高中数学必修4第一章1.1.2--弧度制和弧度制与角度制的换算

1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
一、教学目标
1．知识目标：
①了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.
②认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.
2. 能力目标：
①了解弧度制引入的必要性及弧度制与角度制的区别与联系.
②了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.
③通过角度制与弧度制的换算，对学生进行算法训练，提高学生的计算能力.
3．情感目标：使学生认识到角度制、弧度制都是角的度量制度，二者虽单位不同，但是二者相互联系、辩证统一. 进一步加强学生对辩证统一思想的理解. 二、教学重点、难点
重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.
难点：弧度的概念及其与角度的关系.
三、教学方法
自学—讨论—讲授—练习
先由学生自学，而后教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.。

弧度制和弧度制与角度制的换算教学设计一、内容分析：1、教材的地位与作用《弧度制和弧度制与角度制的换算》是普通高中课程标准实验教科书人教B 版必修四第一章第一单元第二节的内容。

本节课起着承上启下的作用——学生在初中已经学习过角的度量单位“度”并且上节课学了任意角的概念，学生已掌握了一些基本单位转换方法，并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便；本节课的知识还为后继学习任意角的三角函数等知识做铺垫。

通过本节课的学习，我们很容易找出与角对应的实数并且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单的形式。

另外弧度制为今后学习三角函数带来很大方便。

同时通过本节课学习学生可以认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是是相互联系、辩证统一的。

2、教学重点和难点教学重点：角度与弧度的换算，弧长公式、扇形面积公式的应用教学难点：弧度制的概念的理解二、目标分析根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下：1.知识与技能：理解弧度制的概念，会进行弧度与角度之间的互化。

2.过程与方法：通过控制变量法以及类比法建立对弧度制概念的理解。

3.情感态度与价值观：通过弧度制的学习，体会不同表象下相同事物的本质。

三、教法分析根据上述教材分析和目标分析，贯彻诱思探究教学原则，体现以教师为主导，学生为主体的教学思想，深化课堂教学改革，确定本课主要的教法为：1、计算机辅助教学借助多媒体教学手段引导学生直观感受当半径不同时，扇形弧长以及弧长和半径的比值，并引导学生进行讨论；利用多媒体向学生展示不同的例题以及课堂练习，使学生能够直观观察。

