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解不等式(知识点、题型详解)

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文案大全 不等式的解法

1、一元一次不等式axb

方法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为axb的形式，若0a,则bxa；若0a,则bxa；若0a,则当0b时，xR；当0b时，x。

【例1-1】（1）2133ax

解：此时，因为a的符号不知道，所以要分：a=0，a>0, a<0这三种情况来讨论.

由原不等式得ax>1, ①当a=0时， 0>1.所以，此时不等式无解.

② 当a>0时， x>a1, ③当a<0时，x

【例1-2】已知不等式0)(6)23(baxba与不等式01)1(322aaxaa同解，解不等式0)3(2)2(3abxba。

解：Ra，012aa ∴ 01)1(322aaxaa的解为31x

∴ )(6)23(baxba中0)23(ba ∴ 解babax23)(6 由题意baba23)(631

∴ 043ba 代入所求：062bbx ∴ 3x

要注意：当一元一次不等式中未知数的系数是字母时，要分未知数的系数等于0、大于0、小于0这三种情况来讨论.

2、一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当0和0时的解集你会正确表示吗？

基本步骤：

① 把二次项系数a化为正

②求对应的一元二次方程的根（先考虑十字相乘法，不能因式分解的再考虑用求根公式）

③利用二次函数的图像（下图，三个“二”的关系）求出对应的解集，用集合或区间表示设0a,12,xx是方程20axbxc的两实根，且12xx，则其解集如下表：

二次函数、方程 20axbxc 20axbxc 20axbxc 20axbxc

0

1{|xxx或

2}xx 1{|xxx或

2}xx 12{|}xxxx 12{|}xxxx

0

{|}2bxxa R  {|}2bxxa 实用文档

文案大全 0

R R  

【例2-1】解下列关于x的不等式：

(1) 2x2-3x-5>0； (2) 3x2-4x-10； (3) x2-2x+10；

(4) x2-2x+1>0； (5) x2-2x+3>0； (6) x2-2x+30.

解析：（1）（2）代表判别式大于0的一元二次不等式的题目.只不过（1）对应的一元二次方程容易因式分解求两根，（2）就不容易用十字相乘法因式分解，此时需要用一元二次方程的求根公式或者配成完全平方的形式来求两根.（3）（4）代表判别式等于0的一元二次不等式的题目.（5）（6）代表判别式小于0的一元二次不等式的题目.

（1）因为对此不等式对应的一元二次方程x22-3x-5=0因式分解得

(2x-5)(x+1)=0. 所以该方程的两根为：x1=25,或x2=-1.

又因为此不等式对应的一元二次函数y=2x2-3x-5的抛物线开口向上，

所以，根据“大于在两边，小于在中间”的原理，

可以直接写出不等式2x2-3x-5>0的范围： x>25，或x<-1；

（2）与上题解法类似.∵3x2-4x-1=0的判别式=42-43(-1)=28>0,

∴一元二次方程3x2-4x-1=0有两个不同的实数根为 x1=372, 或x2=372.

∴此不等式中x的取值范围是 372x372；

（3）∵x2-2x+1=0的判别式=0.

∴x2-2x+1=0有两个相等的实数根， x1=x2=1.

所以，根据“大于在两边，小于在中间”的原理，

不等式x2-2x+10中x的取值范围是 1x1,即x=1；

（4）与（3）类似分析，可知

不等式x2-2x+1>0中x的取值范围是x>1，或x<1,即x≠1；

（5）因为方程x2-2x+3=0的判别式<0.所以方程x2-2x+3=0没有实数根.

此时，就不能根据“大于在两边，小于在中间”的原理了，

这时，可以用配成完全平方式的方法.

∵x2-2x+3=x2-2x+1+2=21）（x+2>0，

∴不等式x2-2x+3>0中x的取值范围是 x∈R；

（6）与（5）类似分析，可知

不等式x2-2x+30中x的取值范围是空集.

