学期高二期中考试数学(理)(附答案)

2024-2025学年安徽省芜湖市安师大附中高二第一学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知a =(1,5,−1)，b =(−3,2,3)，则a−b =( )A. (−4,−3,4)B. (4,3,−4)C. (−4,3,−4)D. (4,3,4)2.如图，空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，点M 在OA 上，且OM =23OA ，点N 为BC 中点，则MN 等于( )A. −23a +12b +12c B. 12a +12b−12c C. 23a +23b−12cD. −23a +23b−12c3.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P(1,2,5)，点Q(−1,2,−5)，则( )A. 点P 和点Q 关于x 轴对称 B. 点P 和点Q 关于y 轴对称C. 点P 和点Q 关于z 轴对称D. 点P 和点Q 关于原点中心对称4.已知直线l 的斜率的范围为[−1,1]，则直线l 的倾斜角α的取值范围为( )A. 0∘≤α≤45∘或135∘≤α≤180∘ B. 45∘≤α≤135∘C. 45∘<α<135∘D. 0∘≤α≤45∘或135∘≤α<180∘5.已知点A(−4,−2)，B(−4,2)，C(−2,2)，则△ABC 外接圆的方程为( )A. (x +3)2+y 2=5 B. x 2+(y−3)2=20C. x 2+(y +3)2=5D. (x−3)2+y 2=206.与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )A. x 24+y 23=1 B.y 26+x 2=1 C. x 26+y 2=1D. x 28+y 25=17.已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为6.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为16，则椭圆C 的离心率为( )A. 15B. 45C. 35D.2158.已知M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)是圆C:(x +3)2+(y−5)2=4上的两个不同的点，若|MN|=22，则|x 1−y 1|+|x 2−y 2|的取值范围为( )A. [12,20]B. [10,14]C. [8,16]D. [4 2,82]二、多选题：本题共4小题，共24分。

白城市2024-2025学年度高二上学期期中考试数学试卷（答案在最后）一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知空间三点()1,0,3A ，()1,1,4B -，()2,1,3C -，若//AP BC ，且AP =uu u v 则点P 的坐标为（）A.()4,2,2-B.()2,2,4-C.()4,2,2-或()2,2,4- D.()4,2,2--或()2,2,4-【答案】C 【解析】【分析】设P 点坐标，由//AP BC可解出P 坐标，再用空间向量模长公式即可.【详解】设(),,P x y z ，则()1,,3AP x y z =--uu u r ，()3,2,1BC =--uu u r，因为//AP BC ，所以()3,2,AP BC λλλλ==--uu u r uu u r ，1323x y z λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，3123x y z λλλ=+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩，所以()31,2,3P λλλ+--+，又AP =uu u v=解得1λ=或1λ=-，所以()4,2,2P -或()2,2,4-，故选:C2.已知圆221:(2)(3)1C x y -+-=和圆222:(3)(4)9C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x轴上的动点，则PM PN +的最小值为（）A.4-B.1-C.6-D.【答案】A 【解析】【分析】求出圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标A ，以及半径，然后求解圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出||||PM PN +的最小值.【详解】圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标()2,3A -，半径为1，圆2C 的圆心坐标为(3,4)，半径为3，∴若M '与M 关于x 轴对称，则PM PM '=，即||||||||PM PN PM PN '+=+，由图易知，当,,P N M '三点共线时||||PM PN '+取得最小值，∴||||PM PN +的最小值为圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，∴()()222||3132344524AC --=-+---=-.故选：A.3.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积的取值范围是A.[]26， B.[]48， C.22 D.2232⎡⎣【答案】A 【解析】【详解】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB 2= 点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离120222d ++=故点P 到直线x y 20++=的距离2d的范围为则[]2212,62ABP S AB d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．4.在四面体ABCD 中，E 为AD 的中点，G 为平面BCD 的重心．若AG 与平面BCE 交于点F ，则AF AG=（）A.12B.23C.34D.45【答案】C 【解析】【分析】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果.【详解】如图：连接DG 交BC 于H ，则H 为BC 中点，连接,,AH EH AG ,因为AG ⊂平面AHD ，EH ⊂平面AHD ，设AG EH K = ，则,K EH K AG ∈∈，又EH ⊂平面BCE ，所以K ∈平面BCE ，故K 为AG 与平面BCE 的交点，又因为AG 与平面BCE 交于点F ，所以F 与K 重合，又E 为AD 的中点，G 为平面BCD 的重心，因为点A ，F ，G 三点共线，则()23AF mAG m AD DG m AD DH ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭()21323DB DC m AD m AD AB AD AC AD ⎛⎫+⎡⎤=+⨯=+⨯-+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()13m AD AB AC =++又因为点E ，F ，H 三点共线，则(),1AF xAH y AE x y =++=，()22x y AF x AH y AE AB AC AD =+=++ ,所以32132m xx y m y⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎩，解得34m =，即34AF AG = ，故34AF AG =.故选：C.5.O 为空间任意一点，若1148AP OA OB tOC =-++，若A ，B ，C ，P 四点共面，则t =（）A.1B.98C.18D.14【答案】C 【解析】【分析】将1148AP OA OB tOC =-++化简为：3148OP OA OB OC t =++ ，利用四点共面定理可得31148t ++=，即可求解.【详解】因为AP OP OA =- ，所以1148AP OA OB tOC =-++，可化简为：1148OP OA OA OB tOC -++-=，即3148OP OA OB OC t =++ ，由于A ，B ，C ，P 四点共面，则31148t ++=，解得：18t =；故选：C6.已知直线1:420l ax y +-=与直线2:250l x y b -+=互相垂直，垂足为()1,c 则a b c ++=（）A.24B.20C.2D.4-【答案】D 【解析】【分析】根据两直线垂直可求出a 的值，将公共点的坐标代入直线1l 的方程，可得出c 的值，再将公共点的坐标代入直线2l 的方程，可得出b 的值，由此可得出a b c ++的值.【详解】因为直线1:420l ax y +-=与直线2:250l x y b -+=互相垂直，则2200a -=，可得10a =，由题意可知，点()1,c 为两直线的公共点，则10420c +-=，解得2c =-，再将点()1,2-的坐标代入直线2l 的方程可得()2520b -⨯-+=，解得12b =-，因此，101224a b c ++=--=-.故选：D.7.已知圆221:(1)(2)1C x y -+-=，圆222:(3)(4)4C x y -++=，,M N 分别是圆12,C C 上两个动点，P 是x 轴上动点，则PN PM -的最大值是（）A. B. C.D.【答案】A 【解析】【分析】由两圆的标准方程写出其圆心坐标及半径，再由2211||||(||)(||)PN PM PC r PC r -≤+--，求出点2C 关于x 轴的对称点3C ，结合2113||||||PC PC C C -≤即可求得结果.【详解】由题意知，圆1C 的圆心为1(1,2)C ，半径11r =，圆2C 的圆心为2(3,4)C -，半径22r =，作2(3,4)C -关于x 轴的对称点3(3,4)C ，如图所示，22112121||||(||)(||)||||PN PM PC r PC r PC PC r r -≤+--=-++31211321||||||PC PC r r C C r r =-++≤++213=+=+13,,P C C 共线时等号成立，所以||||PN PM -的最大值为3+.故选：A.8.已知抛物线24x y =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，点O 为坐标原点，则下列命题中正确的个数为（）①AOB V 面积的最小值为4；②以AF 为直径的圆与x 轴相切；③记OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则123k k k +=；④过焦点F 作y 轴的垂线与直线OA ，OB 分别交于点M ，N ，则以MN 为直径的圆恒过定点.A.1 B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】依次判断每个选项：AB 的斜率为0时，2AOB S =△，所以①错误，计算1||||2EG AF =②正确，证明1212123124y y x x k k k x x ++=+==，所以③正确，根据等式令0x =，得1y =-或3，所以④正确，得到答案.【详解】当AB 的斜率为0时，2AOB S =△，所以①错误.设AF 的中点为E ，作EG x ⊥轴交x 轴于点G ，作AD ⊥准线交准线于点D ，交x 轴于点C ，则||||2E OFG AC +=，又1OF CD ==，所以||||11||||||222CD AC EG AD AF +===，所以②正确.直线AB 的方程为31y k x =+，联立24x y =，得23440x k x --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则1234x x k +=，124x x =-，所以1212123124y y x x k k k x x ++=+==，所以③正确.直线111:4y x OA y x x x ==，所以14,1M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.同理可得24,1N x ⎛⎫⎪⎝⎭.所以以MN 为直径的圆的方程为()()2217122121222(1)x x x x x y x x x x +-⎡⎤⎡⎤-+-=⎢⎥⎢⎥⋅⋅⎣⎦⎣⎦，即()222332(1)44x k y k ++-=+.令0x =，得1y =-或3，所以④正确.故选：C.【点睛】本题考查了抛物线的面积，斜率，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）（2023·四川省成都市树德中学期中）9.点()00,P x y 是圆22:86210C x y x y +--+=上的动点，则下面正确的有（）A.圆的半径为3B.03y x -既没有最大值，也没有最小值C.002x y +的范围是11⎡-+⎣D.2200023x y x +++的最大值为72【答案】BC 【解析】【分析】将圆方程化为标准方程可判断选项A 错误.设03y k x =-，则转化为直线与圆有交点，可算得003y k x =-既没有最大值，也没有最小值，选项B 正确.对于选项C 和D ，可用三角换元化简，再结合辅助角公式即可判断.【详解】圆22:86210C x y x y +--+=转化为()()22434x y -+-=，则圆的圆心为()4,3，半径为2，选项A 错误.设003y k x =-，则直线()003y k x =-与圆有交点，即2≤，整理得23650k k +-≥，解得33k --≤或33k -+≥.既03y x -没有最大值，也没有最小值，选项B 正确.设042sin x θ=+，032cos yθ=+，则()002114sin 2cos 11x y θθθϕ+=++=++，其中1tan 2ϕ=.则002x y +的取值范围为11⎡-+⎣，选项C 正确.又22000086210x y x y +--+=，则2200008621x y x y +=+-，因此()2200000231061820sin 12cos 4040x y x x y θθθα+++=+-=++=++其中3tan 5α=.则2200023x y x +++的最大值为40，选项D 错误.故选：BC.10.在棱长为1正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1CC 上异于端点的动点，（）A.三角形1D BP 面积的最小值为4B.直线1D B 与DP 所成角的余弦值的取值范围为0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.二面角1A BD P --的正弦值的取值范围为6,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.过点P 做平面α，使得正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的取值范围为0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】AB 【解析】【分析】根据三角形的面积公式，转化为求P 到直线1BD 距离最小值，进而转化为异面直线1CC 和1BD 的距离，也就是直线1CC 到平面11BDD B 的距离，等于C 到BD 的距离，从而得到三角形1D BP 面积的最小值，判定A ；1BD 在平面1DC 中的射影为1CD ,设1BD 与1CD 所成的角为α，设直线DP 与直线1CD 所成的角为β，设直线1D B 与DP 所成角为γ，则根据射影三余弦定理cos cos cos γαβ=，计算求得其取值范围，进而判定B ；二面角的平面角的范围，可以排除C ；考虑到各种情况，取面积最大的的一个截面，可以排除D.【详解】对于A ，要使三角形1D BP 面积的最小，即要使得P 到直线1BD 距离最小，这最小距离就是异面直线1CC 和1BD 的距离，也就是直线1CC 到平面11BDD B 的距离，等于C 到BD 的距离，为2.由于1BD =，所以三角形1D BP 面积的最小值为1224=，故A 正确；对于B ，先证明一个引理：直线a 在平面M 中的射影直线为b ,平面M 中的直线c ,直线,,a b c 所成的角的余弦值满足三余弦定理，直线,a b 的角为α，直线,b c 的角为β，直线,a c 的角为γ，则cos cos cos γαβ=.证明：如上图，在平面M 内任意取一点O 为原点，取两条射线分别为,x y 轴，得到坐标平面xOy ，然后从O 作与平面M 垂直的射线作为z 轴，建立空间直角坐标系，设直线a 的方向向量为()111,,x y z ,则()11,,0x y 为射影直线b 的方向向量,设直线c 的方向向量坐标为()22,,0x y ，则cos α=，cos β=，cos γ=，所以cos cos αβ=，cos γ=，引理得证.如上图所示，根据正方体的性质可知1BD 在平面1DC 中的射影为1CD ,设1BD 与1CD 所成的角为α，cosα=设直线DP 与直线1CD 所成的角为β，,42ππβ⎛⎫∈⎪⎝⎭,2cos 0,2β⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.设直线1D B与DP所成角为γ，根据上面的引理可得：cos cos cos0,3γαββ⎛⎫==∈ ⎪⎪⎝⎭，故B正确；对于C，如上图所示，设AC、BD交点为M，连接1A M，PM，由正方体性质易知1,BD AC BD AA⊥⊥，11,,AC AA A AC AA⋂=⊂平面11ACC A，所以BD⊥平面11ACC A，故1,BD A M BD MP⊥⊥,1A MP∠为二面角1A BD P--的平面角，当P与1C重合时，111π2A MC A MA∠=-∠，11tan122AAA MAAM∠===>，所以1ππ43A MA<∠<，∴11π2A MC∠<，P在1C C上从下往上移动时，1A MP∠逐渐变大，最终是钝角，其正弦值可以等于1，故C错误；对于D，因为过正方体顶点与各棱所成的角的都相等的直线是体对角线所在的直线，所以过点P的平面与各棱所成的角相等必须且只需与某一条体对角线垂直，过P与对角线1BD垂直的截面中，当P为1CC中点时取得最大值，是一个边长为2的正六边形，如下图所示，面积为1223336sin6022242⨯⨯⨯⨯︒=>，不在区间0,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭内，故D不正确.故选：AB【点睛】直线a 在平面M 中的射影直线为b ,平面M 中的直线c ,直线,,a b c 所成的角的余弦值满足三余弦定理，,a b 的角为α，,b c 的角为β，,a c 的角为γ，则cos cos cos γαβ=.这是常见的很好用的一个公式.11.已知直线1:880l ax y +-=与直线20:2l x ay a +-=，下列说法正确的是（）A.当8a =时，直线1l 的倾斜角为45︒B.直线2l 恒过()0,1点C.若4a =，则1//l 2l D.若0a =，则12l l ⊥【答案】BD 【解析】【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系判断A ，利用直线过定点的求解判断B ，利用直线平行与垂直的性质判断CD ，从而得解.【详解】A 中，当8a =时，直线1l 的斜率11k =-，设其倾斜角为,[0,π)αα∈，所以1tan 1k α==-，则135α=︒，所以A 不正确；B 中，直线20:2l x ay a +-=，整理可得2(1)0x a y +-=，令2010x y =⎧⎨-=⎩，可得0,1x y ==，即直线2l 恒过定点(0,1)，所以B 正确；C 中，当4a =时，两条直线方程分别为：220,220x y x y +-=+-=，则两条直线重合，所以C 不正确；D 中，当0a =时，两条直线方程分别为：1,0y x ==，显然两条直线垂直，所以D 正确.故选：BD.12.正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，动点P 、Q 分别满足1AP mAC nAD =+ ，其中()0,1m ∈，Rn ∈且0n ≠，14QB QC +=；R 在11B C 上，点T 在平面11ABB A 内，则（）A.对于任意的(0,1)m ∈，R n ∈且0n ≠，都有平面ACP ⊥平面11A B DB.当1m n +=时，三棱锥1B A PD -的体积不为定值C.若直线RT 到平面1ACD的距离为1DD 与直线RT所成角正弦值最小为3．D.1AQ QD ⋅的取值范围为[]28,4-【答案】ACD 【解析】【分析】建空间直角坐标系，用向量知识求解四个选项.【详解】对于A ，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,4,0D ，()4,4,0C ，()10,4,4D ，()10,0,4A ，()14,0,4B ，()4,0,0B 设平面11A B D 的法向量为()111,,m x y z =，()114,0,0A B =，()10,4,4A D =- 则11111140440m A B x m A D y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令11y =，则10x =，11z =，则()0,1,1m =，()4,4,0AC =，()10,4,4AD = ，()()()14,4,00,4,44,44,4AP mAC nAD m n m m n n =+=+=+，设平面ACP 的法向量为()222,,x n y z =，则()2222244044440n AC x y n AP mx m n y nz ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+++=⎪⎩ ，令21x =，则21y =-，21z =，则()1,1,1n =-，又()11110m n ⋅=-⨯+⨯=，所以m n ⊥，所以对于任意的(0,1)m ∈，R n ∈且0n ≠，都有平面ACP ⊥平面11A B D ，故A 正确；对于B ，当1m n +=时，()4,4,4P m n 设平面1A BD 的法向量为()333,,u x y z =()14,0,4BA =- ，()4,4,0BD =-，则133334+404+40u BA x z u BD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令31x =，则31y =，31z =，所以()1,1,1u =，又()4,4,4BP n n =-，点P 到平面1A BD的距离为3BP u d u⋅=== 又11B A PD P A BD V V --=，又因为1A BD 的面积为定值，所以三棱锥1B A PD -的体积为定值，故B 错误；对于C ，设()4,,4R b ，(),0,T a c ,则()4,,4RT a b c =---因为直线RT 到平面1ACD的距离为RT //平面1ACD ，()4,4,0AC =，()10,4,4AD = 设面1ACD 为()444,,k x y z =，则44144440440k AC x y k AD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令41y =-，则441,1x z ==，所以()1,1,1k =-所以440RT k a b c ⋅=-++-=，即8a b c ++=，又()4,,4AR b =，则AR k k⋅==2b =或14b =，若2b =，所以6a c +=，()4,2,4R ，又()10,0,4DD =，设直线1DD 与直线RT 所成角为θ，所以11cos RT DD RT DD θ⋅====当cos θ最大时，sin θ最小，令()22421224c g c c c -=-+，()()()224421224c c g c c c -'=-+，()g c 在[]0,4单调递增，所以()()max 142g c g ==，()()min 106g c g ==-，cos θ63=，所以sin θ最小为3，所以直线1DD 与直线RT 所成角正弦值最小为3；若14b =，所以6a c +=-，()4,14,4R ，根据对称性可得sin θ最小为33，故C 正确；对于D ，设(),,Q x y z 因为14QB QC += ，所以()4,,QB x y z =--- ，()4,4,4QC x y z =--- ，()182,42,42QB QC x y z +=---，所以14QB QC +=，整理得222844200x y z x y z ++---+=，即()()()2224224x y z -+-+-=所以点p 的运动轨迹为一个以()4,2,2为球心，半径为2的球面上一点，所以26x ≤≤，()()1,,4,,4,A Q x y z QD x y z =-=---所以222144208AQ QD x y z y z x ⋅=---++=- ，当6x =时，1AQ QD ⋅ 最小为28-，当2x =时，1AQ QD ⋅最大为4所以1AQ QD ⋅的取值范围为[]28,4-，故D 正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.直线()()()112360x y R λλλλ+--+-=∈被圆2225x y +=截得的弦长的最小值是______．【答案】8.【解析】【分析】首先化简直线求出直线恒过定点(0,3)P ，并判断点在圆内，由圆的性质知：当该直线与OP 垂直时，直线被圆截得的弦长最短.用弦长公式计算弦长即可.【详解】直线的方程可化简为：2360x x y y λλλ+-++-=，整理得：(26)(3)0x y x y λ+-+-+=.令26030x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得：03x y =⎧⎨=⎩.所以直线恒过定点(0,3)P .又因为220325+<，所以点(0,3)P 在2225x y +=内.所以当该直线与OP 垂直时，直线被圆截得的弦长最短.3d ==，故最短弦长为.故答案为：8.【点睛】本题主要考查了含参直线恒过定点问题以及过圆内一点求最短弦长问题，考查了学生的图形转化计算的能力，属于中档题.14.若点()sin ,cos P θθ-与ππcos ,sin 44Q θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于直线y x =对称，写出一个符合题意的θ值为______．【答案】3π8（答案不唯一）【解析】【分析】由,P Q 中点在直线y x =上且所成直线斜率为1-，并应用和角正余弦公式展开化简得πsin sin()4θθ=+且πcos cos 4θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，进而求θ值.【详解】由题设，,P Q 中点ππsin cos()cos sin()44(,)22θθθθ++-++在直线y x =上，且1PQ k =-，所以ππsin cos()cos sin()4422θθθθ++-++=，且πsin()cos 41πcos()sin 4θθθθ++=-+-，即ππsin cos()cos sin()44θθθθ++=-++，且ππsin()cos sin cos(44θθθθ++=-+，所以sin cos sin cos cos sin 2222θθθθθθ+-=-++，且sin cos cos sin cos sin 2222θθθθθθ++=-+，πsin cos )4θθθθ=+=+πsin cos )4θθθθ=-=+，所以πsin sin(4θθ=+，且πcos cos(4θθ=-+，综上，π2(21)π,Z 4k k θ+=+∈，可得1π()π,Z 28k k θ=+-∈，显然3π8满足.故答案为：3π8（答案不唯一）15.如图，点C 是以AB 为直径的圆O 上的一个动点，点Q 是以AB 为直径的圆O 的下半个圆（包括A ，B两点）上的一个动点，,3,2PB AB AB PB ⊥==，则1)3AP BA QC +⋅（的最小值为___________.【答案】3-【解析】【分析】建立合适的平面直角坐标系，利用三角换元法和辅助间公式得到1)344AP BA QC ππαθ⎛⎫⎛⎫+⋅=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （，最后根据正弦函数的性质即可得到答案.【详解】以O 为原点,以AB 为x 轴,以AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系O xyz -,则圆O 的半径为32,(3,2)AP = ,(3,0)BA =-,1(2,2)3AP BA ∴+= ,设3333cos ,sin ,cos ,sin 2222C Q ααθθ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,[)[]0,2π,π,0a θ∈∈-,则3333cos cos ,sin sin 2222QC αθαθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,()()1ππ3cos cos 3sin sin 3344AP BA QC αθαθαθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+⋅=-+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ [)[]0,2π,π,0a θ∈∈- ,ππ9ππ3ππ,,,442444αθ⎡⎫⎡⎤∴+∈+∈-⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦,∴当π3πππ,4244αθ+=+=时,1)3AP BA QC +⋅ （取得最小值3-，故答案为：3-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是建立合适的直角坐标系，利用三角换元法表示出相关点的坐标，最后计算向量数量积，再根据三角恒等变换和三角函数性质即可求出最值.16.已知A ，B是曲线||1x -=(0,1)C ，则CA CB +的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】由曲线方程，结合根式的性质求x 的范围，进而判断曲线的形状并画出草图，再由圆的性质、数形结合法判断CA CB +的最值，即可得其范围.【详解】由||1x -=22(||1)(1)4x y -+-=.由||10x -=，所以1x ≤-或1x ≥.当1x ≤-时，22(1)(1)4x y ++-=；当1x ≥时，22(1)(1)4x y -+-=.所以||1x -=22:(1)(1)4P x y ++-=的左半部分和圆22:(1)(1)4Q x y -+-=的右半部分.当A ，B 分别与图中的M ，N 重合时，||||CA CB +取得最大值，为6；当A ，B 为图中E ，F ，G ，H 四点中的某两点时，||||CA CB +取得最小值，为.故||||CA CB +的取值范围是.故答案为：.四、解答题：写出必要的文字描述、解题过程.共6题.17.已知直线l ：12y x =和两个定点(1,1),(2,2)A B ，问直线l 上是否存在一点P ，使得|22||||PA PB +取得最小值？若存在，求出点P 的坐标和22||||PA PB +的最小值；若不存在，说明理由.【答案】存在，95,910⎛⎫ ⎪⎝⎭，1910【解析】【分析】设()002,P x x ，根据坐标运算22||||PA PB +可转化为关于0x 的二次函数，利用二次函数的最值求解即可.【详解】假设直线l 上存在一点()002,P x x ，使得22||||PA PB +取得最小值，如图，则22||||PA PB +()()()()22222000000211222101810x x x x x x =-+-+-+-=-+，因为0R x ∈，所以当01892010x -=-=，即点P 的坐标为99,510⎛⎫⎪⎝⎭时，22||||PA PB +取得最小值，且最小值为1910.18.在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数()()22f x x x b x =++∈R 的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .（1）求实数b 的取值范围；（2）求圆C 的方程；（3）请问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论.【答案】（1）{|1b b <，且0b ≠}（2）222(1)0x y x b y b ++-++=（1b <，且0b ≠）；（3）过定点(0,1)和(2,1)-，证明见解析.【解析】【分析】（1）令0x =得抛物线与y 轴交点，此交点不能是原点；令()0f x =，则方程∆＞0，即可求b 的范围．（2）设出所求圆的一般方程，令0y =得到的方程与220x x b ++=是同一个方程；令0x =得到的方程有一个根为b ，由此求得参数及圆C 的一般方程．（3）把圆C 方程里面的b 合并到一起，令b 的系数为零，得到方程组，求解该方程组，即得圆过的定点．【小问1详解】令0x =得抛物线与y 轴交点是(0,)b ；令2()20=++=f x x x b ，由题意0b ≠，且440b ∆=->，解得1b <，且0b ≠．即实数b 的取值范围{|1b b <，且0b ≠}．【小问2详解】设所求圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，由题意得函数()()22f x x x b x =++∈R 的图像与两坐标轴的三个交点即为圆220x y Dx Ey F ++++=和坐标轴的交点，令0y =得，20x Dx F ++=，由题意可得，这与220x x b ++=是同一个方程，故2D =，F b =．令0x =得，20y Ey F ++=，由题意可得，此方程有一个根为b ，代入此方程得出1E b =--，∴圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=（1b <，且0b ≠）．【小问3详解】把圆C 的方程改写为222(1)0x y x y b y ++---=，令22201x y x y y ⎧++-=⎨=⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=⎩，故圆C 过定点(0,1)和(2,1)-．19.如图，已知ABC V 的三个顶点分别为)(4,3A ，)(1,2B ，)(3,4C -．（1）试判断ABC V 的形状；（2）设点D 为BC 的中点，求BC 边上中线的长．【答案】（1）直角三角形；（2）.【解析】【分析】(1)利用两点间距离公式直接计算三角形三边长即可判断作答.(2)求出点D 坐标，再用两点间距离公式计算作答.【小问1详解】根据两点间的距离公式，得AB ==，BC ==，CA ==((222+=，即222AB BC CA +=，所以ABC V 是直角三角形.【小问2详解】依题意，线段BC 的中点(2,1)D -，AD ==，所以BC 边上中线的长为.（2023·安徽省淮北市树人高级中学期中）20.如图，在三棱锥P ABC -中，1AB BC ==，PA PB PC AC ====，O 为棱AC 的中点（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且PC 与平面PAM 所成角的正弦值为4，求二面角M PA C --的大小【答案】（1）证明见解析（2）30°【解析】【分析】对于（1），通过题目条件，可以分别得到BO 和PO 长度，分别通过勾股定理和等腰三角形的三线合一得到PO OB ⊥和PO AC ⊥，从而得到⊥PO 平面ABC ，从而得到平面PAC ⊥平面ABC ；对于（2），先建立空间直角坐标系，因为已知PC 与平面PAM 所成角的正弦值为4，同时点M 在棱BC 上，所以设点M 的坐标，从而分别求出PC和平面PAM 的法向量，并得到点M 的坐标。

