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带电粒子在电磁场中运动的应用实例分析带电粒子在电磁场中的运动是物理学中的一个重要研究方向，对于很多领域的科学研究都有着重要的应用。
本文将从电子加速器、医学影像学和宇宙学三个方面分别详细介绍带电粒子在电磁场中的应用实例。
一、电子加速器电子加速器是一种利用电动势或电磁波对电子进行加速并达到高速运动的装置。
带电粒子在电磁场中运动的物理性质为其在磁场中的轨道半径与运动速度成正比，因此在磁场中使电子生出一个特定的轨道半径，就能实现对电子运动的调控。
利用此方法，人们成功地设计了很多种电子加速结构，如线性加速器和圆形加速器等，应用在医学治疗、材料科学等诸多领域。
例如，在医疗领域，电子加速器是目前广泛应用于肿瘤治疗的一种方法。
利用电子加速器，医生可以将高能电子束集中照射到肿瘤细胞上，使其死亡，而对正常细胞的影响则较小，从而实现治疗肿瘤的目的。
二、医学影像学在医学影像学中，人们利用一些能使组织产生区别的方法，如放射性同位素和磁共振等，对特定组织或人体器官进行研究。
这些方法中，离子辐射也是一种常用的方法，它利用带电粒子在介质中的相互作用来达到成像的目的。
放射性同位素的成像原理是放射性核素经放射衰变后释放粒子，这些粒子穿过人体后参与某些生物化学过程，从而被摄影部位的专门检测仪器所探测，进而生成单位时间内的相对计数。
利用这种放射线成像技术，可以发现患者的心脏质量、心室结构以及心室壁运动等问题。
三、宇宙学带电粒子在星系辐射场中的运动能够引发一系列的星际和宇宙线物理现象，如宇宙线辐射现象、天体物理现象等。
这些现象由于极其复杂，需要精细的计算和较高的研究水平才能得到合理的解释。
例如，射电波辐射现象是指带电粒子在宇宙空间进入磁场后，因与磁场相互作用，发出的电磁辐射现象。
这种现象是天体物理学中的一个重要领域，通过射电天文学研究，可以探测到大量的射电波辐射源。
总之，带电粒子在电磁场中的运动是物理学中的一个重要研究方向。
电子加速器、医学影像学和宇宙学等领域都应用了这种知识，在每个领域都取得了不同程度的成功。
硕士学位论文带电粒子在电场和磁场中的运动与电磁力的求解摘要带电粒子在电场和磁场中的运动对于物理学和科学技术的许多重要领域都有重大意义。
例如，质谱仪，示波器，电视显像管，粒子加速器等仪器应用都与之有密切关系。
此外，研究带电粒子在电场和磁场中的运动已经成为等离子体物理理论研究的一个重要组成部分。
关于带电粒子在电场和磁场中的运动，许多人进行了大量的工作。
在前人的工作中，基本上是从经典电磁场理论和经典力学出发研究带电粒子的经典轨道，也很少有人对存在弹性界面的情况进行分析。
本文将考虑存在弹性界面的情况，同时考虑带电粒子的经典运动和相对运动，并通过求解带电粒子的哈密顿正则方程与Mathematica科学计算软件程序包来描绘带电粒子的运动轨迹。
本文还求解了磁标量满足的拉普拉斯方程，电磁矢量满足的亥姆霍兹方程，利用边值问题求解电磁场，并且应用麦克斯韦应力量来计算某些电磁作用力。
本项目的研究成果对开拓和扩展电磁场理论应用的新领域具有一定的参考作用。
本文主要阐述了五个方面的容。
一，带电粒子在电场和磁场中的经典运动；二，带电粒子在电场和磁场中的相对论运动；三，带电粒子在平行电场和磁场与弹性界面附近的运动；四，求解某些磁标量满足的拉普拉斯方程，电磁矢量满足的亥姆霍兹方程；五，应用麦克斯韦应力量计算某些电磁作用力。
关键词：带电粒子，电磁场，洛伦兹力，弹性界面，电势，边值关系The Movements of Charged Particles in Electric and Magnetic Fields and the Solutions of ElectromagneticForceABSTRACTStudy the movements of charged particles in the electric and magnetic fields with a great significance in many important areas of physics and scientific technology. Forexample, the applicationsof mass spectrometers, oscilloscopes, TV picture tubes, particle accelerators and other equipmentsare closely related to this study. In addition, study the movements of charged particles in the electric and magnetic fieldshave become an important component of the theory research in plasma physics.Many people carried out a lot of work about the movements of charged particles in the electric and magnetic fields.Most previous workbasically started from the theory of classical electromagnetic field and classical mechanics to study the classical track of charged particles, but few people analyzed the situation of flexible