【例2-2】解下列关于x的不等式：

22232(1)(1)0(2)()0(3)10.xaxaxaaxaaxax；；

解析：这是与一元(一)二次不等式有关的含有参数的不等式题型，常考的有两种形式：易因式分解求根的形式和不易（能）因式分解求根的形式. 解这类题的关键是：把参数a以正确的情况来分类讨论，然后再用解一元一（二）次不等式的基本方法来做. 实用文档

文案大全 ；，或时，当，或时，当时，当）（易知原不等式因式分解，所以，方法一：因为本题容易axxaxaxaxaxax11.11.11.0)1()1(

一；以下讨论的情况同方法三种情况讨论了所以，我们就可以分这；；把数轴分为三部分：此时，只能取一个值这样）（即，令判别式系数为常数，我们只要方法二：因为二次项的..11111.1.04102aaaaaaa

；原不等式的解为：时，时，即当原不等式的解为：时，，或时，即当，或时，原不等式的解为：，或时，即当原不等式系来讨论即可只要根据两根的大小关，所以，解求出对应方程的两根类似，两者都易因式分与axaaaaaxaaaaaxxaaaaaxax22222210.01.1010.0))((.)1()2(

（3）式对应的方程不易因式分解求出根，判别式的符号不能确定，并且x2的系数含有参数. 这说明对应方程根的情况不能确定，该不等式也不一定为一元二次不等式. 综合上述分析，我们应以x2的系数为0以及判别式为0时，得出的参数a值作为讨论的依据. 求出的参数a把数轴分为几部分，相应的就分几种情况来讨论.

.444000.40040.0022aaaaaaaaaaax；；；；值把数轴分为五部分：值一共有两个，这两个所以，求出的，或，即再令判别式，即的系数为令

由上面的分析，我们就容易知道讨论的依据了.

.24240..24,24.00.210)12(01444..0102212222122aaaaxaaaaxaxxaaaaxaaaaxaxxxxaa，或时，原不等式的解为：所以，当且此时或两根为：对应的一元二次方程的别式数的图像开口向下，判时，对应的一元二次函当时，原不等式当集为空集所以，此时不等式的解时，原不等式当

.24244...04..,0402212aaaaxaaaaaxxaa时，原不等式的解为：所以，当只不过的两根方程的根仍为上面所求此时，对应的一元二次别式数的图像开口向上，判时，对应的一元二次函当为空集所以，原不等式的解集无根即对应的一元二次方程别式数的图像开口向上，判时，对应的一元二次函当

总结：对于这种类型中易因式分解求出两根的题型，我们先因式分解求出两根，然后再以两根的大小来进行分类讨论；当不易因式分解求出两根时，我们应以x2的系数为0以及判别式为0时，得出的参数a值作为讨论的依据.求出的参数a把数轴分为几部分，相应的就分几种情况来讨论，在每一种情况里就变成了解基本的不等式的题型. 实用文档

文案大全 注意：每一种情况的内部既不能取交集，所有情况的结果也不能取并集，最终结果只能分类回答！要与前面所讲述的题型中“一种情况内部取交集，把所有情况的结果取并集，最后得到的才是（不）等式的解集”的原则进行区别和联系.

3、简单的一元高次不等式的解法：数轴穿根法：

基本步骤：

⑴ 将不等式右边化为０，左边分解成若干个一次因式或二次不可分因式的积.

⑵ 把每个因式的最高次项系数化为正数.

⑶ 将每个一次因式的根从小到大依次标在数轴上.

⑷ 从右上方依次通过每个点画出曲线，遇到奇次因式的根对应的点，曲线穿过数轴；

遇到偶次因式的根对应的点，曲线不穿过数轴，仍在数轴同侧迂回. 即规律“奇穿偶不穿”.

⑸ 根据曲线就可以知道函数值符号变化规律.

【例3-1】解下列关于x的不等式：

22211)(2)(3)0(2)(21)(31)(41)0(3)(3(1)(2304(1)(1)(2)0.xxxxxxxxxxxxx（）（；；））；（）

解析：这种类型的不等式如果用上述的方法1，分类讨论可以做出来，但是比较复杂，而且易出现错误.所以，常用数轴表根法(又称零点分段法)来做这类题.

