北京师范大学大兴附属中学第一学期高二理科期中数学试题(word版)

大兴区2019～2020学年度第一学期期中检测试卷高二数学一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设a b >，则一定成立的是（ ）A. 22a b >B.> C.11a b< D.2a b b +>【答案】D 【解析】 【分析】通过取特殊值，即可判断出ABC 的正误，利用不等式的性质即可判断出D 的正误． 【详解】因为a b >，选项A 中，取1a =-，2b =-，可知22a b <，因此不正确；选项B 中，取1a =-，2b =-不存在，因此不正确； 选项C 中，取1a =，2b =-，可知11a b>，因此不正确； 选项D 中，由a b >，根据不等式的性质，可知2a b b +>正确. 故选：D.【点睛】本题考查了不等式的基本性质、特殊值法判断不等式是否成立，属于简单题. 2.若数列{}n a 满足1n n n a a +-=，12a =，则4a =（ ） A. 6 B. 7C. 8D. 9【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推关系，逐步求解，得到答案. 【详解】因为1n n n a a +-=，12a =，所以2113a a =+=，3225a a =+=，4338a a =+= 故选：C.【点睛】本题考查根据数列递推公式求数列中的项，属于简单题. 3.若0a >，0b >，且1a b +=，则ab 的最大值为（ ） A.18B.14C.13D.12【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式，求出ab 的最大值，得到答案. 【详解】因为0a >，0b >，且1a b +=，122a b +=， 所以14ab ≤，当且仅当12a b ==时，等号成立.故选：B.【点睛】本题考查根据基本不等式求积的最大值，属于简单题. 4.若数列{}n a 满足()11n a n n =+，则{}n a 的前n 项和为（ ）A.1n n - B.22n n- C.1n n + D.21nn + 【答案】C 【解析】 【分析】 由()11111n a n n n n ==-++，根据裂项相消法求出其前n 项的和.【详解】因为()11111n a n n n n ==-++所以{}n a 前n 项和11111112231n S n n =-+-+⋅⋅⋅+-+1111nn n =-=++. 故选：C.【点睛】本题考查裂项相消法求数列的和，属于简单题.5.设,,x a b 是任意实数，则“22x a b >+”是“2x ab >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式和取特殊值，分别判断充分性和必要性，从而得到答案. 【详解】根据基本不等式可知222a b ab +≥， 所以由22x a b >+可以得到2x ab >，当1x =，1a =，0b =时，满足2x ab >，但不满足22x a b >+ 所以由2x ab >不能得到22x a b >+，所以“22x a b >+”是“2x ab >”的充分而不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查基本不等式的应用，充分而不必要条件的判断，属于简单题.6.已知地球运行的轨道是焦距为2c ，离心率为e 的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最小距离为（ ） A. ce c -B. 22ce c -C.c c e- D.22cc e- 【答案】C 【解析】 【分析】根据离心率得到椭圆的a ，根据椭圆的几何性质，得到最小距离，从而得到答案. 【详解】因为地球椭圆轨道的焦距为2c ，离心率为e ， 所以由c e a =，得c a e=， 而太阳在这个椭圆的一个焦点上， 所以地球到太阳的最小距离为ca c c e-=-.故选：C.【点睛】本题考查椭圆离心率的定义，椭圆上的点到焦点的距离，属于简单题.7.若椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的右焦点(c,0)F 关于直线c y x b =的对称点在此椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）A.13B.12C.D.2【答案】D 【解析】 【分析】利用直线斜率以及对称点的性质，求出Q 到两焦点的距离，再利用椭圆的性质可求出b 与c 之间的关系，然后求解离心率，得到答案.【详解】设椭圆的左焦点为()1,0F c -，连接1QF ，QF ， 设QF 与直线cy x b=交于点M ， 由题意可知M 为线段QF 的中点， 所以1//FQ OM ， 又因OM FQ ⊥，所以1F Q QF ⊥，12FQ OM =， 在Rt MOF ∆中，tan MF c MOF OM b ∠==，OF c =，可得bc OM a =，2c MF a=， 故222c QF MF a==，122bc QF OM a ==，根据椭圆的定义，得12QF QF a +=，即2222bc c a a a+=，得b c =，所以a ==，所以椭圆离心率2c e a ==. 故选：D.【点睛】本题考查椭圆的定义和几何性质，点关于直线的对称点，属于中档题.8.若,a b 是函数2()(0,0)f x x mx n m n =++<>的两个不同的零点，且,,1a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则m n +=（ ） A. 32-B. 1-C.12D.72【答案】A 【解析】 【分析】根据,a b 是函数()f x 的零点，得到,a b 的大小关系，从而得到,,1a b -成等差数列和等比数列的情况，得到关于,a b 的方程，求出,a b 的值，从而得到m n +【详解】因为,a b 是函数2()(0,0)f x x mx n m n =++<>的两个不同的零点， 所以0a b m +=->，0ab n =>， 可得,a b 都是正数，由240m n ∆=->，可得()()2240a b ab a b +-=->， 所以a b ¹， 不妨假设0a b >>，,,1a b -这三个数可适当排序后成等差数列，则,,1a b -需按从大到小或从小到大排列，b 为1,a -的等差中项，即1,,b a -或,,1a b -成等差数列，所以12a b -=，,,1a b -这三个数可适当排序后成等比数列，则1-需为,a b 的等比中项，即,1,a b -或,1,b a -成等比数列， 即()211ab =-=所以解得2a =，12b =，（舍去负值） 从而得到()52m a b =-+=-，1n ab ==，所以32m n +=-.故选：A.【点睛】本题考查等差中项和等比中项的性质，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题.二、填空题共6小题，每题5分，共30分.9.不等式21x <的解集为________________. 【答案】(1,1)-. 【解析】试题分析：将原不等式变形为210(1)(1)011x x x x -<⇒+-<⇒-<<，∴不等式的解集为(1,1)-.考点：解一元二次不等式.10.命题“2R,0x x ∀∈≥”的否定是____________． 【答案】2,0x R x ∃∈< 【解析】根据全称命题的否定为特称命题可得：“2R,0x x ∀∈≥”的否定是2,0x R x ∃∈<，故答案为2,0x R x ∃∈<.11.椭圆22416+=x y 上点的纵坐标的取值范围是______.【答案】[]22-,【解析】 【分析】将椭圆化为标准方程，从而得到答案.