interface when it existed. This article will both consider the condition of the existence of a flexible interface and the classical and relative motion of charged particles, and then use the quantum theory to solve the particles’Schrödinger eigenequation .This article will introduce the solutions of the Laplace equation when the magnetic scalar meet it and the Helmholtz equation when the electromagnetic vector satisfy it.This paper also solves the electromagnetic field through the use of boundary value problem and calculates certain electromagnetic force through the application of Maxwell stress tensor. Research results of this project have a great reference significance to explore and expanse new areas of the application of electromagnetic theory.This article focuses on five aspects, it is arranged as follows:1. The classical movement of Charged particles in electric and magnetic fields.2. The relative movement of Charged particles in electric and magneticfields.3. The movement of Charged particles in parallel electric and magneticfields and near the flexible interface.4. Solutions of the Laplace equation when certain magnetic scalar meetit and the Helmholtz equation when the electromagnetic vector satisfy it.5. Calculate certain electromagnetic force by the application ofMaxwell stresstensor.key words:Charged particles, Electromagnetic Field, Lorentz force, Flexible interface, electric potential , The relationshipbetween boundary value目录摘要IABSTRACT II1引言11.1 课题研究的背景与意义11.2 本论文的主要工作与主要成果12带电粒子在电场和磁场中的经典运动22.1 问题的提出22.2 带电粒子在电磁场中运动方程的分析22.3 普遍情况22.3.1 空间仅存在电场32.3.2 空间仅存在磁场42.3.3 电场E与磁场B同方向42.3.4 电场E与磁场B垂直42.4 讨论53带电粒子在电场和磁场中的相对论运动73.1 问题的提出73.2电磁场相对论变换的一种推导73.2.1 E和B的变换式的推导73.2.2 D和H的变换式的推导93.3带电粒子在电磁场中的相对论运动的求解113.4 讨论154带电粒子在平行电场和磁场与弹性界面附近的运动164.1 问题的提出164.2 理论模型和公式推导164.2.1 带电粒子在平行电场和磁场中的运动方程164.2.2 带电粒子在平行电场和磁场与存在两个弹性界面时闭合轨道形成的条件174.3带电粒子在平行电场和磁场与存在两个弹性界面时闭合轨道的模拟204.3.1 粒子没有碰到任何界面时的闭合轨道214.3.2 粒子只碰到上界面时的闭合轨道214.3.3 粒子只碰到下界面时的闭合轨道224.4 讨论235求解某些磁标量满足的拉普拉斯方程，电磁矢量满足的亥姆霍兹方程245.1 问题与分析245.2 双环电荷的面电荷密度的表象与勒让德函数形式级数展开245.3分区解拉普拉斯方程并用边界条件与边值关系确定系数255.4 特例与拓展275.4.1 特例275.4.1 拓展286应用麦克斯韦应力量计算某些电磁作用力296.1问题的提出296.2麦克斯韦方程的一种讨论296.3麦克斯韦应力量346.4 .用应力量计算磁作用356.5用虚功原理计算单芯偏心电缆单位长度的静电力376.6横截面为透镜形的柱状分布电荷的电场错误!未定义书签。
带电粒子在电磁场中的运动与辐射带电粒子在电磁场中的运动是一个经典物理学中的基本问题，也是电动力学研究的重要内容之一。
在电磁场的作用下，带电粒子受到洛伦兹力的作用，其轨迹和运动性质会发生变化，并且会辐射电磁波。
本文将探讨带电粒子在电磁场中的运动以及与之相关的辐射现象。
一、运动方程在电磁场中，带电粒子受到洛伦兹力的作用，其运动满足运动方程：m(d²r/dt²) = q(E + v × B)其中，m是带电粒子的质量，q是电荷量，r是位置矢量，t是时间，E是电场强度，B是磁感应强度，v是粒子的速度。