2023-2024学年四川省成都市高二下册期中考试数学（理）试题一､单选题（本大题共12小题，共60.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合{}{}220,0,1A xx x B =-≤=∣，则A B ⋂=（）A.[]0,1B.{}0,1 C.[]0,2D.{}0,1,22.复数3i1iz +=+在复平面内表示的点的坐标为（）A.()2,1- B.()1,1- C.()1,2 D.()2,23.函数()3,0ln ,0x e x f x x x +⎧≤=⎨>⎩，则()1f f ⎡⎤-=⎣⎦（）A.-1B.0C.ln2D.24.在极坐标系中，圆2cos ρθ=-的圆心的极坐标是（）A.1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.()1,0 D.()1,π5.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A.()323f x x x=+ B.()5tan f x x=C.()8f x x=-D.()f x x =+6.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A.13B.14C.15D.177.树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（）A.8种B.14种C.12种D.9种8.收集一只棉铃虫的产卵数y 与温度x 的几组数据后发现两个变量有相关关系，按不同的曲线来拟合y 与x 之间的回归方程，并算出了对应的决定系数2如下表：则这组数据模型的回归方程的最好选择应是（）A.ˆ19.8463.7yx =- B.0.273.84ˆx ye -=C.2ˆ0.367202yx =- D.ˆy =9.若443243210(1)x a x a x a x a x a -=++++，则4321a a a a -+-=（）A.-1B.1C.15D.1610.函数2ln x x y x=的图象大致是（）A. B.C.D.11.函数()3224f x x x x =--+，当[]3,3x ∈-时，有()214f x m m -恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.()3,11- B.()3,11 C.[]2,7D.[]3,1112.已知函数()22(1)sin 1x xf x x ++=+，其导函数记为()f x '，则()()()()2022202220222022f f f f ++--'-'=（）A.-3B.3C.2D.-2二､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数()i 12i z =+的共轭复数为__________.14.10(1)x -的展开式的第6项系数是__________.15.已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋.甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”.如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是__________.16.已知,a b 为实数，不等式ln ax b x +≥恒成立，则ba的最小值为__________.三､解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题10.0分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线22:1C x y +=所对应的图形经过伸缩变换2x x y =⎧⎪⎨=⎪'⎩'得到图形C '.（1）写出曲线C '的平面直角坐标方程；（2）点P 在曲线C '上，求点P到直线60l y +-=的距离的最小值及此时点P 的坐标.18.（本小题12.0分）已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =-处取得极大值1.（1）求,a b 的值；（2）当[]1,1x ∈-时，求()f x 的最大值.19.（本小题12.0分）随着2022年北京冬季奥运会的如火如茶地进行.2022年北京冬季奥运会吉祥物“冰墩墩”受到人们的青睐，现某特许商品专卖店每天均进货一次，卖一个吉祥物“冰墩墩”可获利50元，若供大于求，则每天剩余的吉祥物“冰墩墩”需交保管费10元/个；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时调剂的每一个吉祥物“冰墩墩”该店仅获利20元.该店调查上届冬季奥运会吉祥物每天（共计20天）的需求量（单位：个），统计数据得到下表：每天需求量162163164165166频数24653以上述20天吉祥物的需求量的频率作为各需求量发生的概率.记X 表示每天吉祥物“冰墩墩”的需求量.（1）求X 的分布列；（2）若该店某一天购进164个吉祥物“冰墩墩”，则当天的平均利润为多少元.20.（本小题12.0分）光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能.近几年在国内出台的光伏发电补贴政策的引导下，某地光伏发电装机量急剧上涨，如下表：年份2011年2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年年份代码x12345678新增光伏装机量y 兆瓦0.40.8 1.6 3.1 5.17.19.712.2某位同学分别用两种模型：①2ˆybx a =+，②ˆy dx c =+进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差等于ˆi i y y-）经过计算得()()()()()888211172.8,42,686.8iiii i i i i x x y y x x t ty y ===--=-=--=∑∑∑，()8213570ii tt =-=∑，其中8211,8i ii i t x t t ===∑.（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由.（2）根据（1）的判断结果及表中数据建立y 关于x 的回归方程，并预测该地区2020年新增光伏装机量是多少.（在计算回归系数时精确到0.01）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x ==---==--∑∑21.（本小题12.0分）已知函数()11x f x eax a -=-+-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）①若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值集合；②证明.()ln 20xe x -+>22.（本小题10.0分）在极坐标系中，点P 的极坐标是()1,π，曲线C 的极坐标方程为22cos 80ρρθ--=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为-1的直线l 经过点P .（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 相交于两点,A B ，求PA PB PBPA+的值.答案和解析1.【正确答案】B解：集合{}{}{}22002,0,1A xx x x x B =-≤=≤≤=∣∣，则{}0,1A B ⋂=.2.【正确答案】A解.()()()()223i 1i 3i 33i i i 42i 2i 1i 1i 1i 1i 2z +-+-+--=====-++--则复数3i1iz +=+在复平面内表示的点的坐标为()2,1-.3.【正确答案】D解：根据题意，函数()3,0,ln ,0,x e x f x x x +⎧≤=⎨>⎩，则()210f e -=>，则()21ln 2ln 2f f e e ⎡⎤-===⎣⎦，4.【正确答案】D解：圆2cos ρθ=-即22cos ρρθ=-，即2220x y x ++=，即22(1)1x y ++=，表示以()1,0-为圆心，半径等于1的圆.而点()1,0-的极坐标为()1,π，5.【正确答案】A解：函数()323f x x x =+是奇函数，且在定义域内是增函数，A 正确；函数()5tan f x x =在定义域内不具有单调性，B 错误；函数()8f x x=-在定义域内不具有单调性，C 错误；函数()f x x =+[)0,∞+，不具有奇偶性，D 错误；综上，应选A .6.【正确答案】C解：模拟程序的运行，可得1a =执行循环体，3a =不满足条件10a >，执行循环体，7a =不满足条件10a >，执行循环体，15a =满足条件10a >，退出循环，输出a 的值为15.故选.C 7.【正确答案】B【分析】采用采用间接法，任意选有4615C =种，都是男生有1种，进而可得结果.【详解】任意选有4615C =种，都是男生有1种，则至少有一名女生有14种.故本题选B .8.【正确答案】B由决定系数2R 来刻画回归效果，2R 的值越大越接近1，说明模型的拟合效果最好.故选.B 9.【正确答案】C【分析】利用赋值法结合条件即得.【详解】因为443243210(1)x a x a x a x a x a -=++++，令0x =得，01a =，令1x =-得，443210(2)16a a a a a -+-+=-=，所以，432116115a a a a -+-=-=.故选：C.10.【正确答案】D解：当0x >时，ln ,1ln y x x y x ==+'，即10x e <<时，函数y 单调递减，当1x e>，函数y 单调递增，又因为函数y 为偶函数，故排除ABC ，故选.D 11.【正确答案】D解：因为()3224f x x x x =--+，所以()2344f x x x =--+'，令()0f x '=得23x =或2x =-，可知函数()f x 在[)3,2--上单调递减，在22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在2,33⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，而()()()24033,28,,333327f f f f ⎛⎫-=--=-==-⎪⎝⎭，所以函数()f x 在[]3,3-上的最小值为-33，因为当[]3,3x ∈-时，()214f x m m ≥-恒成立，只需2min 14()m m f x -≤，即21433m m -≤-，即214330m m -+≤，解得311m ≤≤.故选D .12.【正确答案】C【分析】利用求导法则求出()f x '，即可知道()()f x f x '='-，再利用()()2f x f x +-=，即可求解.【详解】由已知得()()2222(1)sin (1)sin 11x x x xf x x x -+----==++，则()()2222(1)sin (1)sin 211x x x xf x f x x x ++--+-=+=++，()()()()222221cos 12(1)sin 1x x x x x x f x x'⎡⎤⎡⎤+++-++⎣⎦⎣⎦=+()()()2222cos 12sin 1x x x xx ++-=+则()()()()2222cos 12sin 1x x x xf x x++--=+'，即()()f x f x '='-，则()()()()2022202220222022f f f f ++-''--()()()()20222022202220222f f f f =+-+'-'-=，故选：C.13.【正确答案】2i --解：复数()i 12i 2i z =+=-+，其共轭复数为2i --.14.【正确答案】-252【分析】应用二项式定理写出第6项系数.【详解】由101011010C (1)(1)C rrr r r rr T xx --+=-=-，所以，第6项为5r =，则5555610(1)252T C x x =-=-，故第6项系数是-252.故-25215.【正确答案】乙解：假设甲会，那么甲､乙说的都是真话，与题意不符，所以甲不会；假设乙会，那么甲､乙说的都是假话，丙说的真话，符合题意；假设丙会，那么乙､丙说的都是真话，与题意不符，所以丙不会.综上可得：会中国象棋的是乙，16.【正确答案】-1【分析】先由ln ax b x +≥恒成立得出ln 1b a ≥--，进而ln 1b a a a--≥，构造函数()ln 1(0)a g a a a--=>求解.【详解】设()ln (0)f x x ax b x =-->，则不等式ln ax b x +≥恒成立等价于max ()0f x ≤成立，显然当0a ≤时不符合题意.当0a >时，()11(0)ax f x a x x x-=-=>'，∴当10x a <<时，()0f x >，当1x a >时，()0f x '<，则()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递减，max 1()ln 1f x f a b a ⎛⎫∴==--- ⎪⎝⎭.由max ()0f x ≤得ln 1ln 1,b a b a a a --≥--∴≥.令()ln 1(0)a g a a a --=>，则()2ln ag a a='，当01a <<时，()()0,g a g a '<在()0,1上单调递减，当1a >时，()()0,g a g a '>在()1,∞+上单调递增，()min ()11g a g ∴==-，1ba ∴≥-，则min1b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时1,1a b ==-.故-1.17.【正确答案】解：（1）由2x x y =⎧⎪⎨=⎪'⎩'得到2x x y ⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入到221x y +=中，得22()()143x y +=.即22143x y +=为曲线C '的直角坐标方程；（2）设()2cos P θθ，则点P到直线60l y +-=的距离为d ==其中255tan 2sin 55ϕϕϕ⎛=== ⎝⎭，当()sin 1θϕ+=时，即()22k k Z πθϕπ+=+∈，于是()sin sin 2cos 25k k Z πθπϕϕ⎛⎫=+-==∈ ⎪⎝⎭，同理25cos sin 5θϕ==，此时6152d =，即距离最小值为6152，此时点4515,55P ⎛ ⎝⎭.18.【正确答案】解：（1）已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =-处取得极大值1，()234f x x ax b =+'+ ，且函数()f x 在1x =-处有极值1，()()13401120f a b f a b a ⎧-=-+=⎪∴⎨-=-+-+='⎪⎩，解得1;1a b =⎧⎨=⎩又当1a b ==时，()()21341313f x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭'，()f x ∴在(),1∞--和1,3∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减，故()f x 在1x =-处取得极大值，满足题意；综上，1a b ==；（2）当1,1a b ==时，()3221f x x x x =+++，则()()21341313f x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭'，当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：x -111,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭13-1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭1()f x '-0+()f x 1单调递减极小值2327单调递增5所以[]1,1x ∈-时，()f x 的最大值为5.19.【正确答案】解：（1）X 可取162,163,164,165,166，()()()214163162,163,16420102052010P X P X P X =========，()()513165,16620420P X P X =====，所以分布列为：X162163164165166P 1101531014320（2）设Y 表示每天的利润，当162X =时，162502108080Y =⨯-⨯=，当163X =时，16350108140Y =⨯-=，当164X =时，164508200Y =⨯=，当165X =时，16450208220Y =⨯+=，当166X =时，164502208240Y =⨯+⨯=，所以平均利润为1131380808140820082208240818710510420⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.20.【正确答案】解：（1）选择模型①，理由如下：根据残差图可以看出，模型①残差对应点分布在以横轴为对称轴，宽度小于1的水平带状区域内，模型①的各项残差的绝对值要远远小于模型②的各项残差的绝对值，所以模型①的拟合效果相对较好.（2）由（1）知，y 关于x 的回归方程为2ˆˆˆy bx a =+，令2t x =，则ˆˆˆy bt a =+.由所给数据可得8111(1491625364964)25.588i i t t ===⨯+++++++=∑，8111(0.40.8 1.6 3.1 5.17.19.712.2)588i i y y ===⨯+++++++=∑，则()()()81821686.8ˆ0.193570i i i i i t t y y b t t ==--==≈-∑∑，ˆˆ50.1925.50.16ay bt =-≈-⨯≈.所以y 关于x 的回归方程为2ˆ0.190.16yx =+.预测该地区2020年新增光伏装机量为2ˆ0.19100.1619.16y=⨯+=（兆瓦）.21.【正确答案】解：（1）因为()11x f x e ax a -=-+-，所以()1x f x e a -=-'，①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在区间R 上单调递增；②当0a >时，令()0,ln 1f x x a >>+'，令()0,ln 1f x x a <<+'，所以()f x 在(),ln 1a ∞-+上单调递减，在()ln 1,a ∞++上单调递增.（2）①由（1）可得当0a ≤，函数()f x 在区间R 上单调递增，又()0110f e a a =-+-=，所以1x <，则()0f x <，与条件矛盾，当0a >时，()f x 在(),ln 1a ∞-+上单调递减，在()ln 1,a ∞++上单调递增，所以()()ln 1f x f a ≥+，由已知()ln 10f a +≥，所以aln 10a a --≥，设()ln 1g x x x x =--，则()1ln 1ln g x x x =--=-'，所以当()0,1x ∈时，()0g x '>，函数()ln 1g x x x x =--单调递增，()1,x ∞∈+时，()0g x '<，函数()ln 1g x x x x =--单调递减，又()11ln110g =--=，所以不等式ln 10a a a --≥的解集为{}1.②证明：设()()1ln 2h x x x =+-+，则()11122x h x x x +=-=++'，当()2,1x ∈--时，()0h x '<，函数()()1ln 2h x x x =+-+单调递减，()1,x ∞∈-+时，()0g x '>，函数()()1ln 2h x x x =+-+单调递增，又()10ln10h -=-=，所以()1ln 20x x +-+≥，当且仅当1x =-时取等号，由（1）1x e x ≥+，当且仅当0x =时取等号，所以()ln 20xe x -+>.22.【正确答案】解：（1）点P 的直角坐标是()1,0-，直线l 的倾斜角是34π，∴直线l 的参数方程为21222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），由直角坐标与极坐标互化公式得曲线C 的直角坐标方程为22(1)9x y -+=.（2）将1222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(1)9x y -+=，得250t +-=，设,A B 对应参数分别为12,t t，则12125t t t t +==-，根据直线参数方程t 的几何意义得：()()2222221212121212||2251855PA PB t t t t PAPBt t PB PA PA PB t t t t ++--⨯-++=====⋅⋅⋅-.。

南京师大附中2024—2025学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷命题人：高二数学备课组 审阅人：高二数学备课组一．选择题1．过两点()2,4-和()4,1-的直线在x 轴上的截距为（ ）A ．145B ．145-C ．73D ．73-2．过圆225x y +=上一点()2,1M --作圆的切线l ，则直线l 的方程为（ ） A ．230x y -+=B ．250x y ++=C ．250x y --=D ．250x y +-=3．若k ∈R ，则“22k -<<”是“方程221362x y k k+=+-表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若抛物线24y x =上的一点M 到坐标原点O M 到该抛物线焦点的距离为（ ） A ．5B ．3C ．2D ．15．设直线l 的方程为()sin 10x y θθ+-=∈R ，则直线l 的倾斜角α的范围是（ ） A ．()0,πB ．πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．若直线上存在到曲线T 上一点的距离为d 的点，则称该直线为曲线T 的d 距离可相邻直线．已知直线:430l x y m +-=为圆()()22:2716C x y -++=的3距离可相邻直线，则m 的取值范围是（ ）A ．[]48,22-B ．[]18,8--C ．(][),4822,-∞-+∞D ．(][),188,-∞--+∞7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为双曲线右支上的一点．若M 在以12F F 为直径的圆上，且12π5π,312MF F ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．)+∞C ．()1D ．)18．已知A ，B 分别是椭圆2214x y +=的左、右顶点，P 是椭圆在第一象限内一点．若2PBA PAB ∠=∠，则PA PB的值是（ ）A ．5BC ．5D ．5二．多选题9．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点．则下列说法错误的是（ ）A ．椭圆CB ．12PF F △的周长为5C ．1290F PF ∠<︒D ．113PF ≤≤10．已知()0,2M ，()0,3N ，在下列方程表示的曲线上，存在点P 满足2MP NP =的有（ ） A ．370x -=B ．4320x y +-=C ．221x y +=D ．2222140x y x y +-+-=11．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．已知定点()1,0F c -，()2,0F c ，动点P 满足212PF PF a ⋅=（a ，0c >且均为常数）．设动点P 的轨迹为曲线E ．则下列说法正确的是（ ） A ．曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．12PF PF +的最小值为2aC ．曲线E 与x 轴可能有三个交点D ．2ca ≥时，曲线E 上存在Q 点，使得12QF QF ⊥ 三．填空题12．与双曲线2212x y -=有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为______．13．若直线l 过抛物线24y x =的焦点．与抛物线交于A ，B 两点．且线段AB 中点的横坐标为2．则弦AB 的长为______．14．已知点()5,4P ，点F 为抛物线2:8C y x =的焦点．若以点P ，F 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为______．四．解答题15．已知直线1:220l ax y +-=与直线2:220l x ay +-=．（1）当12l l ⊥时，求a 的值；（2）当12l l ∥时，求1l 与2l 之间的距离．16．已知点()1,2A ，()1,2B --，点P 满足4PA PB ⋅=． （1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）过点()2,0Q -分别作直线MN ，RS ，交曲线Γ于M ，N ，R ，S 四点，且MN RS ⊥，求四边形MRNS 面积的最大值与最小值．17．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的一个焦点坐标为()2,0，离心率为23．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设动圆22211:C x y t +=与椭圆E 交于A ，B ，C ，D 四点．动圆()222222212:C x y t t t +=≠与椭圆E 交于A '，B '，C '，D '四点．若矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，证明：2212t t +为定值．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>和抛物线()2:20E y px p =>．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：(1P -，(22,P，)31P -，()49,3P ．（1）求椭圆C 和抛物线E 的方程；（2）设m 为实数，已知点()3,0T -，直线3x my =+与抛物线E 交于A ，B 两点．记直线TA ，TB 的斜率分别为1k ，2k ，判断2121m k k +是否为定值，并说明理由． 19．设a 为实数，点()2,3在双曲线2222:12x y C a a -=+上． （1）求双曲线C 的方程； （2）过点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭作斜率为k 的动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MHPN HN=． （ⅰ）求斜率k 的取值范围；（ⅱ）证明：点H 恒在一条定直线上．南京师大附中2024—2025学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷命题人：高二数学备课组 审阅人：高二数学备课组一．选择题1．【答案】A【解析】直线的斜率()415246k --==---，∴直线的方程为()5426y x -=-+，即5763y x =-+， ∴直线在x 轴上的截距为145，故选A ． 2．【答案】B【解析】00525xx yy x y +=⇒--=，故选B ． 3．【答案】B【解析】方程221362x y k k +=+-表示椭圆3602021362k k k k k+>⎧⎪⇒->⇒-<<-⎨⎪+≠-⎩或12k -<<，故选B ． 4．【答案】C【解析】设点2,4y M y ⎛⎫⎪⎝⎭，由MO =()2220054y y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， ∴24y =或220y =-（舍去），即214y x ==， ∴M 到抛物线24y x =的准线1x =-的距离()112d =--=，根据抛物线定义得选项C ．5．【答案】C【解析】当sin 0θ=时，则直线的斜率不存在，即直线的倾斜角为π2， 当sin 0θ≠时，则直线的斜率(][)1,11,sin k θ=-∈-∞-+∞，即直线倾斜角为πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦， 综上所述，直线的倾斜角的范围为π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选C ． 6．【答案】A【解析】圆C 的半径为4，直线l 上存在到圆C 上一点的距离为3的点， 故圆心()2,7C -到直线l 的距离7d ≤，即()423775m⨯+⨯--≤，解得[]48,22m ∈-，故选A ．7．【答案】D【解析】设21MF F θ∠=，则12sin MF c θ=，22cos MF c θ=， 根据双曲线定义122sin 2cos 2MF MF c c a θθ-=-=，1π4c aθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，π5π,312θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故πππ,4126θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭1c e a =<，故选D ． 8．【答案】C【法一】由题意知()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ， 直线P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则1214k k =-， 由正弦定理得sin 2cos sin PA PBAPAB PB PAB∠==∠∠， 又22tan tan tan 21tan PABPBA PAB PAB∠∠=∠=-∠，则122121k k k -=-， 联立解得2119k =，即22211cos tan 9cos PAB PAB PAB -∠=∠=∠，所以cos PAB ∠=，即5PA PB =， 【法二】设()00,P x y ，则00tan 2y PAB x ∠=+，00tan 2y PBA x ∠=--， 0000200022102tan tan 221312y y x PBA PAB PBA PAB x x y x +∠=∠⇒-=∠=∠=⇒=-⎛⎫- ⎪+⎝⎭，20144169y =5PAPB==二．多选题9．【答案】AB对于选项A ：由题意可知2a =，1c ===，∴离心率12c e a ==，故选项A 错误， 对于选项B ：由椭圆的定义1224PF PF a +==，1222F F c ==， ∴12PF F △的周长为426+=，故选项B 错误，对于选项C ：当点P 为椭圆短轴端点时，12tan23F PF c b ∠==， 又∵120902F PF ∠︒<<︒，∴12302F PF∠=︒，即1260F PF ∠=︒， ∴1290F PF ∠<︒，故选项C 正确， 对于选项D ：由椭圆的几何性质可知1a c PF a c -≤≤+，∴113PF ≤≤，故选项D 正确．10．【答案】BC【解析】()2254,39P x y x y ⎛⎫⇒=+-= ⎪⎝⎭对于A ，7233d R -=>=，所以直线与圆相离，不存在点P ； 对于B ，5232553d R -==<=，所以直线与圆相交，存在点P ； 对于C ，121252133C C R R ==+=+，所以两圆外切，存在点P ；对于D ，()()22121221116433x y C C R R -++=⇒=<-=-，所以两圆内含，不存在点P ． 11．【答案】ACD【解析】212a PF PF =⋅==对于A ，用x -代x 得222x y c ++=y 轴对称，用y -代y 得222x y c ++=x 轴对称，用x -代x ，y -代y 得222x y c ++=所以曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以A 正确；对于B ，当0a >时，122PF PF a +≥=，当0a =时，显然P 与1F 或2F 重合，此时122PF PF c +=，所以B 错误； 对于C ，根据对称性可得，曲线E 与x 轴可能有三个交点，所以C 正确； 对于D ，若存在点P ，使得12PF PF ⊥，则12PF PF ⊥，因为()1,PF c x y =---，()2,PF c x y =--，所以222x y c +=，由222x y c ++=22c =222c a ≥，所以D 正确．三．填空题12．【答案】2212x y -= 【解析】设所求双曲线方程为()2202x y λλ-=≠，将点代入双曲线方程得121λ=-=-，故方程为2212x y -=．13．【答案】6【解析】设A 、B 两点横坐标分别为1x ，2x ， 线段AB 中点的横坐标为2，则1222x x +=，故12426AB x x p =++=+=． 14．【答案】57【解析】由抛物线方程得()2,0F ，准线方程为2x =-， 又点()5,4P ，则25c PF ==，在抛物线上取点H ，过H 作HG 垂直直线2x =-，交直线2x =-于点G ， 过P 作PM 垂直直线1x =-，交直线1x =-于点M ，由椭圆和抛物线定义得()2527a HF HP HG HP PM =+=+≥=--=，故椭圆离心率2527c e a =≤．四．解答题15．【解析】（1）由12l l ⊥，则20a a +=，解得0a =．（2）由12l l ∥得22244a a ⎧=⎨-≠-⎩，解得1a =-，直线2l 的方程为220x y -+-=，即220x y -+=， 直线1l 的方程为220x y --=， 因此，1l 与2l 之间的距离为d ==． 16．【解析】（1）设(),P x y ，则()()41,21,2PA PB x y x y =⋅=--⋅----，故轨迹方程为229x y +=． （2）假设点O 到MN 的距离为m ，到RS 的距离为n，则12S MN RS == 因为MN RS ⊥，所以224m n +=，所以)204S m ==≤≤，所以S ⎡⎤∈⎣⎦，所以四边形MRNS 面积的最大值14，最小值17．【解析】（1） 222249253a b a b e ⎧-=⎧=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=⎪==⎩⎪⎩椭圆22:195x y E += （2）设()33,A x y '，矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等 ∴331144x y x y =，即22221133x y x y=∵A ，A '均在椭圆上，∴22223113515199x x x x ⎛⎫⎛⎫⨯-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22139x x +=，222231135151599x x y y ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故()()()()()22222222222212113313131314t t x y x y x x x x y y +=+++=+=+++=为定值． 18．【解析】（1）将四个点带入抛物线方程解得12p =-，12，2，12，故抛物线E 方程为2y x =故(1P -，)31P -为椭圆上的点22222242186141a a b b a b ⎧+=⎪⎧=⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎪⎩椭圆C 方程22184x y += （2）设()12,A x x ，()22,B x y ，则1222123303x my y y m y my y y y x =++=⎧⎧⇒--=⇒⎨⎨=-=⎩⎩()()()121222212121212666136212my my m y y m m m k k y y y y y y ++++=+=++=-为定值． 19．【解析】（1）因为点()2,3在双曲线C 上，所以22222312a a -=+，整理得42780a a +-=， 即()()22180a a -+=，解得21a =，则双曲线C 的方程为2213y x -=； （2）（ⅰ）易知直线l 的方程为112y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即112y kx k =+-， 联立2211213y kx k y x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 并整理得()()222132404k x k k x k k ⎛⎫-+---+= ⎪⎝⎭， 设()11,M x y ，()22,N x y ，因为直线l 与双曲线的右支有两个不同的交点M ，N ， 所以关于x 的方程()()222132404kxk k x k k ⎛⎫-+---+= ⎪⎝⎭有两个不同的正数根1x ，2x ，()()()()()()()()()22222222212434033416043202301303404k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎧⎛⎫-+--+> ⎪⎪⎧-+->⎝⎭⎪⎪⎪⎪--<⇒-->⎨⎨⎪⎪-<⎛⎫⎪⎪⎩---+> ⎪⎪⎝⎭⎩，解得k ∈⎝则斜率k的取值范围为⎝； （ⅱ）设()00,H x y ，由（ⅰ）得()()12222233k k k k x x k k --+=-=--，()222122221144416443343k k k k k k x x k k k ⎛⎫--+-+ ⎪-+⎝⎭===---， 因为1112x a ≥=>，2112x a ≥=>，()()01020x x x x --<， 又P ，M ，N ，H 在同一直线l 上，所以111222112122112122x x PM x PN x x x ---===---，0120MH x x HN x x -=-， 由PM MH PN HN=得0112202121x x x x x x --=--，即()()()()1202012121x x x x x x --=--， 化简得()()()1201212214x x x x x x x +-=-+，所以()()202222241621333k k k k k k x k k k --⎛⎫-+-=- ⎪---⎝⎭， 整理得()()()2202234162k k k x k k k k --+=-+--，解得0832kx k -=-，即003821x k x -=- 又点()00,H x y 在直线112y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭上，所以()001136911223264k k y k x k k +⎛⎫=-+=+= ⎪--⎝⎭ 即00000386921386421x x y x x -+⋅-=--⋅-，故点H 恒在定直线3260x y --=上．。

2022-2023学年四川省成都市高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则z =（）A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】B【分析】由复数的四则运算可得1i z =--，再由复数模的计算公式求解即可.【详解】解：因为21i (1i)i(i i )1i i i iz --⋅===--=--⋅，所以22(1)(1)2z =-+-=.故选：B.2．如图茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则运动员乙成绩的方差为（）A ．2B ．3C ．9D ．16【答案】A【分析】根据甲、乙二人的平均成绩相同求出x 的值，再根据方差公式求出乙的方差即可.【详解】因为甲乙二人的平均成绩相同，所以8789909193888990919055x+++++++++=，解得2x =，故乙的平均成绩8889909192905++++=，则乙成绩的方差222222[(8890)(8990)(9090)(9190)(9290)]25s -+-+-+-+-==.故选：A.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．2C ．3D ．5【答案】D 【分析】先求得ba，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意，双曲线的一条渐近线方程为20,2x y y x -==，所以2222222,15b c c a b b e a a a a a +⎛⎫=====+= ⎪⎝⎭.故选：D4．已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面．下列说法正确的是（）A ．若m α ，n α∥，则m n ∥B ．若m α⊥，n α⊥，则m n ∥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m α ，m n ⊥，则n α⊥【答案】B【分析】根据空间直线与平面间的位置关系判断．【详解】对于A ，若m α ，n α∥，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；对于B ，若m α⊥，n α⊥，由线面垂直的性质定理得m n ∥，故B 正确；对于C ，若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n ⊂α，故C 错误；对于D ，若m α ，m n ⊥，则n 与α相交、平行或n ⊂α，故D 错误．故选：B ．5．“4m =”是“直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行可求得m 的值，集合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行，则()()23442342m mm m ⎧-=⎪⎨--≠-⎪⎩，解得4m =.因此，“4m =”是“直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行”的充要条件.故选：C.6．执行该程序框图，若输入的a 、b 分别为35、28，则输出的=a （）A ．1B ．7C ．14D ．28【答案】B【分析】根据程序框图列举出循环的每一步，即可得出输出结果.【详解】第一次循环，35a =，28b =，a b ¹成立，a b >成立，则35287a =-=；第二次循环，7a =，28b =，a b ¹成立，a b >不成立，则28721b =-=；第三次循环，7a =，21b =，a b ¹成立，a b >不成立，则21714b =-=；第四次循环，7a =，14b =，a b ¹成立，a b >不成立，则1477b =-=.7a b ==，则a b ¹不成立，跳出循环体，输出a 的值为7.故选：B.7．函数()()22e xf x x x =-的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由函数()f x 有两个零点排除选项A ，C ；再借助导数探讨函数()f x 的单调性与极值情况即可判断作答．【详解】由()0f x =得，0x =或2x =，选项A ，C 不满足，即可排除A ，C由()()22e x f x x x =-求导得()()22e xx x f '=-，当2x <-或2x >时，()0f x ¢>，当22x -<<时，()0f x '<，于是得()f x 在(),2-∞-和()2,+∞上都单调递增，在()2,2-上单调递减，所以()f x 在2x =-处取极大值，在2x =处取极小值，D 不满足，B 满足．故选：B8．已知曲线1cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数).若直线323x y +=与曲线C 相交于不同的两点,A B ，则AB 的值为A ．12B ．32C ．1D ．3【答案】C【详解】分析：消参求出曲线C 的普通方程：22(1)1x y -+=，再求出圆心(1,0)到直线的距离d ，则弦长222AB r d =-．详解：根据22cos sin 1θθ+=，求出曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+=，圆心(1,0)到直线的距离3233231d -==+，所以弦长222AB r d =-321=14=-，选C.点睛：本题主要考查将参数方程化为普通方程，直线与圆相交时，弦长的计算，属于中档题．9．过椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>右焦点F 的直线l ：20x y --=交C 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．22184x y +=B ．22195x y +=C ．22173x y +=D ．221106x y +=【答案】A【分析】由l 与x 轴交点横坐标可得半焦距c ，设出点A ，B 坐标，利用点差法求出22,a b 的关系即可计算作答.【详解】依题意，焦点(2,0)F ，即椭圆C 的半焦距2c =，设1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)P x y ，则有2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩，两式相减得：2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，而1201202,2x x x y y y +=+=，且0012y x =-，即有2212122()()0b x x a y y --+-=，又直线l 的斜率12121y y x x -=-，因此有222a b =，而2224a b c -==，解得228,4a b ==，经验证符合题意，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.故选：A10．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是A ．413B ．21313C ．926D ．31326【答案】A【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，得222cos12013AB AD BD AD BD =+-⋅︒=，所以213DF AB =.所以所求概率为224=1313DEF ABC S S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．11．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，4=AD ，E 为PC 的中点，则面PCD 与直线BE 所成角的余弦值为（）A ．35B ．23015C ．2515D ．10515【答案】D【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得面PCD 与直线BE 所成角的余弦值.【详解】因为PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0B 、()2,4,0C 、()0,4,0D 、()002P ,,、()1,2,1E ，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z = ，()2,0,0DC =uuu r，()0,4,2DP =-uuu r ，则20420n DC x n DP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1y =，可得()0,1,2n = ，()1,2,1BE =- ，所以，4230cos ,1565BE n BE n BE n⋅===⨯⋅，所以，22230105sin ,1cos ,11515BE n BE n ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此，面PCD 与直线BE 所成角的余弦值为10515.故选：D.12．已知函数()ln 1f x x ax =+-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列命题正确的个数是（）①01a <<；②122x x a +<；③121x x ⋅>；④2111x x a->-；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】由()0f x =可得1ln xa x+=，设()ln 1x g x x +=，其中0x >，则直线y a =与函数()g x 的图象有两个交点，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断①；构造函数()()2h x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中10x a <<，分析函数()h x 的单调性，可判断②③；分析出1211e x x <<<、1210x x a<<<，利用不等式的基本性质可判断④.【详解】由()0f x =可得ln 1x a x+=，令()ln 1x g x x +=，其中0x >，则直线y a =与函数()g x 的图象有两个交点，()2ln xg x x '=-，由()0g x '>可得01x <<，即函数()g x 的单调递增区间为()0,1，由()0g x '<可得1x >，即函数()g x 的单调递减区间为()1,+∞，且当10e x <<时，()ln 10x g x x+=<，当1e x >时，()ln 10x g x x +=>，如下图所示：由图可知，当01a <<时，直线y a =与函数()g x 的图象有两个交点，①对；对于②，由图可知，1211ex x <<<，因为()11ax f x a x x -'=-=，由()0f x ¢>可得10x a<<，由()0f x '<可得1x a >，所以，函数()f x 的增区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，则必有1210x x a <<<，所以，110x a <<，则121x a a->，令()()222ln ln h x f x f x x a x x ax a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中10x a <<，则()212112022a x a h x a x x x x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+=<⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则函数()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，()110h x h a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即()1120f x f x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，即()112f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，又()20f x =，可得()212f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，则212x x a >-，即122x x a +>，②错；对于③，由1122ln 1ln 1ax x ax x =+⎧⎨=+⎩，两式相加整理可得()1212ln 22x x x x a a ++=>，所以，()12ln 0x x >，可得121x x >，③对；对于④，由图可知1211ex x <<<，则11x ->-，又因为21x a >，所以，2111x x a->-，④对.故选；C.【点睛】证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：（1）证明122x x a +<（或122x x a +>）：①首先构造函数()()()2g x f x f a x =--，求导，确定函数()y f x =和函数()y g x =的单调性；②确定两个零点12x a x <<，且()()12f x f x =，由函数值()1g x 与()g a 的大小关系，得()()()()()1112122g x f x f a x f x f a x =--=--与零进行大小比较；③再由函数()y f x =在区间(),a +∞上的单调性得到2x 与12a x -的大小，从而证明相应问题；（2）证明212x x a <（或212x x a >）（1x 、2x 都为正数）：①首先构造函数()()2a g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求导，确定函数()y f x =和函数()y g x =的单调性；②确定两个零点12x a x <<，且()()12f x f x =，由函数值()1g x 与()g a 的大小关系，得()()()2211211a a g x f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与零进行大小比较；③再由函数()y f x =在区间(),a +∞上的单调性得到2x 与21a x 的大小，从而证明相应问题；（3）应用对数平均不等式12121212ln ln 2x x x xx x x x -+<<-证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到1212ln ln x x x x --；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.二、填空题13．已知函数()sin cos f x x x =+，则π4f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭______．【答案】0【分析】求出()f x '，代值计算可得出π4f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()sin cos f x x x =+，则()cos sin f x x x '=-，故πππcos sin 0444f ⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭.故答案为：0.14．天府绿道是成都人民朋友圈的热门打卡地，经统计，天府绿道旅游人数x （单位：万人）与天府绿道周边商家经济收入y （单位：万元）之间具有线性相关关系，且满足回归直线方程为ˆ12.60.6yx =+，对近五个月天府绿道旅游人数和周边商家经济收入统计如下表：x23 3.5 4.57y26384360a则表中a 的值为___________.【答案】88【分析】根据样本平均值满足回归直线方程求解.【详解】样本平均值满足回归直线方程，x 的平均值为23 3.5 4.5745++++=，则y 的平均值2638436012.640.65a++++=⨯+，解得88a =，故答案为：88.15．已知函数f （x ）＝e x +ax ﹣3（a ∈R ），若对于任意的x 1，x 2∈[1，+∞）且x 1＜x 2，都有()()()211212x f x x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是__.【答案】（﹣∞，3]【分析】原不等式等价于()()1212f x a f x a x x ++＜，构造()()f x ah x x+=，由函数单调性的定义可知，h （x ）在[1，+∞）上单调递增，即有h '（x ）≥0在[1，+∞）上恒成立，亦即a ﹣3≤xe x ﹣e x 在[1，+∞）上恒成立，构造g （x ）＝x e x ﹣e x ，由导数求解函数g （x ）的最小值，即可得到a 的取值范围.【详解】原不等式等价于()()1212f x a f x a x x ++＜,令()()f x ah x x+=，则不等式等价于h （x 1）＜h （x 2）对于任意的x 1，x 2∈[1，+∞）且x 1＜x 2都成立，故函数h （x ）在[1，+∞）上单调递增，又函数f （x ）＝e x +ax ﹣3，则()e 3x ax a h x x +-+=，所以h '（x ）2e e 30x x x ax -+-=≥在[1，+∞）上恒成立，即x e x﹣e x +3﹣a ≥0在[1，+∞）上恒成立，即a ﹣3≤x e x ﹣e x 在[1，+∞）上恒成立，令g （x ）＝x e x ﹣e x ，因为g '（x ）＝x e x ＞0在[1，+∞）上恒成立，所以g （x ）在[1，+∞）上单调递增，则g （x ）≥g （1）＝0，所以a ﹣3≤0，解得a ≤3，所以实数a 的取值范围是（﹣∞，3].故答案为：（﹣∞，3].16．已知点F 为抛物线28y x =的焦点，()2,0M -，点N 为抛物线上一动点，当NFNM最小时，点N 恰好在以M 、F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为______．【答案】222+【分析】作出图形，分析可知MN 与抛物线28y x =相切时，NFNM取最小值，设直线MN 的方程为2x my =-，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出m 的值，进而可求出点N 的坐标，利用双曲线的定义求出a 的值，结合c 的值可得出22221b ca a=-，即为所求.【详解】抛物线28y x =的焦点为()2,0F ，其准线为:2l x =-，如下图所示：过点N 作NE l ⊥，垂足为点E ，由抛物线的定义可得NF NE =，易知//EN x 轴，则NMF MNE ∠=∠，所以，cos cos NF NE MNE NMF MNMN==∠=∠，当NFNM取最小值时，NMF ∠取最大值，此时，MN 与抛物线28y x =相切，设直线MN 的方程为2x my =-，联立228x my y x=-⎧⎨=⎩可得28160y my -+=，则264640m ∆=-=，解得1m =±，由对称性，取1m =，代入28160y my -+=可得28160y y -+=，解得4y =，代入直线MN 的方程2x y =-可得2x =，即点()2,4N ，则224NF =+=，()2222442MN =++=，设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>，由双曲线的定义可得2424a MN NF =-=-，所以，()221a =-，又因为2c =，则()221221c a ==+-，所以，()222221211222b c a a =-=+-=+.故答案为：222+.三、解答题17．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设()2,0M ，求MA MB 的值.【答案】(1)3230x y --=，24y x=(2)323【分析】（1）根据直线参数方程消掉参数t 即可得到直线的普通方程；（2）由直线参数方程中t 的几何意义即可求解.【详解】（1）∵直线l 的参数方程为12232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），∴消去t 可得直线l 的普通方程为:3230x y --=.∵曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=，即22sin 4cos 0ρθ-ρθ=，又∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =.（2）将12232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入24y x =，得238320t t --=，显然0∆>，即方程有两个不相等的实根，设点A ，B 在直线l 的参数方程中对应的参数分别是1t ，2t ，则1283t t +=，12323t t =-，∴12323MA MB t t ==.18．已知函数()32f x x x ax b =-++，若曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为1y x =-+．(1)求a ，b 的值；(2)求函数()y f x =在[]22-,上的最小值．【答案】(1)1a =-；1b =(2)9-【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；（2）判断函数在[]22-,上单调性，进而可得最值.【详解】（1）由已知可得()01f b ==．又()232f x x x a '=-+，所以()01f a '==-．（2）由（1）可知()321f x x x x =--+，()2321f x x x '=--，令()0f x ¢>，解得13x <-或1x >，所以()f x 在12,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭和[]1,2上单调递增，在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减．又()29f -=-，()10f =，所以函数()y f x =在[]22-,上的最小值为9-．19．某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，统计结果如图所示：(1)试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；(2)现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．【答案】(1)70.5(2)110【分析】（1）根据频率分布直方图直接代入平均数的计算公式即可求解；（2）根据分层抽样在[)80,90分组中抽取的人数为15531015⨯=+人，在[]90,100分组中抽取的人数为2人，利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】（1）由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：()450.01550.015650.02750.03850.015950.011070.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=分．（2）在[)80,90和[]90,100两组中的人数分别为：100×(0.015×10)=15人和100×(0.01×10)=10人，所以在[)80,90分组中抽取的人数为15531015⨯=+人，记为a ，b ，c ，在[]90,100分组中抽取的人数为2人，记为1，2，所以这5人中随机抽取2人的情况有：()()()()()()()()()(){},,,1,2,1,2,1,2,12ab ac bc a a b b c c Ω=，共10种取法，其中两人得分都在[]90,100的情况只有(){}12，共有1种，所以两人得分都在[]90,100的概率为110P =．20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD //QA ，PD ⊥平面ABCD ，且22PD QA ==．(1)求证：BC ⊥平面QAB ；(2)求平面PBQ 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)66【分析】（1）由PD ⊥平面ABCD ，PD //QA ，可得QA ⊥平面ABCD ，进而得到QA BC ⊥，结合BC AB ⊥，进而得证；（2）以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，D 为原点建立空间直角坐标系，找出平面PBQ 与平面PCD 的法向量，根据两面的法向量即可求解．【详解】（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，PD //QA ，∴QA ⊥平面ABCD ．∵BC ⊂平面ABCD ，∴QA BC ⊥．在正方形ABCD 中，BC AB ⊥，又AB QA A ⋂=，AB ，QA ⊂平面QAB ，∴BC ⊥平面QAB ．（2）建立空间直角坐标系如图：以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，D 为原点，则有()2,2,0B ，()002P ,,，()2,0,1Q ，()0,2,1QB =- ，()2,0,1PQ =- ，设平面PBQ 的一个法向量为(),,m x y z = ，则有00m QB m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得2020y z x z -=⎧⎨-=⎩，令2z =，则1x =，1y =，()1,1,2m = ，易知平面PCD 的一个法向量为()1,0,0n =r ，设平面PBQ 与平面PCD 所成二面角的平面角为α，则16cos 616m n m n α⋅===⨯⋅ ，即平面PBQ 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值66．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为C 的上顶点，且12PF F △的周长为423+．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】(1)2214x y +=(2)332,,222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）由椭圆的定义以及离心率可得出a 、c 的值，进而可求得b 的值，由此可得出椭圆C 的方程；（2）分析可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由0∆>结合0OA OB ⋅> 可求得k 的取值范围.【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为c ．因为12PF F △的周长为121222423PF PF F F a c ++=+=+，①因为椭圆C 的离心率为32，所以32c a =，②由①②解得2a =，3c =．则221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）若直线l x ⊥轴，此时，直线l 为y 轴，则A 、O 、B 三点共线，不合乎题意，设直线l 的方程为2y kx =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，联立()22221141612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，()()()222Δ164411216430k k k =-+⨯=->，解得234k >，由韦达定理可得1221641k x x k +=-+，1221241x x k =+，则()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++，又AOB ∠为锐角，A 、O 、B 不共线，则cos 0AOB ∠>，即()()()22221212121221213216412441k k k OA OB x x y y k x x k x x k +-++⋅=+=++++=+ 22164041k k -=>+，解得204k <<，所以，2344k <<，解得322k -<<-或322k <<，所以实数k 的取值范围为332,,222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.22．已知函数()2ln f x x x ax a =-+.（1）若()f x a ≤，求a 的取值范围；（2）若()f x 存在唯一的极小值点0x ，求a 的取值范围，并证明()0210a f x -<<.【答案】（1）1[,)e +∞（2）12a <；证明见解析；【分析】（1）可利用分离参数法，将问题转化为ln x a x ≥恒成立，然后研究ln ()x g x x=的单调性，求出最大值；（2）通过研究()f x '在()0,∞+内的变号零点，单调性情况确定唯一极小值点；若不能直接确定()f x '的零点范围及单调性，可以通过研究()g x '的零点、符号来确定()f x '的单调性，和特殊点（主要是能确定()f x '符号的点）处的函数值符号，从而确定()f x 的极值点的存在性和唯一性．【详解】(1)()f x 的定义域为()0,∞+.由()f x a ≤，得ln x a x ≥在()0,x ∈+∞恒成立，转化为max ln ()x a x ≥令ln ()x g x x =，则21ln ()x g x x -'=，∴ln ()x g x x=在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，∴()g x 的最大值为1(e)g e=，∴1a e ≥.∴a 的取值范围是1[,)e+∞.(2)设()()g x f x '=，则()ln 12g x x ax =+-，1()2g x a x'=-，0x >.①当a<0时，()0g x '>恒成立，()g x 在()0,∞+单调递增，又()1120g a =->，212121()21122(1)0a a a g e a ae a e ---=-+-=-<所以()g x 存在唯一零点()10,1x ∈.当()10,x x ∈时，()()0f x g x '=<，当()1,1x x ∈时，()()0f x g x '=>.所以()f x 存在唯一的极小值点01x x =.②当0a =时，()ln 1g x x =+，()g x 在()0,∞+单调递增，1()0g e =，所以()g x 在()0,∞+有唯一零点1e.当1(0,)∈x e时，()()0f x g x '=<，当1(,1)x e∈时，()()0f x g x '=>.所以()f x 存在唯一的极小值点01x e =.③当0a >时，令()0g x '>，得1(0,)2x a ∈；令()0g x '<，得1(,)2x a ∈+∞，∴()g x 在1(0,)2a 单调递增，在1(,)2a+∞单调递减，所以()g x 的最大值为1()ln(2)2g a a =-④当102a <<时，1()0g e<，()1120g a =->，1()02g a >，21212()212(1)10l 1n g a a aa a =-+-<--+-=-<(或用11111()20a a g eae a --=-<)由函数零点存在定理知：()g x 在区间()0,1，()1,+∞分别有一个零点2x ，3x 当()20,x x ∈时，()()0f x g x '=<；当()23,x x x ∈时，()()0f x g x '=>；所以()f x 存在唯一的极小值点02x x =，极大值点3x .⑤当12a ≥时，102g a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()()0f x g x '=≤所以()f x 在()0,∞+单调递减，无极值点.由①②④可知，a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，当()00,x x ∈时，()0f x '<；所以()f x 在()00,x 单调递减，()0,1x 单调递增.所以()0(1)0f x f <=.由()000ln 120f x x ax '=+-=，得00ln 21x ax =-.所以20000ln ()f x x ax ax =-+2000(21)x ax ax a=--+200ax a x =+-2000()(21)1f x a ax a x --=--+[]00(1)(1)1x a x =-+-，因为0(0,1)x ∈，1,2a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，所以010x -<，()01112102a x +-<⨯-=所以()0(21)0f x a -->，即()021f x a >-；所以()0210a f x -<<.【点睛】本题通过导数研究函数的零点、极值点的情况，一般是先研究导函数的零点、单调性，从而确定原函数的极值点存在性和个数．同时考查学生运用函数思想、转化思想解决问题的能力和逻辑推理、数学运算等数学素养．。

