设直线AN AM ,的斜率分别为21,k k ，求证：21k k ⋅为定值.25.（本题满分11分）已知函数|1|||3)(-+-=ax a x x f ，其中R a ∈. （1）当1=a 时，写出函数)(x f 的单调区间； （2）若函数)(x f 为偶函数，求实数a 的值；（3）若对任意的实数]3,0[∈x ，不等式||3)(a x x x f -≥恒成立，求实数a 的取值范围.。

2017年4月浙江省普通高中学业水平考试数学试题第Ⅰ卷（共54分）一、选择题：本大题共18个小题,每小题3分,共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4U = ，若{}1,3A =，则U A =（ ）A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}2,42.已知数列1，a ，5是等差数列，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4 D3.计算lg 4lg 25+=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．104.函数3x y =的值域为（ ）A ．(0,)+∞B ．[1,)+∞C ．(0,1]D ．(0,3]5.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =60A =︒，45B =︒，则b 的长为（ ）A ．2B ．1CD ．26.若实数10,20,x y xy -+>⎧⎨-<⎩则点(,)P x y 不可能落在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7.在空间中，下列命题正确的是（ ）A ．若平面α内有无数条直线与直线l 平行，则//l αB ．若平面α内有无数条直线与平面β平行，则//αβC ．若平面α内有无数条直线与直线l 垂直，则l α⊥D ．若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则αβ⊥8.已知θ锐角，且3sin 5θ=，则sin(45)θ+︒=（ ）A ．10B ．10-C ．10D ．10-9.直线y x =被圆22(1)1x y -+=所截得的弦长为（ ）A ．2B ．1CD ．210.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121n n S a +=+，*n N ∈，则3a =（ ）A ．3B ．2C ．1D ．011.如图，在三棱锥A BCD -中，侧面ABD ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，4AB AD ==，6BC =，BD =该三棱锥三视图的正视图为（ ）12.在第11题的三棱锥A BCD -中，直线AC 与底面BCD 所成角的大小为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒13.设实数a ，b 满足||||a b >，则“0a b ->”是“0a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14.过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左顶点A 作倾斜角为45︒的直线l ，l 交y 轴于点B ，交双曲线的一条渐进线于点C ，若AB BC =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．5BCD ．215.若实数a ，b ，c 满足12b a <<<，108c <<，则关于x 的方程20ax bx c ++=（ ） A ．在区间()1,0-内没有实数根 B ．在区间()1,0-内有一个实数根，在()1,0-外有一个实数根C ．在区间()1,0-内有两个相等的实数根D ．在区间()1,0-内有两个不相等的实数根16.如图（1），把棱长为1的正方体沿平面11AB D 和平面11A BC 截去部分后，得到如图（2）所示几何体，该几何体的体积为（ ）A ．34B ．1724C ．23D ．1217.已知直线22(2)0x y y λ+++-=与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为()S λ，当(0,)λ∈+∞时，()S λ的最小值是（ ）A ．12B ．10C ．8D ．418.已知函数2()f x x ax b =++（a ，b R ∈），记集合{}|()0A x R f x =∈≤，{}|(()1)0B x R f f x =∈+≤，若A B =≠∅，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]4,4-B ．[]2,2-C ．[]2,0-D ．[]0,4第Ⅱ卷（共46分）二、填空题（每空3分，满分15分，将答案填在答题纸上）19.设向量(1,2)a =，(3,1)b =，则a b +的坐标为 ，a b ⋅= ．20.椭圆2213x y +=两焦点之间的距离为 ． 21.已知a ，b R ∈，且1a ≠-，则1||||1a b b a ++-+的最小值是 ． 22.设点P 是边长为2的正三角形ABC 的三边上的动点，则()PA PB PC ⋅+的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共3小题，共31分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）23.已知函数2()2cos 1f x x =-，x R ∈． （Ⅰ）求()6f π的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅲ）设()()24g x f x x π=-+，求()g x 的值域． 24.已知抛物线C ：22y px =过点(1,1)A ．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点(3,1)P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点（均与点A 不重合）．设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值．25.已知函数()3|||1|f x x a ax =-+-，其中a R ∈．（Ⅰ）当1a =时，写出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 为偶函数，求实数a 的值；（Ⅲ）若对任意的实数[]0,3x ∈，不等式()3||f x x x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．。

2017年4月浙江省普通高中学业水平考试数学试题第Ⅰ卷（共54分）一、选择题：本大题共18个小题,每小题3分,共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4U = ，若{}1,3A =，则UA =（ ）A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}2,4【答案】D【知识点】本题主要考察知识点：集合问题 【解析】 由题可以知道A={2,4}选择D 。

2.已知数列1，a ，5是等差数列，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D【答案】B【知识点】本题主要考察知识点：等差数列问题 【解析】6512=+=a 则 3=a 选择B 3.计算lg 4lg 25+=（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．10【答案】A【知识点】本题主要考察知识点： 对数问题【解析】错误!未找到引用源。

4log 10+错误!未找到引用源。

25log 10=2100log 10=，选A 。

4.函数3xy =的值域为（ ）A ．(0,)+∞B ．[1,)+∞C ．(0,1]D ．(0,3]【答案】A【知识点】本题主要考察知识点：指数函数值域【解析】对于定义域R 中的任意x ,x 3的取值范围是(0,)+∞，所以选择A . 5.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3a =，60A =︒，45B =︒，则b 的长为（ ）A ．22B ．1C ．2D ．2【答案】C【知识点】本题主要考察知识点 正弦定理 【解析】运用正弦定理错误!未找到引用源。

oo b45sin 60sin 3=则b=错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

260sin 45sin =oo,选择C 。

6.若实数10,20,x y x y -+>⎧⎨-<⎩则点(,)P x y 不可能落在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【知识点】本题主要考察知识点：由直线划分的平面区域 【解析】由题意可以得到 y>2x ,y<x+1，画图可得 点p （x,y ）不可能落在第四象限，选择D .7.在空间中，下列命题正确的是（ ）A ．若平面α内有无数条直线与直线l 平行，则//l αB ．若平面α内有无数条直线与平面β平行，则//αβC ．若平面α内有无数条直线与直线l 垂直，则l α⊥D ．若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则αβ⊥ 【答案】D【知识点】本题主要考察知识点：立体几何问题 【解析】A 错误，因为L 可能在平面α内B 错误，α与β可能相交C 错误，L 与α可能斜交，也可能α⊂lD 正确，选择D 。

