高二下学期期中考试理科数学试题及答案

一、单选题1．已知是虚数单位，复数的虚部为（ ） i 51i +A ．-1 B ．0 C ．1 D ．i 【答案】C【分析】根据复数的运算法则直接计算得到答案.【详解】由，虚部为1，故选项C 正确. 54111i 1i 1i 1i ++=+=+=+故选：C.2．（ ）()1023d x x +=⎰A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】应用微积分基本定理求定积分即可.【详解】．()()112023d 34x x x x+=+=⎰故选：C3．如果函数在区间上的平均变化率为,则 ()f x ax b =+[1,2]3=a A ． B ． C ． D ．3-232-【答案】C【详解】根据平均变化率的定义，可知 ()()2321a b a b y a x +-+===-A A 故选C 4．函数的导数为（ ） ()sin cos f x x x =+A ． B ． C ．D ．0cos sin x x +cos sin x x -sin x -【答案】C【分析】利用基本初等函数及函数和的导数公式可求函数的导数. ()f x 【详解】∵ ，， (sin )cos x x '=(cos )sin x x '=-∴ ， ()cos sin f x x x '=-故选：C. 5．函数的单调递减区间为（ ） 21ln 2y x x =-A ．（-1，1） B ．（0，1） C ．[1，+∞） D ．[0，+∞]【答案】B【分析】利用导数求函数单调区间.【详解】函数的定义域为， 21ln 2y x x =-()0+∞，， 211x y x x x-'=-=令，解得，令，解得， 210x x->1x >210x x -<01x <<则的单调递减区间为，单调递增区间为，21ln 2y x x =-()0,1()1,+∞故选：.B 6．已知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋x ＋1没有极值，则实数a 的取值范围是（ ）13A ．[0，1]B ．(－∞，0]∪[1，＋∞)C ．[0，2]D ．(－∞，0]∪[2，＋∞) 【答案】C【分析】求导得，再解不等式即得解. 2211()()f x x a x '=+-+22140[()]≤a --【详解】由得， 321113()()f x x a x x =+-++2211()()f x x a x '=+-+根据题意得，解得． 22140[()]≤a --02a ≤≤故选：C7．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的，则该椭圆14的离心率为 ( ) A ．B ． 1312C ． D ．2334【答案】B【详解】试题分析：不妨设直线，即椭圆中心到:1x yl c b +=0bx cy bc +-=⇒l 24b =，故选B. 12c e a ⇒==【解析】1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线，即椭圆中心到，利用方程思想和:1x yl c b +=0bx cy bc +-=⇒l 2142b c e a =⇒==是本题的关键节点.24b=8．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭12e =24y x =-圆方程为A ．B ．C ．D ．22143x y +=22186x y +=2212x y +=2214x y +=【答案】A【详解】试题分析：抛物线的焦点坐标为,所以椭圆的一个焦点坐标为，所24y x =-以，又，所以，所以椭圆的标准方程为，故选22143x y +=A ．【解析】1．椭圆的标准方程与几何性质；2．抛物线的标准方程与几何性质．9．伦教奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺的双曲线C ：上支的2221(0)y x a a -=>一部分，点F 是C 的下焦点，若点P 为C 上支上的动点，则与P 到C 的一条渐近线的距离之PF 和的最小值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】C【分析】根据离心率求出双曲线方程，可得出焦点坐标及渐近线方程，再利用双曲线的定义转化为求，数形结合即可得出最小值．4||PF PQ PF PQ +=++'【详解】依题意，双曲线，2221y x a-=则，解得，21514a +=2a =所以双曲线方程为，2214y x -=则双曲线得下焦点为，上焦点，渐近线方程为，如图， (0,F (F '12x y =±根据图形的对称性，不妨取渐近线为，即， 1:2l x y =2y x =又点P 为双曲线上支上的动点，则， 24PF a PF PF '+=+'=过点P 作，垂足为Q ，过点作，垂足为M ， PQ l ⊥F 'F M l '⊥则，444415PF PQ PF PQ F M +=++≥+'+'==所以与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为． PF 5故选：C ．10．函数的极值点为（ ）()232ln 5f x x x =-+A ．8B ．C ．1D 6ln 3+【答案】D【分析】求出定义域为，然后求导数，从而根据二次函数的图象即可判断导数()f x ()0,∞+()f x '符号，进而可得出的极值点．()f x 【详解】依题意可得函数定义域为，()f x ()0,∞+则， ()()223126x f x x x x-'=-=令，解得()0f x '=x =x =则当时，，此时单调递减；x ⎛∈ ⎝()0f x '<()f x当时，，此时单调递增，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭()0f x ¢>()f x所以是的极值点，且为极小值点． x =()f x 故选：D ．11．已知函数，下列说法正确的是（ ） ln ()xf x x=A ．在处的切线方程为B ．的单调递减区间为 ()f x 1x =1y x =+()f x (e,)+∞C ．的极小值为D ．方程有两个不同的解()f x 1e()1f x =-【答案】B【分析】求出函数的定义域及导数，再逐项求解判断作答. ()f x 【详解】函数的定义域为，求导得，ln ()xf x x=(0,)+∞21ln ()x f x x -'=对于A ，，而，因此图象在处的切线方程为，A 错误； (1)1f '=(1)0f =()f x 1x =1y x =-对于B ，当时，，单调递增，当时，，单调递减，(0,e)x ∈()0f x '>()f x (e,)x ∈+∞()0f x '<()f x B 正确；对于C ，由选项B 知，当时，取得极大值，C 错误；e x =()f x 1e对于D ，因为函数在上单调递增，且，()f x (0,e)e 1,(1)1)e0(f f =-<-=即方程在上有唯一解，而当时，恒有成立，即该方程在上无()1f x =-(0,1)1x >()0f x >(1,)+∞解，所以方程只有一个解，D 错误. ()1f x =-故选：B12．过点作曲线切线有且只有两条，则b 的取值范围为（ ） ()0,b e x y =A ． B ． ()0,1(),1-∞C ． D ．(],1-∞(]0,1【答案】A【分析】设切点，进而求得切线方程，进而得到，构造函数()00,P x y ()00e 1xb x =-()()1exg x x =-分析的单调性与取值范围即可判断有且仅有两根时b 的取值范围．()()1e xg x x =-()00e 1x b x =-【详解】设切点为， ()00,P x y 由，则，e x y =e x y '=所以过的切线方程为，即，()00,P x y ()000e e x x y x x -=-()000e 1e xx y x x =+-故有且仅有两根，()00e 1xb x =-设，则，()()1e xg x x =-()e xx g x '=-当时，，此时单调递增； 0x <()0g x '>()g x 当，，此时单调递减，0x >()0g x '<()g x 又当时，，，，0x <()0g x >()001e g ==()10g =所以的图象如下：()g x故有且仅有两根，则b 的取值范围为．()00e 1xb x =-()0,1故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查利用过曲线外一点作曲线切线的条数求参数的取值范围，解题的关键在于写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，将切线与切点建立一一对应的关系，转化函数的零点个数，利用导数与数形结合思想求解．二、填空题13．抛物线的准线方程为______. 24y x =【答案】 116y =-【详解】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是【解析】抛物线方程14．已知函数，则函数在处的切线方程是____________．()e xf x -=()f x 1x =【答案】e 20x y +-=【分析】求导，利用导数值求解斜率，再利用点斜式求解即可．【详解】由，则，()e x f x -=()e xf x -'=-所以，，()11ef =()e 11f '=-所以函数在处的切线方程为，即()f x 1x =()1e1e 1y x -=--e 20x y +-=故答案为：．e 20x y +-=15．求过点且与圆相切的直线方程为______. 3(4,)P -()()22139x y -+-=【答案】x ＝4或3x +4y ＝0【分析】先考虑直线的斜率是否存在，然后结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】当直线的斜率存在时，可设直线方程为y +3＝k （x －4），即kx －y －4k －3＝0，，解得k ＝，此时直线方程为3x +4y ＝0，34-当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4此时圆心 到直线x ＝4的距离为3，所以直线与圆相切，符合题意. (1,3)故答案为：x ＝4或3x +4y ＝0.16．已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且斜率为，直线与双()2222:10,0x y C a b a b-=>>l C a b -l 曲线的两条渐近线分别交于、两点（点在轴下方），且，则的离心率C M N N x 2ON OM =C 为____________.【分析】作出图形，可求得，利用角平分线的性质可求得，结合勾股定理可求得FM b =FN ，进一步可求得，利用勾股定理可得出的值，结合双曲线的离心率公式可求得双曲线OM ON 22b a 的离心率的值.C 【详解】如下图所示：因为直线的斜率为，由图可知，直线的斜率为，l ab -OM b a因为，所以，，1a bb a-⋅=-OM l ⊥易知直线的方程为，即， OM b y x a =0bx ay -=b =因为直线、关于轴对称，则， OM ON x MOF NOF ∠=∠由角平分线的性质可得，所以，， 12MOFNOF MFOM S S NF ON ===△△22FN FM b ==，所以，，a =22ON OM a ==由勾股定理可得，即，整理可得，222OMMN ON +=()()22232a b a +=2213b a =所以，双曲线的离心率为C c e a =====三、解答题17．已知直线与圆. 20x y m -+=225x y +=(1)若直线和圆无公共点，求m 的取值范围；(2)若直线和圆交于两点，且两个交点处的圆的半径互相垂直，求m 的值. 【答案】(1) (,5)(5,)-∞-⋃+∞(2) m =【分析】（1）由直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离与半径的关系可解出范围；（2）直线与圆相交，两交点与圆心构成等腰直角三角形，得出边长与圆心到直线距离的关系，列出等式出结果.【详解】（1）由已知，得圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离(0,0)O r =20x y m -+=d ==∵直线与圆无公共点，或， d r ∴>5m >5m <-故m 的取值范围为(,5)(5,)-∞-⋃+∞（2）若直线和圆交于两点，两点，如图所示，A B两条半径、互相垂直，几何关系可知为等腰直角三角形，设到直线的距离为，OA OB AOB A O dd ∴==m =18．求下列函数的极值：（1）；()3126f x x x =-++（2）． ()2221xf x x =-+【答案】（1）极小值为，极大值为；（2）极小值为，极大值为． 10-223-1-【分析】（1）求出函数导数，再求出导函数零点，列表即可求解；（2）根据导数的求导法则求出函数导数，可得导函数零点，列出变化时，，的变化x ()f x '()f x 情况即可.【详解】（1）．令，解得，．()()()2312322f x x x x '=-+=-+-()0f x '=12x =-22x =当变化时，，的变化情况如下表： x ()f x '()f xx(),2-∞-2-()2,2- 2()2,∞+()f x '-0+0-()f x 单调递减 10-单调递增 22 单调递减由上表看出，当时，取得极小值，为；当时，取得极大值，为2x =-()f x ()210f -=-2x =()f x ．()222f =（2）．令，解得，．()()()()()()22222221421111x x x x f x xx+-+-'==++()0f x '=11x =-21x =当变化时，，的变化情况如下表： x ()f x '()f xx(),1-∞-1-()1,1- 1()1,+∞()f x '-0+0-()f x 单调递减 3-单调递增 1-单调递减由上表看出，当时，取得极小值，为；当时，取得极大值，为=1x -()f x ()13f -=-1x =()f x ．()11f =-19．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，高为4.1111ABCD A B C D -(1)求证：；1BD AC ⊥(2)求直线与平面所成角的正弦值. 1BD 1ACD 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明向量数量积等于零来证明；1AC BD ⊥（2）计算平面的法向量，根据与法向量的夹角与与平面所成角互余求解. 1ACD 1CC 1CC 1ACD 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空D 1,,DA DC DD x y z间直角坐标系，则，，()()2,0,0,0,2,0A C ()()10,0,4,2,2,0D B ，()()12,2,0,2,2,4AC BD =-=-- ，即.114400,AC BD AC BD ⋅=-+=∴⊥ 1AC BD⊥（2）由（1）得，()()12,2,0,2,0,4AC AD =-=- 设平面的一个法向量为，1ACD (),,n x y z =r 则取 则 1220240n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，2,x =()2,2,1n =()12,2,4BD =-- 设直线与平面所成角为 ，则： 1BD 1ACDθsin =cos ,n θ 所以直线与平面1BD 1ACD 20．已知椭圆倍，且右焦点为. 2222:1(0)x y C a b a b+=>>()1,0F (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线与椭圆C 交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线:l y kx m =+M N (2,0)Q MQ NQ 的斜率互为相反数，求证:直线过定点.l【答案】(1) 2212x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据长短轴关系得，再利用及关系即可得到椭圆方程；a =1c =,,abc （2）设，，联立直线与椭圆方程得， 得到韦达()11,M x y ()22,N x y ()222214220k x kmx m +++-=定理式，根据，化简得，将韦达定理式代入化简即可0MQ NQ k k +=()()12122240kx x m k x x m +-+-=得到，则可得到定点坐标.m k =-【详解】（1）由椭圆．Ca =所以．)222b c =+又，所以，解得．所以()1,0F )221b =+1b =a =所以椭圆的标准方程为． C 2212x y +=（2）联立，得， 2212y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222214220k x kmx m +++-=设，，可得，， ()11,M x y ()22,N x y 122421km x x k -+=+21222221m x x k -=+由题知，即， 0MQ NQ k k +=()()()()121212121212122240222222kx x m k x x m y y kx m kx m x x x x x x +-+-+++=+==------即，()()12122240kx x m k x x m +-+-=即， ()22222422402121m km k m k m k k --⋅+-⋅-=++化简得，解得， 244021k m k --=+m k =-∴直线的方程为，故直线恒过定点.l ()1y k x =-l ()1,0【点睛】关键点睛：设，，联立直线与椭圆方程得()11,M x y ()22,N x y ，则得到韦达定理式，根据，则，展()222214220k x kmx m +++-=0MQ NQ k k +=1212022y y x x +=--开化简得，再将韦达定理式代入，则可得到定点坐标. ()()12122240kx x m k x x m +-+-=m k =-21．已知函数在处有极值.2()ln f x ax b x =+1x =12（1）求a ，b 的值；（2）判断函数的单调性并求出单调区间.()y f x =【答案】（1）（2）单调减区间是，单调增区间是. 112a b ==-，()01，()1+∞，【分析】（1）根据函数解析式先求得导函数，根据极值及极值点即可得关于a ，b 的方程组，即可求得a ，b 的值.（2）将a ，b 的代入解析式并求得定义域，求得极值点，根据极值点左右两侧导函数的符号即可判断函数的单调性.【详解】（1）函数，2()ln f x ax b x =+. ()2b f x ax x'=+ 又在处有极值，()f x 1x =12∴，即， 1(1)2(1)0f f ⎧=⎪⎨⎪=⎩'120a ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得. 112a b ==-，（2）由（1）可知，其定义域是， 21()ln 2f x x x =-()0+∞，且. 1(1)(1)()x x f x x x x+-'=-=令，解得，（舍），()0f x '=1x ==1x -由，得；()0f x '<01x <<由，得.()0f x '>1x >所以函数的单调减区间是，单调增区间是. ()y f x =()01，()1+∞，【点睛】本题考查了利用导函数的极值点与极值求参数，利用导函数判断函数的单调性，属于基础题.22．已知函数．()e ax f x x =-(1)讨论函数的单调性； ()f x (2)证明：． ()1ln 1+-≥x ax f x 【答案】(1)见解析；(2)见解析.【分析】（1）求导，分、与讨论求解单调性即可；0a =0a >a<0（2）可转化为，令，即证明.设()1ln 1+-≥x ax f x ()1ln e 10eax ax x x -+≥e ax t x =()1ln 100t t t -+≥>，利用导数求的最小值即可证明. ()()1ln 10g t t t t=-+>()g t 【详解】（1），()()e e e 1ax ax ax f x ax ax '=--=-+①当时，，在上单调递减；0a =()f x x =-R ②当时，令，得， 0a >()0f x '=1x a=-当时，；当时，. 1x a <-()0f x ¢>1x a>-()0f x '<③当时，令，得， a<0()0f x '=1x a=-当时，；当时，. 1x a <-()0f x '<1x a>-()0f x ¢>综上所述，当时，在上单调递减；0a =()f x R 当时，在上单调递增，在上单调递减； 0a >()f x 1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭当时，在上单调递减，在上单调递增. a<0()f x 1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（2）,即为，即， ()1ln 1+-≥x ax f x 1ln 1e ax x ax x +-≥-()1ln e 10e ax axx x -+≥令，可得，即证明. e ax t x =0t >()1ln 100t t t-+≥>设，则， ()()1ln 10g t t t t =-+>()22111t g t t t t-'=-=当时，，函数单调递减；()0,1t ∈()0g t '<()g t 当时，，函数单调递增.()1,t ∈+∞()0g t '>()g t 所以，即. ()()1ln1110g t g ≥=-+=()1ln 100t t t-+≥>所以. ()1ln 1+-≥x ax f x 【点睛】结论点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。