2022-2023学年内蒙古自治区包头市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．命题“R x ∃∈，2210x x +-<”的否定是（ ） A ．R x ∀∈，2210x x +-≥ B ．R x ∃∉，2210x x +-≥ C ．R x ∃∈，2210x x +-≥ D ．R x ∀∉，2210x x +-≥【答案】A【分析】将特称命题否定为全称命题即可. 【详解】命题“R x ∃∈，2210x x +-<”的否定是 “R x ∀∈，2210x x +-≥”， 故选：A.2．圆()()22341x y -+-=与圆2236x y +=的位置关系为（ ） A ．相离 B ．内切 C ．外切 D ．相交【答案】B【分析】根据圆心距与21r r -的关系求得正确答案.【详解】圆()()22341x y -+-=的圆心为()3,4A ，半径11r =；圆2236x y +=的圆心为()0,0O ，半径26=r ， 圆心距215OA r r ==-，所以两圆的位置关系是内切. 故选：B3．已知双曲线221x y m +=（m 为非零常数）的渐近线方程为y x =，则双曲线的虚轴长是（ ）A ．－3B ．3C ．D 【答案】C【分析】根据双曲线的渐近线方程求得m ，进而求得双曲线的虚轴长. 【详解】双曲线221x y m+=，即221x y m -=-，双曲线的渐近线方程为y x =，3m ==-，所以双曲线方程为2213x y -=，所以b =2b =故选：C4．已知椭圆经过点()，且焦点分别为()10,1-F ，()20,1F ，则椭圆的离心率为（ ）A B C D 【答案】D【分析】根据已知条件求得,a c ，从而求得椭圆的离心率. 【详解】由于焦点()10,1-F ， 所以焦点在y 轴上，且1c =，由于椭圆经过点()，所以b =所以a ==所以椭圆的离心率为c a =故选：D5．过抛物线22y x =的焦点作直线l ，交抛物线于,A B 两点，若线段AB 中点的横坐标为4，则AB 等于（ ） A ．10 B ．9 C ．6 D ．5【答案】B【分析】利用抛物线的几何意义求解即可. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得1242x x +=， 所以由抛物线的几何意义得1281922p pAB x x =+++=+=， 故选：B.6．已知空间四边形ABCO 中，OA a =，OB b =，OC c =，M 为OA 中点，点N 在BC 上，且2NB NC =，则MN 等于（ ）A ．121233a b c -+-B ．121233a b c -++C ．111232a b c +- D ．112233a b c -++【答案】D【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算法则，即可求解． 【详解】如图所示：点N 在BC 上，且2NB NC =，∴2BN NC =， 由OB b =，OC c =，∴111212()333333ON OC CN OC CB OC OB OC OB OC b c =+=+=+-=+=+，M 为OA 中点，OA a =，1122OM OA a ==，∴11122233MN ON OM ON OA a b c =-=-=-++．故选：D ．7．曲线()2216126x y m m m +=<--与曲线()2212828x y m m m+=<<--的（ ）A ．焦距相等B ．焦点相同C ．离心率相等D ．顶点相同【答案】A【分析】先分清两曲线分别是什么类型的曲线，再分别求出每个曲线的几何特征即可. 【详解】对于曲线()2216126x y m m m +=<-- ，1260m m ->-> ，是焦点在x 轴上的椭圆， 2222212,6,6,6a m b m c a b c =-=-=-==；对于曲线()2212828x y m m m +=<<-- ，20,80m m -<-> ，是焦点在y 轴上的双曲线， 222228,2,6,6a m b m c a b c =-=-=+== ；所以两曲线的焦距相同. 故选：A8．下列命题中的说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B ．命题“p q ∨”为真命题，则“命题p ”和“命题q ”均为真命题C ．“220a b +=，则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 不全为0，则220a b +≠”D ．命题“若空间向量a b =，则a b =”的逆命题是真命题 【答案】C【分析】利用否命题、逻辑连接词、逆否命题和逆命题的定义判断各选项即可. 【详解】命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，选项A 错误；命题“p q ∨”为真命题，则“命题p ”和“命题q ”均为真命题或其中一个为真命题，选项B 错误； “220a b +=，则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 不全为0，则220a b +≠”，选项C 正确； 命题“若空间向量a b =，则a b =”的逆命题为“若空间向量a b =，则a b =”，由于模长相等方向不一定相等，所以该命题为假命题，选项D 错误； 故选：C9．已知圆()22:316M x y ++=外一点()3,0N ，点P 是圆上任意一点，线段NP 的垂直平分线l 和直线MP 交于点Q ，则点Q 的轨迹方程为（ ） A ．22145x y -=B ．2211620x y -=C ．221167x y +=D ．2213627x y +=【答案】A【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【详解】圆M 的圆心为()3,0M -，半径4r =， 由于线段NP 的垂直平分线l 交直线MP 于Q ， 所以QP QN =，所以4QN QM QP QM r MN -=-==<，所以Q 点的轨迹是双曲线，且3,24,2,c a a b === 所以Q 点的轨迹方程为22145x y -=. 故选：A10．椭圆22163x y +=中，以点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦所在直线斜率为（ ）A ．1B ．12C ．－1D ．12-【答案】C【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率．【详解】设弦的两端点为()11,A x y ，()22,B x y ，则12122,1x x y y +=+=，因为22112163⎛⎫ ⎪⎝⎭+<，所以点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆22163x y +=内， 将()11,A x y ，()22,B x y 代入椭圆得22112222163163x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得()()()()12121212063x x x x y y y y -+-++=，即()()()()1212121263x x x x y y y y -+-+=-，即()()1212121236x x y y y y x x +--=+-， 即12123261y y x x -⨯-=⨯-， 即12121y y x x -=--， 所以弦所在的直线的斜率为1-. 故选：C ．11．直线1ax by +=与圆221x y +=有公共点是点(),P a b 在该圆外的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】结合直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系、充分和必要条件的知识确定正确答案. 【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0，半径为1，当直线1,10ax by ax by +=+-=与圆221x y +=有公共点时，221,1a b ≤+≥，所以P 在圆上或圆外，所以直线1ax by +=与圆221x y +=有公共点是点(),P a b 在该圆外的必要不充分条件. 故选：B12．已知P 是抛物线24y x =上的一点，过点P 作直线2x =-的垂线，垂足为H ，设圆()()22:331C x y ++-=上任意一点Q ，则PQ PH +的最小值是（ ）A．1 B ．5 C ．6 D ．4【答案】B【分析】结合抛物线的定义以及圆的几何性质求得正确答案. 【详解】抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线方程为=1x -， 根据抛物线的定义可知1PH PF =+，圆()()22:331C x y ++-=的圆心为()3,3C -，半径1r =，min 1PQ PC =-，5CF ==所以115PQ PH PC PF PC PF CF +≥-++=+≥=, 所以当,,F P C 三点共线时，PQ PH +取得最小值5. 故选：B二、填空题13．抛物线28y x =-的准线方程是________． 【答案】132y =【分析】先将抛物线方程化为标准形式，即可得出其准线方程.【详解】因为抛物线28y x =-的标准方程为：218=-x y ，因此128=p ，即116=p ；所以其准线方程为：132y =. 故答案为：132y =【点睛】本题主要考查求抛物线的准线方程，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.14．过点)的等轴双曲线，其焦点到渐近线的距离是______．【分析】根据点)求得等轴双曲线的方程，求得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，从而求得正确答案.【详解】当双曲线的焦点在x 轴上时，设等轴双曲线的方程为222x y a -=，由于等轴双曲线过点)，所以2312a =-=，所以a b ==2c =双曲线方程为22122x y -=，渐近线方程为y x =±，即0x y ±=，双曲线其中一个焦点()2,0到其中一条渐近线0x y -=的距离为2022，根据对称性可知，双曲线焦点到渐近线的距离是2.当双曲线的焦点在y 轴上时，设等轴双曲线的方程为222y x a -=， 由于等轴双曲线过点()3,1，所以2122a =-=-，不符合题意.综上所述，该等轴双曲线的焦点到渐近线的距离是2. 故答案为：215．点P 是椭圆22149x y +=上的一点，则点P 到直线2150x y +-=的距离最大值是______．【答案】45【分析】设()2cos ,3sin P θθ，θ为OP 与x 轴正半轴的夹角，由点线距离公式及辅助角公式即可求化简大值.【详解】设()2cos ,3sin P θθ，θ为OP 与x 轴正半轴的夹角，则点P 到直线2150x y +-=的距离为()225sin 154cos 3sin 15521d θϕθθ+-+-==+，其中43sin ,cos 55ϕϕ==，故()5sin 155154555d θϕ+---=≤=.故答案为：4516．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.【答案】26米【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =， 将A （2，-2）代入2x my =， 得m=-2，∴22x y =-，代入B ()0,3x -得06x =， 故水面宽为26米，故答案为26米． 【解析】抛物线的应用17．已知2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且2PF x ⊥轴，点A 是双曲线的左顶点，若222PF AF =，则双曲线的离心率为______． 【答案】3【分析】根据22222PF AF a c ==+，得到1PF ，2PF ，进而利用勾股定理，得到2222211PF F F PF +=，列方程计算可得答案.【详解】如图，22222PF AF a c ==+，又122PF PF a -=，则有142PF a c =+， 且12PF F △为直角三角形，2222211PF F F PF ∴+=，列方程得， 222(42)4()4a c a c c +=++，化简得22320a ac c +-=，再整理得，2230e e --=，解得3e =或1e =-（舍去） 故答案为：318．已知曲线22:1C mx ny +=有如下命题：1p ：若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上2p ：若0m n =>，则C3p ：若0mn <，则C是双曲线，其渐近线方程为y =4p ：若0m =，0n >，则C 是两条直线则下述命题中所有真命题的序号是______． ①14p p ∨②12p p ∧③()23p p ⌝∧④()()34p p ⌝∨⌝ 【答案】①③【分析】根据椭圆、圆、双曲线、直线的知识对四个命题进行分析，结合逻辑连接词的知识求得正确答案.【详解】依题意，曲线22:1C mx ny +=，1p ：若0m n >>，则110m n<<， 曲线22:111x y C m n +=表示焦点在y 轴上的椭圆，1p 为真命题. 2:p 若0m n =>，则曲线221:C x y n+=，=的圆，2p 是假命题，2p ⌝是真命题. 3:p 若0mn <，则当00m n >⎧⎨<⎩时，曲线22:111x y C m n -=-表示焦点在x 轴上的双曲线， 由22220,m mx ny y x n +==-，所以双曲线的渐近线方程为y =当00m n <⎧⎨>⎩时，曲线22:111y x C n m-=-表示焦点在y 轴上的双曲线， 由22220,m mx ny y x n +==-，所以双曲线的渐近线方程为y =综上所述，3p 是真命题，3⌝p 是假命题.4:p 若0m =，0n >，C的方程为21,y y n ==所以C 是两条直线，所以4p 是真命题，4p ⌝是假命题， 所以①14p p ∨为真命题；②12p p ∧为假命题； ③()23p p ⌝∧为真命题；④()()34p p ⌝∨⌝为假命题.所以真命题的序号①③. 故答案为：①③三、解答题19．已知圆C 经过点()2,0A -，()6,0B ，且圆心C 在直线y x =上． (1)求圆C 的一般方程；(2)若线段OP 的端点P 在圆C 上运动，端点O 为坐标原点，求线段OP 的中点M 的轨迹方程． 【答案】(1)2244120x y x y +---= (2)222230x y x y +---=【分析】（1）利用待定系数法即可求得圆C 的一般方程； （2）利用直接代入法即可求得点M 的轨迹方程.【详解】（1）设所求圆的C 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，则圆心,22D E C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由题意得()2222066022D F D F E D ⎧⎪--+=⎪++=⎨⎪⎪-=-⎩，解得4412D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的C 的一般方程为2244120x y x y +---=. （2）依题意，设(),M x y ，()00,P x y ，因为M 为线段OP 的中点，()0,0O ，所以002,2x x y y ==，又因为点P 在圆C 上运动，所以22000044120x y x y +---=，故()()()()22224242120x y x y +-⨯-⨯-=， 整理得：222230x y x y +---=，所以点M 的轨迹方程为222230x y x y +---=.20．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为x y λ⎧=⎪⎨=⎪⎩（λ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设l 与C 交于P ，Q(1)求l 与C 的极坐标方程；(2)求PQ ．【答案】(1)l 的极坐标方程为()π6θρ=∈R ，圆C 的极坐标方程为2cos 0ρθ-=；(2)PQ =【分析】（1）先把参数方程化为直角坐标方程，再化为极坐标方程；（2）求出直线l 、圆C 的直角坐标方程和交点坐标，再由两点间的距离公式计算即可.【详解】（1）l的直角坐标方程为y =，化为极坐标方程为()π6θρ=∈R ， 将圆C 的参数方程1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩平方相加得()2211x y -+=， 化为极坐标方程为2cos 0ρθ-=；（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，由()2211y x x y ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩得2203-=x x ，解得 1230,2x x ==， 当10x =时10y =，即()0,0P ， 当232x =时2y =32Q ⎛ ⎝⎭， 所以==P Q 21．已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，又知此抛物线上一点()3,Q m 到焦点的距离为4．(1)求此抛物线的方程．(2)若此抛物线方程与直线2y kx =+相交于不同的两点A ，B ，且AB 中点横坐标为4，求k 的值．【答案】(1)24y x =(2)1k =-【分析】（1）结合抛物线的定义求得p ，进而求得抛物线的方程.（2）联立直线2y kx =+的方程与抛物线的方程，化简写出根与系数关系，根据AB 中点的横坐标求【详解】（1）依题意，抛物线焦点在x 轴，且()3,Q m 的横坐标为正数，所以抛物线开口向右，设抛物线的方程为()220y px p =>，由于抛物线上一点()3,Q m 到焦点的距离为4，所以34,22p p +==， 所以抛物线方程为24y x =. （2）由224y kx y x=+⎧⎨=⎩消去y 并化简得()224440k x k x +-+=， 则()220Δ44160k k k ≠⎧⎪⎨=-->⎪⎩，016320k k ≠⎧⎨->⎩， 解得12k <且0k ≠， 设()()1122,,,A x y B x y ，则12244k x x k -+=-， AB 中点横坐标为4，所以2224k k --=， 解得1k =-或12k =（舍去）. 22．已知1F ，2F 椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，椭圆上的任意一点P 使得124PF PF +=，且1PF 的最大值为2(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点．求证直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】(1)22142x y += (2)证明详见解析，定点坐标为2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，从而求得椭圆的标准方程.（2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线l 的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，根据“以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点”列方程，由此求得定点坐标.【详解】（1）依题意，1242,2PF PF a a +===，由于1PF 的最大值为2a c +=c =所以b ==22142x y +=. （2）椭圆的右顶点为()2,0Q ，当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为()22x t t =-<<， 由22142x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得22221242t t y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 设()()00,,,A t y B t y -，则22022t y =-， 由于以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点()2,0Q ，所以AQ BQ ⊥，()2002221222t y y t t t --⋅=-=----，解得23t =， 所以直线l 过2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+， 由22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()222124240k x kmx m +++-=， ()()2222221641224328160k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22420k m -+>①.设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222424,1212km m x x x x k k --+==++， 由于以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点()2,0Q ，所以AQ BQ ⊥，()()1212121212222y y y y x x x x ⋅==-----， ()()121222y y x x =---，()()()()121222kx m kx m x x ++=--- ，()()221212121224k x x km x x m x x x x +++=+--，()()()2212121240k x x km x x m ++-+++=，()()2222224412401212m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++， 整理得()()3220m k m k ++=，23m k =-或2m k =-， 若23m k =-，代入①得222432422099k k k -+=+>，成立， 若2m k =-，代入①得2244220k k -+=>成立，所以直线l 的方程为2233y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，过点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭； 或()22y kx k k x =-=-，过点()2,0Q ，不符合题意，舍去.综上所述，直线l 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】求解直线过定点问题，关键点是研究直线方程中参数的关系，从而求得定点的坐标.有关直线和圆锥曲线相交的题目，要注意验证判别式是否成立.。

山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题 2024.11（选择性必修—检测）说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。

每小题只有一个选项符合题意）1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.42.“”是“直线与直线平行”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.给出下列说法，其中不正确的是（）A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量B.若，则点是线段的中点C.若，则，，，四点共面D.若平面，的法向量分别为，，且，则3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.实数，满足，则的最小值为（ ）A. B.7C. D.36.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A.()1,2,0a = ()0,1,1b =- ()2,3,c m = a b cm =1m =-()1:2310l mx m y +++=2:30l x my ++=a b ∥a b c2PM PA PB =+M AB 2OA OB OC OD =+-A B C D αβ()12,1,1n =- ()21,,1n t =-αβ⊥3t =1:43l x y +=2:0l x y +=3:2l x my -=m x y 2222x y x y +=-3x y -+3+:20l kx y --=:1C x =-k k >5k <≤k <<1k <≤7.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）A.B.C.1D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ）A.C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.圆与直线必有两个交点C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.焦距为2B.椭圆的标准方程为P ABC -G ABC △PD PA λ= PE PB μ= 12PF PC =λ()0,1μ∈PG DEF M 12PM PG =λμ+122343()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P C 1O 1F P 2PF x 12PF F △2O 1O 2O 1O 2O C 123522:4O x y +=10mx y m +--=x y a b 1x y a b+=()2,2A -()1,1B :10l ax y ++=AB a (]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，()2222:10x y E a b a b +=>>23F F '()1,1A P E E 22195x y +=C.D.的最大值为11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.，，，四点共面C.点到平面的距离为D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先AF '=PA PF +6AG ⊥BCDG A F C D B ACD E BC DE AF 12⎡⎢⎣l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭l ()8,0A ()0,4B -()3,0P AB OB OB P画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆的方程为，下顶点为，为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.图1 图2 图3四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知两直线和的交点为.（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.16.（15分）已知椭圆，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.17.（15分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.图1 图2（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面的值；若不存在，请说明理由.E()222210x ya ba b+=>>10,2A⎛⎫-⎪⎝⎭O P C2PO PA=C Q QC Q a1:20l x y++=2:3210l x y-+=Pl P310x y++=lC()1,01l P C()2222:10x yC a ba b+=>>⎛⎝C12l C M N M A B CAMBN SABCD AB CD∥3BADπ∠=224AB AD CD===P AB AC DP O ACD△AC ACD'△D O OP'⊥D AC'⊥ABCPD'Q CQ BCD'PQPD'18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点满足（，且），则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.:40l x ++=C l C x l C 2y kx =-C M N 120MCN ︒∠=2y kx =-()0,1M C A B A x y N y ANB ∠N A B P PAPBλ=0λ>1λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()2,0A -()(),2B a b a ≠-(),A B λ221240x y x +-+=a b λQ (),A B OQ O 0b =λ=a μ(),A B μ山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题参考答案 2024.11选择题1234567891011ABCBDDCCBDBCDABD填空题12..13.，.解答题15.【答案】（1）（2）.【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为，……1分联立方程组，解得.直线和的交点.……3分又直线过点，则，解得，即直线的方程为.……5分（2）设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得，……8分解得，……11分故所求圆的方程为.(()1,-∞-+∞ ,20,3⎛⎫-⎪⎝⎭a >340x y ++=221140333x y x y +++-=l 310x y ++=l 130x y C ++=203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩∴1:20l x y ++=2:3210l x y -+=()1,1P --l P 1130C --+=14C =l 340x y ++=()()222x a y b r -+-=1:20l x y ++=1-CP ()()()()2222221110111a b r a b r b a ⎧--+--=⎪⎪-+-=⎨⎪+⎪=+⎩216162518a b r ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩2211256618x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为一般式：.……13分16.【答案】（1）（2）【详解】（1）由椭圆，解得，……2分由椭圆过点，得，联立解得，，……4分所以椭圆的方程为.……5分（2）由题意可设，点在第一象限，，……6分设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，，，……8分10分，，直线的一般式方程：，，，，……12分14分当时，有最大值为……15分17.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【详解】（1）证明：在梯形中，，22114333x y x y+++-=2214xy+=2222:1x yCa b+==2a b= C⎛⎝221314a b+=2a=1b=C2214xy+=1:2l y x m=+M11m∴-<<()11,M x y()22,N x y A B l1d2d221412xyy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y222220x mx m++-=122x x m∴+=-21222x x m=-MN∴===()2,0A()0,1B l220x y m-+=1d∴=2d=12d d∴+=()121122AMN BMNS S S MN d d∴=+=⋅+==△△m=S13ABCD AB CD∥，，为的中点，，，，……1分是正三角形，四边形为菱形，，，……3分，，又，，平面，平面，……5分平面，平面平面.……6分（2）存在，，理由如下：……8分平面，，，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，……11分设，，，， (12)分设与平面所成角为，则，即，，解得，224AB AD CD ===3BAD π∠=P AB CD PB ∴∥CD PB =BC DP =ADP ∴△DPBC AC BC ∴⊥AC DP ⊥AC D O ⊥' D O OP '⊥AC OP O = AC OP ⊂ABC D O ∴'⊥ABC D O ⊂' D AC '∴D AC '⊥ABC 13PQ PD '=D O ⊥' BAC OP AC ⊥OA ∴OP OD 'O OA OP OD 'x y z ()C ()2,0B ()0,0,1D '()0,1,0P )2,1BD ∴'=- )CD '=CBD '(),,n x y z =00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'' 200y z z -+=+=⎪⎩1x =0y =z =(1,0,n ∴=()01PQ PD λλ'=≤≤)CP =()0,1,1PD =-'),CQ CP PQ CP PD λλλ∴=+=+=- CQ BCD 'θsin cos ,CQ n CQ n CQ n θ⋅====23720λλ-+=01λ≤≤ 13λ=线段上存在点，且，使得与平面……15分18.【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）设圆心，则，……2分解得或（舍），故圆的方程为.……4分（2）由题意可知圆心到直线的距离为，……6分，解得.……8分（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由得，……10分，……12分若轴平分，则，即，即，即，即，即，……14分当时，上式恒成立，即；……15分当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知满足题意；综上，当点的坐标为时，轴平分.……17分19.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，……1分所以，……3分∴PD 'Q 13PQ PD '=CQ BCD '224x y +=k =()0,4N ()(),04C a a >-422a +=0a =8a =-C 224x y +=C 2y kx =-2sin 301︒=1=k =AB AB ()10y kx k =+≠()()0,0N t t >()11,A x y ()22,B x y 224,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()221230k x kx ++-=12221k x x k -∴+=+12231x x k -=+y ANB ∠AN BN k k =-12120y t y t x x --+=1212110kx t kx tx x +-+-+=()()1212210kx x t x x +-+=()()22126011t k k k k -⨯--+=++40k kt -+=4t =()0,4N AB ()0,4N N ()0,4y ANB ∠2a =0b =λ=[]1,3(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-()()()()22222222222222244162212224PA x y x y x x x y ax by a b a x by a bx a y b PB+++++===+--++--+-+-+-因为为常数，所以，，且，……5分所以，，.……6分（2）解：由（1）知，，设，由，所以，……7分，整理得，即，所以，……9分，……10分由，得，即的取值范围是.……12分（3）证明：若，则以—阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.……15分由点，关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称……17分22PA PB2λ2240a b -+=0b =2a ≠-2a =0b =λ==()2,0A -()2,0B (),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--≥42890x x --≤()()22190x x +-≤209x ≤≤OQ ==209x ≤≤13OQ ≤≤OQ []1,30b =(),A B ()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()2,0A -(),0B a 2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-a μ(),A B μ。