2017届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4月联考数学试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}2{<∈=x R x P ，}31{≤≤-∈=x R x Q 则=Q P ( ) A ．[-1，2） B.（-2,2） C ．（-2，3] D ． [-1,3]2. 已知复数)2(i i z -=，其中i 是虚数单位，则z 的模=z ( ) A ．3 B ．5 C ．3 D ． 53. 已知平面α与两条不重合的直线a ，b ，则“α⊥a ，且α⊥b ”是“b a //”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C. 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4. 已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧≤-+≥-,02,0y x y x 则x y -2的最大值是( )A ．-2B ．-1 C.1 D. 25. 二项式7)2(+x 的展开式中含5x 项的系数是( )A ．21B ．35 C.84 D ．280 6. 下列命题正确的是( )A ．若b a b a 3ln ln -=-，则0<<b aB ．若b a b a 3ln ln -=-，则b a <<0 C. 若a b b a -=-3ln ln ，则0>>b a D ．若a b b a -=-3ln ln ，则b a >>0 7. 已知某口袋中有3个白球和a 个黑球（*∈N a ），现从中随机取出一球，再换回一个不 同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球）， 记换好球后袋中白球的个数是ξ．若3=ξE ，则=ξD ( ) A ．21 B ．1 C.23 D ． 28. 已知)(x f 是定义在R 上的函数，若方程x x f f =))((有且仅有一个实数根，则)(x f 的解析式可能是( )A ．12)(-=x x fB ．xe xf =)( C. 1)(2++=x x x f D ．x x f sin )(=9. 已知O 是ABC ∆的外心，︒=∠45C ，则OB n OA m OC +=),(R n m ∈，则n m +的取值范围是( ) A ．]2,2[- B ．)1,2[- C. )1,2[-- D ．]2,1( 10. 已知矩形ABCD ，AB AD 2=，沿直线BD 将ABD ∆折成BD A '∆，使点A '在平面BCD 上的射影在BCD ∆内（不含边界）．设二面角C BD A --'的大小为θ，直线D A '，C A '与平面BCD 所成的角分别为α，β，则（ )A ．βθα<<B ．αθβ<< C. θαβ<< D ．θβα<<第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分36分，将答案填在答题纸上）11. 双曲线1322=-yx 的焦距是 ，离心率是 ．12.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若7=a ，3=c ，︒=30A ，则=b ，ABC ∆的面积=S ．13. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是 3cm ，表面积是2cm．14.已知圆C ：2)()(22=-+-b y a x ，圆心C 在曲线])2,1[(1∈=x xy 上.则=ab ，直线l ：02=+y x 被圆C 所截得的长度的取值范围是 ．15. 6个标有不同编号的乒乓球放在两头有盖的棱柱型纸盒中，正视图如图所示，若随机从一头取出一个乒乓球，分6次取完，并依次排成一行，则不同的排法种数是 （用数字作答）．16. 已知等差数列}{n a ，等比数列}{n b 的公比为),(*∈N q n q ，设}{n a ，}{n b 的前n 项和分别为n S ，n T ．若nqn ST =+12，则=n a ．17. 已知函数c bx ax x f ++=2)(),,(R c b a ∈，若存在实数]2,1[∈a ，对任意]2,1[∈x ，都有1)(≤x f ，则c b 57+的最大值是 ．三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. 函数)sin(2)(ϕω+=x x f )20,0(πϕω<<>的部分图象如图所示, M 为最高点,该图象与y 轴交于点)2,0(F ,与x 轴交于点B ,C , 且MBC ∆的面积为π．(Ⅰ)求函数)(x f 的解析式；(Ⅱ)若552)4(=-παf ,求α2cos 的值.19. 如图，在三棱柱中DEF ABC -，点P ，G 分别是AD ,EF 的中点，已知⊥AD 平面ABC ，3==EF AD ，2==DF DE ．（Ⅰ）求证：⊥AD 平面BCEF ；（Ⅱ）求PE 与平面BCEF 所成角的正弦值． 20. 设函数b ax e x f x+-=)(),(R b a ∈．（Ⅰ）若1==b a ，求)(x f 在区间[-1,2]上的取值范围；（Ⅱ）若对任意R x ∈，0)(≥x f 恒成立，记b a b a M -=),(，求),(b a M 的最大值．21. 已知点)21,(t P 在椭圆C ：1222=+yx内，过P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，O 为坐标原点．（Ⅰ）是否存在实数t ，使直线l 和直线OP 的倾斜角互补？若存在，求出t 的值，若不存在，试说明理由； （Ⅱ）求OAB ∆面积S 的最大值． 22. 数列}{n a 中，211=a ，1221+-=+n n nn a a a a )(*∈N n（Ⅰ）求证：n n a a <+1；（Ⅱ）记数列}{n a 的前n 项和为n S ，求证：1<n S ．2017届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4月联考数学试题参考答案及评分标准一、选择题1-5:ABACC 6-10:CBDBD二、填空题11.4，2 12.1或2，433=S 或233=S ； 13.3，511+ ；14.1，]5102,552[； 15.32； 16. 12-=n a n ； 17.-6三、解答题18.解:( Ⅰ)因为π==⨯⨯=∆BC BC S ABC 221,所以周期ωππ22==T ，1=ω，由2sin 2)0(==ϕf ,得22sin =ϕ,因为20πϕ<<,所以4πϕ=,所以)4sin(2)(π+=x x f ；(Ⅱ)由552sin 2)4(==-απαf ,得45sin =α,所以53sin212cos 2=-=αα.19. 解：（Ⅰ）证明：因为⊥AD 平面ABC ，所以DG AD ⊥, 所以DG BF ⊥,因为DF DE =，G 是EF 的中点，所以DG EF ⊥, 又F EF BF = ，所以⊥DG 平面BCEF ；（Ⅱ）取BC 的中点H ，连HG ，取HG 的中点O ,连接OP ,OE , 因为DG PO //，所以⊥PO 平面BCEF ， 所以OEP ∠是PE 与平面BCEF 所成的角， 由已知得，25=PE ，27=OP ，所以57sin ==∠PEOP OEP ．-20. 解：（Ⅰ）当1==b a 时，1)(+-=x e x f x，1)(-='xe xf ，01)(=-='xex f 的根是0=x ，且当0>x 时，0)(>'x f ，当0<x 时，0)(<'x f ， 所以)(x f 在（0,2）上单调递增，在（-1,0）上单调递减． 所以2)0()(min ==f x f ，),1(m ax {)(max -=f x f 1)}2(2-=e f ， 所以)(x f 在区间[-1,2]上的取值范围是]1,2[2-e ．（Ⅱ）0)(≥x f 恒成立，即b ax e x-≥恒成立，易知0≥a ， 若0=a ，则0≤-b ，即0≤-b a ，若0>a ，由b ax e x-≥恒成立，即ax e b x+-≥恒成立， 即a ax e b a x+-≥-恒成立，令a ax e x g x+-=)(，则a e x g x-=')(，当a x ln =时，0)(='x g ，当a x ln >时，0)(>'x g ，当a x ln <时，0)(>'x g ，所以)(x g 在)ln ,(a -∞上单调递减，在),(ln +∞a 上单调递增．所以a a a a g x g ln 2)(ln )(min -==，从而，a a a b a ln 2-≤-，令a a a a h ln 2)(-=， 因为，a a a a a a h ln 11ln 2)ln 2()(-=--='-='， 所以，e 是)(a h 的极大值，所以e e h a h =≤)()(，故b a -的最大值是e ． 21. 解：（Ⅰ）存在.由题意直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程 是)(21t x k y -=-代入2222=+yx 得：++22)21(xk ++-x kt k )21(402)21(22=-+-kt .（1）设),(11y x A ，),(22y x B ，则t x x 221=+，即t kkt k 221)21(42=+-，解得：t k -=，此时方程（1）即++22)21(x t ++x t k )21(4202)21(222=-+t由068822>++-=∆t t 解得，2302<<t ，（或由14122<+t解得，2302<<t）当0=t 时，显然不符合题意；当0≠t 时，设直线OP 的斜率为1k ，只需021=+k k ，即0)(21=-+t t，解得22±=t ，均符合题意.（Ⅱ）由（1）知l 的方程是212++-=t tx y ，所以212)21(21x x tS -+=，)21(212+=t 22421688ttt+++-6884124++-=tt ，因为2302<<t ，所以当212=t时，22max =S .22.证：（1）因为12+-n n a a 043)21(2>+-n a ，且0211>=a ，所以0>n a ，所以=-+n n a a 1n n nna a a a -+-12201)1(22<+---=n nn n a a a a所以，n n a a <+1，+∈N n . （2）=n a 112121+----n n n a a a 2111111--+-=n n a a211111--+-<n n a a)11(1111-=--n n a a 1111111----=n n a a2221111----+-+=n n n a a a21----=n n a a 233111--+-+n n a a 21-...---==n n a a 111 (1)1-+--a a21-1---=n n a a 1...a --，所以1<n S .（Ⅱ）证法2：=+1-1n a =+-122n nna a a 1-12+-n nn a a a ，=+1-11n a nn na a a -112+-n na a --11=.1-1111+--=n nn a a a ，n a a a +++ (211)-112+-=n a ，0>n a ，所以n n a a a S +++=...211-1121<-=+n a .。

