2020年内蒙古包头市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
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2020年内蒙古包头市高考数学一模试卷(理科)
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合𝐴={𝑥|3𝑥−𝑥2>0}，𝐵={𝑥|−1<𝑥<1}，则𝐴∩𝐵=( )
A. {𝑥|−1<𝑥<3} B. {𝑥|−1<𝑥<0}
C. {𝑥|0<𝑥<1} D. {𝑥|1<𝑥<3}
2. 已知复数𝑧=21−𝑖+(1−𝑖)2(𝑖为虚数单位)，则|𝑧|= ( )
A. 1 B. √2 C. 2√2 D. 2
3. 已知等差数列{𝑎𝑛}中，前n项和为𝑆𝑛，若𝑎1=2，𝑎8+𝑎10=28，则𝑆9=( )
A. 36 B. 72 C. 144 D. 288
4. 函数𝑦=𝑥𝑒𝑥在点(1,𝑒)处的切线方程为( )
A. 𝑦=2𝑒𝑥 B. 𝑦=𝑥−1+𝑒 C. 𝑦=−2𝑒𝑥+3𝑒 D. 𝑦=2𝑒𝑥−𝑒
5. 函数𝑦=𝑒𝑥(𝑥2+2𝑥+1)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
6. 如图，已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是圆上的两点，H是点B在AC上的射影，当C运动时，点H运动的轨迹( )
A. 是圆
B. 是椭圆 C. 是抛物线
D. 不是平面图形
7. 甲、乙两人在同一天上午8时至10时随机到达养老院为老人服务，并且工作1小时后离开，则两人在养老院相遇的概率为( )
A. 34
B.
13
C.
78
D.
35
8. 已知AD为△𝐴𝐵𝐶边BC的中线，且𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =−16,|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |=10，则|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
9. 公元263年，数学家刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，提出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.如图是利用“割圆术”思想求图形面积的一个程序框图，则其输出的n的值为(参考数据：√3≈1.73，tan𝜋12≈0.27，tan𝜋24≈0.13)
A. 6
B. 12
C. 24
D. 48
10. 设点𝐹1，𝐹2分别是双曲线𝐶：𝑥2𝑎2−𝑦22=1(𝑎>0)的左、右焦点，过点𝐹1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△𝐴𝐵𝐹2的面积为2√6，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. 𝑦=±√3𝑥 B. 𝑦=±√33𝑥 C. 𝑦=±√2𝑥 D. 𝑦=±√22𝑥
11. 正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长为1，点M是棱𝐶𝐶1的中点，点A，B，D，M都在球O的球面上，则球O的表面积为( )
A. 32𝜋 B. 3𝜋 C. 94𝜋 D. 9𝜋
12. 函数𝑓(𝑥)=(𝑥−2)(𝑎𝑥+𝑏)为偶函数，且在(0,+∞)单调递增，则𝑓(2−𝑥)>0的解集为( )
A. {𝑥|−2<𝑥<2} B. {𝑥|𝑥>2或𝑥<−2}
C. {𝑥|0<𝑥<4} D. {𝑥|𝑥>4或𝑥<0}
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若(√𝑥+3𝑥)𝑛的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则展开式中常数项为______． 14. 抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点为F，直线𝑦=2与y轴的交点为M，与抛物线的交点为N，且4|𝑁𝐹|=5|𝑀𝑁|，则p的值为______．
15. 已知函数𝑦=3sin (2𝑥+𝜋4),𝑥∈[0,𝜋2]的单调增区间为[0,𝑚]，则实数m的值为________．
16. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗(𝐵𝑒𝑛𝑜𝑖𝑡𝑀𝑎𝑛𝑑𝑒𝑙𝑏𝑟𝑜𝑡)在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照下图1的分形规律可得到如图2所示的一个树形图，那么第12行的实心圆点的个数是_____．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对边分别为a，b，𝑐.已知△𝐴𝐵𝐶的面积为3sinA，周长为4(√2+1)，且𝑠𝑖𝑛𝐵+𝑠𝑖𝑛𝐶=√2sin𝐴．