2022-2023学年四川省泸州市叙永第一中学校高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知直线10x ay ++=和直线210x y -+=互相平行，则a 的值为（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-【答案】D【分析】直接利用两条直线平行的充要条件进行求解即可． 【详解】解：因为直线10x ay ++=和直线210x y -+=互相平行，所以1(1)201(1)10a a ⨯--=⎧⎨⨯--⨯≠⎩，解得12a =-．故选：D ．2．若a b >，则下列结论正确的是（ ） A ．22a b > B ．11a b> C ．22a b > D ．ln ln a b >【答案】C【分析】利用特殊值1a =-，4b =-判断选项A ，利用作差法判断选项B ，利用指数函数的单调性判断选项C ，利用对数的定义判断选项D ，【详解】解：因为a b >，若1a =-，4b =-，则22a b <，故选项A 错误； 因为11b a a b ab--=，当0ab >时，11a b <，故选项B 错误；因为2x y =在R 上为增函数，若a b >，则22a b >，故选项C 正确； 若0a b >>，则lna 和lnb 无意义，故选项D 错误． 故选：C ．3．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高二学生中抽取的人数应为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B【分析】由分层抽样的概念求解，【详解】设从高二学生中抽取的人数为x ，则7=210270x ，得9x =， 故选：B4．有一组样本数据12,,,n x x x ，由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ，其中()1,2,3,i i y x c i n =+=，c 为非零常数，则这两组样本数据（ ）A ．平均数相同B ．中位数相同C ．标准差不相同D ．极差相同【答案】D【分析】由各个统计量的概念判断， 【详解】对于A ，设12,,,n x x x 的平均数为x ，则12,,,n y y y 的平均数为x c +，对于B ，设12,,,n x x x 的中位数为m ，则12,,,n y y y 的中位数为m c +，对于C ，由方差与标准差的计算公式，可得12σσ=， 对于D ，max min max min x x y y -=-，两组样本数据极差相同 故选：D5．现有以下两项调查：①从100台刚出厂的电视机中抽取3台进行质量检查；②某社区有1000户家庭，其中高收入家庭100户，中等收入家庭820户，低收入家庭80户，为了调查家庭每年生活费的开支情况，计划抽取一个容量为50的样本，则完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（ ） A ．①②都采用简单随机抽样 B ．①②都采用分层随机抽样C ．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样D ．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 【答案】C【分析】根据简单随机抽样和分层抽样的特点，判断选项. 【详解】①的总体中的个体数较少，宜采用简单随机抽样，②中1000户家庭中收入存在较大差异，层次比较明显，宜采用分层抽样. 故选：C6．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（biē nào ）.如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为A ．6B ．21C ．27D ．54【答案】C【分析】结合三视图,还原直观图,计算表面积,即可. 【详解】结合三视图,还原直观图为已知3,4,3AB BC CD ===,则该四面体1111272222S AB BC AC CD AB BD BC CD =⋅+⋅+⋅+⋅=,故选C. 【点睛】本道题考查了三视图还原直观图,难度中等.7．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C 21=种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种， 故所求概率2172213P -==.故选：D.8．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，由下列四个命题，其中正确的是（ ） A ．若,m m n α⊥⊥，则//n α B ．若//,//m n αα，则//m n C ．若//,m αβα⊂，则//m β. D ．若//m β，m α⊂，则//αβ.【答案】C【解析】A 选项可能n ⊂α，B 选项两条直线位置关系不能确定，C 选项正确，D 选项两个平面相交也能满足//m β，m α⊂.【详解】A 选项，当,m m n α⊥⊥可能n ⊂α，所以该选项不正确；B 选项，平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交，可能异面，所以该选项不正确；C 选项，根据面面平行的性质，说法正确；D 选项，当两个平面相交，m α⊂且平行于交线，也满足//m β，m α⊂，所以不能推出面面平行. 故选：C【点睛】此题考查空间点线面位置关系的辨析，根据已知条件判断线面平行，线线平行和面面平行，关键在于熟练掌握相关定理公理.9．在一个实验中，某种豚鼠被感染A 病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为（ ） A ．0.25 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.75【答案】A【分析】求得三只豚鼠都没有被感染的数量，结合题意，求解即可.【详解】20组数据中，都不含1,2,3,4的数据有5个，分别是：907，966，569，556，989； 故三只豚鼠都没被感染的概率为：50.2520=. 故选：A .10．若正数x ，y 满足32x y xy +=，则34x y +的最小值是（ ） A ．245B ．25C ．5D ．252【答案】D【分析】由基本不等式求解， 【详解】由题意得3132x y xy y x+=+=，则 31123()131323625(34)2222y xx y x y x y +++++=≥=，当且仅当123y x x y =即55,24x y ==时等号成立， 故选：D11．在如图的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”．可以简洁明了地推证出勾股定理，把这一证明方法称为“总统证法”．设15BEC ∠=︒，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角CDE 中（阴影部分）的概率是（ ）A ．23B ．34C 3D 2【答案】A【分析】根据()()()=ΩS A P A S 计算即可． 【详解】解：记此点取自等腰直角CDE 中（阴影部分）为事件A ， 此点取自梯形ABCD 为事件Ω， 在Rt CEB △中，·sin b c CEB =∠，·cos a c CEB =∠，()22222232?sin cos ?sin 302a b c c CEB CEB c c c ∴+=+∠⋅∠=+︒=， 212△=⋅DCE S c ，()221324梯形=⋅+=ABCD S a b c ，()()()22122334∴===Ωc S A P A S c ．故选：A ．12．若,x y 满足221+-=x y xy ，则（ ）A ．1x y +≥B ．2x y +≥C ．221x y +≤D ．222x y +≤【答案】D【分析】由基本不等式求解，【详解】由题意得222x y xy ≤+，即222221x x y y -++≤，得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时等号成立，故C 错误，而0,1x y ==-时满足题意，故A ，B 错误， 故选：D二、填空题13．若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩， ，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图 因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ，所以max 31227z =⨯+⨯=. 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．从甲、乙等5名同学中随机选3名组成校庆志愿小分队，则甲、乙都不入选的概率为 ________. 【答案】110##0.1 【分析】由组合数与古典概型求解，【详解】由题意得甲、乙都不入选的概率为3511C 10p ==， 故答案为：11015．某产品的广告费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表：若x 与y 之间是线性关系，且根据上表可得回归直线方程ˆ68y x =+，现发现表中有一个数据模糊看不清，该数据是___________. 【答案】31【分析】根据回归方程过样本中心点可得答案. 【详解】设表中模糊不清数据为m ，由表知6345109: 4.5,44m x y ++++===， 代人回归方程ˆ68yx =+中，得1096 4.584m+=⨯+，解得31.m = 故答案为：31.16．在三棱锥ABCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，ABC 与BCD △都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为________. 【答案】【分析】取BC 的中点为,,M E F 分别是正三角形ABC 和正三角形BCD 的重心，O 是该三棱锥外接球的球心，连接,,,,,AM DM OF OE OM OB ,可证明AM DM ⊥，通过几何关系可得到外接球的半径为OB =【详解】取BC 的中点为,,M E F 分别是正三角形ABC 和正三角形BCD 的重心，O 是该三棱锥外接球的球心，连接,,,,,AM DM OF OE OM OB ,则,E F 分别在,AM DM 上，OF ⊥平面BCD ，OE ⊥平面ABC ，AM BC ⊥，DM BC ⊥， 因为平面ABC ⊥平面BCD ，AM BC ⊥，平面ABC ⋂平面BCD BC =，AM ⊂平面,ABC 所以AM ⊥平面BCD ，所以//AM OF ，同理可得//DM OE ，所以四边形OEMF 是平行四边形， 因为AM BC ⊥，DM BC ⊥，AMDM M =，,AM DM ⊂平面ADM ，所以BC ⊥平面ADM ，又OM ⊂平面ADM ，所以OM BC ⊥， 因为AM ⊥平面BCD ，DM ⊂平面BCD ， 所以AM DM ⊥， ∵3633AM DM === ∴133EM FM AM ==∴四边形OEMF 为正方形，∴6OM = 在直角三角形OMB 中，球半径()22226315OB OM BM =++∴外接球体积为341520153ππ⨯=，故答案为：2015π三、解答题17．求下列不等式的解集： (1)2450x x -++<； (2)5131x x +<+. 【答案】(1){|1x x <-或5}x > (2){|11}x x -<<【分析】（1）由一元二次不等式的解法求解， （2）移项，通分后化简求解，【详解】（1）由2450x x -++<，得2450x x --> 解得1x <-或5x >.所以不等式的解集为{|1x x <-或5}x >； （2）由5131x x +<+，可得2201x x -<+， 等价于(1)(1)0x x -+<，解得11x -<<， 所以不等式的解集为{|11}x x -<<．18．某收费APP （手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计､方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP 所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x （单位：元）及该月对应的用户数量y （单位：万人），得到如下数据表格：已知x 与y 线性相关.(1)求y 关于x 的线性回归方程55211135,41.7i i i i i x x y ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑；(2)据此预测，当月租减免费用为10元时，该月用户数量为多少？参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(),(1,2,,)i i x y i n =，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =- 【答案】(1)0.320.06y x =- (2)3.14万人【分析】（1）根据已知数据，先求得,x y ，然后利用公式计算回归方程中的系数，得到回归方程； （2）利用回归方程估计.【详解】（1）解：由()13456755x =⨯++++=()11 1.1 1.5 1.9 2.2 1.54.5y =⨯++++=有241.755 1.54ˆ0.32, 1.540.3250.0613555ba -⨯⨯===-⨯=--⨯， 故y 关于x 的线性回归方程为0.320.06y x =-；（2）解：由（1）知回归方程为0.320.06y x =-，当10x =时，0.32100.06 3.14y =⨯-=， 所以预测该月的用户数量为3.14万人.19．已知某保险公司的某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的400名续保人在一年内的出险情况，得到下表：该保险公司这种保险的赔付规定如下：将所抽样本的频率视为概率．（1）求本年度续保人保费的平均值的估计值；（2）按保险合同规定，若续保人在本年度内出险3次，则可获得赔付()2.5 1.5a a a ++元；若续保人在本年度内出险6次，则可获得赔付()2.5 1.50.5a a a a +++元；依此类推，求本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值．【答案】（1）1.035a ；（2）0.945a .【分析】（1）得出保费0.9a ，a ，1.5a ，2.5a ，4a 对应的概率，即可得出本年度续保人保费的平均值的估计值；（2）先计算出每个赔偿金额对应的概率，然后按照平均值的计算公式得出本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值；【详解】（1）由题意可得保费（元）0.9a a 1.5a 2.5a4a概率0.7 0.2 0.06 0.03 0.01本年度续保人保费的平均值的估计值为0.90.70.2 1.50.06 2.50.0340.01 1.035⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=a a a a a a（2）由题意可得赔偿金额（元）0 2.5a4a5a 5.5a概率0.7 0.2 0.06 0.03 0.01本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=a a a a a00.7 2.50.240.0650.03 5.50.010.94520．某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的200名学生进行了一次测试.已知参x i=全部介于45分到95分之间，该校将所有分数分成5组：加此次测试的学生的分数(1,2,3,,200)i[45，55)，[55，65)，⋯，[85，95]，整理得到如下频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）.(1)求m的值，并估计此次校内测试分数的平均值x；x i=的方差2s，并判断此次得分为52分和94分的两名(2)试估计这200名学生的分数(1,2,3,,200)i同学的成绩是否进入到了[2,2]x s x s -+范围内？（参考公式：2211()n i i i s f x x n ==-∑，其中i f 为各组频数；参考数据：12911.4)≈【答案】(1)m 0.024=，75(2)129，进入【分析】（1）由各组的频率和为1，可求出m 的值，再根据平均数的定义可求出x ；（2）利用方差公式求出方差2s ，然后计算出[2,2]x s x s -+，再判断即可.【详解】（1）(0.0060.014++m 0.0360.020)101++⨯=．∴m 0.024=.∴该次校内考试测试分数的平均数的估计值为：500.06600.14700.24800.36900.275⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分.（2）2211()n i i i s f x x n ==-∑ 222220.06(5075)0.14(6075)0.24(7075)0.36(8075)0.2(9075)=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-129=．∴s 12911.4=≈，∴252.2,297.8x s x s -=+=．∴得分为52分的同学的成绩没有进入到[52.2，97.8]内，得分为94分的同学的成绩进入到了[52.2，97.8]内．21．如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PD AB ==，E 为PC 中点．(1)求证：DE ⊥平面PCB ；(2)求二面角E BD P --的余弦值．【答案】(1)证明见解析6【分析】（1）根据条件先证BC ⊥平面PCD ，得到BC ⊥DE ，再由DE ⊥PC ，即可证明DE ⊥平面PCB .（2）以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BDE ，平面PDB 的法向量，即可求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明:PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC ，又∵正方形ABCD 中，CD ⊥BC ，PD CD ＝D ，∴BC ⊥平面PCD ，又∵DE ⊂平面PCD ，∴BC ⊥DE ，∵PD ＝CD ，E 是PC 的中点，DE ⊥PC ，PC BC ＝C ，且PC ⊂面PCB ，BC ⊂面PCB∴DE ⊥平面PCB（2）以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知：()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,1,1,D P B E则()()2,2,0,0,1,1DB DE ==，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =，则220000x y n DB y z n DE ⎧+=⎧⋅=⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎩， 令1z =，得到1,1y x =-=，()1,1,1n ∴=-又()()0,2,0,2,0,0C A ，则()2,2,0AC =-，且AC ⊥平面PDB ，∴平面PDB 的一个法向量为()1,1,0m =-，设二面角E BD P --的平面角为α，则1cos cos ,m n α+=<>== 所以二面角E BD P -- 22．已知函数()2()22f x ax a x =-++，a R ∈(1)求关于x 的不等式()0f x ≥的解集；(2)若存在0m >使关于x 的方程(21)xf -11m m=++有四个不同的实根，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)(,4-∞--【分析】(1)对a 进行讨论，分别求出其解集即可；（2）先令11t m m =++ 由0m >，则可得3t ≥，再将关于x 的方程1(||)1f x m m=++有四个不同的实根，转化为2(2)20ax a x t -++-= 有两个不同正根，结合根与系数的关系，即可求解.【详解】（1）当a<0时，不等式的解集为或2{|1}x x a≤≤； 当0a =时，不等式的解集为 {|1}x x ≤；当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a ≥； 当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a ≤或1}x ≥； （2）当 0m > 时，令 1113s m m =++≥=，当且仅当1m =时取等号，设 |21|x t -=，则原方程可化为2()(2)20g t at a t s =-++-=.由题意知()0g t =在(0,1)有两个不等的实根.因为(0)20g s =-<，(1)0g s =-<，固有()()224200201a a s a aa ⎧⎪∆=+-->⎪<⎨⎪+⎪<<⎩解得4a <--故实数a的取值范围是(,4-∞--.。

2023-2024学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（每题5分）磁波在空气中的传播速度约为0.3km/μs ，1海里 1.852km =），则点P 的坐标（单位：海里）为（）A ．135322,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭B ．903211,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭C ．3217,3⎛⎫± ⎪⎝⎭D ．()45,162±二、多选题（每题5分）9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值()1λλ≠的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()()1,0,1,0A B -．点P 满足12PA PB=，设点P 所构成的曲线为E ，下列结论正确的是（）A ．曲线E 的圆心坐标为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．443PB ≤≤C ．曲线E 的周长为πD ．曲线E 上的点到直线10x y +-=的最小距离为()4213-10．已知曲线C 的方程为222113x y m m +=--（1m ≠±且3m ≠），则下列结论正确的是（）A ．当2m =时，曲线C 是焦距为4的双曲线B ．当4m =时，曲线C 是离心率为22的椭圆C ．曲线C 可能是一个圆D ．当3m =-时，曲线C 是渐近线方程为320x y ±=的双曲线11．已知点()1,1A ，点P 是双曲线22:197x y C -=左支上的动点，Q 是圆221:(4)4D x y ++=上的动点，则（）A ．C 的实轴长为6B ．C 的渐近线为377y x =±C ．PQ 的最小值为12D ．PA PD -的最小值为610-三、填空题（每题5分）四、解答题2023-2024学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷参考答案一、单选题（每题5分）由图可知，直线l的斜率故直线l的斜率的取值范围为故选：D．3．B）()11,M x y ，()22,N x y ，抛物线当直线l 的斜率等于0时，不存在两个交点，不符合题意；当直线l 的斜率不等于0时，不妨设过抛物线焦点的直线联立抛物线方程可得241y x x ty ⎧=⎨=+⎩。

绵阳2024年秋季高2023级半期考试数学试题（答案在最后）本测评题分试题卷和答题卷两部份，试题卷共4页，满分150分，时间120分钟.注意事项：1、答题前，请将本人的信息用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填在答题卡的对应位置上；2、选择题的答案，必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑；3、请用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上的无效.作图一律用2B 铅笔或0.5毫米黑色签字笔；第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.直线020233=+-y x 的倾斜角是（）A.︒30 B.︒60 C.︒120 D.︒1502.在ABC ∆中，,6),0,2(),0,2(=+-AC AB C B 则顶点A 的轨迹方程（）A.)3(15922±≠=+x y xB.)2(14922±≠=+x y x C.15922=+y x D.14922=+y x 3.已知B 为)1,2,1(-A 在坐标平面Oyz 内的射影，则=OB ()A.3B.5C.2D.64.直线1sin cos :-+θθy x l 与圆22:1O x y +=的位置关系为（）A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法确定5.与椭圆13622=+y x 共焦点且过)1,2(P 的双曲线方程为（）A ．2214x y -=B ．2212y x -=C ．2212x y -=D ．2213x y -=6.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，,311MC AC =若,,,1c AA b AD a AB ===则1MD =（）A.c b a --31B.c b a 323231--C.c b a 3131-+D.a c b 323131-+7.已知四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，点E 是BC 的中2024年11月点，则点E 到直线PD 的距离是（）A ．45B ．25 C.423D ．228.在平面直角坐标系Oxy 中，点)1,0(),0,1(),0,4(C B A ，若点P 满足2PA PB =，则22PC PO +的最大值为（）A ．7B ．9C ．11D ．13二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分.9.下列关于空间向量的命题中，是真命题的有（）A.将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面B.若非零向量c b a ,,，满足,//,//c b b a 则有c a //C.与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量D.设OC OB OA ,,为空间的一组基底，且,2121OC OB OA OD ++=则D C B A ,,,四点共10.若方程11522=-+-m y m x 所表示的曲线为C ，则（）A ．曲线C 可能是圆B.当2=m 时，表示焦点在x 轴上的椭圆，焦距为2C ．若51<<m ，则C 为椭圆D ．若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则31<<m 11.过点()()0,R P t t ∈的直线与圆22:(2)3C x y -+=相切，切点分别为B A ,，则（）A ．当0t =时，3=AB B ．存在R t ∈，使得65π=∠APB C ．直线AB 经过点)0,21(D ．直线PC 与直线AB 的交点在定圆上三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将答案填写在答题卷中的横线上.12.双曲线112422=-y x 的左右焦点分别是21,F F ，M 是双曲线左支上一点，且,51=MF 则=2MF .13.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,,F F 过2F 作x 轴垂线交椭圆于P ，若︒=∠3021PF F ，则该椭圆的离心率是.14.如图所示，在四面体ABCD 中，BCD ∆为等边三角形，2π=∠ADB ，则平面ABD 与平面ACD 夹角的最大值是.四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点)5,3(M ，AB 边所在直线的方程为,083=+-y x 点)6,0(N 在AD 边所在直线上．(Ⅰ)求AD 边所在直线的方程；(Ⅱ)求对角线AC 所在直线的方程．16.(15分)已知圆C 与y 轴相切，其圆心在x 轴的正半轴上，且圆C 被直线x y =截得的弦长为22.(Ⅰ)求圆C 的标准方程；(Ⅱ)若过点()0,3P 的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程.第14题图17.（15分）如图所示，在几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 和ABFE 均为边长为2的正方形，//AD EG ，1EG =,平面ABCD ABFE 平面⊥M 、N 分别为DG 、EF 的中点.(Ⅰ)求证：//MN 平面CFG ；(Ⅱ)求直线AN 与平面CFG 所成角的正弦值．18．（17分）在平面直角坐标系Oxy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为)0,3(F ，短轴长为2.过点F 且不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M .(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值；(Ⅲ)求AOB ∆面积的最大值.19.(17分)定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记MN 的最大值为m ，MN 的最小值为n ，若2m n =，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“E F -”的“钻石点”.已知圆A ：()()221113x y +++=，P 为圆A 的“黄金点”(Ⅰ)求点P 的轨迹方程；(Ⅱ)已知圆B ：1)2()2(22=-+-y x ，P ，Q 均为圆“A B -”的“钻石点”.(ⅰ)求直线PQ 的方程；(ⅱ)若圆H 是以线段PQ 为直径的圆，直线31:+=kx y l 与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分IWJ ∠？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.绵阳2024年秋季高2023级半期考试数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011选项AABCCDCDABCADACD三、填空题12.913.32-14.3π四、解答题15.解：(Ⅰ)法一：因为AB 边所在直线的方程为083=+-y x ，所以31=AB k ．又因为矩形ABCD 中，AB AD ⊥，所以3-=AD k ,所以由点斜式可得AD 边所在直线的方程为：)0(36--=-x y ，即063=-+y x ；法二：因为AB AD ⊥，设AD 边所在直线的方程为：03=++m y x 又因为直线AD 过点)6,0(N ，所以将点)6,0(N 代入上式得:6-=m ．所以AD 边所在直线的方程为：063=-+y x ；(Ⅱ)由⎩⎨⎧=-+=+-063083y x y x ，得：)3,1(A ，得AC 所在直线的方程：131353--=--x y ，即02=+-y x ．16.解：（Ⅰ）由题可设圆C 的方程为)0()(222>=+-a a y a x ，则有2222(2(a a =+，解得)(2舍负=a ；所以圆C 的标准方程为：4)2(22=+-y x ；（Ⅱ）因为43)20(22>+-，所以过P 的切线有两条，当l 斜率存在时，设切线方程为：3+=kx y 即03=+-y kx ，所以有：21322=++k k ，解得：125-=k ；所以l 的方程为：0036125==-+x y x 或。

2024－2025学年第一学期11月高二期中考试数学（答案在最后）考试说明：1．本试卷共150分.考试时间120分钟.2．请将各题答案填在答题卡上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有—项是符合题目要求的.1.三点()2,2A ，()5,1B ，(),4C m 在同一条直线上，则m 的值为（）A.2B.4C.2- D.4-【答案】D 【解析】【分析】根据两点斜率表达式得到方程，解出即可.【详解】显然5m ≠，则BC AB k k =，即4112552m --=--，解得4m =-.故选：D .2.若点()1,1P 在圆22222240x y mx my m m +-++-=的外部，则实数m 的取值范围是（）A.()2,+∞B.()1,+∞C.()()0,11,+∞ D.()()0,22,+∞U 【答案】C 【解析】【分析】根据圆的一般式结合点与圆的位置关系计算即可.【详解】根据题意有()()()2222222242401122240m m m m m m m m ⎧-+-->⎪⎨+-++->⎪⎩，即()2010m m >⎧⎪⎨->⎪⎩，解之得()()0,11,m ∈+∞ .故选：C3.如图，直线1l ，2l ，3l ，4l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，则（）A.1234k k k k <<<B.2134k k k k <<<C.1243k k k k <<<D.2143k k k k <<<【答案】D 【解析】【分析】由图可知直线12,l l 的倾斜角为钝角，斜率为负，直线34,l l 的倾斜角为锐角，斜率为正，以及根据倾斜角的大小判断斜率的大小可得答案.【详解】直线12,l l 的倾斜角为钝角，斜率为负，且直线1l 的倾斜角大于直线2l 的倾斜角，直线34,l l 的倾斜角为锐角，斜率为正，直线3l 的倾斜角大于直线4l 的倾斜角，所以21430k k k k <<<<．故选：D.4.已知动圆过点()1,0A -，并且在圆22:(1)16B x y -+=内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（）A.22132x y += B.221169x y += C.22143x y += D.22154x y +=【答案】C 【解析】【分析】设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R 2222(1)(1)4x y x y +++-+=，再利用椭圆的定义，即可求解.【详解】设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R因为圆22:(1)16B x y -+=的圆心为(1,0)B ，半径为4r=，由题有r R PB -=，又动圆过点()1,0A -，得22224(1)(1)x y x y -++=-+，2222(1)(1)4x y x y +++-+=，则(,)P x y 到两定点(1,0),(1,0)-的距离之和为4，由椭圆的定义可知，点(,)P x y 在以12(1,0),(1,0)F F -为焦点，长轴长为24a =的椭圆上，因为2,1a c ==，得到2413b =-=，所以动圆圆心的轨迹方程为22143x y+=，故选：C.5.已知圆221:20C x y x +-=，圆222:40C x y mx y n ++-+=，若圆2C 平分圆1C 的周长，则m n +=（）A.2B.－2C.1D.－1【答案】B 【解析】【分析】根据两圆的方程作差求出公共弦所在直线方程，再由题中条件，得到公共弦所在直线过点1(1,0)C ，由此列出方程求解，即可得出结果.【详解】由2220x y x +-=与2240x y mx y n ++-+=两式作差，可得两圆的相交弦所在的直线为(2)40m x y n +-+=，又圆1C 的标准方程为22(1)1x y -+=，记圆心为1(1,0)C ；因为圆2C 平分圆1C 的圆周，所以公共弦所在直线过点1(1,0)C ，因此20m n ++=，所以2m n +=-.故选：B .6.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，且1AB =，PA ⊥平面ABCD ，且E 为PC 的中点，则AE CD ⋅= （）A.13B.12C.13-D.12-【答案】D 【解析】【分析】首先利用基底{},,AB AD AP 表示向量AE，然后再根据空间向量的数量积的运算法则进行求解即可【详解】已知点E 为PC 中点，则1111122222AE AP AC AP AB AD =+=++ ，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，又四边形ABCD 为矩形，所以AD CD ⊥；因此111111222222AE CD AP AB AD CD AP CD AB CD AD CD ⎛⎫⋅=++⋅=⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭()110111022=+⨯⨯⨯-+=-.故选：D7.已知点(),P x y 为直线0x y +=上的动点n =，则n 的最小值为（）A.5B.6C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据两点之间距离最小，结合点关于直线的对称性即可利用两点间距离公式求解.【详解】n =+(,)P x y 到点(2,4)B -和点(2,1)A 的距离之和，令点(2,4)B -关于直线0x y +=的对称点为(,)B a b '，则41224022b a a b -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+=⎪⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩，即(4,2)B '-，因此||||||||||n PB PA PB PA AB ''=+=+≥=，当且仅当点P 为线段AB '与直线0x y +=的交点时取等号，所以n.故选：C8.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为(0,1)λλλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点M 与两定点()()0,0,2,0O A 22时，则直线:1l x =-被动点M 所形成的轨迹截得的弦长为（）A.2 B.23C.25D.27【答案】D 【解析】【分析】设(,)M x y ，利用两点间距离公式代入2MA MO=化简得到点M 的轨迹，再联立轨迹与直线:1l x =-得弦长.【详解】设(,)M x y ，()()0,0,2,0O A ，则2222(2)2MA x y MOx y-+==+，整理得22440x x y +-+=，与直线:1l x =-联立得7y =±，所以所求弦长为27.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若两个不同平面α，β的法向量分别是,u v，且()1,1,2u =- ，()6,4,1v =- ，则αβ⊥B.若直线l 的方向向量为()0,4,0e = ，平面α的法向量为()3,0,2n =-，则直线//l αC.若对空间中任意一点O ，有23AP OA OB OC =+-，则P ，A ，B ，C 四点共面D.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线【答案】ACD 【解析】【分析】由面面垂直的向量表示可判断A ；由线面平行的向量表示可判断B ；根据向量共线定理，可判断C ；由空间向量基底的表示可判断D.【详解】对于A ，6420u v ⋅=--= ，所以u v ⊥，则αβ⊥，A 正确；对于B ，0e n ⋅= ，所以e n⊥，则直线//l α或者l α⊂，B 错误;对于C ，对空间中任意一点O ，有23AP OA OB OC =+-，即23OA OB O OA C OP =--+ ，则223OP OA OB OC =+-满足2231+-=，则P ，A ，B ，C 四点共面，可知C 正确；对于D ，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D 正确.故选：ACD.10.直线l 经过点()1,3，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 的方程可能是（）A.30x y -=B.30x y += C.40x y +-= D.20x y -+=【答案】ACD 【解析】【分析】根据条件，分截距为0和不为0两种情况讨论，再利用点斜式和截距式，即可求解.【详解】当直线在两坐标轴上的截距均为0时，直线方程为3y x =，即30x y -=，当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为1(0,0)x ya b a b+=≠≠，由题有131a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩或131a b a b⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，由131a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得到4a b ==，此时直线方程为144x y +=，即40x y +-=，由131a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得到2,2a b =-=，此时直线方程为122x y +=-，即20x y -+=，故选：ACD.11.下列结论正确的是（）A.已知0ab ≠，O 为坐标原点，点(),P a b 是圆222x y r +=外一点，直线m 的方程是2(0)ax by r r +=>，则m 与圆相交B.直线:230l kx y k +--=与圆22:(1)9C x y +-=恒相交C.若直线:230l kx y k +--=平分圆22:(1)9C x y +-=的周长，则1k =-D.若圆222:(4)(4)(1)M x y r r -+-=>上恰有两点到点()1,0N 的距离为1，则r 的取值范围是()3,6【答案】ABC 【解析】【分析】利用点到直线距离公式计算判断A ；求出直线所过定点判断B ；求出圆心坐标计算判断C ；利用相交两圆求出范围判断D.【详解】对于A ，由点(),P a b 在圆222x y r +=外，得222a b r +>，圆心(0,0)到直线m的距离2r d r r =<=，m 与圆相交，A 正确；对于B ，直线:(2)30l k x y -+-=恒过定点(2,3)，而222(31)89+-=<，即点(2,3)在圆C 内，因此直线:230l kx y k +--=与圆22:(1)9C x y +-=恒相交，B 正确；对于C ，圆22:(1)9C x y +-=的圆心为(0,1)，依题意，点(0,1)在直线:230l kx y k +--=上，则1230k --=，解得1k =-，C 正确；对于D ，依题意，以()1,0N 为圆心，1为半径的圆与圆M 相交，而圆M 的圆心为()4,4，半径为r ，则11r MN r -<<+，又5MN ==，151r r -<<+，解得46r <<，D 错误.故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.平面内，已知两点()13,0F -，()23,0F 及动点M ，若直线1MF ，2MF 的斜率之积是3-，则点M 的轨迹方程为______．【答案】221(3)927x y x +=≠±【解析】【分析】设动点(,)M x y ，斜率用坐标表示，由斜率之积为3-可得出,x y 之间的关系式，进而得M 的轨迹方程.【详解】设动点M 的坐标为(,)x y ，又()13,0F -，()23,0F ，所以1MF 的斜率1(3)3MF y k x x =≠-+，2MF 的斜率2(3)3MF y k x x =≠-，由题意可得3(3)33y y x x x ⨯=-≠±+-，化简，得点M 的轨迹方程为221(3)927x y x +=≠±.故答案为：221(3)927x y x +=≠±13.已知圆22:(1)(3)8M x y -++=与圆22:(3)(1)8N x y ++-=，则圆M 和圆N 的一条公切线的方程为_______.【答案】0x y -=；20x y +-=；60x y ++=（三个任意一个都算正确）【解析】【分析】先判断两个圆的位置关系，再判断公切线的条数，然后求公切线即可.【详解】由题可知：()()1,3,3,1M N --所以MN ==两个圆的半径和为+=所以两个圆外切，所以有三条公切线,设公切线为y kx b =+由圆心到切线的距离等于半径得==解得10k b =⎧⎨=⎩或12k b =-⎧⎨=⎩或16k b =-⎧⎨=-⎩所以切线方程为y x =，2y x =-+或6y x =--故答案为：0x y -=；20x y +-=；60x y ++=14.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1AP AA AB λ=+，点Q 满足1AQ AA AB AD μ=++，其中[]0,2λ∈，[]0,2μ∈当μ=________时，DP BQ ⊥．【解析】【分析】将点P 和点Q 满足的向量式转化，分析得出P ,Q 的位置，然后利用线面垂直的判定以及性质即可求得答案.【详解】111AP AA AB AP AA AB A P AB λλλ=+⇔-=⇔=，又[]0,2λ∈，所以点P 在射线11A B 上；11111AQ AA AB AD AQ AA AC AQ AC AA CQ AA μμμμ=++⇔=+⇔-=⇔=，又[]0,2μ∈，所以点Q 在射线1CC 上；因为当λ变化时，DP ⊂平面11A B CD ，故只需考虑过B 且与平面11A B CD 垂直的线，因为正方体有11A B ⊥平面11BB C C ，而1BC ⊂平面11BB C C ，所以111,A B BC ⊥又11,BC B C ⊥，1111111,,A B B C B A B B C =⊂ 平面11A B CD ，所以1⊥BC 平面11A B CD ，DP ⊂平面11A B CD ，所以1BC DP ⊥，所以当点Q 在1C 上时DP BQ ⊥，即1μ=时DP BQ ⊥，故答案为：1.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 的顶点()3,2A -，若AB 边上的中线CM 所在直线方程为10x y -+=，AC 边上的高线BN 所在直线方程为530x y +-=．（1）求顶点B 的坐标；（2）求直线BC 的方程．【答案】（1）()1,2-（2）570x y --=【分析】（1）设()00,B x y ，则0032,22x y M -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据已知列出方程组，求解即可得出答案；（2）根据已知求出直线AC 的方程，进而联立方程得出C 的坐标，代入两点式方程化简即可得出答案.【小问1详解】设()00,B x y ，则0032,22x y M -+⎛⎫⎪⎝⎭，由已知可得0000530321022x y x y +-=⎧⎪⎨-+-+=⎪⎩，解得0012x y =⎧⎨=-⎩，所以点B 的坐标为()1,2-.【小问2详解】由已知可设直线AC 的方程为50x y m -+=，又点A 在直线上，所以有3100m --+=，解得13m =，所以，直线AC 的方程为5130x y -+=.联立直线AC 与CM 的方程513010x y x y -+=⎧⎨-+=⎩可得，C 点坐标为2,3.将,B C 坐标代入两点式方程有213221y x +-=+-，整理可得，570x y --=.16.已知()4,2P -，()1,3Q -，(0,T 在圆C 上．（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线//l PQ ，且l 与圆C 交于点A 、B ，O 为坐标原点，90AOB ∠=︒，求直线l 的方程．【答案】（1）22(1)13x y -+=（2）30x y ++=或40x y +-=【解析】【分析】（1）先设圆C 的标准方程为222()()x a y b r -+-=，根据条件建立方程组，求出,,a b r ，即可求解；（2）根据条件设直线方程为0x y m ++=，联立直线与圆的方程得222(22)120x m x m +-+-=，由韦达定理得21212121,2m x x m x x -+=-=，进而可求得2122122m m y y +-=，结合条件12120x x y y +=，即可求解.【小问1详解】设圆C 的标准方程为222()()x a y b r -+-=，因为()4,2P -，()1,3Q -，(0,T 在圆C 上，所以222(4)(2)a b r -+--=①，222(1)(3)a b r --+-=②，222())a b r -+=③，由①②③解得1,0,a b r ===，所以圆C 的标准方程22(1)13x y -+=.【小问2详解】因为3(2)114PQ k --==---，又直线//l PQ ，不妨设l 为0x y m ++=，由()220113x y m x y ++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消y 得222(22)120x m x m +-+-=，则22(22)8(12)0m m ∆=--->，即22250m m --+>，设1122()A x y B x y ,,(,)，则21212121,2m x x m x x -+=-=，所以222221212121212212()()()22m m m y y m x m x m m x x x x m m m -+-=----=+++=+-+=，又90AOB ∠=︒，则OA OB ⊥ ，又1122(,),(,)OA x y OB x y == ，所以12120x x y y +=，得到2221212022m m m --+=+，即2120m m +-=，解得3m =或4m =-（均满足0∆>），所以直线l 的方程为30x y ++=或40x y +-=.17.已知椭圆22:184x y C +=的左，右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点．（1）当P 为椭圆C 的上顶点时，求12F PF ∠的大小；（2）直线()2y k x =-与椭圆C 交于A ，B ，若1627AB =，求k 的值．【答案】（1）π2（2）3【解析】【分析】（1）根据条件得21(2,0),(2,0),(0,2)F P F -，从而可得2221212F F PF PF =+，即可求解；（2）联立直线与椭圆方程，消y 得2222()128880k x k x k +-+-=，再利用弦长公式，即可求解.【小问1详解】因为椭圆方程为22184x y +=，则22,2a b ==，842c =-=，所以21(2,0),(2,0),(0,2)F P F -，又121224,2F F c PF PF ====2221212F F PF PF =+，所以12π2F PF ∠=.【小问2详解】设1122()A x y B x y ,,(,)，由()221842x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消y 得2222()128880k x k x k +-+-=，则42226432(12)(1)32(1)0k k k k ∆=-+-=+>，由韦达定理知22121222888,1212-+==++k k x x x x k k ，由求根公式可得221232(1)12k x x k +-=则22221232(1)16211127k AB k x k k +=+-=+=，化简得到23k =，解得3k =.18.如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PB ⊥底面ABCD ，3AB BC BP ===，2AE ED =.（1）在PC 上找一点F ，使得//EF 平面ABP ；（2）在（1）的条件下，求平面ADF 与平面ABCD 夹角的余弦值.【答案】（1）F 为PC 的三等分点，且2PF FC=（2【解析】【分析】（1）当F 为PC 的三等分点，且2PF FC =，在CB 上取点H ，且13CH CB =，利用几何关系可得//FH PB ，//EH BA ，从而可得面//HEF 面ABP ，再利用面面平行的性质即可说明结果成立；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ADF 与平面ABCD 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求角.【小问1详解】当F 为PC 的三等分点，且2PF FC =时，//EF 平面ABP ，理由如下，在CB 上取点H ，使13CH CB =，连接,FH EH ，因为13CF CHCP CB ==，所以//FH PB ，又FH ⊄平面ABP ，PB ⊂平面ABP ，所以//FH 平面ABP ，又因为2AE ED =，即13DE DA =，所以//EH BA ，又EH ⊄平面ABP ，AB ⊂平面ABP ，所以//EH 平面ABP ，又,,EH HF H EH HF ⋂=⊂面HEF ，所以面//HEF 面ABP ，又EF ⊂面HEF ，所以//EF 平面ABP .【小问2详解】因为PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，建立如图所示的空间直角坐标系，又3AB BC BP ===，则(0,3,0),(3,3,0),(2,0,1)A D F ，所以(3,0,0)AD = ，(2,3,1)AF =-，设平面ADF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则30230n AD x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取0,1,3x y z ===，所以(0,1,3)n = ，易知平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m = ，设平面ADF 与平面ABCD 的夹角为θ，则cos cos ,10n m n m n m θ⋅====⋅ ，所以平面ADF 与平面ABCD夹角的余弦值为10.19.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为12，短轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点1A ，2A 分别为椭圆的左、右顶点，P 为椭圆C 上异于1A ，2A 的动点，()3,0N -，直线PN 与曲线C 的另一个公共点为Q ，直线1A P 与2A Q 交于点M ，求证：当点P 变化时，点M 恒在一条定直线上．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆知半轴长，结合离心率求出长半轴长即可.（2）设直线PQ 的方程为：3x my =-，()()1122,,,P x y Q x y ，联立直线与椭圆，再表示出直线又直线1A P 与2A Q 的方程，联立求出交点，即可计算推理得证.【小问1详解】设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由短轴长为b =，由离心率为12，得12a ==，解得2a =，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.【小问2详解】设直线PQ 的方程为：3x my =-，()()1122,,,P x y Q x y ，而12(2,0),(2,0)A A -，由223143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得：22(34)18150m y my +-+=，22232460(34)48(35)0m m m ∆=-+=->，则1212221815,3434m y y y y m m +==++，121252()3my y y y =+，又直线1PA 的方程为：11(2)2y y x x =++，即11(2)1y y x my =+-，又直线2QA 的方程为：22(2)2y y x x =--，即22(2)5y y x my =--，由1122(2)1(2)5y y x my y y x my ⎧=+⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩，得2121122121212121042()(5)2(25)43335553y y y y my y y y x y y y y y y ----====--+-+-+，所以当点P 运动时，点M 恒在定直线43x =-上.。