2017年浙江省杭州市初中毕业生学业考试数学试题一．选择题1．（3分）﹣22=（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．42．（3分）太阳与地球的平均距离大约是150 000 000千米，数据150 000 000用科学记数法表示为（）A．1.5×108B．1.5×109C．0.15×109D．15×1073．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（）A．B．C．D．4．（3分）|1+|+|1﹣|=（）A．1 B．C．2 D．25．（3分）设x，y，c是实数，（）A．若x=y，则x+c=y﹣c B．若x=y，则xc=ycC．若x=y，则D．若，则2x=3y6．（3分）若x+5＞0，则（）A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜127．（3分）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（）A．10.8（1+x）=16.8 B．16.8（1﹣x）=10.8C．10.8（1+x）2=16.8 D．10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.88．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1．把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则（）A．l1：l2=1：2，S1：S2=1：2 B．l1：l2=1：4，S1：S2=1：2C．l1：l2=1：2，S1：S2=1：4 D．l1：l2=1：4，S1：S2=1：49．（3分）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（）A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0 B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0C．若m＜1，则（m+1）a+b＞0 D．若m＜1，则（m+1）a+b＜010．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（）A．x﹣y2=3 B．2x﹣y2=9 C．3x﹣y2=15 D．4x﹣y2=21二．填空题11．（4分）数据2，2，3，4，5的中位数是．12．（4分）如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB= ．13．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个是红球，1个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出都是红球的概率是．14．（4分）若•|m|=，则m= ．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于．16．（4分）某水果点销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降价为6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．若该店第二天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉千克．（用含t的代数式表示．）三．解答题17．（6分）为了了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级50名学生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表组别（m）频数1.09～1.1981.19～1.29121.29～1.39A1.39～1.4910（1）求a的值，并把频数直方图补充完整；（2）该年级共有500名学生，估计该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的人数．18．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点（1，0）和（0，2）．（1）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n=4，求点P的坐标．19．（8分）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC 于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．20．（10分）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．（1）设矩形的相邻两边长分别为x，y．①求y关于x的函数表达式；②当y≥3时，求x的取值范围；（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？21．（10分）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a ≠0．（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x的取值范围．23．（12分）如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB 交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：ɑ30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．参考答案一．选择题1．（3分）（2017•杭州）﹣22=（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4分析#根据幂的乘方的运算法则求解．解答#解：﹣22=﹣4，故选B．点评#本题考查了幂的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方的运算法则．2．（3分）（2017•杭州）太阳与地球的平均距离大约是150 000 000千米，数据150 000 000用科学记数法表示为（）A．1.5×108B．1.5×109C．0.15×109D．15×107分析#科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答#解：将150 000 000用科学记数法表示为：1.5×108．故选A．点评#此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）（2017•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（）A．B．C．D．分析#根据题意得出△ADE∽△ABC，进而利用已知得出对应边的比值．解答#解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵BD=2AD，∴===，则=，∴A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．点评#此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出对应边的比是解题关键．4．（3分）（2017•杭州）|1+|+|1﹣|=（）A．1 B．C．2 D．2分析#根据绝对值的性质，可得答案．解答#解：原式1++﹣1=2，故选：D．点评#本题考查了实数的性质，利用差的绝对值是大数减小数是解题关键．5．（3分）（2017•杭州）设x，y，c是实数，（）A．若x=y，则x+c=y﹣c B．若x=y，则xc=ycC．若x=y，则D．若，则2x=3y分析#根据等式的性质，可得答案．解答#解：A、两边加不同的数，故A不符合题意；B、两边都乘以c，故B符合题意；C、c=0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意；D、两边乘以不同的数，故D不符合题意；故选：B．点评#本题考查了等式的性质，熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题关键．6．（3分）（2017•杭州）若x+5＞0，则（）A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜12分析#求出已知不等式的解集，再求出每个选项中不等式的解集，即得出选项．解答#解：∵x+5＞0，∴x＞﹣5，A、根据x+1＜0得出x＜﹣1，故本选项不符合题意；B、根据x﹣1＜0得出x＜1，故本选项不符合题意；C、根据＜﹣1得出x＜﹣5，故本选项不符合题意；D、根据﹣2x＜12得出x＞﹣6，故本选项符合题意；故选D．点评#本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．7．（3分）（2017•杭州）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（）A．10.8（1+x）=16.8 B．16.8（1﹣x）=10.8C．10.8（1+x）2=16.8 D．10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8分析#设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×（1+增长率）2=16.8万人次，根据等量关系列出方程即可．解答#解：设参观人次的平均年增长率为x，由题意得：10.8（1+x）2=16.8，故选：C．