这个方程描述了带电粒子在电磁场中受力的情况，即电场和磁场对粒子的作用力。
通过求解这个运动方程，可以得到带电粒子的轨迹以及相应的运动性质。
二、洛伦兹力的效应带电粒子在电磁场中受到洛伦兹力的作用，这个力会改变粒子的运动状态。
具体来说，洛伦兹力可分为电场力和磁场力两个分量。
电场力与电场强度呈正比，其方向与电场强度的方向相同或相反，决定于带电粒子的电荷正负。
而磁场力与速度和磁感应强度的叉乘结果成正比，其方向垂直于速度和磁感应强度所决定的平面。
洛伦兹力的作用使得带电粒子的运动轨迹发生偏离，通常出现螺旋状的运动路径，称为洛伦兹运动。
带电粒子在电场和磁场的共同作用下，可以在特定的运动参数下呈现出稳定的轴向向前加速或向后减速运动。
三、带电粒子的辐射现象带电粒子在电磁场中的运动不仅仅影响其轨迹，还会产生辐射现象。
根据经典电动力学理论，加速运动的带电粒子会辐射出电磁波。
带电粒子辐射的功率与粒子的加速度成正比，具体表示为洛伦兹辐射公式：P = q²a²/6πε₀c³其中，P是辐射功率，q是电荷量，a是加速度，ε₀是真空介电常数，c是光速。
带电粒子的辐射包含两种成分：同步辐射和非同步辐射。
同步辐射主要发生在粒子的运动轨迹与电场方向相平行或完全垂直的情况下，其频率与粒子的圆周运动频率相等。
浅谈带电粒子在电磁场中的运动作者：唐建国来源：《课程教育研究·学法教法研究》2016年第07期【摘要】带电粒子在有界匀强磁场中的运动实质是一类运动问题，这一类运动由于研究对象的特殊（带电粒子，不计重力）和运动环境的特殊（有界匀强磁场）及处理方法的特殊而在所有运动问题中备受青睐。
【关键词】带电粒子；电磁场；运动【中图分类号】G633.2 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2016）07-0-01带点粒子运动场境主要是匀强磁场或者匀强电场。
这涉及到带电粒子在磁场中的速度和其它物理量，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，在匀强电场中做类平抛运动是基本问题。
对应用数学知识处理物理问题的能力要求较高。
1、分析受力。
带电粒子在电场中受电场力，在磁场中受洛伦兹力。
（不计重力）2、画轨迹。
根据带电粒子的受力情况和初始状态，画出运动轨迹的示意图。
3、找圆心。
画出两条与入射速度和出射速度垂直的半径。
或者画一条与入射速度垂直的半径。
一条弦的中垂线，其交点就是圆弧的圆心。
4、找辅助三角形。
寻找已知量和半径有联系的三角形。
根据数学知识写出有关的关系式。
5、套规律。
带电粒子在匀强电场中，做类平抛运动，根据平抛规律写出关系式。
在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律写出关系式。
一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1、圆心的确定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置。
2、半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，即φ=α=2θ。
②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。
带电粒子在电磁场中的运动在物理学中，电磁场是一种具有电力和磁力效应的力场。
当带电粒子处于电磁场中时，它会受到电磁力的作用而发生运动。
本文将探讨带电粒子在电磁场中的运动规律及其相关特性。
一、洛伦兹力在电磁场中，带电粒子受到的力被称为洛伦兹力。
洛伦兹力由电场力和磁场力两部分组成，可以用如下公式表示：F = q(E + v × B)其中，F表示洛伦兹力，q为带电粒子的电荷量，E为电场强度，v 为带电粒子的速度，B为磁场强度。
根据洛伦兹力的方向，带电粒子会在电磁场中发生不同的运动。
如果电场力和磁场力方向相同或相反，带电粒子会受到一个向加速度的力，其运动轨迹将呈现弯曲的形状；如果电场力和磁场力方向垂直，带电粒子将受到一个向速度方向的力，其运动轨迹将变成圆形。
二、带电粒子在磁场中的运动当带电粒子以一定的速度进入磁场时，它会受到磁场力的作用，引起其运动轨迹的变化。
带电粒子在磁场中的运动可以通过以下几个特性进行描述：1. 弯曲半径带电粒子在磁场中做圆周运动，其弯曲半径由以下公式确定：r = mv / (qB)其中，r表示圆周运动的弯曲半径，m为带电粒子的质量，v为速度，q为电荷量，B为磁感应强度。
2. 周期带电粒子在磁场中做圆周运动的周期为：T = 2πm / (qB)其中，T表示周期，m为质量，q为电荷量，B为磁感应强度。
3. 轨道速度带电粒子在磁场中的轨道速度由以下公式确定：v = (qBr / m)其中，v表示轨道速度，q为电荷量，B为磁感应强度，r为弯曲半径，m为质量。
三、带电粒子在电场和磁场共存时的运动当带电粒子同时处于电场和磁场中时，其运动将会更为复杂。
在稳恒磁场的作用下，带电粒子将绕磁力线做螺旋线运动。
同时，在电场力的作用下，带电粒子的轨迹将受到偏转。
此时，带电粒子的运动方程可以通过以下公式描述：m(dv/dt) = q(E + v × B)其中，m为质量，v为速度，q为电荷量，E为电场强度，B为磁感应强度。
