数学建模图论模型 ppt课件
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图论模型实例优秀课件
▪ 几个优化原则 ▪ 扩环原则 子图有孤立枝，扩环后权值应减小 ▪ 增环原则 环路上某个顶点有两枝，且有使两枝成环的边
存在，考虑增环，增环后权值应减小 ▪ 换枝原则 环路上某顶点长出一条枝，该枝末梢和环路另
一顶点接近，可考虑换枝
问题1的分析与求解--最小生成树法
问题1的分析与求解 --TSP方法
公路边的数字为该路段的公里数.
问题分析：
本题给出了某县的公路网络图，要求的是在不 同的条件下，灾情巡视的最佳分组方案和路线.
将每个乡（镇）或村看作一个图的顶点，各乡 镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边，各条 公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所 给公路网就转化为加权网络图，问题就转化图论中 一类称之为旅行售货员问题，即在给定的加权网络 图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一次 再回到点O，使得总权（路程或时间）最小.
图论模型实例
专题
❖ 图的表示与锁具问题 ❖ 最小生成树、TSP和灾区巡视问题 ❖ 最短路、网络流和运输问题 ❖ 作业
图的表示与锁具问题
不积硅步，无以至千里 --荀子·劝学
图的矩阵表示
邻接矩阵: (以下均假设图为简单图).
1) 对无向图 G，其邻接矩阵 A(aij)，其中：
1, aij 0,
若vi与vj相邻 , 若vi与vj不相.邻
i1
定义 称
为最大容许均衡度.
为该分组的实际均衡度.
显然0 0 1，0越小，说明分组的均衡性越 好. 取定一个 后，0与 满足条件 3）的分组是
一个均衡分组. 条件 4）表示总巡视路线最短.
此问题包含两方面：a)对顶点分组, b)在每组中求 (单个售货员)最佳旅行售货员回路.
因单个售货员的最佳旅行售货员回路问题不存在多 项式时间内的精确算法.因此多个售货员的最佳旅行售 货员回路问题也不存在多项式时间内的精确算法.
存在，考虑增环，增环后权值应减小 ▪ 换枝原则 环路上某顶点长出一条枝，该枝末梢和环路另
一顶点接近，可考虑换枝
问题1的分析与求解--最小生成树法
问题1的分析与求解 --TSP方法
公路边的数字为该路段的公里数.
问题分析：
本题给出了某县的公路网络图，要求的是在不 同的条件下，灾情巡视的最佳分组方案和路线.
将每个乡（镇）或村看作一个图的顶点，各乡 镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边，各条 公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所 给公路网就转化为加权网络图，问题就转化图论中 一类称之为旅行售货员问题，即在给定的加权网络 图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一次 再回到点O，使得总权（路程或时间）最小.
图论模型实例
专题
❖ 图的表示与锁具问题 ❖ 最小生成树、TSP和灾区巡视问题 ❖ 最短路、网络流和运输问题 ❖ 作业
图的表示与锁具问题
不积硅步，无以至千里 --荀子·劝学
图的矩阵表示
邻接矩阵: (以下均假设图为简单图).
1) 对无向图 G，其邻接矩阵 A(aij)，其中：
1, aij 0,
若vi与vj相邻 , 若vi与vj不相.邻
i1
定义 称
为最大容许均衡度.
为该分组的实际均衡度.
显然0 0 1，0越小，说明分组的均衡性越 好. 取定一个 后，0与 满足条件 3）的分组是
一个均衡分组. 条件 4）表示总巡视路线最短.
此问题包含两方面：a)对顶点分组, b)在每组中求 (单个售货员)最佳旅行售货员回路.
因单个售货员的最佳旅行售货员回路问题不存在多 项式时间内的精确算法.因此多个售货员的最佳旅行售 货员回路问题也不存在多项式时间内的精确算法.