点评#本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．8．（3分）（2017•杭州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1．把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则（）A．l1：l2=1：2，S1：S2=1：2 B．l1：l2=1：4，S1：S2=1：2C．l1：l2=1：2，S1：S2=1：4 D．l1：l2=1：4，S1：S2=1：4分析#根据圆的周长分别计算l1，l2，再由扇形的面积公式计算S1，S2，求比值即可．解答#解：∵l1=2π×BC=2π，l2=2π×AB=4π，∴l1：l2=1：2，∵S1=×2π×=π，S2=×4π×=2π，∴S1：S2=1：2，故选A．点评#本题考查了圆锥的计算，主要利用了圆的周长为2πr，侧面积=lr求解是解题的关键．9．（3分）（2017•杭州）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（）A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0 B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0C．若m＜1，则（m+1）a+b＞0 D．若m＜1，则（m+1）a+b＜0分析#根据对称轴，可得b=﹣2a，根据有理数的乘法，可得答案．解答#解：由对称轴，得b=﹣2a．（m+1）a+b=ma+a﹣2a=（m﹣1）a，当m＞1时，（m﹣1）a＜0，（m﹣1）a+b与0无法判断．当m＜1时，（m﹣1）a＞0，（m﹣1）a+b（m﹣1）a﹣2a=（m﹣1）a＞0．故选：C．点评#本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用对称轴得出b=﹣2a是解题关键．10．（3分）（2017•杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（）A．x﹣y2=3 B．2x﹣y2=9 C．3x﹣y2=15 D．4x﹣y2=21分析#过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE=BD=x，根据等腰三角形求出BD=DC=6，求出CM=DM=3，解直角三角形求出EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理求出即可．解答#解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，∴BD=DE=x，∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y，∴==y，BQ=CQ=6，∴AQ=6y，∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ∥EM，∵E为AC中点，∴CM=QM=CQ=3，∴EM=3y，∴DM=12﹣3﹣x=9﹣x，在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（3y）2+（9﹣x）2，即2x﹣y2=9，故选B．点评#本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．二．填空题11．（4分）（2017•杭州）数据2，2，3，4，5的中位数是 3 ．分析#根据中位数的定义即中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，即可求出答案．解答#解：从小到大排列为：2，2，3，4，5，位于最中间的数是3，则这组数的中位数是3．故答案为：3．点评#本题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．12．（4分）（2017•杭州）如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB= 50°．分析#根据切线的性质即可求出答案．解答#解：∵AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，∴∠BAT=90°，∵∠ABT=40°，∴∠ATB=50°，故答案为：50°点评#本题考查切线的性质，解题的关键是根据切线的性质求出∠ATB=90°，本题属于基础题型．13．（4分）（2017•杭州）一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个是红球，1个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出都是红球的概率是．分析#根据题意画出相应的树状图，找出所有可能的情况个数，进而找出两次都是红球的情况个数，即可求出所求的概率大小．解答#解：根据题意画出相应的树状图，所以一共有9种情况，两次摸到红球的有4种情况，∴两次摸出都是红球的概率是，故答案为：．点评#此题考查了列表法与树状图，根据题意画出相应的树状图是解本题的关键．14．（4分）（2017•杭州）若•|m|=，则m= 3或﹣1 ．分析#利用绝对值和分式的性质可得m﹣1≠0，m﹣3=0或|m|=1，可得m．解答#解：由题意得，m﹣1≠0，则m≠1，（m﹣3）•|m|=m﹣3，∴（m﹣3）•（|m|﹣1）=0，∴m=3或m=±1，∵m≠1，∴m=3或m=﹣1，故答案为：3或﹣1．点评#本题主要考查了绝对值和分式的性质，熟记分式分母不为0是解答此题的关键．15．（4分）（2017•杭州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE ⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于78 ．分析#由勾股定理求出BC==25，求出△ABC的面积=150，证明△CDE∽△CBA，得出，求出CE=12，得出BE=BC﹣CE=13，再由三角形的面积关系即可得出答案．解答#解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，∴BC==25，△ABC的面积=AB•AC=×15×20=150，∵AD=5，∴CD=AC﹣AD=15，∵DE⊥BC，∴∠DEC=∠BAC=90°，又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CBA，∴，即，解得：CE=12，∴BE=BC﹣CE=13，∵△ABE的面积：△ABC的面积=BE：BC=13：25，∴△ABE的面积=×150=78；故答案为：78．点评#本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键16．（4分）（2017•杭州）某水果点销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降价为6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．若该店第二天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉30﹣千克．（用含t的代数式表示．）分析#设第三天销售香蕉x千克，则第一天销售香蕉（50﹣t﹣x）千克，根据三天的销售额为270元列出方程，求出x即可．解答#解：设第三天销售香蕉x千克，则第一天销售香蕉（50﹣t﹣x）千克，根据题意，得：9（50﹣t﹣x）+6t+3x=270，则x==30﹣，故答案为：30﹣．点评#本题主要考查列代数式的能力，解题的关键是理解题意，抓住相等关系列出方程，从而表示出第三天销售香蕉的千克数．三．解答题17．（6分）（2017•杭州）为了了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级50名学生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表组别（m）频数1.09～1.19 81.19～1.29 121.29～1.39 A1.39～1.49 10（1）求a的值，并把频数直方图补充完整；（2）该年级共有500名学生，估计该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的人数．分析#（1）利用总人数50减去其它组的人数即可求得a的值；（2）利用总人数乘以对应的比例即可求解．解答#解：（1）a=50﹣8﹣12﹣10=20，；（2）该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的人数是：500×=300（人）．点评#本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了样本估计总体．18．（8分）（2017•杭州）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点（1，0）和（0，2）．（1）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n=4，求点P的坐标．分析#利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；（1）利用一次函数增减性得出即可．（2）根据题意得出n=﹣2m+2，联立方程，解方程即可求得．解答#解：设解析式为：y=kx+b，将（1，0），（0，2）代入得：，解得：，∴这个函数的解析式为：y=﹣2x+2；（1）把x=﹣2代入y=﹣2x+2得，y=6，把x=3代入y=﹣2x+2得，y=﹣4，∴y的取值范围是﹣4≤y＜6．（2）∵点P（m，n）在该函数的图象上，∴n=﹣2m+2，∵m﹣n=4，∴m﹣（﹣2m+2）=4，解得m=2，n=﹣2，∴点P的坐标为（2，﹣2）．点评#本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，求得解析式上解题的关键．19．（8分）（2017•杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．