2024-2025学年第一学期高二数学期中考试2024.11（答案在最后）一、单选题（每小题4分，共40分）1.已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列说法正确的是（）A.若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l mB.若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥C.若l α⊥，αβ⊥，则//l βD.若l α∥，m α⊥，则l m⊥【答案】D 【解析】【分析】根据空间中直线与平面，以及平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A ，若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l m 或者l m ,异面，故A 错误，对于B ，若αβ⊥，l α⊂，且l 与α，β的交线垂直，才有l β⊥，否则l 与β不一定垂直，故B 错误，对于C ，若l α⊥，αβ⊥，则//l β或者l β⊂，故C 错误，对于D ，若l α∥，m α⊥，则l m ⊥，D 正确，故选：D2.下列可使非零向量,,a b c构成空间的一组基底的条件是（）A.,,a b c两两垂直B.b cλ=C.a mb nc=+ D.0a b c ++= 【答案】A 【解析】【分析】由基底定义和共面定理即可逐一判断选项A 、B 、C 、D 得解.【详解】由基底定义可知只有非零向量,,a b c不共面时才能构成空间中的一组基底.对于A ，因为非零向量,,a b c 两两垂直，所以非零向量,,a b c不共面，可构成空间的一组基底，故A 正确；对于B ，b c λ= ，则,b c 共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以a 与,b c 共面，故B错误；对于C ，由共面定理可知非零向量,,a b c共面，故C 错误；对于D ，0a b c ++=即a b c =--，故由共面定理可知非零向量,,a b c共面，故D 错误.故选：A.3.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则点B 到直线1AC 的距离为（）A.23B.33C.3D.223【答案】C 【解析】【分析】利用解直角三角形可求点B 到直线AC 1的距离.【详解】如图，连接1BC ，由正方体的性质可得1BC =1AB BC ⊥，故B 到1AC 的63=，故选：C.4.已知直线l 的方向向量为()1,2,4v =- ，平面α的法向量为(),1,2n x =-，若直线l 与平面α垂直，则实数x 的值为（）A.10-B.10C.12-D.12【答案】D 【解析】【分析】根据线面垂直得到()1,2,4v =- 与(),1,2n x =- 平行，设v kn =r r ，得到方程组，求出12x =.【详解】直线l 与平面α垂直，故()1,2,4v =- 与(),1,2n x =-平行，设v kn =r r ，即1224kx k k =⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，解得12x =.故选：D5.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵111ABC A B C -中，,M N 分别是111,AC BB 的中点，G 是MN 的中点，若1AG xAB y AA z AC =++，则x y z ++=（）A.1B.12C.32D.34【答案】C 【解析】【分析】连接,AM AN ，由()111312244AG AM AN AB AA AC =+=++，即可求出答案.【详解】连接,AM AN如下图：由于G 是MN 的中点，()12AG AM AN=+∴11111222AA AC AB AA ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1131244AB AA AC =++.根据题意知1AG xAB y AA z AC =++ .32x y z ∴++=.故选：C.6.已知直线1:3470l x y -+=与直线()2:6110l x m y m -++-=平行，则1l 与2l 之间的距离为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据两条直线平行，求出m 值，再应用平行线间的距离公式求值即可.【详解】因为直线1:3470l x y -+=与直线()2:6110l x m y m -++-=平行，所以6(1)1=347m m -+-≠-，解之得7m =.于是直线2:6860l x y --=，即2:3430l x y --=，所以1l 与2l2=.故选：A7.若直线y kx =与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，则k ，b 的直线分别为（）A.12k =，4b =- B.12k =-，4b =C.12k =，4b = D.12k =-，4b =-【答案】A 【解析】【分析】由圆的对称性可得20x y b ++=过圆的圆心且直线y kx =与直线20x y b ++=垂直，从而可求出,k b .【详解】因为直线y kx =与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，故直线y kx =与直线20x y b ++=垂直，且直线20x y b ++=过圆心()2,0，所以()21k ⨯-=-，2200b ⨯++=，所以12k =，4b =-.故选：A【点睛】本题考查直线方程的求法，注意根据圆的对称性来探求两条直线的位置关系以及它们满足的某些性质，本题属于基础题.8.已知圆()()22:349C x y -+-=，直线l 过点()2,3P ，则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】先判断出()2,3P 与圆的位置关系，然后根据圆心到直线l 的距离的最大值求解出弦长的最小值.【详解】直线l 恒过定点()2,3P ，圆()()22:349C x y -+-=的圆心为()3,4C ，半径为3r =，又()()222233429PC=-+-=<，即P 在圆内，当CP l ⊥时，圆心C 到直线l 的距离最大为d PC =，此时，直线l 被圆C 截得的弦长最小，最小值为=．故选：A .9.已知圆C 的方程为22(2)x y a +-=，则“2a >”是“函数y x =的图象与圆C 有四个公共点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】找出||y x =与圆有四个公共点的等价条件，据此结合充分条件、必要条件概念判断即可.【详解】由圆C 的方程为22(2)x y a +-=可得圆心()0,2，半径r =，若圆与函数y x =相交，则圆心到直线y x =的距离d ==<即2a >，若函数y x =的图象与圆C 有四个公共点，则原点在圆的外部，即220(02)a +->，解得4a <，综上函数y x =的图象与圆C 有四个公共点则24a <<，所以“2a >”是“函数y x =的图象与圆C 有四个公共点”的必要不充分条件，故选：B10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B .点P 满足||1||2PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论不正确的是（）A.C 的方程为22(4)16x y ++=B.在C 上存在点D ，使得D 到点(1,1)的距离为3C.在C 上存在点M ，使得||2||MO MA =D.C 上的点到直线34130x y --=的最小距离为1【答案】C 【解析】【分析】对A ：设点 th ，由两点的距离公式代入化简判断；对B ：根据两点间的距离公式求得点(1,1)到圆上的点的距离的取值范围，由此分析判断；对C ：设点 th ，求点M 的轨迹方程，结合两圆的位置关系分析判断；对D ：结合点到直线的距离公式求得C 上的点到直线34130x y --=的最大距离，由此分析判断.【详解】对A ：设点 th ，∵12PA PB =12=，整理得()22416x y ++=，故C 的方程为()22416x y ++=，故A 正确；对B ：()22416x y ++=的圆心()14,0C -，半径为14r =，∵点(1,1)到圆心()14,0C -的距离1d==，则圆上一点到点(1,1)的距离的取值范围为[]1111,4d r d r ⎤-+=⎦，而)34∈，故在C 上存在点D ，使得D 到点(1,1)的距离为9，故B 正确；对C ：设点 th ，∵2MO MA ==，整理得2281639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，∴点M 的轨迹方程为2281639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，是以28,03C ⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，半径243r =的圆，又12124833C C r r =<=-，则两圆内含，没有公共点，∴在C 上不存在点M ，使得2MO MA =，C 不正确；对D ：∵圆心()14,0C -到直线34130x y --=的距离为25d ==，∴C 上的点到直线34130x y --=的最小距离为211d r -=，故D 正确；故选：C.【点睛】思路点睛：利用点与圆的位置关系来判定B ，利用圆与圆的位置关系来判定C ，结合数形思想即可.二、填空题（每小题5分，共25分）11.已知圆锥的母线与底面所成角为45 ，高为1.则该圆锥的体积为________.【答案】1π3##π3【解析】【分析】根据圆锥的结构特征，圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，从而求出圆锥底面半径，再利用锥体的体积公式即可求解.【详解】因为圆锥底面半径OA 、高PO 、母线PA 构成一个Rt PAO △，又45PAO ∠= ，1PO =，所以底面圆半径1OA =，则该圆锥的体积22111π×π11π333V OA PO =⨯⨯=⨯⨯⨯=，故答案为：1π3.12.已知平面α的一个法向量为(2,3,5)n =，点(1,3,0)A --是平面α上的一点，则点(3,4,1)P --到平面α的距离为__________.【答案】3819【解析】【分析】利用空间向量法可得出点P 到平面α的距离为PA nd n⋅= ，即可求解.【详解】由题意可知()2,1,1PA =-，根据点P 到平面α的距离为19PA nd n⋅==.故答案为：381913.过两条直线1:30l x y -+=与2:20l x y +=的交点，倾斜角为π3的直线方程为____________（用一般式表示）20y -++=【解析】【分析】联立两方程求出交点坐标，再由点斜式写出直线方程，然后化为一般形式即可；【详解】由题意可得12:30:20l x y l x y -+=⎧⎨+=⎩，解得交点坐标为()1,2-，又所求直线的倾斜角为π3，故斜率为πtan 3=所以直线方程为)21y x -=+，20y -++=.14.已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度为______________米．【答案】392【解析】【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得出半圆方程，设(2.5,0)A ，求出A 点处半圆的高度即可得．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，O 是圆心， 2.5OA =，半圆方程为2216x y +=（0y ≥）(2.5,0)A ，B 在半圆上，且BA ⊥x 轴，则2216 2.59.75B y =-=，2B y =，故答案为：2．15.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在线段1BC （不包含端点）上运动，则下列结论正确的是______.（填序号）①正方体1111ABCD A B C D -的外接球表面积为48π；②异面直线1A M 与1AD 所成角的取值范围是,32ππ⎛⎤⎥⎝⎦；③直线1//A M 平面1ACD ；④三棱锥1D AMC -的体积随着点M 的运动而变化.【答案】②③【解析】【分析】由正方体的对角线即为外接球的直径求得球表面积判断①，由异面直线所成角的定义确定1A M 与1BC 的夹角范围判断②，根据线面平面平行的判定定理判断③，换度后由三棱锥体积公式判断④．【详解】正方体对角线长为，即这外接球直径，因此球半径为r =2412ππ==S r ，①错；正方体中AB 与11C D 平行且相等，11ABC D 是平行四边形，11//AD BC ，11A BC V 是正三角形，1A M 与1BC 的夹角（锐角或直角）的范围是[,32ππ，因此②正确；由②上知11//BC AD ，而1BC ⊄平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，所以1//BC 平面1ACD ，同理1//A B 平面1ACD ，又11A B BC B ⋂=，11,A B BC ⊂平面11A BC ，所以平面11//A BC 平面1ACD ，而1A M ⊂平面11A BC ，所以1//A M 平面1ACD ，③正确；由1//BC 平面1ACD ，因此M 到平面1ACD 的距离不变，所以11D AMC M ACD V V --=不变，④错．故答案为：②③．三、解答题（共85分）16.已知ABC V 顶点()1,2A 、()3,1B --、()3,3C -．（1）求线段BC 的中点及其所在直线的斜率；（2）求线段BC 的垂直平分线1l 的方程；（3）若直线2l 过点A ，且2l 的纵截距是横截距的2倍，求直线2l 的方程．【答案】（1）中点为()0,2-，13-（2）320x y --=；（3）2y x =或240x y +-=.【解析】【分析】（1）根据中点坐标公式和斜率公式求解；（2）根据（1）中结果结合两直线垂直的斜率关系，得出中垂线斜率，然后利用点斜式方程求解；（3）分类讨论直线是否过原点结合截距式方程即可求解【小问1详解】由()3,1B --、()3,3C -，可知BC 中点为()0,2-，且()()311333BC k ---==---，【小问2详解】由（1）可得13BC k =-，BC 垂直平分线斜率1k 满足11BC k k ⋅=-，即13k =，又BC 的垂直平分线过(0,2)-，所以边BC 的垂直平分线1l 的方程为()()230y x --=-，即320x y --=；【小问3详解】当直线2l 过坐标原点时，2221k ==，此时直线2:2l y x =，符合题意；当直线2l 不过坐标原点时，由题意设直线方程为12x y a a +=，由2l 过点()1,2A ，则1212a a +=，解得2a =，所以直线2l 方程为124x y +=，即240x y +-=，综上所述，直线2l 的方程为2y x =或240x y +-=.17.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过点()1,0A 和点()1,2B -，且圆心在直线220x y -+=上.（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线3x ay =+被圆C 截得弦长为a 的值.【答案】（1）()2214x y ++=（2）a =【解析】【分析】（1）先求线段AB 的垂直平分线所在直线的方程，进而求圆心和半径，即可得方程；（2）由垂径定理可得圆心到直线的距离1d =，利用点到直线的距离公式运算求解.【小问1详解】因为()1,0A ，()1,2B -的中点为()0,1E ，且直线AB 的斜率20111AB k -==---，则线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为1y x =+，联立方程1220y x x y =+⎧⎨-+=⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩，即圆心()1,0C -，2r CA ==，所以，圆C 的方程为()2214x y ++=.【小问2详解】因为直线3x ay =+被曲线C截得弦长为，则圆心到直线的距离1d ==，由点到直线的距离公式可得1=，解得a =18.已知圆22:68210C x y x y +--+=，直线l 过点()1,0A .（1）求圆C 的圆心坐标及半径长；（2）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（3）设直线l 与圆C 相切于点B ，求 R .【答案】（1）圆心坐标为 th ，半径长为2.（2）1x =或3430x y --=.（3）4.【解析】【分析】（1）将圆化为标准方程即可求出圆心坐标以及半径长；（2）讨论直线l 的斜率不存在与存在两种情况，不存在时设出直线方程kx y k 0--=根据点到直线距离公式求解即可；（3）根据两点间距离公式求出AC 长，再根据勾股定理求解即可.【小问1详解】圆C 方程可化为:()()22344x y -+-=，圆心坐标为 th ，半径长为2.【小问2详解】①当直线l 的斜率不存在时，方程为 ，圆心 th 到直线l 距离为2，满足题意．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程是h ，即kx y k 0--=.由圆心()34，到直线l2=，解得34k =，此时直线l 的方程为3430x y --=.综上，直线l 的方程为 或3430x y --=.【小问3详解】∵圆C 的圆心坐标为 th ，()1,0A ，∴()()22314025AC =-+-=.如图，由相切得，AB BC ⊥，2BC =，∴222044AB AC BC =-=-=.19.如图所示，在几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 和ABFE 均为边长为2的正方形，//AD EG ，AE ⊥底面ABCD ，M 、N 分别为DG 、EF 的中点，1EG =.（1）求证：//MN 平面CFG ；（2）求直线AN 与平面CFG 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）53【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得直线MN 的方向向量31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，求得平面CFG 的法向量1n ，然后利用10n MN ⋅= ，证明1MN n ⊥ ，从而得出//MN 平面CFG ；（2）求得直线AN 的方向向量()1,0,2AN = ，由（1）知平面CFG 的法向量1n ，结合线面角的向量公式即可得解.【小问1详解】因为四边形ABCD 为正方形，AE ⊥底面ABCD ，所以AB ，AD ，AE 两两相互垂直，如图，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，由题意可得 t t ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2E ，()2,0,2F ，()0,1,2G ，30,,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,2N ，则()0,2,2CF =- ，()2,1,2CG =-- ，31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 设平面CFG 的一个法向量为 th t ，则11n CF n CG⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，故11·=0·=0n CF n CG ⎧⎪⎨⎪⎩ ，即11111220220y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩，则111112y z x z =⎧⎪⎨=⎪⎩，令12z =，得()11,2,2n = ，所以()1331,2,21,,111221022n MN ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=⨯+⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1MN n ⊥ ，又MN ⊄平面CFG ，所以//MN 平面CFG .【小问2详解】由（1）得直线AN 的一个方向向量为()1,0,2AN = ，平面CFG 的一个法向量为()11,2,2n = ，设直线AN 与平面CFG 所成角为θ，则111sin cos,3n ANn ANn ANθ⋅=====⋅，所以直线AN与平面CFG 所成角的正弦值为53.20.如图，已知等腰梯形ABCD中，//AD BC，122AB AD BC===，E是BC的中点，AE BD M=，将BAE沿着AE翻折成1B AE△，使1B M⊥平面AECD.（1）求证：CD⊥平面1B DM；（2）求平面1B MD与平面1B AD夹角的余弦值；（3）在线段1B C上是否存在点P，使得//MP平面1B AD，若存在，求出11B PB C的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）155（3）存在，1112B PB C=.【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ABED是菱形，AE BD⊥，得到1,AE B M AE DM⊥⊥，证明出AE⊥平面1B DM，再证明出四边形AECD是平行四边形，故//AE CD，所以CD⊥平面1B DM；（2）证明出1,,AE B M DM两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用面面角的余弦向量公式求出平面1B MD与平面1B AD夹角余弦值；（3）假设线段1B C上存在点P，使得//MP平面1B AD，作出辅助线，得到A M P Q，，，四点共面，四边形AMPQ为平行四边形，所以12PQ AM CD==，所以P是1B C的中点，求出11B PB C.【小问1详解】如图，在梯形ABCD 中，连接DE ，因为E 是BC 的中点，所以12BE BC =，又122AD BC ==，所以AD BE =，又因为//AD BE ，所以四边形ABED是平行四边形，因为AB AD =，所以四边形ABED 是菱形，从而AE BD ⊥，BAE 沿着AE 翻折成1B AE △后，有1,AE B M AE DM⊥⊥又11,,B M DM M B M DM =⊂ 平面1B DM ，所以AE ⊥平面1B DM ，由题意，易知//,AD CE AD CE =，所以四边形AECD 是平行四边形，故//AE CD ，所以CD ⊥平面1B DM .【小问2详解】因为1B M ⊥平面AECD ，DM ⊂平面AECD ，则有1B M DM ⊥，由（1）知1,AE B M AE DM ⊥⊥，故1,,AE B M DM 两两垂直，以M 为坐标原点，1,,ME MD MB 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，因为AB BE AE ==，所以ABE 为等边三角形，同理ADE V 也为等边三角形，则(()()1,1,0,0,0,B A D -，设平面1B AD 的一个法向量为 tht ，则()()()(1,,0,,0m AD x y z x m B D x y z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅=-=⎪⎩ ，令1y =得1x z ==，故()m = ，又平面1B MD 的一个法向量为()1,0,0n = ，则cos ,5m n m n m n ⋅==⋅ ，故平面1B MD 与平面1B AD 夹角的余弦值为5；【小问3详解】假设线段1B C 上存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，过点P 作PQ CD∥交1B D 于Q ，连接MP AQ ，，如图所示：所以////AM CD PQ ，所以A M P Q ，，，四点共面，又因为//MP 平面1B AD ，所以//MP AQ ，所以四边形AMPQ 为平行四边形，所以12PQ AM CD ==，所以P 是1B C 的中点，故在线段1B C 上存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，且1112B P B C =.21.“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段AB 是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用(),d A B 表示，又称“曼哈顿距离”，即(),d A B AC CB =+，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若()11,A x y ，()22,B x y ，则()2121,d A B x x y y =-+-（1）①点()A 3,5，()2,1B -，求(),d A B 的值．②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．（2）已知点()10B ,，直线220x y -+=，求B 点到直线的“曼哈顿距离”最小值；（3）设三维空间4个点为(),,i i i i A x y z =，1,2,3,4i =，且i x ，i y ，{}0,1i z ∈．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即d ，求d 最大值，并列举最值成立时的一组坐标．【答案】（1）①7；②1x y +=；（2）2；（3）2，()10,0,0A ，()21,0,1A ，()31,1,0A ，()40,1,1A .【解析】【分析】（1）①②根据“曼哈顿距离”的定义求解即可；（2）设直线220x y -+=上任意一点坐标为()11,22C x x +，然后表示(),d C B ，分类讨论求(),d C B 的最小值；（3）将i A 的所有情况看做正方体的八个顶点，列举出不同情况的d ，即可得到d 的最小值.【小问1详解】①(),32517d A B =-++=；②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为(),x y ，则001x y -+-=，即1x y +=.【小问2详解】设直线220x y -+=上任意一点坐标为()11,22C x x +，则()11,122d C B x x =-++，当11x <-时，()1,31d C B x =--，此时(),2d C B >；当111x -≤≤时，()1,3d C B x =+，此时(),2d C B ≥；当11x >时，()1,31d C B x =+，此时(),4d C B >，综上所述，(),d C B 的最小值为2.【小问3详解】如图，A B C D E F G H ''''''''-为正方体，边长为1，则i A 对应正方体的八个顶点，当四个点在同一个面上时，（i ）例如：,,,A B C D ''''，此时121121463d +++++==；（ii ）例如：,,,A E G C ''''，此时23113226d +++++==；当四个点不在同一个平面时，（iii ）例如：,,,A C H D ''''，此时22222226d +++++==；（iiii ）例如：,,,A B E D ''''，此时221112563d +++++==；（iiiii ）例如：,,,A B E H ''''，此时112231563d +++++==；（iiiiii ）例如：,,,A B E G ''''，此时1223121166d +++++==；综上所述，d 的最大值为2，例如：()10,0,0A ，()21,0,1A ，()31,1,0A ，()40,1,1A .。

湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（答案在最后）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数1i2i z -=+，则z 在复平面对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设直线:80l x -+=的倾斜角为α，则α=（）A.30oB.60oC.120D.1503.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c = ，则下列向量中与BM相等的向量是（）A.1122-++ a b cB.1122a b c ++C.1122a b c--+ D.1122a b c -+ 4.已知数列{}n a 为等差数列，*,,,N p q s t ∈.设甲：p q s t +=+；乙：p q s t a a a a +=+，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB 为2m ，渠深OC 为1.5m ，水面EF 距AB 为0.5m ，则截面图中水面宽EF 的长度约为（）1.414≈1.732≈2.449≈）A.0.816mB.1.33mC.1.50mD.1.63m6.已知圆221:()(3)9C x a y -++=与圆222:()(1)1C x b y +++=外切，则ab 的最大值为（）A.2B. C.52D.37.若函数)44()2sin cos sin cos (0)f x x x x x ωωωωω=+->在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个零点，则ω的取值范围为（）A.14,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B.14,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.17,66⎛⎤⎥⎝⎦D.17,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，椭圆E 上存在两点,A B 使得梯形12AF F B 的高为c （c 为该椭圆的半焦距），且124AF BF =，则椭圆E 的离心率为（）A.223B.45C.235D.56二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体m 被抽到的概率是0.2B.已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是18D.若样本数据1210,,,x x x 的平均值为8，则数据121021,21,,21x x x --- 的平均值为1510.下列四个命题中正确的是（）A.过定点(1,1)P -，且在x 轴和y 轴上的截距互为相反数的直线方程为20x y --=B.过定点(1,1)P -的直线与以(3,1),(3,2)M N -为端点的线段相交，则直线的斜率k 的取值范围为12k ≤-或32k ≥C.定点(1,0)Q 到圆22(1)(3)4x y ++-=2-D.过定点(1,0)Q 且与圆22(1)(3)4x y ++-=相切的直线方程为51250x y +-=或1x =11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1AP AC AD λμ=+，λ、[]0,1μ∈，则（）A.当0λ=时，点P 到平面11A BCB.当0μ=时，点P 到平面11A BC 的距离为3C.当34μ=时，存在点P ，使得1BP PC ⊥D.当34λ=时，存在点P ，使得1⊥BC 平面PCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.假设()0.3,()0.4P A P B ==，且A 与B 相互独立，则()P AB =______.13.斜率为1的直线与椭圆22143x y +=相交于A B 、两点，AB 的中点为(),1M m ，则m =______．14.已知公差不为0的等差数列 的前n 项和为n S ，若4a ，5S ，{}750S ∈-，，则n S 的最小值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且π22sin 6b aA c+⎛⎫+=⎪⎝⎭.（1）求角C ；（2）若1a =，点D 满足2AD DB =，且3CD =，求ABC V 的面积；16.在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2AD =，QD QA ==3QC =.（1）求证：平面QAD ⊥平面ABCD ；（2）求平面ABQ 与平面BDQ 夹角的余弦值.17.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，E 的一条渐近线方程为y =，且2c =.（1）求E 的方程；（2）A ，B 为双曲线E 右支上两个不同的点，线段AB 的中垂线过点()0,4C ，求直线AB 的斜率的取值范围.18.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1112n n n n S S a a ++-=.（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若12,13n n a c a =-=+，数列{}n c 的前n 项和为n T .（ⅰ）求n T 取最大值时n 的值；（ⅱ）若m 是偶数，且2(1)nn n b a=-，求21mii b =∑.19.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如1x ty =+表示过点(1,0)的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.（1）若圆221:1C x y +=是直线族1(,)mx ny m n +=∈R 的包络曲线，求,m n 满足的关系式；（2）若点 不在直线族：2:Ω(24)4(2)0()a x y a a -++-=∈R 的任意一条直线上，求0y 的取值范围和直线族Ω的包络曲线E ；（3）在（2）的条件下，过曲线E 上,A B 两点作曲线E 的切线12,l l ，其交点为P .已知点 ，若,,A B C 三点不共线，探究PCA PCB ∠=∠是否成立？请说明理由.湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】0.12【13题答案】【答案】43-##113-【14题答案】【答案】6-四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）23π（2）4【16题答案】【答案】（1）证明见解析（2）55【17题答案】【答案】（1）2213y x -=（2）()2,+∞【18题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）（i ）6n =；（ii ）284m m +.【19题答案】【答案】（1）221m n +=（2）2200,44x x y y >=（3）成立，理由见解析。