数学建模-图论
如例2中球队胜了，可从v1引一条带箭头的连线到v2，每 场比赛的胜负都用带箭头的连线标出，即可反映五个球队比 赛的胜负情况。如下图
v5
v1
v2 v3
v4
Байду номын сангаас
由图可知， v1三胜一 负， v4打了三场球， 全负等等
类似胜负这种非对称性的关系，在生产和生活中也是常见 的，如交通运输中的“单行线”，部门之间的领导和被领导关 系，一项工程中各工序之间的先后关系等等。
B
哥尼斯堡七桥问题
从某点出发通过每座桥且每桥只通过一次回到起点 A B D
建模：
C
A B D C
点——陆地 岛屿 边——桥
后来,英国数学家哈密尔顿在1856年提出“周游世界”的 问题：一个正十二面体,20个顶点分别表示世界上20个大城市, 要求从某个城市出发,经过所有城市一次而不重复,最后回到出 发地.这也是图论中一个著名的问题. “四色问题”也是图论中的著名问题：地图着色时,国境 线相邻的国家需要着上不同的颜色,最少需要几种颜色？1976 年,美国人阿佩尔和哈肯用计算机运行1200个小时,证明4种颜 色就够了.但至今尚有争议.
图论起源
图论最早处理的问题是哥尼 斯堡城的七桥问题：18世纪在哥 尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒） 有一条名叫普莱格尔（Pregel） 的河流横经其中，河上有7座桥， 将河中的两个岛和河岸连结。
C A D
城中的居民经常沿河过桥 散步，于是提出了一个问 题：能否一次走遍7座桥， 后来有人请教当时的大数学家 而每座桥只许通过一次， 欧拉,欧拉用图论的方法证明这个问 最后仍回到起始地点? 题无解,同时他提出并解决了更为一 般的问题,从而奠定了图论的基础, 欧拉也被誉为“图论之父”.
数学建模-图论模型
思路分析
• 每学期任课老师都有一定工作量的要求往往可能要上不止一门课 程。
• 每位同学需要在学期内完成若干门课程的学习。 • 某些对上课设施有特殊要求的课程，也不可以安排在同一时间。 • 为了方便开展一些全校性的活动，有些时段不安排课程。 • 受到教室数量的限制，在同一时段无法安排太多的课程。
模型建立
• 以每个课程为顶点，任何两个顶点之间连一条边当且仅当两门课 程的任课老师为同一人，或有学生同时选了这两门课或上课教室 冲突。
• 那么一个合理的课程安排就是将图中的点进行分化，使得每一个 部分里的点为一个独立集。
• 通过极小覆盖找出图中的极 大独立集，然后删去该极大 独立集，在剩下的图中找出 极大独立集，直到剩下的图 为一个独立集。
匈牙利算法
• 饱和点：Ｍ是图Ｇ的一个匹配，若Ｇ中顶点ｖ是Ｍ中某条边的端 点，则称Ｍ饱和ｖ,否则称ｖ是Ｍ的非饱和点。
• 可扩路：一条连接两个非饱和点x和y的由Ｍ外的边和Ｍ的边交错 组成的路称为Ｍ的(x,y)可扩路。
• 算法基本步骤：
Kuhn-Munkres算法
1.2 图的独立集应用
• 问题描述：各大学学期临近结束时，需要根据老师任课 计划和学生选课情况，再结合教室资源情况安排下一学 期的课程及上课时间和地点。下表所示是某大学电信学 院的大三各专业部分课程情况。该学院每届学生按专业 分班，统一选课。另外，学院只有一间普通机房和一间 高级机房。那么应该如何合理地排这些课程呢?
