不等式的解法典型例题及详细答案

不等式解法15种典型例题

典型例题一

解15种典型例题的不等式，需要注意处理好有重根的情况。例如，如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞（或f(x)＜）可用“穿根法”求解。对于偶次或奇次重根，可以转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但要注意“奇穿偶不穿”，其法如图。下面分别解两个例题：

例题一：解不等式2x－x²－15x＞0；(x＋4)(x＋5)(2－x)＜23

1）原不等式可化为x(2x＋5)(x－3)＞0.把方程x(2x＋5)(x－3)=0的三个根5，－1，3顺次标上数轴。然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分。∴原不等式解集为{x｜－5＜x＜0}∪{x｜x＞3}。

2）原不等式等价于(x＋4)(x＋5)(x－2)＞23.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－5或－5＜x＜－4或x＞2}。

典型例题二

解分式不等式时，要注意它的等价变形。当分式不等式化为f(x)/g(x)＜(或≤)时，可以按如下方法解题。

1）解：原不等式等价于3(x＋2)－x(x－2)－x²＋5x＋6/3x(x＋2)＜1－2x＋2.化简后得到原不等式等价于(x－6)(x＋1)(x－2)(x＋2)≥0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－2或－1≤x≤2或x≥6}。

2）解法一：原不等式等价于2x²－3x＋1/2x²－9x＋14＞0.化简后得到原不等式等价于(x－1)(2x－1)(3x－7)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或7/3＜x＜1}。

解法二：原不等式等价于(2x－1)(x－1)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或x＞1}。

例7解不等式2ax-a2>1-x(a>0)。

分析：将不等式移项整理得到2ax+x>a2+1，然后按照无理不等式的解法化为两个不等式组，再分类讨论求解。

解：原不等式等价于(1) 2ax-a2>1-x，或(2) 2ax-a2<1-x。

2024中考数学全国真题分类卷第五讲不等式(组)及不等式的应用

命题点1不等式的基本性质

1.(2023湘潭·多选题)若a＞b，则下列四个选项中一定成立的是()

A.a＋2＞b＋2B.－3a＞－3bC.a4＞b4D.a－1＜b－1

2.(2023杭州)已知a，b，c，d是实数，若a>b，c＝d，则()

A.a＋c>b＋dB.a＋b>c＋d

C.a＋c>b－dD.a＋b>c－d

3.(2022苏州)若2x＋y＝1，且0＜y＜1，则x的取值范围为________．

命题点2一元一次不等式(组)的解法

类型一不等式(组)的解法及解集表示

4.(2023甘肃省卷)不等式3x－2>4的解集是()

A.x>－2B.x<－2C.x>2D.x<2

5.(2023益阳)若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是()A.x＜1x＜－1B.x＜1x＞－1C.x＞1x＜－1D.x＞1x＞－1

6.(2023滨州)把不等式组x－3＜2x，x＋13≥x－12中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确

的为()

7.(新趋势)·注重学习过程(2023天津)解不等式组2x≥x－1，①x＋1≤3.②请结合题意填空，完成本题的解答．(Ⅰ)解不等式①，得________；

(Ⅱ)解不等式②，得________；

(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

第7题图(Ⅳ)原不等式组的解集为________．8.(2023宜昌)解不等式x－13≥x－32＋1，并在数轴上表示解集．

第8题图

9.(2023宁波)解不等式组：4x－3>9，2＋x≥0.

10.(2023盐城)解不等式组：2x＋1≥x＋2，2x－1＜12（x＋4）.

11.(新趋势)·注重学习过程(2022山西)下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成

相应任务．2x－13＞3x－22－1

解：2(2x－1)＞3(3x－2)－6第一步4x－2＞9x－6－6第二步

4x－9x＞－6－6＋2第三步

不等式的解法·典型例题

【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．

【例2】?解下列不等式：

【例3】?解下列不等式

【例4】?解下列不等式：

【例5】?|x2-4|＜x+2．

【例6】?解不等式1)123(log2122xxx．

不等式·典型例题参考答案

【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．

【分析】?如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况．

原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0

∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．

【说明】?用“穿针引线法”解不等式时应注意：

①各一次项中x的系数必为正；

②但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)．

【例2】?解下列不等式：

解：(1)原不等式等价于

用“穿针引线法”

∴原不等式解集为(-∞，-2)∪〔-1，2)∪〔6，+∞)．

（2）

【例3】?解下列不等式

解：(1)原不等式等价于

∴原不等式解集为｛x|x≥5｝．

(2)原不等式等价于

【说明】?解无理不等式需从两方面考虑：一是要使根式有意义，即偶次根号下被开数大于或等于零；二是要注意只有两边都是非负时，两边同时平方后不等号方向才不变．

【例4】?解下列不等式：

解：(1)原不等式等价于

令2x=t(t＞0)，则原不等式可化为

(2)原不等式等价于

∴原不等式解集为(-1，2〕∪〔3，6)．

【例5】?|x2-4|＜x+2．

解：原不等式等价于-(x+2)＜x2-4＜x+2．

故原不等式解集为(1，3)．

这是解含绝对值不等式常用方法． 【例6】?解不等式1)123(log2122xxx．

解：原不等式等价于

(1)当a＞1时，①式等价于

②

(2)当0＜a＜1时，②等价于

③

第二章等式与不等式

2.2不等式

2.2.3一元二次不等式的解法

一、选择题

1．已知全集

，集合

，则（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】

由题意可得：，

表示为区间形式即.

故选：A.

2．不等式1

0

2x

x



的解集为（）

A．

2,1

B．

2,1

C．

,21+--，U

D．

,21,

【答案】B

【解析】由1

0

2x

x



得

120

20xx

x





，

即

120

20xx

x





，解得21x，

所以不等式的解集是

2,1

，故选B．

3．不等式210xmx

的解集为空集，则m

的取值范围是（）

A．(-2,2)

B．[-2,2]

C．(,2)(2,)

D．(,2][2,)【答案】B

【解析】

因为不等式210xmx

的解集为空集,

所以21yxmx的图象与x

轴没有交点或有唯一交点，

210xmx有一个或没有实根，

240m,解得22m

,

m

的取值范围是[-2,2]

，故选B.

4．已知集合

22Axxx

，

Bxxa

，若AB，则实数a

的取值范围为（）

A．

,1

B．

,2

C．

2,

D．

1,

【答案】C

【解析】

因为

2212Axxxxx

，

Bxxa

且AB，

所以2a，即实数a

的取值范围为

2,

，故选C.

5．已知集合{|(1)(4)0}Axxx，5

{|0}

2x

Bx

x



，则AB()

A．{|12}xx

B．{|12}xx

C．{|24}xx

D．{x|2＜x≤4}

【答案】D

【解析】

依题意

1,4,2,5AB

，故

2,4AB

.

6．若不等式20axxa对一切实数x

都成立，则实数a

的取值范围为（）

A．1

2a或1

2a

B．1

2a

或0a

C．1

2a

D．11

22a

【答案】C

【解析】显然a=0，不等式不恒成立，所以不等式20axxa对一切实数x