【详解】椭圆22416+=x y 的标准方程为221164x y +=，从而得到点的纵坐标的取值范围是[]22-,. 故答案为：[]22-,. 【点睛】本题考查椭圆上点的范围，属于简单题.12.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n tn =+，且31a =，则t =______.【答案】4- 【解析】 【分析】由332a S S =-，得到关于t 的方程，得到t 的值.【详解】因为2n S n tn =+，所以()()33293425a S S t t t =-=+-+=+， 所以51t +=，解得4t =-. 故答案为：4-.【点睛】本题考查数列前n 项和与通项的关系求数列中的项，属于简单题. 13.若不等式21x mx +>对(0,)x ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是______. 【答案】2m < 【解析】 【分析】问题转化为1m x x<+对()0,x ∈+∞恒成立，根据基本不等式，得到1x x +的最小值，从而得到答案.【详解】因为不等式21x mx +>对()0,x ∈+∞恒成立， 所以问题转化1m x x<+对()0,x ∈+∞恒成立， 即min 1m x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，因为()0,x ∈+∞，由基本不等式，得12x x +≥=， 当且仅当1x x=，即1x =时取等号， 所以得到2m <. 故答案为：2m <.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用基本不等式求和的最小值，属于简单题. 14.定义“等积数列”：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的乘积都等于同一个不为零的常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做等积数列的公积.已知数列{}n a 是12a =，公积为6-的等积数列，则3a =______；数列{}n a 的前n 项和n S =______.【答案】 (1). 32a = (2). ,25,2n nn S n n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪-⎪⎩为偶数为奇数 【解析】 【分析】根据等积数列的定义，得到12a =，23a =-，32a =，43a =-，⋅⋅⋅，得到n a 为周期为2的数列，从而得到数列的第三项以及前n 项的和. 【详解】数列{}n a 是等积数列，12a =，公积为6-， 所以23a =-，32a =，43a =-，⋅⋅⋅ 所以前n 项的和()()2323n S =+-++-+⋅⋅⋅2n k =，有k 个2，k 个3-，所以223k S k k k =-=-，得到当n 为偶数时，2n nS =-21n k =+，有1k +个2，k 个3-，所以()212132k S k k k +=+-=-+，得到当n 为奇数时，52n n S -=-所以,25,2n nn S n n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪-⎪⎩为偶数为奇数故答案为：32a =，,25,2n nn S n n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪-⎪⎩为偶数为奇数. 【点睛】本题考查数列的新定义，数列的周期性，属于中档题.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知0a b >>，求证：11b ba a+>+. （2）已知1x >-，当x 取什么值时，91x x ++的值最小？最小值是多少？ 【答案】（1）证明见解析；（2）2x =时，最小值是5. 【解析】 【分析】（1）通过作差法，进行证明；（2）配凑基本不等式形式，利用基本不等式，得到和的最小值. 【详解】（1）因为0a b >>，所以()()10111b b ab a ab b a ba a a a a a ++----==>+++，所以11b ba a+>+. （2）当1x >-时，10x +>，99111511x x x x +=++-≥=++， 当且仅当911x x +=+，即2x =时，等号成立， 所以当2x =时，91x x ++的值最小，最小值是5. 【点睛】本题考查作差法证明不等式，根据基本不等式求和的最小值，属于简单题. 16.设{}n a 是等差数列，18a =-，且28a +，36a +，44a +成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n a 的前n 项和n S 的最小值；（3）若{}n b 是等差数列，{}n b 与{}n a 的公差不相等，且55b a =，问：{}n a 和{}n b 中除第5项外，还有序号相同且数值相等的项吗？（直接写出结论即可）【答案】（1）210n a n =-；（2）29n S n n =-，4n =或5时，n S 取得最小值20-；（3）{}n a 和{}n b 中除第5项外，没有序号相同且数值相等的项. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的基本量和等比中项的性质，得到关于公差的方程，从而得到通项公式； （2）根据（1）所得的通项，从而得到前n 项的和n S ；（3）设n b 的通项，根据55b a =列出方程组，得到方程组无解，得到答案. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，18a =-. 因为28a +，36a +，44a +成等比数列， 所以()()()2324684a a a +=++，即有()()()282688834d d d -++=-++-++， 解得2d =，则()821210n a n n =-+-=-.（2）由（1）中等差数列{}n a 的通项210n a n =-，所以{}n a 的前n 项和()21821092n n n n S n =-+-=-298124n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由于n 为自然数，可得4n =或5时，n S 取得最小值20-.（3）设{}n a 和{}n b 中除第5项外，还有序号相同且数值相等的项， 设为第n 项，{}n a 和{}n b 相同，则5n ≠， 设n b kn b =+根据{}n b 与{}n a 的公差不相等，可知2k ≠ 由55b a =，得525100k b +=⨯-=，即5b k =-， 由{}n a 和{}n b 相同，得到n n a b =则210n kn b -=+，即2105n nk k -=-整理得()()520n k --=，因为5n ≠且2k ≠，所以方程无解.故{}n a 和{}n b 中除第5项外，没有序号相同且数值相等的项.【点睛】本题考查等比中项的应用，等差数列通项中基本量的计算，等差数列的和的最小值，属于中档题.17.已知函数2()(2)2f x x a x a =+--，a R ∈.（1）当0a =时，求()0f x ≤的解集；（2）求使()0f x >的x 的取值范围；（3）写出“函数()f x 在(1,2)x ∈上的图象在x 轴上方”的一个充分条件.（直接写出结论即可）【答案】（1）[]2,0-；（2）当2a <-时，不等式的解集为{}2x x a x -或，当2a =-时，不等式的解集为{}2x x ∈≠R ，当2a >-时，不等式的解集为{}2x x x a -或；（3）2a =-.