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第2章随机过程习题及答案第二章随机过程分析1.1学习指导1.1.1要点随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。
1.随机过程的概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。
可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。
2.随机过程的分布函数和概率密度函数如果ξ(t)是一个随机过程，则其在时刻t1取值ξ(t1)是一个随机变量。
ξ(t1)小于或等于某一数值某1的概率为P[ξ(t1)≤某1]，随机过程ξ(t)的一维分布函数为F1(某1,t1)=P[ξ(t1)≤某1](2-1)如果F1(某1,t1)的偏导数存在，则ξ(t)的一维概率密度函数为F1(某1,t1)f1(某1,t1)(2-2)某1对于任意时刻t1和t2，把ξ(t1)≤某1和ξ(t2)≤某2同时成立的概率F2(某1,某2;t1,t2)P(t1)某1,(t2)某2(2-3)称为随机过程(t)的二维分布函数。
如果2F2(某1,某2;t1,t2)f2(某1,某2;t1,t2)(2-4)某1某2存在，则称f2(某1,某2;t1,t2)为随机过程(t)的二维概率密度函数。
对于任意时刻t1，t2，…，tn，把Fn(某1，某2，，某n；t1，t2，，tn)P(t1)某1,(t2)某2,称为随机过程(t)的n维分布函数。
如果,(tn)某n(2-5)nFn(某1，某2，，某n；t1，t2，，tn)fn(某1，某2，，某n；t1，t2，，tn)(2-6)某1某2某n存在，则称fn(某1,某2,…,某n;t1,t2,…,tn)为随机过程(t)的n维概率密度函数。
3.随机过程的数字特征随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。
随机过程(t)在任意给定时刻t的取值(t)是一个随机变量，其均值为E(t)某f1(某,t)d某(2-7)其中，f1(某,t)为(t)的概率密度函数。
第二章 随机过程的一般概念2.1 随机过程的基本概念和例子定义2.1.1：设(P ,,F )Ω为概率空间，T 是某参数集，若对每一个，是该概率空间上的随机变量，则称为随机过程(Stochastic Process)。
T t ∈),(w t X ),w t (X 随机过程就是定义在同一概率空间上的一族随机变量。
随机过程可以看成定义在),(w t X Ω×T 上的二元函数，固定Ω∈0w ，即对于一个特定的随机试验，称为样本路径(Sample Path)，或实现(realization)，这是通常所观测到的过程；另一方面，固定，是一个随机变量，按某个概率分布随机取值。
),(0w t X T t ∈0),(0w t X抽象一点：令，即∏∈=Tt T R R T R 中的元素为),(T t x X t t ∈=,为其Borel域(插乘)(T R B σ域)，随机过程实质上是()F ,Ω到())(,T T R R B 上的一个可测映射，在())(,T TR RB 上诱导出一个概率测度：T P ()B X P B P R B T T T ∈=∈∀)(),(B 。
一般代表的是时间。
根据参数集T 的性质，随机过程可以分为两大类： t 1)为可数集，如T {}L ,2,1,0=T 或{}L L ,1,0,1,−=T ，称为离散参数随机过程，也称为随机序列；2)为不可数集，如T {}0≥=t t T 或{}∞<<∞−=t t T ，称为连续参数随机过程。
随机过程的取值称为过程所处的状态(State)，所有状态的全体称为状态空间(State Space)。
通常以表示随机过程的状态空间。
根据状态空间的特征，一般把随机过程分为两大类：T t t X ∈),(S 1) 离散状态，即取一些离散的值； )(t X 2)连续状态，即的取值范围是连续的。
)(t X离散参数离散状态随机过程： Markov 链 连续参数离散状态随机过程： Poisson 过程 离散参数连续状态随机过程： *Markov 序列连续参数连续状态随机过程： Gauss 过程，Brown 运动例2.1.1：一醉汉在路上行走，以的概率向前迈一步，以q 的概率向后迈一步，以p r 的概率在原地不动，1=++r q p ，选定某个初始时刻，若以记它在时刻的位置，则就是直线上的随机游动(Random Walk)。
第２章预备知识本章教学基本要求：掌握：1. 随机过程的描述方法2. 平稳过程（广义）的定义3. 随机过程通过线性系统4. 信道模型5. 随参信道传输媒质的特点6. 信道容量计算理解：1. 信道的分类本章核心内容：一、平稳随机过程的定义及其统计特性二、高斯白噪声三、随参信道的特性及对信号传输的影响四、随机信号及几种噪声五、信道容量及香农公式重点：平稳随机过程的定义及数字特征；平稳随机过程的功率谱密度；高斯过程的概率分布窄带随机过程的数字特征；高斯白噪声难点：平稳随机过程的功率谱密度；窄带随机过程的数字特征；学时安排：6学时2.1确定信号的分析一、信号的分类1、信号分类2、信号的分析方法二、离散谱和连续谱1、周期信号的傅立叶级数2、非周期的傅立叶变换三、能量谱和功率谱1、能量谱2、功率谱密度四、自相关函数1、相关2、定义3、特征2.2随机信号的分析•确定性过程。