重点、难点分析1．带电粒子和质点在三场中运动时，所受重力、电场力和洛仑兹力的特点．2．带电粒子和质点在三场中运动时，重力、电场力和洛仑兹力做功的特点以及能量变化的特点．3．对复杂运动过程的分析，以及如何从实际问题中建立物理模型．一、带电粒子在电场和磁场中运动1．带电粒子通常指电子、质子、氚核和α粒子等微观粒子，一般可不计重力．2．处理带电粒子在电场和磁场中运动问题的方法．（1）带电粒子在匀强电场和匀强磁场共存区域内运动时，往往既要受到电场力作用，又要受到洛仑兹力作用．这两个力的特点是，电场力是恒力，而洛仑兹力的大小、方向随速度变化．若二力平衡，则粒子做匀速直线运动．若二力不平衡，则带电粒子所受合外力不可能为恒力，因此带电粒子将做复杂曲线运动．解决粒子做复杂曲线运动问题时，必须用动能定理或能量关系处理．这里要抓住场力做功和能量变化的特点，即电场力做功与电势能变化的特点，以及洛仑兹力永远不做功．（2）若匀强电场和匀强磁场是分开的独立的区域，则带电粒子在其中运动时，分别遵守在电场和磁场中运动规律运动，处理这类问题时要注意分阶段求解．[例1]空间存在相互垂直的匀强电场E和匀强磁场B，其方向如图3-7-1所示．一带电粒子+q以初速度v0垂直于电场和磁场射入，则粒子在场中的运动情况可能是A．沿初速度方向做匀速运动B．在纸平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动C．在纸平面内做轨迹向下弯曲的匀变速曲线运动D．初始一段在纸平面内做轨迹向上（或向下）弯曲的非匀变速曲线运动问题：1．应根据哪些物理量的关系来判定粒子的运动情况？2．分析粒子的受力及其特点．判断选择并说明理由．3．若欲使带电粒子在此合场中做匀速运动，对该粒子的电性、带电量多少、质量大小、入射初速度大小有无限制？分析：粒子在场中要受到电场力和洛仑兹力作用．其中电场力为方向竖直向下的恒力；洛仑兹力方向与速度方向垂直且在垂直磁场的纸面内，初态时其方向为竖直向上，随速度大小和方向的变化，洛仑兹力也发生变化．若初态时，电场力和洛仑兹力相等，即qE=Bqv0，则粒子所受合外力为零，粒子做匀速运动．若初态时，电场力和洛仑兹力不相等，则粒子所受合外力不为零，方向与初速度方向垂直（竖直向上或竖直向下），粒子必做曲线运动．比如粒子向下偏转，其速度方向变化，所受洛仑兹力方向改变；同时电场力做正功，粒子动能增加，速度增大，洛仑兹力大小也变化．此时粒子所受合外力大小、方向均变化，则粒子所做曲线运动为非匀变速曲线运动．解：选项A、D正确．讨论与小结：1．判断带电粒子在电场和磁场共存区域内的运动形式，要根据其所受合外力的情况和合外力方向与初速度方向的关系来确定．2．若带电粒子在该合场中做匀速运动，根据qE=Bqv0可知，只要入射粒子的初速度v0=E/B，就可以做匀速运动．与粒子的电性、带电量的多少、质量的大小无关．这一点很重要，很多电学仪器的工作原理都涉及到这方面知识，比如离子速度选择器、质谱仪、电磁流量计等．[例2]如图3-7-2所示为一电磁流量计的示意图，截面为正方形的非磁性管，其边长为d，内有导电液体流动，在垂直液体流动方向加一指向纸里的匀强磁场，磁感应强度为B．现测得液体a、b两点间的电势差为U，求管内导电液体的流量Q为多少？问题：1．液体中的离子在磁场中怎样运动；为什么液体a、b两点间存在电势差？2．简述电磁流量计的工作原理．分析：流量是指单位时间内流过某一横截面的液体的体积．导电液体是指液体内含有正、负离子．在匀强磁场中，导电液体内的正、负离子在洛仑兹力作用下分别向下、上偏转，使管中上部聚积负电荷，下部聚积正电荷．从而在管内建立起一个方向向上的匀强电场，其场强随聚积电荷的增高而加强．后面流入的离子同时受到方向相反的洛仑兹力和电场力作用．当电场增强到使离子所受二力平衡时，此后的离子不再偏移，管上、下聚积电荷不再增加a、b两点电势差达到稳定值U，可以计算出流量Q．解：设液体中离子的带电量为q，因为[例3]如图3-7-3所示，两块平行放置的金属板，上板带正电，下板带等量负电．在两板间有一垂直纸面向里的匀强磁场．一电子从两板左侧以速度v0沿金属板方向射入，当两板间磁场的磁感应强度为B1时，电子从a点射出两板，射出时的速度为2v．当两板间磁场的磁感应强度变子从b点射出时的速率．问题：1．依据力和运动关系，分析电子在合场中为什么会偏转，电子所做的运动是匀变速曲线运动吗？2．因为电子所做运动为非匀变速曲线运动，无法用牛顿运动定律解决，应该考虑用什么方法解决？3．若用动能定理解决，则各场力做功有什么特点？若用能量守恒定律解决，各场的能量有什么特点？分析：电子在合场中受到电场力和洛仑兹力，初态时电子所受二力不平衡，电子将发生偏转．因为洛仑兹力的大小、方向均变化，电子所受合力为变力，做非匀变速曲线运动．若用动能定理处理问题，则需知：电场力做功与路径无关，与带电量和初、末两位置的电势差有关．洛仑兹力永远不做功．若用能量守恒定律处理问题，则需知：电子在磁场中只有动能，没有势能；电子在电场中不仅有动能，而且还有势能，因此要规定零电势面．解一：设aO两点电势差为U，电子电量为e，质量m．依据动能定理可知：解二：设O点所在等势面为零电势面，其余同上．依据能量守恒定律可知：电子从a点射出，其守恒方程为：电子从b点射出，其守恒方程为：小结：1．处理带电粒子在电场和磁场共存区域内运动的另一种方法是应用动能定量，或能量守恒定律．2．应用动能定理时要注意，洛仑兹力永远不做功；应用能量守恒定律时注意，若只有电场力做功，粒子的动能加电势能总和不变，计算时需设定零电势面，同时注意电势能的正、负．[例4]如图3-7-4所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在X轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E．一质量为m，电量为-q的粒子从坐标原点O沿着y轴正方向射出．射出之后，第三次到达X轴时，它与点O的距离为L．求此粒子射出时的速度V和运动的总路程（重力不计）．问题：带电粒子在电场和磁场中分别做什么运动？