则称其是双连通或强连通的。对于不是双连通的图，都可以分解成 若干个极大的双连通分支，且任意两分支之间的边是同向的。
举例：
• 右图所示竞赛图不是双连通的
•
为一条有向
的D哈密尔A顿路B。 C E
数学建模-图论
图论导引
问题3:四色猜想 地图或地球仪上，最多用四种颜色就可把每一 国的版图染好，使得国界线两侧异色。
电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加 之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进 程。美国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进“放电过 程”，后与阿佩尔合作编制一个很好的程序。就在 1976年6月，他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电 子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于 完成了四色定理的证明，轰动了世界。
有向图：
1, 若vi是ei的始点 aij 1, 若vi是ei的终点 0, 若v 与e 不关联 i i
无向图：
1, 若vi与v j 关联 aij 0, 若vi与v j 不关联
图的矩阵表示
例6：写出右图与其基本图 的关联矩阵 解：分别为：
图论的基本概念
几个基本定理：
1、对图G V，E ，有 d v 2 E .
vV
2、度为奇数的顶点有偶数个。
3、设G V，E 是有向图， 则 d v d v E .
vV vV
子图
定义 设图 G=(V,E, ),G1=(V1,E1, 1 )
(3)设 E1 E,且 E1 ,以 E1 为边集,E1 的端点集为顶点集的图 G 的子图, 称为 G 的由 E1 导出的子图,记为 G[E1].
G
G[{v1,v4,v5}]
G[{e1,e2,e3}]
基 本 概 念
定义１ 在无向图 G=(V,E)中： （１） 顶点与边相互交错的有限非空序列 w (v0 e1v1e2 vk 1ek vk ) 称为一条从 v 0 到 v k 的通路，记为 Wv0vk （２）边不重复但顶点可重复的通路称为道路，记为 Tv0vk （３）边与顶点均不重复的通路称为路径，记为 Pv 0 v k 始点和终点相同的路称为圈或回路.
《数学建模》PPT课件
( x2
x1)
f
f (x2 ) (x2 ) f
2 1 ( x1) 22
1
f
( x1 )
f
(x2 )
3
f
( x1 ) x1
f (x2 ) x2
2 (12 f (x1)f (x2 ))1/2
如函数的导数容易求得，一般首先考虑使用三次插值
法，因为它具有较高效率。对于只需要计算函数值的方
法中，二次插值法是一个很好的方法，它的收敛速度较
优化模型
（2）多项式近似法 该法用于目标函数比较复杂的情 况。此时寻找一个与它近似的函数代替目标函数，并用 近似函数的极小点作为原函数极小点的近似。常用的近 似函数为二次和三次多项式。
二次内插涉及到形如下式的二次函数数据拟合问题：
mq() a2 b c
其中步长极值为：
b
2a
完整版课件ppt
求解单变量最优化问题的方法有很多种，根据目标函 数是否需要求导，可以分为两类，即直接法和间接法。 直接法不需要对目标函数进行求导，而间接法则需要用 到目标函数的导数。
完整版课件ppt
4
优化模型
1、直接法 常用的一维直接法主要有消去法和近似法两种： （1）消去法 该法利用单峰函数具有的消去性质进行
反复迭代，逐渐消去不包含极小点的区间，缩小搜索区 间，直到搜索区间缩小到给定允许精度为止。一种典型 的消去法为黄金分割法(Golden Section Search）。黄金 分割法的基本思想是在单峰区间内适当插入两点，将区 间分为三段，然后通过比较这两点函数值的大小来确定 是删去最左段还是最右段，或同时删去左右两段保留中 间段。重复该过程使区间无限缩小。插入点的位置放在 区间的黄金分割点及其对称点上，所以该法称为黄金分 割法。该法的优点是完整算版课法件p简pt 单，效率较高，稳定性好5 。
数学建模图论详解—图论与网络规划PPT课件
几何实现图例
在一个图的几何实现中，两条边的交点可能不是
图的顶点。例如图7-4 中，它共有4个顶点，6条
v1
v4
边；而e
e1
3
与e
4 的交点不是这个图的顶点。
v2
e2
e3
e4
e5
v3
e6
v4 v1
v4
e2
e3
e1
v2
e4
e5
v3
e6
v4
平面图
一个图称为平面图，如它有一个平面图形，使得边与边仅在
顶 形点 。相交。图7-5就是一e个4 平v1 面图，因为e1它可以有下v面2 的图
一个图称为简单图，如果
它既没有环也没有多重边。
下图5是简单图。
u 1
本书只限于讨论有限简单图，
即顶点集与边集都是有限集的图。
f1
f5 f2
只有一个顶点的图称为平凡图； 边集是空集的图称为空图。
u3
f3
f4
u2
f6
u4
同构
给定两个图 G (V (G), E(G), G ) 与 H (V (H ), E(H ), H )
称G和H是同构的，记为G H ，
如果存在两个一一对应 ( ,)
:V (G) V (H )
: E(G) E(H )
使的
G (e) uv H ((e)) (u) (v)
同构图例
图G与图H是同构的。
v1 e6
e1 v2
e3
e2
e5
v4
e4
v3
G
u 1
f1
f5 f2
u3
f3
f4
u2
f6
公式（1）是Dijkstra算法的基础。
数学建模-图论30页PPT
END10源自、倚南窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
数学建模-图论
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
数模培训图论模型
以可允许的10个状态向量作为顶点,将可能互相转移 的状态用线段连接起来构成一个图.