～第二学期期中考试高二数学试题（理科）注意事项：1． 本试卷共4页，包含填空题（第1～14题，共14题）、解答题（第16～20题，共6题）二部分。

本次考试时间为120分钟，满分160分。

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2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号、班级等信息用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上。

3． 作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

参考公式：线性回归方程系数公式：,)())((211^∑∑==---=ni i ni i ix x y y x xb x b y a ^^-=.样本相关系数公式：,)()())((21211∑∑∑===----=ni i ni ini i iy y x xy y x xr卡方统计量：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n ++++-=χ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直 接填写在答题纸指定位置. 1.化简=+-ii11 ▲ . 2．=-3545C A .3．已知,11ni im-=-其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=+ni m . 4.在回归分析中，对于y x ,随机取到的n 对数据),,2,1)(,(n i y x i i =样本相关系数r 具有下列哪些性质：①;1≤r ②r 越接近于1，y x ,的线性相关程度越弱;③r 越接近于1，y x ,的线性相关程度越强；④r 越接近于0，y x ,的线性相关程度越强，请写出所有正确性质的序号： .5.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 .①若2χ的观测值满足2χ≥6.635,我们有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100人吸烟的人中必有99患有肺病;②从独立性检验可知有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99％的可能患有肺病;③其从统计量中得知有95％的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5％的可能性使得推判出现错误.6.某地区的年财政收入x 与年支出y 满足线性回归模型ε++=bx a y （单位：亿元），其中.5.0,2,8.0≤==εa b 如果今年该地区财政收入10亿元，则年支出预计不会超过 .7.把4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数共有 种.8．类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AC AB ,互相垂直，则三角形边长之间满足关系：.222BC AC AB =+若三棱锥BCD A -的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .9．已知推理：“因为△ABC 三边长依次为3，4，5，所以△ABC 是直角三角形”.若将其恢复成完整的三段论，则大前提是 . 10.观察下列等式：,),4321(16941,321941),21(41,11 +++-=-+-++=+-+-=-=由此推测第n 个等式为 .（不必化简结果） 11.已知,12121=-==z z z z 则21z z +等于 .12.在复平面内，Ｏ是原点，,,表示的复数分别为,51,23,2i i i +++-那么表示的复数为 .13.设正数数列}{n a 的前n 项和为n S ，且),1(21nn n a a S +=推测出n a 的表达式为 . 14.将正奇数排列如右表所示，其中第i 行第j 个数表示为),,(**N j N i a ij ∈∈例如.932=a 若,2009=ij a 则=+j i .二、解答题：本大题共６小题，共90分.在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题14分）已知复数,)32()1(2i m m m m z -++-=当实数m 取什么值时，复数z 是： （１） 零；（２）纯虚数； （３）.52i z +=16.（本小题１４分）先解答（１），再通过结构类比解答（２） （１） 求证：;tan 1tan 1)4tan(xxx -+=+π（２） 设R x ∈且,)(1)(1)1(x f x f x f -+=+试问：)(x f 是周期函数吗？证明你的结论.17.(本小题１４分)设有编号为１，２，３，４，５的五个球和编号为１，２，３，４，５的五个盒子，现将这五个球放入５个盒子内.（１） 只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（２） 没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？18.（本小题１６分）设,1,*>∈n N n 用数学归纳法证明：.131211n n>++++19.(本小题16分)某电脑公司有６名产品推销员，其中５名推销员的工作年限与年推销金额数据如下表：（１） 求年推销金额y 与工作年限x 之间的相关系数（精确到小数点后两位）； （２） 求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；（３） 若第６名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额. (参考数据：;02.104.1≈由检验水平0.01及,32=-n 查表得.59.001.0=r )20.（本小题16分０设Q P ,是复平面上的点集，{}{}.,2,05)(3P z iz Q z z i z z z P ∈===+-+⋅=ωω（１）Q P ,分别表示什么曲线？（２）设,,21Q z P z ∈∈求21z z -的最大值与最小值.2019－2019学年度第二学期期中考试高二数学答题纸一．填空题：（本题共14小题，每题5分，共70分）1. 2. 3. 4.5. 6. 7. 8.9. 10. 11. 12.13. 14.二．解答题：（本题共6题，共90分,请写出必要的解答或证明过程）15题：（本题14分）16题：（本题14分）17题.（本题14分）…18题：（本题16分）…19题：（本题16分）20题：（本题16分）高二理科数学参考答案一、填空题1. i -；2. 110；3. i +2；4. ①③；5. ③；6. 10.5亿元；7. 81； 8. 2222ACD ABC ABD BCD S S S S ∆∆∆∆++=；9. 一条边的平方等于其它两条边平方和的三角形是直角三角形； 10. )321()1()1(4321121222n n n n ++++-=⋅-++-+--- ；11.12. i 44-；13. 1--=n n a n ；14. 60二、解答题15. 解：（1）由⎩⎨⎧=-+=-0320)1(2m m m m 可得m=1； …………4分（2）由⎩⎨⎧≠-+=-0320)1(2m m m m 可得m=0； …………8分（3）由⎩⎨⎧=-+=-5322)1(2m m m m 可得m=2； …………12分综上：当m=1时，复数z 是0；当m=1时，复数z 是纯虚数；当m=2，复数z 是i 52+． …………14分 16. 解：（Ⅰ）xx x x x tan 1tan 14tantan 14tantan )4tan(-+=-+=+πππ； …………4分 （Ⅱ）)(x f 是以4为其一个周期的周期函数． …………6分∵)(1)(1)(11)(1)(11)1(1)1(1)1)1(()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-+--++=+-++=++=+， …………10分 ∴)()2(1)2)2(()4(x f x f x f x f =+-=++=+， …………12分所以)(x f 是周期函数，其中一个周期为4． …………14分 17. 解：（1）只有一个盒子空着，则有且只有一个盒子中投放两个球，另外3只盒子中各投放一个球，先将球分成2，1，1，1的四组，共有25C 种分法， …………4分再投放到五个盒子的其中四个盒子中，共有45A 种放法，所以满足条件的投放方法共有4525A C =1200（种）； …………8分（2）五个球投放到五个盒子中，每个盒子中只有一个球，共有55A 种投放方法，而球的编号与盒子编号全相同的情况只有一种，所以球的编号与盒子编号不全相同的投放方法共有155-A =119（种）． …………14分18. 证明：记)(n f ＝+++31211…n1+（*N n ∈，n ＞1）， …………2分（1）当n ＝2时，211)2(+=f ＞2，不等式成立； …………6分（2）假设n ＝k （*N k ∈，k ≥2）时，不等式成立， …………8分 即)(k f ＝+++31211…k1+＞k ，则当n ＝k +1时，有)1(+k f ＝)(k f +11+k ＞k +11+k ＝11)1(+++k k k＞11++k k ＝1+k …………12分∴当n ＝k +1时，不等式也成立. …………14分 综合（1），（2）知，原不等式对任意的*N n ∈（n ＞1）都成立. …………16分 19. 解：(Ⅰ)由∑=--ni i iy y x x1))((=10，∑=-n i i x x 12)(=20，21)(∑=-ni i y y =5.2，可得98.02.52010≈⨯=r ， …………4分∴年推销金额y 与工作年限x 之间的相关系数约为0.98． …………6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，98.0=r ＞01.0959.0r =,∴可以认为年推销金额y 与工作年限x 之间具有较强的线性相关关系. …………8分设所求的线性回归方程为a bx y+=ˆ，则4.0,5.0==a b . …………10分 ∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为4.05.0ˆ+=x y. …………12分 (Ⅲ) 由(Ⅱ) 可知，当11x =时, 4.05.0ˆ+=x y= 0.5×11+ 0.4 = 5.9万元， ∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元． …………16分 20. 解：（1）设yi x z +=（R y x ∈,）， …………2分 则集合=P {),(y x ︱05622=+-+y y x }＝{),(y x ︱4)3(22=-+y x }，故P 表示以（0，3）为圆心，2为半径的圆； …………6分第11页 共11页 设yi x +=ω（R y x ∈,），P i y x z ∈+=00（R y x ∈00,）且iz 2=ω，…………8分 则⎩⎨⎧=-=0022x y y x …………10分 将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==x y y x 212100代入4)3(22=-+y x 得16)6(22=++y x ，故Q 表示以（－6，0）为圆心，4为半径的圆； …………12分（2）21z z -表示分别在圆Q P ,上的两个动点间的距离，又圆心距53=PQ ＞2+4， 故21z z -最大值为6+35，最小值为35－6． …………16分。

卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹第二学期期中考试题高二数学〔理科〕一．选择题〔本大题一一共12小题，每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求〕1.函数y=x2cosx的导数为A.y′=2xcosx－x2sinxB.y′=2xcosx+x2sinxC.y′=x2cosx－2xsinxD.y′=xcosx－x2sinx【答案】A【解析】试题分析：.故A正确.考点：导数公式.2.以下表述正确的选项是〔〕①归纳推理是由局部到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤【答案】D【解析】试题分析：归纳推理是由局部到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．故①③⑤是正确的考点：归纳推理；演绎推理的意义3.=()A.5B.4C.3D.2【答案】A【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义计算【详解】=〔x2﹣4x〕|=25﹣20=5，应选：A．【点睛】题主要考察了定积分的简单应用，解题的关键是求被积函数的原函数，属于根底题．在复平面上对应的点位于第________象限A.一B.二C.三D.四【答案】C【解析】【分析】将复数化简为的形式，得到，就可以得到答案．【详解】∵复数∴复数在复平面上对应的点位于第三象限应选C.【点睛】复数化简为的形式，是解题关键，的符号决定复数在复平面上对应的点位于的象限．根底题目．①假设，那么；②；③；正确的个数为〔〕A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据初等函数的导数公式，进展判断即可.【详解】因为〔cosx〕′=﹣sinx，所以①错误，因为===﹣，所以②正确，因为f〔x〕=，所以，f′〔x〕=﹣2x﹣3，所以f′〔3〕=﹣，所以③正确．故正确的个数为2个，应选：C．【点睛】此题主要考察了初等函数的导数公式的应用，属于根底题．6.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,那么平行于平面内所有直线；直线平面，直线平面，直线∥平面，那么直线∥直线〞的结论显然是错误的，这是因为〔〕A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【答案】A【解析】【分析】此题考察的知识点是演绎推理的根本方法及空间中线面关系，在使用三段论推理证明中，假设平面，直线平面，直线∥平面，那么直线∥直线〞的推理过程，不难得到结论．【详解】在推理过程“直线平行于平面，那么平行于平面内所有直线；直线平面，直线平面，直线∥平面，那么直线∥直线应选A．【点睛】归纳推理和演绎推理睬出现错误的原因是由合情推理的性质决定的，但演绎推理出现错误，有三种可能，一种是大前提错误，第二种是小前提错误，第三种是逻辑构造错误．的图象与直线相切，那么a等于〔〕A. B. C. D.1【答案】B【解析】此题考察导数的几何意义.设切点为那么，消去解得应选B〕A.假设三内角都不大于60度B.假设三内角都大于60度C.假设三内角至多有一个大于60度D.假设三内角至多有两个大于60度【答案】B【解析】分析：.详解：用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于应选B.点睛：，.9.设函数f〔x〕在定义域内可导，y=f〔x〕的图象如下列图，那么导函数y=f′〔x〕的图象可能是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】原函数在单调递增，在先单调递增再单调递减，然后再增，故导函数在大于零，在先大于零再小于零，然后大于零，所以选D.点睛：函数在某个区间内可导，假设，那么在该区间为增函数；假设，那么在该区间为减函数.因此函数与导函数的关系可由函数增减性与导函数正负对应关系断定.y=,x=1,x=2,y=0所围成的封闭曲线的面积为〔〕A.ln2B.C.D.1【答案】A【解析】【分析】利用定积分表示面积，然后计算即可．【详解】由曲线y=，x=1，x=2，y=0所围成的封闭图形的面积为：=lnx|=ln2；应选：A．【点睛】用微积分根本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，假设被积函数是绝对值函数或者分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加在上是单调函数,那么实数的取值范围是〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由f〔x〕的解析式求出导函数，导函数为开口向下的抛物线，因为函数在R上为单调函数，所以导函数与x 轴没有交点或者只有一个交点，即△小于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a 的取值范围．【详解】由f〔x〕=﹣x3+ax2﹣x﹣1，得到f′〔x〕=﹣3x2+2ax﹣1，因为函数在〔﹣∞，+∞〕上是单调函数，所以f′〔x〕=﹣3x2+2ax﹣1≤0在〔﹣∞，+∞〕恒成立，那么△=，所以实数a的取值范围是：[﹣，]．应选：B．【点睛】函数单调性与导函数的符号之间的关系要注意以下结论〔1〕假设在内，那么在上单调递增〔减〕．〔2〕在上单调递增〔减〕〔〕在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．〔不要掉了等号．〕〔3〕假设函数在区间内存在单调递增〔减〕区间，那么在上有解．〔不要加上等号．〕的定义域为开区间，导函数在内的图象如下列图，那么函数在开区间内有极小值点()A.个B.个C.个D.个【答案】A【解析】【分析】由图象得：f〔x〕的增区间为〔a，c〕，〔d，0〕，〔0，e〕，减区间为〔c，d〕，〔e，b〕，从而求出函数f〔x〕在开区间〔a，b〕内有1个极小值．【详解】函数f〔x〕的定义域为开区间〔a，b〕，导函数f′〔x〕在〔a，b〕内的图象如下列图，由图象得：当a＜x＜c，或者d＜x＜0，或者0＜x＜e时，f′〔x〕＞0，当c＜x＜d或者e，x＜d时，f′〔x〕＜0，∴f〔x〕的增区间为〔a，c〕，〔d，0〕，〔0，e〕，减区间为〔c，d〕，〔e，b〕，∴f〔d〕是函数f〔x〕在开区间〔a，b〕内有极小值，∴函数f〔x〕在开区间〔a，b〕内有1个极小值．应选：A．【点睛】此题考察函数的极小值的个数的求法，考察导数性质、函数的单调性、函数的极值等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是中档题．二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，总分值是20分〕13.是虚数单位，那么满足的复数的一共轭复数为_______________【答案】【解析】【分析】把等式两边同时乘以，直接利用复数的除法运算求解，再根据一共轭复数的概念即可得解.【详解】由，得.∴复数的一共轭复数为故答案为.【点睛】此题考察了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的一共轭复数，是根底题．f(x)＝e x x2的单调递减区间为______________．【答案】(－2，0)【解析】【分析】由f〔x〕=e x•x2可求得f′〔x〕=e x〔x2+2x〕，由f′〔x〕＜0可求其递减区间．【详解】∵f〔x〕=e x•x2，∴f′〔x〕=e x•x2+2x•e x=e x〔x2+2x〕，∴由f′〔x〕＜0得：﹣2＜x＜0；∴f〔x〕=e x•x2的单调递减区间为〔﹣2，0〕．故答案为：〔﹣2，0〕．【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性，求得f′〔x〕=e x〔x2+2x〕是关键，考察分析与运算的才能，属于根底题．15.由直线与圆相切时,圆心与切点的连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点的连线与平面垂直，用的是____推理【答案】类比【解析】【分析】从直线想到平面，从圆想到球，即从平面类比到空间．【详解】从直线类比到平面，从圆类比到球，即从平面类比到空间，用的是类比推理．故答案为类比．【点睛】此题主要考察学生的知识量和对知识的迁移类比的才能．类比推理的一般步骤是：〔1〕找出两类事物之间的相似性或者一致性；〔2猜想〕．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明．f(x)的导函数y＝f'(x)的图象如下列图，其中－3，2，4是f'(x)＝0的根，(1)f(4)是f(x)的极小值；(2)f(2)是f(x)极大值；(3)f(－2)是f(x)极大值；(4)f(3)是f(x)极小值；(5)f(－3)是f(x)极大值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】由图象可知，函数在﹣2，3处，导数不为0，故不取极值；函数在﹣3，4处，导函数为0，函数有可能取极值，当左正右负，取极大值；当左负右正，取极小值【详解】由图象可知，函数在﹣2，3处，导数不为0，故不取极值，那么〔3〕〔4〕错误；函数在﹣3，4处，导数为0，且先减后增，故函数在﹣3，4处获得极小值，那么〔1〕对，〔5〕错；函数在2处导数为0，且先增后减，故函数在2处获得极大值，那么〔2〕对，故答案为：(1)(2)．【点睛】极值点处导函数与x轴相交，要注意验证导数为0处左右的函数的单调性．一个可导函数在某点处有极值的充要条件是这个函数在该点处的导数等于0而且在该点两侧导数异号．三．解答题〔总分值是70分，解容许写出文字说明和演算步骤〕17.复数z=m(m-1)+(m2+2m-3)i当实数m取什么值时，复数z是(1)零；〔2〕纯虚数；〔3〕z=2+5i【答案】⑴m=1⑵m=0⑶m=2【解析】【分析】对于复数，〔1〕当且仅当时，复数；〔2〕当且仅当，时，复数是纯虚数；〔3〕当且仅当，时，复数．【详解】〔1〕当且仅当解得m=1，即m=1时，复数z=0．〔2〕当且仅当解得m=0，即m=0时，复数z=﹣3i为纯虚数．〔3〕当且仅当解得m=2，即m=2时，复数z=2+5i．【点睛】此题考察了复数的根本概念，深入理解好根本概念是解决好此题的关键．18.(－)n的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14∶3，求展开式中的常数项．【答案】180【解析】依题意∶＝14∶3，即3＝14，∴＝，∴n＝10.设第r＋1项为常数项，又T r＋1＝()10－r(－)r＝(－2)r令＝0，得r＝2.∴T3＝(－2)2＝180，即常数项为180.19.观察以下各等式(i为虚数单位)：(cos1＋isin1)(cos2＋isin2)＝cos3＋isin3；(cos3＋isin3)(cos5＋isin5)＝cos8＋isin8；(cos4＋isin4)(cos7＋isin7)＝cos11＋isin11；(cos6＋isin6)(cos6＋isin6)＝cos12＋isin12．记f(x)＝cos x＋isin x．猜想出一个用f(x)表示的反映一般规律的等式，并证明其正确性；【答案】f(x)f(y)＝f(x＋y)【解析】【分析】由中的式子，发现假设，那么，进而利用复数的运算法那么和和差角公式，可证得结论.【详解】f(x)f(y)＝(cosx＋isinx)(cosy＋isiny)＝(cosxcosy－sinxsiny)＋(sinxcosy＋cosxsiny)i＝cos(x＋y)＋isin(x＋y)＝f(x＋y)．猜想〕．20.a为实数，函数f(x)=(x2+1)(x+a)。