你能画出它的轨迹示意图吗？分析：本题与前两个例题不同，它的电场和磁场区域是分开的．带电粒子在x轴上方运动只受洛仑兹力作用，做匀速圆周运动，又因为x轴是磁场的边界，粒子入射速度方向与磁场垂直，所以粒子的轨迹为半圆．带电粒子在x轴下方运动只受电场力作用，速度方向与力在一条直线上，粒子做匀变速直线运动．即当粒子从磁场中以速度v垂直于x轴向下射出时，因电场力作用先匀减速到0，再反向加速至v，并垂直射入磁场（粒子在电场中做类平抛运动）．因为只要求讨论到粒子第三次到达x轴，所以粒子运动轨迹如图3-7-5所示．解：如图所示，有L=4R设粒子进入电场做减速运动的最大路程为l，加速度为a，则由前面分析知，粒子运动的总路程为S=2rR+2l小结：本题带电粒子的运动比较复杂，要根据粒子运动形式的不同分阶段处理．这是解决同类问题常用的方法．在动笔计算之前，一定要依据力和运动关系认真分析运动规律，分阶段后再个个击破．二、带电质点在电场和磁场中运动1．带电质点是指重力不能忽略，但又可视为质点的带电体．2．处理带电质点在匀强电场和匀强磁场中运动问题的方法（1）讨论带电质点在复合场中运动问题时，要先弄清重力、电场力、洛仑兹力的特点．根据质点受力情况和初速度情况判定运动形式．请学生回答（2）讨论带电质点在复合场中运动问题时，还须清楚重力、电场力做功和重力势能、电势能变化关系．注意洛仑兹力不做功的特点．若带电质点只受场力作用，则它具有的动能、重力势能和电势能总和不变．请学生回答．[例5]如图3-7-6所示，在匀强电场和匀强磁场共存的区域内，场强E的方向竖直向下，磁感应强度B的方向垂直纸面向里．有三个带有等量同种电荷的油滴M、N、P在该区域中运动，其中M向有做匀速直线运动，N在竖直平面内做匀速圆周运动，P向左做匀速直线运动，不计空气阻力，则三个油滴的质量关系是A．m M＞m N＞m PB．m P＞m N＞m MC．m N＞m P＞m MD．m P＞m M＞m N问题：1．物体做匀速圆周运动的条件是什么？油滴N在场中的受力情况怎样？其电性如何？2．请对油滴P、M进行受力分析，并选出正确答案．分析：油滴在合场中要同时受到重力、电场力和洛图3-7-6仑兹力作用，其中重力、电场力是恒力，洛仑兹力随速度的变化而变化．若油滴N欲做匀速圆周运动，则其所受重力和电场力必然等大、反向，所受合力表现为洛仑兹力．这样才能满足合外力大小不变，方向时刻与速度方向垂直的运动条件．油滴一定带负电．三油滴的受力分析如图3-7-7所示．因它们所受的电场力和洛仑兹力大小分别相同，所以可知油滴P的质量最大，油滴M的质量最小．解：选项B正确．小结：1．若带电质点在三场共存区域内运动，一般会同时受到重力、电场力、洛仑兹力作用，若电场和磁场又为匀强场，则重力、电场力为恒力，洛仑兹力与速度有关，可为恒力也可为变力．2．若电场和磁场均是匀强场，且带电质点仅受三场力作用．则：（1）若重力与电场力等大、反向，初速度为零，带电质点必静止不动．（2）若重力与电场力等大、反向，初速度不为零，带电质点必做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力．（3）若初速度不为零，且三力合力为零，带电质点必做匀速直线运动．（4）若初速度不为零，初态洛仑兹力与重力（或电场力）等大、反向，合外力不为零，带电质点必做复杂曲线运动．[例6]如图3-7-8所示，在xOy平面内，有场强E=12N/C，方向沿x轴正方向的匀强电场和磁感应强度大小为B=2T、方向垂直xOy平面指向纸里的匀强磁场．一个质量m=4×10-5kg，电量q=2.5×10-5C带正电的微粒，在xOy平面内做匀速直线运动，运动到原点O时，撤去磁场，经一段时间后，带电微粒运动到了x轴上的P点．求：（1）P 点到原点O的距离；（2）带电微粒由原点O运动到P点的时间．问题：1．微粒运动到O点之前都受到哪些力的作用？在这段时间内微粒为什么能做匀速直线运动？2．微粒运动到O点之后都受到哪些力的作用？在这段时间内微粒做什么运动？说明原因．分析：（1）微粒运动到O点之前要受到重力、电场力和洛仑兹力作用，如图3-7-9所示．在这段时间内微粒做匀速直线运动，说明三力合力为零．由此可得出微粒运动到O点时速度的大小和方向．（2）微粒运动到O点之后，撤去磁场，微粒只受到重力、电场力作用，其合力为一恒力，与初速度有一夹角，因此微粒将做匀变速曲线运动，如图3-7-9所示．可利用运动合成和分解的方法去求解．解：因为mg=4×10-4NF=Eq=3×1O-4N（Bqv）2=（Eq）2+（mg）2所以 v=10m/s所以θ=37°因为重力和电场力的合力是恒力，且方向与微粒在O点的速度方向垂直，所以微粒在后一段时间内的运动为类平抛运动．可沿初速度方向和合力方向进行分解．设沿初速度方向的位移为s1，沿合力方向的位移为s2，则因为s l=vt所以 P点到原点O的距离为15m； O点到P点运动时间为1. 2s．[例7]如图3-7-10所示，一对竖直放置的平行金属板长为L，板间距离为d，接在电压为U的电源上，板间有一与电场方向垂直的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感强度为B，有一质量为m，带电量为+q的油滴，从离平行板上端h高处由静止开始自由下落，由两板正中央P点处进入电场和磁场空间，油滴在P点所受电场力和磁场力恰好平衡，最后油滴从一块极板的边缘D处离开电场和磁场空间．求：（1）h=？（2）油滴在D点时的速度大小？问题：油滴的运动可分为几个阶段？每个阶段油滴做什么运动？每个阶段应该用什么方法来求解？分析：油滴的运动可分为两个阶段：从静止始至P点，油滴做自由落体运动；油滴进入P点以后，要受到重力、电场力和洛仑兹力作用，且合力不为零，由前面的小结知，油滴将做复杂曲线运动并从D点离开．第一个阶段的运动，可以用牛顿运动定律和运动学公式求解，也可以用能量关系求解．第二个阶段的运动只能依据能量关系求解，即重力、电场力做功之和等于油滴动能变化．或油滴具有的重力势能、电势能、动能总和不变．当然这一能量关系对整个运动过程也适用．解：（1）对第一个运动过程，依据动能定理和在P点的受力情况可知：（2）对整个运动过程，依据动能定理可知：小结：由例6、例7可以看出，处理带电质点在三场中运动的问题，首先应该对质点进行受力分析，依据力和运动的关系确定运动的形式．若质点做匀变速运动，往往既可以用牛顿运动定律和运动学公式求解，也可以用能量关系求解．若质点做非匀变速运动，往往需要用能量关系求解．应用能量关系求解时，要特别注意各力做功的特点以及重力、电场力做功分别与重力势能和电势能变化的关系．。
