四川名校联盟考试理科数学

2023～2024 学年度下期高二期末联考数学考试时间120 分钟，满分150 分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5 毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S11 = 22 ，则a6 =A. 2B. 3C. 10D. 42. 若(x + 1)6 = a6x6 + a5x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x1 + a0 ，则a6 − a5 + a4 − a3 + a2 − a1 + a0 =A. -1B. 1C. 64D. 03. 已知在四面体O − ABC中，a = ，N为BC的中点，若MN = xa + yb + ZC ，则x + y + Z =A. 3B.C.D.4. 若等比数列{a n }的各项均为正数，且3a5,a7, 2a6 成等差数列，则A. 3B. 6C. 9D. 185. 若函数f(x) = ax + 2b ln x(a > 0, b > 0) 在点1, f 1) 处的切线的斜率为1，则+ 的最小值为A. B. 2 + 3 2 C. 3 + 2 2 D. 3 26. 某市人民政府新招聘进5 名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门，每人只去一个部门，若教育部门必须安排 2 人，其余部门各安排 1 人，则不同的方案数为A. 52 B. 60 C. 72 D. 3607. 南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》中, 该著作中的“垛积术” 问题介绍了高阶等差数列. 以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列. 若某个二阶等差数列{a n } 的前四项分别为: 2,3,8,17 ，则下列说法错误的是A. a n > 0 B. a11 = 192C. 数列{a n } 是单调递增数列D. 数列有最大项8. 已知直线y = kx 与双曲线 b > a > 0分别相交于A ，B 两个不同的点，P 是双曲线上不同于A, B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为k1 ，k2 ，则当 e ≈2.7取得最小值时，双曲线C 的离心率为7 5A. B. 2 C. D. 22 3二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.9. 等差数列{a n } 的前n 项和为s n ，a1 > 0 ，a2 + a14 = 0 ，则A. a8 = 0B. a n+1 < a nC. s7 < s9D. 当s n < 0 时, n 的最小值为1610. 对于三次函数f x= ax3 + bx2 + Cx + d (a ≠0) ，现给出定义: 设f′x是函数f x的导数，f′′x是f′x的导数，若方程f′′x= 0 有实数解x0 ，则称点x0, f x0)) 为函数f x= ax3 + bx2 + Cx + d (a ≠0) 的“拐点”. 经过探究发现: 任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点” 就是对称中心. 已知函数 f x= x3 + x2 ，则A. 函数f x有三个零点B. 函数f x有两个极值点C. 点−, 是曲线y = f x的对称中心D. 方程f x−= 0 有三个不同的实数根11. 已知数列{a n }的通项公式为项积为s n ，则下列说法正确的是A. 在数列{a n }中，a10是最大项B. 在数列{a n }中，a9 是最小项C. 数列{s n }单调递减D. 使s n 取得最小值的n为9三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.12. 在的展开式中，常数项为13. 已知数列{a n}满足a1 = 1, a2 = 2, a n+2 = ,，若s n 为数列{a n}的前n 项和，则s10 =14. 已知关于x 的不等式2x < (ax − a e−x x ∈ R) (其中a < 1 ). 的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13 分）已知等差数列{a n } 的公差为d (d ≠0)，前n 项和为s n ，且满足s5 = 2a4 + 19; a1, a2 , a7 成等比数列.（1）求数列{a n }的通项公式;设b n = ，数列的前n项和为T n ，求T n .16.（15 分）某家会员足够多的知名水果店根据人的年龄段办理会员卡，“年龄在20 岁到34 岁之间的会员” 为1 号会员，占比20%, “年龄在35 岁到59 岁之间的会员” 为2 号会员，占比50% ，“年龄在60 岁到80 岁之间的会员” 为3 号会员，占比30% ，现对会员进行水果质量满意度调查. 根据调查结果得知，1 号会员对水果质量满意的概率为，2 号会员对水果质量满意的概率为，3 号会员对水果质量满意的概率为.（1）随机选取1 名会员，求其对水果质量满意的概率;（2）从会员中随机抽取2 人，记抽取的2 人中，对水果质量满意的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.17.（15 分）如图,在斜三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 中， O , D 分别是 AB , CC 1 的中点. （1） 证明: OD // 平面 AC 1 B 1 ;（2）若 AC 丄 OA 1 ，匕BAA 1 = 60O ，且 AB 灬 = AA 1 = 2; AC = BC = 2 ，求直线 B 1 C 1 与平 面AA 1 C 1 所成角θ的正弦值.18.（17 分）已知点 P 为椭圆a >b > 0 上任一点，椭圆的短轴长为 2 ，离心率为2 .2（1）求椭圆 W 的标准方程;（2）若点 Q 是抛物线 C : x 2 = 4ay 的准线上的任意一点，以PQ 为直径的圆过原点 O ，试判断是否为定值? 若是，请求出这个定值; 若不是，请说明理由.19.（17 分）已知函数 f x = e x — ln (x + 1) + x — ln a (a > 0) .（1）当 a = 1 时，求曲线 y = f x 在点 P 0, f 0))处的切线方程； （2）若 f x ≥ a (x + 1) 恒成立，求 a 的取值范围；（3）求证: f (tan 1 — 1 + f tan — 1) + f tan — 1) + … + f tan — 1> ln (n + 1)(n ∈ N *)。

2022年四川省成都市蓉城名校联盟高考数学第三次联考试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{1A =-，0，1}，{|310}x B x lg =，则(A B = )A ．{0}B ．{0，1}C ．{0，1}-D ．{1-，0，1}2．如图，某几何体的正视图和俯视图是两个全等的矩形，则该几何体不可能是( )A ．三棱柱B ．四棱柱C ．五棱柱D ．圆柱 3．已知复数34z i =-，则在复平面内复数||z z +对应的点到虚轴的距离为( ) A ．8B ．4C ．5D ．64．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A ．8()f x x=- B ．()5tan f x x = C ．3()23f x x x =+ D ．()f x x x =5．第24届冬季奥运会于2022年2月4日至20日在北京举行，中国代表团取得了9枚金牌，4枚银牌，2枚铜牌的历史最好成绩．2月8日，在自由式滑雪女子大跳台坡面障碍技巧比赛中，中国运动员谷爱凌在最后一跳中完美地完成了超高难度动作1620，得分反超对手，获得了金牌．已知六个裁判为谷爱凌这一跳的打分分别为95，95，95，93，94，94，评分规则为去掉六个原始分中的一个最高分和一个最低分，剩下四个有效分的平均数即为该选手的本轮得分．设这六个原始分的中位数为a ，方差为2S ；四个有效分的中位数为1a ，方差为21S ．则下列结论正确的是( ) A ．1a a ≠，221S S < B ．1a a ≠，221S S < C ．1a a =，221S S < D ．1a a =，221S S < 6．若等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d <”是“n S 有最大值”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．341(1)x x +-的展开式中5x 的系数为( )A ．12B ．12-C ．6D ．6-8．已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的一条渐近线与抛物线2:N y x =的一个交点为A ，且点A 到抛物线N 的焦点的距离为52，则双曲线M 的离心率为( )A 5B 13C 13D 39．2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，6时56分，飞船与天宫空间站完成交会对接．下图是飞船从发射到与空间站完成对接的飞行轨迹示意图，最里面和最外面的两个同心圆分别表示地球和空间站的运行轨道，夹在中间的4个椭圆从内到外表示飞船的初始轨道、转移轨道1、转移轨道2、转移轨道3，它们都以地球球心为一个焦点，且相邻两个椭圆的公共点为里面椭圆的远地点和外面椭圆的近地点．飞船从地面沿箭头方向发射后在近地点进入初始轨道，沿顺时针方向匀速飞行若干圈后在两个椭圆的公共点处变速变轨进入转移轨道1，如此依次进入转移轨道2、转移轨道3，最后沿箭头方向进入空间站所在轨道与空间站完成对接．根据以上信息，从火箭发射到飞船进入空间站轨道的过程中，飞船与地球表面的距离（高度）随时间变化的函数图象大致为下面四个图中的( )A ．B ．C ．D ．10．已知数列{}n a 满足*12()n n n a a n N +-=∈，23a =，则1238(a a a a ++++= )A ．511B ．255C ．256D ．50211．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，//AB DC ，AD AB ⊥，2DC =，1AD AB ==，直线PA 与平面ABCD 成45︒角．设四面体PBCD 的外接球的球心为O ，球O与平面ABCD 的截面为圆1O ，则以O 为顶点，圆1O 为底面的圆锥的侧面积为( )A 3B 3πC 5D 5π 12．已知函数2()cos f x x x =+，0.020.99a e =，0.030.98(b e e =为自然对数的底数），则下列结论正确的是( )A ．(1)f f ->（a ）f >（b ）B ．f （b ）f >（a ）(1)f >-C ．(1)f f ->（b ）f >（a ）D ．f （a ）f >（b ）(1)f >-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省名校2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题（答案在最后）（考试时间：120分钟试卷总分：150分）注意事项：1.答题前先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列几何体中，不是旋转体的是（）A. B. C. D.2.若12i3iz +=+，则z =（）A.2B.C.D.3.如图所示，在平行四边形OABC 中，1,2OA OB ==，则它的直观图面积是（）A.B.2C.2D.244.某花农连续8天采摘的栀子花重量依次为7.2,7.4,8.7,8.1,8.9,8.4,8.6,8.9（单位：斤），则这组数据的第75百分位数为（）A.8.9B.8.8C.8.7D.8.65.