2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高二年级期中考试数学考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D. 2. 若，则（）A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（）A. B. C. 1D. 24. 从两位数中随机选择一个数，则它平方的个位数字为1的概率是（）A.B.C.D.5. 已知函数，，且，则函数可能是（）A. B. C. D.6. 已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（）A. B. 的{}128x A x =<<()(){}120B x x x =+-<A B = ()1,3-()0,2()1,2()1,8-1i 1zz =++z =1i--1i-1i-+1i+()2,1,3a =-- ()4,2,b x =-- a b ⊥ x =2-1-110191715()()()2f x f x g x +-=()()()2f x f x h x --=()()221g x h x ⎡⎤⎡⎤-=⎣⎦⎣⎦()f x ()f x x =()2f x x=()2xf x =()2log f x x=C 2213x y -=()1,1P l C A B P AB l 320x y -+=320x y --=C. D. 7. 设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则（）A.B.C.D.8. 已知函数，，则方程的实根个数是（）A. 2B. .3C. 4D. 5二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.9.若直线：与直线：平行，则实数可能（）A. 1B. 2C. 3D. 410.下列从总体中抽得样本是简单随机抽样的是（）A. 总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数.若或，则舍弃，重新抽取B. 总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数，除以75的余数作为抽中的编号.若余数为0，则抽中75C. 总体编号为6001～6879，在1～879之间产生随机整数，把作为抽中的编号D. 总体编号为1～712，用软件的命令“sample （1:712，50，replace ＝F”）得到抽中的编号11. 已知椭圆：，直线：，（）A. 若直线与椭圆有公共点，则B. 若，则椭圆上的点到直线C. 若直线与椭圆交于两点，则线段的长度可能为6D. 若直线与椭圆交于两点，则线段的中点在直线上为的210x y --=210x y -+=(),,0OA m n = ()0,,OB n p = ()1,1,1OC = π4cos AOB ∠=()()sin π,1132,12x x f x f x x -≤<⎧⎪=⎨--≥⎪⎩()e 1xg x =-()()f x g x =1l ()()1110a x a y ++-+=2l 630x ay ++=a r 0r =75r >r r r 6000r +R C 22194y x +=l 320x y m -+=l C m -≤≤m =C P l l C ,A B AB l C ,A B AB 320x y +=三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知双曲线：，则双曲线的离心率是______.13. 已知圆：，直线，若直线与圆相切，则______.14. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则四面体的外接球的表面积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，（1）求；（2）过点作交于点，是的中点，连接.若，求的长度.16. 已知点与点关于直线：对称，圆：（），圆的半径为，且圆与圆交于，两点.（1）求的取值范围；（2）当时，求的面积.17如图，四棱锥中，底面，，，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18. 已知圆：，点，点是圆A 上任意一点.线段的垂直平分线和半径C 22132x y -=C C ()()22132x y b -+-=:l y x =l C b =1111ABCD A B C D -E F BC 11C D 1AB EF ABC V A B C a b c cos C B =222.a cb +-A A AD BC ⊥BC D E BC AE 2AD =AE M N l 322y x =+M ()2224x y r +-=06r <<N 6r -M N A B r 3r =MNA △P ABCD -PA ⊥ABCD PD PC ==3AD CD ==AB =AB AD ⊥//AD PBC PBC PCD A ()22264x y ++=()2,0B P BP l AP相交于点，与圆A 交于，两点，则当点在圆A 上运动时，（1）求点的轨迹方程；（2）证明：直线是点轨迹切线；（3）求面积的最大值.19. 如图，，，垂足分别为，，异面直线，所成角为，，点，点分别是直线，上的动点，且，设线段的中点为.（1）求异面直线与所成的角；（2）求的取值范围；（3）求四面体的体积的最大值.的Q M N P Q MN Q PMN V MN MA ⊥MN NB ⊥M N MA NB π32MN =P Q MA NB 4PQ =PQ R MN PQ MR MNPQ2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高二年级期中考试数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】B二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.9.【答案】BC10.【答案】ACD11.【答案】ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.13.【答案】9或14. 【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 【解析】【分析】（1）根据余弦定理求解即可；（2）解直角三角形得出，再由中线的向量形式平方即可得解.【小问1详解】由题意可知，，由，故，故，所以，.【小问2详解】如图，，由（1）可知，，则，，故，因为，7-251π25,b c 222cos 2a c b B ac +-==0πB <<π6B =cos C B =0πC <<π4C =7ππ12A B C =--=2AD =π6B =π4C =4c =b =()12AE AB AC =+ 7πππππππcoscos cos cos sin sin 12434343⎛⎫=+=-=⎪⎝⎭所以，所以16. 【解析】【分析】（1）求出点关于直线的对称点为，得到圆方程，再利用两圆位置关系得到关于的不等式组，解之即可得解；（2）先求出当时圆的圆心与半径，从而分析得是以为顶点的等腰三角形，进而利用三角形面积公式即可得解.【小问1详解】设点关于直线的对称点为，则，解得，故圆为，因为圆与圆交于，两点，所以，.【小问2详解】当时，圆：，：，故是以为顶点的等腰三角形，由（1）可知，所以所以的面积为17.22215π12cos 16884124AE b c bc ⎛⎛⎫=++=++=- ⎪ ⎝⎭⎝ AE =AE ()0,4M l (),N a b N r 3r =N MNA △A ()0,4M l (),N a b 41024032222b a b a -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=⋅+⎪⎩23a b =⎧⎨=⎩N ()()()222236x y r -+-=-M N A B {}max 62,266r r MN r r --<=<+-r <<3r =M ()2249x y +-=N ()()22239x y -+-=MNA △A ||MN =||||3AM AN ==MN =MNA △12=【解析】【分析】（1）先证明四边形为矩形.再得到，运用线面平行判定可解.（2）求出两个面的法向量，然后利用面面角的向量公式求解即可.【小问1详解】因为平面，平面ABCD ，所以，，由，，得；在中，，所以为正三角形，过作的垂线，垂足为，，有，，所以四边形为矩形.故，平面.平面，所以平面.【小问2详解】以为原点，，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，，，，.设平面，的法向量分别为m =(x,y,z )，n =(a,b,c ).，，，，得，解得；，得，解得；设平面与平面的夹角大小为，ABCH //BC AD PA ⊥ABCD ,AD AC ⊂PA AD ⊥PA AC ⊥3AD=PD=PA =Rt PAC △3AC =ACD V C AD H AB AD ⊥//CHAB CH AB ==ABCH //BC AD AD ⊂PAD BC ⊄PAD //BC PAD A AB AD AP x yz (P B ⎫⎪⎪⎭3,02C ⎫⎪⎪⎭()0,3,0D PBCPDC 3,2PC = 30,,02BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭3,02DC ⎫=-⎪⎪⎭ 00m PC m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩302302x y y +=⎪=⎪⎩()2,0,3m = 00n PC n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩302302b b +-=-=()n = PBC PDC θ则.故平面与平面的夹角的余弦值为.18. 【解析】【分析】（1）根据题设得到，结合椭圆定义写出轨迹方程即可.（2）设求出直线l 的方程，然后与椭圆联立消元，通过判别式等于零得方程有两个相等的根即可，（3）根据面积公式列出关于的表达式，然后根据的有界性求出最值即可【小问1详解】由线段的垂直平分线的性质可知，，故，所以点在以点A ，为焦点的椭圆上，其中椭圆的长轴长为8，焦距为|AB |=4，短轴长，故点的轨迹方程为：.【小问2详解】设，则有：，将代入椭圆：消去整理得，故，即所以，直线是点轨迹的切线；.【小问3详解】11cos 13m n m n θ⋅=== PBC PDC 11138QA QB QA QP AP AB +=+==>()28cos ,8sin P θθ-+cos θcos θQP QB =8QA QB QA QP AP AB +=+==>Q B Q C 2211612x y +=()28cos ,8sin P θθ-+MN l ()2cos 12sin 4cos 80x y θθθ-++-=MN l C 2211612x y +=y ()()()()222cos 282cos 1cos 2162cos 10x x θθθθ-+--+-=()()()()2222Δ642cos 1cos 2416cos 22cos 10θθθθ=---⨯--=()()2cos 242cos 10x θθ⎡⎤-+-=⎣⎦MN Q由（2）可知，点到直线的距离为，点A 到直线距离为，故线段，所以的面积为当且仅当时，等号成立，所以当时，的面积的最大值为.19. 【解析】【分析】（1）过点作的平行线，过点作的平行线交于点，可得是异面直线与所成的角，再根据几何关系求解即可；（2）思路一：建立空间直角坐标系，求出点的轨迹，进而可得的取值范围；思路二：由空间向量的线性运算可得.（3）先求得，思路一：设，，根据基本不等式求得，范围，进而可得最大值.的P MN d MN 1d MN ===PMN V 1122S d MN =⨯=⨯=≤=cos 1θ=-()10,0P -PMN V N MA 2NA P MN 2NA 2P 2PP Q ∠MN PQ R MR MR =MNPQ V 四面体b a θ+=4cos b a θ-=ab MNPQ V 四面体思路二：直接根据结合基本不等式求解即可.【小问1详解】如图，过点作的平行线，过点作的平行线交于点，则有是异面直线与所成的角或其补角.因为，，所以，，平面，所以平面，平面，所以，因为，，所以，所以，，所以异面直线与所成的角为.【小问2详解】如图，过的中点分别作，的平行线，，以为坐标原点，的外角平分线、内角平分线分别为轴，轴，过点并且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系.由题意可知，，设,，()()2214ab b a b a ⎡⎤=+--⎣⎦N MA 2NA P MN 2NA 2P 2PP Q ∠MN PQ MN MA ⊥MN NB ⊥22PP NA ⊥2PP NB ⊥22NA NB N ,NA ,NB =⊂ 2N BA MN ⊥2N BA 2P Q ⊂2N BA 22PP PQ ⊥22PP MN ==4PQ =21cos 2P PQ ∠=2π3P PQ ∠=MN PQ π3MN O MA NB 1OA 1OB O 11AOB ∠x y O 11OA B z O xyz -11π3A OB ∠=MP a =NQ b =则，，从而，且.所以.思路一：因为，，所以，，所以，即.所以点的轨迹是椭圆（长轴长为6，短轴长为2），其轨迹方程为.点，所以.思路二：设在，上的投影分别为，则且，则、分别为平行四边形的两条对角线，则为中点.故，可得因为，则，所以.【小问3详解】由题意异面直线，所成角为，则到平面的距离，故，1,12Pa ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭1,12Qb ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭4b a R ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭4PQ ==()()22348b a b a ++-=4R b a x -=R y =0R z =4R b a x -=R b a y +221648483y x +=2219y x +=R 2219y x +=()0,0,1M MR ∈,P Q 1OA 1OB 11,P Q 11//PP QQ 11PP QQ =PQ 11PQ 11PPQQ R 11PQ 111122MR MO OP OQ =++ MR ===,[1,1]4R R b a x x ∈--=()2016b a ≤-≤MR ∈MA NB π3P MNQ πsin 3d PM =111π2sin 3323P MNQ MNQ V S d b a -==⨯⨯⨯=V思路一：不妨设，，则，故，从而，此时思路二：因为，故，从而，此时，b a θ+=4cos b a θ-=2cos ,2cos b a θθθθ=+=-22212sin 4cos 16sin 416412ab θθθ=-=-≤-=12MNPQ V =四面体a b ==()()22348b a b a ++-=()()()222112124ab b a b a b a ⎡⎤=+--=--≤⎣⎦12MNPQ V =四面体a b ==。

2022-2023学年四川省内江市威远中学校高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．命题“”的否定为（ ）[)20,2020cos 0x x x ∀∈+∞>，-A ．B ．(]2000,02020cos 0x x x ∞∃∈--<，[)20000,2020cos 0x x x ∃∈+∞<，-C ．D ．[)20000,2020cos 0x x x ∃∈+∞≤，-](2000,02020cos 0x x x ∞∃∈--≤，【答案】C【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为是全称量词命题，[)20,2020cos 0x x x ∀∈+∞>，-所以其否定为存在量词命题，即，[)20000,2020cos 0x x x ∃∈+∞≤，-故选：C2．双曲线的渐近线方程是（ ）22134x y -=A ．B ．43y x =±34y x =±C ．D ．y x =y =【答案】C【分析】根据焦点在x 轴上双曲线的渐近线方程直接求解即可.【详解】根据双曲线的渐近线方程：，22221x y a b -=b y x a =±知：的渐近线方程为.22134x y -=y x =故选：C.3．抛物线的准线方程是，则实数a 的值（ ）21x ya =2y =A ．B ．C ．8D ．-818-18【答案】A【分析】根据准线方程列出方程，求出实数a 的值.【详解】由题意得：，解得：.124a -=18a =-故选：A 4．已知向量，且与互相垂直，则（ ）()()1,1,0,1,0,2a b =-=ka b + 2a b -k =A ．－B ．C ．D ．1141535114【答案】D【分析】先求出的坐标，再利用列方程求解即可.,2ka b a b +-()()20ka b a b +⋅-= 【详解】，()()1,1,0,1,0,2a b =-=，()()1,,2,23,1,4ka b k k a b ∴+=-+-=--又，2ka b a b +⊥- ，()()()()21,,23,1,43380ka b a b k k k k ∴+⋅-=-+⋅--=-+-=解得.114k =故选：D.5．若椭圆的焦距为2 ，则离心率是（ ）2216x y m +=A B C D 【答案】B【分析】根据椭圆标准方程分情况讨论与6的关系，然后求解离心率即可.m 【详解】由题意知：22,1;c c ==当时，焦点在轴上，此时，6m >x 22,6,61,7,a m b m m a ==-==c e a ===当时，焦点在轴上，满足题意，此时06m <<y 226,,61,5,a b m m m ==-==a =c e a ===故选：B6．若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的,l m m αl m ⊥//l αA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，l m ⊥m α//l αl ⊂α//l αm αl m ⊥所以“ ”是“ 的必要不充分条件，故选B ．l m ⊥//l α【解析】空间直线和平面、直线和直线的位置关系．7．若双曲线C 1：－＝1与C 2：－＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距22x 28y 22x a 22y b为b ＝（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】根据的方程求得渐近线的斜率，进而得到中的a,b 的关系，结合已知焦距，可求得1C 2C b 的值.【详解】由,1C 2=的渐近线斜率为,2C ba 由于它们有相同的渐近线，∴，2,2bb a a ∴＝＝C 2的焦距，2c ＝c =又c == ，，2a ∴=4b ∴=故选B.【点睛】根据两双曲线有相同的渐近线，利用渐近线的斜率相等得到的关系是关键，双曲线的,a b 的平方关系为,椭圆的a,b,c 的关系为,一定要准确掌握.,,a b c 222a b c +=222b c a +=8．已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）:R,cos 1p x x ∀∈≤000:R,e e 2x x q x -∃∈+<A ．B ．C ．D ．p q ∧()p q⌝∧()p q ∧⌝()p q⌝∨【答案】C【分析】根据余弦函数性质、基本不等式判断已知命题的真假，再确定对应否命题真假，进而判断各选项中复合命题的真假.【详解】由余弦函数性质知：为真，p又，当且仅当时等号成立，故为假，R,2e e x x x -∀∈+=≥0x =q 所以为假，为真，p ⌝q ⌝综上，为假，为假，为真，为假.p q ∧()p q ⌝∧()p q ∧⌝()p q ⌝∨故选：C9．设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则的中点到轴F 2:4C y x =A C ()4,0B AF BF =AB y 的距离是（ ）A ．2B ．C ．3D ．【答案】C【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，A A 即可得到答案.【详解】解：由题意得，，则，()1,0F 3AF BF ==所以，由抛物线的定义得点到准线的距离为，A =1x -3所以点的横坐标为，A 132-+=不妨设点在轴上方，代入抛物线方程得，，A x (2,A所以的中点坐标为，到轴的距离是.AB (y 3故选：C 10．已知正方体，为底面的中心，，分别为棱，的中点.则1111ABCD A B C D -O ABCD M N 11A D 1CC 异面直线与所成角的余弦值为1B MONA B C D 【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，求出向量和的坐标，然后利用空间向量夹角公式进行求解1B MON 即可.【详解】以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：设正方体的棱长为2，D所以有，1(0,0,0),(1,1,0),(2,2,2),(1,0,2),(0,2,1)D O B M N 因此， ，1(1,2,0)B M =-- (1,1,1)ON =- 设异面直线与所成角为 ，1B M ON α所以cos α=故选：C【点睛】本题考查了利用空间向量夹角公式求异面直线所成的角，考查了数学运算能力.11．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线l 与()2222 10,0x y a b a b -=>>1F 2F 1F ab 双曲线的右支交于点P ，与其中一条渐近线交于点M ，且有，则双曲线的渐近线方程为13PM MF =（）A ．B ．C ．D ．43yx =±y x =y x =y =【答案】A【分析】写出直线方程，求出它与一条渐近线的交点的坐标，由可求得l b y x a =-M 13PM MF = 点坐标，代入双曲线方程后得的等式，可求得，得渐近线方程．P ,,a b c ba 【详解】由题意，直线方程为，渐近线方程为，1(,0)F c -l ()ay x c b =+b y x a =±若在渐近线上，M b y xa =-由解得，即，()a y x c bb y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2a x c ab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2(,)a ab Mc c -设，∵，∴，解得，00(,)P x y 13PM MF = 2200(,)3(,a ab a ab x y c c c c c ---=-+-22034c a x c -=，04aby c =∵在双曲线上，∴，∴，化简得，，∴渐近00(,)P x y 2200221x y a b -=2222222(34)161c a a a c c --=22169a b =43b a =线方程为．43y x =±若在渐近线上，M b y xa =由解得，即，()ay x c bb y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22222a c x b a abc y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩22222(,)a c abc M b a b a --设，∵，∴，解得00(,)P x y 13PM MF =220022222222(,)3(,a c abc a c abc x y c b a b a b a b a --=-------，，220223b c a cx b a +=-0224abc y b a =-∵在双曲线上，∴，∴，00(,)P x y 2200221x y a b -=222222222222(3)161()()b c a c a c a b a b a +-=--化简得，无解．224224()(16239)0a b a a b b -++=综上，渐近线方程为．43y x =±故选：A ．【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题关键是列出关于的等式，然后化简求出即,,a b c ba 可，解题方法是坐标代入法：由直线方程与渐近线方程列方程组解得坐标，根据向量共线的坐l M 标表示求出点坐标，点坐标代入双曲线方程可得关于的等式．P P ,,a b c 12．中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线．在∞平面上，把到两个定点，距离之积等于的动点轨迹称为双纽线C ，PxOy ()1,0F a -()2,0F a ()20a a >是曲线C 上的一个动点．则下列结论正确的个数是（ ）①曲线C 关于原点对称②曲线C 上满足的P 有且只有一个12PF PF =③动点P 到定点，距离之和的最小值为2a1F 2F ④若直线与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为y kx =(][),11,-∞-⋃+∞A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据题意求得曲线C 的轨迹方程，对于①，利用替换方程中的即可判断；对(,)x y --(,)x y 于②，由推得，代入曲线C 方程求解即可判断；对于③利用基本不等式即可判断；12PF PF =0x =对于④，先判断得直线与曲线C 必有一个公共点，再将代入曲线C 方程得到无非零y kx =y kx =解方程，从而得以判断.【详解】设，则根据双纽线的定义有，(),P x y 212PF PF a =，即曲线C 的轨迹方程为.2a=()()2222222x y a x y +=-①：用替换方程中的，原方程不变，(,)x y --(,)x y 所以曲线C 关于原点中心对称，故①正确；②：若曲线C 上点P 满足，则点P 在的垂直平分线，即y 轴上，故，12PF PF =12F F 0x =代入曲线C 方程得，解得，所以这样的点仅有一个，故②正确；4222y a y =-0y =③：因为，当且仅当时，等号成立，122PF PF a +≥12PF PF =所以，故③正确；()12min2PFPF a+=④：易知直线与曲线C 一定有公共点，y kx =()0,0若直线与曲线C 只有一个交点，y kx =将代入曲线C 方程中，方程无非零解，y kx =()()242222121x k a x k +=-则，解得或，故④正确.210k -≤1k ≤-1k ≥故选：D.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用平面轨迹方程的求法求得曲线C 的轨迹方程为，再根据方程分析判断各说法即可.()()2222222xy a x y +=-二、填空题13．已知直线与椭圆交于两点，是椭圆的左焦点，则的周长是3x =2212516x y +=,A B 1F 1ABF ___________.【答案】20【分析】根据题意可知直线经过椭圆的右焦点，结合椭圆的定义即可求解.3x =2212516x y +=2F 【详解】椭圆,所以，2212516x y +=22225169c a b =-=-=得，则椭圆的右焦点为，3c =2(3,0)F 所以直线经过椭圆的右焦点，3x =2212516x y +=2F 由椭圆的定义可知，的周长为1ABF .11121244520AF BF AB AF AF BF BF a ++=+++==⨯=故答案为：20.14．已知抛物线的焦点为F ，定点，点P 是抛物线上一个动点，则的最小值24x y =(1,4)A PF PA +为______________.【答案】5【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.【详解】抛物线的准线方程为，24x y =1y =-根据抛物线的定义可知，的最小值是到准线的距离，PF PA+A 1y =-即的最小值为.PF PA+415+=故答案为：515．已知过双曲线（，）右焦点且倾斜角为的直线与双曲线右支有两个交22221x y a b -=0a >0b >45 点，则双曲线的离心率的取值范围是________．【答案】【详解】试题分析：因为过双曲线（，）右焦点且倾斜角为的直线与双曲22221x y a b -=0a >0b >45 线右支有两个交点，所以双曲线的渐进线 的倾斜角小于，所以，即by x a =451b a <，解得22222,b a c a a <-<1e <<【解析】双曲线的标准方程与几何性质．16．已知函数，，，，使得2()(21)f x ax a x =-+|1|2019()312160x g x +⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭()10,x ∀∈+∞2x R ∃∈成立，则实数的取值范围为_____________.()()12f x g x ≤a 0a ≤≤【分析】对于，，使得成立，则有，利用函数的()10,x ∀∈+∞2x R ∃∈()()12f x g x≤()()max max f x g x ≤单调性分别在定义域内求出最值即可.【详解】由，1|11201931,121602019()312160201931,12160x x x x g x x ++--⎧⎛⎫⨯-≥-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫=⨯-=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⨯-<- ⎪⎪⎝⎭⎩根据复合函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增，()g x [)1,-+∞(),1-∞-所以()()max 1312g x g =-=-=对于，，使得成立，则有()10,x ∀∈+∞2x R ∃∈()()12f x g x≤()()max max f x g x ≤即不等式，对于任意的恒成立.()2f x ≤()0,x ∈+∞当时，，对于任意的，恒成立，0a =()f x x =-()0,x ∈+∞()2f x ≤符合题意；0a ∴=当时，的图像是开口向下的抛物线，且 a<02()(21)f x ax a x =-+()00f =要使不等式对于任意的恒成立，()2f x ≤()0,x ∈+∞则若对称轴，即，，即，显然成立，2102a x a +=≤210a +≥102a -≤<()0f x ≤若对称轴，即时，，2102a x a +=>12a <-()()2max 2124a fx a -+=≤，a ≤≤12a ≤<-，0a ≤<当时，函数的图像是开口向上的抛物线，0a >2()(21)f x ax a x =-+对称轴方程为，2102a x a +=>在上无最大值，故不符合题意，()f x ()0,∞+综上所述，实数.a 0a ≤≤0a ≤≤【点睛】本题主要考查考查了不等式恒成立问题、考查了二次函数在某个区间上的最值，符合函数的单调性，考查了分类讨论的思想，属于中档题.三、解答题17．已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示p 2214x y m m +=-x q 22113x y m m -=--焦点在轴上的双曲线.若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围.x p q ∨p q ∧m 【答案】(][)2,34,+∞ 【分析】首先求出命题、为真时参数的取值范围，依题意、一真一假，分类讨论，分别得p qp q到不等式组，即可求出参数的取值范围.【详解】若为真命题，则，解得.p 40m m >->24m <<若为真命题，则，解得，q 1030m m ->⎧⎨->⎩3m >因为为真命题，为假命题，所以、一真一假，p q ∨p q ∧p q若真假，则，解得，p q 243m m <<⎧⎨≤⎩23m <≤若假真，则，解得，p q 243m m m ≤≥⎧⎨>⎩或4m ≥综上所述，实数的取值范围为：.m (][)2,34,+∞ 18．已知一动圆与圆：外切，且与圆：内切.1C ()2239x y ++=2C ()2231x y -+=（1）求动圆圆心的轨迹方程；P C （2）过点能否作一条直线与交于，两点，且点是线段的中点，若存在，求出()4,1Q l C A B Q AB 直线方程；若不存在，说明理由.l 【答案】(1) (2) 存在，()221245x y x -=≥5190x y --=【分析】（1）利用圆与圆外切时，圆心距等于半径之和，圆与圆内切时，圆心距等于半径之差的绝对值，从而得到方程组，再利用双曲线定义得到圆心的轨迹为双曲线的右支；（2）利用设而不求、点差法、中点坐标公式，求得直线的斜率.AB 【详解】（1）设动圆圆心，半径为，(),P x y r 根据题意得：，所以，1231MC r MC r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩1246MC MC -=<则动点轨迹为双曲线（右支），所以，，M 2a =3c =b =所以轨迹方程为.C ()221245x y x -=≥（2）设，代入双曲线的方程得1122(,),(,)A x y B x y 221122225420,5420,x y x y ⎧-=⎨-=⎩两式相减得，121212125()()4()()0x x x x y y y y -+--+=因为是线段的中点，所以()4,1Q AB 1212421,2xx y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以，满足直线与曲线有两个交点，12121212554AB y y x x k x x y y -+===>-+所以的方程为.AB 5190x y --=【点睛】本题考查双曲线的定义，点差法的应用，注意求出的双曲线方程要进行验证，只是双曲线的右支，考查逻辑推理能力和运算求解能力.19．已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M 为中点，P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PD ．1PA AD ==(1)求证：平面平面；MAC ⊥PCD (2)求直线与平面所成角大小；PB PCD 【答案】(1)证明见解析(2)π6【分析】（1）先证明平面，则有，在证明平面，再根据面面垂直CD ⊥PAD AM CD ⊥AM ⊥PCD 的判定定理即可得证；（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.A 【详解】（1）因为平面，平面，PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD 所以，PA CD ⊥又平面，,,,AD CD AD AP A AD AP ⊥⋂=⊂PAD 所以平面，CD ⊥PAD 又平面，所以，AM ⊂PAD AM CD ⊥因为点M 为中点，，PD 1PA AD ==所以，AM PD ⊥又平面，,,PD CD D PD CD ⋂=⊂PCD 所以平面，AM ⊥PCD 因为平面，AM ⊂MAC 所以平面平面；MAC ⊥PCD （2）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，A 由已知可得，()()()0,0,0,1,0,01,0,0,121,02A P M B ⎛⎫⎪⎝⎭，，因为平面，AM ⊥PCD所以即为平面PCD 的一条法向量，110,,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()1,0,1PB =-设直线与平面所成角为，PB PCD θ则，1sin cos ,2AM PB AM PB AM PB θ⋅===又，所以，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π6θ=即直线与平面所成角的大小为.PB PCD π620．已知曲线C 上的每一个点到的距离减去它到y 轴的距离的差都是2.(2,0)F (1)求曲线C 的方程；(2)过F 作直线交曲线C 于A 、B 两点，点，求△ABD 面积的最小值.(2,0)D -【答案】(1)28,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩(2)16【分析】（1）设点是曲线上任意一点，利用已知条件列方程，化简求得曲线的方程.(),P x y C C （2）设出直线的方程，通过联立方程组以及根与系数关系、弦长公式、二次函数的性质等知识求l 得正确答案.【详解】（1）设点是曲线上任意一点，(),P x y C .当时曲线的方程为，0x ≥C 28(0)y x x =≥当时，曲线方程为.0x <0(0)y x =<故曲线方程是28,0.0,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩（2）由题意得，直线的方程为，要与曲线有两个交点，l 2x t y =+则曲线方程为，28(0)y x x =≥设.由，得.()()1122,,,A x y B x y 228x ty y x =+⎧⎨=⎩28160y ty --=，21212Δ64640,8,16t y y t y y =+>+==-所以.1212ABC S DF y y =⨯⨯-= 故当时，.0=t (min)16ABC S = 所以三角形ABC 面积的最小值是16.21．如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，，∠BAD =∠ABC =90°，E 是PD 的中点.12AB BC AD ==(1)证明：直线CE ∥平面PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）取PA 的中点为F ，连接EF ，BF ，证得CE //BF ，进而线面平行得判定定理即可得出结论；（2）法一：取AD 的中点O 连接PO ，CO ，证得为直线与平面所成角，解三角形PCO ∠PC ABCD 求出，作于，连接证得为二面角的平面角，求出3PCO π∠=NQ AB ⊥Q MQ MQN ∠M AB D --的余弦值即可.MQN ∠法二：建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：，，然后利用空间向(0,2)m =()0,0,1n = 量的相关结论可求得二面角M AB D --【详解】（1）证明：取的中点，连结是的中点，，PA F ,,EF BF E PD //EF AD ∴四边形11,,90,//,//,,22EF AD AB BC AD BAD ABC BC AD EF BC EF BC ∠∠=====∴= ∴是平行四边形，BCEF 平面平面，//,CE BF BF ∴⊂ ,PAB CE ⊄PAB 直线//平面.∴CE PAB （2）法一：四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，P ABCD -PAD ABCD 是的中点.取的中点在底面上的射影1,90,2AB BC AD BAD ABC E ∠∠==== PD AD ,O M ABCD在上，设，则，N OC 2AD =1,60AB BC OP PCO ∠===∴=直线与底面所成角为，可得：，BM ABCD 45,,1BN MN CN BC ===可得：，于，连接，所以22113BN BN +=BN MN ==NQ AB ⊥Q,MQ AB MN ⊥就是二面角的平面角，的余弦值MQN ∠M AB D --MQ ==MAB D --=法二：由已知得,以为坐标原点，的方向为x 轴正方向，为单位长，建立如图所示的空BA AD ⊥A AB AB间直角坐标系，则A xyz -则，，，，()000A ，，()100B ，，()110C ，，(01P ,则(10PC = ()100AB =，， ()(1,1BM x y z PM x y z =-=-，，，， 因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而是底面ABCD 的法向量，所以()001n =，，cos ,sin45BMn ==即()22210x y z -+-=又在棱上,设M PC ,PM PC λ=则x ,1,y z λ==由①，②得（舍去）或 =1x y z ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩=1=1xy z ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩所以，从而1M ⎛ ⎝1AM ⎛= ⎝ 设是平面ABM 的法向量，则()000,,=m x y z (0000220·0·00x y m AM m AB x ⎧+=⎧=⎪⎨⎨==⎩⎪⎩即所以可取.于是(0,2)m =·cos ,m n m n m n==因此二面角M-AB-D22．以椭圆的中心为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．设2222:1(0)x y C a b a b +=>>O 椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，．C P F Q 2PQ =OPQ OFQ S =(1)求椭圆及其“准圆”的方程；C (2)若椭圆的“准圆”的一条弦（不与坐标轴垂直）与椭圆交于两点，当C ED C M N 、时，试问弦的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．0OM ON ⋅=ED 【答案】（1）；（2）弦的长为定值224x y +=ED 【分析】（1）设椭圆的左焦点，，由得，又，即C (),0F c -0c >OPQ OFQ S =a =2PQ =且，所以，由“准圆”得定义即可求出结果；224a b +=222b c a +=223,1a b ==（2）设直线的方程为，且与椭圆的交点，联列方程组ED (,R)y kx b k b =+∈C 1122(,)(,)M x y N x y 、代入消元得：，由韦达定理和，以及点到直2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222136330k x kbx b +++-=0OM ON ⋅= 线的距离的公式即可求出结果.【详解】（1）设椭圆的左焦点，，由得，C (),0F c -0c >OPQ OFQ S =a =又，即且，所以，2PQ =224a b +=222b c a +=223,1a b ==则椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为．C 2213x y +=C 224x y +=（2）设直线的方程为，ED (,R)y kx b k b =+∈且与椭圆的交点，C 1122(,),(,)M x y N x y 联列方程组代入消元得：，2213y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222136330k x kbx b +++-=由．2121222633,1313kb b x x x x k k --+==++可得，22121223()()13b k y y kx b kx b k -=++=+由得，0OM ON ⋅=12120x x y y +=即，所以，222222223334330131313b b k b k k k k ----+==+++()22314b k =+此时成立，()()2222236413332730k b k bk ∆=-+-=+>则原点到弦的距离，O ED d ====得原点到弦，则，O ED ED ==故弦的长为定值．ED 【点睛】关键点睛：本题的关键是采取设线法，设直线的方程为，ED (,R)y kx b k b =+∈，联立椭圆方程，得到韦达定理式，根据，得，1122(,),(,)M x y N x y 1122(,)(,)M x y N x y 、12120x x y y +=利用，再代入整理成韦达定理可直接代入得式子，化简得到，再1212()()y y kx b kx b =++()22314b k =+利用几何法即可计算弦长为定值.。