电磁场中带电粒子的运动电磁场是我们日常生活中经常接触到的现象之一，无论是电力、通讯、信息技术等等，都离不开电磁场的作用。
在电磁场中，带电粒子是其中最基本的元素之一，带电粒子运动的轨迹也体现了电磁场的特性。
本篇文章将详细探讨带电粒子在电磁场中的运动特征。
首先，让我们来看一下带电粒子在电磁场中的基础方程式。
根据洛伦兹力的定义，当带电粒子在电磁场中运动时，其所受的力可表示为：$F=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})$。
其中，$F$为所受的力，$q$为带电粒子的电荷量，$\mathbf{E}$为电场强度，$\mathbf{B}$为磁场强度，$\mathbf{v}$为带电粒子的速度矢量。
这个方程式说明了电磁场对带电粒子的作用，也说明了带电粒子在电磁场中的运动轨迹会受到力的影响。
其次，我们需要探讨磁场对带电粒子的影响。
根据洛伦兹力的定义，带电粒子在磁场中只会受到垂直于运动轨迹的力，这意味着带电粒子在磁场中的横向运动会发生，而纵向运动不会改变。
这种横向运动也被称为“洛伦兹力偏转”，其偏转弧线的弯曲程度与带电粒子的质量、电荷量、速度和磁场强度等因素有关。
此外，在电磁场中，带电粒子的运动也受到衰减力的影响。
根据电磁辐射的理论，任何带电粒子在运动中都会辐射电磁波能量，从而导致带电粒子动能的损失，这种力被称为“辐射阻力”。
这一力量对于高速运动的带电粒子来说尤为显著，因为在高速运动时辐射阻力会使得带电粒子的速度越来越缓慢，最终会导致带电粒子停止在某个点上。
最后，让我们来看一下带电粒子在交变电场中的运动特征。
交变电场是指电场方向和大小都会随着时间而变化的电场，它对带电粒子的作用也不同于直流电场。
在交变电场中，即使带电粒子在磁场中偏转，也会因为电场的方向变化而往返摆动，最终运动轨迹呈现为固定幅度的曲线。
而交变电场同样会导致带电粒子在一定程度上损失能量，但与辐射阻力不同的是，交变电场对带电粒子的损失更多表现为轨道形状的形变。
带电粒子在电磁场中的运动分析摘要：粒子轨道理论适用于稀薄等离子体，对于稠密等离子体也可以提供某些描述，但由于没有考虑集体效应，局限性很大。
粒子轨道理论基本方法是求解粒子的运动方程。
利用粒子轨道运动来描述等离子体的行为的前提是假定磁场和电场是预先确定的，不会受到带电粒子运动的影响。
本文主要研究带电粒子在电磁场中的运动分析。
关键词：带电粒子;电磁场;运动;分析一、引言金属中的电子气和半导体中的载流子以及电解质溶液也可以看作是等离子体。
在地球上，等离子体物质远比固体、液体、气体物质少。
在宇宙中，等离子体是物质存在的主要形式，占宇宙中物质总量的99%以上，如恒星（包括太阳）、星际物质以及地球周围的电离层等，都是等离子体。
物质的三态（固态、液态和气态）人们早已司空见惯，可是被称为物质第四态的等离子体，尽管占宇宙中可见物质的99%，可是我们对它的认识依然很少。
二、理论概述实际上，认识等离子体的运动规律是人类认识自然界，认识地球空间环境，进而冲出地球，走向太空的必要条件。
看似神秘的等离子体其实广泛存在于我们的这个世界，从炽热的恒星、灿烂的气态星云、浩瀚的星际间物质，到多变的电离层和高速的太阳风，都是等离子体的天下。
21世纪人们已经掌握和利用电场和磁场产生来控制等离子体。
最常见的等离子体是高温电离气体，如电弧、霓虹灯和日光灯中的发光气体，又如闪电、极光等。
简单的将等离子体分类，可以认为等离子体是由电子、离子以及未电离的中性粒子组成，宏观上呈现准中性。
单粒子轨道运动作为描述等离子体运动状态中最简单的一种，即在给定的电磁场中的运动，我们只考虑单个粒子在场中的运动，而忽略离子间的相互作用以及粒子对场的反作用。
粒子轨道理论适用于稀薄等离子体，对于稠密等离子体也可以提供某些描述，但由于没有考虑集体效应，局限性很大。
粒子轨道理论基本方法是求解粒子的运动方程。
利用粒子轨道运动来描述等离子体的行为的前提是假定磁场和电场是預先确定的，不会受到带电粒子运动的影响。
论文题目:带电粒子在电磁场中的运动专业:物理学本科生:边鲜叶签名指导教师:贾祥富签名摘要：从带电粒子在电磁场中的运动的经典哈密顿量出发推导出了带电粒子在恒定电磁场中的薛定谔方程，并讨论了带电粒子在恒定均匀磁场中的运动，以及在恒定电磁场中的原子能级和光谱的变化关键词：带电粒子；电磁场；能级；光谱Title: A Study of Charged Particles in Electric and Magnetic Field Major:PhysicsName:Bian Xianye Signature Supervisor:Jia Xiangfu Signature Abstract starting from the classicle Hamilton whose charged particles moved in the electric