矩阵的特征值与特征向量

第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题

1 试用施密特法把下列向量组正交化

(1)931421111) , ,(321aaa

(2)011101110111) , ,(321aaa

2 设x为n维列向量 xTx1 令HE2xxT 证明H是对称的正交阵

3 求下列矩阵的特征值和特征向量:

(1)201335212;

(2)633312321.

4 设A为n阶矩阵 证明AT与A的特征值相同

5 设0是m阶矩阵AmnBnm的特征值 证明也是n阶矩阵BA的特征值.

6 已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3 求|A35A27A|

7 已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3 求|A*3A2E|

8 设矩阵50413102xA可相似对角化 求x

9 已知p(1 1 1)T是矩阵2135212baA的一个特征向量 (1)求参数a b及特征向量p所对应的特征值

(2)问A能不能相似对角化并说明理由

10 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵020212022化为对角阵.

11 设矩阵12422421xA与y45相似 求x y 并求一个正交阵P 使P1AP

12 设3阶方阵A的特征值为12 22 31 对应的特征向量依次为p1(0 1 1)T p2(1

1 1)T p3(1 1 0)T 求A.

13 设3阶对称矩阵A的特征值16 23 33 与特征值16对应的特征向量为p1(1

第１５卷第５期　２０１３年ｌ０月　遵义师范学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｚｕｎｙｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　Ｖｏ１．１５，Ｎｏ．５　Ｏｃｔ．２０１　３　

伴随矩阵的特征值与特征向量　

柯铧　，柯科　

（１．遵义师范学院数学与计算科学学院，贵州遵义５６３００２；２．中国人民解放军昆明民族干部学院，云南昆明６５０２０７）　

摘要：矩阵是高等代数的重要内容，伴随矩阵在矩阵运算和应用中起着非常重要的作用．关于伴随矩阵的特征值与特征向量，　朱焕、关丽杰、范惠玲给出了这方面的３个性质；张建航、李宗成、贾云锋、张毅敏、黎勇、王松华又给出了类似的３个性质．这里将　其综合并推广到ｋ．伴随矩阵的情形．　关键词：伴随矩阵；ｋ－伴随矩阵；特征值；特征向量　中图分类号：Ｏ１５１．２１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００９．３５８３（２０１３）．００８２．０２　

Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　Ｖａｌｕｅ　ａｎｄ　Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　Ｖｅｃｔｏｒ　ｏｆ　Ａｄｊ　ｏｉｎｔ　Ｍａ－・　

ｔｒｉｘ　

ＫＥ　Ｈｕａ　，ＫＥ　Ｋｅ　

（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＳｃｉｅｎｃｅ，ＺｕｎｙｉＮｏｒｍａｌＣｏｌｌｅｇｅ，Ｚｕｎｙｉ５６３００２，Ｃｈｉｎａ；２．ＴｅａｃｈｉｎｇａｎｄＲｅｓｅａｒｃｈＳｅｃｔｉｏｎ，　ＫｕｎｍｉｎｇＥｔｈｎｉｏＯｆｆｉｃｅｒＡｃａｄｅｍｙＰＬＡＣｈｉｎａ，Ｋｕｎｍｉｎｇ６５０２０７，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｍａｔｒｉｘ　ｉｓ　ｖｅｒｙ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｉｎ　ａｄｖａｎｃｅ　ａｌｇｅｂｒａ，ａｎｄ　ａｄｊｏｉｎｔ　ｍａｔｒｉｘ　ｐｌａｙｓ　ａ　ｖｅｒｙ　ｋｅｙ　ｒｏｌｅ　ｉｎ　ｍａｔｒｉｘ　ｏｐｅｒａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．Ａｓ　ｔｏ　Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｖａｌｕｅ　ａｎｄ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｖｅｃｔｏｒ　ｏｆａｄｊｏｉｎｔ　ｍａｔｒｉｘ，Ｚｈｕ　ｈｕａｎ，Ｇｕａｎ　Ｌｉｊｉｅ，Ｆａｎ　Ｈｕｉｌｉｎｇ　ｇａｖｅ　ｔｈｅ　ｔｈｒｅｅ　ｎａｔｕｒｅｓ　ｏｆｔｈｉｓ　ａｓ—　ｐｅｃｔ；ＺｈａｎｇＪｉａｎｈａｎｇ，ＬｉＺｏｎｇｃｈｅｎｇ，ＪｉａＹｕｎｆｅｎｇ，ＺｈａｎｇＹｉｍｉｎ，ＬｉＹｏｎｇａｎｄＷａｎｇＳｏｎｇｈｕａａｌｓｏｇａｖｅｔｈｒｅｅ　ｓｉｍｉｌａｒｎａｔｕｒｅｓ．Ｔｈｅａｕｔｈ－　ｏｒ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｃｏｎｓｏｌｉｄａｔｅｓ　ａｎｄ　ｅｘｔｅｎｄｅｄｓ　ｔｏ　ｉｔｓ　ｋ－ａｄｊｏｉｎｔ　ｍａｒｘ　ｃａｓｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ａｄｊｏｉｎｔ　ｍａｔｒｉｘ；ｋ－ａｄｊｏｉｎｔ　ｍａｔｒｉｘ；ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｖａｌｕｅ；ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｖｅｃｔｏｒ　

