6.1.1比较两式的大小

学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________人教版初中数学七年级下册6.1.2 用计算器求算术平方根及其大小比较 导学案一、学习目标：1.会用计算器求算术平方根；2.掌握算术平方根的估算及大小比较． 重点：会比较两个数的算术平方根的大小.难点：会估算一个数的算术平方根的大致范围，掌握估算的方法，形成估算的意识.二、学习过程： 课前自测求下列各数的算术平方根，并用“＜”分别把被开方数和算术平方根连接起来. 1，4，9，16，25.【归纳】被开方数_______，对应的算术平方根也______. 若a ＞b ＞0，则_______________. 自主学习探究：能否用两个面积为1dm 2的小正方形拼成一个面积为2dm 2的大正方形？你知道这个大正方形的边长是多少吗？小正方形的对角线的长是多少呢？2有多大呢？学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【归纳】事实上，2=1.414213562373…，它是一个_______________.(无限不循环小数是指小数位数_______，且小数部分__________的小数.)π也是一个无限不循小数.实际上，许多正有理数的算术平方根(例如3，5，7等)都是无限不循小数.典例解析例1.用计算器求下列各式的值:(1) 3136 (2) 2 (精确到0.001)【针对练习】用计算器求下列各式的值:(1) √1369 (2) √101.2036 (3) √5 (精确到0.01)合作探究 探究：(1)利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？你能说出其中的道理吗？规律：_____________________________________________________________ (2) 用计算器计算3≈______(精确到0.001)，并利用你在(1)中发现的规律说03.0≈______，300≈______，30000≈______的近似值.2学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________你能根据3的值说出30是多少吗？典例解析例2.已知面积为37的正方形的边长为x ，则x 的取值范围是（ ） A ．4<x<5 B ．5<x<6C ．6<x<7D ．7<x<8【针对练习】估计√17−1的值在( ) A ．1到2之间 B ．2到3之间C ．3到4之间D ．4到5之间 例3.通过估算比较下列各组数的大小： (1) √5 与 1.9； (2) 216 与 1.5.【针对练习】比较下列各组数的大小：(1)√8 与 √10； (2)√65 与 8； (3)√5−12 与 0.5； (4)√5−12 与 1.例4.小丽想用一块面积为400cm 2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm 2的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2.她不知能否裁得出来，正在发愁.小明见了说“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片”，你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________达标检测1.估计√11的值在( )A.1与2之间B.2与3之间C.3与4之间D.4与5之间 2.下列式子中，正确的是( )A.10<√127<11B.11<√127 <12C.12<√127 <13D.13<√127 <14 3.下列各数中，最大的数是( )A.-1B.0C.1D.√2 4.估算√31-2的值( )A.1与2之间B.2与3之间C.3与4之间D.4与5之间5.已知√6≈2.449，不再利用其他工具，能确定出近似值的是( )A.√0.6B.√60C.√600D. √6000 6.用计算器计算下列各式的值(精确到0.001). (1)√23≈______; (2)√26.5≈______; (3)√106≈______; (4)√0.56≈_______. 7.(1)已知√53≈7.2801，则√5300≈_______. (2)已知√2015≈44.889，则√20.15≈________. (3)已知√7≈2.65,√70≈8.37，则√0.007≈_________. 8.已知m 、n 是连续整数，m<√21<n,则m=____，n=____. 9.√20的整数部分是4，√20的小数部分是20-4，仿此填空: (1)√40的整数部分是____， 小数部分是_______; (2)√70的整数部分是____，小数部分是_________.学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________10.设2+√6的整数部分和小数部分分别是x 、y ，试求x 、y 的值与x-1的算术平方根．11.勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他把两张破损了一部分的桌面重新拼成一张完整的正方形桌面，其面积为169dm 2，已知他用的两张小桌面也是锯成了正方形的桌面，其中一张是边长为5dm 的小板子，试问另一张较大的桌面的边长应为多少才能拼出面积为169dm 2的桌面？12.（1）填写下表，观察被开方数a 的小数点与算术平方根√a 的小数点的移动规律：（2）根据你发现的规律填空：①已知√396.01=19.9，则√3.9601=_____________． ②已知√m =0.345，√n =34.5，则n 是m 的______倍．学习笔记记录区___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________。