新人教版高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项只有一项符合题目要求的）1．（5分）已知复数z =11+i ，则z ﹣i 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数（ ） A ．7B ．64C ．12D ．813．（5分）用反证法证明“已知x ，y ∈R ，x 2+y 2＝0，求证：x ＝y ＝0．”时，应假设（ ） A ．x ≠y ≠0B ．x ＝y ≠0C ．x ≠0且y ≠0D ．x ≠0或 y ≠04．（5分）f （x ）＝e x lnx ，f ′（x ）为f （x ）的导函数，则f ′（1）的值为（ ） A ．1B ．eC ．2eD ．05．（5分）设函数f （x ）可导，则lim △x→0f(1)−f(1+△x)3△x 等于（ ）A ．﹣f '（1）B ．3f '（1）C ．−13f ′(1)D ．13f ′(1)6．（5分）曲线y ＝e x 在点（2，e 2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A ．e 2B ．2e 2C ．4e 2D ．e 227．（5分）已知函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足f （x ）＝2xf ′（1）+lnx ，则f ′（2）＝（ ） A ．32B ．1C ．﹣1D ．−328．（5分）设函数f(x)=x 3−12x 2−2x +5，若对于任意x ∈[﹣1，2]都有f （x ）＜m 成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（7，+∞）B ．（8，+∞）C ．[7，+∞）D ．（9，+∞）9．（5分）中华文化博大精深．我国古代对年龄的表述可谓是名目繁多，比如“二八年华”指女子16岁．乾隆曾出上联“花甲重逢，外加三七岁月”，纪晓岚对下联“古稀双庆，更多一度春秋”，暗指一位老人的年龄．根据类比思想和文化常识，这位老人的年龄为（ ）A ．71岁B ．81岁C ．131岁D ．141岁10．（5分）函数f(x)=12x −sinx 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．（5分）在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8的展开式中，含x 3的项的系数是（ ） A ．74B ．121C ．﹣74D ．﹣12112．（5分）对于定义域为R 的函数f （x ），若满足①f （0）＝0；②当x ∈R ，且x ≠0时，都有xf ′（x ）＞0；③当x 1＜0＜x 2，且|x 1|＝|x 2|时，都有f （x 1）＜f （x 2），则称f （x ）为“偏对称函数”．现给出四个函数：f 1（x ）＝﹣x 3+32x 2；f 2（x ）＝e x ﹣x ﹣1；f 3（x ）={ln(−x +1)，x ≤02x ，x ＞0，f 4（x ）={x(12x −1+12)，x ≠00，x =0，则其中是“偏对称函数”的函数个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）曲线y ＝（ax +1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a ＝ ． 14．（5分）函数f （x ）={x +1，−1≤x ＜0e x，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为 ．15．（5分）（√2−x ）10＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 10x 10，则（a 0+a 2+…+a 10）2﹣（a 1+a 3+…+a 9）2的值为 ．16．（5分）设f （x ）是定义在R 上的可导函数，且满足f （x ）+xf ′（x ）＞0．则不等式f （√x +1）＞√x −1f （√x 2−1）的解集为 ．三、解答题：（本题共6小题，共70分，各题解答过程应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．（10分）已知复数z 满足|z |＝3+3i ﹣z ，求(1+3i)⋅(3+4i)z的值．18．（12分）有3名男生4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数（用数字作答）．（1）全体排成一行，其中男生甲不在最左边； （2）全体排成一行，其中4名女生必须排在一起； （3）全体排成一行，3名男生两两不相邻． 19．（12分）已知a ＞0，用分析法证明：√a 2+1a 2−√2≥a +1a −2． 20．（12分）若函数f （x ）＝ax 3﹣bx +4，当x ＝2时，函数f （x ）有极值−43． （1）求函数的解析式； （2）求函数的极值；（3）若关于x 的方程f （x ）＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1=an 1+a n．（1）计算a 2，a 3，a 4；（2）猜测a n 的表达式，并用数学归纳法证明．22．（12分）设函数f （x ）＝lnx ﹣ax （a ∈R ）（e ＝2.71828…是自然对数的底数）． （1）判断f （x ）的单调性；（2）当f （x ）＜0在（0，+∞）上恒成立时，求a 的取值范围．答案一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项只有一项符合题目要求的） 1．解：∵z =11+i =1−i (1+i)(1−i)=12−12i ， ∴z ﹣i =12−32i ．∴z ﹣i 在复平面内对应的点为（12，−32），在复平面内对应的点位于第四象限． 故选：D ．2．解：∵选定一件上衣时，有不同颜色的裤子3条， ∴有3种不同的穿衣方案，∴共有3×4＝12种不同的搭配方法， 故选：C ．3．解：用反证法证明“已知x ，y ∈R ，x 2+y 2＝0，求证：x ＝y ＝0．”时，应先假设x ≠0或 y ≠0． 故选：D ．4．解：∵f （x ）＝e x lnx ， ∴f ′(x)=e x lnx +e xx ， ∴f ′（1）＝e ． 故选：B ． 5．解：由lim △x→0f(1)−f(1+△x)3△x =−13lim △x→0f(1+△x)−f(1)△x =−13f ′（1）， ∴lim△x→0f(1)−f(1+△x)3△x =−13f ′（1）， 故选：C ．6．解：依题意得y ′＝e x ，因此曲线y ＝e x 在点A （2，e 2）处的切线的斜率等于e 2， 相应的切线方程是y ﹣e 2＝e 2（x ﹣2）， 当x ＝0时，y ＝﹣e 2，即y ＝0时，x ＝1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：S =12×e 2×1=e 22． 故选：D ．7．解：∵函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足f （x ）＝2xf ′（1）+lnx ，（x ＞0） ∴f ′（x ）＝2f ′（1）+1x，把x ＝1代入f ′（x ）可得f ′（1）＝2f ′（1）+1， 解得f ′（1）＝﹣1，∴f ′（2）＝2f ′（1）+12=−2+12=−32． 故选：D ．8．解：∵f （x ）＜m 恒成立，即f （x ）的最大值＜m 恒成立， ∴f ′（x ）＝3x 2﹣x ﹣2，当x ∈[﹣1，−23]时，f （x ）为增函数， 当x ∈[−23，1]时，f （x ）为减函数， 当x ∈[1，2]时，f （x ）为增函数， ∴f （x ）的极大值为f （−23）＝52227，又f （2）＝7，且f （2）＞f （−23）， 所以f （x ）的最大值为7． 所以m 的取值范围为（7，+∞）． 故选：A ．9．解：由花甲指60岁，外加三七岁月指60+21＝81岁， “古稀双庆，更多一度春秋”，“古稀”指70岁， 即这位老人的年龄为70×2+1＝141岁， 故选：D ．10．解：∵函数f(x)=12x −sinx ，∴f （﹣x ）＝﹣f （x ），为奇函数，图象关于原点对称，∴排除A ．f '（x ）=12−cosx ，由f '（x ）=12−cosx =0，得cos x =12，∴函数的极值点由无穷多个，排除B ，D ， 故选：C ．11．解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8的展开式中，含x 3的项的系数C 53(−1)3+C 63(−1)3+C 73(−1)3+C 83(−1)3＝﹣10+（﹣20）+（﹣35）+（﹣56） ＝﹣121 故选：D ．12．解：经验证，f 1（x ），f 2（x ），f 3（x ），f 4（x ）都满足条件①；xf ′（x ）＞0⇔{x ＞0f ′(x)＞0，或{x ＜0f ′(x)＜0，即条件②等价于函数f （x ）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．f 1′（x ）＝﹣3x 2+3x ，xf 1′（x ）＝﹣3x 3+3x 2＝﹣3x 2（x ﹣1），当x ＞1时，xf 1′（x ）＜0，故f 1（x ）不满足条件②，不是“偏对称函数”；f 2′（x ）＝e x ﹣1，xf 2′（x ）＝x （e x ﹣1），满足条件②．由f 2（x ）的单调性知当x 1≠x 2，设x 1＜0＜x 2．﹣x 2＜0，f 2（x 1）﹣f 2（x 2）＝f 2（﹣x 2）﹣f 2（x 2）＝﹣e x 2+e ﹣x 2+2x 2．令F （x ）＝﹣e x +e ﹣x +2x ，x ＞0，F ′（x ）＝﹣e x ﹣e ﹣x +2≤﹣2√e x ⋅e −x +2＝0， 当且仅当e x ＝e ﹣x 即x ＝0时，“＝”成立，所以F （x ）在[0，+∞）上是减函数，所以F （x 2）＜F （0）＝0，所以f 2（x ）是“偏对称函数”． 由函数f 3（x ）={ln(−x +1)，x ≤02x ，x ＞0，满足条件①②，当x 1＜0＜x 2，且|x 1|＝|x 2|时， 设F （x ）＝ln （x +1）﹣2x ，x ＞0．则F ′（x ）=1x+1−2＜0，F （x ）在（0，+∞）上是减函数， 可得F （x ）＜F （0）＝0，故f 3（x ）也满足条件③，所以f 3（x ）是“偏对称函数”； 而容易验证f 4（x ）是偶函数，可知f 4（x ）在区间（﹣∞，0）递减和（0，+∞）递增， 故f 4（x ）满足条件①②，但|x 1|＝|x 2|时，都有f 4（x 1）＝f 4（x 2），不满足条件③，则f 4（x ）不是“偏对称函数”． 故选：C ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．解：曲线y ＝（ax +1）e x ，可得y ′＝ae x +（ax +1）e x ， 曲线y ＝（ax +1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2， 可得：a +1＝﹣2，解得a ＝﹣3． 故答案为：﹣3．14．解：由题意，﹣1≤x ＜0时，图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12，0≤x ≤1时，f （x ）={x +1，−1≤x ＜0e x，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为∫ 10e x dx =e x |01=e ﹣1，∴函数f （x ）={x +1，−1≤x ＜0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为12+e ﹣1＝e −12，故答案为：e −12．15．解：∵（a 0+a 2+a 4+…+a 10）2﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 9）2＝（a 0+a 2+a 4+…+a 10+a 1+a 3+a 5+…+a 9）[（a 0+a 2+a 4+…+a 10）﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 9）]，∴令x ＝1，则a 0+a 1+a 2+…+a 10＝[（a 0+a 2+a 4+…+a 10）+（a 1+a 3+a 5+…+a 9）]＝（√2−1）10，令x ＝﹣1，则a 0﹣a 1+a 2﹣…+a 10＝[（a 0+a 2+a 4+…+a 10）﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 9）]＝（√2+1）10，∴两式相乘得：[（a 0+a 2+a 4+…+a 10）2﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 9）2]＝（√2+1）10•（√2−1）10＝[（√2）2﹣1]10＝110＝1．∴（a 0+a 2+…+a 10）2﹣（a 1+a 3+…+a 9）2＝1． 故答案为：1．16．解：∵f （x ）+xf ′（x ）＞0，∴（ x •f （x ））′＞0，故函数y ＝x •f （x ）在R 上是增函数． ∴由不等式f （√x +1）＞√x −1f （√x 2−1），可得 √x +1•f （√x +1）＞√x +1•√x −1•f （√x 2−1 ），即 √x +1•f （√x +1）＞√x 2−1•f （√x 2−1 ），∴√x +1＞√x 2−1，即{x +1≥0x ≥1，或x ≤−1x +1＞x 2−1，解得 1≤x ＜2，故答案为：{x |1≤x ＜2}．三、解答题：（本题共6小题，共70分，各题解答过程应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．解：设z ＝x +yi ， ∵|z |＝3+3i ﹣z ，∴√x 2+y 2=3−x +(3−y)i ， ∴{√x 2+y 2=3−x3−y =0⇒{x =0y =3∴z =3i ，∴(1+3i)⋅(3+4i)z=(1+3i)⋅(3+4i)3i=133+3i ．18．解：（1）根据题意，先排最左边，除甲外有A 61种排法，剩下的6人全排列A 66，则符合条件的排法一共有A 61⋅A 66=4320种；（2）根据题意，将4名女生看成一个整体，有A 44种顺序， 再把4名女生作为一个整体和其他人全排列，有A 44种顺序，则有A 44⋅A 44=576种排法；（3）根据题意，先排好女生，有A 44种顺序，排好后，有5个空位，将3名男生安排在3个空位中，有A 53种排法，则有A 44⋅A 53=1440种排法．19．证明：要证√a 2+1a 2−√2≥a +1a −2． 只要证√a 2+1a2+2≥a +1a +√2 ∵a ＞0，∴两边均大于零，因此只需证（√a 2+12+2）2≥（a +1a +√2）2， 只需证√a 2+1a 2≥√22（a +1a ）， 只需证a 2+1a 2≥12（a 2+1a2+2） 即证a 2+12≥2，它显然成立． ∴原不等式成立．20．解：（1）f ′（x ）＝3ax 2﹣b由题意知{f ′(2)=12a −b =0f(2)=8a −2b +4=−43，解得{a =13b =4，∴所求的解析式为f （x ）=13x 3﹣4x +4；（2）由（1）可得f ′（x ）＝x 2﹣4＝（x ﹣2）（x +2） 令f ′（x ）＝0，得x ＝2或x ＝﹣2， ∴因此，当x ＝﹣2时，f （x ）有极大值283，当x ＝2时，f （x ）有极小值−43；（3）由（2）知，得到当x ＜﹣2或x ＞2时，f （x ）为增函数；当﹣2＜x ＜2时，f （x ）为减函数，∴函数f （x ）=13x 3﹣4x +4的图象大致如图． 由图可知：−43＜k ＜283．21．（1）解：由a n+1=a n1+a n 及a1＝1，得a2=a11+a1=12，进而a3=a21+a2=13，a4=a31+a3=14．﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）证明：猜想a n=1n，再用数学归纳法证明之．当n＝1时，a1=11=1，而已知a1＝1，所以n＝1时，猜想正确．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）假设当n＝k时，猜想正确，即a k=1k，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）则n＝k+1时，a k+1=a k1+a k =1k1+1k=1k+1．所以当n＝k+1时，猜想也成立．综上所述可知，对一切n∈N，猜想a n=1n都正确．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）22．解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′(x)=1x−a=1−axx，当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，令f'（x）＝0，得到x=1a，当x∈(0，1a)时，f'（x）＞0，f（x）在(0，1a)上单调递增，当x∈(1a，+∞)时，f'（x）＜0，f（x）在(1a，+∞)上单调递减，综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在(0，1a)上单调递增，在(1a，+∞)上单调递减．（2）由f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即lnx﹣ax＜0在（0，+∞）上恒成立，常规法分离参数得到a＞lnx x在（0，+∞）上恒成立，令g(x)=lnx x，则g′(x)=1−lnxx2，当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，g（x）在（0，e）上单调递增，当x∈（e，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）在（e，+∞）上单调递减，故x＝e时，g(x)max=g(e)=1e，故a＞1e。