【解析】【分析】（1）根据0a =解一元二次不等式，得到答案；（2）按2a <-，2a =-，2a >-进行分类讨论，得到满足()0f x >的x 的取值范围； （3）由（2）可知2a =-满足题意.【详解】（1）当0a =时，()22f x x x =+， 所以不等式()0f x ≤，即为220x x +≤所以解集为[]2,0-.（2）由()0f x >，可得2(2)20x a x a +-->，即()()20x a x -+>，所以当2a <-时，不等式的解集为{}2x xa x -或，当2a =-时，不等式的解集为{}2x x ∈≠R ，当2a >-时，不等式的解集为{}2x x xa -或（3）由（2）可知，当2a =-时， ()1,2x ∈，()0f x >恒成立，所以“函数()f x 在(1,2)x ∈上的图象在x 轴上方”的一个充分条件为2a =-.【点睛】本题考查解不含参的一元二次不等式，分类讨论解一元二次不等式，写出充分条件，属于简单题.18.已知椭圆C的两个焦点分别是1(1,0)F -，2(1,0)F ，且椭圆C 经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）当m 取何值时，直线y x m =+与椭圆C 有两个公共点；只有一个公共点；没有公共点？【答案】（1）22143x y +=；（2）m <<y x m =+与椭圆C 有两个公共点；m =或m =时，直线y x m =+与椭圆C 只有一个公共点；m <或m >时，直线y x m =+与椭圆C 没有公共点.【解析】【分析】（1）根据椭圆的焦点，得到c ，将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，得到,a b 的方程，解出,a b 的值，从而得到答案；（2）直线与椭圆联立，根据∆与0的关系，得到关于m 的不等式，得到答案. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为22221x y a b+=， 因为椭圆的焦点分别是1(1,0)F -，2(1,0)F ，所以1c =，将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程得229141a b+=， 根据221a b =+，得到24a =，23b =， 所以椭圆的标准方程为22143x y +=. （2）直线y x m =+与椭圆22:143x y C +=联立， 22143y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22784120x mx m ++-=， 则()222644741233648m m m ∆=-⨯⨯-=-，①当>0∆，即2336480m ->，解得m <<，方程有两个不同的实数根，即直线y x m =+与椭圆C 有两个公共点；②当0∆=，即2336480m -=，解得m =或m =， 方程有两个相同的实数根，即直线y x m =+与椭圆C 只有一个公共点；③当∆<0，即2336480m -=，解得m <m >方程没有实数根，即直线y x m =+与椭圆C 没有公共点；【点睛】本题考查根据椭圆上的点求椭圆方程，考查了根据直线与椭圆的位置关系求参数的范围，属于中档题.19.设{}n a 是等比数列，11a =，3234a a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求246222n n a a a a a -+++++L ；（3）在n a 和1n a +之间插入n 个数，其中1,2,3n =，⋅⋅⋅，使这2n +个数成等差数列.记插入的n 个数的和为n S ，求n S 的最大值.【答案】（1）134n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）121297716n ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）189128 【解析】【分析】（1）根据3234a a =得到公比q ，再结合1a ，得到n a 的通项； （2）由（1）得到2n a 的通项，然后根据等比数列的求和公式，得到答案；（3）根据n 个数成等差数列，得到n S ，再由11n n n n S S S S -+≥⎧⎨≥⎩，从而解得n 的值，得到n S 的最大值.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，所以3234a q a ==， 因为11a =，所以134n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）2123494316n n n a -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以246222n n a a a a a -+++++L3914161212997716116n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-； （3）因为134n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以11133734444n n n n n a a --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为在n a 和1n a +之间插入n 个数，这2n +个数成等差数列，所以()1173284n n n n n a a S n -++⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，设n S 的第n 项最大，则11n n nn S S S S -+≥⎧⎨≥⎩，即()()121737318484737318484n n n n n n n n ---⎧⎛⎫⎛⎫⋅≥-⋅⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪⋅≥+⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得34n ≤≤， 所以3n =或4时，n S 取得最大值，347271894864128S S ==⨯⨯=. 【点睛】本题考查等比数列通项的求法，等比数列前n 项和的求法，求数列中的最大项，属于中档题.20.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>经过点(0,1)A ，.过原点O 的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点,P Q .（1）求椭圆C 长半轴长；（2）求PQ 最大值；（3）若直线,AP AQ 分别与x 轴交于点,E F ，求证：AEO ∆的面积与AFO ∆的面积的乘积为定值.【答案】（1（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆过点A 得到b 的值，结合离心率得到a 的值，得到答案；（2）根据椭圆的几何特点，得到l 与x 轴重合时，PQ 最大，从而得到答案；（3）根据对称性设()00,P x y ，()00,Q x y --，表示出直线AE 、AF ，得到E 、F 坐标，从而表示出AEO ∆的面积与AFO ∆的面积，得到面积的乘积为定值.【详解】（1）因为椭圆过点(0,1)A ，所以1b =，因为离心率为3，所以c a = 而222a b c =+，所以a =所以求椭圆C（2）由（1）可得椭圆的标准方程为2213x y +=， 过原点O 的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点,P Q ， 可知当PQ 为长轴时候最长，此时2PQ a ==.