–其变化过程具有确定的形式，或者说具有必然的变化规律。
–用数学语言来说，其变化过程可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。
•随机过程。
–没有确定的变化形式，也就是说，每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律。
–用数学语言来说，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。
–随机信号和噪声统称为随机过程。
2.2.1随机过程和它的统计特性1、随机过程● 随机过程定义：设Sk (k =1, 2, …)是随机试验。
每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作xi (t )，所有可能出现的结果的总体{x 1(t ), x 2(t )， …, xn (t )， …}就构成一随机过程，记作X (t )。
● 无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。
2、随机过程的统计特性1、数学期望:表示随机过程的n 个样本函数曲线的摆动中心。
即均值 ⎰∞∞-==11);()]([)(dx t x xp t X E t a2、方差:表示随机过程在时刻t 对于均值a(t)的偏离程度。
第二章平稳随机过程的谱分析平稳随机过程第二章平稳随机过程的谱分析本章要解决的问题：●随机信号是否也可以应用频域分析方法?●傅里叶变换能否应用于随机信号？● 相关函数与功率谱的关系● 功率谱的应用● 采样定理● 白噪声的定义2.1 随机过程的谱分析2.1.1 预备知识1、付氏变换:对于一个确定性时间脉冲x(t)，设x(t)是时间t 的非周期实函数，且x(t) 满足狄利赫利条件（有限个极值，有限个断点，断点为有限值）且绝对可积，能量有限，则x(t)傅里叶变换存在。
即：满足上述三个条件的x(t)的傅里叶变换为：其反变换为：2、帕赛瓦等式由上面式子可以重新得到：——称为非周期性三十天拉热函数的帕塞瓦(Parseval)等式。
物理意义：若x(t)表示的是电压(或电流) ，则上式左边代表x(t)在时间(-∞, ∞) 区间的总能量（单位阻抗）。
因此，等式右边的被积函数X X (ω)2表示了信号x(t)能量按频率分布的情况，故称X X (ω)2为能量谱密度。
2.1.2、随机过程的功率谱密度变换一个信号的惟教变换是否存在，可能需要满足三个条件，那么随机信号是否满足这三个条件从而存在付氏呢？随机信号持续时间无限长，因此，对于非0的样本函数，它的能量一般也是无限的，因此，其付氏变换不牵涉到。
但是注意到它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然洪可以利用博里叶变换这一工具。
为了将傅里叶变换方法常量应用于随机过程，必须对过程的待测函数做某些限制，最简单的一种方法是应用截取函数。
截取函数x T (t):图2.1 x (t)及其截取函数当x(t)为有限值时，裁取函数x T (t)满足绝对可积条件。
因此，x T (t)的傅里叶变换存在，有很明显，式的变化）x T (t)也应满足帕塞瓦等式，即：（注意积分区间和表达用2T 除上式等号用的两端，可以得到等号于两边取集合平均，可以得到:令T→∞，再取极限，便可得到随机过程的平均功率。
第⼆章随机过程第 2 章随机过程2.1 引⾔确定性信号是时间的确定函数，随机信号是时间的不确定函数。
?通信中⼲扰是随机信号，通信中的有⽤信号也是随机信号。
描述随机信号的数学⼯具是随机过程，基本的思想是把概率论中的随机变量的概念推⼴到时间函数。
2.2 随机过程的统计特性⼀.随机过程的数学定义：设随机试验E 的可能结果为)(t g ，试验的样本空间S 为{x 1(t), x 2(t)， …, x n (t),…}， x i (t)是第i 次试验的样本函数或实现，每次试验得到⼀个样本函数，所有可能出现的结果的总体就构成⼀随机过程，记作)(t g 。
随机过程举例：⼆.随机过程基本特征其⼀，它是⼀个时间函数；其⼆，在固定的某⼀观察时刻1t ，)(1t g 是随机变量。
随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
●随机过程)(t g 在任⼀时刻都是随机变量；●随机过程)(t g 是⼤量样本函数的集合。
三.随机过程的统计描述设)(t g 表⽰随机过程，在任意给定的时刻T t ∈1， )(1t g 是⼀个⼀维随机变量。