高二下学期理科数学期中考试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}(){}2|560,|ln 1A x x x B x y x =--≤==-，则AB 等于（ ）A ．[]1,6-B ．(]1,6C ．[)1,-+∞D ．[]2,3 2．复数201811z i i=++在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3． 已知命题p ：存在实数α，β，sin()sin sin αβαβ+=+；命题q ：2log 2log 2a a +≥（0a >且1a ≠）. 则下列命题为真命题的是( )A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()p q ⌝∨ 4．已知平面向量,a b 满足3a =， 23b =，且a b +与a 垂直，则a 与b 的夹角为（ ）A.6π B. 3πC. 23πD. 56π5．设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：240ax y +-=与直线2l ：()120x a y +++=平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ，则y x z -=2的最大值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1D ．27．执行如图所示的程序框图，如果输入的a 依次为2，2，5时，输出的s 为17，那么在判断框 中，应填入（ ） A ．?n k < B ．?n k > C ．?n k ≥ D ．?n k ≤8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．121B ．49C ．92D ．39．某城市关系要好的A ， B ， C ， D 四个家庭各有两个小孩共8人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）A. 48种B. 36种C. 24种D. 18种 10．已知点D C B A ,,,在同一个球的球面上，2==BC AB ，2=AC ，若四面体ABCD 的体积为332，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为（ ）A ． π16B ．π8 C. π4 D ．425π11．P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点， 12,F F 分别为C 的左、右焦点， 212PF F F ⊥，若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，则C 的离心率为（ ）A ．2或3B ．2或3C ．2D ．212．已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数，()'f x 为其导函数，当0x >且1x ≠ 时，()()2'01f x xf x x +>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，则()1f =（ ）A. 12-B. 0C. 12D. 1第II 卷(非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．2-=⎰**** .14．5(2)(1)x x +-展开式中含3x 项的系数为 **** ．（用数字表示） 15．若sin 2cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2α= **** ． 16．对任一实数序列),,,(321 a a a A =，定义新序列),,,(342312 a a a a a a A ---=∆，它的第n 项为n n a a -+1，假设序列)(A ∆∆的所有项都是1，且02212==a a ，则=2a **** ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足()cos 2cos b C a c B =-. （1）求角B 的大小；（2）若b =，求ABC ∆面积的最大值．18．(本小题满分12分）某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按实现拟定的价格进行试销，得到一组检测数据),(i i y x （6,,2,1 =i ）如下表所示：已知变量,x y 具有线性负相关关系，且3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程为：甲：544+=x y ；乙：1064+-=x y ；丙：1052.4+-=x y ，其中有且仅有一位同学的计算是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？并求出,a b 的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”.现从检测数据中随机抽取2个，求至少有一个检测数据为“理想数据”的概率．19．(本小题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =， 121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =， 1n n n b b a n +=+-. （1）证明：{}n a n -是等比数列； （2）数列{}n c 满足()()111n n n n a nc b b +-=++，求数列{}n c 的前n 项的和n T ．20．(本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN ． （1）证明： MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点， 3PA PC AB ==， PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求二面角P AM N --的余弦值．21．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点)22,1(P ，且离心率为22. （1）求椭圆C 的方程；（2）设21,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点，不经过1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点B A ,，如果直线1AF 、l 、1BF 的斜率依次成等差数列，求焦点2F 到直线l 的距离d 的取值范围．22．（本小题满分12分）设函数e R a a x a e x f x,),ln(2)(∈+--=为自然对数的底数.（1）若0>a ，且函数)(x f 在区间),0[+∞内单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若320<<a ，判断函数)(x f 的零点个数并证明．高二下学期理科数学期中考试参考答案及评分标准13、2π； 14、10 ； 15、8； 16、100. 11、【解析】由于12PF F ∆为直角三角形，故外心在斜边中线上.由于22b PF a =，所以212b PF a a =+，故外接圆半径为21122b PF a a=+.设内切圆半径为r ，根据三角形的面积公式，有2221122222b b b c c a r a a a ⎛⎫⋅⋅=+++⋅ ⎪⎝⎭，解得2b r ac =+，故两圆半径比为22:2.52b b a a a c ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，化简得()()()1230e e e +--=，解得2e =或3e =.12、【解析】曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，所以()'11f =- ，当0x >且1x ≠时，()()2'01f x xf x x +>-，可得1x >时， ()()2'0,f x xf x +>01x <<时， ()()2'0f x xf x +<，令()()()2,0,,g x x f x x =∈+∞ ()()()()()2'2'2'g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤∴=+=+⎣⎦，可得1x >时，()'0,g x >01x <<时，()'0g x <，可得函数()g x 在1x =处取得极值， ()()()'121'10,g f f ∴=+=， ()()111'122f f ∴=-⨯=，故选C.17、【解析】 (1)由()cos 2cos b C a c B =-，得()sin cos 2sin sin cos B C A C B ⋅=-⋅sin()2sin cos sin B C A B A ∴+=⋅=，又sin 0A ≠, 1cos 2B ∴=， 又0B π<<, 3B π∴=. （2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，∴2212a c ac =+-，∵222a c ac +≥，∴12ac ≤，当且仅当a c ==∴11sin 12222ABC S ac B ∆=≤⨯⨯=即ABC ∆面积的最大值为.……………………10分18、解：（1）∵变量y x ,具有线性负相关关系， ∴甲是错误的. 又∵3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，∴80,5.6==y x ，满足方程1064+-=x y ，故乙是正确的.由3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，得8=a ，90=b . ……………………6分（2）由计算得不是“理想数据”有3个，即(5,84),(7,80),(9,68)，从6个检测数据中随机抽取2个，共有2615C =种不同的情形，其中这两个检测数据都不是“理想数据”有233C =中情形，故至少有一个检测数据为“理想数据”的概率为：341155P =-=.……………………12分19、【解析】（1）121n n a a n +=-+()()112n n a n a n +∴-+=-，又因为112a -=，所以{}n a n -是首项为2，公比为2的等比数列. …………………4分 （2）由（1）得()11122n n n a n a --=-⋅=，又1n n n b b a n +=+-12n n n b b +∴-=()()()()121112*********n n n n n n n n b b b b b b b b n -----∴=-+-+-+=++++=≥12b =满足上式. 2nn b ∴=()()()()1112111121212121n n n n n n n n n a n c b b +++-===-++++++12231111111111212121212121321n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭………12分20、【解析】（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥，因为AC PO O =且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN平面PBD MN =，所以//BD MN ，所以MN PC ⊥． ………………4分 （2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点， 所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ， 所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以，所以13,22AO PA PO PA ==， 因为3PA AB =，所以36BO PA =． 如图，分别以OA ， OB ， OP 为,,x y z 轴，建立所示空间直角坐标系， 设6PA =，则()()()()0,0,0,3,0,0,0,3,0,3,0,0O A B C -，()0,3,0,D -()3330,0,33,,0,22P H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 所以()9330,23,0,,0,,22DB AH ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ()()3,3,0,3,0,33AB AP =-=-．记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111230933022n DB y n AH x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令11x =，则110,3y z ==，所以()11,0,3n =，记平面PAB 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222223303330n AB x y n AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令23x =，则223,1y z ==，所以()23,3,1n =，记二面角P AM N --的大小为θ，θ为锐角 则1212122339cos cos ,13213n n n n n n θ⋅====⋅⋅ 所以二面角P AM N --的余弦值为3913．……………………12分21、解析：（1）由题意，知22111,22a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩考虑到222a b c =+，解得222,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ……………………3分 （2）设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程2212x y +=， 整理得222(12)42(1)0k x kmx m +++-=.由222(4)8(12)(1)0km k m ∆=-+->，得2221k m >-. ①设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122412kmx x k+=-+，21222(1)12m x x k -=+. 因为(1,0)F -，所以1111AF y k x =+，1221AF y k x =+. 因为1212211y yk x x =+++，且11y kx m =+，22y kx m =+， 所以12()(2)0m k x x -++=.因为直线AB ：y kx m =+不过焦点(1,0)F -，所以0m k -≠， 所以1220x x ++=，从而242014km k -+=+，即12m k k=+. ② 由①②得2212()12k k k>+-，化简得||2k > ③ 焦点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离211|2|2k d ++===.令t =||2k >t ∈.于是23132()2t d t t t+==+.考虑到函数13()()2f t t t=+在上单调递减，则(1)f d f <<2d <<.所以d的取值范围为2). ……………………12分22、解：(1)∵函数()x f 在区间[)∞+，0内单调递增， ∴01)('≥+-=ax e x f x在区间[)∞+，0内恒成立. 即x ea x-≥-在区间[)∞+，0内恒成立. 记()x ex g x-=-，则01)('<--=-x e x g 恒成立，∴()x g 在区间[)∞+，0内单调递减, ∴()()10=≤g x g ，∴1≥a ，即实数a 的取值范围为[)∞+，1.…………………4分 (2)∵320<<a ，ax e x f x+-=1)('， 记)(')(x f x h =，则()01)('2>++=a x e x h x， 知)('x f 在区间()+∞-,a 内单调递增. 又∵011)0('<-=a f ，1'(1)01f e a=->+， ∴)('x f 在区间()+∞-,a 内存在唯一的零点0x ， 即01)('000=+-=ax ex f x ， 于是ax ex +=01，()a x x +-=00ln . 当0x x a <<-时，)(,0)('x f x f <单调递减； 当0x x >时，)(,0)('x f x f >单调递增.∴()())ln(200min 0a x a ex f x f x +--==a a ax a x x a a x 3231210000-≥-+++=+-+=，当且仅当10=+a x 时，取等号. 由320<<a ，得032>-a ， ∴()()00min >=x f x f ，即函数()x f 没有零点. …………12分高二（下）理科数学期中考试试卷一、单选题（共12题；共60分）1．()()121-1x +=⎰A. 212+π B. 214+πC. 12+πD. 21+π2．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，以A 为顶点且过点C 的抛物线的一部分在矩形内.若在矩形ABCD 内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（）A.12 B. 23 C. 35D. 34 3．设复数z 满足()11z i i +=-，则z =（） A. 2i -- B. 1i -- C. 2i -+ D. 1i -+4．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[42ππ，），则点P横坐标的取值范围为()A. 12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， B. []10-，C. []01， D. 12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， 5．已知函数，在区间（0，1）内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是A. （15，B. [15，C. （，6） D. （，66．若,则下列不等式恒成立的是 ( )A.B.C. D.7．函数f(x)＝x 3＋ax 2+bx ＋a 2在x=1处的极值为10，则数对（a,b ）为( )A. （-3,3）B. （-11,4）C. （4，-11）D.（-3,3）或（4，-11） 8.已知对于任意恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A. 0B. 1C.D.9.函数f（x）= 的大致图象是（）A. B.C. D.10.已知函数，其导函数的图象如图，则函数的极小值为（）A. cB. a+b+cC. 8a+4b+cD. 3a+2b11.设函数的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.12.若函数在内无极值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（共4题；共20分）13.若，则= ________14.球的直径为，当其内接正四棱柱的体积最大时的高为________.15.已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是________.16.若函数在上有最小值，则实数的取值范围为________.三、解答题（共6题；共70分）17.已知．(满分10分) （1）若时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求函数的单调区间．18.已知函数，．（满分10分）（1）若，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.19.已知三棱锥A BCD -如图所示，其中90BAD BDC ∠=∠=︒，ADB DBC ∠=∠，面ABD 垂直面CBD.（满分14分）（1）证明：AB DC ⊥；（2）若E 为线段BC 的中点，且1AD =，tan 6CAD ∠=，求二面角B AD E --的余弦值.20.已知椭圆C1的方程为+ =1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而以双曲线C2的左、右顶点分别是椭圆C1的左、右焦点．（满分12分）（1）求双曲线C2的方程；（2）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C2相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2 ，求直线l的方程．21.已知椭圆E：+ =1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．（满分12分）22.已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx（a为实数）．（满分12分）（1）当a=0时，求函数f（x）在区间[ ，e]上的最大值和最小值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），g（x）=f（x）﹣2ax＜0恒成立，求实数a的取值范围．19、（满分14分）20. （满分12分）21、（满分12分）答案解析部分1,B 2,B 3,A 4,D 5,B 6,C 7,C8.【答案】C【解析】【解答】依题意得令，则,当时，，当时，，所以函数先增后减，最小值为，所以.故答案为:C.9.【答案】C【解析】【解答】解：∵f（x）= ，当x=0时，f（0）=﹣3，故排除AB当x= 时，f（）=0，故排除D，故选：C10.【答案】C【解析】【解答】由导函数的图象可知，在处取得极小值，.f(2)=8a+4b+c故答案为：C。

高二下学期期中考试数学（理科）试题(有答案)一．选择题（5分*10=50分）1. 复数 =A ．2iB ．-2iC ．2D ．-22. 已知命题:,sin 1p x R x ∀∈≤，则p ⌝是A.,sin1x R x ∃∈> B.,sin 1x R x ∃∈≥C.,sin 1x R x ∀∈>D.,sin 1x R x ∀∈≥3.123log 2,ln 2,5a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b a c <<4. 如图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果正视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为A B D5. 已知,x y R ∈，且命题:p x y >，命题:sin()0q x y x y -+->，则p是q 的A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. 已知数列{a n }为等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝3，a 4＋a 5＋a 6＝6，则S 12＝A ．15B ．30C ．45D ．607. 某运动某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派4人从事翻译、导游、 礼仪、司机四项不同工作，若甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有A 、18种B 、36种C 、48种D 、72种8. 将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为( ) A 、π8B 、3π8C 、3π4D 、π29. 椭圆C ：22143x y +=的上下顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[2,1]--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）1(1)(1)i i -+A ．13[,]24B ．33[,]84C ．1[,1]2D ．3[,1]4二、填空题（5分*5=25分）11.若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则1＋cos2αcos 2α＋sin2α的值为_______12.已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为13.14. 展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是15、已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率e 的最大值为________．18.(本小题12分)中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜)．进入总决赛的甲乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，假设每场比赛的结果互相独立．现已赛完两场，乙队以2:0暂时领先． （Ⅰ）求甲队获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ．19.（本小题12分）在数列{}n a 中，已知)(log 32,41,41*4111N n a b a a a n n n n ∈=+==+．（Ⅰ）求证：求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n S ．20. (本小题13分) 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切。