根据此图便可找到渡河方法.
2020/11/21
数模培训图论模型
(1,1,1,1) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (1,0,1,0) (0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) (0,1,0,0) (0,1,0,1)
2020/11/21
数模培训图论模型
图的定义
图论中的“图”并不是通常意义下的几何图形或物 体的形状图, 而是以一种抽象的形式来表达一些确定的 事物之间的联系的一个数学系统.
定义1 一个有序二元组(V, E ) 称为一个图, 记为G = (V, E ), 其中
① V称为G的顶点集, V≠, 其元素称为顶点或结点,
例 一摆渡人欲将一只狼,一头羊,一篮菜从河西渡过 河到河东.由于船小,一次只能带一物过河，并且狼与羊, 羊与菜不能独处.给出渡河方法.
解：用四维0-1向量表示(人,狼,羊,菜)在河西岸的 状态(在河西岸则分量取1,否则取0),共有24 =16 种状态. 在河东岸的状态类似记作.
由题设,状态(0,1,1,0),(0,0,1,1),(0,1,1,1)是不允许的, 从而对应状态(1,0,0,1), (1,1,0,0), (1,0,0,0)也是不允许的.
数模培训图论模型
2020/11/21
数模培训图论模型
图论模型
1. 图论基本概念 2. 最短路径算法 3. 最小生成树算法 4. 遍历性问题 5. 二分图与匹配
6. 网络流问题 7. 关键路径问题 8. 系统监控模型 9. 着色模型
2020/11/21
数模培训图论模型
1、图论的基本概念
根据此图便可找到渡河方法.
2020/11/21
数模培训图论模型
(1,1,1,1) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (1,0,1,0) (0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) (0,1,0,0) (0,1,0,1)
2020/11/21
数模培训图论模型
图的定义
图论中的“图”并不是通常意义下的几何图形或物 体的形状图, 而是以一种抽象的形式来表达一些确定的 事物之间的联系的一个数学系统.
定义1 一个有序二元组(V, E ) 称为一个图, 记为G = (V, E ), 其中
① V称为G的顶点集, V≠, 其元素称为顶点或结点,
例 一摆渡人欲将一只狼,一头羊,一篮菜从河西渡过 河到河东.由于船小,一次只能带一物过河，并且狼与羊, 羊与菜不能独处.给出渡河方法.
解：用四维0-1向量表示(人,狼,羊,菜)在河西岸的 状态(在河西岸则分量取1,否则取0),共有24 =16 种状态. 在河东岸的状态类似记作.
由题设,状态(0,1,1,0),(0,0,1,1),(0,1,1,1)是不允许的, 从而对应状态(1,0,0,1), (1,1,0,0), (1,0,0,0)也是不允许的.
