第七章 参数估计

第七章 参数估计
§1点估计
定义1 的用样本的待估计参数为总体设n X X X X ,,,,21 θ一个统计量
),,,(ˆˆ21n
X X X θθ= 来估计θ，则称),,,(ˆ21n X X X θ为θ的点估计量。

对于样本观测值n x x x ,,,21 ，称),,,(ˆ21n
x x x θ为θ的点估计值。

一、矩估计法
定义2 ()k k x F X θθθθ,,,,,;11 其中的分布函数为设总体为待估计的k 个未知参数，假设X 的k ~1阶原点矩都存在，则有
),,()(1k i i i X E θθμμ ==，k i ,,2,1 =
取样本的i 阶原点矩i A 作为总体i 阶原点矩i μ的估计量，即
∑===n j i
j i i X n A 1
1ˆμ
，k i ,,2,1 = 得方程组
i k i μ
θθμˆ),,(1= ，k i ,,2,1 = 解得
),,,(ˆˆ21n
i i X X X θθ=，k i ,,2,1 = 称i
θˆ为i θ的矩法估计量，简称矩估计。

【例1】 吴书p.154.例1。

即密度函数上的均匀分布服从设总体,)](,[2121θθθθ<X
的矩估计量。

求是一个样本未知其中212121,,,,,,,θθθθn X X X
()⎪⎩
⎪
⎨⎧<<-=其他,0,1
,,211
221θθθθθθx x f
【例2】 吴书p.154.例2。

设n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，并且总体X 的均值μ及方差2
σ都存在。

试求总体的期望)(X E =μ和方差)(2X D =σ的矩估计。

二、极大似然估计法
在随机试验中，许多事件都有可能发生，概率大的事件发生的可能性也大。

若在一次试验中，某事件发生了，则有理由认为此事件比其他事件发生的概率大，这就是所谓的极大似然原理。

极大似然估计法就是依据这一原理得到的一种参数估计方法。

对离散型总体X ，若其分布律为
),,,(}{1k x p x X P θθ ==
其中k θθ,,1 为待估计的未知参数，),,(1k θθ 的取值范围为Θ。

设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，其观测值为n x x x ,,,21 。

记
},,,{2211n n x X x X x X A ====
事件A 发生的概率记为
∏==n
i k i k x p L 1
11),,,(),,(θθθθ ，Θ∈),,(1k θθ
称),,(1k L θθ 为样本的拟然函数。

对连续型总体X ，若其概率密度为),,,,(21k x f θθθ ，样本的拟然函数为
∏==n
i k i k x f L 1
2121),,,,(),,,(θθθθθθ
定义3 如果样本的拟然函数),,,(21k L θθθ 在),,,(ˆ21n i x x x θ),,2,1(k i =处达到最大值，则称),,,(ˆ21n i x x x θ),,2,1(k i =为参数i θ的极大拟然估计值，称),,,(ˆ21n
i X X X θ),,2,1(k i =为参数i θ的极大拟然估计量。

由于L ln 与L 有相同的最大值点，故只需求L ln 的最大值点即可，即只需解极大拟然
方程组
0ln =∂∂
L i
θ，k i ,,2,1 = 就可得参数的极大拟然估计。

【例5】 吴书p.156.例5。

设某电子元件的寿命T 服从参数为λ的指数分布，测得n 个元件的失效时间为
n x x x ,,,21 ，试求λ的极大拟然估计。

【例6】 吴书p.156.例6。

设n x x x ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本取值，试求未知参数2,σμ的极大拟然估计。

【例7】 吴书p.157.例7。

设总体X 服从参数为λ的泊松分布，n x x x ,,,21 为一样本取值，试求参数λ的极大拟然估计。

【例8】 吴书p.158.例8。

设总体X 服从均匀分布],0[θU ，)0(>θ，n X X X ,,,21 为一样本，试求θ的极大拟然估计。

§2估计量的评选标准
在参数估计问题中，同一参数用不同的估计方法，得到的估计量不一定相同。

那么，在应用中究竟用哪一种方法呢？下面给出一些评选标准。

1. 无偏性
要求所有估计误差的加权和应为零，即没有系统误差，这就是无偏性原则。

定义1 设),,,(ˆˆ21n
X X X θθ=为未知参数θ的估计量，若对任意Θ∈θ有 θθ
=)ˆ(E 则称),,,(ˆ21n X X X θ是θ的无偏估计量，并称θθ-)ˆ(E 为估计量),,,(ˆ21n
X X X θ的系统误差。

显然，样本均值X ，样本方差2
S 分别是总体均值μ，总体方差2
σ的无偏估计。

【例1】 吴书p.160.例1。

设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，作为总体均值的估计有
∑===n
i i X n X T 111，12X T =，∑==n
i i i X a T 1
3
其中0>i a ),,2,1(n i =，且∑==n i i
a
1
1。

试证321,,T T T 都是无偏估计。

【例2】 吴书p.160.例2。

设总体X 服从均匀分布],0[θU ，)0(>θ，n X X X ,,,21 为一样本，试问X T 21=和
),,max(1)(2n n X X X T ==是否为θ的无偏估计？
2. 有效性
满足无偏性的估计可能不止一个，其中以方差小者为好，这就是有效性准则。

定义2 设1ˆθ和2
ˆθ为参数θ的两个无偏估计量，若对任意Θ∈θ有 )ˆ()ˆ(2
1θθD D ≤ 且至少存在某一个Θ∈θ，使得上式成为严格的不等式，则称1ˆθ较2
ˆθ有效。

【例3】 吴书p.161.例3。

（续例1）设总体X 的方差)(X D 存在，试问321,,T T T 哪个更有效？
3. 相合性
随着样本容量的增加，要求有偏估计量的偏差越来越小，这就是相合性准则。

定义3 设θˆ是参数θ的一个估计量，若对任意Θ∈θ，当∞→n 时θˆ依概率收敛于θ，
则称θˆ是θ的相合估计量。

即若对任意Θ∈θ都满足：对于任意0>ε，有
1}|ˆ{|lim =<-∞
→εθθ
P n ，则称θˆ是θ的相合估计量。

样本矩是总体矩的相合估计量。

§3区间估计
一、区间估计问题
定义 设总体X 的分布中含有未知参数θ，),,,(21n X X X θ和),,,(21n X X X θ是由样本n X X X ,,,21 确定的两个统计量。

对给定的数α)10(<<α，如果对参数θ的任何值，都有
αθθθ-≥<<1}{P
则称随机区间),(θθ为参数θ的置信水平为α-1的置信区间，θθ,分别称为θ的双侧置信区间的置信下限和置信上限，α-1称为置信水平或置信度。

二、估计方法
【例】 吴书p.164.例。

设总体),(~2
σμN X ，2
σ已知，μ未知，n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本，试求μ的置信水平为α-1的置信区间。

⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+-22,αασσu n X u n X 求未知参数θ的置信区间的具体做法如下：
§4正态总体参数的区间估计
一、一个正态总体均值的区间估计
二、两个正态总体均值差的区间估计
三、一个正态总体方差的区间估计
四、两个正态总体方差比的区间估计
§5非正态总体参数的区间估计举例
§6单侧置信区间。