（3）由对称性可知P 、Q 两点关于原点对称，所以设()00,P x y ，则()00,Q x y --，不妨假设00x >，则直线AP 的方程为0011y y x x -=+， 令0y =，得到001x x y -=-， 所以00,01x E y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭， 同理00,01x F y ⎛⎫- ⎪+⎝⎭， 所以001x OE y -=-，001x OF y =+ 所以1122AEO AFO S S OA OE OA OF ∆∆⋅=⋅ 000011112121x x y y -=⨯⨯⨯⨯⨯-+ 2020141x y =⋅- 而()00,P x y 在椭圆上，所以220013x y +=，即()220031x y =-， 所以()20203113414AEO AFO y S S y ∆∆-⋅=⋅=-.所以AEO ∆的面积与AFO ∆的面积的乘积为定值34. 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，求椭圆的长轴长，直线与椭圆的关系，椭圆中的定值问题，属于中档题.。

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：20XX-20XX学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是（）A．AB⊂αB．AB⊄αC．由线段AB的长短而定D．以上都不对2．垂直于同一条直线的两条直线一定（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能3．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线（）A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不一定都在平面α内D．有无数条，不一定都在平面α内4．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（）A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：2：4 D．3：1：25．过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．x﹣2y+7=0 B．2x+y﹣1=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=06．平面α与平面β平行的条件可以是（）A．α内有无穷多条直线与β平行B．直线a∥α，a∥βC．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD．α内的任何直线都与β平行7．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）A．B．C．D．8．下列命题中错误的是（）A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．10．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为．12．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC，此图形中有个直角三角形．13．如图，E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是．14．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．①若AC=BD，则四边形EFGH是；②若AC⊥BD，则四边形EFGH是．三．解答题：（本大题共3小题，共30分）15．求点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F 分别是AP、AD的中点，求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．四．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）.18．正六棱台的两底面边长分别为1cm，2cm，高是1cm，它的侧面积为．19．二面角α﹣l﹣β内一点P到平面α，β和棱l的距离之比为1：：2，则这个二面角的平面角是度．20．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是．21．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B（1，4），D（5，0），则直线l的方程为．22．圆柱形玻璃杯高8cm，杯口周长为12cm，内壁距杯口2cm的点A处有一点蜜糖．A点正对面的外壁（不是A点的外壁）距杯底2cm的点B处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少cm．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）23．在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为．五．解答题：（本大题共2小题，共20分）.24．一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V与x的函数关系式，并求出函数的定义域．25．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．20XX-20XX学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是（）A．AB⊂αB．AB⊄αC．由线段AB的长短而定D．以上都不对【考点】平面的基本性质及推论．【专题】证明题．【分析】线段AB在平面α内，则直线AB上所有的点都在平面α内，从而即可判断直线AB与平面α的位置关系．【解答】解：∵线段AB在平面α内，∴直线AB上所有的点都在平面α内，∴直线AB与平面α的位置关系：直线在平面α内，用符号表示为：AB⊂α故选A．【点评】本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一，主要根据定义进行判断，考查了空间想象能力．公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上．2．垂直于同一条直线的两条直线一定（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】分类讨论．【分析】根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断．【解答】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．故选D【点评】本题主要考查在空间内两条直线的位置关系．3．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线（）A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不一定都在平面α内D．有无数条，不一定都在平面α内【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】综合题．