and magnetic field,infer the dingershro equation which charged particles in the electric and magnetic field.Analyzed the charged particles’motion in the constant megnetic field,as well as the changes of the energy level and spectrum in the constant electric ang magnetic field.Key words:charged particles electric and magnetic field energy level spectrum目录引言一、粒子在电磁场中的运动方程1、无自旋粒子运动的哈密顿算符2、几率流密度3、规范变换及规范不变性4、朗道能级5、带电粒子在电磁场中运动计入自旋和相对论性修正后的哈密顿算二、原子在恒定均匀磁场中的运动１、体系的哈密顿算符２、强磁场情况：正常的塞曼效应３、弱磁场情况：反常塞曼效应４、氢原子及类氢离子在外恒定均匀强磁场中运动方程的柱面三、电场中的原子1、氢原子及类氢离子在外恒定均匀电场中能级的线性斯塔克分裂。
2、氢原子在外恒定均匀强电场中运动方程的抛物线坐标式3、振荡电场中的原子结论引言带电粒子在均匀电磁场中的运动时一个重要的研究课题，其应用也十分广泛，对科学技术的许多领域有非常重大的意义，例如，大气磁场对环境影响的研究、对等离子体性质的研究、电子器件如磁控管示波器、质谱仪、电子显像管的研究和制造都有极其重要的意义.而以前的大多数文献中，对带电粒子在电磁场中的运动都是从洛伦兹力出发对其特殊情况进行分析的，并没有分析带电粒子在电磁场运动的薛定谔方程，更没有研究其能级和光谱的变化。
本文从带电粒子在电磁场运动的经典哈密顿量出发推出其薛定谔方程，具体讨论了氢原子及类氢原子在电场及磁场中的运动方程的柱面坐标系式和其在外恒定均匀强磁场中的运动方程的抛物线坐标式。
一、 粒子在电磁场中的运动方程 1、 无自旋粒子运动的哈密顿算符假设质量为，带电量为q 的粒子在电磁场中运动，其哈密顿量为()μμφμφμ2ˆ2ˆˆ21ˆ2222A q A p q q p q A q p H+⋅-+=+-= 利用电磁场的横波条件0=∇A ，即有[]0,=p A所以有 ,0ˆˆ=⋅-⋅p A A p进而有 μμφμ2ˆ2ˆˆ222A q p A q q p +⋅-+=H 又 ∇-= i p ˆ 所以 ()()μμφμ2,,2ˆ2222t r A q A i q t r q +∇⋅-+∇-=H … ()1 式中 ∇-= i pˆ 是粒子的动能项 ()t r q ,φ 是粒子的静电势能函数项∇⋅-A i q μ表粒子“轨道”运动与外磁场的耦合作用项 ()μ2,22t r A q 是逆磁项 综上，带电粒子在电磁场中运动的薛定谔方程可写为：()()()t r q A q p t r t i ,ˆ21,2 ψφμψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∂∂ …()22、几率流密度对应上面的薛定谔方程，可将粒子的速度算符由 μp v ˆˆ = 对应改为μAq p v-=ˆˆ 所以几率密度j即可表示为()()()ψψμψψψψμψμψ***2,ˆ,*Re A q i t r A q p t r j-∇-∇-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-= …()3 而粒子在势场 ()t r q ,φ 中运动时，其几率密度表达式为()**2ψψψψμ∇-∇-=i j …()4 两式比较显然()3 式多出一项 2ψμAq - ，而这项则是由电磁场矢势 ()t r A ,引起的，由及其重要的作用。
3、规范变换及规范不变性电磁场的矢势()t r A , 和标势 ()t r ,φ 都是实函数，它们与电场强度E 和磁感应强度B之间的关系是)()()()()t r A t r B t r A tt r t r E ,,,,,⨯∇=∂∂--∇=φ ()()6...5...电磁场具有规范不变性，即当 作下列规范变换时 ()()t r tt r A A A ,,χφφφχ∂∂-='→∇+='→ ()()8...7... （式中()t r ,χ 是任一标量实函数）电场强度E 和磁场强度B都不变， 这称为电磁场具有规范不变性。
所以，可以选不同的失势()t r A , 和不同的标势()t r ,φ 来描述同一电磁场，由此可知，电场强度E 是表征一个电磁场的物理量，而失势()t r A , 和标势()t r ,φ 只描述电磁场的数学量，但当同一电磁场选的失势()t r A , 和标势()t r ,φ不同时，由（1）式可看出体系的哈密顿算符Hˆ 表示式不同，进而可知（2）也可能不同，若对体系的波函数 ()t r ,ψ作幺正变换，即为()()()()t r e t r t r t r q i,,,,ψψψχ='→ (9)则体系的薛定谔方程（2）在（7）、（8）、（9）式的变换后形式也不变，即为()()()t r q A q p t r t i ,2ˆ,2 ψφμψ'⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+'-='∂∂ …（10） 这表明()t r ,ψ' 也是带电粒子在同一电场中运动状态的波函数，但是，若失势0=A 变换为0≠A ，则由（7）式可得()t r A ,χ∇= ，即可知式（9）的位相因子()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=⎰dl