不等式的解法典型例题及详细答案

不等式解法15种典型例题

典型例题一

解15种典型例题的不等式，需要注意处理好有重根的情况。例如，如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞（或f(x)＜）可用“穿根法”求解。对于偶次或奇次重根，可以转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但要注意“奇穿偶不穿”，其法如图。下面分别解两个例题：

例题一：解不等式2x－x²－15x＞0；(x＋4)(x＋5)(2－x)＜23

1）原不等式可化为x(2x＋5)(x－3)＞0.把方程x(2x＋5)(x－3)=0的三个根5，－1，3顺次标上数轴。然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分。∴原不等式解集为{x｜－5＜x＜0}∪{x｜x＞3}。

2）原不等式等价于(x＋4)(x＋5)(x－2)＞23.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－5或－5＜x＜－4或x＞2}。

典型例题二

解分式不等式时，要注意它的等价变形。当分式不等式化为f(x)/g(x)＜(或≤)时，可以按如下方法解题。

1）解：原不等式等价于3(x＋2)－x(x－2)－x²＋5x＋6/3x(x＋2)＜1－2x＋2.化简后得到原不等式等价于(x－6)(x＋1)(x－2)(x＋2)≥0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－2或－1≤x≤2或x≥6}。

2）解法一：原不等式等价于2x²－3x＋1/2x²－9x＋14＞0.化简后得到原不等式等价于(x－1)(2x－1)(3x－7)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或7/3＜x＜1}。

解法二：原不等式等价于(2x－1)(x－1)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或x＞1}。

例7解不等式2ax-a2>1-x(a>0)。

分析：将不等式移项整理得到2ax+x>a2+1，然后按照无理不等式的解法化为两个不等式组，再分类讨论求解。

解：原不等式等价于(1) 2ax-a2>1-x，或(2) 2ax-a2<1-x。

第二章等式与不等式

2.2不等式

2.2.3一元二次不等式的解法

一、选择题

1．已知全集

，集合

，则（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】

由题意可得：，

表示为区间形式即.

故选：A.

2．不等式1

0

2x

x



的解集为（）

A．

2,1

B．

2,1

C．

,21+--，U

D．

,21,

【答案】B

【解析】由1

0

2x

x



得

120

20xx

x





，

即

120

20xx

x





，解得21x，

所以不等式的解集是

2,1

，故选B．

3．不等式210xmx

的解集为空集，则m

的取值范围是（）

A．(-2,2)

B．[-2,2]

C．(,2)(2,)

D．(,2][2,)【答案】B

【解析】

因为不等式210xmx

的解集为空集,

所以21yxmx的图象与x

轴没有交点或有唯一交点，

210xmx有一个或没有实根，

240m,解得22m

,

m

的取值范围是[-2,2]

，故选B.

4．已知集合

22Axxx

，

Bxxa

，若AB，则实数a

的取值范围为（）

A．

,1

B．

,2

C．

2,

D．

1,

【答案】C

【解析】

因为

2212Axxxxx

，

Bxxa

且AB，

所以2a，即实数a

的取值范围为

2,

，故选C.

5．已知集合{|(1)(4)0}Axxx，5

{|0}

2x

Bx

x



，则AB()

A．{|12}xx

B．{|12}xx

C．{|24}xx

D．{x|2＜x≤4}

【答案】D

【解析】

依题意

1,4,2,5AB

，故

2,4AB

.

6．若不等式20axxa对一切实数x

都成立，则实数a

的取值范围为（）

A．1

2a或1

2a

B．1

2a

或0a

C．1

2a

D．11

22a

【答案】C

【解析】显然a=0，不等式不恒成立，所以不等式20axxa对一切实数x

不等式的试题及答案

不等式是数学中一种重要的表示方式，它可以描述数值之间的关系。在数学学习中，掌握不等式的解法和理解不等式的性质对于解决实际问题和推理证明都有着重要的意义。本文将为读者提供一些不等式的试题及答案，帮助读者巩固不等式的知识和解题技巧。

试题一：解不等式

将不等式 3x + 5 ≤ 2x - 4 转化为不等式的解集形式。

答案一：

首先，我们将这个不等式进行简化：

3x + 5 ≤ 2x - 4

然后，将变量移到一侧，常数移到另一侧，得到：

3x - 2x ≤ -4 - 5

化简得：

x ≤ -9

所以，不等式 3x + 5 ≤ 2x - 4 的解集形式为 x ≤ -9。

试题二：解不等式组

解不等式组：{2x + 1 > 5, x - 3 ≤ 7}

答案二： 我们分别解这两个不等式：

2x + 1 > 5

2x > 5 - 1

2x > 4

x > 2

x - 3 ≤ 7

x ≤ 7 + 3

x ≤ 10

所以，不等式组 {2x + 1 > 5, x - 3 ≤ 7} 的解为 x > 2 且 x ≤ 10。

试题三：证明不等式

证明不等式：若 a > b，则 a + c > b + c，其中 a、b、c 为实数。

答案三：

首先，假设 a > b 成立，我们需要证明 a + c > b + c。

由 a > b，我们可以得到 a - b > 0。

然后，将 a + c 和 b + c 相减，得到：

(a + c) - (b + c) = a - b

由于 a - b > 0，所以 (a + c) - (b + c) > 0，即 a + c > b + c。

所以，若 a > b 成立，则 a + c > b + c。 通过以上试题及答案，我们可以看到不等式的解法及性质运用在各种情况下的灵活性。细致观察和分析不等式的条件和限制，能够帮助我们准确地找出不等式的解集，解决实际问题以及进行推理证明。在学习过程中，我们应该多加练习并灵活运用不等式的解法和性质，提高自己的数学技巧。

高一数学分式不等式试题答案及解析

1. 不等式的解集是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由于是分式不等式，所以要移项通分，不能直接去分母。所以有，通分得，即，又等价于且，不等式对应方程的根为，，由口诀“大于取两边，小于取中间”得不等式的解为或；

【考点】分式不等式的解法；

2. 不等式的解集为_________.

【答案】

【解析】，，即.

【考点】分式不等式的解法.

3. 已知关于x的不等式：<1.

(1)当a＝1时，解该不等式；

(2)当a为任意实数时，解该不等式．

【答案】(1){x|1

【解析】(1) 当a＝1时,已知不等式化为<1,进而可化为<0(特点:一边为一个分式,另一边为零)可写出不等式的解集; (2)由分式不等式的解法,先将已知不等式化为一边为一个分式,另一边为零的形式: <0按a=0,a>0和a<0分类讨论，对于a>0，由于方程(ax－2)(x－1)＝0的两根为x1＝，x2＝1，所以又要按两根的大小分三类：大于、等于和小于进行讨论；对于a<0特别应注意写不等式的解集前先应将字母x的系数化为正.

试题解析：(1)当a＝1时，不等式化为<1，化为<0， .2分

∴1

(2)a>0时，由<1得<0， 6分

(ax－2)(x－1)<0，方程(ax－2)(x－1)＝0的两根x1＝，x2＝1 8分

当＝1即a＝2时，解集为； .9分

当>1即0

当<1即a>2时，解集为 13分

当a=0时，解集为 当a<0时，解集为

【考点】分式不等式.

4. 不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】因为，所以即或解集是或 【考点】解分式不等式 5. 不等式的解集是

．

【答案】

【解析】∵，∴，∴，解得，∴不等式的解集是

【考点】本题考查了分式不等式的解法