【分析】通过假设过点P且平行于l的直线有两条m与n的出矛盾，由题意得m∥l且n∥l，这与两条直线m与n相交与点P相矛盾，又因为点P在平面内所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内．【解答】解：假设过点P且平行于l的直线有两条m与n∴m∥l且n∥l由平行公理4得m∥n这与两条直线m与n相交与点P相矛盾又因为点P在平面内所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内所以假设错误．故选B．【点评】反证法一般用于问题的已知比较简单或命题不易证明的命题的证明，此类题目属于难度较高的题型．4．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（）A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：2：4 D．3：1：2【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由已知中圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，我们设出球的半径，代入圆柱、圆锥、球的体积公式，计算出圆柱、圆锥、球的体积即可得到答案．【解答】解：设球的半径为R，则圆柱、圆锥的底面半径也为R，高为2R，=则球的体积V球=2πR3圆柱的体积V圆柱=圆锥的体积V圆锥故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR3：：=3：1：2故选D【点评】本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．5．过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．x﹣2y+7=0 B．2x+y﹣1=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=0【考点】直线的一般式方程；两条直线平行的判定．【专题】计算题．【分析】由题意可先设所求的直线方程为x﹣2y+c=0再由直线过点（﹣1，3），代入可求c 的值，进而可求直线的方程【解答】解：由题意可设所求的直线方程为x﹣2y+c=0∵过点（﹣1，3）代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7∴x﹣2y+7=0故选A．【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x﹣2y+c=0．6．平面α与平面β平行的条件可以是（）A．α内有无穷多条直线与β平行B．直线a∥α，a∥βC．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD．α内的任何直线都与β平行【考点】平面与平面平行的判定．【专题】证明题．【分析】当α内有无穷多条直线与β平行时，a与β可能平行，也可能相交，当直线a∥α，a∥β时，a与β可能平行，也可能相交，故不选A、B，在两个平行平面内的直线可能平行，也可能是异面直线，故不选C，利用排除法应选D．【解答】解：当α内有无穷多条直线与β平行时，a与β可能平行，也可能相交，故不选A．当直线a∥α，a∥β时，a与β可能平行，也可能相交，故不选B．当直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β 时，直线a 和直线b可能平行，也可能是异面直线，故不选C．当α内的任何直线都与β 平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，故选D．【点评】本题考查两个平面平行的判定和性质得应用，注意考虑特殊情况．7．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】立体几何．【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形．【解答】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项．故选：C．【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．8．下列命题中错误的是（）A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】对应思想；分析法；立体几何．【分析】对于A，B，计算出截面面积与轴截面面积比较大小即可判断，对于C，D，利用旋转体的结构特征进行分析判断．【解答】解：对于A，设圆柱的底面半径为r，高为h，设圆柱的过母线的截面四边形在圆柱底面的边长为a，则截面面积S=ah≤2rh．∴当a=2r时截面面积最大，即轴截面面积最大，故A正确．对于B，设圆锥SO的底面半径为r，高为h，过圆锥定点的截面在底面的边长为AB=a，则O到AB的距离为，∴截面三角形SAB的高为，∴截面面积S==≤=．故截面的最大面积为．故B错误．对于C，由圆台的结构特征可知平行于底面的截面截圆台，所得几何体仍是圆台，故截面为圆面，故C正确．对于D，由于圆锥的所有母线长都相等，轴截面的底面边长为圆锥底面的直径，故圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形，故D正确．故选：B．【点评】本题考查了旋转体的结构特征，属于中档题．二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是50π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．【解答】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：；则这个球的表面积是：=50π．故答案为：50π．【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．10．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是x﹣y﹣2=0．【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；中点坐标公式．【专题】计算题．【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB 的中垂线得方程，并化为一般式．【解答】解：直线AB的斜率k AB=﹣1，所以线段AB的中垂线得斜率k=1，又线段AB的中点为（3，1），所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0，故答案为x﹣y﹣2=0．【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为平行．【考点】平面与平面之间的位置关系．【专题】常规题型．【分析】根据正方体中相应的对角线之间的平行关系，我们易得到平面AB1D1和平面BC1D 内有两个相交直线相互平行，由面面平行的判定定理，我们易得到平面AB1D1和平面BC1D 的位置关系．【解答】解：∵AB1∥C1D，AD1∥BC1，AB1⊂平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，AB1∩AD1=AC1D⊂平面BC1D，BC1⊂平面BC1D，C1D∩BC1=C1由面面平行的判定理我们易得平面AB1D1∥平面BC1D故答案为：平行．【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．12．