数模培训图论模型
2020/11/21
数模培训图论模型
图论模型
1. 图论基本概念 2. 最短路径算法 3. 最小生成树算法 4. 遍历性问题 5. 二分图与匹配
6. 网络流问题 7. 关键路径问题 8. 系统监控模型 9. 着色模型
2020/11/21
数模培训图论模型
1、图论的基本概念
数学建模图论讲
如果任两顶点间最多有一条边，且每条边的两个端点皆 不重合的图，则称为简单图。
第2页1 /共86页
2024年8月3日
数学建模-图论
一、图的基本概念
如果图的二顶点间有边相连，则称此顶点相邻，每一对顶点
都相邻的图称为完全图，否则称为非完全图，完全图记为 K V 。
若V (G) X Y, X Y , X Y 0 ，且 X 中 无相邻的顶点对，Y 中亦然，则称图 G 为二分图.
第1行 1 A1i 第i行 1
11，A1i 2
2 2
22，A1i3
4 4
4 4
其中i=2,3,4,5,显然y1=1+(4+4+4+4-1) 4=61. 同理，计算y2时应考虑槽高只有2,21,23,24,25,
26时的情形，类似计算可得 y2=1+(4+4+4+4-1)×5=76．
于是，s=61×2+76×4=426，x=6306426=5880.
计算y1可分别考虑槽高只有1，12，13，14，15的 情形．若只有1，这样的锁具效只有1个， 若只有1和i(i=2,3,4,5)，这样的锁具数=G中以1和i为 顶点，长度为3的道路数，此数可通过A的子矩阵A1i计 算得到．
第18页/共86页
数学建模-图论
二、图的矩阵表示（应用实例解法分析）
事实上，因为
间最短的路线。定义T*T=(t(2)ij),
3
4
t(2)ij=min{min1<=k<=5{tik+tkj},tij}, t(2)ij表示 从站点i到站点j的至多换乘一次的最短时间。
5
第22页/共86页
数学建模-图论
二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析）
第2页1 /共86页
2024年8月3日
数学建模-图论
一、图的基本概念
如果图的二顶点间有边相连，则称此顶点相邻，每一对顶点
都相邻的图称为完全图，否则称为非完全图，完全图记为 K V 。
若V (G) X Y, X Y , X Y 0 ，且 X 中 无相邻的顶点对，Y 中亦然，则称图 G 为二分图.
第1行 1 A1i 第i行 1
11，A1i 2
2 2
22，A1i3
4 4
4 4
其中i=2,3,4,5,显然y1=1+(4+4+4+4-1) 4=61. 同理，计算y2时应考虑槽高只有2,21,23,24,25,
26时的情形，类似计算可得 y2=1+(4+4+4+4-1)×5=76．
于是，s=61×2+76×4=426，x=6306426=5880.
计算y1可分别考虑槽高只有1，12，13，14，15的 情形．若只有1，这样的锁具效只有1个， 若只有1和i(i=2,3,4,5)，这样的锁具数=G中以1和i为 顶点，长度为3的道路数，此数可通过A的子矩阵A1i计 算得到．
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数学建模-图论
二、图的矩阵表示（应用实例解法分析）
事实上，因为
间最短的路线。定义T*T=(t(2)ij),
3
4
t(2)ij=min{min1<=k<=5{tik+tkj},tij}, t(2)ij表示 从站点i到站点j的至多换乘一次的最短时间。
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数学建模-图论
二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析）
图论模型专题PPT共71页
图论模型专题
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
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5
问题3(四色问题): 对任何一张地图进行着色，两个共同边界的国家染不同的颜
色，则只需要四种颜色就够了.
问题4(关键路径问题): 一项工程任务,大到建造一座大坝,一座体育中心,小至组装
一台机床,一架电视机, 都要包括许多工序.这些工序相互约束, 只有在某些工序完成之后, 一个工序才能开始. 即它们之间存在 完成的先后次序关系,一般认为这些关系是预知的, 而且也能够 预计完成每个工序所需要的时间.