比较代数式的大小问题常以选择题、填空题的形式出现.此类问题的难度一般不大，侧重于考查同学们的观察能力和运算能力.在解题时，需灵活运用简单基本函数的图象、性质来进行分析.本文主要探讨以下两种比较代数式大小的技巧.一、通过放缩进行比较有时两个要比较的代数式之间没有任何关联，此时可以通过放缩代数式，来确定要比较的两个代数式的大小或者范围，进而比较出两个代数式的大小．利用放缩法比较代数式的大小，可以从基本不等式、泰勒公式、柯西不等式、绝对值不等式、曲线的切线、重要不等式等入手，对要比较的代数式进行合理的放缩.例1.（2022年高考全国甲卷文科，第12题）已知9m=10，a=10m-11，b=8m-9，则（）.A.a＞0＞bB.a＞b＞0C.b＞a＞0D.b＞0＞a解法1：由9m=10，得m=log910=lg10lg9，则m-lg11=1lg9-lg11=1-lg9lg11lg9lg10＞1-æèçöø÷lg9+lg1122lg9lg10＞1-æèçöø÷lg10022lg9lg10=0，所以a=10m-11=10m-10lg11＞0．则m-log89=lg10lg9-lg9lg8=lg10lg8-(lg9)2lg9lg8<æèçöø÷lg10+lg822-(lg9)2lg9lg8<æèçöø÷lg8122-(lg9)2lg9lg8=0，所以b=8m-9=8m-8log89＜0．所以a＞0＞b，故选A．解法2：由9m=10，得m=log910=lg10lg9＞1．由糖水不等式，得lg10lg9＞lg10+lg109lg9+lg109=lg1009lg10＞lg999lg10=lg11lg10，所以m=log109＞lg11，从而可得a=10m-11＞10lg11-11=0．同理可得lg9lg8＞lg9+lg98lg8+lg98=lg818lg9＞lg808lg9=lg10lg9，所以log98＞log109=m，则b=8m-9＜8log89-9=0，故a＞0＞b．解法1是利用指数与对数运算性质以及基本不等式进行放缩；解法2是利用“糖水不等式”进行放缩，从而确定了a、b的临界值，比较出三个代数式的大小．例2.（2022年全国新高考1卷，第7题）设a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，则（）.A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.c＜a＜bD.a＜c＜b解法1：由泰勒展开式，得e x=1+x+x22!+x33!+⋯+x nn!+⋯，则ln(1+x)=x-x22+x33-x44+⋯+(-1)n-1x n n+⋯，所以xe x=x+x2+x32!+x43!+⋯+x n+1n!+⋯,-ln(1-x)=x+x22+x33+x44+⋯+x n n+⋯．令x=0.1，得a=0.1+0.12+0.132!+⋯，b=0.1+0.12+0.13+⋯，c=-ln0.9=0.1+0.122+0.133+⋯，故c＜a＜b．故选C．解法2：由重要不等式e x≥x+1（当x=0时取等号），可知e-110＞1-110=910，即e110＜109，所以110e110＜19，所以a＜b．令x=0.1，由e x≥x+1可得e0.1＞1.1，所以0.1e0.1＞0.11；由ln x≤12æèöøx-1x（x≥1），得ln109＜12æèöø109-910=19180=0.105·＜0.11，所以c＜a.综上可知，c＜a＜b．根据三个代数式的结构特征很容易联想到泰勒公式，解法1是从泰勒公式入手，通过赋值、放缩，比较出三个代数式的大小.解法2是从重要不等式e x≥x+1入手，对其进行合理的赋值、放缩，从而比较出三个代数式的大小．例3.（2022年全国甲卷理科，第12题）已知a=3132，b=cos14，c=4sin14，则（）.B.b＞a＞c解题宝典36解题宝典C.a ＞b ＞cD.a ＞c ＞b解：由泰勒展开式，得sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯，cos x =1-x 22!+x 44!-x 66!+⋯，所以当x ＞0时，cos x ＞1-x 22，sin x x =1-x 23!+x 45!-⋯＞cos x ，令x =14，得cos 14＞1-12×42=3132，则4sin 14＞cos 14，故c ＞b ＞a ．解答本题，需联想到泰勒展开式的变形式sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯，cos x =1-x 22!