高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集是实数集R ，2{|2730}A x x x =-+≤，2{|0}B x x a =+<，若()R C A B B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,)4-+∞ B ．1(,]4-∞- C ．1[,)4-+∞ D ．1(,)4-∞- 2.设复数122iz i-=-（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知a ，b 都是实数，则“4a b +≥”是“224a b +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ． 既不充分也不必要条件 4.设1sin cos 2x x +=-（其中(0,)x π∈），则cos 2x 的值为（ ）A B ．5.已知l 、m 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若l m ，l α，则m α B ．若αβ⊥，l α，则l β⊥ C.若l β⊥，αβ⊥，则l α D ．若l m ⊥，l α⊥，且m β⊥，则αβ⊥6.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．36128π+B ．128π C.36 D ．3664π+7.某程序框图如图所示，若输入的100N =，该程序运行后输出的结果为（ ）A ．50B ．1012 C.51 D ．10328.某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为（ ） A ．8 B ．16 C.24 D ．609.定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足3()()2f x f x -=，(2)3f -=-，(2)3f -=-，数列{}n a ，满足11a =-，且2n n S a n =+（其中n S 为{}n a 的前n 项和），则56()()f a f a +=（ ） A ．-2 B ．3 C.-3 D ．210.如图为函数()f x =01x <<）的图象，其在点(,())M t f t 处的切线为l ，l 与y 轴和直线1y =分别交于点P 、Q ，点(0,1)N ，若PQN ∆的面积为b 时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为（ ）A ．110,427⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．110(,]227 C.110(,]227 D ．18(,)427 11.设点P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，l 为12PF F ∆的内心，若11122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆+=，则该椭圆的离心率是（ ）A ．12 B．2C.2 D ．14 12.在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G 和E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为（ ） A．,1)5 B．5C.(5 D．[5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.设4(1)x -的展开式中2x 的系数为A ，则A = ．14.设a ，b 为两非零向量，且满足||||2a b +=，222a b a b ⋅=⋅，则两向量a ，b 的夹角的最小值为 ．15.已知正数x ，y 满足1910x y x y+++=，则x y +的最大值为 ． 16.设点(,)M x y 的坐标满足不等式组001x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，点(,)m n 在点(,)M x y 所在的平面区域内，若点(,)N m n m n +-所在的平面区域的面积为S ，则S 的值为 ．三、解答题 ：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的所对边的长分别为a 、b 、c，且a =3b =，sin 2sin C A =. （I ）求c 的值； （II ）求sin(2)3A π-的值.18. 设函数()kx f x x e =⋅（0k ≠）（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间.19. 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S . （I ）求n a 及n S ； （II ）令211n n b a =-（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T .20. 如图（1）在等腰ABC ∆中，D ，E ，F 分别是AB ，AC 和BC 边的中点，120ACB ∠=︒，现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A DC B --.(如图（2）)（I ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （II ）求二面角E DF C --的余弦值；（III ）在线段BC 是否存在一点P ，但AP DE ⊥？证明你的结论.21. 已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为2，Q 为椭圆C 的左顶点. （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）已知过点5(,0)6-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点. （i ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小；（ii ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.22. 已知函数2()ln()f x x ax =（0a >）（1）若2'()f x x ≤对任意的0x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当1a =时，设函数()()f x g x x =，若1x ，21(,1)x e∈，121x x +<，求证41212()x x x x <+.试卷答案一、选择题1-5:CDAAD 6-10:AACBD 11、12：AA 二、填空题 13.6 14.3π15.8 16.1 三、解答题17.解：（I ）∵a =sin 2sin C A =，∴根据正弦定理sin sin c a C A =得：sin 2sin Cc a a A===（II ）∵a =3b =，c =∴由余弦定理得：222cos 2c b a A bc +-==， 又A 为三角形的内角，∴sin 5A ==， ∴4sin 22sin cos 5A A A ==，223cos 2cos sin 5A A A =-=，则4sin(2)sin 2coscos 2sin33310A A A πππ--=-=. 18.解：（1）'()(1)kx kx kxf x e kxe kx e =+=+（x R ∈）,且'(0)1f =，∴切线斜率为1， 又(0)0f =，∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为0x y -=.（2）'()(1)kxf x kx e =+（x k ∈），令'()0f x =，得1x k=-， ○1若0k >，当1(,)x k ∈-∞-时，'()0f x <，()f x 单调递减；当1(,)x k ∈-+∞时，'()0f x >， ()f x 单调递增.○2若0k <，当1(,)x k ∈-∞-时，'()0f x >，()f x 单调递增；当1(,)x k∈-+∞时，'()0f x <， ()f x 单调递减.综上所述，0k >时，()f x 的单调递减区间为1(,)k -∞-，单调递增区间为1(,)k-+∞； 0k <时，()f x 的单调递增区间为1(,)k -∞-，单调递减区间为1(,)k-+∞19.解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所有有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13a =，2d =，所有32(1)21n a n n =+-=+；2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+. （II ）由（I ）知21n a n =+，所以221111111()1(21)14(1)41n n b a n n n n n ===⋅=--+-++， 所以数列{}n b 的前n 项和11111111(1)(1)42231414(1)n n T n n n n =-+-++-=-=+++， 即数列{}n b 的前n 项和4(1)n nT n =+.20.解：（I ）如图1在ABC ∆中，由E ，F 分别是AC ，AB 中点，得EF AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面EDF ，∴AB 平面DEF .（II ）∵AD CD ⊥，BD CD ⊥,∴ADB ∠是二面角A CD B --的平面角，∴AD BD ⊥， ∴AD ⊥平面BCD ， 取CD 的点M ，使EMAD ，∴EM ⊥平面BCD ，过M 作MN DF⊥于点N ，连接EN ，则EN DF ⊥， ∴MNE ∠是二面角E DF C --的平面角.设CD a =，则2AC BC a ==，AD DB ==， 在DFC ∆中，设底边DF 上的高为h 由Rt EMN ∆中，122EM AD ==，124MN h ==，∴tan 2MNE ∠= 从而cos 5MNE ∠=（III ）在线段BC 上不存在点P ，使AP DE ⊥，证明如下：在图2中，作AG DE ⊥，交DE 于G 交CD 于Q 由已知得120AED ∠=︒，于是点G 在DE 的延长线上，从而Q 在DC 的延长线上，过Q 作PQ CD ⊥交BC 于P ， ∴PA ⊥平面ACD ，∴PQ DE ⊥，∴DE ⊥平面APQ ，∴AP DE ⊥. 但P 在BC 的延长线上.图1图221.解：（I ）设椭圆C 的标准方程为22221x y a b+=（0a b >>），且222a b c =+.由题意，椭圆C 过点(0,1)1b =，c a =. 所以24a =.所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （II ）由（I ）得(2,0)Q -.设11(,)A x y ，22(,)B x y .（i ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-. 由226514x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得6545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩即64(,)55A -，64(,)55B --（不妨设点A 在x 轴上方）. 则直线AQ 的斜率1，直线BQ 的斜率1-.因为直线AQ 的斜率与直线BQ 的斜率的乘积为1-，所以AQ BQ ⊥，所以2AQB π∠=.（ii ）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6()5y k x =+（0k ≠）由226()514y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为点6(,0)5-在椭圆C 的内部，显然0∆>.212221222402510014410025100k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为11(2,)QA x y =+，22(2,)QB x y =+，116()5y k x =+，226()5y k x =+， 所以22212121212636(2)(2)(1)(2)()4525QA QB x x y y k x x k x x k ⋅=+++=++++++ 2222222144100624036(1)(2)()402510052510025k k k k k k k -=+⨯++-++=++ ∴QA QB ⊥.所以QAB ∆为直角三角形.假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则||||QA QB =. 取AB 的中点M ，连接QM ，则QM AB ⊥. 记点6(,0)5-为N .另一方面，点M 的横坐标2224520M k x k =-+，所以点M 的纵坐标26520M ky k=-+. 所以22222222101666660132(,)(,)0520520520520(520)k k k k QM QN k k k k k ++⋅=⋅=≠+++++所以QM 与NM 不垂直，矛盾.所以当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形.22.解：（1）'()2ln()f x x ax x =+ 2'()2ln()f x x ax x x =+≤，及2ln()1ax x +≤在0x >上恒成立 设()2ln()1u x ax x =+-，2'()10u x x=-=，2x =，2x >时，单调减，2x <单调增，所以2x =时，()u x 有最大值(2)u(2)0u ≤，2ln 212a +≤，所以02a <≤（2）当1a =时，()()ln f x g x x x x ==，'()1ln 0g x x =+=，1x e=， 所以在1(,)e +∞上()g x 是增函数，1(0,)e 上是减函数因为11211x x x e<<+<，所以121212111()()ln()()ln g x x x x x x g x x x +=++>=即121121ln ln()x x x x x x +<+ 同理122122ln ln()x x x x x x +<+ 所以1212121212122121ln ln ()ln()(2)ln()x x x x x xx x x x x x x x x x +++<++=+++ 又因为122124x x x x ++≥，当且仅当“12x x =”时，取等号11 又1x ，21(,1)x e ∈，121x x +<，12ln()0x x +< 所以12121221(2)ln()4ln()x x x x x x x x +++≤+ 所以1212ln ln 4ln()x x x x +<+ 所以：41212()x x x x <+。

高二数学（理）参考答案一、BBCAC CADDA二、11、6116151413121122222<+++++ 12、1- ， 13、94， 14、⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,21,23， 15、14191 三、16、证明：OA ⊥BC ∴OA ⊥BC OA ·BC ＝0 ∴OA ·（OC －OB ）＝0 ∴OA · OC － OA · OB ＝0 ①同理：由OB ⊥AC 得OB · OC － OB · OA ＝0 ②由①-②得OA ·OC — OB · OC ＝0 ∴OC ·（OA －OB ）＝0 ∴OC · BA ＝0 ∴OC ⊥BA∴OC ⊥ AB17、证明：①令1)(--=x e x f x，x>0则01)('>-=x e x f ，∴)(x f 在（0，∞+）上单调递增。

∴对任意),0(+∞∈x ，有)0()(f x f >而010)0(0=--=e f ∴0)(>x f即1+>x e x②令x x x g ln 1)(-+=，x>0 则x x x x g 111)('-=-=令0)('=x g ，得x=1当x 变化时，)('x g ，)(x g 的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,∞+) )('x g - 0 + )(x g ↘ 2 ↗ ∴2)1()(min ==g x g即对任意),0(+∞∈x 有 g(x)≥g(1)＞0∴x+1>lnx综上当x>0时，有x x e x ln 1>+>18、解：414111=⨯=s ；72741412=⨯+=s ；1031071723=⨯+=s ；134131011034=⨯+=s 。