1.⼀维分布函数：随机变量)(t g ⼩于或等于某⼀数值x 的概率，即})({);(1x t g P t x P ≤= 2.2.12.⼀维概率密度函数:⼀维概率分布函数对x 的导数.xt x P t x p ??=);(),(11 2.2.2 3.对于任意两个时间1t 和2t ,随机过程的对应的抽样值)(1t g )(2t g 为两个随机变量.他们的联合分布定义为)(t g 的⼆维分布})(;)({),;,(221121212x t g x t g P t t x x P ≤≤= 2.2.34.⼆维分布密度定义为212121221212),;,(),;,(x x t t x x P t t x x p = 2.2.4 四.随机过程的⼀维数字特征设随机过程)(t g 的⼀维概率密度函数为),(1t x p .1.数学期望(Expectation)dx t x xp t g E t g );()]([)(1?∞∞-==µ 2.2.5 2.⽅差(Variance)dx t x p t x t t g E t g Var t g g g ),()]([]))()([()]([)(1222µµσ-=-==?∞∞- 2.2.6五.随机过程的⼆维数字特征1.⾃协⽅差函数(Covariance)21212122211221121),;,())())((())]()())(()([(),(dx dx t t x x p t x t x t t g t t g E t t C g g g g g µµµµ--=--=??∞∞-∞∞- 2.2.72. ⾃相关函数(Autocorrelation)2121212212121),;,()]()([),(dx dx t t x x p x x t g t g E t t R g ∞∞-∞∞-== 2.2.83.⾃相关函数和⾃协⽅差函数的关系)]([)]([),(),(212121t g E t g E t t R t t C g g ?-= 2.2.94.设两个随机过程分别为)(),(t h t g ,在时刻1t 和2t ,对)(),(t h t g 抽样,两个随机过程的互相关函数(Cross-correlation)定义为)]()([),(2121t h t g E t t R gh = 2.2.105.两个随机过程的互协⽅差函数(Cross-covariance)定义为)]()())(()([(),(221121t t h t t g E t t C h g gh µµ--= 2.2.112.3 平稳随机过程⼀.狭义平稳的随机过程(严平稳的随机过程)对于任意的正整数n 和实数τ,若随机过程)(t g 的n 维概率密度函数满⾜ ),,;,,(),,;,,,(21212121n n n n n n t t t x x x p t t t x x x p=+???++???τττ 2.3.1 则称)(t g 为狭义平稳的随机过程.统计特性不随时间的推移⽽变化的随机过程称为平稳随机过程。
2随机过程的基本概念§2.1 基本概念随机过程是指一族随机变量.对随机过程的统计分析称为随机过程论,它是随机数学中的一个重要分支，产生于本世纪的初期.其研究对象是随机现象，而它特别研究的是随“时间”变化的“动态”的随机现象.一随机过程的定义1 定义设E为随机试验，S为其样本空间，如果（1）对于每个参数t∈T, X(e,t)为建立在S上的随机变量，（2）对每一个e∈S, X(e,t)为t的函数，那么称随机变量族{X(e,t), t∈T, e∈S}为一个随机过程，简记为{X(e,t), t∈T}或X(t)。
()()()()(){}{}[]()为随机序列。
时，通常称，取可列集合当可以为无穷。
通常有三种形式：参数一般表示时间或空间，或有时也简写为一个轨道。
随机过程的一个实现或过程的样本函数，或称随机的一般函数，通常称为为对于：上的二元单值函数。
为即若用映射来表示注意：t X T T T b a b a T T T T t X t X t e X T t e X S e S T t e X RS T t e X t21321,,,,3,2,1,0,1,2,3,,3,2,1,0T ,.4,.3,,2,:,.1=---==ÎÎ×δ®´L L L为一个随机过程。
则令掷一均匀硬币，例),()(cos )(},{1t e X t X Rt T e t H e t t X T H S =Îîíì====p 2 随机过程举例îíì=====为随机变量的函数均为和解释：T e t He t t e X t t t T X t t H X 000cos ),(),(cos ),((p p 2121cos ),(000p t t t e X p 并且：例2：用X(t)表示电话交换台在(0，t)时间内接到的呼唤的次数,则(1)对于固定的时刻t, X(t)为随机变量,其样本空间为{0，1，2，…..},且对于不同的t,是不同的随机变量.(2)对于固定的样本点n, X(t)=n是一个t的函数.(即：在多长时间内来n个人?)所以{X(t),t>0}为一个随机过程.相位正弦波。