分析#（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；（2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可知．解答#解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴=由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴，∴=点评#本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型．20．（10分）（2017•杭州）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．（1）设矩形的相邻两边长分别为x，y．①求y关于x的函数表达式；②当y≥3时，求x的取值范围；（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？分析#（1）①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用y≥3得出x的取值范围；（2）直接利用x+y的值结合根的判别式得出答案．解答#解：（1）①由题意可得：xy=3，则y=；②当y≥3时，≥3解得：x≤1，故x的取值范围是：0＜x≤1；（2）∵一个矩形的周长为6，∴x+y=3，∴x+=3，整理得：x2﹣3x+3=0，∵b2﹣4ac=9﹣12=﹣3＜0，∴矩形的周长不可能是6；所以圆圆的说法不对．∵一个矩形的周长为10，∴x+y=5，∴x+=5，整理得：x2﹣5x+3=0，∵b2﹣4ac=25﹣12=13＞0，∴矩形的周长可能是10，所以方方的说法对．点评#此题主要考查了反比例函数的应用以及一元二次方程的解法，正确得出y与x之间的关系是解题关键．21．（10分）（2017•杭州）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．分析#（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；（2）过点A作AH⊥BG，在Rt△ABH、Rt△AHG中，求出AH、HG即可解决问题．解答#解：（1）结论：AG2=GE2+GF2．理由：连接CG．∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于对角线BD对称，∵点G在BD上，∴GA=GC，∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，∴四边形EGFC是矩形，∴CF=GE，在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，∴AG2=GF2+GE2．（2）过点A作AH⊥BG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠GBF=45°，∵GF⊥BC，∴∠BGF=45°，∵∠AGF=105°，∴∠AGB=∠AGF﹣∠BGF=105°﹣45°=60°，在Rt△ABH中，∵AB=1，∴AH=BH=，在Rt△AGH中，∵AH=，∠GAH=30°，∴HG=AH•tan30°=，∴BG=BH+HG=+．点评#本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理直角三角形30度的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22．（12分）（2017•杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．分析#（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案；（3）根据二次函数的性质，可得答案．解答#解：（1）函数y1的图象经过点（1，﹣2），得（a+1）（﹣a）=﹣2，解得a1=﹣2，a2=1，函数y1的表达式y=（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y=x2﹣x﹣2；函数y1的表达式y=（x+1）（x﹣2）化简，得y=x2﹣x﹣2，综上所述：函数y1的表达式y=x2﹣x﹣2；（2）当y=0时（x+a）（x﹣a﹣1）=0，解得x1=﹣a，x2=a+1，y1的图象与x轴的交点是（﹣a，0），（a+1，0），当y2=ax+b经过（﹣a，0）时，﹣a2+b=0，即b=a2；当y2=ax+b经过（a+1，0）时，a2+a+b=0，即b=﹣a2﹣a；（3）当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而增大，（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，由m＜n，得0＜x0≤；当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而减小，由m＜n，得＜x0＜1，综上所述：m＜n，求x0的取值范围0＜x0＜1．点评#本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是把点的坐标代入函数解析式；解（3）的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．23．（12分）（2017•杭州）如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：ɑ30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．分析#（1）由圆周角定理即可得出β=α+90°，然后根据D是BC的中点，DE⊥BC，可知∠EDC=90°，由三角形外角的性质即可得出∠CED=α，从而可知O、A、E、B四点共圆，由圆内接四边形的性质可知：∠EBO+∠EAG=180°，即γ=﹣α+180°；（2）由（1）及γ=135°可知∠BOA=90°，∠BCE=45°，∠BEC=90°，由于△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，所以，根据勾股定理即可求出AE、AC的长度，从而可求出AB的长度，再由勾股定理即可求出⊙O的半径r；解答#解：（1）猜想：β=α+90°，γ=﹣α+180°连接OB，∴由圆周角定理可知：2∠BCA=360°﹣∠BOA，∵OB=OA，∴∠OBA=∠OAB=α，∴∠BOA=180°﹣2α，∴2β=360°﹣（180°﹣2α），∴β=α+90°，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴OE是线段BC的垂直平分线，∴BE=CE，∠BED=∠CED，∠EDC=90°∵∠BCA=∠EDC+∠CED，∴β=90°+∠CED，∴∠CED=α，∴∠CED=∠OBA=α，∴O、A、E、B四点共圆，∴∠EBO+∠EAG=180°，∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°，∴γ+α=180°；（2）当γ=135°时，此时图形如图所示，∴α=45°，β=135°，∴∠BOA=90°，∠BCE=45°，由（1）可知：O、A、E、B四点共圆，∴∠BEC=90°，∵△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，∴，∴，设CE=3x，AC=x，由（1）可知：BC=2CD=6，∵∠BCE=45°，∴CE=BE=3x，∴由勾股定理可知：（3x）2+（3x）2=62，x=，∴BE=CE=3，AC=，∴AE=AC+CE=4，在Rt△ABE中，由勾股定理可知：AB2=（3）2+（4）2，∴AB=5，∵∠BAO=45°，∴∠AOB=90°，在Rt△AOB中，设半径为r，由勾股定理可知：AB2=2r2，∴r=5，∴⊙O半径的长为5．点评#本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．。

2017年4月浙江省普通高中学业水平考试数学试题第Ⅰ卷（共54分）一、选择题：本大题共18个小题,每小题3分,共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4U =，若{}1,3A =，则U A =ð（ ）A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}2,42.已知数列1，a ，5是等差数列，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D 3.计算lg 4lg 25+=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．104.函数3x y =的值域为（ ）A ．(0,)+∞B ．[1,)+∞C ．(0,1]D ．(0,3]5.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =60A =︒ ，45B =︒，则b 的长为（ ）A ．2B ．1CD ．26.若实数10,20,x y x y -+>⎧⎨-<⎩则点(,)P x y 不可能落在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7.在空间中，下列命题正确的是（ ）A ．若平面α内有无数条直线与直线l 平行，则//l αB ．若平面α内有无数条直线与平面β平行，则//αβC ．若平面α内有无数条直线与直线l 垂直，则l α⊥D ．若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则αβ⊥8.已知θ锐角，且3sin 5θ=，则sin(45)θ+︒=（ ）A ．10B ．10-C ．10D ．10-9.直线y x =被圆22(1)1x y -+=所截得的弦长为（ ）A ．2B ．1CD ．210.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121n n S a +=+，*n N ∈，则3a =（ ）A ．3B ．2C ．1D ．011.