差分方程在经济学中的几个应用

高等数学教学中差分方程的经济学拓展随着经济学的发展，越来越多的经济现象需要通过数学方法进行分析和研究。

差分方程作为数学方法之一，可以描述经济系统中的动态变化和规律。

在高等数学教学中，差分方程也成为了重要的内容之一。

本文将从差分方程在经济学中的应用、差分方程在高等数学教学中的地位等方面进行探讨，并结合具体的例子进行说明。

一、差分方程在经济学中的应用差分方程是描述数列中相邻两项之间的关系的方程。

在经济学中，许多经济现象都可以用数列来描述，例如经济增长、通货膨胀、利率等。

差分方程可以用来描述这些现象的变化趋势和规律。

1. 经济增长经济增长是经济学中的一个重要概念，它描述的是一个国家或地区在一定时间内生产总值的增长情况。

经济增长可以用差分方程来描述。

假设一个国家的经济增长率为g，初始时刻的生产总值为y0，那么在下一个时刻，生产总值为y1=y0(1+g)。

同样，下一个时刻的生产总值为y2=y1(1+g)=y0(1+g)2。

以此类推，可以得到一个差分方程：y(t+1)=y(t)(1+g)其中，t表示时刻，y(t)表示时刻t的生产总值。

这个差分方程描述了在每个时刻，生产总值都会增加一个比例g。

2. 通货膨胀通货膨胀是指物价水平的持续上涨。

在经济学中，通货膨胀可以用价格指数来描述。

价格指数是一个数列，它表示某一商品或服务的价格在不同时期的变化情况。

假设某一商品的价格指数为p，初始时刻的价格为p0，那么在下一个时刻，价格为p1=p0(1+r)，其中r表示通货膨胀率。

同样，下一个时刻的价格为p2=p1(1+r)=p0(1+r)2。

以此类推，可以得到一个差分方程：p(t+1)=p(t)(1+r)其中，t表示时刻，p(t)表示时刻t的价格指数。

这个差分方程描述了在每个时刻，价格指数都会增加一个比例r。

3. 利率利率是指银行贷款或存款的利息率。

在经济学中，利率可以用复利公式来描述。

假设某一银行的利率为r，初始时刻的本金为P0，那么在下一个时刻，本金为P1=P0(1+r)。

差分方程方法总结差分方程是用来描述离散时间系统行为的一种数学工具。

它们在许多领域中都有广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等。

本文将总结差分方程方法的基本原理和常见应用。

差分方程的基本原理是通过描述系统在不同时间点上的状态来推导出系统的动态行为。

差分方程可以应用于任何离散时间系统，这些系统的行为只在特定时间点上进行观察和量化。

差分方程的一般形式为：y(n+1)=f(y(n),y(n-1),...,y(n-k))其中，y表示系统在时间点n的状态，f是一个给定的函数，k表示差分方程的阶数，表示系统在过去k个时间点上的状态对当前状态的影响。

差分方程的解可以通过递归方法求得。

给定一个初始条件（通常是系统在初始时间点的状态），可以使用差分方程的递推关系式计算未来时间点上的状态。

例如，对于一个一阶差分方程：y(n+1)=a*y(n)+b其中a和b是常数，可以通过给定的初始条件y(0)求得差分方程的解。

根据递推关系式，可以计算y(1)、y(2)、y(3)等等。

在应用中，差分方程通常用于建模和预测。

通过观察系统在过去时间点上的行为，可以构建一个差分方程来描述系统的动态行为。

然后，可以使用差分方程来预测未来时间点上的系统状态。

这对于许多实际问题是非常有用的，例如经济学中的经济增长模型、工程学中的控制系统等。

此外，差分方程还可以用于分析系统的稳定性和收敛性。

通过分析差分方程的特征根（即差分方程的解的形式），可以得出系统是否稳定或收敛到一个特定的平衡点。

这对于控制系统设计和优化非常重要。

差分方程方法在许多领域中都有广泛的应用。

在物理学中，差分方程可以用于描述离散化的空间或时间系统，例如计算机模拟、粒子追踪等。

在工程学中，差分方程可以用于建模和控制系统，例如电路设计、机器人控制等。

在经济学中，差分方程可以用于经济增长模型、市场预测等。

总结起来，差分方程方法是一种描述离散时间系统行为的数学工具。

它具有简单的原理和应用广泛的特点，并且可以用于建模、预测和分析系统的稳定性和收敛性。

差分方程在经济中的应用举例作者：万祥兰来源：《科技视界》2019年第31期【摘要】差分方程是经济数学中的重要组成部分，为离散取值的变量研究提供了有力工具。

本文介绍了差分方程在经济中的三个应用案例。

【关键词】差分;差分方程;贷款模型;存款模型;蛛网模型中图分类号： F224 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2019）31-0104-001DOI：10.19694/ki.issn2095-2457.2019.31.0481 差分差分：设函数y=f（x），记为yx。