+x 44!-x 66!+⋯，将两个式子进行放缩，以确定cos x 、sin xx的取值范围.然后将x 用14替换，通过赋值，判断出三个代数式之间的大小关系.二、利用函数的性质进行比较在比较代数式的大小时，我们常需要用到简单基本函数的单调性.一般地，若自变量x 1＞x 2，且函数单调递增，则f ()x 1＞f ()x 2；若自变量x 1＞x 2，且函数单调递减，则f ()x 1<f ()x 2.在解题时，需仔细观察要比较的代数式的结构特征，合理构建函数模型，以便利用函数的单调性进行比较．以例1为例.解：由9m =10，得m =log 910=lg 10lg 9＞1．设函数f (x )=x m -(x +1)(x ＞1)，则f ′(x )=mx m -1-1.由{x ＞1，m ＞1，得x m -1＞x 0=1，所以mx m -1＞1，即f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，+∞)上单调递增，所以f (10)＞f (9)＞f (8)，即10m -11＞9m -10＞8m -9，故a ＞0＞b ．我们仔细观察9m =10、a =10m -11、b =8m -9三式，可发现其结构形如f (x )=x m -(x +1)(x ＞1)，于是构造出函数f (x )=x m -(x +1)(x ＞1)，并对其求导，判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性比较出三式的大小.以例2为例解：因为a =0.1e 0.1，b =0.11-0.1，c =-ln(1-0.1)，则a b =0.1e 0.10.11-0.1=(1-0.1)e 0.1，设f (x )=(1-x )e x ，x ∈[0,0.1]，则f ′(x )=-xe x≤0，所以f (x )在[0,0.1]上单调递减，所以f (0.1)＜f (0)=1，即(1-0.1)e 0.1＜1，所以a ＜b .设g (x )=xe x+ln(1-x )，x ∈éëöø0，19，则g ′(x )=(x +1)∙e x (x 2-1)+1x -1．设h (x )=e x (x 2-1)+1，h ′(x )=e x (x 2+2x -1)＜0，则函数h (x )在区间éëöø0，19上单调递减，因为h (0)=0，所以h (x )＜0，因为x +1＞0，x -1＜0，所以g ′(x )＞0，则函数g (x )在区间éëöø0，19上单调递增．因为g (0)=0，所以g (x )=xe x+ln(1-x )＞0，所以xe x＞-ln(1-x )．当x =0.1时，0.1e 0.1＞-ln 0.9，即a ＞c ．所以c ＜a ＜b ．本题中的a 、b 、c 三式分别为指数、分式、对数式，很难比较它们的大小，于是将ab、a -c .然后构造出函数f (x )=(1-x )e x 、g (x )=xe x +ln(1-x )，根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，进而根据函数的单调性比较出三个代数式的大小.以例3为例解：设f (x )=x -sin x ,x ∈éëöø0,π2，则f ′(x )=1-cos x ≥0，所以f (x )在éëöø0,π2上单调递增，所以f (x )≥f (0)=0，即x ≥sin x ．设g (x )=cos x +12x 2-1，x ∈éëöø0,π2，则g ′(x )=-sin x +x ≥0，所以g (x )在éëöø0,π2上单调递增，所以g æèöø14=cos 14+12×æèöø142-1＞g (0)=0，即cos 14＞3132，即b ＞a ．设h (x )=sin x -x cos x ，0≤x ＜π2，则h ′(x )=x sin x ≥0，所以h (x )在éëöø0,π2上单调递增，所以h æèöø14＞h (0)，即sin 14＞14cos 14，得c ＞b ．故c ＞b ＞a ．故选A ．要比较的三个代数式分别为分数、正弦函数式、余弦函数式，需先分别将a 与b ，c 与b 作差；再构造函数f (x )=x -sin x 、h (x )=sin x -x cos x ；然后讨论其单调性，根据其单调性判断代数式之间的大小关系.可见，比较代数式的大小，可以从不等式的结构特征、函数的性质入手，灵活运用不等式的性质进行放缩，还可以构造合适的函数，利用函数的单调性进行比较．但需注意，在解题时，还需灵活运用各种运算技巧、性质，以及数形结合思想来辅助解题.（作者单位：甘肃省天水市第三中学）37。

比较两个代数式大小不等式这一章节有一类题型，告诉两个字母的范围，比较由这些字母组成的代数式的大小关系.简单的代数式的比较，大多数同学都会，可是复杂的代数式怎么比较呢？很多同学不知道怎么下手，复杂的代数式的比较，我们这儿给大家总结了三种方法：作差法，作商法，放缩法.相信学了这几种方法后，同学们遇到这类问题便可以如同瓮中捉鳖了.基本方法比较两个不等式的大小我们总结了三种方法.作差法：如a-b>0,那么a>b;如果a-b<0,那么a<b.这是最基本的方法，其它的一些比较方法均是由此推导出来的.作商法：如果a>0,b>0并且b a >1,那么a>b; 如果a<0,b<0并且ba>1,那么a<b;这种比较方法需有一定的前提条件，就是必须知道各代数式与0的大小关系.放缩法：如果a>b,b>c,那么a>b>c.正如老大比老二大，老二比老三大，肯定可以得到：老大比老三大。