如图，在三棱锥A BCD -中，侧面ABD ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，4AB AD ==，6BC =，BD = ）12.在第11题的三棱锥A BCD -中，直线AC 与底面BCD 所成角的大小为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒13.设实数a ，b 满足||||a b >，则“0a b ->”是“0a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 14.过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左顶点A 作倾斜角为45︒的直线l ，l 交y 轴于点B ，交双曲线的一条渐进线于点C ，若AB BC =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．5BC D15.若实数a ，b ，c 满足12b a <<<，108c <<，则关于x 的方程20ax bx c ++=（ ） A ．在区间()1,0-内没有实数根 B ．在区间()1,0-内有一个实数根，在()1,0-外有一个实数根C ．在区间()1,0-内有两个相等的实数根D ．在区间()1,0-内有两个不相等的实数根16.如图（1），把棱长为1的正方体沿平面11AB D 和平面11A BC 截去部分后，得到如图（2）所示几何体，该几何体的体积为（ ）A ．34B ．1724C ．23D ．1217.已知直线22(2)0x y y λ+++-=与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为()S λ，当(0,)λ∈+∞时，()S λ的最小值是（ ）A ．12B ．10C ．8D ．418.已知函数2()f x x ax b =++（a ，b R ∈），记集合{}|()0A x R f x =∈≤，{}|(()1)0B x R f f x =∈+≤，若A B =≠∅，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]4,4-B ．[]2,2-C ．[]2,0-D ．[]0,4第Ⅱ卷（共46分）二、填空题（每空3分，满分15分，将答案填在答题纸上）19.设向量(1,2)a =，(3,1)b =，则a b +的坐标为 ，a b ⋅= ．20.椭圆2213x y +=两焦点之间的距离为 ．21.已知a ，b R ∈，且1a ≠-，则1||||1a b b a ++-+的最小值是 ． 22.设点P 是边长为2的正三角形ABC 的三边上的动点，则()PA PB PC ⋅+的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共3小题，共31分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）23.已知函数2()2cos 1f x x =-，x R ∈． （Ⅰ）求()6f π的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅲ）设()()24g x f x x π=-+，求()g x 的值域．24.已知抛物线C ：22y px =过点(1,1)A ．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点(3,1)P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点（均与点A 不重合）．设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值．25.已知函数()3|||1|f x x a ax =-+-，其中a R ∈．（Ⅰ）当1a =时，写出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 为偶函数，求实数a 的值；（Ⅲ）若对任意的实数[]0,3x ∈，不等式()3||f x x x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．。

浙江省2021年4月普通高中学业水平考试数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{1.2,3,4}U =,若{1,3}A =,则U A ( ) A ．{}1,2 B ．{}1,4 C ．{}2,3D ．{}2,4 2．已知数列1,,5a 是等差数列,则实数a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D 3．计算lg 4lg 25+=( )A ．2B ．3C ．4D ．10 4．函数3x y =的值域为（ ）A ．()0,∞+B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．(]0,35．在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若a =60A ︒=,45B ︒=,则b 的长为( )A ．2B ．1CD ．2 6．若实数,x y 满足1020x y x y -+>⎧⎨-<⎩，则点(),P x y 不可能落在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7．在空间中,下列命题正确的是( )A ．若平面α内有无数条直线与直线l 平行,则l ∥αB ．若平面α内有无数条直线与平面β平行,则α∥βC ．若平面α内有无数条直线与直线l 垂直,则l α⊥D ．若平面α内有无数条直线与平面β垂直,则αβ⊥8．已知θ为锐角，且3sin 5θ=，则sin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．10B ．10-C ．10±D ．10- 9．直线y x =被圆()2211x y -+=所截得的弦长为（ ）A ．2B ．1CD ．210．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*121,n n S a n N +=+∈，则3a =（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．011．如图在三棱锥A BCD -中，侧面ABD ⊥底面BCD ，,4BC CD AB AD ⊥==，6,BC BD ==，该三棱锥三视图的正视图为（ ）A ．B ．C ．D ． 12．如图，在三棱锥A BCD -中，侧面ABD ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，AB AD 4==，BC 6=，BD =AC 与底面BCD 所成角的大小为( )A ．30B ．45C ．60D ．9013．设实数,a b 满足a b >，则“0a b ->”是“0a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．过双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的左顶点A 作倾斜角为4π的直线l ，l 交y 轴于点B ，交双曲线的一条渐近线于点C ，若AB BC =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．5BCD 15．若实数,,a b c 满足11208b ac <<<<<，，则关于x 的方程20ax bx c ++=（ ） A ．在区间()10-，内没有实数根 B ．在区间()10-，内有一个实数根，在()10-，外有一个实数根 C ．在区间()10-，内有两个相等的实数根 D ．在区间()10-，内有两个不相等的实数根 16．如图1，把棱长为1的正方体沿平面11AB D 和平面11A BC 截去部分后，得到如图2所示几何体，该几何体的体积为（ ）A ．34B ．1724C ．23D ．1217．已知直线()2220x y y λ+++-=与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为()S λ.当()1,λ∈+∞时，()S λ的最小值为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6 18．已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈，记集合(){}|0A x R f x =∈≤，()(){}|10B x R f f x =∈+≤，若A B =≠∅，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]4,4-B ．[]22-,C ．[]2,0-D ．[]0,4二、双空题 19．设向量()12a =，，()31b =，，则a b +的坐标为________，a b ⋅=____________三、填空题20．椭圆2213x y +=两焦点之间的距离为______. 21．已知,a b ∈R ，且1a ≠-，则11a b b a ++-+的最小值是_______________ 22．设点P 是边长为2的正三角形ABC 的三边上的动点，则()PA PB PC ⋅+的取值范围为______四、解答题23．已知函数2()2cos 1,f x x x R =-∈（1）求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期；（3）设()24g x f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求()g x 的值域 24．已知抛物线C ；22y px =过点()1,1A ．()1求抛物线C 的方程；()2过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)，设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值．25．已知函数()31x a ax f x =-+-，其中a R ∈（1）当1a =时，写出函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 为偶函数，求实数a 的值；（3）若对任意的实数[]03x ∈，，不等式3()f a x x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．