当x取遍非负整数时函数值可以排成一个数列：y0，y1，…，yx…，则称yx+1-yx称为函数yx的差分，也称为一阶差分，记为Δyx，即Δyx=yx+1-yx。

Δ（Δyx）记为Δ2yx，称为函数yx的二阶差分。

即Δ（Δyx）=Δyx+1-Δyx=（yx+2-yx+1）-（yx+1-yx）=yx+2-2yx+1+yx，同样可定义三阶、四阶差分。

二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分。

2 差分方程差分方程：含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值的符号的方程称为差分方程。

方程中未知函数附标的最大值与最小值的差称为差分方程的阶。

n阶差分方程形式为F（x，yx，yx+1，…yx+n）=0或G（x，yx，yx-1，…yx-n）=0或H（x，yx，Δyx，Δ2yx，…，Δnyx）=0一阶常系数线性差分方程：形如yx+1-ayx=f（x）（a≠0，a是常数）的方程称为一阶常系数线性差分方程。

其中f（x）为已知函数，yx为未知函数。

3 差分方程的应用举例3.1 贷款模型例1：小周夫妇为买房需要向银行贷款100万元，月利率0.5%，贷款期限25年（300月），试建立数学模型并计算小周夫妇每月的还款金额。

如果小周夫妇每月节余8000元，是否可以去贷款买房呢？分析：在整个还款过程中，每月还款金额是固定的，而待还款数是变化的，找出这个变化规律是解决问题的关键。

高等数学教学中差分方程的经济学拓展差分方程是数学中的一种重要工具，它在高等数学中的应用十分广泛，尤其在微积分、微分方程、概率论等领域中有着重要的地位。

在经济学中，差分方程也有着重要的应用，可以用来描述经济现象的变化规律和趋势。

本文将介绍差分方程在经济学中的应用，并探讨其在高等数学教学中的拓展。

一、差分方程在经济学中的应用差分方程在经济学中的应用主要集中在两个方面：宏观经济学和微观经济学。

1.宏观经济学中的应用宏观经济学主要研究经济总体的变化规律，其中差分方程可以用来描述经济总量的变化趋势。

例如，经济增长率可以用差分方程来描述，假设经济总量为y，时间为t，则经济增长率为：Δy/Δt = y(t) - y(t-1)其中Δy/Δt表示经济增长率，y(t)表示时间t时的经济总量，y(t-1)表示时间t-1时的经济总量。

这个差分方程可以用来研究经济增长的速度和趋势，从而为宏观经济政策的制定提供依据。

另外，差分方程还可以用来描述宏观经济中的周期性变化。

例如，经济周期可以用差分方程来描述，假设经济总量为y，时间为t，则经济周期为：y(t) = a + bsin(2πt/T) + ccos(2πt/T)其中a、b、c为常数，T为周期。

这个差分方程可以用来研究经济周期的波动规律，从而为宏观经济政策的制定提供依据。

2.微观经济学中的应用微观经济学主要研究个体经济行为和市场的运行机制，其中差分方程可以用来描述个体经济行为的变化趋势。

例如，一个企业的销售额可以用差分方程来描述，假设销售额为y，时间为t，则销售额的变化趋势为：Δy/Δt = ay + bx其中x表示企业的广告投入，a、b为常数。

这个差分方程可以用来研究广告投入对销售额的影响，从而为企业的市场营销决策提供依据。

另外，差分方程还可以用来描述市场的供需关系。

例如，市场需求可以用差分方程来描述，假设市场需求为y，时间为t，则市场需求的变化趋势为：Δy/Δt = a - bp其中p表示商品价格，a、b为常数。

差分方程在经济分析中的应用作者：汤茂林来源：《商场现代化》2008年第11期[摘要] 动态系统中变量间的关系往往表作一个（组）微分方程或差分方程，它们是两类不同的方程，前者处理的是连续变量，而后者处理的则是依次取非负整数的离散变量，这两类方程在经济研究中有着重要的应用。

本文着重介绍差分方程在经济分析中的应用。

[关键词] 差分方程存(贷)款消费供需数学模型在经济分析中往往需要寻找与问题有关的变量之间的函数关系，这类问题可用微分方程来解决，但是，许多实际问题中，数据大多是按时间间隔周期统计，因此，有关变量的取值是离散变化的，如何寻求它们之间的关系和变化规律呢?差分方程则是研究这类离散型数学问题的有力工具。

一、差分方程简介定义:含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值的符号的方程称为差分方程,一般形式为F(χ,yχ,yχ+1,…,yχ+n)=0形如yχ+1-ayχ=f(χ)(a≠0为常数)（1）当f(χ)≡0，则yχ+1-ayχ=0 (2）(1)式称为一阶常系数非齐次线性差分方程，(2)式称为一阶常系数齐次线性差分方程。

对应于方程(2)的特征方程为λχ+1-aλχ=0，即λ-a=0，而λ=a为特征方程的根(简称特征根）,从而Yχ=caχ(C为任意常数)是齐次方程(2)的通解。

对于方程(1)设特解为Y*χ,若f(χ)=Pn(χ),则方程(1)具有形如Y*χ=χkQn(χ)的特解,其中Qn(χ)是与Pn(χ)同次的待定多项式，而K的值由如下确定；(1)若1不是特征方程的根,k=0,（2)若1是特征方程的根,k=-1故方程(1)的通解为yχ=Y*χ+Yχ若f(χ)=μχPn(χ)型,此时方程(1)为yχ+1-ayχ=μχPn(χ)作变换令yχ=μχZχ则原方程为μZχ+1-aZχ=Pn(χ),可得Z*χ,于是Y*χ=μχZ*χ。

二、差分方程应用举例1.存款模型例1:设本金为P0,年利率为r,一年后本利和为S1,求n年末的本利和为多少。