四边形中ABCD 中，AB DC =，则下列结论中错误的是（）A.AB CD =一定成立B.AC AB AD =+一定成立C.AD BC =一定成立D.BD AB AD =-一定成立6.某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A =“出现的点数为奇数”，B =“出现的点数不大于3”，事件C =“出现点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（）A.A 与B 互为对立事件B.()()()P A B P A P B =+C.()23P C =D.()()P A P C =7.已知,a b 是不共线的向量，且2,4,65AB a b BC a b CD a b =-=-=-+，则（）A.,,A B C 三点共线B.,,A B D 三点共线C.,,A C D 三点共线D.,,B C D 三点共线8.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且12341p p p p +++=，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A.14230.35,0.15p p p p ====B.12340.35,0.3,0.2,0.15p p p p ====C.14230.15,0.35p p p p ====D.12340.15,0.2,0.3,0.35p p p p ====二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（）A.娱乐开支金额为100元B.日常开支比食品中的肉类开支多100元C.娱乐开支比通信开支多5元D.肉类开支占储蓄开支的1310.设12,z z 是复数，则下列说法正确的是（）A.若21z ∈R ，则1z ∈RB.设12,z z 互为共轭复数，则.12z z ∈RC.若120z z -=，则12z z =D.复数12z z 在复平面内对应的点位于第四象限11.已知平面αβγ，，，直线,m l ，则下列命题正确的是（）A.若αβ∥，m α⊂，l β⊂，则m l ∥B.若αβ⊥，m αβ= ，l ⊂α，l m ⊥，则l β⊥C.若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥D.若l α⊥，l β ，则αβ⊥12.据统计，从1932年至1990年，历次所测乐山大佛高度均不一样.某校计划开展数学建模活动，打算运用所学知识测量乐山大佛的高度.老师提前准备了三种工具：测角仪､米尺､量角器.下面是四个小组设计的测量方案，其中可能测量出大佛高度的方案有（）A.把两只佛脚底部看作,M N 两点，分别测量佛顶的仰角,αβ和MN 的距离B.在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为α，再面对大佛前行S 米，测得佛顶的仰角为βC.高为h 的同学站在佛脚平台上，在该同学头顶和脚底分别测量佛顶的仰角,αβD.在佛脚平台上寻找两点,A B 分别测量佛顶的仰角,αβ，再测量,A B 两点间距离和两点相对于大佛底部的张角θ三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某校围棋社团､舞蹈社团､美术社团和篮球社团的学生人数分别为50,30,40,60，现采用分层抽样的方法从这些学生中选出18人参加一项活动，则美术社团中选出的学生人数为__________.14.甲､乙两人进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为0.5，乙投篮命中的概率为0.6，且两人投篮是否命中相互没有影响，则两人各投篮一次，至多一人命中的概率是__________.15.已知向量,a b在正方形网格中的位置如图所示，{}12,e e 为单位正交基底，则a b λ- 最小值是__________.16.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均相等，且60BAD ∠=，以1B 为球心，2为半径的球面与侧面11ADD A 的交线为半圆，且长为π2，则该四棱柱的体积为__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或推演步骤.17.已知平面向量()()()1,1,,1,1,2a b t c =-==.（1）若()c a b +⊥，求实数t 的值；（2）若c a -与b的夹角为π3，求实数t 的值.18.为了丰富校园文化生活，培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素质，某中学举办了学校社团活动，开设的项目有4个运动类社团（篮球社､足球社､乒乓球社､羽毛球社）和2个艺术类社团（音乐社､美术社），一名学生从中随机抽取2个项目来参加活动.（1）求抽取的2个项目都是运动类社团的概率；（2）若从运动类社团和艺术类社团中各抽取1个，求这2个社团不包括篮球社但包括音乐社的概率.19.已知四棱锥P ABCD -中，,,PD AD CD AD AB ⊥⊥//1,2CD AB CD =，且2,AD CD PD PC M ====是PC 中点.（1）求证：//BM 平面PAD ；（2）求三棱锥A BCM -的体积.20.某电力公司需要了解用户的用电情况（单位：度）.现随机抽取了该片区100户进行调查，将数据分成6组：(](](](](](]0,100,100,200,200,300,300,400,400,500,500,600，并整理得到如下频率分布直方图（用户的用电量均不超过600度）.（1）求a ；（2）若每一组住户的用电量取该组区间中点值代替，估算该片区住户平均用电量；（3）每户用电量不超过m 度的电费是0.5元/度，超出m 度的部分按1元/度收取，若该公司为了保证至少80%的住户电费都不超过0.5元/度，则m 至少应为多少（m 为整数）？21.如图，在四边形ABCD 中，ABD △是边长为2的正三角形，,2BD CD CD ⊥=.现将ABD △沿BD 边折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，点E 是AD 的中点.（1）求证：BE ⊥平面ACD ；（2）求AC 与平面BCE 所成角的正弦值.22.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC 的三个内角均小于120 时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=o 的点O 即为费马点；当ABC 有一个内角大于或等于120 时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知,,a b c 分别是ABC 三个内角,,A B C 的对边，点P 为ABC 的费马点，且()()cos22sin sin 1C A B A B ++-=.（1）求A ；（2）若6bc =，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅的值；（3）若PB PC t PA +=，求实数t 的最小值.四川省名校2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题（考试时间：120分钟试卷总分：150分）注意事项：1.答题前先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列几何体中，不是旋转体的是（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】由旋转体的概念即可判断.【详解】由旋转体的概念可知，选项ACD 为旋转体，选项B 不算旋转体.故选：B.2.若12i3iz +=+，则z =（）A.2B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得1122z i =+，结合复数模的运算公式，即可求解.【详解】由复数()()()()12i 3i 12i 11i 3i 3i 3i 22z +-+===+++-，可得2z ==.故选：A.3.如图所示，在平行四边形OABC 中，1,2OA OB ==，则它的直观图面积是（）A. B.2 C.2D.4【答案】C 【解析】【分析】设原图的面积为1S ，直观图的面积为2S ，先计算原图的面积，再根据214S S =求解.【详解】设原图的面积为1S ，直观图的面积为2S ，则12S OA OB =⋅=，2142S S ==.故选：C4.某花农连续8天采摘的栀子花重量依次为7.2,7.4,8.7,8.1,8.9,8.4,8.6,8.9（单位：斤），则这组数据的第75百分位数为（）A.8.9 B.8.8C.8.7D.8.6【答案】B 【解析】【分析】根据百分位数的计算公式即可求解.【详解】将数据从小到大排列为：7.2,7.4,8.1,8.4,8.6,8.7,8.9,8.9，875%6⨯=,故第75百分位数为8.78.98.82+=，故选：B5.四边形中ABCD 中，AB DC =，则下列结论中错误的是（）A.AB CD =一定成立 B.AC AB AD =+一定成立C.AD BC =一定成立D.BD AB AD =-一定成立【答案】D 【解析】【分析】由AB DC =可知四边形ABCD 为平行四边形，逐项分析即可.【详解】由AB DC =可知四边形ABCD 为平行四边形，显然AC 正确，根据平行四边形法则，B 也是正确的，而AB AD DB -=，故D 错误.故选：D6.某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A =“出现的点数为奇数”，B =“出现的点数不大于3”，事件C =“出现点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（）A.A 与B 互为对立事件B.()()()P A B P A P B =+C.()23P C = D.()()P A P C =【答案】C 【解析】【分析】列举所有基本事件，根据对立事件的定义可判定A ，由古典概型概率公式，即可结合选项逐一求解BCD.【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数构成的样本空间为()()()()()(){}1,2,3,4,5,6，则()()(){}()()(){}()(){}1,3,5,1,2,3,6,3A B C ===，对于A ，事件,A B 可同时发生，故不是对立事件，A 错误，对于B ，()()()(){}1,2,3,5A B ⋃=,()()()2,13P A B P A P B =+= ,故B 错误，对于C ，()()213P C P C =-=,C 正确，对于D ，()()11,23P A P C ==，D 错误，故选：C7.已知,a b 是不共线的向量，且2,4,65AB a b BC a b CD a b =-=-=-+，则（）A.,,A B C 三点共线B.,,A B D 三点共线C.,,A C D 三点共线D.,,B C D 三点共线【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合向量的共线的坐标表示，列出方程组，即可求解.【详解】因为向量,a b 是不共线的向量，且2,4,65AB a b BC a b CD a b =-=-=-+，对于A 中，设AB BC λ=，即2(4)a b a b λ-=- ，可得142λλ=⎧⎨-=-⎩，此时方程组无解，所以,,A B C 三点不共线，所以A 不正确；对于B 中，设AB BC μ= ，且24BD BC CD a b ==-++，可得2(24)a b a b μ-=-+ ，可得1224μλ=-⎧⎨-=⎩，解得12μ=-，所以,,A B D 三点共线，所以B 正确；对于C 中，设AC mCD =，且53AB B a AC C b =+=- ，可得53(65)a b m a b -=-+ ，可得5635m m =-⎧⎨-=⎩，此时方程组无解，所以,,A C D 三点不共线，所以C 不正确；对于D 中，设BC nCD =，可得4(65)a b n a b -=-+ ，可得4615nn =-⎧⎨-=⎩，此时方程组无解，所以,,B C D 三点不共线，所以D 不正确.