第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题 1 试用施密特法把下列向量组正交化

(1)931421111) , ,(321aaa

(2)011101110111) , ,(321aaa 2 设x为n维列向量 xTx1 令HE2xxT 证明H是对称的正交阵 3 求下列矩阵的特征值和特征向量:

(1)201335212;

(2)633312321. 4 设A为n阶矩阵 证明AT与A的特征值相同 5 设0是m阶矩阵AmnBnm的特征值 证明也是n阶矩阵BA的特征值. 6 已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3 求|A35A27A| 7 已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3 求|A*3A2E| 8 设矩阵50413102xA可相似对角化 求x 9 已知p(1 1 1)T是矩阵2135212baA的一个特征向量

(1)求参数a b及特征向量p所对应的特征值

(2)问A能不能相似对角化？并说明理由 10 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵020212022化为对角阵. 11 设矩阵12422421xA与y45相似 求x y 并求一个正交阵P 使P1AP 12 设3阶方阵A的特征值为12 22 31 对应的特征向量依次为p1(0 1 1)T p2(1 1 1)T p3(1 1 0)T 求A. 13 设3阶对称矩阵A的特征值16 23 33 与特征值16对应的特征向量为p1(1 1 1)T 求A. 14 设340430241A 求A100

矩阵特征值与特征向量的求法

一、矩阵特征值与特征向量的定义

矩阵特征值（eigenvalue）是指一个矩阵在某个非零向量上的线性变换结果等于该向量的常数倍，这个常数就是该矩阵的特征值。而对应于每个特征值，都有一个非零向量与之对应，这个向量就是该矩阵的特征向量（eigenvector）。

二、求解矩阵特征值与特征向量的方法

1. 特征多项式法

通过求解矩阵A减去λI（其中λ为待求解的特征值，I为单位矩阵）的行列式det(A-λI)=0来求解其特征值。然后将每个特征值代入到(A-λI)x=0中，即可求得对应的特征向量x。

2. 幂法

幂法是一种迭代方法，通过不断地将A作用于一个初始向量x上，并将结果归一化，最终得到收敛到最大（或最小）特征值所对应的特征向量。具体步骤如下：

(1) 选取任意一个非零初始向量x；

(2) 将Ax除以x中最大元素得到新的向量y=A*x/max(x)；

(3) 将y归一化得到新的向量x=y/||y||；

(4) 重复步骤2-3，直到收敛。

3. QR分解法

QR分解是将矩阵A分解为Q和R两个矩阵的乘积，其中Q是正交矩阵（即Q^T*Q=I），R是上三角矩阵。通过不断地对A进行QR分解，并将得到的Q和R相乘，最终得到一个上三角矩阵T。T的对角线元素就是A的特征值，而对应于每个特征值，都可以通过反推出来QR分解中的Q所对应的特征向量。

4. Jacobi方法

Jacobi方法也是一种迭代方法，通过不断地施加相似变换将A转化为对角矩阵D。具体步骤如下：

(1) 选取任意一个非零初始矩阵B=A；

(2) 找到B中绝对值最大的非对角元素b(i,j)，记其位置为(i,j)；

(3) 构造Givens旋转矩阵G(i,j,k)，使其作用于B上可以消去b(i,j)，即B=G^T*B*G；

(4) 重复步骤2-3，直到所有非对角元素均趋近于0。

三、总结

以上介绍了求解矩阵特征值与特征向量的四种方法：特征多项式法、幂法、QR分解法和Jacobi方法。不同的方法适用于不同类型的矩阵，选择合适的方法可以大大提高计算效率。在实际应用中，我们可以根据具体问题的需要来选择合适的方法。