下面结合体验题来体验一下这三种方法，在中学所学的范围内，大部分代数式的比较大小我们都可以用这三种方法来比较大小.体验题1体验题1 如果a>b,试比较5-a,5-b 的大小关系。

体验思路因为我们无法判断5-a,5-b 与0的大小关系,故在此我们无法用作商法，我们只有选择作差法。

体验过程 ∵5-a-(5-b)=b-a<0∴5-a<5-b简单的代数式可以，我们再看一个复杂一些的。

看看我们的方法行不行？体验题2体验题2 如1>a>b>0 ,试比较ab,ab 2,b 2a 的大小关系.体验思路本题很明显，ab>0,ab 2>0,ab 2>0.因此，我们既可以选择作差法，也可以选择作商法.体验过程 方法一，作差法.∵ab-ab 2=ab(1-b)>0, ∴ ab>a 2b∵ab-a 2b=ab(1-a)>0, ∴ ab>a 2b ∵ab 2-a 2b=ab(b-a)<0, ∴ab 2<a 2b∴ab> a 2b>ab2方法二，作商法.∵1>a>b>0, ∴ab>0,ab 2>0,b 2a>0.∵21ab ab b =>1, ∴ab>ab 2.∵21ab a b a=>1, ∴ab>a 2b.∵22ab b a b a=<1, ∴ab 2<a 2b.∴ab> a 2b>ab2体验题3体验题3如果a<b<0,试比较a 1-,b1-的大小关系？体验思路∵a<b<0.∴a 1->0,b1->0.如果我们作差，也可以比较上述代数式的大小关系，但相对麻烦一些。

6.1.2 用计算器求算术平方根及其大小比较教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级下册（以下统称“教材”）第六章“实数”6.1.2 用计算器求算术平方根及其大小比较，内容包括：用计算器求算术平方根、算术平方根的估算及大小比较.2.内容解析本节课的内容是义务教育课程标准（实验教科书人民教育出版社）七年级数学下册第六章第一节第课时《用计算器求算术平方根及其大小比较》.本节课主要是前面学习的算术平方根的延续.夹值法应用为后面学习实数做知识准备，为解得估算作铺垫，提供知识积累.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握算术平方根的估算及大小比较.二、目标和目标解析1.目标(1)会用计算器求算术平方根.(2)掌握算术平方根的估算及大小比较．2.目标解析会用计算器求一个数的算术平方根；理解被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律.能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值.通过求一个数的算术平方根的近似值，初步了解开方开不尽的数的无限不循环性，理解用近似值表示无限不循环小数的实际意义.三、教学问题诊断分析学生对算术平方根已经有了初步的认识，但运用不够灵活；学生也经历过一些探索，但还不够系统、全面，教师在具体课堂中应把握好这些特点.基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：会估算一个数的算术平方根的大致范围，掌握估算的方法，形成估算的意识.四、教学过程设计自学导航求下列各数的算术平方根，并用“＜”分别把被开方数和算术平方根连接起来.1，4，9，16，25.解：1=1，4=2，9=3，16=4，25=5.比较结果：1＜4＜9＜16＜25，1＜4＜9＜16＜25.被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 若a＞b＞0，则a＞b＞0.合作探究探究：能否用两个面积为1dm2的小正方形拼成一个面积为2dm2的大正方形？你知道这个大正方形的边长是多少吗？设大正方形的边长为x，则x2=2，由算术平方根的意义可知x=2，所以大正方形的边长是2dm.小正方形的对角线的长是多少呢？2有多大呢？因为 12=1，22=4，所以 1＜2＜2因为 1.42=1.96，1.52=2.25，所以 1.4＜2＜1.5因为 1.412=1.9881，1.422=2.0164，所以 1.41＜2＜1.42因为 1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，所以 1.414＜2＜1.415……事实上，2=1.414213562373…，它是一个无限不循环小数.(无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数.)π也是一个无限不循小数.实际上，许多正有理数的算术平方根(例如3，5，7等)都是无限不循小数.考点解析考点1：用计算器求一个正数的算术平方根大多数计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值).例1.用计算器求下列各式的值：(1) 3136 (2) 2 (精确到0.001)解：(1)依次按键3136=，显示：56，∴3136=56(2)依次按键2=，显示：1.4142135623731，∴2≈1.414注：计算器上显示的1.4142135623731是2的近似值.