(1)求a及cosA的值；
(2)求cos(2𝐴−𝜋3)的值．
18. 如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐷𝐵𝐹=60°，且𝐹𝐴=𝐹𝐶．
(1)求证：𝐴𝐶⊥平面BDEF；
(2)求二面角𝐴−𝐹𝐶−𝐵的余弦值．
(3)求AF与平面BFC所成角的正弦值．
19. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：
频率分布表
组别 分组 频数 频率
第1组 [50,60) 8 0.16
第2组 [60,70) a ▓
第3组 [70,80) 20 0.40
第4组 [80,90) ▓ 0.08
第5组 [90,100] 2 b
合计 ▓ ▓
(1)写出a，b，x，y的值；
(2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率；
(3)在(2)的条件下，设𝜉表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求𝜉的分布列及其数学期望．
20. 已知椭圆𝐸:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左右焦点分别是𝐹1，𝐹2，离心率𝑒=12，过点𝐹1且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为3．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l过椭圆E的右焦点𝐹2，且与x轴不重合，交椭圆E于M，N两点，求|𝑀𝑁|的取值范围．
21. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+2𝑙𝑛(𝑎−𝑥)(𝑎∈𝑅)，设曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线为l，若l与直线𝑥−2𝑦+2=0垂直，求a的值．
22. 已知直线l的参数方程为{𝑥=𝑚−12𝑡𝑦=√32𝑡(其中t为参数，m为常数)，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为𝜌=2𝑠𝑖𝑛𝜃，直线l与曲线C交于点A，B两点．
(1)若|𝐴𝐵|=√152，求实数m的值；
(2)若𝑚=1，点P坐标为(1,0)，求1|𝑃𝐴|+1|𝑃𝐵|的值．
23. 设函数𝑓(𝑥)=|𝑥+1|+|𝑥−𝑎|(𝑎>0)．
(1)当𝑎=2时，求不等式𝑓(𝑥)>8的解集；
(2)若∃𝑥∈𝑅，使得𝑓(𝑥)≤32成立，求实数a的取值范围．
【答案与解析】
1.答案：C
解析：
本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．
解：∵𝐴={𝑥|0<𝑥<3}，𝐵={𝑥|−1<𝑥<1}，
∴𝐴∩𝐵={𝑥|0<𝑥<1}．
故选：C．
2.答案：B
解析：
通过化简，计算即可．
本题考查求复数的模，注意解题方法的积累，属于基础题．
解：∵𝑧=21−𝑖+(1−𝑖)2=2(1+𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)−2𝑖=2(1+𝑖)1−𝑖2−2𝑖=1−𝑖，
∴|𝑧|=√2．
故选B．
3.答案：B
解析：
本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．
根据{𝑎𝑛}是等差数列，𝑎8+𝑎10=28，得2𝑎9=28，即𝑎9=14，𝑆9=𝑎1+𝑎92×9可得答案．
解：由题意{𝑎𝑛}是等差数列且𝑎8+𝑎10=28，得2𝑎9=28，即𝑎9=14．
∴𝑆9=2+142×9=72，
故选B． 4.答案：D
解析：
本题考查切线方程的求法，考查计算能力．求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．
解：函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑒𝑥，可得：𝑓′(𝑥)=(1+𝑥)𝑒𝑥，
则𝑓′(1)=2𝑒，𝑓(1)=𝑒；
曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线方程为：𝑦−𝑒=2𝑒(𝑥−1)，
𝑦=2𝑒𝑥−𝑒．
故选D．
5.答案：A
解析：
本题考查了函数图象的识别，考查了函数值的变化趋势，属于基础题．
解：𝑦=𝑒𝑥(𝑥2+2𝑥+1)=𝑒𝑥(𝑥+1)2≥0，故排除B，D，
当𝑥=−1时，𝑦=0，故排除C，
故选A．
6.答案：A
解析：
本题主要考查立体几何中的垂直关系与动点轨迹的交汇，考查考生的数形结合能力、推理论证能力以及运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算，难度一般．
由已知证得，，从而得出𝐵𝐻⊥𝐴𝐷,𝐵𝐻⊥𝐻𝐸，即可得出点H的运动轨迹．
解：如图，过点B作圆的直径BD，连接CD，AD，再过点B作𝐵𝐸⊥𝐴𝐷于E，连接HE，