t r A q i e t r q i ,exp ,χ (11)对于闭合回路C ，（11）式中的⎰⎰⎰⋅=⋅scds B dl A是磁通量，式是 的一个规范不变量，因为 恒为04、朗道能级讨论带电粒子在恒定均匀磁场中运动，设磁场方向沿Z 轴，失势取为12A B r =⨯则(),,0,0B B = ⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,21Bx By A可见满足B A =⨯∇ 和0=⋅∇A，所以该带电粒子的哈密顿算符Hˆ 具体可写()()22222228ˆ2ˆˆˆ21ˆy x B q L qB p p p Z z y x ++-++=H μμμ 为了方便，以下把带电粒子沿Z 轴方向的自由运动分离出去，集中讨论电子在x-y 平面中的运动。
在x-y 平面内，体系的能谱是分立的：μρρ212B q m q q m n E m n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+= 即 021ω ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n E n ，而 ...2,1,021,0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==m q q m n n B q ρμω …（13） 这即称为朗道能级，其相应的二维运动定态波函数为()()ϕρρρϕρψim m n m n e NR =, (14)（14）式中的()ρρm n R 即为二维各向同性谐振子定态的径向函数()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∝2,22,14exp ρρρρρρ B q m n F B q R mm n (15)F 为合流超几何函数， ρn 为径向波函数的节点数（∝=,0ρ 点除外），ϕim e 则描述的是带电粒子绕磁场方向（Z ）轴转动的行波。
当()0,0,y B A -=时，也满足 B A =⨯∇（沿Z 轴）及0=⋅∇A 的条件，此时带电粒子在电磁场中运动的哈密顿算符即为()μμμμμ2ˆˆ2ˆ22ˆ2ˆˆ22022202222z y x p yB q y y B q p p +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--++=H …（16） 而qBpyx ˆˆ0-= 所以在垂直于磁场方向的x-y 平面内，体系的能谱仍为 ,,2100μωωB q n E n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+= n=0,1,2…相应的能量本证函数为()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛H ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=x p i y y B q y y B q N y x x n np x exp 2exp ,0210ψ 它描述了带电粒子在y 轴上作简谐振动，而在x 轴方向是自由运动处于平面波状态。
由此可见，它依赖于n 与 又 ，所以 决定 而 任一实值，但 不由 决定。
所以在均匀磁场中运动的带电粒子可出现在无穷远处 ，但其能级是离散的。
5、带电粒子在电磁场中运动计入自旋和相对论性修正后的哈密顿算符为：()[]()φμφμμμμφμq cp p q s c A q B s q p A q q p 2234222228ˆˆˆ212ˆˆ2ˆˆ∇-⨯∇⋅++⋅-⋅-+=H (17)二、原子在恒定均匀磁场中的运动原子在磁场中定态能量对磁量子数的简并解除，能级进一步分裂，引起光谱线也进一步分裂，分裂的情况因磁场的很强或很弱而不同。
1、体系的哈密顿算符下面讨论的是在恒定均匀的磁场中的氢原子和类氢原子，取磁场方向沿Z 轴方向，即()B B .0,0= ，相应的失势A可取为r B A ⨯=21 ，则0,21,21==-=z y x A Bx A By A ， 由式（17）可知，带电量为-e 的电子，有rZe q 024πεφ-=，它的哈密顿算符为()()r c Ze c p L s rc Ze y x B e s L eB r Ze p z z δμπεπμμπεμμπεμ22022234322022222022248ˆˆ1248ˆ2ˆ242ˆˆ+-⋅⋅+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=H (18)2、强磁场情况：正常的塞曼效应当磁场强度很大即磁场足够强时，磁场将分别与电子的轨道磁矩和自旋磁矩耦合，因为（18）式中电子的自旋-轨道耦合等最后三项与式中第三、四项相比可略去，实验室中磁场强度B B Gs B <<∴<25,10 ，因此 ()22228y x B e +μ也可略去，所以，体系的哈密顿算符为：⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=H z z s L eB r Ze p ˆ2ˆ242ˆˆ022 μπεμ (19)其本征值为 ()s B n nm s m m B E E 20++=μ ...3,2,1=n ， 1,...2,1,0-=n l ，,,...1,0l m ±±= 21±=s m 上式中， 0n E 是氢原子及类氢离子的波尔-薛定谔能量， B μ是波尔磁子，上式表明原子在足够强的外磁场中能级0n E 分裂，对角量子数l 的简并保留，但是对磁量子数m 和 s m 的简并解除。