故选：B.8.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且12341p p p p +++=，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A.14230.35,0.15p p p p ====B.12340.35,0.3,0.2,0.15p p p p ====C.14230.15,0.35p p p p ====D.12340.15,0.2,0.3,0.35p p p p ====【答案】A 【解析】【分析】分别计算四个选项中数据的平均数和方差，根据方差大小判断标准差大小.【详解】对于A ，10.3520.1530.1540.35 2.5A x =⨯+⨯+⨯+⨯=，()()()()222220.351 2.50.152 2.50.153 2.50.354 2.5 1.65A s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=；对于B ，10.3520.330.240.15 2.15B x =⨯+⨯+⨯+⨯=，()()()()222220.351 2.150.32 2.150.23 2.150.154 2.15 1.1275B s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=；对于C ，10.1520.3530.3540.15 2.5C x =⨯+⨯+⨯+⨯=，()()()()222220.151 2.50.352 2.50.353 2.50.154 2.50.85C s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=；对于D ，10.1520.230.340.35 2.85D x =⨯+⨯+⨯+⨯=，()()()()222220.151 2.850.22 2.850.33 2.850.354 2.85 1.1275D s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=；因此，A 选项的方差最大，即A 选项的标准差最大.故选：A二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（）A.娱乐开支金额为100元B.日常开支比食品中的肉类开支多100元C.娱乐开支比通信开支多5元D.肉类开支占储蓄开支的13【答案】ABD【解析】【分析】先由图2计算出食品的开支，然后由图1计算出总开支，最后再对选项逐一分析.【详解】由图2可知食品的开支为30401008050300++++=元，由图1可知食品开支为30%，所以总开支为30030%1000÷=元，娱乐开支为100010%100⨯=元，故A 正确；日常开支为100020%200⨯=元，肉类为100元，日常开支比肉类开支多100元，故B 正确；通信开支为10005%50⨯=元，娱乐开支比通信开支多50元，故C 错误；储蓄开支为100030%300⨯=元，肉类开支占储蓄开支的13，故D 正确.故选：ABD10.设12,z z 是复数，则下列说法正确的是（）A.若21z ∈R ，则1z ∈RB.设12,z z 互为共轭复数，则.12z z ∈RC.若120z z -=，则12z z =D.复数12z z 在复平面内对应的点位于第四象限【答案】BC【解析】【分析】根据题意，结合复数的概念，复数的几何意义，以及复数的运算法则，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，例如：21i R =-∈，而i R ∉，所以A 不正确；对于B 中，若12,z z 互为共轭复数，设1i,(,R)z a b a b =+∈，则2i z a b =-，可得2212(i)(i)R z z a b a b a b ⋅=+-=+∈，所以B 正确；对于C 中，设12i i,(,,,,R)a b c d z a b c z d =+=+∈，可得12()()i z z a c b d -=-+-，可得120z z -==，所以,a c b d ==，则12z z =，所以12z z =，所以C 正确；对于D 中，例如121i,12i z z =+=-+，可得()()121i 12i 3i z z ⋅=+-+=-+，此时复数12z z ⋅在复平面对应的点(3,1)-位于第二象限，所以D 错误.故选：BC.11.已知平面αβγ，，，直线,m l ，则下列命题正确的是（）A.若αβ∥，m α⊂，l β⊂，则m l∥B.若αβ⊥，m αβ= ，l ⊂α，l m ⊥，则l β⊥C.若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥D.若l α⊥，l β ，则αβ⊥【答案】BD【解析】【分析】根据空间直线与平面的位置关系，逐项分析判断即可.【详解】选项A ：若αβ∥，m α⊂，l β⊂，则m l ∥或m 与l 异面，A 说法错误；选项B ：若αβ⊥，m αβ= ，l ⊂α，l m ⊥，则由平面与平面垂直的性质可得l β⊥，B 说法正确；选项C ：若αβ⊥，γβ⊥，则,αγ可能平行，相交或垂直，C 说法错误；选项D ：若l α⊥，l β ，则在β内可找到l 的平行线l '使得l α'⊥，所以由l β'⊂可得αβ⊥，D 说法正确；故选：BD12.据统计，从1932年至1990年，历次所测乐山大佛高度均不一样.某校计划开展数学建模活动，打算运用所学知识测量乐山大佛的高度.老师提前准备了三种工具：测角仪､米尺､量角器.下面是四个小组设计的测量方案，其中可能测量出大佛高度的方案有（）A.把两只佛脚底部看作,M N 两点，分别测量佛顶的仰角,αβ和MN 的距离B.在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为α，再面对大佛前行S 米，测得佛顶的仰角为βC.高为h 的同学站在佛脚平台上，在该同学头顶和脚底分别测量佛顶的仰角,αβD.在佛脚平台上寻找两点,A B 分别测量佛顶的仰角,αβ，再测量,A B 两点间距离和两点相对于大佛底部的张角θ【答案】BCD【解析】【分析】根据各选项的描述，结合正余弦定理的边角关系判断所测数据是否可以确定旗杆高度即可.【详解】对于A ：如果,M N 两点与佛像底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A 不正确．对于B ：在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为CBD α∠=，再面对大佛前行AB S =米，测得佛顶的仰角为CAD β∠=,佛像高度为CD ,在CBD △中，tan CD CB =α,在CAD 中，tan CD CA =β，所以tan tan CD CD CA CB -=-βα，即tan tan CD CD S =-βα，佛像高度11tan tan SCD =-βα，故B 正确；对于C：如下图，在ABD △中由正弦定理求AD ，则佛像的高sin CD h AD =+β，故C 正确；对于D：如下图，在佛脚平台上寻找两点,A B 分别测量佛顶的仰角,αβ，再测量,A B 两点间距离和两点相对于大佛底部的张角θ，在直角三角形,ADC BDC 中用CD 来表示,AC BC ,在ABC 中由余弦定理就可以计算出佛像高度CD ，故D 正确；故选：BCD.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某校围棋社团､舞蹈社团､美术社团和篮球社团的学生人数分别为50,30,40,60，现采用分层抽样的方法从这些学生中选出18人参加一项活动，则美术社团中选出的学生人数为__________.【答案】4【解析】【分析】根据抽样比即可求解.【详解】美术社团中选出的学生人数为4018450304060⨯=+++,故答案为：414.甲､乙两人进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为0.5，乙投篮命中的概率为0.6，且两人投篮是否命中相互没有影响，则两人各投篮一次，至多一人命中的概率是__________.【答案】0.7【解析】【分析】根据独立事件概率公式以及对立事件的概率性质即可求解.【详解】两人各投篮一次,两人均投中的概率为0.50.60.3⨯=，因此至多一人命中的概率是10.30.7-=，故答案为：0.715.已知向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示，{}12,e e 为单位正交基底，则a b λ- 最小值是__________.【答案】2【解析】【分析】利用单位正交基底{}12,e e 表示出,a b λ ，再利用数量积运算求模长即可求出a b λ- 的最小值.【详解】由图可知1212223,2a b e e e e λλλ==-++ ，则()()()()222212121212()322322222a b a b e e e e e e e e λλλλλλ-=-=+-⨯+⨯-++-+ ，化简得2221258413842a b λλλλ-=++=++ （），2min 252a b λ∴-= ，即min 522a b λ-= .故答案为：2.16.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均相等，且60BAD ∠= ，以1B 为球心，2为半径的球面与侧面11ADD A 的交线为半圆，且长为π2，则该四棱柱的体积为__________.【答案】【解析】【分析】作出辅助线，得到1B M ⊥平面11A D DA ，故以M 为圆心，r 为半径作圆，以1B 为球心，132为半径的球面与侧面11ADD A 的交线长为半圆，故r m ≤，从而列出方程，解得1m =，由于112r =<，故符合题意，求出各边长，得到该四棱柱的体积.【详解】由题意得11160B A D ︒∠=，连接11B D ，因为直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均相等，所以111A B D 为等边三角形，取11A D 的中点M ，连接1B M ，则1B M ⊥11A D ，又1AA ⊥平面1111A B C D ，1B M ⊂平面1111A B C D ，所以1AA ⊥1B M ，因为1111A D AA A = ，111,A D AA ⊂平面11A D DA ，所以1B M ⊥平面11A D DA ，设直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长为2m ，则1AM m =，由勾股定理得1B M ==，以M 为圆心，r 为半径作圆，以1B 为球心，132为半径的球面与侧面11ADD A 的交线长为半圆，故r m ≤，故1ππ2r =，解得12r =，此时2221132B M r ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，即2113344m +=，解得1m =，由于112r =<，故符合题意，此时13B M =，该四棱柱的棱长为2，故体积为211112343A A A D B M ⋅⋅==；故答案为：3四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或推演步骤.17.已知平面向量()()()1,1,,1,1,2a b t c =-== .（1）若()c a b +⊥ ，求实数t 的值；（2）若c a - 与b 的夹角为π3，求实数t 的值.【答案】（1）12t =-（2）3t =±【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算，由数量积为0即可求解，（2）根据夹角公式即可求解.