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC，此图形中有4个直角三角形．【考点】棱锥的结构特征．【专题】证明题．【分析】本题利用线面垂直，判定出线线垂直，进而得到直角三角形，只需证明直线BC⊥平面PAC问题就迎刃而解了．【解答】解：由PA⊥平面ABC，则△PAC，△PAB是直角三角形，又由已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°所以BC⊥AC，从而易得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB 也是直角三角形，所以图中共有四个直角三角形，即：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB．故答案为：4【点评】本题考查空间几何体的结构特征，空间中点线面的位置关系，线面垂直的判定定理和性质定理的熟练应用是解答本题的关键．13．如图，E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由题意图形折叠为三棱锥，直接求出三棱柱的体积即可．【解答】解：由题意图形折叠为三棱锥，底面为△EFC，高为AC，所以三棱柱的体积：××1×1×2=，故答案为：．【点评】本题是基础题，考查几何体的体积的求法，注意折叠问题的处理方法，考查计算能力．14．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．①若AC=BD，则四边形EFGH是菱形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．【考点】棱锥的结构特征．【专题】证明题．【分析】①结合图形，由三角形的中位线定理可得EF∥AC，GH∥AC且EF=AC，GH=AC，由平行四边形的定义可得四边形EFGH是平行四边形，再由邻边相等地，得到四边形EFGH是菱形．②由①知四边形EFGH是平行四边形，再由邻边垂直得到四边形EFGH是矩形．【解答】解：如图所示：①∵EF∥AC，GH∥AC且EF=AC，GH=AC∴四边形EFGH是平行四边形又∵AC=BD∴EF=FG∴四边形EFGH是菱形．②由①知四边形EFGH是平行四边形又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG∴四边形EFGH是矩形．故答案为：菱形，矩形【点评】本题主要考查棱锥的结构特征，主要涉及了线段的中点，中位线定理，构成平面图形，研究平面图形的形状，是常考类型，属基础题．三．解答题：（本大题共3小题，共30分）15．求点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】设点A′的坐标为（m，n），求得A′A的中点B的坐标并代入直线l的方程得到①，再由线段A′A和直线l垂直，斜率之积等于﹣1得到②，解①②求得m，n 的值，即得点A′的坐标．【解答】解：设点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标为（m，n），则线段A′A的中点B（，），由题意得B在直线l：2x﹣y﹣1=0上，故2×﹣﹣1=0 ①．再由线段A′A和直线l垂直，斜率之积等于﹣1得×=﹣1 ②，解①②做成的方程组可得：m=﹣，n=，故点A′的坐标为（﹣，）．【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的坐标的方法，注意利用垂直及中点在轴上两个条件．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F 分别是AP、AD的中点，求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】立体几何．【分析】（1）要证直线EF∥平面PCD，只需证明EF∥PD，EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD即可．（2）连接BD，证明BF⊥AD．说明平面PAD∩平面ABCD=AD，推出BF⊥平面PAD；然后证明平面BEF⊥平面PAD．【解答】证明：（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD所以直线EF∥平面PCD．（2）连接BD．因为AB=AD，∠BAD=60°．所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD．又因为BF⊂平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD．【点评】本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）利用AA1C1C是正方形，可得AA1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．【解答】（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，∴AA1⊥平面ABC．（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，，．设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=（x2，y2，z2）．则，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴．，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴．===．∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，∴=，=（0，3，﹣4），∵，∴，∴，解得t=．∴．【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．四．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）.18．正六棱台的两底面边长分别为1cm，2cm，高是1cm，它的侧面积为cm2．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】作出正六棱台的一部分，侧面ABB1A1为等腰梯形，OO1为高且OO1=1cm，AB=1cm，A1B1=2cm．取AB和A1B1的中点C，C1，连接OC，CC1，O1C1，则C1C为正六棱台的斜高，且四边形OO1C1C为直角梯形．根据正六棱台的性质求出OC，O1C1，CC1和上、下底面周长，由此能求出正六棱台的侧面积．【解答】解：如图所示，是正六棱台的一部分，侧面ABB1A1为等腰梯形，OO1为高且OO1=1cm，AB=1cm，A1B1=2cm．取AB和A1B1的中点C，C1，连接OC，CC1，O1C1，则C1C为正六棱台的斜高，且四边形OO1C1C为直角梯形．根据正六棱台的性质得OC=，O1C1==，∴CC1==．又知上、下底面周长分别为c=6AB=6cm，c′=6A1B1=12cm．∴正六棱台的侧面积：S=．==（cm2）．故答案为：cm2．【点评】本题考查正六棱台的侧面积的求法，是中档，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．二面角α﹣l﹣β内一点P到平面α，β和棱l的距离之比为1：：2，则这个二面角的平面角是75度．【考点】二面角的平面角及求法．【专题】空间角．【分析】点P可能在二面角α﹣l﹣β内部，也可能在外部，应区别处理．利用点P到α，β和棱l的距离分别为1：：2，即可求二面角α﹣l﹣β的大小．