若将图G的每一条边e都对应一个实数F(e)，则称 F(e)为该边的权，并称图G为赋权图(网络), 记为 G = <V, E , F>。
任意两点均有通路的图称为连通图。
连通而无圈的图称为树，常用T=<V,E>表示树。
若图G’是图 G 的生成子图，且G’又是一棵树， 则称G’是图G 的生成树。
问题：任何6个人的聚会，数其学中建总模会有图3个论互模相型认识或
条边必有3条边的颜色是相同的，不妨设为蓝 色（如图） 与这3条边相关联的另外3个节点之间的3条边 ，若都为红色，则形成红色的K3； 若另外3个节点之间的3条边有一条为蓝色，则 与上面的蓝色边形成蓝色的K3； 因此必然存在一个红色的K3或一个蓝色的K3 。
① V称为G的顶点集, V≠, 其元素称为顶点或结点, 简称点;
② E称为G的边集, 其元素称为边, 它联结V 中的两个点, 如 果这两个点是无序的, 则称该边为无向边, 否则, 称为有向边.
如果V = {v1, v2, … , vn}是有限非空点集, 则称G为有限图或 n阶图.
如果E的每一条边都是无向边, 则称G为无向图(如图1); 如 果E的每一条边都是有向边, 则称G为有向图(如图2); 否则, 称 G为混合图.
数学建模图 论模型
数学建模图论模型
1. 图论基本概念 2. 最短路径算法 3. 最小生成树算法 4. 遍历性问题 5. 二分图与匹配
6. 网络流问题 7. 关键路径问题 8. 系统监控模型 9. 着色模型
2
数学建模图论模型
问题1(哥尼斯堡七桥问题): 能否从任一陆地出发通过每座桥恰好一次而
回到出发点？
dout(v1)= dout (v3)= dout (v4)=2, dout(v2)=1 din(v1)= din(v3)= din(v4)=2, din(v2)=1
11
握手定理
握手定理：无向图中，所有结点的度数之和等于2m。
n
d(vi ) 2m
i1
右图：
n
d(vi ) 2*714
i1
d(v1)= d(v3)= d(v4)=4, d(v2)=2
这时工程领导人员迫切希望了解最少需要多少时间才能够完 成整个工程项目, 影响工程进度的要害工序是哪几个？
6
数学建模图论模型
图论中的“图”并不是通常意义下的几何图形或物体的形 状图, 而是以一种抽象的形式来表达一些确定的事物之间的联 系的一个数学系统.
定义1 一个有序二元组(V, E ) 称为一个图, 记为G = (V, E ), 其中
推论1：无向图中必有偶数个度数为奇数的结点。 推论2：有向图中所有结点的出度之和等于入度之和。
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数学建模图论模型
(1) 顶点个数是有限的; (2) 任意一条边有且只有两个不同的点与它相互关联; (3) 若是无向图, 则任意两个顶点最多只有一条边与之相 联结; (4) 若是有向图, 则任意两个顶点最多只有两条边与之相 联结. 当两个顶点有两条边与之相联结时，这两条边的方向 相反. 如果某个有限图不满足(2)(3)(4),可在某条边上增设顶点 使之满足.
10
有边联结的两个点称为相邻的点, 有一个公共端点的边称为相 邻边. 边和它的端点称为互相关联. 常用d(v)表示图G中与顶点v关联 的边的数目, d(v)称为顶点v的度数. 对于有向图,还有出度和入度之 分.
用N(v)表示图G中所有与顶点v相邻的顶点的集合.
d(v1)= d(v3)= d(v4)=4, d(v2)=2
图1
图2
并且常记: V = {v1, v2, … , vn}, |V | = n ; E = {e1, e2, … , em}(ek=vivj ) , |E | = m.
称点vi , vj为边vivj的端点. 在有向图中, 称点vi , vj分别为边vivj的 始点和终点. 该图称为(n,m)图
8
对于一个图G = (V, E ), 人们常用图形来表示它, 称 其为图解. 凡是有向边, 在图解上都用箭头标明其方向.