【小问1详解】由()()()1,1,,1,1,2a b t c =-== 可得()2,1a c += ，由()c a b +⊥ 得()()()2,1,1210c a b t t +⋅=⋅=+= ，解得12t =-【小问2详解】()0,3c a -= ，故()1cos ,2c a b c a b b c a -⋅-==-，解得t =18.为了丰富校园文化生活，培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素质，某中学举办了学校社团活动，开设的项目有4个运动类社团（篮球社､足球社､乒乓球社､羽毛球社）和2个艺术类社团（音乐社､美术社），一名学生从中随机抽取2个项目来参加活动.（1）求抽取的2个项目都是运动类社团的概率；（2）若从运动类社团和艺术类社团中各抽取1个，求这2个社团不包括篮球社但包括音乐社的概率.【答案】（1）25（2）38【解析】【分析】（1）（2）列举所有的基本事件，从中挑选符合条件的事件，即可由古典概型概率公式求解.【小问1详解】从6个社团任意抽取2个，所有的基本事件有（篮球，足球），（篮球，兵兵），（篮球，羽毛），（篮球，音乐），（篮球，美术），（足球，兵兵），（足球，羽毛），（足球，音乐），（足球，美术），（兵兵，羽毛），（兵兵，美术），（兵兵，音乐），（羽毛，音乐），（羽毛，美术），（音乐，美术）共计15种情况，抽取的2个项目都是运动类社团有（篮球，足球），（篮球，兵兵），（篮球，羽毛），（足球，兵兵），（足球，羽毛），（兵兵，羽毛）共有6种情况，故抽取的2个项目都是运动类社团的概率为62155=.【小问2详解】从运动类社团和艺术类社团中各抽取1个，（篮球，音乐），（篮球，美术），（足球，音乐），（足球，美术），（兵兵，美术），（兵兵，音乐），（羽毛，音乐），（羽毛，美术）共计8种情况，这2个社团不包括篮球社但包括音乐社有（足球，音乐）（兵兵，音乐），（羽毛，音乐），共计3种情况，故所求概率为38.19.已知四棱锥P ABCD -中，,,PD AD CD AD AB ⊥⊥//1,2CD AB CD =，且2,AD CD PD PC M ====是PC 中点.（1）求证：//BM 平面PAD ；（2）求三棱锥A BCM -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）根据平行四边形可得线线平行，即可由线面平行的判定求证.（2）根据线线垂直可得PD⊥平面ABCD ，即可由体积公式求解，【小问1详解】证明：取PD 的中点N ，连接MN ，AN ，因为M 为PC 的中点．所以//MN DC ，且2CD MN =，因为//AB CD ，且2CD AB =，所以//AB MN ，且AB MN =，所以四边形ABMN 为平行四边形，所以//AN BM ，又因为AN ⊂平面PAD ，BM ⊂/平面PAD ，所以//BM 平面PAD ；.【小问2详解】由于2222,CD PD PC PC CD PD ====+,故PD CD ⊥，又,,,PD AD CD AD D AD CD ⊥=⊂ 平面ABCD故PD ⊥平面ABCD ，11111112223232A BCM A PCB P ABC ABC V V V S PD AB AD PD ---===⨯⋅=⨯⨯⋅⋅ 11111222323=⨯⨯⨯⨯⨯=.20.某电力公司需要了解用户的用电情况（单位：度）.现随机抽取了该片区100户进行调查，将数据分成6组：(](](](](](]0,100,100,200,200,300,300,400,400,500,500,600，并整理得到如下频率分布直方图（用户的用电量均不超过600度）.（1）求a ；（2）若每一组住户的用电量取该组区间中点值代替，估算该片区住户平均用电量；（3）每户用电量不超过m 度的电费是0.5元/度，超出m 度的部分按1元/度收取，若该公司为了保证至少80%的住户电费都不超过0.5元/度，则m 至少应为多少（m 为整数）？【答案】（1）0.0003（2）220（3）306.25【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中各组概率之和为1可得a 值；（2）根据频率分布直方图中平均值计算公式计算即可；（3）确定m 在第四组300,(400]之间，根据第80百分位数计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图中各组概率之和为1得，100(0.00130.00320.00340.00160.0002)1a ⨯+++++=，解得0.0003a =.【小问2详解】根据频率分布直方图中平均值计算公式得平均值为500.131500.322500.343500.164500.035500.02220⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】由题意，第一组的频率为0.13，第二组频率为0.32，第三组频率为0.34，所以m 在第四组300,(400]之间，m 为第80百分位数，即0.130.320.34(300)0.00160.8m +++-⨯=，解得306.25m =.故m 至少应为306.25.21.如图，在四边形ABCD 中，ABD △是边长为2的正三角形，,2BD CD CD ⊥=.现将ABD △沿BD 边折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，点E 是AD 的中点.（1）求证：BE ⊥平面ACD ；（2）求AC 与平面BCE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1010【解析】【分析】（1）将问题转化为证明BE CD ⊥，BE AD ⊥；（2）先用体积转化法求出A 点到平面BCE 的距离为d ，再根据sin d ACθ=求解.【小问1详解】因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，BD CD ⊥，CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为BE ⊂平面ABD ，所以CD BE ⊥，因为E 为AD 中点，ABD △为正三角形，所以BE AD ⊥，又因为,AD CD ⊂平面ACD ，AD CD D = ，所以BE ⊥平面ACD .【小问2详解】设A 点到平面BCE 的距离为d ，AC 与平面BCE 所成的角为θ，由（1）可知CD AD ⊥BE CE ⊥，由题意可知BE =，AC =，CE ==则1112122ACE S AE CD =⋅=⨯⨯=△，11222BCE S BE CE =⋅==△，由A BCE B ACE V V --=得1123352ACE BCE ACE BCE BE S d S BE S d S ⋅⋅=⋅⇒==△△△△，所以sin 10d AC θ===，即AC 与平面BCE所成的角的正弦值为10.22.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC 的三个内角均小于120 时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=o 的点O 即为费马点；当ABC 有一个内角大于或等于120 时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知,,a b c 分别是ABC 三个内角,,A B C 的对边，点P 为ABC 的费马点，且()()cos22sin sin 1C A B A B ++-=.（1）求A ；（2）若6bc =，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅ 的值；（3）若PB PC t PA +=，求实数t 的最小值.【答案】（1）π2（2）-（3）2+【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换化简()()cos22sin sin 1C A B A B ++-=，再根据正弦定理求解即可；（2）利用等面积法列方程，结合数量积的运算公式即可求解；（3）设PB m PA =，PC n PA =，PA p =，推出m n t +=，利用余弦定理以及勾股定理即可推出2mn m n =++，再结合基本不等式即可求得答案.【小问1详解】由已知可得()()212sin 2sin cos sin cos sin cos sin cos 1C A B B A A B B A -++-=，即22222sin sin cos sin cos C A B B A =-，所以()()22222sin sin 1sin sin 1sin C A B B A =---，整理得222sin sin sin C B A +=，所以由正弦定理可得222a b c =+，所以π2A =.【小问2详解】由（1）可得π2A =，所以ABC 三个内角,,A B C 都小于120︒，则由费马点的定义可知120APB BPC CPA ∠=∠=∠= ，设PA x = ，PB y = ，PC z = ，由PAB PAC PBC ABC S S S S ++=△△△△得111162222222xy xz yz ⋅+⋅+⋅=⨯，整理得xy xz yz ++=所以11112222P PB PB PC PC PA xy y x A z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+⋅=⋅-+⋅-+⋅-=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问3详解】由费马点的定义可知120APB BPC CPA ∠=∠=∠= ，设PB m PA =，PC n PA =，PA p =,,,0m n p >，则由PB PC t PA +=得,0m n t t +=>，由余弦定理可得()22222222cos1201AB p m p mp m m p =+-︒=++，()22222222cos1201AC p n p np n n p =+-︒=++，()2222222222cos120BC m p n p mnp m n mn p =+-︒=++，所以由222BC AB AC =+得()()()222222211m n mn p m m p n n p ++=+++++，即2mn m n =++，又因为,0m n >，所以222m n m n mn +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当m n =结合2mn m n =++解得1m n ==+时等号成立，又,0m n t t +=>，所以2480t t --≥，解得2t ≥+2t ≤-，所以t 的最小值为2+.【点睛】关键点睛：本题第（2）问的关键是利用等面积法得到xy xz yz ++=，再根据向量数量积的定义求解；第（3）问的关键是设PB m PA =，PC n PA =，PA p =，推出m n t +=，结合费马点的定义，利用余弦定理推出2mn m n =++，然后利用基本不等式求解.。