猜想13+=n n s n 证明：（1）当n=1时，左边＝411=s 右边＝4113=+n n ，猜想成立。

卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹6HY高二〔下〕期中数学试卷〔理科〕一、选择题〔一共10小题，每一小题3分，总分值是30分〕1．〔3分〕〔2021•〕复数的值是〔〕A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数的分子、分母同乘分母的一共轭复数，化为a+bi〔a、b∈R〕，可得选项．解答：解：．应选B．点评：此题考察复数代数形式的乘除运算，高考常考题，是根底题．2．〔3分〕〔〕A．6B．5C．4D．3考点：定积分．专题：计算题．分析：直接根据定积分的运算法那么求解即可．解答：解：∫212xdx=x2|12=22﹣12=3 应选D．点此题是定积分的简单计算，是根底题．评：3．〔3分〕设f〔x〕=ax3+3x2+2，假设f′〔﹣1〕=4，那么a的值等于〔〕A．B．C．D．考点：导数的运算．专题：计算题．分析：先求出导函数，再代值算出a．解答：解：f′〔x〕=3ax2+6x，∴f′〔﹣1〕=3a﹣6=4，∴a=应选D．点评：此题是对导数根本知识的考察，属于容易题，在近几年的高考中，对于导数的考察根本围绕导数的计算和导数的几何意义展开，是考生复习时的重点内容．4．〔3分〕假设，那么实数x的值是〔〕A．4B．1C．4或者1 D．其它考点：组合及组合数公式．专题：计算题．分析：直接利用组合数公式的性质列式求解x的值．解答：解：由，得①或者②解①得，x=1．解②得，x=4．所以x的值是4或者1．应选C．点评：此题考察了组合及组合数公式，考察了组合数公式的性质，是根底的运算题．5．〔3分〕〔2021•模拟〕曲线y=x3﹣2x+4在点〔1，3〕处的切线的倾斜角为〔〕A．30°B．45°C．60°D．120°考点：导数的几何意义．专题：计算题．分析：欲求在点〔1，3〕处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．解答：解：y/=3x2﹣2，切线的斜率k=3×12﹣2=1．故倾斜角为45°．应选B．点评：此题考察了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，此题属于容易题．6．〔3分〕〔2021•二模〕在的展开式中的常数项是〔〕A ．7 B．﹣7 C．28 D．﹣28考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出展开式的常数项．解答：解：展开式的通项为令应选A点评：此题考察利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题，属于根底题．7．〔3分〕函数f〔x〕=x3﹣3x2+2x的极值点的个数是〔〕A．0B．1C．2D．3考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：对函数求导，结合导数的符号判断函数的单调性，进而可求函数的极值的个数．解答：解：由题知f〔x〕的导函数f'〔x〕=3x2﹣6x+2，当x ∈时，f'〔x〕＜0，当x ∈或者〔1，+∞〕时，f'〔x〕＞0，那么函数f〔x 〕在上单调递减，函数f〔x 〕在，〔1，+∞〕上单调递增，∴函数f〔x〕=x3﹣3x2+2x有2个极值点．故答案为：C．点评：此题考察利用导数研究函数的极值．属于根底题．8．〔3分〕在〔x+y〕n的展开式中，假设第七项系数最大，那么n的值可能等于〔〕A．13，14 B．14，15 C．12，13 D．11，12，13 考二项式系数的性质．点：专题：计算题；分类讨论．分析：根据题意，分三种情况讨论，①假设仅T7系数最大，②假设T7与T6系数相等且最大，③假设T7与T8系数相等且最大，由二项式系数的性质，分析其项数，综合可得答案．解答：解：根据题意，分三种情况：①假设仅T7系数最大，那么一共有13项，n=12；②假设T7与T6系数相等且最大，那么一共有12项，n=11；③假设T7与T8系数相等且最大，那么一共有14项，n=13；所以n的值可能等于11，12，13；应选D．点评：此题考察二项式系数的性质，注意分清系数与二项式系数的区别于联络；其次注意什么时候系数会取到最大值．9．〔3分〕〔2021•昌图县模拟〕假设函数f〔x〕=x3+ax﹣2在区间〔1，+∞〕内是增函数，那么实数a的取值范围是〔〕A．[﹣3，+∞〕B．〔﹣3，+∞〕C．[0，+∞〕D．〔0，+∞〕考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题．分析：由，f′〔x〕=3x2≥0在[1，+∞〕上恒成立，可以利用参数别离的方法求出参数a的取值范围．解答：解：f′〔x〕=3x2+a，根据函数导数与函数的单调性之间的关系，f′〔x〕≥0在[1，+∞〕上恒成立，即a≥﹣3x2，恒成立，只需a大于﹣3x2的最大值即可，而﹣3x2在[1，+∞〕上的最大值为﹣3，所以a≥﹣3．即数a的取值范围是[﹣3，+∞〕．应选A．点评：此题考察函数导数与函数的单调性之间的关系，参数取值范围求解．此题采用了参数别离的方法．∈N〕，假设n=1，2，…，1000时，P〔k〕成立，且当n=1000+1时它也成立，以下判断中，正确的选项是〔〕A．P〔k〕对k=2021成立B．P〔k〕对每一个自然数k成立C．P〔k〕对每一个正偶数k成立D．P〔k〕对某些偶数可能不成立二．填空题〔每一小题4分，一共24分〕11．〔4分〕函数f〔x〕=1﹣lnx在x=1处的切线方程是y=2﹣x．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程．解答：解：∵f〔x〕=1﹣lnx，∴f′〔x〕=﹣x=1时，f′〔1〕=﹣1，f〔1〕=1∴函数f〔x〕=1﹣lnx在x=1处的切线方程是y﹣1=﹣〔x﹣1〕，即y=2﹣x故答案为：y=2﹣x．点评：此题考察导数知识的运用，考察导数的几何意义，考察学生的计算才能，属于根底题．12．〔4分〕〔文〕如图，函数y=f〔x〕的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，那么f〔5〕+f′〔5〕=2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义，结合切线方程，即可求得结论．解答：解：由题意，f〔5〕=﹣5+8=3，f′〔5〕=﹣1∴f〔5〕+f′〔5〕=2故答案为：2点评：此题考察导数的几何意义，考察学生的计算才能，属于根底题．13．〔4分〕由0，1，3，5，7，9这六个数字组成480个没有重复数字的六位奇数．考点：计数原理的应用．专题：概率与统计．分析：先排第一位、第六位，再排中间，利用乘法原理，即可得到结论．解答：解：第一位不能取0，只能在5个奇数中取1个，有5种取法；第六位不能取0，只能在剩余的4个奇数中取1个，有4种取法；中间的一共四位，以余下的4个数作全排列．所以，由0，1，3，5，7，9这六个数字组成的没有重复数字的六位奇数有5×4×=480个．故答案为：480点评：此题考察计数原理的运用，考察学生分析解决问题的才能，属于根底题．14．〔4分〕假设〔2x﹣1〕7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，那么a7+a5+a3+a1=1094．考点：二项式定理．专题：计算题；概率与统计．分析：在所给的等式中，令x=1可得a7+a6+…+a1+a0=1①，再令x=﹣1可得﹣a7+a6﹣55+a4﹣a3+a2﹣a1+a0=﹣37②．把①减去②，两边再同时除以2求得a7+a5+a3+a1的值．解答：解：在所给的等式中，令x=1可得a7+a6+…+a1+a0=1①，再令x=﹣1可得﹣a7+a6﹣55+a4﹣a3+a2﹣a1+a0=﹣37②．把①减去②，两边再同时除以2求得a7+a5+a3+a1==1094，故答案为1094．点评：此题主要考察二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择适宜的数值代入，属于中档题．15．〔4分〕x＞0，观察以下几个不等式：；；；；…；归纳猜想一般的不等式为，〔n是正整数〕．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：根据题意，对给出的几个等式变形可得，x+≥1+1，x+≥2+1，x+≥3+1，…，类推可得变化规律，左式为x+，右式为n+1，即可得答案．解答：解：根据题意，对给出的等式变形可得，x+≥1+1，x+≥2+1，x+≥3+1，…，那么一般的不等式为x+≥n+1，〔n是正整数〕；故答案为x+≥n+1〔n是正整数〕．点评：此题考察归纳推理，解题的关键在于发现左式中的变化规律．16．〔4分〕记f〔1〕〔x〕=[f〔x〕]′，f〔2〕〔x〕=[f〔1〕〔x〕]′，…，f〔n〕〔x〕=[f〔n﹣1〕〔x〕]′〔n∈N+，n≥2〕．假设f 〔x〕=xcosx，那么f〔0〕+f〔1〕〔0〕+f〔2〕+L+f〔2021〕〔0〕的值是1007．考点：导数的运算．专题：计算题．分析：先求出f〔1〕〔x〕，f〔2〕〔x〕，…f〔5〕〔x〕，由f〔0〕，f〔1〕〔0〕，f〔2〕〔0〕，f〔5〕〔0〕，…可发现规律，从而可得到答案．解答：解：由f〔x〕=xcosx，得f〔1〕〔x〕=cosx﹣xsinx，f〔2〕〔x〕=﹣sinx﹣sinx﹣xcosx=﹣2sinx﹣xcosx，f〔3〕〔x〕=﹣2cosx﹣cosx+xsinx=﹣3cosx+xsinx，f〔4〕〔x〕=3sinx+sinx+xcosx=4sinx+xcosx，f〔5〕〔x〕=4cosx+cosx﹣xsinx=5cosx﹣xsinx，…，那么f〔0〕+f〔1〕〔0〕+f〔2〕+…+f〔2021〕〔0〕=0+1+0﹣3+0+5+0﹣…+2021=〔1﹣3〕+〔5﹣7〕+…+〔2021﹣2021〕+2021=﹣2×503+2021=1007，故答案为：1007．点评：此题考察导数的运算，考察学生的归纳推理才能．三．解答题〔4道题，一共36分〕17．〔6分〕函数f〔x〕=x3﹣x2﹣2x+5〔1〕求函数的单调区间．〔2〕求函数在[﹣1，2]区间上的最大值和最小值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：〔1〕先确定函数的定义域然后求导数fˊ〔x〕，在函数的定义域内解不等式fˊ〔x〕＞0和fˊ〔x〕＜0；〔2〕先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值与最小值．解答：解：〔1〕f'〔x〕=3x2﹣x﹣2〔2分〕由f'〔x〕＞0得或者x＞1，〔4分〕故函数的单调递增区间为〔﹣∞，﹣〕，〔1，+∞〕；〔5分〕由f'〔x〕＜0得〔6分〕故函数的单调递减区间为〔，1〕〔7分〕〔2〕由〔1〕知是函数的极大值，f〔1〕=是函数的极小值；〔10分〕而区间[﹣1，2]端点的函数值〔12分〕故在区间[﹣1，2]上函数的最大值为7，最小值为〔14分〕点评：〔1〕利用导数判断函数的单调性的步骤是：〔1〕确定的定义域；〔2〕求导数fˊ〔x〕；〔3〕在函数的定义域内解不等式fˊ〔x〕＞0和fˊ〔x〕＜0〔4〕确定的单调区间．假设在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．〔2〕这是一道求函数的最值的逆向思维问题．此题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小18．〔10分〕用数学归纳法证明：当n为正整数时，13+23+33+…+n3=．考点：数学归纳法．专题：证明题．分析：用数学归纳法证明：〔1〕当n=1时，去证明等式成立；〔2〕假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．解答：证明：〔1〕当n=1时，左边=1，右边==1，∴等式成立…2分〔2〕假设当n=k时，等时成立，即13+23+33+…+k3=…4分那么，当n=k+1时，有13+23+33+…+k3+〔k+1〕3=+〔k+1〕3…6分=〔k+1〕2•〔+k+1〕=〔k+1〕2•==…8分这就是说，当n=k+1时，等式也成立…9分根据〔1〕和〔2〕，可知对n∈N*等式成立…10分点评：此题考察数学归纳法，用好归纳假设是关键，考察逻辑推理与证明的才能，属于中档题．19．〔10分〕六人按以下要求站一横排，分别有多少种不同的站法？〔l〕甲不站两端；〔2〕甲、乙必须相邻；〔3〕甲、乙不相邻；〔4〕甲、乙之间间隔两人；〔5〕甲不站左端，乙不站右端．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：〔l〕如今中间的4个位中选一个，排上甲，方法有4种；其余的人任意排，方法有种，再根据分步计数原理求得结果．〔2〕把甲乙看成一个整体，这样6个人变成了5个人，全排列一共有•种站法．〔3〕先把其余的4个人全排列，然后再把甲乙插入其余4人形成的5个空中，方法一共有•〔种〕〕．〔4〕先把甲乙排好，有种方法，再从其余的4人中选出2人放到甲乙中间，方法有种．把排好的这4个人看做一个整体，再与其他的2个人进展排列，方法有种．根据分步计数原理，求得结果．〔5〕当甲在中间时，先排甲，有4种方法，再排乙，有4种方法，最后，其余的人任意排，有种方法，根据分步计数原理，方法一共有4×4×=384种．当甲在右端时，其余的5个人任意排，一共有=120种排法．相加即得所求．解答：解：〔l〕如今中间的4个位中选一个，排上甲，方法有4种；其余的人任意排，方法有种，故一共有•=480〔种〕．〔2〕把甲乙看成一个整体，这样6个人变成了5个人，全排列一共有•=240〔种〕站法．〔3〕先把甲乙二人单独挑出来，把其余的4个人全排列，然后再把甲乙插入其余4人形成的5个空中，方法一共有•=480〔种〕〕．〔4〕先把甲乙排好，有种方法，再从其余的4人中选出2人放到甲乙中间，方法有种．把排好的这4个人看做一个整体，再与其他的2个人进展排列，方法有种．根据分步计数原理，求得甲、乙之间间隔两人的排法一共有••=144种．〔5〕当甲在中间时，先排甲，有4种方法，再排乙，有4种方法，最后，其余的人任意排，有种方法，根据分步计数原理，方法一共有4×4×=384种．当甲在右端时，其余的5个人任意排，一共有=120种排法．故甲不站左端，乙不站右端的排法有384+120=504种．点评：此题主要考察排列组合的实际应用，此题解题的关键是对于有限制的元素要优先排，特殊位置要优先排．相邻的问题用捆绑法，不相邻的问题用插空法，表达了分类讨论的数学思想，是一个中档题目．20．〔10分〕函数f〔x〕=x﹣alnx+在x=1处获得极值．〔I〕求a与b满足的关系式；〔II〕假设a∈R，求函数f〔x〕的单调区间．考点：函数在某点获得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：〔Ⅰ〕利用f′〔1〕=0即可求得a与b的关系．〔Ⅱ〕先求导得f′〔x〕=，然后对参数a分a＞2，a=2，a＜2讨论即可．解答：解：〔Ⅰ〕f′〔x〕=1﹣﹣，∵函数f〔x〕=x﹣alnx+在x=1处获得极值，∴f′〔1〕=0，∴1﹣a﹣b=0，即b=1﹣a．〔Ⅱ〕函数f〔x〕的定义域为〔0，+∞〕，由〔Ⅰ〕可得f′〔x〕===．令f′〔x〕=0，那么x1=1，x2=a﹣1．①当a＞2时，x2＞x1，当x∈〔0，1〕∪〔a﹣1，+∞〕时，f′〔x〕＞0；当x∈〔1，a﹣1〕时，f′〔x〕＜0．∴f〔x〕的单调递增区间为〔0，1〕，〔a﹣1，+∞〕；单调递减区间为〔1，a﹣1〕．②当a=2时，f′〔x〕≥0，且只有x=1时为0，故f〔x〕在〔0，+∞〕上单调递增．③当a＜2时，x2＜x1，当x∈〔0，1﹣a〕∪〔1，+∞〕时，f′〔x〕＞0；当x∈〔1﹣a，1〕时，f′〔x〕＜0．∴f〔x〕的单调递增区间为〔0，1﹣a〕，〔1，+∞〕；单调递减区间为〔a﹣1，1〕．点评：此题考察了含有参数的函数的单调性，对参数恰当分类讨论是解决问题的关键．。

