下载文档原格式
logistic模型微分方程logistic模型是一种常用的数学模型，用来描述某一变量随时间变化的规律。
它是基于微分方程建立的，通过对变量的增长速率进行建模，可以预测和解释许多现象和问题。
本文将介绍logistic模型的基本原理和应用。
我们来看看logistic模型的微分方程形式。
logistic模型的微分方程可以表示为：dP/dt = k * P * (1 - P/K)其中，P表示随时间变化的变量，t表示时间，k和K是常数。
这个方程描述了P的变化率与P本身以及时间t的关系。
在这个方程中，P的增长速率是由两个因素决定的：一是P本身的大小，二是P相对于K的距离。
logistic模型的应用非常广泛，特别是在生物学、经济学和社会科学等领域。
在生物学中，logistic模型可以描述种群的增长过程。
当种群数量很小时，增长速率很快；而当种群数量接近环境容量时，增长速率会减慢。
在经济学中，logistic模型可以描述市场的饱和现象。
当市场需求量很小时，增长速率很快；而当市场需求量接近供应量时，增长速率会减慢。
在社会科学中，logistic模型可以描述一种观点或理论的传播过程。
当接受者较少时，传播速度很快；而当接受者接近总人口时，传播速度会减慢。
除了上述应用外，logistic模型还可以用于预测和解释其他现象和问题。
例如，可以用logistic模型来预测疾病的传播过程、预测产品的市场份额、预测人口的增长趋势等等。
通过对logistic模型进行参数估计和模型拟合，可以得到对未来发展的预测和解释。
总结一下，logistic模型是一种基于微分方程的数学模型，用来描述某一变量随时间变化的规律。
它通过对变量的增长速率进行建模，可以预测和解释许多现象和问题。
logistic模型的应用非常广泛，包括生物学、经济学和社会科学等领域。
通过对logistic模型的参数估计和模型拟合，我们可以得到对未来发展的预测和解释。
希望本文对读者能够理解logistic模型的基本原理和应用，并在实际问题中加以运用。
Logistic 人口发展模型一、题目描述建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。
分析那个时间段数据预测的效果好?并结合中国实情分析原因。
表1 各年份全国总人口数（单位：千万）二、建立模型阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。
阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。
若将r 表示为x 的函数)(x r 。
则它应是减函数。
于是有：0)0(,)(x x x x r dt dx== （1）对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 )0,0()(>>-=s r sxr x r （2） 设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量mx ，当mx x =时人口不再增长，即增长率)(=m x r ，代入（2）式得m x rs =，于是（2）式为)1()(mx x r x r -= （3）将（3）代入方程（1）得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(x x x x rx dtdxm （4）解得：rt mme x x x t x --+=)1(1)(0（5）三、模型求解用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005;x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988];x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1);r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和rx0=61.5;f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b');title('1954-2005年实际人口与理论值的比较') x2010=f(2010,xm,r,x0) x2020=f(2020,xm,r,x0) x2033=f(2033,xm,r,x0)解得：x(m)= 180.9516(千万)，r= 0.0327/(年),x(0)=61.5得到1954-2005实际人口与理论值的结果：根据《国家人口发展战略研究报告》我国人口在未来30年还将净增2亿人左右。
1. S 型形状：logistic 曲线呈现出S 型的形状，它由两个部分组成：缓慢增长阶段和快速增长阶段，然后是饱和阶段。
2. 对称性：logistic 曲线是对称的，这意味着它在左右两侧是相同的。
3. 饱和点：logistic 曲线有一个饱和点，即增长速度开始减缓并最终停止的点。
4. 可预测性：logistic 曲线可以通过数学模型进行预测，这使得它在许多领域中得到了广泛的应用，例如生物学、经济学和社会学等。
5. 拐点：logistic 曲线有一个拐点，即增长速度由快变慢的点。
6. 斜率变化：logistic 曲线的斜率在不同阶段是不同的，这反映了增长速度的变化。
7. 初始值：logistic 曲线的初始值是一个重要的参数，它决定了曲线的起始位置和形状。
8. 极限值：logistic 曲线有一个极限值，即饱和点，它代表了系统所能达到的最大值。
9. 增长率：logistic 曲线的增长率在不同阶段是不同的，这反映了系统的内在特性。
10. 时间依赖：logistic 曲线的形状和参数取决于时间，这使得它可以用来描述随时间变化的过程。
logistic曲线拟合istic曲线拟合（parametriccurvefitting）是一种拟合曲线的数学方法，通常用于在已知有限数据的情况下找到一条可能符合这些数据的曲线。
此类曲线往往包含许多参数，因此其表示式有多种可能，其中一种最可能拟合现有数据的曲线就是istic曲线拟合的结果。
在istic曲线拟合中，数据点拟合的过程以统计模型为基础，使用一种最小二乘法或其他拟合技术，用来拟合有限数据点，提取其更适当的参数以表示拟合曲线。
一般来说，令拟合曲线的总和最小是最小二乘istic曲线拟合的目标。
istic曲线拟合广泛应用于科学和工程领域，其中包括天文学、物理学、化学、生物学等等，是一种重要的数据处理方法。
istic曲线拟合的最常见用例是在数据拟合和特征提取的过程中，计算机图像处理，数据建模等任务中。
以下就是istic曲线拟合的实际应用。
1、主要应用于对特定模型数据拟合和特征提取：例如，在物理学中，istic曲线拟合可以用于拟合曲线或曲面，以提取其特征，如角度、拐点等。