所谓数轴标根法，就是用一条曲线代替列表讨论，这条曲线虽不能准确表达出函数的图象，但能体现出函数值的符号变化规律．即：曲线与x轴的交点将x轴分成若干区域，曲线在x轴上方所对应区间内的x值，使函数值大于0 ；曲线在x轴下方所对应区间内的x值，使函数值小于0 ；曲线与x轴的交点所对应的x值，使 函数值等于0.按照上述的方法，易解出以上各题.

参考答案：；或）（；或）（4131,21232,11xxxx

.1,12)4(3,1)3(xxxx且；且

4. 分式不等式的解法：一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

基本步骤：

（1）标准化：移项．．、通分．．使右边为0，即)()(xgxf>0(或)()(xgxf<0)；)()(xgxf ≥0(或)()(xgxf≤0)的形式，

（2）转化为整式不等式（组）0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(xgxgxfxgxfxgxfxgxf

（3）分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。 【例4-1】解下列关于x的不等式：

（1）1122)3(05362)2(041xxxxxx；；.

解析：这种题型的基本做法是化为一元一次不等式组或一元二次不等式来解.

（1）方法1：原不等式等价于

04010401xxxx或，.

从而再利用一元一次不等式组的解法得到原不等式中的x的范围为1

方法2：原不等式等价于(x+1)(x4)>0.

从而再利用一元二次不等式的解法得到原不等式中的x的范围为1

比较这两种方法，可以看出方法2运算的较快一点，而且不容易出错.

（2）与（1）类似两种方法都可以用.只不过，要注意分母不能为0.

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行程问题重要知识点及题型详解

行程问题重要知识点及题型详解

数量关系：行程问题重要知识点及题型详解

行程问题是国家公务员考试中数学运算的常考题型之一，涉及最多的是相遇问题与追及问题。中公教育专家提醒各位考生，在复习数学运算的过程中，应重点掌握行程问题中的几种题型和解题方法。

一、行程问题知识要点

（一）行程问题中的三量

行程问题研究的是物体运动中速度、时间、路程三者之间的关系。这三个量之间的基本关系式如下：

路程=速度×时间；

时间=路程÷速度；

速度=路程÷时间。

上述三个公式可称为行程问题的核心公式，大部分的行程问题都可通过找出速度、时间、路程三量中的两个已知量后利用核心公式求解。

（二）行程问题中的比例关系

时间相等，路程比=速度比；

速度相等，路程比=时间比；

路程一定，速度与时间成反比。

二、行程问题的主要题型

（一）平均速度问题

平均速度问题公式：

（二）相遇问题

1.相遇问题的特征

（1）两人（物体）从不同地点出发作相向运动；

（2）在一定时间内，两人（物体）相遇。

与基本的行程问题相比，中公教育专家认为，相遇问题涉及两个或多个运动物体，过程较为复杂。一般借助线段图来理清出发时间、出发地点等基本量，进而利用行程问题核心公式解题。

2.相遇问题公式

公式中的相遇路程指同时出发的两人所走的路程之和。如果不是同时运动，要转化为标准的同时出发、相向运动的问题来套用相遇问题公式。

（三）追及问题

1.追及问题的特征

（1）两个运动物体同地不同时（或同时不同地）出发做同向运动。后面的比前面的速度快。

（2）在一定时间内，后面的追上前面的。

与相遇问题类似，中公教育专家建议考生可通过线段图来理清追及问题的运动关系。 2.追及问题公式

在追及问题中，我们把开始追及时两者的距离称为追及路程，大速度减小速度称为速度差。由此得出追及问题的公式：

（四）多次相遇问题

相遇问题的复杂形式是多次相遇问题，多次相遇问题按照运动路线不同分为直线多次相遇和环形多次相遇两类。

基本不等式知识点和基本题型

基本不等式知识点和基本题型

基本不等式知识点和基本题型

基本不等式专题辅导

一、知识点总结

1、基本不等式原始形式

若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2ab$，其中$a^2+b^2$为定值。

2、基本不等式一般形式（均值不等式）

若$a,b\in R$，则$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。

3、基本不等式的两个重要变形

若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2\sqrt{ab}$，其中$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$。