相不认识。 图论模型：用红、蓝两种颜色对6个顶点的完全图K6的
行任意着色，则不论如何着色必然都存在一个红色的 一个蓝色的K3 。
对应关系：每个人即为一个结点；人与人之间的关系 一条边
数学建模图论模型
图论证明： 用红、蓝两种颜色对K6的边进行着色， K6的任意一个顶点均有5条边与之相连接，这5
例如, 设V = {v1 , v2 , v3 , v4}, E = { v1v2 , v1v3 , v1v4 , v2v3 , v2v4 , v3v4}, 则G = (V, E ) 是一个有4个顶点和6条边的图, G的图解如下图所示.
9
一个图会有许多外形不同的图解, 下面两个图表示同一个图 G = (V, E )的图解.这两个图互为同构图,今后将不计较这种外形 上的差别,而用一个容易理解的、确定的图解去表示一个图.
定义2 若将图G的每一条边e都对应一个实数F (e), 则称F (e)为该边的权, 并称图G为赋权图(网络), 记为G = (V, E , F ).
定义3 任意两点均有通路的图称为连通图. 定义4 连通而无圈的图称为树, 常用T表示树.
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数学建模图论模型
给定图G=<V,E> 和 G’ =<V’,E’ > 是两个图，如 果有 V’ ⊆ V 和 E’ ⊆ E,则称图G’是图 G 的子图。 若V’ =V 称图G’是图 G 的生成子图；
3
欧拉指出： 如果每块陆地所连接的桥都是偶数座，则从任一
陆地出发，必能通过每座桥恰好一次而回到出发地.
4Байду номын сангаас
问题2(哈密顿环球旅行问题): 十二面体的20个顶点代表世界上20个城市， 能否从某个城市出发在十二面体上依次经过每个 城市恰好一次最后回到出发点？
欧拉问题是“边遍历”，哈密尔顿问题是“点遍历”
问题3(四色问题): 对任何一张地图进行着色，两个共同边界的国家染不同的颜
色，则只需要四种颜色就够了.
问题4(关键路径问题): 一项工程任务,大到建造一座大坝,一座体育中心,小至组装
一台机床,一架电视机, 都要包括许多工序.这些工序相互约束, 只有在某些工序完成之后, 一个工序才能开始. 即它们之间存在 完成的先后次序关系,一般认为这些关系是预知的, 而且也能够 预计完成每个工序所需要的时间.
若将图G的每一条边e都对应一个实数F(e)，则称 F(e)为该边的权，并称图G为赋权图(网络), 记为 G = <V, E , F>。
任意两点均有通路的图称为连通图。
连通而无圈的图称为树，常用T=<V,E>表示树。
若图G’是图 G 的生成子图，且G’又是一棵树， 则称G’是图G 的生成树。
问题：任何6个人的聚会，数其学中建总模会有图3个论互模相型认识或
条边必有3条边的颜色是相同的，不妨设为蓝 色（如图） 与这3条边相关联的另外3个节点之间的3条边 ，若都为红色，则形成红色的K3； 若另外3个节点之间的3条边有一条为蓝色，则 与上面的蓝色边形成蓝色的K3； 因此必然存在一个红色的K3或一个蓝色的K3 。
① V称为G的顶点集, V≠, 其元素称为顶点或结点, 简称点;
② E称为G的边集, 其元素称为边, 它联结V 中的两个点, 如 果这两个点是无序的, 则称该边为无向边, 否则, 称为有向边.
如果V = {v1, v2, … , vn}是有限非空点集, 则称G为有限图或 n阶图.
如果E的每一条边都是无向边, 则称G为无向图(如图1); 如 果E的每一条边都是有向边, 则称G为有向图(如图2); 否则, 称 G为混合图.
数学建模图 论模型
数学建模图论模型
1. 图论基本概念 2. 最短路径算法 3. 最小生成树算法 4. 遍历性问题 5. 二分图与匹配
6. 网络流问题 7. 关键路径问题 8. 系统监控模型 9. 着色模型
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数学建模图论模型
问题1(哥尼斯堡七桥问题): 能否从任一陆地出发通过每座桥恰好一次而
回到出发点？
dout(v1)= dout (v3)= dout (v4)=2, dout(v2)=1 din(v1)= din(v3)= din(v4)=2, din(v2)=1
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握手定理
握手定理：无向图中，所有结点的度数之和等于2m。
n
d(vi ) 2m
i1
右图：
n
d(vi ) 2*714
i1
d(v1)= d(v3)= d(v4)=4, d(v2)=2
这时工程领导人员迫切希望了解最少需要多少时间才能够完 成整个工程项目, 影响工程进度的要害工序是哪几个？
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数学建模图论模型
图论中的“图”并不是通常意义下的几何图形或物体的形 状图, 而是以一种抽象的形式来表达一些确定的事物之间的联 系的一个数学系统.