2022届四川省成都市蓉城名校联盟高三第二次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|39}x A x =<，2{|450}B x x x =--，则A B =（ ） A ．{|13}x x - B ．{|12}x x -< C ．{|02}x x < D ．{|15}x x -<【答案】B【分析】先化简集合A 、B ，再去求A B .【详解】{|39}{|2}x A x x x =<=<，2{|450}{|15}B x x x x x =--=-≤ 则{|2}{|15}{|12}A B x x x x x x ⋂=<⋂-≤=-<故选：B 2．若复数z 满足i22i 1iz -=-+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【分析】根据复数的运算化简即可求解. 【详解】i22i 1iz -=-+， (22)(1)4i i i z ∴-=-+=，4i z ∴=+，故复数对应的点(4,1)在第一象限. 故选：A3．若a ，b 是两条不同的直线，α是一个平面，a α⊥，则“//b α”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】从充分性及必要性两个角度分析.【详解】当a α⊥，//b α时，由线面平行性质定理可在平面α内找到一条直线'b 与b 平行，则有'a b ⊥，进而可推出a b ⊥，即在a α⊥前提下，“//b α”是“a b ⊥”的充分条件； 当a α⊥，a b ⊥时，有b α⊂或//b α两种情况，即在a α⊥前提下，“//b α”不是“a b ⊥”的必要条件.综上，“//b α”是“a b ⊥”的充分不必要条件. 故选：A.4．已知y 与x 之间的线性回归方程为0.5.2ˆ2yx =+，其样本点的中心为(3,)y ，样本数据中y 的取值依次为2.5，m ，3.4，4.2，5.4，则m =（ ） A ．2 B ．2.8C ．3D ．3.2【答案】C【分析】根据线性回归方程过样本中心点求出y ，再根据平均数的算法可求m . 【详解】因为线性回归方程过样本中心点，所以0.53 2.2 3.7y =⨯+=， 所以()3.75 2.5 3.4 4.2 5.43m =⨯-+++=. 故选：C.5．已知函数0()(1)0x e x f x f x x ⎧=⎨->⎩，，，，则(ln 2)f =（ ）A ．2eB ．4eC ．2eD ．4e【答案】A【分析】利用分段函数0()(1)0x e x f x f x x ⎧=⎨->⎩，，的定义域求解.【详解】因为函数0()(1)0x e x f x f x x ⎧=⎨->⎩，，，，所以2ln 22(ln 2)(ln 21)(ln )e f f f e e e=-===，故选：A6．设x ，y 满足约束条件2805040x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩，，，则22x y +的最小值为（ ）A 2B ．22C ．4D ．8【答案】D【分析】作出线性规划区域，设(),P x y 为线性规划区域内任意一点，222222(0)(0)||x y x y OP +=-+-=表示线性规划区域内的点到原点的距离的平方，数形结合即可求其最小值. 【详解】如图作出线性规划区域：设(),P x y 为线性规划区域内任意一点，则()222222(0)(0)||x y x y OP +=-+-=，即22x y +表示线性规划区域内点到原点的距离的平方，故其最小值为原点O 到直线x-y+4=0的距离的平方：2482⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：D.7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足113DP DD =，则直线AP 与直线1D B 所成角的余弦值为（ ）A ．230B 230C 30D 30【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求出向量1(3,0,1),(3,3,3)AP D B =-=-，利用向量的夹角公式求得1230cos ,AP D B 〈〉=结合异面直线所成角的范围可得答案. 【详解】如图，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为3，则1(3,0,0),(0,0,1),(0,0,3),(3,3,0)A P D B , 则1(3,0,1),(3,3,3)AP D B =-=- , 故111230cos ,||||1027AP D B AP D B AP D B ⋅〈〉===⋅⨯ ,故直线AP 与直线1D B 230， 故选：B8．已知数列{}n a 的首项1=1a ，且满足+1=4()n n a a n n *-∈N ，则5a =（ ） A ．31 B ．41 C ．51 D ．61【答案】B【分析】依题意根据()()()()5544332211a a a a a a a a a a =-+-+-+-+计算可得； 【详解】解：因为1=1a ，且+1=4()n n a a n n *-∈N ，所以()()()()5544332211a a a a a a a a a a =-+-+-+-+ 14142434441=+⨯+⨯+⨯+⨯=故选：B9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2cos 2cos a C b c A +=，3c a ，则A ∠=（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3【答案】A【分析】利用正弦定理边化角，结合和差公式与同角三角函数的基本关系化简计算题意中的等式，得出1sin 2A =±，即可得出结果.【详解】已知3c a ，由正弦定理，得sin 3C A ， 所以22sin 3sin C A =，有222cos 1sin 13sin C C A =-=-， 由2cos 2cos a C b c A +=，得2sin cos sin 2sin cos A C B C A ⋅+=⋅， 2sin cos sin()2sin cos A C A C C A ⋅++=⋅，3sin cos sin cos A C C A ⋅=⋅，22229sin cos sin cos A C C A ⋅=⋅，22229sin (13sin )3sin (1sin )A A A A ⋅-=⋅-，由sin 0A ≠，解得1sin 2A =±，又0A π<<，所以6A π=.故选：A.10．在四棱锥P ABCD -中，顶点P 在底面ABCD 上的射影H 是正方形ABCD 的中心，4AB =，锥体的高为2P ABCD -内切球的半径为（ ） A 63-B 62C ．2 D ．33【答案】B【分析】根据题意，的该四棱锥P ABCD -为正四棱锥，且4AB =，高为2223P ABCD -的内切球的半径为r ，利用体积相等，列出方程，即可求解.【详解】由题意，四棱锥P ABCD -中，顶点P 在底面ABCD 上的射影H 是正方形ABCD 的中心，所以该四棱锥P ABCD -为正四棱锥，且4AB =，高为223 所以四棱锥P ABCD -的体积为11322442233ABCDV Sh =⋅=⨯⨯⨯=， 表面积为1444423161632S S S =+=⨯+⨯⨯⨯+表面积侧面积底面积设四棱锥P ABCD -的内切球的半径为r ，可得13S r V ⋅=表面积，即1322(163)33r ⨯+⋅=，解得62r =故选：B.11．已知抛物线22(0)x py p =>上一点0(,2)A x ，F 为焦点，直线F A 交抛物线的准线于点B ，满足2AB FA =，则0x =（ ） A ．4± B ．2±C ．43±D ．8±【答案】C【分析】设出点B 坐标，利用向量关系求出12p =，进而求出043x =±【详解】由题意得：0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设,2p B m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为2AB FA =，所以242p p --=-，解得：12p =，故224x y =，当2y =时，2024248x =⨯=，所以043x =±.故选：C12．若对任意的(1,)x ∈+∞，恒有1e ln eax x x ax ---，则a 的取值范围为（ ）A ．(,e]-∞B ．1(,]e-∞ C ．[e,)+∞ D ．1[,)e+∞【答案】D【分析】由1eln eax xx ax --≥-对任意(1,)x ∈+∞恒成立，转化为ln e e e eln ax x ax x +≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，再根据函数()e ex x h x =+恒递增，转化为ln xa x≥对任意(1,)x ∈+∞恒成立求解.【详解】1e ln eax xx ax --≥-对任意(1,)x ∈+∞恒成立， ∴e eln e ax x x a x -≥-对任意(1,)x ∈+∞恒成立，e e eln ax a x x x +≥+即ln e e e eln ax x ax x +≥+．函数()e ex x h x =+恒递增，∴ln ax x ≥对任意(1,)x ∈+∞恒成立， ∴ln xa x≥对任意(1,)x ∈+∞恒成立， 设ln ()x x x ϕ=，则21ln ()x x x ϕ'-=． 当(1,e)x ∈时，()0,()x x ϕϕ'>递增． 当(,)x e ∈+∞时，()0,()x x ϕϕ'<递减． ∴当e x =时，()ϕx 有最大值1(e)eϕ=．∴1ea ≥．故选：D 二、填空题13．已知(2,3)a =，(3,)b x =，若0a b ⋅=，则||a b +=_______． 26【分析】利用0a b ⋅=求出x ，即可求出||a b +. 【详解】因为(2,3)a =，(3,)b x =，若0a b ⋅=， 所以2330x ⨯+=，解得：2x =-， 所以(3,2)b =-，所以()5,1a b +=， 所以22||5126a b +=+2614．6(3)(1)x x +-展开式中5x 的系数是_______（用数字作答）． 【答案】3-【分析】求出6(1)x -的通项公式，得到4515T x =，566T x =-，进而求出答案.【详解】6(1)x -的通项公式为()16rrr T C x +=-，当4r =时，4515T x =，当=5r 时，566T x =-，则6(3)(1)x x +-展开式中5x 的系数为()15363+⨯-=-. 故答案为：-315．全国新高考方案为“312++”模式，其中“3”为学生必考科目语文、数学、外语，“1”为首选科目，学生须在物理、历史中选择一科，“2”为再选科目，学生可在化学、生物、政治、地理中选择两科.若某位同学选择物理的概率为23，选择历史的概率为13，再选科目从四科中随机选两科，则这个学生选择物理且化学和生物至少选一科的概率为_______． 【答案】59【分析】记这个学生选择化学的概率为p 1，记这个学生选择生物的概率为p 2，记这个学生选择化学和生物的概率为p 3，分别求出123,,p p p ，再利用概率的乘法公式即可求解. 【详解】这个学生选择物理的概率为23，记这个学生选择化学不选生物的概率为p 1，记这个学生选择生物不选化学的概率为p 2，记这个学生选择化学和生物的概率为p 3，则211112413C C p C ⨯==,111222413C C p C ⨯==,2232416C C p ==, 所以这个学生选择物理且化学和生物至少选一科的概率为()123221115333369p p p p ⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭. 故答案为5916．已知函数π()2sin()cos sin (||)2f x x x ϕϕϕ=+-<，且对于任意x ∈R ，都有ππ(+)()33f x f x =--，其中所有真命题的序号有_______．① ()f x 在区间ππ[,]66-上单调递增； ② 3(0)f =； ③ 若03()2x f 0π1()123f x -=-；④ 若实数m 使得方程()0f x m -=在4π(0,)3上恰有1x ，2x ，3123()x x x x <<三个实数根，则123102=π3x x x ++. 【答案】②③④【分析】将()()π2sin cos sin ()2f x x x ϕϕϕ=+-<化为只含有一个三角函数形式，根据ππ(+)()33f x f x =--确定函数的一个对称中心，由此确定3πϕ=，得到函数解析式，由此求得函数单调区间，可判断①；代入求值可判断②；利用三角函数的恒等变换，化简求值，可判断③；利用三角函数的图象和性质，可判断④. 【详解】()2sin()cos sin f x x x ϕϕ=+- 2sin 2cos 2cos sin sin x x ϕϕϕ=+-sin2cos cos2sin x x ϕϕ=+⋅sin(2)x ϕ=+．