2、讨论式教学在引入新课时，通过观察表格让学生分组讨论、交流、总结，说出当半径不同时，扇形弧长以及弧长和半径的比值，并给予一定的指导。

在计算特殊角的弧度数时，让学生分组进行，保证每一位学生能够练习到，也保证课堂的进度。

1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1．角度制与弧度制的定义(1)角度制：用度作单位来度量角的制度叫做角度制．角度制规定60分等于1度，60秒等于1分．(2)弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制．2．角的弧度数的计算在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对圆心角为α rad ，则α＝lr . 3．角度与弧度的互化4．一些特殊角与弧度数的对应关系思考1：某同学表示与30°角终边相同的角的集合时写成S ＝{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z }，这种表示正确吗？为什么？[提示] 这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则产生混乱，正确的表示方法应为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π6，k ∈Z或{α|α＝k ·360°＋30°，k ∈Z }． 5．扇形的弧长与面积公式设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则思考2：在弧度制下的扇形面积公式S ＝12lr 可类比哪种图形的面积公式加以记忆？[提示] 此公式可类比三角形的面积公式来记忆．1．1 080°等于( ) A ．1 080 B ．π10 C ．3π10D ．6πD [1 080°＝180°×6，所以1 080°化为弧度是6π.] 2．与角23π终边相同的角是( ) A ．113πB ．2k π－23π(k ∈Z ) C ．2k π－103π(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋23π(k ∈Z )C[选项A中11π3＝2π＋53π，与角53π终边相同，故A项错；2kπ－23π，k∈Z，当k＝1时，得[0,2π)之间的角为43π，故与43π有相同的终边，B项错；2kπ－103π，k∈Z，当k＝2时，得[0,2π)之间的角为23π，与23π有相同的终边，故C项对；(2k＋1)π＋23π，k∈Z，当k＝0时，得[0,2π)之间的角为53π，故D项错．]3．圆心角为π3弧度，半径为6的扇形的面积为________．6π[扇形的面积为12×62×π3＝6π.]A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的1360，1 rad的角是周角的12πC．1 rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关[思路探究]由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手．D[根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C 项均为真命题．]弧度制与角度制的区别与联系1．下列各说法中，错误的说法是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 [答案] D【例2】 设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝35π，β2＝－73π. (1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角．[思路探究] 由题目可获取以下主要信息：(1)用角度制给出的两个角－570°，750°，用弧度制给出的两个角35π，－73π； (2)终边相同的角的表示．解答本题(1)可先将－570°，750°化为弧度角再将其写成2k π＋α(k ∈Z,0≤α<2π)的形式，解答(2)可先将β1、β2用角度制表示，再将其写成β＋k ·360°(k ∈Z )的形式．[解] (1)要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2k π＋α0(k ∈Z,0≤α0<2π)的形式，由α0所在象限即可判定出α所在的象限．α1＝－570°＝－196π＝－4π＋56π， α2＝750°＝256π＝4π＋π6.∴α1在第二象限，α2在第一象限． (2)β1＝3π5＝108°，设θ＝β1＋k ·360°(k ∈Z )， 由－720°≤θ<0°，得－720°≤108°＋k ·360°<0°， ∴k ＝－2或k ＝－1，∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°. 同理β2＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°.角度制与弧度制的转换中的注意点(1)在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键.由它可以得：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数. (2)特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记.(3)在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如α＝2k π＋30°，k ∈Z 是不正确的写法.(4)判断角α终边所在的象限时，若α[－2π，2π]，应首先把α表示成α＝2k π＋β，β∈[－2π，2π]的形式，然后利用角β终边所在的象限来确定角α终边所在的象限.2．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．[解] 因为30°＝π6 rad,210°＝7π6 rad ，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，而终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z.1.用公式|α|＝lr 求圆心角时，应注意什么问题？[提示] 应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？[提示] 若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错．【例3】 (1)设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1 radB ．2 radC ．3 radD ．4 rad(2)已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？[思路探究] (1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得；(2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解．(1)B [设扇形半径为r ，弧长为l ，由题意得⎩⎨⎧2r ＋l ＝8，12l ·r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝4，r ＝2，则圆心角α＝lr ＝2 rad.](2)解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S .则l ＝20－2r ，∴S ＝12lr ＝12(20－2r )·r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25(0＜r ＜10)． ∴当半径r ＝5 cm 时，扇形的面积最大，为25 cm 2. 此时α＝l r ＝20－2×55＝2 rad.∴当它的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大，最大值为25 cm 2.(变条件)弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l ＝|α|r ，S ＝12αr 2和S ＝12lr ；(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式； (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.(教师用书独具)1．释疑弧长公式及扇形的面积公式(1)公式中共四个量分别为α，l ，r ，S ，由其中的两个量可以求出另外的两个量，即知二求二．(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是α为弧度制．(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用： ①l ＝α·r ，α＝l r ，r ＝l α；②S ＝12αr 2，α＝2Sr 2. 2．角度制与弧度制的比较1．把56°15′化为弧度是( ) A.5π8 B.5π4 C.5π6D.5π16D[56°15′＝56.25°＝2254×π180＝5π16.]2．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为()A.403π B.203πC.2003π D.4003πA[240°＝240×π180rad＝43π rad，∴弧长l＝α·r＝43π×10＝403π，选A.]3．将－1 485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________．－10π＋74π[由－1 485°＝－5×360°＋315°，所以－1 485°可以表示为－10π＋74π.]4．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数．[解]设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则2r＋l＝4. ①由扇形的面积公式S＝12lr，得12lr＝1. ②由①②得r＝1，l＝2，∴α＝lr＝2 rad.∴扇形的圆心角为2 rad.。

人教版高中必修4(B版)1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算教学设计一、教学目标1.知道角度、弧度的概念和联系，掌握它们之间的换算方法；2.能够根据题目要求选用适当的换算方法；3.加强学生对角度、弧度的理解，培养建立与弧度制有关的三角函数的意识。

二、教学重难点1.教学重点：弧度制和角度制的概念及它们之间的换算方法；2.教学难点：三角函数与弧度制的联系。

三、教学思路1. 学生已经掌握的知识和技能学生已经通过初中的数学学习了基本的角度概念以及相关的计算方法，为了更好地教授高中数学中的相关知识，教师应该让学生复习和回顾初中阶段与角度相关的内容。

2. 教学安排和教学过程2.1 引入教师可以让学生举一些实际生活中与角度相关的例子，比如说，做偏差角的机翼、运动员完成规定道路的转弯等。

从而让学生感受到角度这个概念的实际应用价值。

2.2 角度制与弧度制的概念通过引入，让学生明白角度的概念一种量度方式。

接着，教师带领学生了解弧度制，之后让学生进行弧度制与角度制之间的换算。

2.3 弧度制和角度制的换算方法在明白弧度制和角度制的概念之后，学生已经能够知道弧度和角度之间的关系，接下来教师应该发放一些练习题让学生进行实践操作，通过多次进行代入计算，让学生掌握角度与弧度之间的换算方法。

2.4 弧度制与三角函数关系在学生掌握了角度制与弧度制的换算方法之后，再教授三角函数，让学生通过计算角度的办法计算弧度，再用计算的弧度进行三角函数的计算，从构建关系的角度全方面地帮助学生理解弧度制与三角函数关系。

四、教学方法1.课堂教学法：以多种形式进行讲解和演示，激发学生的思考和互动；2.讨论和探究法：通过学生的自主探究和合作探究，让学生加深对知识的理解；3.练习和测试法：让学生在课堂和课后进行练习，加深对知识的掌握。

五、教学评估1.通过课堂练习和作业批改来检查学生对知识的掌握情况；2.通过课后作业的布置，能够让学生巩固知识、深化理解；3.通过课后反馈，了解学生的学习进展和困难。