【解答】解：点P可能在二面角α﹣l﹣β内部，也可能在外部，应区别处理．当点P在二面角α﹣l﹣β的内部时，如图，A、C、B、P四点共面，∠ACB为二面角的平面角，由题设条件，点P到α，β和棱l的距离之比为1：：2可求∠ACP=30°，∠BCP=45°，∴∠ACB=75°．故答案为：75．【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查分类讨论的数学思想，正确找出二面角的平面角是关键．20．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】利用正方体的体积减去8个三棱锥的体积，求解即可．【解答】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，8个三棱锥的体积为：=．剩下的凸多面体的体积是1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．21．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B（1，4），D（5，0），则直线l的方程为．【考点】直线的两点式方程．【专题】计算题．【分析】先求出BD的中点，再求出斜率，用斜截式求直线的方程．【解答】解：∵直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，则直线过BD的中点（3，2），故斜率为=，∴由斜截式可得直线l的方程为，故答案为．【点评】本题考查直线的斜率公式，直线方程的斜截式．22．圆柱形玻璃杯高8cm，杯口周长为12cm，内壁距杯口2cm的点A处有一点蜜糖．A点正对面的外壁（不是A点的外壁）距杯底2cm的点B处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少10cm．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】数形结合；综合法；立体几何．【分析】作出圆柱的侧面展开图，找到A点关于茶杯口的对称点A′，则A′A在展开图中的直线距离即为最短距离．【解答】解：作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A关于茶杯口的对称点为A′，则A′A=4cm，BC=6cm，∴A′C=8cm，∴A′B==10cm．故答案为：10．【点评】本题考查了曲面的最短距离问题，通常转化为平面图形来解决．23．在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为．【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，从而得到四面体ABCD的体积的最大值即可．【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有V=×2×h××2，当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，则四面体ABCD的体积的最大值为．故答案为：．【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．五．解答题：（本大题共2小题，共20分）.24．一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V与x的函数关系式，并求出函数的定义域．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题．【分析】设出所截等腰三角形的底边边长为xcm，在直角三角形中根据两条边长利用勾股定理做出四棱锥的高，表示出四棱锥的体积，根据实际意义写出定义域．【解答】解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm，在Rt△EOF中，，∴，∴依题意函数的定义域为{x|0＜x＜10}【点评】本题是一个函数模型的应用，这种题目解题的关键是看清题意，根据实际问题选择合适的函数模型，注意题目中写出解析式以后要标出自变量的取值范围．25．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）由题意可知：平面AA1C1C⊥平面ABC，根据平面与平面垂直的性质定理可以得到，只要证明A1O⊥AC就行了．（2）此小题由于直线A1C与平面A1AB所成角不易作出，再由第（1）问的结论可以联想到借助于空间直角坐标系，设定参数，转化成法向量n与所成的角去解决（3）有了第（2）问的空间直角坐标系的建立，此题解决就方便多了，欲证OE∥平面A1AB，可以转化成证明OE与法向量n垂直【解答】解：（Ⅰ）证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点，所以A1O⊥AC．又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABC．（Ⅱ）如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴，所以得：则有：．设平面AA1B的一个法向量为n=（x，y，z），则有，令y=1，得所以．．因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量n与所成锐角互余，所以．（Ⅲ）设，即，得所以，得，令OE∥平面A1AB，得，即﹣1+λ+2λ﹣λ=0，得，即存在这样的点E，E为BC1的中点．。

A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
（6）已知地球运行的轨道时焦距为2������,离心率为������的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最小 距离为
A. ������������ − ������
B. 2������������ − 2������
（II）求|������������|的最大值；
（III）若直线������������，������������分别与������轴交于点������, ������，求证∆������������������的面积与∆������������������的面积的乘积为定值.
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C. ������ − ������
������
D. 2������ − 2������
������
（7）若椭圆������2
������2
+
������2 ������2
=
1(������
>
������
>
������)的右焦点������(������,
0)关于直线������
=
������ ������
（19）（本小题 14 分）
设{������������}是等比数列，������1
=
1,
������3
=
3 4
������2.
（I）求{������������}的通项公式；
（II）求������2 + ������4 + ������6 +··· +������2������−2 + ������2������；