又33f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭是对称中心,2()3k k πϕπ+=∈Z , 又∵||2ϕπ<，∴3πϕ=,∴()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,对①222232k x k πππππ-≤+≤+522266k x k ππππ-≤≤+ 51212k x k ππππ-≤≤+ 当0k =时，增区间5,,661212ππππ⎡⎤⎡⎤-⊄-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，①错误；对于②3(0)sin32f π==，②正确； 对于③0323x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即03sin 33x π⎛⎫+=⎪⎝⎭, 00sin 2126f x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0sin 232x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦0cos23x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2012sin 3x π⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2012sin 133x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，③正确；对于④，4sin 2,0,33m x x ππ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故2,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 由对称性得：1212223733,226x x x x ππππ+++=+=，1212223733,226x x x x ππππ+++=+=，∴1231023x x x π++=，④正确．故答案为②③④．【点睛】本题考查了三角函数的解析式的确定，综合考查了三角函数的有关性质以及三角恒等变换，运算量较大，解答的关键是要熟练掌握三角函数的相关知识，并能熟练运用. 三、解答题17．已知数列{}n a 的通项公式为221.n n n a n n +⎧=⎨+⎩，为奇数，，为偶数(1)求数列2{}n a 的前n 项和n S ；(2)设21n n b a -=，求数列1{3}n n b -⋅的前n 项和n T ． 【答案】(1)22n S n n =+ (2)n T 3(21)1n n =-+【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等差数列求和进行求解. （2）根据错位相减法进行数列求和. 【详解】(1)解：由题意得：221n a n =+，则{}2n a 为等差数列，首项23a =．∴2242(321)22n n n n S a a a n n ++=+++==+．(2)11212(21)24,343n n n n n b a n n b n ---==-+=⋅=⋅∴0122143831234(1)343n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-+⋅① ∴1231343831234(1)343n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+⋅②①-②得，1212443434343n n n T n --=+⨯+⨯++⨯-⋅∴()1212133323n n n T n -=-+++++⋅()2132313n n n --=+⋅-3(21)1n n =-+．18．下面是抽样调查得到的《2020年四川省分区域企业从业人员工资价位表》（单位：万元）：序号区域分位值10%25% 50% 75% 90% 1四川省2.963.885.478.0012.242 成都平原经济区 3.03 4.03 5.76 8.63 13.283 川南经济区 2.75 3.61 4.92 6.78 9.614 川东经济区 2.80 3.60 5.01 7.00 10.465 攀西经济区 3.09 4.10 5.57 7.23 11.186 川西北生态经济区 2.89 3.67 5.30 7.81 12.01表中的“分位值”指带有横线的每一个数，表示在左边区域内抽取的样本中工资不超过这个数字的人数所占的比例等于上方的百分数．例如，川南经济区右边第二个数3.61的上方是25%，则这个3.61表示在川南经济区的样本中工资不超过3.61万元的人数占25%．(1)分别写出五个经济区的样本中工资价位的中位数，并求这五个中位数的平均数；(2)把工资价位表中的样本数据作为2020年四川省企业从业人员的工资数据，若从四川省2020年的企业从业人员中随机抽取3人，设这3人中工资不超过8.00万元的人数为X，求X的均值和方差；(3)假设右图是根据这次抽取的样本得到的四川省工资价位分布情况直方图的一部分，结合前面的工资价位表，求a的值(保留三位小数)．【答案】(1)中位数依次为5.76,4.92,5.01,5.57,5.30；平均数为5.312(2)94；916(3)0.151【分析】（1）根据中位数为50%的分位值，由表格可得中位数，再代入平均数的计算公式计算即可；（2）由题意可知X服从二项分布，利用二项分布公式计算均值与方差；（3）工资价位在3.88~5.47内的频率为25%，利用频率和等于25%列式计算.【详解】(1)某个区域的样本中工资的中位数就是50%该区域的分位值， 从上到下五个经济区的样本中工资的中位数依次为5.76,4.92,5.01,5.57,5.30． 平均数为5.76 4.92 5.01 5.57 5.305.3125++++=．(2)每个人的工资不超过8.00万元的概率为375%4=，∴33,4X ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， 则39()344E X =⨯=，319()34416D X =⨯⨯=．(3)由工资价位表知，工资价位在3.88~5.47内的频率为25%， 则0.120.1660.1590.470.25a ⨯++=，解得0.151a ≈ 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ，ACBD E =，过点E 的平面与棱PC ，PD ，AD 分别交于点F ，H ，G ，且平面PAB ∥平面EFHG ．(1)求证：EG ∥平面PDC ；(2)若AD CD ⊥，PD CD ⊥，平面PDB ⊥平面ABCD ，6AD CD PD ===，3AB =，求二面角D PB C --的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； 25. 【分析】(1)根据面面平行的性质可得AB ∥GE ，又AB ∥CD ，故GE ∥CD ；(2)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量方法即可求二面角的正弦值.【详解】(1)∵平面PAB ∥平面EFHG ，平面DAB ⋂平面EFHG EG =，平面DAB ⋂平面PAB AB =， ∴GE AB ． ∵CD AB ∥， ∴GE CD ∥．又∵CD ⊂平面CPD ，GE ⊄平面CPD ，∴EG ∥平面CPD ．(2)如图，作CM BD ⊥，垂足为M ．∵平面PDB ⊥平面ABCD 且两平面交于BD ，CM ⊂平面ABCD ． ∴CM ⊥平面PBD ． ∴CM PD ⊥．又∵PD DC ⊥，DC CM C =，,CM CD ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥平面ABCD ． ∴PD AD ⊥．以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -． 则(0,6,0),(0,0,6),(6,3,0)C P B ，则(0,0,6),(6,3,6),(0,6,6)DP PB CP ==-=-．设平面DPB 的法向量为(,,)m a b c =，平面CPB 的法向量为(,,)n x y z =，则606360m DP c m PB a b c ⎧⋅==⎨⋅=+-=⎩，取(1,2,0)m =-， 6606360n CP y z n PB x y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=+-=⎩，取(1,2,2)n =． 于是115cos ,||||53m n m n m n ⋅⨯-===⋅⨯设二面角D PB C --的大小为θ，则5|cos ||cos ,|5m n θ==， 则225sin 1cos θθ=-=20．已知圆C ：22(1)1x y -+=，椭圆M ：22184x y +=．(1)求证：圆C 在椭圆M 内；(2)若圆C 的切线m 与椭圆M 交于P ，Q 两点，F 为椭圆M 的右焦点，求△FPQ 面积的最大值．【答案】(1)证明见解析 (2)4【分析】（1）证明椭圆M 上任意一点到圆心C 的距离大于半径1即可解决； （2）以设而不求的方法得到△FPQ 面积的表达式，再去求最大值即可. 【详解】(1)圆心(1,0)C ，半径1r =．设(,)A x y 为椭圆M 上一点，则2222222111||(1)(1)425(2)3222AC x y x x x x x =-+=-+-=-+=-+． ∵2222-≤≤x ∴当2x =时，||AC 3 31>，即||AC r >，故点A 总在圆C 外． ∴圆C 在椭圆M 内．(2)若直线m 斜率不存在，m 不能过点()2,0F ，则m 的方程只能为0x =， ||4PQ =，4FPQS=．若直线m 斜率存在，设m 的方程为()()1122(0),,,,y kx t t P x y Q x y =+≠． 由直线m 与圆C 211k =+，化简得221t kt +=，则11,02k t t t ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭． 由22184x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222214280k x ktx t +++-=， ()()222222222116Δ(4)42128648321683280kt k t k t t t t t t ⎛⎫=-+-=-+=--+=+> ⎪⎝⎭则2121222428,2121kt t x x x x k k --+==++．222212168||11t t PQ k x k +=+-=+又(2,0)F 到直线m 的距离21d k =+2216811|||2|22FPQt t SPQ d k t +==+2242222442211242||||11122t t t t t t t t t t t +++===⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设41s t =+，则1s >， 242242(1)24222222112224221FPQs t s Ss s s +-++⎛⎫====++- ⎪⎝⎭．综上，FPQ △面积的最大值为4． 21．已知函数32()34f x x x x =--． (1)若[0,2]x ∈，求()f x 的值域；(2)若122()2e ln ln 0x xf x a x x ax x -+-+，求实数a 的取值集合． 【答案】(1)[2,6]- (2){0,1}【分析】（1）求出函数的导数，判断函数单调性，求出函数在[0,2]x ∈时的极值，可得答案;（2）将122()2e ln ln 0x xf x a x x ax x -+-+，并由此构造函数143222()2e 34ln ln x g x x x x a x x ax x -=+---+，根据题意可判断(1)0g =为其最小值，由此判断1为()g x 的极值点，因此可求得得0a =或1a =，再分别证明在0a =或1a = 时满足题意，则可得答案.