答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|0＜x＜2}，B={x|x2≥1}={x|x≥1或x≤-1}，∴∁R B={x|-1＜x＜1}，∴A∩（∁R B）={x|0＜x＜1}．故选：B．根据补集、交集的定义即可求出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.【答案】D【解析】解：∵（2a+i）（1+i）=（2a-1）+（2a+1）i在复平面内所对应的点在虚轴上，∴2a-1=0，即a=．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】B【解析】解：设“从正方形ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中“为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A）===，故选：B．由几何概型中的面积型及圆、正方形的面积公式得：P（A）===，得解．本题考查了几何概型中的面积型及圆、正方形的面积公式，属中档题．4.【答案】A【解析】解：函数f（-x）=-xcos（-x）-（-x）3=-xcosx+x3=-f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，f（）=cos-（）3=-（）3＜0，排除B，故选：A．判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值，结合排除法是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若2a2为3a1和a3的等差中项，则有2×2a2=3a1+a3，变形可得4a1q=3a1+a1q2，即q2-4q+3=0，解得q=1或3；又a2-a1=2，即a1（q-1）=2，则q=3，a1=1，则a n=3n-1，则有a4=33=27；故选：B．根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由2a2为3a1和a3的等差中项，可得2×2a2=3a1+a3，利用等比数列的通项公式代入化简为q2-4q+3=0，解得q，又a2-a1=2，即a1（q-1）=2，q≠1，分析可得a1、q的值，解可得数列{a n}的通项公式，将n=4代入计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大，由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为=0.1，=0.16，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，故A，B，C错误；由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67，故D正确；故选：D．根据茎叶图的知识以及样本来估计总体，进行合理的评价，恰当的描述即可．本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象，可得A=1，•=-，∴ω=2．再利用五点法作图可得2•+φ=π，求得φ=，∴f（x）=sin（2x+）．为了得到g（x）=sin（ωx+）=sin（2x+）的图象，只需将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，即可，故选：A．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）得解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由程序框图可得：m=2a-3，当i的值为1时，m=2（2a-3）-3=4a-9，当i的值为2时，m=2（4a-9）-3=8a-21，当i的值为3时，m=2（8a-21）-3=16a-45，当i的值为4时，m=2（16a-45）-3=32a-93，此时不满足循环条件，输出m=32a-93=67，解得：a=5．故选：C．模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出m值时对应a的值．本题考查了模拟实验法解程序框图的应用问题，是基础题．9.【答案】C【解析】解：该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形，其表面积S=2π×12+π×12+π×2+2×2=4+5π．该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，利用三视图的数据求解几何体的表面积，然后推出结果．本题考查三视图求解几何体的表面积，考查空间想象能力以及计算能力．10.【答案】C【解析】解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立故选：C．判断乙是丙的什么条件，即看乙⇒丙、丙⇒乙是否成立．当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面β相交，则平面α与平面β至少有一个公共点，故相交相交．反之丙成立时，若l、m中至少有一条与平面β相交，则l∥m，由已知矛盾，故乙成立．本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．11.【答案】B【解析】解：由f（x）=2x-1+2x+3=0得2x-1=-2x-3，即2x=-4x-6，作出函数y=2x与y=-4x-6的图象如图，（黑色图象），由图象知两个图象交点的横坐标x1满足-2＜x1＜-1，由g（x）=x-x-1=0得x-1=x，作出y=x-1和y=x的图象如图（红色图象）由图象知两个图象交点的横坐标x2满足2作出h（x）=（）x和y=，的图象如图（蓝色图象）由图象知两个图象交点的横坐标x3满足1＜x2＜2，综上x1，x2，x3的大小关系为x1＜x3＜x2，故选：B．利用函数与方程的关系，分别转化为y=2x与y=-4x-6的图象，y=x-1和y=x的图象，h（x）=（）x和y=的图象，利用数形结合研究x1，x2，x3的范围即可得到结论．本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合求出对应究x1，x2，x3的范围是解决本题的关键．12.【答案】B【解析】解：设MF1与圆相切于点E，因为|MF2|=|F1F2|=2c，所以△MF1F2为等腰三角形，N为MF1的中点，所以|F1E|=|MF1|，又因为在直角△F1EO中，|F1E|2=|F1O|2-a2=c2-a2，所以|F1E|=b=|MF1|①又|MF1|=|MF2|+2a=2c+2a ②，c2=a2+b2③由①②③可得c2-a2=（）2，即为4（c-a）=c+a，即3c=5a，b===a，则双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：B．先设MF1与圆相切于点E，利用|MF2|=|F1F2|，及直线MF1与圆x2+y2=a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的渐近线方程．本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：∵||=2，是单位向量，且与夹角为60°，∴•（-）=-•=4-2×1×=3，故答案为：3．依题意，利用平面向量的数量积即可求得•（-）的值．本题考查平面向量数量积的运算，掌握平面向量的数量积的运算性质及定义是解决问题的关键，属于中档题．14.【答案】80【解析】解：（2x-）5的展开式中，通项公式T r+1=（2x）5-r=（-1）r25-r，令5-r=2，解得r=2．∴x2的系数=23=80．故答案为：80．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】（x-2）2+（y-√3）2=4【解析】解：∵抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，∴|PF|=|PA|，F（1，0），准线l的方程为：x=-1；设F在l上的射影为F′，又PA⊥l，依题意，∠AFF′=60°，|FF′|=2，∴|AF′|=2，PA∥x轴，∴点P的纵坐标为2，设点P的横坐标为x0，（2）2=4x0，∴x0=3，∴|PF|=|PA|=x0-（-1）=3-（-1）=4．故以PF为直径的圆的圆心为（2，），半径为2．以PF为直径的圆的标准方程为（x-2）2+（y-）2=4故答案为：（x-2）2+（y-）2=4．利用抛物线的定义，|PF|=|PA|，设F在l上的射影为F′，依题意，可求得|FF′|，|AF′|，从而可求得点P的纵坐标，代入抛物线方程可求得点P的横坐标，从而可求得|PA|．本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题．16.【答案】200201【解析】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．则：，解得：a1=1，所以：a n=1+2（n-1）=2n-1，所以：b n=（-1）n-1=，所以：，==，故答案为：首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．17.【答案】解：（Ⅰ）∵∠BAD=60°，∠BAC=90°，∴∠DAC=30°，在△ADC中，由正弦定理可得：DCsin∠DAC =ACsin∠ADC，∴sin∠ADC=ACDC sin∠DAC=√32，∴∠ADC=120°，或60°，又∠BAD=60°，∴∠ADC=120°（Ⅱ）∵BD=2DC，∴BC=3DC，在△ABC中，由勾股定理可得：BC2=AB2+AC2，可得：9DC2=6+3DC2，∴DC=1，BD=2，AC=√3，令∠ADB=θ，由余弦定理：在△ADB中，AB2=AD2+BD2-2AD•BD•cosθ，在△ADC中，AC2=AD2+CD2-2AD•CD•cos（π-θ），可得：{3=AD2+1+2ADcosθ6=AD2+4−4ADcosθ，∴解得：AD2=2，可得：AD=√2.【解析】（Ⅰ）由已知可求∠DAC=30°，在△ADC 中，由正弦定理可得sin ∠ADC=，即可解得∠ADC=120°． （Ⅱ）由已知在△ABC 中，由勾股定理可得DC=1，BD=2，AC=，令∠ADB=θ，由余弦定理，即可解得AD 的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】证明：（1）∵平面四边形ABCD ，AB ⊥BD ，AB =BC =CD =2，BD =2√2， 面ABD ⊥面BCD ，AB ⊥BD ，面ABD ∩平面BCD =BD ，∴AB ⊥面BCD ，∴AB ⊥CD ，又AC 2=AB 2+BC 2=8，AD 2=AB 2+BD 2=12，AD 2=AC 2+CD 2=12，∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，∵AC ∩AB =A ，∴CD ⊥平面ABC ．解：（2）AB ⊥面BCD ，如图以B 为原点，在平面BCD中，过B 作BD 的垂线为x 轴，以BD 为y 轴，以BA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则B （0，0，0），A （0，0，2），C （√2，√2，0），D （0，2√2，0），∵E 是AD 的中点，∴E （0，√2，1），∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（√2，√2，0），BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，√2，1），令平面BCE 的一个法向量为n⃗ =（x ，y ，z ）， 则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x +√2y =0n⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y +z =0，取x =1，得n ⃗ =（1，-1，√2）， ∵CD ⊥面ABC ，∴平面ABC 的一个法向量为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-√2，√2，0），∴cos ＜n ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞=n ⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22， ∴二面角E -BC =A 的大小为45°．【解析】（1）推导出AB ⊥面BCD ，从而AB ⊥CD ，再求出AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，由此能证明CD ⊥平面ABC ．（2）以B 为原点，在平面BCD 中，过B 作BD 的垂线为x 轴，以BD 为y 轴，以BA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-BC=A 的大小．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意知X的可能取值为100，300，500，P（X=100）=2+16=0.2，90=0.4，P（X=300）=3690=0.4，P（X=500）=25+7+490∴X的分布列为：E（X）=100×0.2+300×0.4+500×0.4=340．（Ⅱ）由题意知六月份这种饮料的进货量n满足100≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n，若最高气温位于[20，25），则Y=5×300+2（n-300）-3n=900-n，若最高气温低于20，则Y=5×100+2（n-100）-3n=300-n，∴E（Y）=2n×0.4+（900-n）×0.4+（300-n）×0.2=420+0.2n，此时，n=500时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元，当100≤n≤300时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n，若最高气温位于[20，25），则Y=5n-3n=2n，若最高气温低于20，则Y=5×100-（n-100）-300=300-n，∴E（Y）=2n×（0.4+0.4）+（300-n）×0.2=60+1.4n，此时，n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元，∴n=340时，Y的数学期望值为：420+0.2×340=488不是最大值，n=500时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【解析】（Ⅰ）由题意知X的可能取值为100，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．（Ⅱ）六月份这种饮料的进货量n 满足100≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n ，若最高气温位于[20，25），则Y=5×300+2（n-300）-3n=900-n ，若最高气温低于20，则Y=5×100+2（n-100）-3n=300-n ，求出E （Y ）=420+0.2n ，当n=500时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元；当100≤n≤300时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n ，若最高气温位于[20，25），则Y=5n-3n=2n ，若最高气温低于20，则Y=5×100-（n-100）-300=300-n ，E （Y ）=60+1.4n ，n=300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为480元．由此能求出n=500时，y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得{12c ×1=√34a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a 2=6，b 2=3， 故椭圆C 的方程为x 26+y 23=1， 证明（Ⅱ）：设直线AP 的斜率为k ，则直线BP 的斜率为-k ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线PA 的方程为y +1=k （x -2），即y =kx +1-2k联立{y =kx +1−2k x 26+y 23=1，得（1+2k 2）x 2+4（k -2k 2）x +8k 2-8k -4=0．∴2x 1=8k 2−8k−41+2k 2，即x 1=4k 2−4k−21+2k 2设直线PB 的方程为y +1=-k （x -2），同理求得x 2=4k 2+4k−21+2k 2∴x 2-x 1=-8k 1+2k 2∴y 1-y 2=k （x 1+x 2）+2-4k =8k 1+2k 2，∴直线AB 的斜率k AB =y 2−y 1x 2−x 1=1， 易知l 与在两坐标轴的截距绝对值相等且都不为0，∴直线AB 与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形【解析】（Ⅰ）由题意可得，解得a2=6，b2=3，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设直线PA的方程为y+1=k（x-2），联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得答案．本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．21.【答案】解：（1）∵f(x)=12x2−2x+mlnx+2，(x＞0)，∴f′(x)=x−2+mx =x2−2x+mx，令g（x）=x2-2x+m，∵m＜1，∴△=4-4m＞0，令f’（x）=0则x=1±√1−m，当1−√1−m≤0，即m≤0时，令f’（x）＜0则x∈(0，1+√1−m)；令f’（x）＞0则x∈(1+√1−m，+∞)．此时函数在(0，1+√1−m)上单调递减；在(1+√1−m，+∞)上单调递增．当1−√1−m＞0，即0＜m＜1时，令f’（x）＜0，则x∈(1−√1−m，1+√1−m)；令f’（x）＞0则x∈(0，1−√1−m)∪(1+√1−m，+∞)，此时函数在(1−√1−m，1+√1−m)上单调递减；在(0，1−√1−m)和(1+√1−m，+∞)上单调递增．（2）由（1）知，若f（x）有两个极值点，则0＜m＜1且x1=1−√1−m∈(0，1)，x2=1+√1−m∈(1，2)，又x1，x2是x2-2x+m=0的两个根，则x1+x2=2，m=2x1−x12，∴f(x1)x2=12x12−2x1+2+(2x1−x12)lnx12−x1=12(2−x1)+x1lnx1，令ℎ(t)=12(2−t)+tlnt，t∈(0，1)，则ℎ′(t)=lnt+12，令h’（t）＜0，则t∈(0√e )，令h’（t）＞0，则t∈(√e1)，所以h（t）在(0e )上单调递减；在(e1)上单调递增．∴ℎ(t)≥ℎ(√e )=1−√e，∵ℎ(1)=12；t→0，ℎ(t)→1，∴h（t）＜1，得证．【解析】（1）首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的单调性即可；（2）首先确定x1，x2的范围，然后结合题意证明题中的不等式即可．本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的极值，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．22.【答案】解：（Ⅰ）当θ0=3π4时，联立{θ=3π4ρ=4cosθ得A（-2√2，3π4）；同理得B（2√6，3π4），由极径的几何意义有|AB|=2√6-（-2√2）=2√6+2√2．（Ⅱ）由已知令P（ρ，θ），A（ρ1，θ），B（ρ2，θ），∵ρ1=4cosθ，ρ2=4√3sinθ，P为AB的中点，∴ρ=ρ1+ρ22=2cosθ+2√3sinθ，即ρ2=2ρcosθ+2√3sinθ，所以P点的轨迹的直角坐标方程为x2+y2-2x-2√3y=0，因为直线l不与坐标轴重合，所以需去掉（1，0），（0，√3）．【解析】（Ⅰ）用直线l的极坐标方程分别代入C1，C2的极坐标方程，再根据极径的几何意义可得；（Ⅱ）先求出AB的中点的轨迹的极坐标方程，再化成直角坐标方程．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f （x ）={3x −2，x ≥3x +4，−12＜x ＜32−3x ，x ≤−12，其图象为（2）关于x 的不等式f （x ）≥|x -m |的解集包含[4，5]，即|2x +1|+|x -3|≥|x -m |在x ∈[4，5]上恒成立，∴|x -m |≤3x -2，即2-3x ≤m -x ≤3x -2，∴2-2x ≤m ≤4x -2，x ∈[4，5]上恒成立，∴-6≤m ≤14，故m ∈[-6，14]．【解析】（1）f （x ）=，画图即可，（2）关于x 的不等式f （x ）≥|x -m|的解集包含[4，5]，可得|x-m|≤3x -2在x ∈[4，5]上恒成立，解得即可本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，数形结合思想，是一道常规题．。

第二学期其中考试试卷高二数学理科第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、计算复数2(ii i-是虚数单位） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i -- D ．12i -2、函数21y x =-的图象上一点(1,0)处的切线的斜率为A ．1B ．2C ．0D ．-13、由①上行的对角线互相垂直；②菱形的对角线互相垂直；③正方形是菱形，写出一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③① 4、设()ln f x x x =，若0(3)f x '=，则0x = A ．2e B ．e C ．ln 22D ．ln 2 5、20cos xdx π⎰等于A ．3-B ．12C ．3D ．12- 6、若()sin cos f x x α=-，则()f α'等于A ．sin αB ．cos αC ．sin cos αα+D ．2sin α 7、函数()(3)x f x x e =-的单调区间是A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．()1,4D ．()0,38、设函数()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是9、函数3239(04)y x x x x =--<<有A ．极大值5，极小值-27B ．极大值5，极小值-11C ．极大值5，无极小值D ．极小值-27，无极大值 10、已知函数()f x 在R 上满足()122(2)x f x f x e x -=-++，则()1f '=A ．2B ．3C ．-1D ．1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

. 11、核黄素()sin 2f x x =，则函数的导函数为()f x '= 12、复数12,z i z =-=13、在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立，在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立，猜想在n 边形12n A A A 中，有 不等式成立。

211z z =+高二下期期中考试理科数学试题考试范围：圆锥曲线、导数、选修4-4第一章 坐标系考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数，，则（ ）12i z =+212i z =-A ． B ．的共轭复数为1z 2z C ．复数对应的点位于第二象限 D ．复数为纯虚数 12z z 12z z 2．下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（ ） A ．B ．C ．D ． ()tan =f x x ()1f x x =-()cos f x x x =-()e e x x f x -=-3．若，则（ ） πsin3y =y '=A ．0 B ．C ．D 1212-4．设双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（ ） 22221(0,0)x y a b a b -=>>43y x =±A ． B ． C ． D ． 535443355．如图，方程表示的曲线是（ ）．10x y +-=A ． B ．C ．D ． 6．对于常数，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）．,m n 0mn >221mx ny +=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．已知，，为坐标原点，动点满足，其中、，且(2,1)A -(1,1)B -O P OP mOA nOB =+ m R n ∈，则动点的轨迹是（ ）2222m n -=PA B ．焦距为CD．焦距为8．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）()f x ()f x '()()21ln f x xf x '=+()1f '=A ． B ． C ． D ．112-1-e 9．已知函数的导函数是，对任意的，，若，则的解集是()f x ()f x 'x ∈R ()1f x '<()11f -=()2f x x >+（ ）A ．B ．C ．D ．()1,1-()1,-+∞(),1-∞-()1,+∞10．函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） ()f x R ()y f x '=A ．是的极小值点B ． 1x =()f x ()()21f f ->-C ．函数在上有极大值D ．函数有三个极值点()f x ()1,1-()f x 11．的右焦点为，点在双曲线上，若，且，其中:C 22221x y a b-=()0,0a b >>F P C 5PF a =120PFO ∠=︒为坐标原点，则双曲线的离心率为（ ）O C A ． B ． C ． D ．2 43533212．已知动点P 在双曲线C ：上，双曲线C 的左、右焦点分别为，，则下列结论： 2213y x -=1F 2F ①C 的离心率为2； ②C 的焦点弦最短为6；③动点P 到两条渐近线的距离之积为定值； ④当动点P 在双曲线C 的左支上时，的最大值为． 122PF PF 14其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．动点P 到两定点A(－4，0)、B(4，0)距离之和为10，则点P 的轨迹方程为________．14．若函数的图象在处的切线斜率为，则实数__________.()ln f x x ax =-()()1,1f 12=a 15．已知抛物线：的焦点为，设点在抛物线上，若以线段为直径的圆过点，C 28x y =F M C FM ()1,0则______.FM =16．已知球的半径为2，四棱锥的顶点均在球的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为______O O三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

高二年级数学期中理科卷班级：_____________ 姓名：_____________ 分数：_______________ 一、 选择题（每小题5分，共50分）：1、1．函数()2()2f x x =的导数是 （ ） A ． ()2f x x '= B ． x x f 4)(=' C ． x x f 8)(=' D ．x x f 16)(='2、因指数函数xa y =是增函数（大前提）,而x y )31(=是指数函数（小前提），所以x y )31(=是增函数（结论）”，上面推理的错误是 （ ） A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错3、下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ） A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=︒．B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．C ．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人， 由此推测各班都超过50人．D ．在数列{}n a 中()111111,22n n n a a a n a --⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，由此归纳出{}n a 的通项公式． 4、用数学归纳法证明等式：()()+∈=-++++N n n n 212531 的过程中，第二步假设kn =时等式成立，则当1+=k n 时应得到 （ ）()2.13521A k k +++++= ()()2.135211B k k +++++=+()()2.135212C k k +++++=+ ()()2.135213D k k +++++=+5、函数3()31f x x x =-+在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是 （ ）A. 1,−1B. 1, −17C. 3, −17D. 9, −19 6、如图是导函数/()y f x =的图象， 那么函数()y f x =在下面哪个区间 是减函数( )A 13(,)x xB 24(,)x x C.46(,)x x D.56(,)x x7、设,a b R ∈，若1a bii+-为实数，则 ( ) A.0b a +≠ B.0b a -≠ C.0b a += D. 0b a -=8、设函数[]0)()(,,12)(3<∈+--=n f m f n m x x x x f 且则方程[]n m x f ,0)(在=上（ ） A.至少有三个实数根 B. 至少有两个实数根C. 有且只有一个实数根D 无实数根 9、已知函数(]0)(,3,0)()()(≠∈=x g x x g x f x h ，，对任意(])()()()(,3,0x g x f x g x f x '>'∈恒成立，则 （ ） A.函数h(x)有最大值也有最小值 B. 函数h(x)只有最小值C ．函数h(x)只有最大值 D. 函数h(x)没有最大值也没有最小值10、一个作直线运动的物体，它的速度v (米/秒)与时间t （秒）满足3(0)v t t =≥　，如果它在a 秒内的平均速度与２秒时的瞬时速度相等，则a 等于 （ ）A ．BC ．4D ． 二、 填空题（每小题5分，共25分）：11、设O 是原点，向量,OA OB 对应的复数分别为23,32,i i --+那么向量BA 对应的复数是_______12、已知曲线2x y =上一点P 处的切线与直线210x y -+=平行，则点P 的坐标为_______ 13、120(23)x x dx -=⎰_______14、已知函数()x x x f ln =，则)(e f '=___ _____. 15、下列命题中，错误命题的序号是____________．①两个复数不能比较大小；②z 1，z 2，z 3∈C ，若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 3；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1；④z 是虚数的一个充要条件是z ＋z ∈R ；⑤若a ，b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数；⑥复数z ∈R 的一个充要条件是z ＝z ；⑦在复数集内，－1的平方根是±i ；⑧z 21＋z 22＝0⇔z 1＝z 2＝0. 三、 解答题（共75分）：16、(1) 已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围. (2) 已知函数f x x x ()=-+33，R x ∈;求f x ()的单调递增区间. （12分）17、（12分）设f (x )=2(0)ax bx c a ++≠，f ′(x )＝2x ＋2. 且方程f (x )＝0有两个相等的实根.(1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积；18、若a 、b 、c 均为实数且22,22,12222+-=+-=+-=x z c z y b y x a 。