在计算机视觉中，istic曲线拟合可用于拟合曲线或曲面，以提取其表面特征，如角点、旋转点等。
2、测量和分析具有复杂模式的数据：在工程、经济研究中，istic 曲线拟合可用于测量和分析具有复杂曲线模式的数据，如经济活动和政治决策等。
3、拟合统计图：在统计图中，istic曲线拟合可用于拟合数据，找出其有关的统计学特征，如中位数和中值，以及统计分布的均值和方差等。
4、在机器学习中应用：istic曲线拟合也可用于机器学习任务，如分布函数估计或统计建模等。
例如，istic曲线拟合可以用于拟合给定数据的高斯分布，以更好地建模数据。
istic曲线拟合是一种广泛应用于科学和工程领域的重要技术，能够有效拟合数据，提取其特征，实现测量和分析，并用于机器学习任务，为工程设计、科学研究、机器学习等工作大大提高效率，并也带来深远的影响。
因此，istic曲线拟合可以作为一门研究课题，深入研究其原理和应用。
logit模型Logit模型(Logit model，也译作"评定模型"，"分类评定模型"，又作Logistic regression，"逻辑回归")是离散选择法模型之一，Logit 模型是最早的离散选择模型，也是目前应用最广的模型。
是社会学、生物统计学、临床、数量心理学、计量经济学、市场营销等统计实证分析的常用方法。
Logit模型（Logit模型，也翻译为“评估模型”，“分类评估模型”，也称为Logistic回归，“ logistic回归”）是离散选择方法模型之一，属于多元分析，社会学，生物统计学，临床，定量心理学，计量经济学，市场营销等统计实证分析的常用方法。
物流分配公式P（Y =1│X= x）= exp（x'β）/（1 + exp（x'β））通常通过最大似然来估计参数β。
Logit模型是最早的离散选择模型，也是使用最广泛的模型。
Logit模型首先由Luce（1959）根据IIA特性得出。
Marschark （1960）用最大效用理论证明了Logit模型的一致性。
Marley（1965）研究了模型形式与非确定效用项的分布之间的关系，证明了极值分布可以推导模型的Logit形式。
McFadden（1974）反过来证明，具有Logit形式的模型的非确定性项必须服从极值分布。
从那时起，Logit模型已在心理学，社会学，经济学和交通运输领域得到广泛使用，并且衍生并开发了其他离散选择模型以形成完整的离散选择模型系统，例如Probit模型和NL模型（Nest Logit模型）。
），混合Logit模型等。
该模型假定单个n对选择分支j的效用包括两部分：效用决定因素项和随机项：Logit模型得到广泛应用的原因主要是由于其概率表达式的显着特征，模型的快速求解速度以及便捷的应用。
当模型选择集不发生变化时，仅当每个变量的级别发生变化时（例如行进时间发生变化），就可以轻松解决新环境中每个选择分支的概率。
传染病问题中的SIR模型
摘要：
2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。
长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是我国及全世界有关专家和官员关注的课题。
不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS 模型，SIR模型等。
在这里我采用SIR（Susceptibles，Infectives，Recovered）模型来研究如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病，它主要沿用由Kermack 与McKendrick在1927年采用动力学方法建立的模型。
应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供最优决策依据, 维护人类健康与社会经济发展。
关键字：传染病；动力学；SIR模型。
一﹑模型假设
在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。
总
人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N。
人群分为以下三类：
易感染者(Susceptibles)，
其数量比例记为s(t)，表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，
其数量比例记为i(t)，表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；
恢复者(Recovered)，
其数量比例记为r(t)，表示t时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。
）占总人数的比例。
病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ，日治愈率（每天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数μ，
显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=λ／μ。
该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。
Logistic曲线模型：
如下为拟合的原始数据点：
选定初始值A=500（至于为何选取A=500，请参阅相关文献资料，有相当多的方法供选取），分别代入x=1，F(x)=3和x=2，F(x)=13到Logistic曲线方程
>>[b,c]=solve('500/(1+b*exp(-c*1))=3','500/(1+b*exp(-c*2))=13','b,c')
解得初始值：A=500, b=732.6,c=1.487
编写Matlab程序LogisticDemo.m如下：%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% x=1:8;
y=[3,13,80,195,332,895,1038,1143];
c0=[500,732.6,1.487];
fun=inline('c(1)./(1+c(2).*exp(-c(3).*x))','c','x');
b=nlinfit(x,y,fun,c0);b
t=0:.01:8;
plot(x,y,'r.',t,fun(b,t)) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Matlab中运行如上程序，结果如下图
红色框内对应的3个值即为A，b，c的参数解。
最终解得：A=1165, b=3109,c=1.5 Logistic曲线方程为：。