【详解】(1)2()981(1)(91)f x x x x x ==-'--+， [0,2]x ∈时，()f x 的单调性和极值情况如下表：x 0()0,11()1,22()'f x1--0 +19()f x减函数 极小值2- 增函数 6所以，()f x 的值域为[2,6]-．(2)122()2e ln ln 0x xf x a x x ax x -+-+，0x > ， 即1432222e 34ln ln 0x x x x a x x ax x -+---+≥， 设143222()2e 34ln ln x g x x x x a x x ax x -=+---+，则13222()2e 121222ln ln x g x x x x a x x a x a a x -=+----++'， ∵在(0,)+∞内()0g x ≥，且(1)0g =， ∴min ()(1)0g x g ==，则1为()g x 的极值点， ∴(1)0g '=，即20a a -+=，解得0a =或1a =． 当0a =时，11432322e ()2e3434,0x x g x x x x x x x x x x --⎛⎫=+--=+--> ⎪⎝⎭，设1322e ()34,0x h x x x x x x-=+-->，则11122222e (1)2e (1)2e ()981(91)(1)(1)91x x x x x h x x x x x x x x x x ---⎛⎫--=+--=++-=-++ ⎝'⎪⎭， ∴在(0,1)内()0,()h x h x '<为减函数；在(1,)+∞内()0,()h x h x '>为增函数， ∴min ()(1)0h x h ==，则()0h x ≥，故()0g x ≥成立． 当1a =时，114322322e ()2e34ln ln 34ln ln x x g x x x x x x x x x x x x x x x x --⎛⎫=+---+=+---+ ⎪⎝⎭，设1322e ()34ln ln ,0x h x x x x x x x x x -=+---+>，则1222(1)e 1()982ln x x h x x x x x x--=+---+' ()1222(1)e 1982ln x x x x x x x x x---+=+---+()1222(1)e 2(1)1982ln x x x x x x x xx x----=++---+ ()122(1)e 19(1)ln x x x x x x x x x---=+-+--，设1()e (0)x m x x x -=->，则1()e 1x m x -='-．当01x <<时，()0,()m x m x '<为减函数；当1x >时，()0,()m x m x '>为增函数． ∴()(1)0m x m ≥=（当且仅当1x =时等于0）．设1()ln (0)k x x x x x =-->，则222111()10x x k x x x x -+=-+=>'， 故()k x 在(0,)+∞内为增函数，且(1)0k =．所以，当01x <<时，()0k x <；当1x >时，()0k x >，于是，当01x <<时，()0,()h x h x '<为减函数；1x >时，()0,()h x h x '>为增函数， ∴()(1)0h x h ≥=，故()0g x ≥成立． 综上所述，a 的取值集合为{0,1}．【点睛】本题考查了导数的应用，利用导数判断函数的单调性以及求极值最值问题，考查了利用导数解决不等式成立时求参数的值的问题，综合性较强，计算量很大；解答的关键是合理的变形，从而构造新函数，利用导数解决问题.22．已知直线l 的参数方程为(1x t t y t =⎧⎨=+⎩，，为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 2cos ρθθθ=+． (1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)射线m 的极坐标方程为θα=，射线m 与曲线C 交于点A （不是原点），把射线m 绕点O 逆时针旋转π4得射线n ，射线n 与直线l 交于点B ．若ππ43α≤≤，求||||OA OB 的取值范围．【答案】(1)cos sin 10ρθρθ-+=，2220x x y --= (2)[42,626]【分析】（1）通过消参的方法，写出直线的普通方程，利用极坐标的转化公式代入表示出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）利用极坐标表示出||,OA OB ，从而得)222tan ||ta ||n αα=+OA OB ，再根据2tan tan αα=+y 在,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，从而得值域.【详解】(1)直线l 的普通方程为10x y -+=，极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=（或2sin 14πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭），由2cos 2sin 2cos ρθθθ=+，得22cos 2sin 2cos ρθρθρθ=+．把cos ,sin x y ρθρθ==代入，得222x y x =+，∴曲线C 的直角坐标方程为2220x x y --=．(2)把θα=代入2cos 2sin 2cos ρθθθ=+得2cos 2sin 2cos ρααα=+，∴22sin 2cos cos ααρα+=，故22(sin cos )||cos OA ααα+=，射线n 的极坐标方程为4πθα=+，代2sin 14πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2sin 1ρα=，∴2sin ρα=，故||2sin OB α=，∴)2||22sin (sin cos )22tan tan ||OA OB ααααα+==+， 由43ππα≤≤知2tan tan αα=+y 为增函数，可得)24222tan tan 6226αα+≤∴||||OA OB 的取值范围为[42,626]． 【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生2ρ，cos ρθ,sin ρθ以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数θ来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题. 23．已知函数()|2||23|f x x a x =-++，a R ∈． (1)若1a =，解不等式()35f x x +；(2)设m ，n 均为正数，2m n a +=2m n 6，求()f x 的最小值． 【答案】(1)1,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)5【分析】（1）零点分段法求解绝对值不等式；（2）由柯西不等式求出2a =，再由绝对值三角不等式求出()f x 的最小值.【详解】(1)1a =时，不等式为|21||23|35x x x -++≤+． 当12x ≥时，不等式化为212335x x x -++≤+，解得3x ≤， 此时解集为1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当3122x -<<时，不等式化为212335x x x -+++≤+，解得13x ≥-，此时解集为11,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭；当32x ≤-时，不等式化为212335x x x -+--≤+，解得1x ≥-，此时无解．综上所述，不等式的解集为1,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．(2)由柯西不等式得2(2)(12))m n m n ++≥， ∴2()3m n a ≤23m n a ≤ 当且仅当212m n =，即3a m n ==号时等号成立．m n 3a 36a =2a =．∴()|22||23||2223|5f x x x x x =-++≥---=． 当且仅当(22)(23)0x x -+≤，即312x -≤≤时等号成立．∴()f x 的最小值为5．。

一、单选题二、多选题1. 以点（-2,4）为圆心的圆，若有一条直径的两端分别在两坐标轴上，则该圆的方程是（ ）A．B．C．D．2. 若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是（ ）A．B ．0C ．1D ．33. 已知双曲线的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．4. 已知函数，则满足的的取值范围为（ ）A．B．C．D．5. 已知为双曲线右支上的一点，双曲线的左、右顶点分别为，直线交双曲线的一条渐近线于点，直线的斜率分别为，，若以为直径的圆经过点，且，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C ．2D．6. 已知向量，满足，，则（ ）A．B．C．D．7. 设曲线在点处的切线方程为，则（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38. 设数列的前项和为，若，则（ ）A．B．C．D．9. 已知函数，且函数有三个零点，则下列判断正确的是（ ）A ．的单调递减区间为B ．实数的取值范围为C ．曲线在点处的切线方程为D．10.在正四棱柱中，已知与平面所成的角为，底面是正方形，则（ ）A．B．与平面所成的角为C．D ．平面11. 全市高三年级第二次统考结束后，李老师为了了解本班学生的本次数学考试情况，将全班50名学生的数学成绩绘制成频率分布直方图．已知该班级学生的数学成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将数学成绩按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组．按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图，则下列结论正确的是（ ）四川省名校联盟2023届高三下学期4月联考理科数学试题(1)四川省名校联盟2023届高三下学期4月联考理科数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．第七组的频率为0.008B ．该班级数学成绩的中位数的估计值为101分C ．该班级数学成绩的平均分的估计值大于95分D ．该班级数学成绩的标准差的估计值大于612. 已知，若正数满足，则下列不等式可能成立的是（ ）A．B．C．D．13. 设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则______.14. 椭圆上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为椭圆的右焦点，AF ⊥BF ，∠ABF ＝，，，则椭圆的离心率的取值范围为_______．15.从的外接圆上任意一点分别向的三边所在直线作垂线，垂直分别为，，，则，，三点共线，这一性质就是著名的西摩松定理，这条直线叫作西摩松直线．若圆与轴负半轴、正半轴分别交于点，，第一象限内的点在圆上，点关于轴的对称点为，点在轴及直线上的射影分别为，，则直线的方程为______．16.已知数列满足．(1)求的通项公式；(2)若，数列满足，求的前项和．17. 如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上两个码头，海中小岛有码头Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为、，测得，，以点 O 为坐标原点，射线OM 为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，一艘游轮以小时的平均速度在水上旅游线AB 航行（将航线AB 看作直线，码头 Q 在第一象限，航线BB 经过点Q ）.（1）问游轮自码头A 沿方向开往码头B 共需多少分钟？（2）海中有一处景点P （设点P 在平面内，，且），游轮无法靠近，求游轮在水上旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标.18. 设函数.(1)若曲线在处的切线与直线互相垂直，求的方程；(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.19. 如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，，，为的中点，过、、三点的平面交于点．求证：（1）；（2）平面．20.已知正方体和平面，直线平面，直线平面.（1）证明：平面平面；（2）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的最大值.21. 已知函数.（1）求函数的单调减区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知，，求的值.。