2024-2025学年度上学期湖北省部分普通高中高二期中考试数学试卷（答案在最后）（时间：120分钟满分：150分考试时间：2024年11月22日）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线tan45y =的倾斜角是（）A.0B.90C.135D.45【答案】A 【解析】【分析】根据直线与x 平行，即可求解.【详解】1tan45y == ，直线与x 平行，故倾斜角为0 ，故选:A2.第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，金牌榜前10名的国家的金牌数依次为40,40,20,18,16,15,14,13,12,12，则这10个数的60%分位数是（）A.14.5B.15C.16D.17【答案】D 【解析】【分析】将这10个数据从小到大排列，根据1060%6⨯=，结合百分位数的计算方法，即可求解.【详解】将这10个数据从小到大排列得：12,12,13,14,15,16,18,20,40,40，因为1060%6⨯=，所以这10个数的60%分位数是1618172+=.故选：D.3.如图，在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在线段OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN等于（）A.111322a b c ++ B.111322a b c -+C.111222a b c +-D.111322a b c-++【答案】D 【解析】【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求解即得.【详解】依题意，1111()3232MN MO OB BN OA OB OA OB OC OB =++=-++=-++-111111322322OA OB OC a b c =-++=-++.故选：D4.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A.图（1）的平均数＝中位数＞众数B.图（2）的众数＜中位数＜平均数C.图（2）的平均数＜众数＜中位数D.图（3）的中位数＜平均数＜众数【答案】B 【解析】【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.【详解】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A 错误；图（2）频率直方图可得，单峰不对称且“右拖尾”，最高峰偏左，众数最小，平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边，平均数大于中位数，故B 正确，C错误；同理图（3）“左拖尾”，众数最大，平均数小于中位数，故D 错误.故选：B.5.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC CC ==，E 为CD 中点，则1B 到平面1AD E 的距离为（）A.1B.C.D.2【答案】C 【解析】【分析】以D 为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面1D AE 的法向量，利用距离公式即可得到答案.【详解】以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0)D A E ,11(0,0,1),(1,2,0),(1,2,1)D B B ，设平面1D AE 的法向量为(,,)m x y z = ，则1(,,)(1,0,1)0(,,)(1,1,0)0m D A x y z x z m EA x y z x y ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩，令1x =得：1,1y z ==，所以(1,1,1)m =，()10,2,1AB = 则点1B 到平面1AD E的距离为1||AB m d m ⋅===，故选：C.6.已知定点()5,0M ，若直线1l 过定点M 且方向向量是()15,5n =-，直线2l 过定点M 且方向向量是()25,3n =-，直线1l 在y 轴上的截距是a ，直线2l 在y 轴上的截距是b ，则a b -=（）A.2B.2- C.1D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据M 的坐标以及方向向量分别求解出12,l l 的方程，由此可求结果.【详解】因为()15:55l y x =--，即1:5l y x =-+，所以5a =，因为()23:55l y x -=-，即23:35l y x =-+，所以3b =，所以532a b -=-=.故选：A.7.已知事件A ，B 满足()0.5,()0.2P A P B ==，则（）A.若B ⊆A ，则()0.5P AB = B.若A 与B 互斥，则()0.7P A B +=C.若A 与B 相互独立，则()0.1P AB = D.若()()1P B P C +=，则C 与B 相互对立【答案】B 【解析】【分析】选项A ：利用事件的关系结合概率求解即可.选项B ：利用概率的加法公式，求解即可，选项C ：若A 与B 相互独立，则A 与B 相互独立，利用独立事件的公式求解即可.选项D:利用对立事件求解即可.【详解】选项A ：若B ⊆A ，则()()0.2,P AB P B ==选项B ：若A 与B 互斥，则()()()0.7P A B P A P B +==+.故选项B 正确.选项C ：若A 与B 相互独立，则A 与B 相互独立,()()()0.50.80.4,P AB P A P B =⋅=⨯=故选项C 错误.选项D:若()()1P B P C +=，则由于不确定C 与B 是否互斥，所以无法确定两事件是否对立,故D 错误.故选：B.8.设定点()2,1P --，当P 到直线()():131240l x y λλλ+++--=距离最大时，直线l 与x 轴的交点A ，则此时过点A 且与直线l 垂直的直线方程是（）A.32100x y --= B.32100x y +-=C.69100x y +-=D.69100x y --=【答案】D 【解析】【分析】先分析l 所过的定点Q ，然后根据PQ l ⊥时距离最大求出l 的方程，再结合直线位置关系，利用点斜式方程求解即可.【详解】因为()()()():1312403420l x y x y x y λλλλ+++--=⇔+-++-=，令34020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以l 过定点()1,1Q ，当P 到l 的距离最大时，PQ l ⊥，理由如下：当PQ l ⊥时，此时P 到l 的距离为P ，当PQ 不垂直于l 时，过点P 作1PQ l ⊥，显然在1PQQ 中，1PQ PQ >，所以P 即为P 到l 的最大距离，此时()()112123PQ k --==--，所以32l k =-，所以()3:112l y x -=--，即:3250l x y +-=，令0y =，则53x =，所以5,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为2533y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即69100x y --=，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币正面向上”，事件B =“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是（）A.A 与B 互为对立事件B.A 与B 为相互独立事件C.A 与B 相等D.()()P A P B =【答案】BD 【解析】【分析】利用对立事件与相互独立事件的概念可判断A 、B ；求出概率可判断C 、D.【详解】由对立事件是在一次试验中，故A 错误；A ，B 为独立事件，B 正确；事件不是在一次试验中，事件不会相等，由()()12P A P B ==，可得C 错误；D 正确.故选：BD ．10.已知直线()1:110l x a y +-+=，直线2:220l ax y ++=，则下列结论正确的是（）A.1l 在x 轴上的截距为1-B.2l 过点()0,1-且可能垂直x 轴C.若12l l ∥，则1a =-或2a =D.若12l l ⊥，则23a =【答案】AD 【解析】【详解】对于A ：根据直线方程求截距即可；对于B ：根据直线方程分析斜率，即可得结果；对于C ：举反例说明即可；对于D ：根据直线垂直列式求参即可．【解答】直线()1:110l x a y +-+=，直线2:220l ax y ++=，对于选项A ：因为直线()1:110l x a y +-+=，令0y =，解得1x =-，所以1l 在x 轴上的截距为1-,故A 正确；对于选项B ：因为直线2:220l ax y ++=的斜率2a k =-，即斜率存在，直线2l 不垂直x ，故B 错误，对于选项C ：若2a =，则直线1l 、2l 均为10x y ++=，即两直线重合，不平行，故C 错误；对于选项D ：若12l l ⊥，则2(1)0a a +-=，解得23a =，故D 正确．11.在空间直角坐标系中，已知向量()1,2,3u = ，点()03,1,4P ，设点(),,P x y z ，下面结论正确的是（）A.若直线l 经过点0P ，且以u为方向向量，P 是直线l 上的任意一点，则14323y z x ---==B.若点0P ，P 都不在直线l 上，直线l 的方向向量是u，若直线0PP 与l 异面且垂直，则()()()332140x y z -+-+-=C.若平面α经过点0P ，且u为平面α的法向量，则平面α外存在一点P 使得0P P u∥成立D.若平面α经过点0P ，且以u为法向量，P 是平面α内的任意一点，则()()()321340x y z -+-+-=【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量共线即可求解A ，根据垂直即可求解BCD.【详解】对于A ，由于u为l 的方向向量，()03,1,4P P x y z =--- ，故存在实数λ使得0P P u λ=，即可()()3,1,41,2,3x y z λ---=，因此14323y z x ---==，故A 正确，对于B,0PP 与l 垂直,则00P P u ⋅=，即()()()321340x y z -+-+-=，故B 错误，对于C,由于u为平面α的法向量，过0P 作0P P α⊥ ，即可得到0P P u∥，故C 正确，对于D ，由于u 为平面α的法向量，0P P α⊂，故0P P u ⊥ ，即00P P u ⋅= ，则()()()321340x y z -+-+-=，故D 正确，故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.一组数据12100,,,x x x 的平均数等于21，方差20s =，则这组数据中12x =______．【答案】21【解析】【分析】根据方差的计算公式分析出结果.【详解】因为()()()2221210022121210100x x x s ⎡⎤-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦==，所以()()()222121002121210x x x -+-+⋅⋅⋅+-=，由平方运算的特点可知121002121210x x x -=-=⋅⋅⋅=-=，所以1221x =.13.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是AB ，1BB ，11B C 各棱的中点．则1DB 与平面EFG 所成角的余弦值________．【答案】3【解析】【分析】分别取,,H K L 为各边中点，连接,,,,,HK KL LE EF FG GH ，111,,,BD DC C B CB ，且11,C B CB 交于O ，连接DO ，首先证面//EFGHKL 面1BDC ，转化为求1DB 与平面1BDC 所成角余弦值，再利用线面、面面垂直的判定证面1B DO ⊥面1BDC ，由线面角的定义有1DB 与平面1BDC 所成角为1ODB ∠或其补角，最后应用余弦定理求其余弦值.【详解】如下图，分别取,,H K L 为各边中点，连接,,,,,HK KL LE EF FG GH ，111,,,BD DC C B CB ，且11,C B CB 交于O ，连接DO ，由题设，易知1////,//BD EL HG BC FG ，由BD ⊂面1BDC ，HG ⊄面1BDC ，则//HG 面1BDC ，同理可证//FG 面1BDC ，由HG GF G ⋂=，,HG FG ⊂面EFGHKL ，则面//EFGHKL 面1BDC ，所以1DB 与平面EFGHKL 所成角，即为1DB 与平面1BDC 所成角，由11B C BC ⊥，且等边1BDC 中1DO BC ⊥，1B C DO O ⋂=，1,B C DO ⊂面1B DO ，所以1⊥BC 面1B DO ，1B C ⊂面1B DC ，则面1B DO ⊥面1BDC ，面1B DO 面1BDC DO =，故1DB 在面1BDC 的投影在直线DO 上，则1DB 与平面1BDC 所成角为1ODB ∠，若正方体的棱长为1，则1ODB中，11,22DB B O DO ===，所以22111131322cos 023DB DO B OODB DB DO+-+-∠==⋅，故1DB 与平面1BDC 所成角，即1DB 与平面EFGHKL所成角的余弦值为3.故答案为：3.14.在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，线段AB 的垂直平分线分别交直线AB 和直线l 于C ，D 两点．若0DA DB ⋅=，则点A 的横坐标为________．【答案】3【解析】【分析】根据题意作出图示，分别求解出,BD OD 点的长度，由此可求OA ，根据cos A x OA α=(α为l 的倾斜角)求得结果.【详解】因为0DA DB ⋅= ，所以DA DB ⊥，又:2:20l y x l x y =⇔-=，所以BD ==又因为CD 垂直平分AB，所以BD AD ==，设l 的倾斜角为α，所以tan 2α=，由22sin 2π0,cos 2sin cos 1ααααα⎧=⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪+=⎩可得5cos 5α=，所以5cos 55OD OB α==⨯=，所以OA AD OD =+=，所以5cos 35A x OA α===，故答案为：3.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.袋中有形状、大小都相同的编号为1,2,3,4的4只小球，从中随机摸出1只小球，设事件A ：摸出1或2号小球，B ：摸出1或3号小球，C ：摸出1或4号小球．（1）求事件A 发生的概率．（2）求()()()()P ABC P A P B P C 的值．【答案】（1）12（2）2【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式直接求得结果；（2）先分析事件ABC 包含的事件，然后可求其概率值，再根据()()(),,P A P B P C 的值求得结果.【小问1详解】样本空间为{}1,2,3,4Ω=，{}1,2A =，所以()2142P A ==.【小问2详解】因为{}{}{}1,2,1,3,1,4A B C ===，所以{}1ABC =，所以()14P ABC =，又因为()()()2142P A P B P C ====，所以()()()18P A P B P C =，所以()()()()14218P ABC P A P B P C ==.16.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱AB ，BC 上的中点．（1）求直线1A F 与1D E 所成角的余弦值；（2）求平面1B EF 与平面BEF 夹角的正切值．【答案】（1）49（2）22【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得两条直线的方向向量，根据向量的夹角公式即可求解异面直线的夹角，（2）求两个平面的法向量，然后利用法向量即可求得面面角的余弦值．【小问1详解】以D 为原点，以1,,DA DC DD 的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()()11111,0,1,,1,0,0,0,1,1,022A F D E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1111,1,1,1,122A F D E ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故1111114cos ,9A F D E A F D E A F D E⋅==设直线1A F 与1D E 所成角为θ，则4cos 9θ=【小问2详解】因为()11,1,1B ，所以11110,,1,,0,122B E B F ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设平面1B EF 的法向量为(),,m x y z =，则11102102m B E y z m B F x z ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩，令2x =，得()2,2,1m =-．取平面BEF 的一个法向量()0,0,1n =．设平面1B EF 与平面BEF 的夹角为α，则1cos cos ,3m n m n n m α⋅===，故22sin 3α=，tan α=即平面1B EF 与平面BEF夹角的正切值为17.江夏区金口“草把龙”是武汉市级非物质文化遗产．“草把龙”是利用金灿灿的稻草包裹而成，制作“草把龙”的稻草要长，颜色要鲜，成色要新．为了提高收割机脱粒和稻草的质量，某企业对现有的一条水稻收割机产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的产品中随机抽取了1000台，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）质量指标值[)25,35[)35,45[)45,55[)55,65[)65,75[)75,85[)85,95产品6010016030020010080（1）估计产品的某项质量指标值的70百分位数．（2）经计算这组样本的质量指标值的平均数x 和方差2s 分别是61和241．设[]x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示不小于x 的最小整数，s 精确到个位，55n x ns a -⎧⎫=⋅⎨⎬⎩⎭，*5,5n x ns b n +⎡⎤=⋅∈⎢⎥⎣⎦N ，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值至少有65%落在[]11,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若至少有95%落在[]22,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功，16≈）【答案】（1）69（2）可以判断技术改造后的产品质量初稳定，但不能判定生产线技术改造成功．【解析】【分析】（1）利用百分位数定义、计算公式直接求解．（2）根据定义先求出1a ，1b ，2a ，2b ，再利用频率分布表能求出结果．【小问1详解】设产品的某项质量指标值的70百分位数为x ，则()60100160300200650.71000100010001000100010x ++++-⋅=⨯，解得69x =．【小问2详解】由2241s =，知16s ≈，则161165455a -⎧⎫=⨯=⎨⎬⎩⎭，161165755b +⎡⎤=⨯=⎢⎥⎣⎦，该抽样数据落在[]45,75内的频率约为0.160.30.266%65%++=>，2612165305a -⨯⎧⎫=⨯=⎨⎬⎩⎭，2612165905b +⨯⎡⎤=⨯=⎢⎣⎦，该抽样数据落在[]30,90内的频率约为10.030.040.9393%95%--==<，可以判断技术改造后的产品质量初稳定，但不能判定生产线技术改造成功．18.已知直线1l 过定点()1,1M ，直线2l 的方程是0x y +=．（1）若直线1l 的横截距为纵截距2倍，求直线1l 的方程．（2）若直线1l 与x ，y 轴正半轴分别交于P ，Q 两点，过P ，Q 分别作直线2:0l x y +=垂线，垂足分别是R ，S ．求四边形PQSR 面积的最小值．【答案】（1）0x y -=或230x y +-=（2）4【解析】【分析】（1）分类讨论直线1l 是否经过原点，代入1,1求出参数，由此可求结果；（2）设出1l 的方程，分别表示出,,QOS POR POQ 的面积，结合基本不等式求解出四边形PQSR 面积的最小值.【小问1详解】当1l 经过()0,0时，设y kx =，代入1,1，所以1k =，即1:0l x y -=，当1l 不经过()0,0时，设()1:102x y l a a a +=≠，代入1,1，解得32a =，即1:230l x y +-=，所以直线1l 的方程为0x y -=或230x y +-=.【小问2详解】由题意设()()1:110l y k x k -=-<，令0x =，则1y k =-，所以()0,1Q k -，令0y =，则11x k =-，所以11,0P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以11k PR -==，QS ==，因为2:0l x y +=的倾斜角为3π4，所以π4QOS POR ∠=∠=，所以,QOS POR 均为等腰直角三角形，所以222212121,2424QOS PORQS PR k k kk S S -+-+==== ，所以()22221111211461214424PQSRk k k k k k k k k k S ⎛⎫⎛⎫--+-++-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭=++=四边形2211144244k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==，因为0k <，所以()112k k k k ⎡⎤+=--+≤--⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1k k-=-，即1k =-(1k =舍)时取等号，由二次函数性质可知，()221222444k k ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭≥=，当且仅当1k=-时取等号，所以四边形PQSR 面积的最小值为4.19.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和FN 的长度保持相等，记(0CMFN a a ==<<．（1）求MN 的长（用a 表示）；（2）a 为何值时，MN 的长最小？（3）当平面MNA 与平面MNB 夹角60o 时．求MN 的长．【答案】（1；（2）33；（3）3.【解析】【分析】．（1）以B 为坐标原点，分别以BA 、BE 、BC 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求得A 、C 、F 、E 、M 、N 的坐标，直接由两点间的距离公式可得||MN ；（2）把（1）中求得||MN 利用配方法求最值；（3）求出两平面的法向量，根据面面夹角列方程求出参数a ，然后代入（1）可得．【小问1详解】因为ABCD ，ABEF 为正方形，所以,AB BC AB BE ⊥⊥，又平面ABCD ⊥平面ABEF ，所以BE BC ⊥，如图建立空间直角坐标系，1,0,0，()0,0,1C ，()1,1,0F ，()0,1,0E ，分别作,MG AB NH BE ⊥⊥，垂足分别为,G H ，易知,AMG ACB BHN BEF ~~ ，因为CM FN a ==，由相似比可得11BG GM BH HN ==-==-所以M ，1N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．MN ∴==【小问2详解】MN ==当223a =时，||MN 最小，最小值为33；【小问3详解】,1,0,1,11BM AM MN ⎛⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎝⎭，设平面MNB 与平面MNA 的法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z ==，则1111111101110BM n x z MN n x y z ⎧⎛⋅=+-=⎪ ⎪⎝⎨⎛⎛⎛⎫⎪⋅=-+-+= ⎪⎪⎝⎝⎝⎭⎩，22222221101110AM n x z MN n x y z ⎧⎫⎛⋅=+-=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎨⎛⎛⎛⎫⎪⋅=-+-+= ⎪⎪⎝⎝⎝⎭⎩，令11x =-111,n ⎛=- ⎝，令21x =，21n ⎛=-- ⎝ ，因为平面MNA 与平面MNB 夹角60o ，所以121212cos ,cos 60n n n n n n ⋅==︒⋅，12=，解得3a =（增根已舍去），所以此时3MN =.。

一、单选题1．下列各式正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．ππsin cos 33'⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()cos sin x x '=()23x '+=()1ln x x'=【答案】D【分析】根据基本初等函数的求导公式直接求解.【详解】对于A ，，故A 错误；πsin 03'⎛⎫= ⎪⎝⎭对于B ，，故B 错误； ()cos sin x x '=-对于C ，，故C 错误；()21x '+=对于D ，，故D 正确.()1ln x x '=故选:D.2．曲线在点处的切线方程为（ ） 1e x y x -=()()1,1f A ． B ． C ． D ．21y x =-21y x =+2y x =-2y x =+【答案】A【分析】求处在点 处的导数值，根据点斜式直线方程求解.()()1,1f 【详解】 ，()()()()'1'11,1e ,12x f f x x f -==+∴=在点 处的切线方程为： ，即 ； ()1,1()121y x -=-21y x =-故选：A.3．已知等差数列，，前项和为，，则（ ） {}n a 12021a =-n n S 20232022120232022S S -=2023S =A ． B ．C ．D ．0120222023【答案】D【分析】根据等差数列的前项和公式，判断出是等差数列，利用等差数列的通项公式求n n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项，由此可得的解析式，再求. n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n S 2023S 【详解】设等差数列的公差为，则，； d ()112n n n S na d -=+112n S n a d n -=+因为，所以是等差数列； 1112+-=+n n S S d n n n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭因为， 20232022120232022S S -=因为，所以， 12021a =-11202111S a ==-所以， ()2021112022nS n n n=-+-⨯=-故 ()2022n S n n =-所以. 20232023S =故选：D.4．袋中有三个红球，两个蓝球，现每次摸出一个球，不放回地摸取两次，则在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率为 A ．B ．C ．D ．143101234【答案】D【分析】分别求解出“第一次摸到蓝球”的概率；“第一次摸到蓝球且第二次摸到红球”的概率；根据条件概率公式可求得结果.【详解】记“第一次摸到蓝球”为事件；“第二次摸到红球”为事件A B 则，()121525C P A C ==()11321154310C C P AB C C =⋅=所求概率为： ∴()()()34P AB P B A P A ==本题正确选项：D 【点睛】本题考查条件概率的求解问题，属于基础题.5．某校为深入开展劳动教育，通过学校的电子屏幕播放“我的校园我打扫”，大力宣传劳动的价值意义，使学生树立正确的劳动观某日甲、乙、丙、丁四名同学值日打扫卫生，卫生区域划分为.A ，，，四块，每个区域安排一个同学去打扫，其中甲不去打扫区域，乙不去打扫区域，B C D A B 则不同的安排方法的种数为（ ） A ． B ． C ． D ．12142030【答案】B【分析】分甲取打扫区域和甲去打扫或区域两种情况，结合分步乘法计数原理和分类加法计B C D 数原理求解.【详解】因为甲不去打扫区域，所以可以安排甲去打扫中的一个区域，A ,,BCD 若甲去打扫区域，则甲的安排方法只有一种，再安排乙，丙，丁三人共种安排方法，由分步乘B 33A 法计数原理可得有种安排方法，331A 6⨯=若甲去打扫区域或区域，则甲的安排方法只有两种，再安排乙，由于乙不能去打扫区域，故C D B 乙的安排方法有两种，再安排丙，丁两人，共种安排方法，由分步乘法计数原理可得有22A 种安排方法，22228A ⨯⨯=由分类加法计数原理可得共有种安排方法. 6814+=故选：B.6．设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ）()f x ()f x 'A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数图象得出单调性，然后判断导函数的正负即可选出答案. 【详解】由函数的图象，知()f x 当时，是单调递减的，所以；0x <()f x ()0f x '<当时，先递减，后递增，最后递减，所以先负后正，最后为负． 0x >()f x ()f x '故选：B ．7．有4人站成一排，若甲、乙两人关系好而相邻，则不同的排法种数共有（ ） A ．256 B ．24 C ．12 D ．8【答案】C【分析】由题意，相邻问题利用捆绑法即可求解. 【详解】解：因为甲、乙两人关系好而相邻，所以利用捆绑法可得有种不同的排法，232312A A =8．如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ）A ．B ．C ．D ．84726456【答案】A【分析】根据题意可知每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，分类研究，不同色；,A C 同色两大类，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得答案． ,A C 【详解】由题意知，分两种情况：(1)不同色，先涂区域有种方法，再涂区域有种方法，再涂区域有种方法，再涂区,A C A 4B 3C 2域有种方法，由分步乘法计数原理可得有种；D 2432248⨯⨯⨯=(2) 同色；先涂区域有种方法，再涂区域有种方法，再涂区域有种方法，再涂区域,A C A 4B 3C 1有种方法，由分步乘法计数原理可得有种． D 3431336⨯⨯⨯=由分类加法计数原理，共有种， 483684+=故选：A ．9．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） ()sin f x kx x =-()0,∞+k A ． B ．C ．D ．(],2-∞-(],1-∞-[)1,+∞[)2,+∞【答案】C【分析】对求导，转化为导函数在区间上大于等于零恒成立，进而转化为最值问题，()f x ()0,∞+求出最值即可.【详解】因为， ()sin f x kx x =-所以，()cos f x k x =-'因为在区间上单调递增，()f x ()0,∞+所以在区间上恒成立，即恒成立， ()0,∞+()cos 0f x k x =-≥'cos k x ≥当时，，所以， ()0,x ∈+∞1cos 1x -≤≤1k ≥所以的取值范围是.k [)1,+∞10．已知为等比数列，是方程的两根，则（ ） {}n a 37,a a 2410x x ++=5a =A ． B ． C ． D ．1-11±2±【答案】A【分析】根据韦达定理判断、的正负，从而求出求出的正负，并求出，根据即3a 7a 5a 37a a 2537a a a =可求出﹒5a 【详解】设数列的公比为， {}n a q 因为是方程的两根， 37,a a 2410x x ++=所以，， 3740a a +=-<3710a a =>所以，，又为等比数列，30a <70a <{}n a 所以，，3520a q a =<53271a a a ==则﹒ 51a =-故选：A.11．有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳9752舞，则不同的选派方法有（ ） A ．种 B ．种 C ．种 D ．种19303272【答案】C【分析】由条件确定既会跳舞又会唱歌的人数，根据选出的人中既会跳舞又会唱歌的人数，分类2求满足条件的选派方法数，结合分类加法计数原理求解即可.【详解】根据题意，有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞， 975则既会跳舞又会唱歌的有人，5793+-=只会唱歌的有人，只会跳舞的有人;734-=532-=若选出2人，没有既会跳舞又会唱歌，有种选法，1142C C 8⨯=若选出2人中有1人既会跳舞又会唱歌，则有种选法，11113234C C C C 18⨯+⨯=若选出2人全部是既会跳舞又会唱歌的，则有种选法， 23A 6=则共有种选法. 818632++=故选：C.12．关于函数，下列判断正确的是（ ） 2()ln f x x x=+①是的极大值点，2x =()f x ②函数有且只有1个零点， ()y f x x =-③存在正实数，使得成立，k ()f x kx >④对任意两个正实数，且，若，则. 12,x x 12x x <()()12f x f x =124x x +>A ．①④ B ．②③C ．②③④D ．②④【答案】D【分析】对于①，根据极大值点的定义，求导，研究导数与零的大小关系，可得答案； 对于②，构造函数，求导研究其单调性，根据零点存在定理，可得答案； 对于③，采用变量分离，构造函数，研究单调性与最值，可得答案；对于④，以直线为对称轴，构造函数，求导研究其单调性和最值，可得答案. 2x =【详解】对于①，由，求导得，()2ln f x x x=+()22212x f x x x x -'=-+=令，解得，可得下表：()0f x '=2x =x()0,22()2,+∞()f x '-+()f x A 极小值A 则为函数的极小值点，故错误；2x =()f x 对于②，由，求导得：， ()2ln y f x x x x x =-=+-22222172122410x x x y x x x x ⎛⎫--- ⎪-+-⎝⎭'=-+-==<则函数在上单调递减，()y f x x =-()0,∞+当时，，当时，， 1x =()1110y f =-=>2x =()2221ln 22ln 0ey f =-=+-=<由，故函数有且只有1个零点，故正确； 21ln0e⨯<()y f x x =-对于③，由题意，等价于存在正实数，使得， k ()f x k x>令，求导得， ()()22ln f x x g x x x x ==+()34ln x x xg x x -+-'=令，则，()4ln h x x x x =-+-()ln h x x '=-在上，，函数单调递增；∴()0,1x ∈()0h x '>()h x 在上，，函数单调递减，()1,x ∈+∞()0h x '<()h x ，， ()()10h x h ∴≤<()0g x '∴<在上单调递减，无最小值， ()22ln x g x x x∴=+()0,∞+不存在正实数，使得恒成立，故错误；∴k ()f x kx >对于④，令，则，， ()0,2t ∈()20,2t -∈()22,4t +∈令， ()()()()()2224t 222ln 2ln 2ln 2242tm t f t f t t t t t t t+=+--=++---=++---则， ()()()()22222222482228042244t t t t t m t t t t t t --++-'=-+⋅=<-+---在上单调递减，则，即，()m t ∴()0,2()()00<=m t m ()()()220m t f t f t =+--<令，由，且函数在上单调递增，得， 12x t =-()()12f x f x =()f x ()2,+∞22x t >+则，当时，显然成立，故正确. 12224x x t t +>-++=24x ≥124x x +>故选：D.二、填空题13．某城市的交通道路如图，从城市的东南角到城市的西北角，不经过十字道路维修处，最A B C 近的走法种数有__________．【答案】66【详解】试题分析：从城市的东南角到城市的西北角，最近的走法种数共有种走法.A B 49126C =从城市的东南角经过十字道口维修处，最近的走法有,从到城市的西北角，最近的A C 2510C =C B 走法种数为种，所以从城市东南角到城市的西北角，经过十字道口维修处最近的走法246C =A B C 有种，所以从城市的东南角到城市西北角，不经过十字道路维修处，最近的走法10660⨯=A B C 种数有种.1266066-=【解析】排列组合及简单的计数原理.14．在的展开式中，项的系数为______.521x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭2x 【答案】30-【分析】由条件利用二项式定理，分类讨论求得的展开式中，项的系数．52(1)x x+-2x 【详解】解：表示5个因式的乘积，有2个因式都选，其余的3个因式都521x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭21x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭x -选1，相乘可得含的项，或者有3个因式选，有1个因式选，1个因式选1,相乘可得含2x x -1x2x 的项，故项的系数为.（或将括号里面2项组合起来展开考虑）2x ()231552230C C C +-⋅⋅=-故答案为：30-【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 15．函数在区间上有两个零点，则m 的取值范围是________.x y e mx =-(0,3]【答案】3,3e e ⎛⎤⎥⎝⎦【解析】由分离参数得，，引入函数，用导数研究函0xe mx -=x e m x=(0,3]x ∈()((0,3]xe f x x x =∈数的单调性极值后可得结论．【详解】由题意方程（）有两个实根，即在上有两个实根，0xe mx -=(0,3]x ∈xe m x=(0,3]x ∈设，则，当时，，递减，时，，()x e f x x=2(1)()x e x f x x -'=01x <<()0f x '<()f x 1x >()0f x '>递增，，又，而时，， ()f x min ()(1)f x f e ==3(3)3e f =0x →()f x →+∞∴当时，的图象与直线在上有两个交点，即原函数有两个零点．33e e m <≤()x e f x x=y m =(0,3]故答案为：3,3e e ⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题关键是问题的转化，函数零点个数常常转化为方程的解的个数，再转化为函数图象与直线交点个数，为此引入新函数，研究函数的单调性，极值，确定函数图象的变化趋势后可得结论．16．一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是13__________. 【答案】23【分析】由全概率公式求出考生答对的概率，再由条件概率公式求他答对条件下，他确实知道正确答案的概率.【详解】设表示“考生答对”，表示“考生知道正确答案”，由全概率公式得A B()()()1211|()(|)1,3342P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=故 ()()()123|.132P AB P B A P A ===故答案为：.23三、解答题17．已知函数在处取得极值．()32f x x ax bx =++1x =±(1)求的单调区间； ()f x (2)求在上的最值．()f x []2,1-【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为； (),1-∞-()1,+∞()1,1-(2)，. ()max 2f x =()min 2f x =-【分析】（1）根据可构造方程组求得，进而得到，根据的正负()()110f f ''-==,a b ()f x '()f x '可得单调区间；（2）根据单调性可确定，，由此可求得最值.()()max 1f x f =-()()(){}min min 2,1f x f f =-【详解】（1），()232f x x ax b '=++在处取得极值，，，解得：，()f x 1x =±()()110f f ''∴-==320320a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩03a b =⎧⎨=-⎩，，()33f x x x ∴=-()()()233311f x x x x ==+'--当时，；当时，，∴()(),11,x ∈-∞-⋃+∞()0f x ¢>()1,1x ∈-()0f x '<的单调递增区间为和，单调递减区间为；()f x \(),1-∞-()1,+∞()1,1-（2）由（1）知：，， ()()max 1132f x f =-=-+=()()(){}min min 2,1f x f f =-又，，. ()2862f -=-+=-()1132f =-=-()min 2f x ∴=-18．已知等差数列的公差为1，且成等比数列. {}n a d 134,,a a a (1)求数列的通项公式；{}n a (2)设数列，求数列的前项和.52n a n b n +=+{}n b n n S 【答案】(1)； 5n a n =-(2).()11222n n n n S ++=+-【分析】（1）根据等差数列基本量的运算可得，进而即得；14a =-（2）由题可得，然后利用分组求和法即得．522n a nn b n n +=+=+【详解】（1）在等差数列中，因为成等比数列，{}n a 134,,a a a 所以 ，即 ，又，2314a a a =()22111+23a d a a d =+1d =所以，14a =-所以数列的通项公式；{}n a 415n a n n =-+-=-（2）由题可知，522n a nn b n n +=+=+∴123n n S b b b b =++++()()232222123n n =+++++++++()()2121=122n n n -++-. ()11222n n n ++=+-19．现有大小相同的8个球，其中4个不同的黑球，2个不同的红球，2个不同的黄球. (1)将这8个球排成一列，要求黑球排在一起，2个红球相邻，2个黄球不相邻，求排法种数； (2)从这8个球中取出4个球，要求各种颜色的球都取到，求取法种数； (3)将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，求分堆种数.【答案】(1)576(2)40(3)490【分析】（1）排列问题，相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法；（2）按照分类分步计数原理，结合组合数公式计算；（3）由每堆球数，分类计数，每类再分步完成.【详解】（1）先将4个不同的黑球全排列，有种方法；再将2个不同的红球全排列，有种44A 22A 方法；接着将4个黑球看成是1个元素连同整体红球共2个元素全排列，有种方法；22A 最后将2个黄球排在2个大元素形成的三个空位上，有种方法.23A 所以总的排法数为； 42224223A A A A 576=（2）从这8个球中取出4个球，要求各种点色的球都取到，取球的方式是1，1，2，所以取法种数为；112121211422422422C C C C C C C C C 40++=（3）将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，有两类：2，2，4；2，3，3； 所以分堆种数为. 2223868622C C C C 210280490A +=+=20．已知求：2521001210(32).x x a a x a x a x -+=+++⋯+(1)的值；1210a a a ++⋯+(2)的值．2202410139()()a a a a a a a +++⋯+-++⋯+【答案】(1)32-(2)0【分析】（1）由已知，令可求，令可求，由此可求答案； 0x =0a 1x =01210a a a a +++⋯+（2）利用平方差公式和（1）的结论即可得出答案【详解】（1）令，则，0x =50232a ==令，则，1x =012100a a a a =+++⋯+所以．1210032a a a a ++⋯+=-=-（2）2202410139()()a a a a a a a +++⋯+-++⋯+()()0123100123910a a a a a a a a a a a =++++⋯+⋅-+-+⋯-+．()012391000a a a a a a =⋅-+-+⋯-+=21．某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动. （1）求男生甲被选中的概率；（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.【答案】（1）；（2）；（3）． 131512【分析】（1）将所有的基本事件一一列举出来，从中找出该事件所发生的基本事件，从而计算概率；（2）利用条件概率的公式即可计算结果；（3）与（2）解法相同.【详解】（1）记4名男生为A ，B ，C ，D ，2名女生为a ，b ，从6名成员中挑选2名成员，有，，，，，，，，AB AC AD Aa Ab BC BD Ba ，，，，，，共有15种情况，，Bb CD Ca Cb Da Db ab 记“男生甲被选中”为事件M ，不妨假设男生甲为A事件M 所包含的基本事件数为，，，，AB AC AD Aa Ab 共有5种，故． ()51153P M ==（2）记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，M N 不妨设女生乙为， b 则，又由（1）知， ()115P MN =()13P M =故． ()()()15P MN P N M P M ==（３）记“挑选的2人一男一女”为事件，则， S ()815P S =“女生乙被选中”为事件，， N ()415P SN =故． ()()()12P SN P N S P S ==【点睛】本题考查了等可能事件的概率，列举法求古典概型的概率，条件概率的计算，属于中档题.22．已知函数()e ln 2x f x a x a =-+-．(1)若是的一个极值点，求的最小值；0x =()f x ()f x (2)若函数有两个零点，求的取值范围．()()()ln 2g x f x x x =+-+a 【答案】(1)1-(2)()0,e【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，从而求出函数的()00f '=a 单调区间，即可求出函数的最小值；（2）方法一：求出的解析式，即可求出导函数，即可求出函数的单调区间，依题意可得()g x ，，即可得到，再利用导数求出函()()000e ln 2ln 20x g x a x a =-++-<()02,x ∈-+∞()001e 2x a x =+数的值域，即可求出的取值范围；a 方法二：依题意可得有两个解，利用同构式，设函数()()ln 2ln e ln ln 2e x x a a x x ++=++++()e x h x x =+，问题等价于方程有两个解，由导数说明函数的单调性，即可得到方程()()()ln ln 2h x a h x +=+有两个解，设，，即有两个解，再构造函()ln ln 2x a x +=+2t x =+2ln a m -=ln 0t t m -+=数，利用导数求出参数的取值范围，从而求出的取值范围.m a 【详解】（1）因为，所以，()e ln 2x f x a x a =-+-()e 1x f x a '=-因为是函数的一个极值点，0x =()f x 所以，解得，经检验符合题意，()00e 110f a a =-=-='1a =所以，所以当时，当时，()e 1x f x '=-0x <()0f x '<0x >()0f x ¢>因此在上单调递减，在上单调递增， ()f x ()0-∞，()0+∞，所以当时，有极小值即最小值；0x =()f x ()00e 21f =-=-（2）方法一：因为，()()e ln 2ln 2,0x g x a x a a =-++->所以，则在上单调递增， ()1e 2x g x a x =-+'()g x '()2,-+∞记， 11max ln ,02x a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭当时，， 1ln 02a >()11ln 21111e e 122ln 2x a g x a a x a'=-=-++1ln 2111e 00222aa >-=-=+当时，， 1ln 02a <()101111e e 202x g x a a x =-=-++'1ln 2111e 00222a a >-=-=+记， 21min 20x a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，当时，； 120a ->()202211e e 202x g x a a x =-=-++'01e 0122a a<-=-+当时，； 120a -<()2122211e e 1222x a g x a a x a -=-=-+-+'01e 0122a a <-=-+所以存在唯一的，使得，()02,x ∈-+∞()00g x '=当时，，当时，，02x x -<<()00g x '<0x x >()00g x '>所以函数在上单调递减，在上单调递增，()g x ()02,x -()0,x +∞若函数有两个零点，只需，()g x ()00g x <即，()()000e ln 2ln 20x g x a x a =-++-<又，即， 001e 02x a x -=+()001e 2x a x =+则， ()000122ln 202x x x +++->+设，则为增函数，，所以当时，， ()12ln h t t t t=+-()h t ()10h =1t >()0h t ≥则，即，021x +>01x >-令，，()()e 2(1)x x x x ϕ=+>-()()e 30x x x ϕ=+>'则在上单增，由得， ()x ϕ()1∞-+，01x >-()()011e x ϕϕ>-=所以， ()()0010,e e 2x a x =∈+所以的取值范围是 a ()0,e ．方法二：若有两个零点，()()()ln 2g x f x x x =+-+即有两个解， ()ln eln ln 22x a a x x x ++=++++即有两个解， ()()ln 2ln e ln ln 2e x x aa x x ++=++++利用同构式，设函数，()e x h x x =+问题等价于方程有两个解，()()()ln ln 2h x a h x +=+恒成立，即单调递增，()e 10x h x '=+>()e x h x x =+所以，()ln ln 2x a x +=+问题等价于方程有两个解，()ln ln 2x a x +=+即有两个解，()()ln 222ln 0x x a +-++-=设，，2t x =+2ln a m -=即有两个解，ln 0t t m -+=令，问题转化为函数有两个零点，()ln t t t m ϕ=-+()t ϕ因为，当时，，当时，， ()11t tϕ'=-()0,1t ∈()0t ϕ'>()1,t ∈+∞()0t ϕ'<则在上递增，在上递减，()t ϕ()0,1()1,+∞为了使有两个零点，只需，()t ϕ()10ϕ>解得，即，解得，1m >2ln 1a ->0e a <<由于，()e 2e 0m m m ϕ--=-<所以在和内各有一个零点．()t ϕ()0,1()1,+∞综上知的取值范围是 a ()0,e ．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