总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。特别说明：以上不等式中，当且仅当$a=b$时取“=”。

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”。

5、常用结论

若$x>1$，则$\frac{x+1}{2}>\sqrt{x}$（当且仅当$x=1$时取“=”）。

若$x<1$，则$\frac{x+1}{2}<-\frac{1}{x}$（当且仅当$x=-1$时取“=”）。

若$ab>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）。

若$a,b\in R$，则$a^2+b^2\geq 2ab$，$\frac{a+b}{2}\geq

\frac{2ab}{a+b}$，$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{a^2+b^2}$。

6、柯西不等式

若$a,b\in R$，则$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2$。

题型分析

题型一：利用基本不等式证明不等式

1、设$a,b$均为正数，证明不等式：$ab\geq

\frac{a^2+b^2}{2}$。

2、已知$a,b,c$为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$。

3、已知$a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2+\frac{9}{4}\geq 2(ab+bc+ca)$。

基本不等式知识点汇总与例题讲解(题型超全)

基本不等式知识点汇总与例题讲解(题型超全)

第34页 基本不等式知识点总结与例题讲解

一、本节知识点

（1）基本不等式.

（2）利用基本不等式求最值.

（3）基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式.

二、本节题型

（1）利用基本不等式求最值.

（2）利用基本不等式证明不等式.

（3）基本不等式的实际应用.

（4）与基本不等式有关的恒成立问题.

三、知识点讲解

知识点 基本不等式（均值不等式）

一般地,ba,R,有

22ba≥ab2.

当且仅当ba时,等号成立.

特别地,当0,0ba时,分别用ba,代替上式中的ba,,可得

2ba≥ab.

当且仅当ba时,等号成立.

通常称不等式2ba≥ab为基本不等式（也叫均值不等式）,其中2ba叫做正数ba,的算术平均数,ab叫做正数ba,的几何平均数.

基本不等式表明: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

注意 重要不等式22ba≥ab2与基本不等式2ba≥ab成立的条件是不一样的.前者ba,为任意实数,后者ba,只能是正数.但两个不等式中等号成立的条件都是ba.

基本不等式的变形

（1）ba≥ab2,ab≤22ba.其中ba,R+,当且仅当ba时,等号成立.

第34页 （2）当0a时,aa1≥2,当且仅当aa1,即1a时,等号成立;

当0a时,aa1≤2,当且仅当1a时,等号成立.

实际上,当0a时,aaaa11.

∵aa1≥2,∴aa1≤2,即aa1≤2.当且仅当aa1,即1a（0a）时,等号成立.

（3）当ba,同号时,baab≥2,当且仅当ba时,等号成立;当ba,异号时,baab≤2,当且仅当ba时,等号成立.

（4）不等式链:

ba112≤ab≤2ba≤222ba（0,0ba,当且仅当ba时,等号成立.）

不等式知识点总结及题型归纳

不等式知识点总结及题型归纳

不等式的基本知识

一、解不等式

1、一元二次不等式的解法

一元二次不等式00022acbxaxcbxax或的解集：

设相应的一元二次方程002acbxax的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：

0 0 0

二次函数

cbxaxy2

（0a）的图象

cbxaxy2

cbxaxy2

cbxaxy2

一元二次方程

的根002acbxax 有两相异实根

)(,2121xxxx 有两相等实根

abxx221

无实根

的解集)0(02acbxax 21xxxxx或 abxx2 R

的解集)0(02acbxax 21xxxx  

2、简单的一元高次不等式的解法：

标根法：其步骤是：

1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；

2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；

3）根据曲线显现()fx的符号变化规律，写出不等式的解集。如：xxx112023

3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

()()0()()0()()0;0()0()()fxgxfxfxfxgxgxgxgx

4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题

若不等式Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上minfxA

若不等式Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上maxfxB