2020年内蒙古包头市高考数学一模试卷(文科) (含答案解析)

2020年内蒙古包头市高考数学一模试卷(文科)

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合𝐴={𝑥|𝑥≤1}，𝐵={0,1，2，3}，则𝐴∩𝐵=( )

A. {0,1} B. {𝑥|𝑥≤3} C. {0,1，2，3} D. [0,1]

2. 已知i为虚数单位，则|1−2𝑖|=( )

A. 1 B. 2 C. −2 D. √5

3. 设等差数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，若𝑆6=42，且𝑆6−𝑎1=30，则𝑎5的值是 ( )

A. 4 B. 5 C. 10 D. 4或10

4. 若实数x，y满足{𝑥−2𝑦+1⩽02𝑥−𝑦−1⩾0𝑥+𝑦−5⩽0，则3𝑥+𝑦的最大值是( )

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

5. 若角𝛼的终边过点(−1,2)，则cos2𝛼的值为( )

A. −35 B. 35 C. −√55 D. √55

6. 下列说法正确的是( )

A. 若“𝑥=𝜋4，则𝑡𝑎𝑛𝑥=1”的逆命题为真命题

B. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝑠𝑖𝑛𝐴>𝑠𝑖𝑛𝐵的充要条件是𝐴>𝐵

C. 函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥+4𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑥∈(0,𝜋)的最小值为4

D. ∃𝑥∈𝑅，使得𝑠𝑖𝑛𝑥⋅𝑐𝑜𝑠𝑥=35

7. 三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐴1⊥平面ABC，𝐴𝐵=1，𝐴𝐶=√2，𝐵𝐶=𝐴𝐴1=√3，则直线𝐵1𝐶与𝐴1𝐶1所成角的正弦值为( )

A. √22 B. √63 C. 2√55 D. √306

8. 函数𝑦=𝑒𝑥(𝑥2+2𝑥+1)的图象可能是( ) A. B.

C. D.

9. 送快递的人可能在早上6：30−7：30之间把快递送到张老师家里，张老师离开家去工作的时间在早上7：00−8：00之间，则张老师离开家前能得到快递的概率为( )

A. 12.5% B. 50% C. 75% D. 87.5%

10. 如图，抛物线C：𝑦2=4𝑥的焦点为F，过点F的直线与抛物线C和y轴分别交于点A，B，E为准线l上一点，且|𝐴𝐹|=|𝐴𝐵|=|𝐴𝐸|，则△𝐵𝐸𝐹的面积为( )

A. 2√3

B.

3√22

C.

3√2

D. 2√33

11. 若|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |，则𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( )

A. 23 B. 2 C. 8+5√29 D. 3

12. 已知函数𝑓(𝑥)是偶函数，定义域为R，𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+2𝑥，若𝑔(log27)=3，则𝑔(𝑙𝑜𝑔217)=( )

A. −4 B. 4 C. −277 D. 277

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦22=1(𝑎>0)的离心率为√3𝑎，则该双曲线的渐近线为_______． 14. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4𝜋，那么圆柱的体积等于______ ．

15. 已知{𝑎𝑛}是公差不为零的等差数列，同时𝑎9，𝑎1，𝑎5成等比数列，且𝑎1+3𝑎5+𝑎9=20，则𝑎13=______ ．

16. 已知函数𝑓(𝑥)=1𝑥+2−𝑚|𝑥|有三个零点，则实数m的取值范围为_________．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 在𝛥𝐴𝐵𝐶中，角𝐴,𝐵,𝐶所对边分别为𝑎,𝑏,c,且sin𝐵2−cos𝐵2=14．

(Ⅰ)求cos𝐵的值；

(Ⅱ)若𝑏2−𝑎2=√314𝑎𝑐，求sin𝐶sin𝐴的值．

18. 某产品的广告支出𝑥(单位：万元)与销售收入𝑦(单位：万元)之间有下表所对应的数据：

广告支出𝑥(单位：万元) 1 2 3 4

销售收入𝑦(单位：万元) 12 28 42 56

(1)画出表中数据的散点图；

(2)求出y对x的回归直线方程𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂；

(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？

参考公式：𝑏=∑𝑥𝑖𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑛⋅𝑥−⋅𝑦−∑𝑥𝑖2𝑛𝑖=1−𝑛𝑥−2，𝑎=𝑦−−𝑏𝑥−．

19. 如图：高为1的等腰梯形ABCD中，𝐴𝑀=𝐶𝐷=1，𝐴𝐵=3，现将△𝐴𝑀𝐷沿MD折起，使平面𝐴𝑀𝐷⊥平面MBCD，连接AB、AC．

(1)在AB边上是否存在点P，使𝐴𝐷//平面MPC？

(2)当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．

20. 已知𝑓(𝑥)=𝑎(𝑥−ln 𝑥)+2𝑥−1𝑥．

(1)若函数𝑓(𝑥)在𝑥=2处取得极值，求a的值，并求此时曲线𝑦=𝑓(𝑥)在(1,𝑓(1))处的切线方程；

(2)讨论𝑓(𝑥)的单调性．

21. 设𝐹1、𝐹2分别是离心率为√22的椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右焦点，经过点𝐹2且与x轴垂直的直线l被椭圆截得的弦长为√2．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P、Q两点，线段AB的中点M在直线l上，求𝐹1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐹1𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．