定义1 一个有序二元组(V, E ) 称为一个图, 记为G = (V, E ), 其中
推论1：无向图中必有偶数个度数为奇数的结点。 推论2：有向图中所有结点的出度之和等于入度之和。
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数学建模图论模型
(1) 顶点个数是有限的; (2) 任意一条边有且只有两个不同的点与它相互关联; (3) 若是无向图, 则任意两个顶点最多只有一条边与之相 联结; (4) 若是有向图, 则任意两个顶点最多只有两条边与之相 联结. 当两个顶点有两条边与之相联结时，这两条边的方向 相反. 如果某个有限图不满足(2)(3)(4),可在某条边上增设顶点 使之满足.
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有边联结的两个点称为相邻的点, 有一个公共端点的边称为相 邻边. 边和它的端点称为互相关联. 常用d(v)表示图G中与顶点v关联 的边的数目, d(v)称为顶点v的度数. 对于有向图,还有出度和入度之 分.
用N(v)表示图G中所有与顶点v相邻的顶点的集合.
d(v1)= d(v3)= d(v4)=4, d(v2)=2
图1
图2
并且常记: V = {v1, v2, … , vn}, |V | = n ; E = {e1, e2, … , em}(ek=vivj ) , |E | = m.
称点vi , vj为边vivj的端点. 在有向图中, 称点vi , vj分别为边vivj的 始点和终点. 该图称为(n,m)图
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对于一个图G = (V, E ), 人们常用图形来表示它, 称 其为图解. 凡是有向边, 在图解上都用箭头标明其方向.
相不认识。 图论模型：用红、蓝两种颜色对6个顶点的完全图K6的
行任意着色，则不论如何着色必然都存在一个红色的 一个蓝色的K3 。
对应关系：每个人即为一个结点；人与人之间的关系 一条边
数学建模图论模型
图论证明： 用红、蓝两种颜色对K6的边进行着色， K6的任意一个顶点均有5条边与之相连接，这5
例如, 设V = {v1 , v2 , v3 , v4}, E = { v1v2 , v1v3 , v1v4 , v2v3 , v2v4 , v3v4}, 则G = (V, E ) 是一个有4个顶点和6条边的图, G的图解如下图所示.
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一个图会有许多外形不同的图解, 下面两个图表示同一个图 G = (V, E )的图解.这两个图互为同构图,今后将不计较这种外形 上的差别,而用一个容易理解的、确定的图解去表示一个图.
定义2 若将图G的每一条边e都对应一个实数F (e), 则称F (e)为该边的权, 并称图G为赋权图(网络), 记为G = (V, E , F ).
定义3 任意两点均有通路的图称为连通图. 定义4 连通而无圈的图称为树, 常用T表示树.
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数学建模图论模型
给定图G=<V,E> 和 G’ =<V’,E’ > 是两个图，如 果有 V’ ⊆ V 和 E’ ⊆ E,则称图G’是图 G 的子图。 若V’ =V 称图G’是图 G 的生成子图；
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欧拉指出： 如果每块陆地所连接的桥都是偶数座，则从任一
陆地出发，必能通过每座桥恰好一次而回到出发地.
4Байду номын сангаас
问题2(哈密顿环球旅行问题): 十二面体的20个顶点代表世界上20个城市， 能否从某个城市出发在十二面体上依次经过每个 城市恰好一次最后回到出发点？
欧拉问题是“边遍历”，哈密尔顿问题是“点遍历”