2022-2023学年四川省成都市树德中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．以椭圆221259x y +=的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（ ）A ．216y x =B ．28y x =-C ．216y x =-D ．216x y =-【答案】C【分析】利用椭圆和抛物线的几何意义求解即可.【详解】由椭圆221259x y +=可得4=c ， 所以左焦点坐标为(4,0)-，所以以(4,0)-为焦点的抛物线的标准方程为216y x =-， 故选：C.2．曲线221x xy y ++=（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．不具有对称性【答案】C【分析】将点(,)x y -，(,)x y -，(,)x y --分别代入方程，即可检验对称性. 【详解】对于A ，将点(,)x y -代入曲线方程得：221x xy y -+≠， 所以曲线221x xy y ++=不关于x 轴对称，A 错误； 对于B ，将点(,)x y -代入曲线方程得：221x xy y -+≠， 所以曲线221x xy y ++=不关于y 轴对称，B 错误； 对于C ，将点(,)x y --代入曲线方程得：221x xy y ++=， 所以曲线221x xy y ++=关于原点对称，C 正确，D 错误. 故选：C3．已知圆()221:125C x y ++=，圆()222:11C x y -+=，动圆M 与圆2C 外切，同时与圆1C 内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ） A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．2219x y +=D ．22198x y【答案】D【分析】画图，分析出121262C M C M C C +=>=，确定圆心M 的轨迹为椭圆，求出23,8a b ==，得到轨迹方程.【详解】如图，由题意得：15C M MQ =-，21C M MP =+，其中MQ MP =， 所以12125162C M C M MQ MP C C +=-++=>=，由椭圆定义可知：动圆圆心M 的轨迹为以12,C C 为焦点的椭圆，设22221x ya b+=，则26,1a c ==，解得：2223,918a b a c ==-=-=，故动圆圆心M 的轨迹方程为22198x y .故选：D4．已知双曲线1C 过点)5,4，且与双曲线2C ：22152x y -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的焦距为（ ） A ．7 B ．14 C 21D ．221【答案】B【分析】首先设出与2C 共渐近线的双曲线方程，再代入点)5，，求出λ，从而求出1C 的方程，进而求解.【详解】设双曲线1C ：()220152x y λλλ-=≠≠且，将()5，代入可得516752λ-=-=.故双曲线1C ：2211435y x -=，则14357c =+，则焦距214c =. 故选：B5．已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A【分析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于sin0=0，所以命题p 为真命题；由于x y e =在R 上为增函数，0x ≥，所以||01x e e ≥=，所以命题q 为真命题； 所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题. 故选：A ．6．直线l 过点()0,3与圆C ：222220x y x y +---=交于,A B 两点且AB =l 的方程为（ ）A ．34120x y +-=B ．34120x y +-=或4210x y ++=C ．0x =D ．0x =或34120x y +-=【答案】D【分析】将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，考虑直线的斜率是否存在，分类讨论，结合弦长和点到直线的距离公式，即可求得答案.【详解】将圆C ：222220x y x y +---=的方程化为 22(1)(1)4x y -+-=， 则圆心C 的坐标为(11)，，半径为2. 当直线l 的斜率不存在时，即直线l 的方程为0x =时，代入圆的方程得2220y y --= ，解得11y =2,1y =，此时||1(1AB == 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+ ，由||AB =，得圆心C 到直线l 22(3)1 ，1=，解得34k =-，故此时直线的方程为334y x =-+ ，即34120x y +-=，综上可得，直线l 的方程为0x = 或34120x y +-=， 故选：D.7．执行如图的程序框图，如果输入的,x y ∈R ，那么输出的S 的最大值为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】在直角坐标系内画出可行解域，根据平移的方式求出S 的最大值，再与1进行比较即可.【详解】不等式组001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩在直角坐标系内表示的平面区域如下图所示：平移直线20x y +=，当直线经过(1,0)A 时，2S x y =+有最大值，最大值为21021⨯+=>， 故选：C8．若椭圆22134x y +=的动弦AB 斜率为1，则弦中点坐标可能是（ ）A ．()34-，B ．3,14⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．()43-， D ．4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【分析】已知弦中点的斜率，用点差法求中点的坐标. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则由已知得，2211134x y +=，2222134x y +=， 两式作差可得，22221212034x x y y --+=，整理可得121212124433y y x x x x y y +-=-=-+-.AB 中点D 的坐标为()00,x y ，则有0043y x =-. 又点D 在椭圆的内部，所以02y < 故选：B.9．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线l 上的动点．若点A 在抛物线C 上，且||5AF =，则||||PA PO +（O 为坐标原点）的最小值为（ ）A ．8B ．213C ．41D ．6【答案】B【分析】依题意得点A 坐标，作点O 关于l 的对称点B ，则||||||||PA PO PA PB AB +=+≥，求AB 即为最小值．【详解】如图所示：作点O 关于l 的对称点B ，连接,PB AB ，设点(),A x y ，不妨设0y >由题意知()1,0F ，直线l 方程为=1x -，则||15AF x =+=，得4x = 所以24416y =⨯=，得4y =由||||||||PA PO PA PB AB +=+≥，当,,A B P 三点共线时取等号， 又()()222224425213AB y x =++++== 所以||||PA PO +的最小值为213故选：B【点睛】关键点点睛：作点O 关于l 的对称点B ，将PO 化为PB ，利用三点共线是求得最小值的关键点．10．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点P 为ABC 所在平面内一动点，且满足433PA PB +=，则PD 的最大值为（ ） A ．3 B 210C 39D ．2【答案】B【分析】由题意可知，点P 在ABC 所在平面内的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为A 、B ，长轴长为433，然后以线段AB 的中点O 为坐标原点，直线AB 所在直线为x 轴，以CO 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，求出椭圆的方程，利用二次函数的基本性质可求得PD 的最大值. 【详解】如图所示，在平面ABC 内，4323PA PB +=>， 所以点P 在平面ABC 内的轨迹为椭圆，取AB 的中点为点O ，连接CO ，以直线AB 为x 轴，直线OC 为y 建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，则椭圆的半焦距1c =，长半轴23a =223b ac =-=所以，椭圆方程为()2233104x y z +==.点D 在底面的投影设为点E ，则点E 为ABC 的中心，113333OE OC ===故点E 正好为椭圆短轴的一个端点，2233CE OC ==2226DE CD CE =- 因为222PD DE EP =+，故只需计算EP 的最大值. 设(),,0P x y ，则3E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 则2222223423123543333EP x y y y y y y ⎛=+=-++=-+ ⎝⎭， 当333y ⎡=⎢⎣⎦时，2EP 取最大值， 即22max3233516339EP ⎛⎛=-⨯+= ⎝⎭⎝⎭， 因此可得2241640999PD ≤+=，故PD 210. 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查线段长度最值的求解，根据椭圆的定义得知点P 的轨迹是椭圆，并结合二次函数的基本性质求解EP 的最大值是解题的关键，在求解时也要注意椭圆有界性的应用. 11．已知圆221(2)4C x y -+=：，()222(25cos )(5sin )1C x y R θθθ--+-=∈：，过圆2C 上一点P 作圆1C 的两条切线，切点分别是E 、F ，则PE PF ⋅的最小值是( ) A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】A【分析】本题首先可以通过圆2C 的方程得出圆2C 的圆心轨迹，然后画出圆2C 的圆心轨迹图像以及圆1C 的图像，通过图像可以得出线段PA 的取值范围以及PE PF ⋅的解析式，最后通过函数性质即可得出结果．【详解】由()222(25cos )(5sin )1C x y R θθθ--+-=∈：可得： 圆2C 的圆心在圆22(2)25x y -+=的圆周上运动，设()20A ，，则[]46PA d =∈，，由图可知：()()222cos2412sin PE PF PE d θθ⋅==--， ()22228324112d d d d ⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭，由()2223212f d d d =+-在[]1636，上为增函数可知， 当216d =时，PE PF ⋅取最小值6，故选A ．【点睛】本题考查圆的相关性质，主要考查圆的方程的相关性质以及圆的切线的相关性质，考查推理能力，考查数形结合思想、方程思想以及化归思想，是难题．12．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左､右焦点，过1F 作C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，且l 与双曲线右支相交于点P ，若12F H HP =，且25PF =，则下列说法正确的是（ ）A ．2F 到直线l 的距离为aB ．双曲线的离心率为132C ．12PF F △的外接圆半径为5132D ．12PF F △的面积为9【答案】B【分析】根据题意可知，H 是1F Q 的中点，因此可得，OH 为△12QF F 的中位线，可求2F 到直线l 的距离判断A 选项；利用双曲线的定义，即可求得a ，b 和c 的值，求得双曲线的离心率，可判断B 选项；求得12sin PF F ∠，利用正弦定理即可求得△12PF F 的外接圆半径，可判断C 选项；利用三角形的面积公式，即可求得△12PF F 的面积，可判断D 选项． 【详解】由题意，()1,0F c -到准线0bx ay +=的距离122-===+bc bcF H b cb a ，又1FOc =，∴OH a =，如图过2F 向1F P 作垂线，垂足为Q ，由2//OH F Q ，O 为12F F 中点，则OH 为△12QF F 的中位线，所以1F H HQ =，即H 是1F Q 的中点，因为12F H HP =，2||2F Q a =，||HQ b =，||PQ b =，1||3=PF b ，因此2F 到直线l 的距离为2a ，故A 错误； 在2QPF △中，2222425+==b a PF ，又12||||2PF PF a -=，得到352b a -=， 解得3b =，2a =，13c =13c e a ==B 正确； 121sin sin aPF F HFO c∠=∠=，设△12PF F 的外接圆半径R ， 因此212||551322sin 13PF R PF F ==∠，所以513R =C 错误；△12PF F 的面积1121211||||sin 3231822a S F P F F PF F b c ab c=∠=⨯⨯⨯==．故D 错误. 故选：B ．二、填空题13．若4进制数2m 01（4）（m 为正整数）化为十进制数为177，则m =______. 【答案】3【分析】将各数位上的数乘以其权重累加后，即可求解【详解】将4进制数2m 01（4）化为十进制数为01231404424177m ⨯+⨯+⨯+⨯=，解得3m =. 故答案为：3【点睛】本题考查进制间的转化，属于基础题. 14．设:411p x -≤；2:2110q x a x a a ．若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是______． 【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，可得q 是p 的必要而不充分条件，分别解不等式利用集合间的真包含关系即可求解.【详解】由题意得，命题:411p x -≤，解得102x ≤≤，记1|02A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭命题2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，即()[(1)]0x a x a --+≤， 解得：1a x a ≤≤+，记{}|1B x a x a =+≤≤， 又因为p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，即q 是p 的必要而不充分条件，所以A 真包含于B ，所以0112a a ≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩（等号不同时成立），解得102a -≤≤，所以实数a 的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．已知M 为抛物线2:4C y x =上一点，过抛物线C 的焦点F 作直线()152x m y m +-=-的垂线，垂足为N ，则MF MN +的最小值为______．【答案】3##3【分析】根据题意先确定出N 点的轨迹为圆，再由抛物线的定义转化||MF ，所求最小值转化为圆上动点到抛物线准线距离的最小值即可得解.【详解】由2:4C y x =知，焦点(1,0)F ，准线l 的方程为=1x -， 由()152x m y m +-=-可得5(2)0x y m y --++=，由5020x y y --=⎧⎨+=⎩解得32x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点(3,2)P -，设PF 中点为E ，则(2,1)E ，由题意知NF PN ⊥， 所以N 的轨迹为以PF 为直径的圆， 则圆的方程为22(2)(1)2x y -++=，过M 作MD l ⊥于D ，则||||MF MN MD MN +=+，所以由图知，当M 运动到M '时，N 运动到N '，,,,D M N E '''共线时，||||MD MN +的最小值为圆22(2)(1)2x y -++=上动点N 到准线的距离的最小值，即[](1)32E x r ---=故答案为：3216．已知P 是椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>和双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>的交点，1F ，2F 是1C ，2C 的公共焦点，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，若122π3F PF ∠=，则1211e e ⋅的最大值为______．23【分析】根据椭圆与双曲线的定义把12,PF PF 用12,a a 来表示，然后在12PF F △中用余弦定理求出12,e e 的关系，然后再用基本等式求解.【详解】设12,PF m PF n == 因为点P 在椭圆上，所以12m n a +=① 又因为点P 在双曲线上，所以22m n a -=② 则①+②得12m a a =+；①-②12n a a =-在12PF F △中由余弦定理得：2221222cos 3F F m n mn π=+- 即()()()()222121212121422c a a a a a a a a ⎛⎫=++--+-- ⎪⎝⎭即2221243c a a =+，即22122234a a c c=+即2212314e e =+由基本不等式得：222212121231312342e e e e =+≥⋅= 所以12112323e e ⋅≤221231e e =即123e e 时成立.23三、解答题17．已知命题 p : “方程22112x y mm+=-表示双曲线”，命题:q : 方程2211x y m m +=-表 示椭圆”(1)若 p q ∧为真命题，求m 的取值范围; (2)若 p q ∨为真命题，求m 的取值范围.【答案】(1)110122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，(2)()110022m ⎛⎫⎛⎫∈-∞⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，【分析】(1)先分别求出命题p 为真，q 为真的条件，然后根据p q ∧为真命题求出结果即可； (2) 先分别求出命题p 为真，q 为真的条件，然后根据p q ∨为真命题求出结果即可. 【详解】（1）若 p 为真，有()120m m -<，即()102m A ⎛⎫∈=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，，; 若q 为真，则有0101m m m m>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，即 110122m B ⎛⎫⎛⎫∈=⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，. 若 p q ∧为真，则有m A B ∈⋂，即112m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，. （2）若 p 为真，有()120m m -<，即()102m A ⎛⎫∈=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，，; 若q 为真，则有0101m m m m>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，即 110122m B ⎛⎫⎛⎫∈=⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，. 若 p q ∨为真，则有m A B ∈⋃，即()110022m ⎛⎫⎛⎫∈-∞⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，. 18．已知圆C 的圆心在第一象限且在直线30x y -=上，与x 轴相切，被直线0x y -=截得的弦长为(1)求圆C 的方程；(2)由直线40x y ++=上一点P 向圆C 引切线，A ，B 是切点，求四边形P ACB 面积的最小值． 【答案】(1)()()22139x y -+-=(2)【分析】（1）设出圆心坐标(),3,0a a a >，判断出圆的半径，利用直线0x y -=截圆所得弦长列方程来求得a ，从而求得圆C 的方程. （2）先求得PACB S PA r r =⋅=，通过求PC 的最小来求得PACB S 的最小值.【详解】（1）依题意，设圆C 的圆心坐标为(),3,0a a a >，半径为3a ，(),3a a 到直线0x y -=的距离为d ==，所以=1a ，所以圆C 的方程为()()22139x y -+-=.（2）由（1）得，圆C 的圆心为()1,3C ，半径=3r ，PACB S PA r r =⋅=，所以当PC 最小时，PACB S 最小.()1,3C 到直线40x y ++==所以PC 的最小值为所以四边形P ACB 3=19．已知平面内两个定点(2,0)A -，(2,0)B ，过动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N ，且2||MN AN BN =⋅.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)若直线:1l y kx =+与曲线E 有且仅有一个交点，求实数k 的取值范围. 【答案】(1)224x y -=(2)1k =±或k =【分析】（1）设点M 坐标为(,)x y ，然后求出MN 、AN 、BN 的坐标，然后根据2||MN AN BN =⋅可得答案；（2）由2214y kx x y =+⎧⎨-=⎩可得()221250k x kx ---=，然后分210k -=、210k -≠两种情况求解即可. 【详解】（1）设点M 坐标为(,)x y ，则(,0)N x ，(0,)MN y =-，(2,0)AN x =+，(2,0)BN x =-， 2||MN AN BN =⋅，224y x ∴=-，即：224x y -=，∴点M 的轨迹方程为224x y -=；（2）将直线方程与曲线方程联立2214y kx x y =+⎧⎨-=⎩，()221250k x kx ∴---=， ①当210k -=，即1k =±时，直线l 与曲线E 渐近线平行，满足②当()2221042010k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=⎪⎩时，直线l 与曲线E 相切，满足题意，解得k =综上，k 的取值范围为1k =±或k =20．已知椭圆22:132x y E +=的左右顶点分别为A ，B ，点P 为椭圆上异于A ，B 的任意一点．(1)求直线P A 与PB 的斜率之积；(2)任意过Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭且与x 轴不重合的直线交椭圆E 于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的圆恒过点A ．【答案】(1)23-；(2)证明见解析.【分析】（1）根据椭圆的方程，可得参数a 的值，则得到顶点坐标，设出点P ，利用椭圆方程和斜率公式，可得答案；（2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用圆的性质，结合向量数量积建立方程，可得答案.【详解】（1）由椭圆22:132x y E +=，可得223,2a b ==，则()A，)B ．设点(),P x y ，则有22132x y +=，即()222221333x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()22222323333PA PBx y k kx x -⋅====---．（2）证明：设()11,M x y ，()22,N x y ， 因为MN 与x轴不重合，所以设直线):MN l x ty t =∈R ，由222360x ty x y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，化简得()2214423025t y +-=； 由题意可知0∆>成立，且1221225231442523y y t y y t ⎧⎪⎪+=⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩；()()11221212AM AN x y x y ty ty y y ⎛⋅=+=++ ⎝⎭⎝⎭()()2121248125t y y y y =+++，将韦达定理代入上式，可得()2221444825510232325t t t -++⋅+=++，所以AM AN ⊥，即以MN 为直径的圆恒过点A ．21．设抛物线()220y px p =>的准线为l ，A 、B 为抛物线上两动点，AA l '⊥于A '，定点()0,1K 使KA AA '+有最小值2．(1)求抛物线的方程；(2)当KA KB λ=（R λ∈且1λ≠）时，是否存在一定点T 满足TA TB ⋅为定值？若存在，求出T 的坐标和该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)24y x =(2)存在定点19,48T ⎛⎫⎪⎝⎭，使得TA TB ⋅为定值8564．【分析】（1）根据抛物线的定义将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，然后三点共线时，距离和最短，即可得到关系式；（2）由已知可得，直线AB 经过K 点，设出直线方程和点的坐标，与抛物线联立，根据韦达定理，得到124y y t +=，124y y t =，表示出TA TB ⋅，整理完成得到()()22214222m t n T T m t m A B n =-+-⋅+++，可知当所有t 的形式前面的系数均为0时为定值，即可解出T 的坐标和该定值.【详解】（1）设抛物线焦点为F ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，根据抛物线的定义有AA AF '=，则2KA AA KA AF KF '+=+≥即()2200122p KF ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭2p =±（舍去负值），则抛物线的方程为24y x =．（2）∵KA KB λ=，∴K 、A 、B 三点共线． ∴设直线AB 方程为()1x t y =-， 设()11,A x y ，()11,B x y ，(),T m n ，联立()241y x x t y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2440y ty t -+=，()24440t t ∆=-⨯>，则0t <或1t >.124y y t +=，124y y t =，()111x t y =-，()221x t y =-， 且有()()()()1212TA TB x m x m y n y n ⋅=--+--， 而()()()()1212TA TB ty m t ty m t y n y n ⋅=-+-++--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()22212121t y y t m t n y y m t n =+-++++++⎡⎤⎣⎦()()()()()222144t t t m t n t m t n =+-+++++⎡⎤⎣⎦()()22214222m t n m t m n =-+-+++，因为，t 的任意性，要使该值为定值，需满足 140220m n m -=⎧⎨-+=⎩，可得1498m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时8564TA TB ⋅=. 22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3()00,M x y 是C 上的动点，以M 为圆心作一个半径2r =的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆C 交于点P 、Q ，若存在圆M 与两坐标轴都相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线OP ，OQ 的斜率都存在且分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值； (3)证明：22OP OQ +为定值？并求OP OQ ⋅的最大值． 【答案】(1)221205x y +=； (2)证明见解析； (3)证明见解析，最大值为252．【分析】（1）由存在圆M 与两坐标轴都相切确定圆心M 坐标，由离心率及点M 坐标即可列方程组求参数；（2）分别联立两切线与圆消元得方程，由判别式为0可得1k ，2k 是该方程的两个不相等的实数根，由韦达定理及点()00,M x y 在椭圆C 上可得12k k 为定值；（3）当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设()11,P x y ，()22,Q x y ，由（2）得22221212116y y x x =，结合()11,P x y ，()22,Q x y 在椭圆C 上，可得221220x x +=，22125y y +=，即有2225OP OQ +=，当直线OP ，OQ 落在坐标轴上时可直接求；最后由均值定理可得OP OQ ⋅的最大值.【详解】（1）由椭圆的离心率2231c b e a a ==-224a b =，又存在M 与两坐标轴都相切，则此时圆心()2,2M ±±， 代入222214x y b b +=，解得：25b =，则220a =，∴椭圆方程：221205x y +=．（2）因为直线1:OP y x k =，2:OQ y k x =与圆M 相切， 由直线1:OP y x k =与圆()()2200:4M x x y y -+-=联立，可得()()222210100012240k x x k y x x y +-+++-=，同理()()222222000012240k x x k y x x y +-+++-=，由判别式为0可得1k ，2k 是方程()22200004240x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，∴20122044y k k x -=-，因为点()00,M x y 在椭圆C 上，所以2254x y =-，所以1214k k =-．（3）当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设()11,P x y ，()22,Q x y ， 因为1214k k =-，所以22221212116y y x x =，因为()11,P x y ，()22,Q x y 在椭圆C 上，所以2222221212121554416x x y y x x ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得221220x x +=，所以22222212121255105444x x x x y y ++=-+-=-=，所以2225OP OQ +=．当直线落在坐标轴上时，显然有2225OP OQ +=， 综上，2225OP OQ +=，所以()2212522OP OQ OP OQ ⋅≤+=， 所以OP OQ ⋅的最大值为252． 【点睛】（2）中由判别式为0可得1k ，2k 是方程的两个不相等的实数根，以及点在椭圆上可得方程，即可进一步消元化简.。

延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学2024.11本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量且，那么（ ）A. B.6C.9D.183.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为（）A. B. C. D.4.设分别是空间中直线的方向向量，则直线所成角的大小为（ ）A. B. C. D.5.过和两点的直线的倾斜角是（）A. B.1 C. D.6.“”是“直线与平行”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在平行六面体中，，点在上，且，则（ ）1i +()()1,2,1,3,,a b x y =-= a ∥b b = ()1,2,3P xOy ()1,2,3-()1,2,3-()1,2,3--()1,2,3-()()120,1,1,1,0,1v v ==- 12,l l 12,l l π65π6π32π3()2,0-()0,21-3π4π41a =1:20l ax y +-=()2:2120l x a y +++=1111ABCD A B C D -1,,AA a AB b AD c === P 1AC 1:1:2A P PC =AP =A. B.C. D.8.已知正方体的棱长为为的中点，则到平面的距离为（ ）9.在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（ ）A. B.10.已知点，直线，若直线上至少存在三个，使得为直角三角形，直线倾斜角的取值范围是（ ）211333a b c ++ 122333a b c ++ 112333a b c -++ 122333a b c -- 1111ABCD A B C D -2,E 1BB 1B 11A D E 1111ABCD A B C D -E 11A C AE ABCD 1323()()0,1,0,1A B -:2l y kx =-l M MAB V lA. B.C. D.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数，则__________.12.已知点，点在线段上，且，则点坐标为__________.13.若平面，平面的法向量为，平面的法向量为，写出平面的一个法向量__________.14.已知点，直线与线段无交点，则直线在轴上的截距为__________；的取值范围是__________.15.如图：在直三棱柱中，，.记，给出下列四个结论：①存在，使得任意，都有；②对于任意点，都不存在点，使得平面平面；③的最小值为3；④当取最小时，过点作三棱柱的截面，则截面周长为.其中，所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题13分）已知的顶点坐标为.π5π0,,π66⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦πππ2π,,3223⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦πππ5π,,6226⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦5i 12iz =-z =()()1,1,4,1,4,2A B -C AB 2AC CB =C αβ⊥α()11,2,3n = β()2,,0n x y = β()()1,3,1,4A B -:2l y ax =-AB l y a 111ABC A B C -13,90AB BB BC ABC ∠==== 1,(01,01)CH xCB CP yCB x y ==<≤≤≤ (),f x y AH HP =+H P AH HP ⊥H P AHP ⊥11A B C (),f x y (),f x y ,,A H P 5ABC V ()()()1,52,14,3A B C ---､､（1）求过点且与直线平行的直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程；（3）求边上的高所在直线的方程.17.（本小题14分）如图，在三棱柱中，底面是的中点，且.（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；（3）若，求平面与平面所成角的余弦值.18.（本小题14分）设的内角对应的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）从下列三个条件中选择一组作为已知，使存在且唯一，并求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件使不存在或不唯一，第（2）问得0分.19.（本小题14分）已知函数，且的图像过点.（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数在上与直线有交点，求实数的取值范围；（3）设函数，记函数在上的最大值为，求的最小B AC BC AB 111ABC A B C -1CC ⊥,ABC D 11A C 12AC BC CC ===1BC ∥1AB D AC BC ⊥1CC 1AB D AC BC ⊥1AB D 11ACC A ABC V ,,A B C ,,a bc sin cos b A B =B ABC V ABC V 3,sin 2sin b C A ==5b a ==b C ==ABC V ()22sin cos 2cos f x a x x x =+()f x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3y =m ()()()g x f x t t =-∈R ()g x π11π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦()M t ()M t值及此时的值.20.（本小题15分）如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）线段上是否存在点，使得三棱锥的值；若不存在，说明理由.21.（本小题15分）给定正整数，设集合.对于集合中的任意元素和，记.设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质.（1）判断集合是否具有性质，集合是否具有性质；（直接写出答案，结论不需要证明）（2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；（3）若集合具有性质，证明：.t P ABCD -ABCD CD ⊥,PAD PAD V ,,,E F G O ,,,PC PD BC AD PO ⊥ABCD A EFG PC M M EFG -PM PC 2n ≥(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n k M t t t t k n αα==∈= ∣M ()12,,,n x x x β= ()12,,,n y y y γ= 1122n n x y x y x y βγ⋅=+++ A M ⊆(){}12,,,,1,2,,i i i i in A t t t i n αα=== ∣A ,i j αα,,1,,i j p i j i j αα=⎧⋅=⎨≠⎩A (),T n p ()()(){}1,1,0,1,0,1,0,1,1A =()3,2T ()()()(){}1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1B =()4,2T ()4,T p A A (),T n p ()121,2,,j j nj t t t p j n +++==延庆区2024-2025学年第一学期期中考试高二数学参考答案及评分标准2024.11一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.D2.A3.B4.C5.D6.C7.A8.B9.A 10.B二､填空题（共5小题，每小题5分，共25分）12. 13.（不唯一，共线即可）14.，（注：第一问3分，第二问2分）15.①③④（注：对一个2分，两个3分，有选错0分）三､解答题（共6小题，共85分）16.（共13分）解：（1）直线的斜率过点且与直线平行的直线的斜率为过点且与直线平行的直线方程为（2）设边的中点为，因为，所以点的坐标为，即，所以边的中线所在直线方程为()1,3,0()2,1,0-2-()6,5-AC 532145AC k -==---B AC 25-B AC ()21225905y x x y +=-+⇒++=BC D ()()2,14,3B C --､D 2413,22-+-+⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1D 51211AD k -==---BC ()121230y x x y -=--⇒+-=（3）因为，所以边的高线所在直线的斜率为，因此边的高线所在直线方程为.17.（共14分）（1）证明：连接，设，连接，由为三棱柱，得.又是的中点，所以是的中位线，.平面平面，平面；（2）解：底面，以为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为由，得；15621AB k --==-+AB 16-AB ()13462206y x x y -=--⇒+-=1A B 11A B AB E ⋂=DE 111ABC A B C -1A E BE =D 11A C DE 11ΔA BC 1BC ∴∥DE 1BC ⊄ 1,AB D DE ⊂1AB D 1BC ∴∥1AB D 1CC ⊥ ,ABC AC BC ⊥C 1,,CA CB CC ,,x y z ()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0C A B ()()()()1112,0,2,0,2,2,0,0,2,1,0,2A B C D ()()()110,0,2,2,2,2,1,0,2CC AB AD ==-=- 1AB D (),,n x y z =12220220n AB x y z n AD x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ()2,1,1n =设直线与平面所成角为.则.直线与平面.（3）设平面与平面所成角为为锐角，平面的法向量为，，平面与平面.18.（共14分）解：（1），由正弦定理得，在中，，，.（2）若选①，由余弦定理，得，解得若选③，1CC 1AB Dθ111sin cos ,n CC n CC n CC θ⋅=<>== ∴1CC 1AB D 1AB D 11ACC A ,αα11ACC A ()0,1,0m =cos cos ,n m n m n m α⋅=<>== 1AB D 11ACC A sin cos b A B =sin sin a b A B =sin sin cos B A A B =ABC V sin 0,tan A B ≠=()0,πB ∈ π3B ∴=sin 2sin ,2C A c a== 2222cos b a c ac B =+-222944cos a a a B =+-a c ==1sin 2S ac B ∴==b C == ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=由正弦定理可得：选择②，面积公式2分；余弦定理2分.不超过4分.19.（共14分）解：（1）由题意，，解得，，，的最小正周期；的单调减区间为（2）函数在区间上与直线有交点所以，函数在区间上的最大值为3，又因为所以，解得.实数的取值范围是.（3）当时，取最大值4c =1sin 2S bc A ==2πππ3sin 2cos 206364f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a =()22cos f x x x ∴=+cos21x x =++π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x 2ππ2T ==()f x π2ππ,π,63k k k z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3y =()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ20,266x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦ππ262m +≥π6m ≥∴m π,6∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭()()ππ11πππ2sin 21,,,2,2π661262g x f x t x t x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=++-∈+∈ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ262x +=()f x t -3t -当时，取最小值所以，当时，当时，所以，当时，20.（共15分）（1）证明：因为是正三角形，是的中点，所以.又因为平面平面，平面，所以面；解：（2）因为两两互相垂直.以点为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则，设平面的法向量为，由，得，点到平面的距离π3π262x +=()f x t -1t --1t ≤()3M t t=-1t >()1M t t =+1t =min ()2M t =PAD V O AD PO AD ⊥CD ⊥,PAD PO ⊂,PADCD PO ⊥,,AD CD D CD AD ⋂=⊂ABCD PO ⊥ABCD ,,OA OG OP O ,,OA OG OP,,x y z ()()()()()(0,0,0,2,0,0,2,4,0,2,4,0,2,0,0,0,0,O A B C D P --((()1,,,0,4,0,E F G --()((0,2,0,1,2,,1,4,EF EG FG =-==EFG (),,n x y z =2020n EF y n EG x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ )n = (3,AE =- A EFG AE n d n ⋅==（3）设所以点到面的距离为定值解得：或.21.（共15分）（1）集合具有性质，集合B 不具有性质.（2）当时，集合A 中的元素个数为4.由题设.假设集合A 具有性质，则①当时，，矛盾.②当时，，不具有性质，矛盾.③当时，.因为和至多一个在A 中；和至多一个在A 中；和至多一个在A 中，故集合A 中的元素个数小于4，矛盾.④当时，，不具有性质，矛盾.⑤当时，，矛盾.综上，不存在具有性质的集合.11,0,,122PM PC λλ⎡⎫⎛⎤=∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦()()2,4,,12,4M EM λλλλ-=-- M EFG 2PF n d nλ⋅== cos ,||||EF EG EF EG EF EG ⋅<>=== 1sin ,22EFG S EF EG EF EG =<>=V 11sin ,36M EFGEFG V S h EF EG EF EG h -==<>=V 14PM PC λ==34A ()3,2T ()4,2T 4n ={}0,1,2,3,4p ∈()4,T p 0p =(){}0,0,0,0A =1p =()()()(){}1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1A =()4,1T 2p =()()()()()(){}1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1A ⊆()1,1,0,0()0,0,1,1()1,0,1,0()0,1,0,1()1,0,0,1()0,1,1,03p =()()()(){}1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1A =()4,3T 4p =(){}1,1,1,1A =()4,T p A（3）记，则.若，则，矛盾.若，则，矛盾.故.假设存在使得，不妨设，即.当时，有或成立.所以中分量为1的个数至多有.当时，不妨设.因为，所以的各分量有个1，不妨设.由时，可知，中至多有1个1，即的前个分量中，至多含有个1.又，则的前个分量中，含有个1，矛盾.所以.因为，所以.所以.()121,2,,j j j nj c t t t j n =+++= 12n c c c np +++= 0p =(){}0,0,,0A = 1p =(){}1,0,0,,0A = 2p ≥j 1j c p +…1j =11c p +…1c n =0j c =()12,3,,j c j n == 12,,,n ααα ()1212n n n n np +-=-<…11p c n +<…11211,111,0p n t t t t +===== n n p αα⋅=n αp 23,11n n n p t t t +==== i j ≠1i j αα⋅={}121,2,3,,1,,,,q q p q q p t t t +∀∈+ 121,,,p ααα+ 1p +121p p p ++=+()11,2,,1i n i p αα⋅==+ 121,,,p ααα+ 1p +()()1122p p p +++=+()1,2,,j c p j n = …12n c c c np +++= ()1,2,,j c p j n == ()121,2,,j j nj t t t p j n +++==。