22. 在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为{𝑥=1+12𝑡𝑦=√32𝑡(𝑡为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为𝜌2(1+3𝑐𝑜𝑠2𝜃)=4．

(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)设点𝑀(1,0).若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|𝐴𝑀|+|𝐵𝑀|的值．

23. 已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥−𝑎2|+|𝑥+2|，其中𝑎∈𝑅．

(1)当𝑎=−1时，求不等式𝑓(𝑥)≥6的解集； (2)若∀𝑥∈𝑅，使得𝑓(𝑥)>3𝑎恒成立，求实数a的取值范围．

【答案与解析】

1.答案：A

解析：

本题考查了交集及其运算，属于基础题．

根据交集的定义求出A与B的交集即可．

解：集合𝐴={𝑥|𝑥⩽1}，𝐵={0,  1,  2,  3}，

∴𝐴∩𝐵={0,  1}，

故选A．

2.答案：D

解析：解：|1−2𝑖|=√12+(−2)2=√5．

故选：D．

利用复数的运算法则即可得出．

本题考查了复数的运算法则，属于基础题．

3.答案：A

解析：

此题要求学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道综合题．

解：因为𝑆6=6(𝑎1+𝑎6)2=42，所以𝑎3+𝑎4=14，

又𝑆6−𝑎1=𝑎2+𝑎3+𝑎4+𝑎5+𝑎6=5𝑎4=30，所以𝑎4=6，

所以𝑎3=8，𝑎4=6，所以𝑎5=4，

故选A．

4.答案：C

解析： 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．

解：作出实数x，y满足{𝑥−2𝑦+1≤02𝑥−𝑦−1≥0𝑥+𝑦−5≤0对应的平面区域如图：由𝑧=3𝑥+𝑦得𝑦=−3𝑥+𝑧，平移直线𝑦=−3𝑥+𝑧，

由图象可知当直线𝑦=−3𝑥+𝑧，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．

由{𝑥+𝑦=52𝑥−𝑦−1=0，解得即𝐴(3,2)，此时𝑧𝑚𝑎𝑥=3×3+2=11，故选C．

5.答案：A

解析：因为角𝛼的终边过点(−1,2)，∴cos𝛼=−1√(−1)2+22=−√55，∴cos2𝛼=2cos2𝛼−1=−35．

6.答案：B

解析：解：对于A，若𝑡𝑎𝑛𝑥=1，则𝑥=𝑘𝜋+𝜋4，故错；

对于B，在△𝐴𝐵𝐶中，𝑠𝑖𝑛𝐴>𝑠𝑖𝑛𝐵⇔2𝑅𝑠𝑖𝑛𝐴>2𝑅𝑠𝑖𝑛𝐵⇔𝑎>𝑏⇔𝐴>𝐵，故正确；

对于C，函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥+4𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑥∈(0,𝜋)，当𝑠𝑖𝑛𝑥=1时，𝑓(𝑥)有最小值为5，故错；

对于D，𝑠𝑖𝑛𝑥⋅𝑐𝑜𝑠𝑥=12𝑠𝑖𝑛2𝑥≤12<35，故错．

故选：B．

A，若𝑡𝑎𝑛𝑥=1，则𝑥=𝑘𝜋+𝜋4；

B，在△𝐴𝐵𝐶中，𝑠𝑖𝑛𝐴>𝑠𝑖𝑛𝐵⇔2𝑅𝑠𝑖𝑛𝐴>2𝑅𝑠𝑖𝑛𝐵⇔𝑎>𝑏⇔𝐴>𝐵，； C，函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥+4𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑥∈(0,𝜋)，当𝑠𝑖𝑛𝑥=1时，𝑓(𝑥)有最小值为5；

D，𝑠𝑖𝑛𝑥⋅𝑐𝑜𝑠𝑥=12𝑠𝑖𝑛2𝑥≤12<35．

本题考查了命题真假的判定，属于基础题．

7.答案：B

解析：

本题考查线面直线所成的角，属于中档题．

先证明𝐴𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1,得到𝐴𝐶⊥𝐴𝐵1.再根据线线平行，得到∠𝐵1𝐶𝐴为直线𝐵1𝐶与𝐴1𝐶1所成的角．放在𝑅𝑡△𝐶𝐴𝐵1中，求出即可．

解：如图，

因为三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐵=1，𝐴𝐶=√2，𝐵𝐶=√3，所以𝐴𝐶⊥𝐴𝐵.因为𝐴𝐴1⊥平面ABC，𝐴𝐶⊂平面ABC，所以𝐴𝐶⊥𝐴𝐴1．

又𝐴𝐵∩𝐴𝐴1=𝐴，所以𝐴𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1.因为𝐴𝐵1⊂平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，所以𝐴𝐶⊥𝐴𝐵1．

因为𝐴1𝐶1 // 𝐴𝐶，所以∠𝐵1𝐶𝐴为直线𝐵1𝐶与𝐴1𝐶1所成的角．

在𝑅𝑡△𝐴𝐴1𝐵1中，𝐴𝐵1=√12+(√3)2=2，在𝑅𝑡△𝐵𝐵1𝐶中，𝐵1𝐶=√(√3)2+(√3)2=√6，

所以在𝑅𝑡△𝐶𝐴𝐵1中，sin∠𝐵1𝐶𝐴=𝐴𝐵1𝐵1𝐶=2√6=√63．

故选B．

8.答案：A

解析：