北师大附属实验中学2022-2023学年度第一学期期中试卷高二年级数学班级 姓名 学号 成绩第Ⅰ卷（共100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知空间向量(0,2,0)=a ，(1,0,1)=−b ，则()+=⋅a b bA. 2−B. 1−C. 1D. 22. 若直线30x y −−=与210ax y +−=垂直，则a =A. 2−B. 2C.12 D. 12−3. 若22420x y x y m +−−+=表示圆的方程，则m 的取值范围是A. (,5)−∞B. (,5]−∞C. (5,)+∞D. [5,)+∞4. 平行六面体1111ABCD A B C D −中，设AB =a ，AD =b ，1AA =c ，若M 为1A C 的中点，则AM =A ．12++a b cB ．1122++a b cC ．111222++a b cD ．++a b c5. 已知(1,0,1)A −，(4,3,2)B ，则线段AB 上靠近A 的三等分点的坐标为A. (0,1,2)−−B. (2,1,0)C. (3,2,1)D. (5,4,3)6. 设直线l 的一个方向向量为v ，平面α的一个法向量为n ，平面β的一个法向量为m ，则下列说法正确的是① 若,30<>=︒v n ，则l 与α所成的角为30︒； ② 若l 与α所成角为60︒，则,30<>=︒v n ； ③ 若,60<>=︒m n ，则平面α与β所成的角为60︒； ④ 若平面α与β所成的角为60︒，则,60<>=︒m n . A. ③B. ①③C.②④D. ①③④7. 点(1,2)−关于直线40x y ++=的对称点的坐标为A. (6,3)−−B. (3,6)−−C. (7,2)−−D. (2,7)−−8. 三棱锥S ABC −中，,,SA SB SC 两两垂直，1SA =，2SB SC ==，则点S 到平面ABC 的距离为A.3B.3C.3D.39. 已知点M 的坐标为(,)a b ，圆M 与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于,C D 两点，则“||||AB CD =”是“a b =”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 设P为函数|y x =图像上的动点，Q 是圆22:()()1C x a y b −+−=（其中0ab =）上的动点，若||PQ 的最小值为1，则以所有满足条件的点C 为顶点的多边形的面积为A. 3B.C.3D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 过点(3,0)A ，(5,2)B −的直线的倾斜角为 .12. 若(1,0,1)=−a ，(0,2,1)=b ，(2,,1)m =−c 为共面向量，则m 的值为 .13. 正方体1111ABCD A B C D −中，,M N 分别为棱1BB 和11B C 的中点，则直线AM和CN 所成角的余弦值为 .14. 平面直角坐标系中，已知直线l 过点(0,1)，与坐标轴围成的三角形的面积为2，则直线l 的方程为 .15. 如图，四棱锥S ABCD −中，底面是边长为2的正方形，△SCD 是等边三角形，平面SCD ⊥平面ABCD ，,,M N P 分别为棱,,BC CD DA 的中点，Q 为△SCD 及其内部的动点，满足PQ ∥平面AMS ，给出下列四个结论： ① 直线SA 与平面ABCD 所成角为45︒； ② 二面角S AB N −−的余弦值为7； ③ 点Q 到平面AMS 的距离为定值；④ 线段NQ 长度的取值范围是1[,1]2.其中所有正确结论的序号是 .CA三、解答题（本大题共3小题，共35分） 16. （本小题满分12分）已知向量(1,0,1)=−a ，(3,,0)t =b . （Ⅰ）若3t =，求,<>a b ；（Ⅱ）求证：对任意t ∈R ，2+a b 与2−a b 不垂直； （Ⅲ）若λ+a b 与z 轴平行，求,t λ的值.17. （本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD −中，PD ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 为矩形，4AB =，2BC =，PD =，M 为PB 中点，N 为CD 靠近D 的四等分点.（Ⅰ）求证：PB ⊥平面AMN ；（Ⅱ）求二面角M AN B −−的余弦值； （Ⅲ）求点D 到平面AMN 的距离.18. （本小题满分10分）用坐标法解答以下问题．．．．．．．．．．如图，已知矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，,O M 分别为,AB CD 的中点，P 为CB 延长线上一点， .从①②中任选．．其．一．，补充在横线中并作答，如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．① 连接PO 并延长交AC 于点Q ，求证：QMO PMO ∠=∠；② 取AC 上一点Q （AQ CQ <），使得QMO PMO ∠=∠，求证：,,P O Q 三点 共线.CBACBA第Ⅱ卷（共50分）四、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）19. 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为2km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西4km 处，陆上的港口位于小岛中心正北3km 处，如果轮船沿直线返航，那么它是否有触礁危险？ . （填“是”或“否”）20. 已知点(2,1)A ，(3,4)B ，(0,2)C ，直线:(1)l y k x =−，若直线l 与线段AB有公共点，则k 的最大值为 ；若直线l 与线段BC 有公共点，则k 的取值范围是 .21. 已知单位向量123,,e e e 两两夹角均为3π，则12||+=e e ；123||t ++e e e 的最小值为 .22. 已知四棱锥P ABCD −中，底面四边形ABCD 是边长为的正方形，PD AC ⊥，设PD m = .记直线PB 与平面ABCD 所成角为α，二面角P AC B −−的大小为β. 给出下列四个结论：① 若2βπ<，则1m >； ② 若1m >，则2βπ<； ③ PBA α<∠；④ PAB β>∠.其中所有正确结论的序号是 .五、解答题（本大题共3小题，共34分） 23. （本小题满分10分）平面直角坐标系中，已知圆C 的圆心是(0,1)，半径是1，直线l 的方程为20x y m −+=，点(1,0)A −.（Ⅰ）若l 与圆C 相切，求m 的值；（Ⅱ）若l 经过点A ，求直线l 与圆的交点的坐标；（Ⅲ）若过点A 的直线l '截得圆C的弦长||MN l '的斜率的取值范围.24. （本小题满分14分）如图，直三棱柱111ABC A B C −中，AC BC ==，12AB AA ==，M 为棱AB 的中点，N 是1A C 的中点.（Ⅰ）证明：//MN 平面11BCC B ；（Ⅱ）求直线1A C 与平面1B MN 所成角的正弦值；（Ⅲ）棱AC 上是否存在点P ，使得点P 在平面1B MN 内？若存在，求APAC的值；若不存在，说明理由.A 1B 125. （本小题满分10分）对于空间向量(,,)a b c =m ，定义{}||||max |,,|a||b||c =m ，其中{}max ,,x y z 表示,,x y z 这三个数的最大值. （Ⅰ）已知11(6,,1)2=a ，1(,)2x x,x =−b . ① 写出||||a ，写出||||b （用含x 的式子表示）；② 当04x ≤≤，写出||||−a b 的最小值及此时x 的值；（Ⅱ）设111(,,)x y z =a ，222(,,)x y z =b ，求证：||||||||||||++a b a b ≤； （Ⅲ）在空间直角坐标系O xyz −中，(2,0,0)A ，(0,4,0)B ，(0,0,6)C ，点P 是以O 为球心，1为半径的球面上的动点，点Q 是△ABC 内部的动点，直接写出||||PQ 的最小值及相应的点P 的坐标.。