D【解析】【分析】根据补集定义,即可求得答案.【详解】U=,{1,3}A={1.2,3,4}A∴{2,4}U故选:D.【点睛】本题主要考查了补集运算,解题关键是掌握补集概念,考查了分析能力,属于基础题.2．B【分析】根据等差中项公式,即可求得答案.【详解】a是等差数列,数列1,,5a=+根据等差中项公式可得:215a=.解得:3故选:B.【点睛】本题主要考查了等差中项,解题关键是掌握等差数列基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.3．A【分析】根据对数运算,即可求得答案.【详解】lg4lg25lg425lg1002+=⨯==+=∴lg4lg252故选:A.【点睛】本题主要考查了对数运算,解题关键是掌握对数运算基础知识,考查了计算能力,属于基础题. 4．A【分析】由于30x >，由此求得函数3x y =的值域．【详解】解：∵由于30x >，∴函数3xy =的值域为()0,∞+， 故选：A ．【点睛】本题主要考查指数函数的值域，属于基础题．5．C【分析】利用正弦定理,结合已知条件,即可求得答案.【详解】在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c且a =60A ︒=,45B ︒= 由正弦定理sin sin a b A B= 得:sin sin a B b A=== 故选:C.【点睛】本题主要考查了根据正弦定理解三角形,解题关键是掌握正弦定理,考查了计算能力,属于基础题.6．D【分析】P x y不可能落在的象限.根据不等式组，画出可行域，即可判断点(),【详解】由不等式组，画出可行域如下图所示：P x y不可能落在第四象限，由图示可知，点(),故选：D.【点睛】本题考查了二元一次不等式表示的区域，属于基础题.7．D【分析】根据线面平行判定和面面平行判定,及其面面垂直判定,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,当l⊂平面α,此时α内有无数条直线与l直线平行,此时l不平行α,故A错误;对于B,当平面α与平面β相交时,也满足平面α内有无数条直线与平面β平行,故B错误; 对于C,根据线面垂直判断定理:如果一条直线垂直一个平面内的两条相交线,那么这条线垂直这个平面,所以平面α内有无数条相互平行的直线与直线l垂直,不能判定l垂直与平面α,故C错误;对于D,根据面面垂直判断定理:如果一个平面过另一个平面的一条垂线,那么这个两个平面相互垂直,故D正确.故选:D.【点睛】解题关键是掌握立体几何的基础知识,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.8．A【分析】 根据同角三角函数关系式，3sin 5θ=及θ为锐角可求得cos θ.由正弦和角公式展开sin 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即可求解. 【详解】θ为锐角，且3sin 5θ=由同角三角函数关系式可得cos 45θ===， 根据正弦和角公式可得sin sin cos sin cos 444θθθπππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭34525210=⨯+⨯= 故选：A.【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用，正弦和角公式的简单应用，属于基础题. 9．C【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，根据点到直线距离公式可得d ，再由垂径定理及弦长关系即可求得所截弦长.【详解】圆()2211x y -+=，所以圆心()1,0，半径1r =，由点到直线距离公式可得圆心到直线0x y -=的距离为2d ==，所以直线y x =被圆()2211x y -+=所截得的弦长为2= 故选：C.本题考查了直线与圆相交的弦长求法，垂径定理的应用，属于基础题.10．B【分析】根据递推公式，分别代入1n =和2n =，即可由等量关系求得3a 的值.【详解】因为*121,n n S a n N +=+∈，则当1n =时，代入可得2121S a =+，即12121a a a +=+，所以211a a =+，当2n =时，代入可得3221,S a =+即123221a a a a ++=+，即3211a a a -=+， 所以3112a =+=，故选：B.【点睛】本题考查了数列前n 项和公式的应用，递推公式求项的应用，属于基础题.11．C【分析】根据三棱锥的棱长可知正视图为等腰三角形，由底面BC CD ⊥及线段关系可求得C 在BD 上投影CE 的长，进而由勾股求得ED ，即可判断选项.【详解】三棱锥A BCD -中，4AB AD ==，所以正视图为等腰三角形，侧面ABD ⊥底面BCD ，,BC CD ⊥6,BC BD ==所以由勾股定理可得CD ===设C 在BD 上投影为E ，由等面积法可知CE BD BC CD ⋅=⋅，代入可得3BC CD CE BD ⋅===，所以ED ==【点睛】本题考查了三棱锥的三视图应用，根据线段关系判断投影点的位置，属于基础题. 12．A【分析】取BD 中点,可证AE BCD ⊥面，ACE ∠为直线AC 与底面BCD 所成角．【详解】取BD 中点，由AB AD 4==，AE BD ⊥，又侧面ABD ⊥底面BCD ，所以AE BCD ⊥面． 所以ACE ∠为直线AC 与底面BCD 所成角．2,tan 3AE BD AE CE EC θ=====,所以030θ=．选A.【点睛】本题考查线面角，用几何法求线面角要一作、二证、三求，要有线面垂直才有线面角． 13．C【分析】先将条件进行变形，可得()()0a b a b -+>.再根据充分必要条件分别判断即可.【详解】 因为a b >，即22a b >，所以220a b ->，则()()0a b a b -+>，若0a b ->，则0a b +>，所以是充分条件；若0a b +>，则0a b ->，所以是必要条件，综上可知，“0a b ->”是“0a b +>”的充要条件，故选：C本题考查了充分必要条件的判断，根据不等式性质对不等式变形及应用，属于基础题. 14．B【分析】由题意画出双曲线中几何关系，根据直线倾斜角及AB BC =可求得C 的坐标，代入渐近线方程，结合双曲线中,,a b c 关系化简即可求得双曲线离心率.【详解】根据题意，画出双曲线中的几何关系如下图所示：设双曲线右顶点为D ，连接CD ， 由双曲线定义可知OA OD a ==，直线l 的倾斜角为4π，所以OA OB a ==， 由AB BC =可知B 为AC 中点，所以OB 为ADC ∆中位线，则22CD OB a ==，且CD AD ⊥，所以点C 的坐标为(),2C a a ， 双曲线渐近线方程为b y x a=，将点(),2C a a 带入可得2a b =， 即2222a b c a b=⎧⎨=+⎩化简可得225c a = ，所以c e a== 故选：B本题考查了双曲线的标准方程及几何性质的简单应用，三角形中位线定理的应用，双曲线渐近线及离心率的综合应用，属于中档题.15．D【分析】由方程与函数的关系可()2f x ax bx c =++，求得()00f c =>，()10f a b c -=-+>，及240b ac ∆=->和()1,02b x a=-∈-，即可由二次函数的性质判断零点情况，即为方程解的情况.【详解】 关于x 的方程20ax bx c ++=，令()2f x ax bx c =++，实数,,a b c 满足11208b ac <<<<<，， 则()00f c =>，()10f a b c -=-+>，由实数,,a b c 满足11208b a c <<<<<，， 所以041ac <<，21b >，因而240b ac ∆=->， 对称轴为()1,02b x a=-∈-， 所以由二次函数性质可知()2f x ax bx c =++在()10-，内有两个零点， 即关于x 的方程20ax bx c ++=在区间()10-，内有两个不相等的实数根， 故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，函数零点的判断方法，属于基础题. 16．B【分析】将正方体分割后，截去部分为111A A B D V -和111B A B C V -，但重复截取了11N A B M V -，所以剩余的体积为111111111111ABCD A B C D A A B D B A B C N A B M V V V V ------+，即可由正方体的体积公式和三棱锥的体积公式求解.【详解】将棱长为1的正方体沿平面11AB D 和平面11A BC 截去部分后，由几何体的结构可知分别截去了111A A B D V -和111B A B C V -，但重复截取了11N A B M V -，所以剩余部分的体积为111111111111ABCD A B C D A A B D B A B C N A B M V V V V ------+11111111111111323232222⎛⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111171662424=--+= 故选:B【点睛】本题考查了空间几何体的结构特征，三棱锥体积的求法，对空间想象能力要求较高，属于中档题.17．C【分析】求出直线与两坐标轴的交点坐标，可得出()S λ的表达式，然后利用基本不等式可求出()S λ的最小值.【详解】在直线()2220x y y λ+++-=的方程中，令0x =，得()2101y λλ+=>-；令0y =，可得()10x λ=-+<. ()()()()()()22122111411421111S λλλλλλλλλλ-+⎡⎤++⎣⎦∴=⨯+⨯===-++----48≥=，当且仅当3λ=时，等号成立， 因此，()S λ的最小值为8.故选：C.本题考查直线与坐标轴围成的三角形面积的最值的计算，解题的关键就是求出直线与两坐标轴的交点坐标，考查计算能力，属于中等题.18．B【分析】先根据A,B 解集的关系求得0f x的根，再根据不等式恒成立解得实数a 的取值范围.