【迁移应用】1.用计算器求下列各式的值：(1)√260.8≈________(精确到0.01)； (2)√6≈________(精确到0.001).2.依次按键225，显示的结果是( )A.±15B.15C.-15D.253.用计算器求下列各式的值：(1)√4225； (2)-√4.3265(精确到0.01).解：(1) √4226=65； (2) -√2≈-2.08.考点2：估算算术平方根例2.√24的值在( )A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间 解析：因为16<24<25，所以√16<√24<√25，即4<√24<5.故√24的值在4和5之间.【迁移应用】1.估计√54-4的值在( )A.6到7之间B.5到6之间C.4到5之间D.3到4之间2.已知a ，b 是两个连续整数，且a<√20<b ，则a+b=_____.3.与√3最接近的整数是_____.4.满足√2<x<√10的整数x 有_____个.考点3：估算算术平方根例3.比较下列各组数的大小：(1)√82与9； (2)√3−12与12； (3)-√5+1与-√22. 解：(1)因为92=81，所以√81=9.因为82>81，所以√82>√81，即√82>9.(2)因为1<√3<2，所以0<√3-1<1，所以√3−12＜12. (3)-√5+1≈-2.236+1=-1.236，-√22≈-1.414÷2=-0.707.因为-1.236<-0.707，所以－√5+1<-√22.【迁移应用】1.比较大小：√3+15____35.2.比较下列各组数的大小：(1)√12与√14； (2) √24−12与32. 解：(1)因为12<14，所以√12<√14.(2)因为4<√24<5，所以3<√24-1<4，所以√24−12＞32. 考点4：估算算术平方根例4.用两个面积为200cm 2的小正方形拼成一个大正方形.(1)大正方形的边长是_______；(2)若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长、宽之比为5:4，且面积为360cm 2?解：(2)设长方形纸片的长为5xcm ，则宽为4xcm.根据题意，得5x·4x=360，所以x=√18.所以长方形纸片的长为5√18cm.因为18>16，所以√18>√16，即5√18>4.由上可知5√18>20，所以沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，不能使裁出的长方形纸片的长、宽之比为5:4，且面积为360cm 2【迁移应用】1.小丽想用一张面积为36cm 2的正方形纸片(如图所示)，沿着边的方向裁出一张面积为20cm 2的长方形纸片，且它的长是宽的2倍.你认为小丽能用这张纸片裁出符合要求的纸片吗？为什么？解：不能.理由如下：因为正方形的面积为36cm2，所以边长为√36=6(cm).设长方形的宽为xcm，则长为2xcm.根据题意，得2x·x=2×2=20，即x2=10，所以x=√10，所以长方形的长为2√10cm.因为10>9，所以√10>3.由上可知2√10>6，即长方形的长大于正方形的边长，所以不能裁出符合要求的长方形纸片.2.国际比赛的足球场的长在100m到110m之间，宽在64m到75m之间.如图，为了迎接某次奥运会，某地建设了一个长方形的足球场，其长是宽的1.5倍，面积是7560m2，请你判断这个足球场能否用作国际比赛，并说明理由.解：这个足球场能用作国际比赛.理由如下：设足球场的宽为xm，则足球场的长为1.5xm.由题意，得1.5x2= 7560，所以x2=5040.所以x=√5040.因为702=4900，712=5041，所以70<√5040<71，所以105<1.5×√5040<106.5.所以符合要求.所以这个足球场能用作国际比赛.合作探究探究：(1)利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？你能说出其中的道理吗？规律：_________________________________________________________________________ (2) 用计算器计算3≈______(精确到0.001)，并利用你在(1)中发现的规律说03.0≈______，300≈______，30000≈______的近似值.你能根据3的值说出30是多少吗？考点解析考点5：算术平方根的规律探究例5.【从特殊到一般的思想】(1)利用计算器计算，将结果填入表中，你发现了什么规律？(2)用计算器计算√5≈_______(精确到0.001)，并用上述规律直接写出：√0.05≈______；√500≈ ______；√50000≈ ______.发现规律：被开方数的小数点向左(或向右)移动2位，它的算术平方根的小数点相应地向左(或向右)移动1位.【迁移应用】1.已知√15≈3.873，则√150000≈_______；若√a≈0.3873，则a≈_____.2.(1)利用计算器计算：①√11−2=_____；②√1111−22=_____；③√111111−222=_______.。