镇安中学高二年级2022-2023学年度第二学期期中考试试题 数学（理）考生注意：1.本试卷分共150分.考试时间120分钟.2.请考生在答题卡密封栏内正确书写班级､姓名､考号信息.3.选择题答案请填涂在机读答题卡上，非选择题答案请填写在答题卡上，超出答题栏内的作答无效.一､选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 复数在复平面上对应的点位于1i z i =+A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】A【解析】【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限.【详解】∵复数=,∴复数对应的点的坐标是（）, 1i i +11112i i i i i -+⨯=-+11,22∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A. 1i i+2. 利用反证法证明“若，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于1”正确的假设为3a b c ++=A. a ，b ，c 中至多有一个数大于1B. a ，b ，c 中至多有一个数小于1C. a ，b ，c 中至少有一个数大于1D. a ，b ，c 中都小于1【答案】D【解析】【分析】否定原命题的结论可得结果.【详解】“若，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于1”的否定为：a ，b ，c 都小于1， 3a b c ++=故选：D3. 用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等111131214n n n n +++>+++ n k =1n k =+式左边（ ） A. 增加了 B. 增加了 ()121k +112122k k +++C. 增加了 D. 增加了 11121221k k k +-+++()11211k k -++【答案】C 【解析】 【分析】列出和的情况，比较得到答案.n k =1n k =+【详解】当时，， n k =4121111123k k k ++⋅⋅⋅+>++当时，， 1n k =+1111113232212214k k k k k ++⋅⋅⋅+++>++++故增加了，但减少了. 112122k k +++11k +故选：C.4. 一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移s 与时间t 的关系是，那么速3215632s t t t =-+度为零的时刻是（） A. 1秒末B. 2秒末C. 3秒末D. 2秒末或3秒末 【答案】D【解析】【分析】求出导数，然后解方程可得．s '0s '=【详解】∵，∴. 3215632s t t t =-+2()56v s t t t '==-+令，得，解得或.0v =2560t t -+=2t =3t =故选：D.5. 定积分的值为（ ） ()103x x e dx +⎰A.B. 1e +eC.D. 12e -12e +【答案】D【解析】【分析】用定积分公式即可.【详解】. ()0210133131222x x x edx x e e e ⎛⎫⎰+=+=+-=+ ⎪⎝⎭故选:D 【点睛】本题考查了定积分计算，属于基础题．6. 函数的图象在处的切线方程是，则等于（ ）()f x 5x =8y x =-+()()55f f '+A. 10B. 8C. 3D. 2 【答案】D【解析】【分析】根据切线方程可求的值.()()55f f '，【详解】因为函数的图象在处的切线方程是，所以 ，，所()f x 5x =8y x =-+()51f '=-()53f =以，()()552f f '+=故选：D.7. 函数的图象大致是（ ） lg ||x y x=A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先分析函数奇偶性,再分析函数是否有零点即可.【详解】因为,故为奇函数,排除A,B. lg ||lg ||x x y x x -==--lg ||x y x=又当时,故有零点,排除C. lg ||0x y x ==1x =lg ||x y x=故选D 【点睛】本题主要考查函数图像的判定方法,一般考虑奇偶性与函数的零点或者函数的正负等,属于基础题型.8. 已知函数，则（ ） ()32f x x x =+()()0222lim x f f x x∆→-+∆=∆A.B.C. D. 1414-28-7-【答案】C【解析】 【分析】求出的值，利用导数的定义可求得所求代数式的值.()2f '【详解】因为，所以，()232'=+f x x ()214f '=所以. ()()()()()00222222lim 2lim 22282x x f f x f x f f x x∆→∆→-+∆+∆-'=-=-=-∆∆故选：C.9. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖了．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁 【答案】C【解析】【分析】逐一验证即可.【详解】若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意故获奖的歌手是丙故选：C10. 若在上是减函数，则的取值范围是（ ） ()()21ln 22f x x b x =-++()1,-+∞b A.B. (],1-∞-(),1-∞-C.D.[)1,-+∞()1,-+∞【解析】【分析】先对函数进行求导，根据函数单调递减列出不等式即可得到答案.【详解】由题意可知，在上恒成立， ()02b f x x x '-+≤+=()1,x ∈-+∞即在上恒成立，()2b x x ≤+()1,x ∈-+∞由于在上是增函数，其值域为，()2y x x =+()1,-+∞()1,-+∞所以，1b ≤-故选：A.11. 已知函数满足，则实数的取值范围是（ ） ()2122=+-f x lnx x x ()()22412f a a f a -≤+a A . B. C. D. 1,42⎛⎤ ⎥⎝⎦3,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦31,0,422⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 1[3,0),42⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】 【分析】求出函数的导数，得到函数的单调性，利用单调性得到关于的不等式，解出即可．a 【详解】的定义域是，()f x (0,)+∞， 1()220f x x x '=+--=…故在递增，()f x (0,)+∞，2(2)(412)f a a f a -+ …，202412a a a ∴<-+…解得：或， 302-<a (142)<a …故选：．C 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．12. 若定义在上的函数满足，，则不等式 (其中为R ()f x ()()1f x f x '+>(0)4f =()3x x e f x e ⋅>+e 自然对数的底数)的解集为（ ）A.B. (,0)(0,)-∞+∞ (,0)(3,)-∞⋃+∞C.D. (0,)+∞(3,)+∞【答案】C【分析】构造函数，求导结合题干条件可证明在R 上单调递增，又()()3x xg x e f x e =⋅--()g x ，故，即得解(0)0g =()0(0)0g x g x >=⇒>【详解】令，()()3x xg x e f x e =⋅--则()()()[()()1]0x x x x g x e f x e f x e e f x f x '''=⋅+⋅-=+->所以在R 上单调递增，()g x 又因为，00(0)(0)30g e f e =⋅--=所以，()0(0)0g x g x >=⇒>即不等式的解集是(0,)+∞故选：C 二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题纸中的横线上） 13. 已知函数，则__________. ()21e3x f x x +=-()0f '=【答案】2e 3-【解析】【分析】由复合函数的求导法则求出导函数后，可计算导数值．【详解】由题意，所以． 21()2e3x f x +'=-(0)2e 3f '=-故答案为：．2e 3-14. 直线与抛物线所围成的图形面积是_______________．23y x =+2y x =【答案】 323【解析】【详解】试题分析：先求出直线与抛物线的交点坐标，从而得到积分的上下限，然后23y x =+2y x =利用定积分表示出图形面积，最后根据定积分的定义求出即可．试题解析：或 2231y x x y x =+⎧⇒=-⎨=⎩3x =. ()322331113223(3)|33S x x dx x x x --∴=+-=+-=⎰15. 从等5名学生中随机选3名参加数学、物理、化学三项竞赛，则和至多有一个入选的方法,A B A B 有__________种．（用数字作答）【答案】42【解析】【分析】先分类，再利用排列组合求解即可.【详解】A 和B 至多有一个入选包含下面3种情况，A 入选，B 不入选，不同的方法为种，2333C A 18⋅=B 入选，A 不入选，不同的方法为种，2333C A 18⋅=A ，B 都不入选，不同的方法为种，33A 6=综上，A 和B 至多有一个入选的方法有种．1818642++=故答案为：42．16. 设直线x ＝t 与函数f(x)＝x 2，g(x)＝lnx 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN|达到最小时t 的值为________．【解析】【详解】如图：|MN|＝f(t)－g(t)＝t 2－lnt(t>0)，令h(t)＝t 2－lnt(t>0)，则h′(t)＝2t －＝， 1t 221t t-令h′(t)>0，得，令h′(t)<0，得，∴h(t)在(0)上单调递减，在，＋∞)上单调递增．∴当t 时，h(t)取最小值，即t ＝时，|MN|取最小值． 三､解答题（6题共70分，解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17. 已知，命题：，，命题：，使得方程成m ∈R p []0,2x ∀∈22m x x ≤-q [)0,x ∃∈+∞23x m +=立.（1）若是真命题，求的取值范围；p m （2）若为真命题，为假命题，求的取值范围.p q ∨p q ∧m 【答案】（1）(],1-∞-（2）(][),14,-∞-⋃+∞【解析】【分析】（1）根据恒成立的思想可知，由二次函数最值可求得结果；()2min 2m x x ≤-（2）根据指数函数单调性可求得，由能成立的思想可知时，方程能成立；根据复合命234x +≥4m ≥题真假性可知一真一假，分别讨论真假和假真两种情况即可.,p q p q p q 【小问1详解】若为真命题，则在上恒成立，p 22m x x ≤-[]0,2x ∈当时，，，[]0,2x ∈()2min 2121x x -=-=-1m ∴≤-即实数的取值范围为.m (],1-∞-【小问2详解】对于，当时，，q 0x ≥23134x +≥+=要使成立，只需即可，即；23x m +=4m ≥[)4,m ∞∈+若为真命题，为假命题，则一真一假，p q ∨p q ∧,p q 当真假时，由得：；当假真时，由得：； p q 14m m ≤-⎧⎨<⎩1m ≤-p q 14m m >-⎧⎨≥⎩4m ≥综上所述：实数的取值范围为.m (][),14,-∞-⋃+∞18. 已知数列的前项和， {}n a n 21122n S n n =+（1）求通项公式的表达式；n a （2）令，求数列的前项的和．12-=⋅n n n b a {}n b n n T 【答案】（1）n a n =（2）()121n n T n =-⨯+【解析】【分析】（1）利用求得. 11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩n a （2）利用错位相减求和法求得.n T 【小问1详解】当时，，1n =111a S ==当时，， 2n ≥()()2211111112222n n n a S S n n n n n -=-=+----=也符合上式，11a =所以.n a n =【小问2详解】，1122n n n n b a n --=⋅=⋅①，01112222n n T n -=⋅+⋅++⋅ ②，12212222n n T n =⋅+⋅++⋅ ①-②得：， 211212222212n n nn n T n n ---=++++-⋅=-⋅- ()121n n =-⨯-所以. ()121n n T n =-⨯+19. 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE .（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若PA ＝1，AD ＝2，求二面角B －PC －A 的正切值．【答案】(1)证明见解析；（2）.3【解析】【分析】（1）证明PA ⊥BD ．PC ⊥BD ．即可证明BD ⊥平面PAC ．（2）由PC ⊥平面BDE ，得∠BEO 为二面角B －PC －A 的平面角，在Rt △BEO 中，即可求解二面角B －PC －A 的大小．【详解】（1）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD∴PA ⊥BD ．同理由PC ⊥平面BDE ，可证得PC ⊥BD ．又PA ∩PC ＝P ，∴BD ⊥平面PAC ．（2）解：设和相交于，连结，AC BD O OE 由PC ⊥平面BDE ，平面BDE ，平面BDE ，OE ⊂BE ⊂故PC ⊥OE ，PC ⊥BE ，则∠BEO 为二面角B －PC －A 的平面角，由（1）知BO ⊥AC ∴ABCD 为正方形∴AB ＝2，，故PC =3，AC =由BD ⊥平面PAC ，平面，所以，OE ⊂PAC OE BD ⊥PC ⊥平面BDE ，平面，所以，OE ⊂BDE OE PC ⊥所以，所以， Rt CEO Rt CAP ≅△△OE OC OE AP PC =∴=在Rt △BEO 中，， BO =tan 3OB BEO OE ∠==二面角B －PC －A 的正切值为.3【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，注意与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力,中档题．20. 已知函数在时有极值0．232()31f x a x ax bx =+--1x =（1）求实数的值；,a b （2）若在上恒成立，求实数的取值范围．()f x m ≥[0,)+∞m 【答案】（1） 19,24a b =-=-（2）1m ≤-【解析】【分析】（1）由函数的极值知列方程求参数，再验证处是否为极值点即可； (1)0,(1)0f f '==1x =（2）由（1）得，问题化为在上，即可得范围. 32139()1424f x x x x =-+-[0,)+∞min ()f x m ≥【小问1详解】由在时有极值0，且， 232()31f x a x ax bx =+--1x =22()36f x a x ax b '=+-则，即，则或， (1)0,(1)0f f '==22310360a a b a a b ⎧+--=⎨+-=⎩13a b =-⎧⎨=-⎩1294a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩当时，，则在时无极值；1,3a b =-=-2()3(1)0f x x '=-≥()f x 1x =当时，，则在时有极值； 19,24a b =-=-3()(1)(3)4f x x x '=--()f x 1x =所以. 19,24a b =-=-【小问2详解】由（1）知：，则， 32139()1424f x x x x =-+-3()(1)(3)4f x x x '=--当时，递增；当时，递减；当时，01x ≤<()0f x '>()f x 13x <<()0f x '<()f x 3x >()0f x '>()f x 递增；由，则，(0)1,(3)1f f =-=-min ()1f x =-所以，.1m ≤-21. 已知椭圆的上、下焦点分别为，，点满足直线，()2222:10y x C a b a b+=>>1F 2F ()2,0A 1AF 2AF的斜率之积为，点是上任意一点，． 14-B C 12BF BF +=（1）求的方程；C （2）过点的直线与交于，两点，若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程．A l C D E DE O l 【答案】（1） 2212yx +=（2） )2y x =-【解析】【分析】（1）由斜率之积可得椭圆半焦距，再利用椭圆定义即可求得椭圆方程；（2）设直线的方程，与椭圆联立，根据圆的性质知，再利用韦达定理及判别式可得结果.l 90DOE ∠= 【小问1详解】设椭圆C 的半焦距为．()0c c >因为直线，的斜率之积为， 1AF 2AF 14-所以，解得c =1． ()00120204c c ---⋅=---因为，利用椭圆定义可得椭圆长轴，解得， 12BF BF +=2a=a =则．1b ==所以C 的方程为． 2212y x +=【小问2详解】由已知得过点且满足题意的直线l 的斜率存在，不妨设， ()20A ，():2l y k x =-联立消去y 得，()221,22,y x y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()222224420k x k x k +-+-=令，()()()2222442420k k k ∆=--+->解得k <<设，，则，， ()11,D x y ()22,E x y 212242k x x k +=+2122422k x x k -=+因为以DE 为直径的圆经过点O ，所以，即，，0OD OE ⋅= 12120x x y y +=所以，()()21212220x x k x x +--=即， ()()22212121240k x x kx x k +-++=所以， ()2222222424124022k k k k k k k -+⋅-⋅+=++整理可得，21020k -=解得 k =k <<所以直线l 的方程为． )2y x =-22. 已知函数. ()1ex f x x +=（1）求的极值； ()f x （2）当时，恒成立，求实数的取值范围.0x >()ln 1f x x x a ≥+++a 【答案】（1）有极小值，无极大值.()f x ()11f -=-（2）(],1a ∈-∞【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值；（2）首先根据不等式构造函数，再根据函数构造函数()1e ln 1x g x x x x +=---()g x '()11e x h x x+=-，再利用函数的导数判断函数的单调性，并结合零点存在性定理，判断，即的正负，()h x '()h x ()g x '判断函数的单调性，并求函数的最值，即可证明不等式.【小问1详解】求导得()()11e x f x x +=+'，所以当时，；当时，，()0f x ¢>1x >-()0f x '<1x <-所以在上单调递减，在上单调递增，()f x (),1-∞-()1,-+∞所以有极小值，无极大值.()f x ()11f -=-【小问2详解】由题知不等式在上恒成立，1e ln 1x x x x a +≥+++()0,x ∈+∞则原问题等价于不等式在上恒成立， 1e ln 1x x x x a +---≥()0,x ∈+∞记，()1e ln 1x g x x x x +=---则 ()()()11111e 11e x x g x x x x x ++⎛⎫=+--=+- ⎝'⎪⎭记则恒成立， ()11e x h x x +=-，()121e 0x h x x+'=+>所以在上单调递增，又，， ()h x ()0,x ∈+∞2112e 21e e 0e h +⎛⎫=-< ⎪⎝⎭()21e 10h =->所以存在，使得， 021,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00h x =即当时，，此时；当时，，此时， 0x x <()0h x <()0g x '<0x x >()0h x >()0g x '>所以在上单调递减，在上单调递增，()g x ()00,x ()0,x +∞由得， ()01001e 0x h x x +=-=，0101x e x +=即，001e 1x x +=00ln 1x x =--所以， ()()010*******1ln 1111x g x g x x e x x x x x x +≥=---=⋅++--=. (],1a ∴∈-∞。