【详解】 A ≠∅∴可设(){}{}1212|0=|,A x R f x x R x x x x x =∈≤∈≤≤≤，则12,x x 为方程()20f x x ax b =++=的两个根，()(){}(){}(){}1212|10|1|11B x R f f x x R x f x x x R x f x x =∈+≤=∈≤+≤=∈-≤≤- 因为A B =，所以()2110,1x x f x -=-≤恒成立，因此21221,x x x b x b ==∴=由()11x f x -≤恒成立得2201,1x ax b x ax b ++++≤≥-恒成立，即24022a a ∆=-≤∴-≤≤故选：B【点睛】本题考查二次函数、二次方程与二次不等式关系，考查综合分析求解能力，属较难题.19．()43，5 【分析】根据向量坐标的加法运算可得a b +，由向量数量积的坐标运算可得a b ⋅.【详解】向量()12a =，，()31b =，，则由向量加法的坐标运算可得()43a b +=，， 由数量积的坐标运算可得13215a b ⋅=⨯+⨯=，故答案为：()43，；5本题考查了平面向量坐标加法运算，平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.20．【分析】求出椭圆的焦距即可.【详解】由题得2312,2c c c =-=∴=∴=故答案为：【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．1【分析】根据绝对值三角不等式化简，结合基本不等式即可求得最小值.确定取等号的条件，进而确定b 的范围即可.【详解】 由绝对值三角不等式，化简11a b b a ++-+， 可知111111a b b a b b a a a a ++-≥++-=++++， 而1112111a a ++-≥-=+， 当且仅当111a a +=+，即0a =，时取等号， 此时11b b +-≤，解得01b ≤≤，所以当0a =，01b ≤≤时取得最小值为1，故答案为：1【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，基本不等式求最值，基本不等式成立的条件，属于中档题.22．9,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】以AB 中点为坐标原点，建立平面直角坐标，写出各个点的坐标，分别讨论点P 在,,AB CB AC 上.写出P 点坐标，由平面向量的坐标表示分别表示出,,PA PB PC ，结合平面向量数量积的坐标运算求得()PA PB PC ⋅+，再根据二次函数的性质即可求得取值范围.【详解】根据题意，以AB 中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标：正三角形ABC 的边长为2，则()()(1,0,1,0,A B C -，点P 是ABC 三边上的动点， ①，当P 在线段AB 上时，设()(),0,11P t t -≤≤，则()()(1,0,1,0,,PA t PB t PC t =--=-=-所()PA PB PC ⋅+ ()()(1,01,0t t t ⎡⎤=--⋅-+-⎣⎦ ()()112t t =--⋅-219248t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(),11t -≤≤ 所以当14t =-时取得最小值为98-；当1t =时取得最大值为2.②，当P 在线段CB 上时，直线CB 的方程为y =设((),,01P m m ≤≤， 则()()()1,33,1,33,,3PA m m PB m m PC m =---=--=-，所()PA PB PC ⋅+ ((()11m m m ⎡⎤=--⋅--+-⎣⎦ ((112m m =--⋅-- 2182m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(),01m ≤≤ 所以当12m =时取得最小值为0；当1m =或0m =时取得最大值为2. ③，当P 在线段AC 上时，直线AC 的方程为y =+设((),10P n n +-≤≤，则()()()1,33,1,33,,PA n n PB n n PC n =----=---=--，所()PA PB PC ⋅+， ((()1,1,,n n n ⎡⎤=--⋅-+-⎣⎦， ((1,12,n n =--⋅--， 259888n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(),10n -≤≤， 所以当58n =-时取得最小值为98-；当0n =时取得最大值为2. 综上可知，()PA PB PC ⋅+的取值范围为9,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故答案为：9,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了平面向量在平面直角坐标系中的应用，由坐标法研究向量的数量积，分类讨论思想的综合应用，计算量大，属于难题.23．（1）12（2）π（3）[2,2]- 【分析】（1）根据余弦降幂公式化简函数()f x ，代入即可求得6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）根据化简的()f x 解析式，结合周期公式即可求解；（3）将解析式代入可得()g x 的解析式，化简后结合正弦函数的图像与性质即可求得()g x 的值域.【详解】（1）函数2()2cos 1,f x x x R =-∈， 化简可得()cos 2f x x =，1cos 632f ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭， （2）由周期公式2T πω= 代入可得最小正周期为22T ππ==，（3）()24g x f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()cos 222g x x x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭sin 22x x =12sin 2cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 由正弦函数的图像与性质可知()[2,2]g x ∈-.【点睛】本题考查了余弦函数的降幂公式，最小正周期的求法，诱导公式及辅助角公式化简三角函数式，正弦函数图像与性质的应用，属于基础题.24．（1）2y x =．（2）见解析．【分析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；（2）设过点P （3，﹣1）的直线MN 的方程为()13x t y =++，代入y 2=x 利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k 1•k 2的值．【详解】（1）由题意得21p =，所以抛物线方程为2y x =．（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为()13x t y =++，代入抛物线方程得230y ty t ---=．所以()2280t ∆=++>，12y y t +=，123y y t =--． 所以()()121212221212121212111111111111111312y y y y k k x x y y y y y y y y t t ----⋅=⋅=⋅====-----+++++--++, 所以1k ，2k 是定值．【点睛】求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．25．（1）()f x 单调递增区间为()1,+∞，()f x 单调递减区间为(),1-∞.（2）0a =（3）199⎡⎢⎣⎦【分析】（1）将1a =代入解析式，即可根据绝对值函数的图像与性质判断出单调区间.（2）根据偶函数性质，可知必有()()11f f =-，即可解得a 的值，再代入检验即可. （3）将解析式代入化简不等式，讨论[]0,1x ∈与(]1,3x ∈两种情况.再当(]1,3x ∈时，对a 分类讨论，结合不等式恒成立的条件即可求得a 的取值范围.【详解】（1）函数()31x a ax f x =-+-，将1a =代入可得()11431x x x f x ==-+--，由绝对值函数图像可知，当1x >时()f x 单调递增，当1x <时()f x 单调递减，所以()f x 单调递增区间为()1,+∞，()f x 单调递减区间为(),1-∞，（2）函数()f x 为偶函数，则满足()()11f f =-， 即311311a a a a -+-=--+--， 所以4141a a -=+，解得0a =，将0a =代入解析式可得()31f x x =+，符合题意，（3）对任意的实数[]03x ∈，，不等式3()f a x x x ≥-恒成立， 则对任意的实数[]03x ∈，，不等式313x a ax x x a -+-≥-恒成立， 化简可得()3310x x a ax -⋅-+-≥，①，当[]0,1x ∈时，()330x -≥，所以()3310x x a ax -⋅-+-≥恒成立，即此时a R ∈，②，当(]1,3x ∈时，不等式可化为()()331x x a ax --≤-，令()()()()31,3x x a g x h x ax =--=-，当13a 时，101a<<，()331x x a ax --≤-， 即有()()33g h ≤， 即6331a a -≤-，解不等式可得1939a ≤≤，当3a >时，即有()()331x a x ax --≤-，化简可得()2323310x a x a -++-≥，令()()22312310a a ∆=+-+=，解得a = 或a =（舍），可得3a <≤， 当1a =时，可得()3311x x x --≤-不能恒成立；当01a <<时，11a>，要使得()()g x h x ≤，只需()()33g h ≤， 即()6331a a ⨯-≤--，解得193a ≥，不合题意舍去， 当0a ≤时，要使得()()g x h x ≤，只需()()33g h ≤，即()6331a a ⨯-≤-，解得199a ≥，不合题意舍去，综上可得a 的取值范围为196,92⎡+⎢⎣⎦【点睛】本题考查了绝对值函数的单调性与奇偶性的综合应用，根据不等式恒成立求参数的取值范围，分类讨论思想的综合应用，属于难题.。