2023-2024年度名校联盟高三数学诊断性测试数学（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}4,A x x k k ==∈N ，{}42,B x x k k ==+∈N ，则()A B =∪N ð（）A.{}41,x x k k =+∈NB.{}43,x x k k =+∈NC.{}21,x x k k =+∈N D.{}23,x x k k =+∈N 【答案】C 【解析】【分析】利用集合的并集运算和补集运算即可求解.【详解】因为{}{}4,0,4,8,12,A x x k k ==∈=N ,{}{}42,2,6,10,14,B x x k k ==+∈=N ,所以{4A B x x k ⋃==或}{}42,2,x k k x x k k =+∈==∈N N ，于是(){}21,N A B x x k k ⋃==+∈N ð.故选：C.2.命题“6x y +≤”是“2x ≤，或4y ≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】通过命题相互是否推出判断充分不必要条件.【详解】命题“6x y +≤”是“2x ≤，或4y ≤”的充分不必要条件.即：“6x y +≤⇒2x ≤，或4y ≤”，且“2x ≤，或4y ≤⇒6x y +≤”.①“6x y +≤⇒2x ≤，或4y ≤”.证明：用反证法.假设“2x ≤，或4y ≤”不成立，则2x >，且4y >.所以有6x y +>，这与已知6x y +≤矛盾.故假设错误，即2x ≤，或4y ≤成立.②“2x ≤，或4y ≤⇒6x y +≤”.因为当2,100x y ==时，满足条件2x ≤，或4y ≤，此时102x y +=，不满足6x y +≤.故“2x ≤，或4y ≤”⇒“6x y +≤”.故选：A.3.等差数列{}n a 满足2321a a -=，且1414a a +=，则10a =（）A.35B.37C.41D.43【答案】B 【解析】【分析】由等差数列的性质求出公差d 和1a ，再由基本量法求出10a .【详解】因为{}n a 为等差数列，所以142314a a a a +=+=，又因为2321a a -=，联立解得235,9a a ==，设公差为d ，则32124,541d a a a a d =-==-=-=，所以()1143n a a n d n =+-=-，所以101914937a a d =+=+⨯=.故选：B.4.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若1a =，2b =，则B C +的取值范围是（）A.2π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.5π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】先根据边的关系求出c 的范围，然后表示出cos A ，求出其范围，进而可得A 的范围i ，则B C +的范围可求.【详解】根据三角形三边关系可得a b c a b -<<+，即13c <<，又2222313cos 244b c a c A c bc c c +-+⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，因为函数3y x x=+在(上单调递减，在)上单调递增，所以min 3c c ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，又3314,3413+=+=，所以34c c +<，所以cos 12A ≤<，又A 为三角形的内角，所以π06A <≤，所以5ππ6B C ≤+<.故选：C.5.已知32()3f x x x =-，则124046202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）A.-8088 B.-8090 C.-8092D.-8094【答案】D 【解析】【分析】先得到()(2)4f x f x +-=-，然后利用倒序相加来求和即可.【详解】3232(1)(1)(1)3(14)(1)3(1)f x f x x x x x -++=---+-++=-，即()(2)4f x f x +-=-设12404440452023202320232023M f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ①，则40454044212023202320232023M f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②①+②得14045240444044240451220232023202320232023202320232023M f f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 44045=-⨯，所以8090M =-，又()4046281242023f f ⎛⎫==-=-⎪⎝⎭，所以124046809048094202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D.6.已知三棱锥-P ABC 中，112PA PB PC ===，AC BC =．若,PA AC 的中点分别为,D E ，且满足90BDE ∠= ．当三棱锥-P ABC 的体积最大时，其外接球体积是（）A.B.C.4π3D.π27【答案】B 【解析】【分析】取线段AB 中点F ，连接,PF CF ，先证明⊥CP 面ABP ，进而可计算三棱锥-P ABC ，当PA PB ⊥时三棱锥-P ABC 的体积最大，进而可以求出三棱锥-P ABC 外接球半径，则体积可求.【详解】取线段AB 中点F ，连接,PF CF ，因为PA PB =，AC BC =，则,AB PF AB CF ⊥⊥，又,,PF CF F PF CF ⋂=⊂面CFP ，所以AB ⊥面CFP ，又CP ⊂面CFP ，所以AB CP ⊥，又因为,PA AC 的中点分别为,D E ，所以ED CP ∥，又因为BD DE ⊥，所以BD CP ⊥，又,,AB BD B AB BD =⊂I 面ABP ，所以⊥CP 面ABP ，又11sin 32P ABC V PC PB PA BPA -=⨯⨯⨯⨯⨯∠，当sin 1BPA ∠=，即PA PB ⊥时三棱锥-P ABC 的体积最大，故此时,,PA PB PC 三条线两两垂直，其外接球半径为4116222==，外接球体积为346π32⎛= ⎝⎭.故选：B.7.已知P 为直线:0l x y +=上一点，过点P 作圆22:(1)(1)1M x y -+-=的切线PA （A 点为切点），B 为圆22:(3)(3)4N x y -+-=上一动点．则PA PB +的最小值是（）A.2- B.1- C.D.2-【答案】B 【解析】【分析】连接MN ，可得MN l ⊥，得到min min ()()2PA PB PA PN +=+-，结合直角三角形的性质和勾股定理，求得2218PN OP =+，221PA OP =+，得到2OP 最小时，,PN PA 同时取得最小值，即可求解.【详解】如图所示，连接MN ，可得MN l ⊥，且垂足为O 要使得PA PB +取得最小值，即min min min ()(2)()2PA PB PA PN PA PN +=+-=+-，又由2222222[(30)(30)]18PNON OP OP OP =+=-+-+=+，2222222111PA PM MA PM OM OP OP =-=-=+-=+，显然，当2OP 最小时，,PN PA 同时取得最小值，所以，当20OP =时，minPN=且min 1PA =，所以min min ()()21PA PB PA PN +=+-=.故选：B.8.若ln1.1a =，19200b =，1sin 10c =，则（）A.b c a >>B.b a c>> C.c a b>> D.c b a>>【答案】C 【解析】【分析】构造函数()()[]2ln 1,0,12x f x x x x ⎛⎫=+--∈ ⎪⎝⎭可确定,a b 大小，构造函数()()πln 1sin ,0,6g x x x x ⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦可确定,a c 大小，进而可得答案.【详解】设()()[]2ln 1,0,12x f x x x x ⎛⎫=+--∈ ⎪⎝⎭，则()()211011x f x x x x =--=+'≥+，即函数()f x 在[]0,1上单调递增，所以()()0.100f f >=，即()20.1ln 0.110.102⎛⎫+--> ⎪⎝⎭，即19ln1.1200a b =>=设()()πln 1sin ,0,6g x x x x ⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦，则()()11cos 1cos 11x x g x x x x -+=-='++，令()()11cos h x x x =-+，则()()1sin cos h x x x x =-'+，明显()1sin y x x =+在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，cos y x =在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()()1sin cos h x x x x =-'+在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()πππππ11sin cos 066661222h x h ⎛⎫⎛⎫<=+-=+-⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭'，所以()()11cos 1cos 11x x g x x x x -+=-='++在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减所以()()00g x g ''<=，即()g x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()0.100g g <=，即()ln 1.1sin 0.10-<，即a c <，所以c a b >>故选：C.【点睛】方法点睛：对于比较大小，不能利用所学函数单调性进行比较的，通常需要根据式子结构以及数据结构构造函数来解决问题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+的最大值为2，且π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(0)1f =．若π2ϕ≤，且0πωϕ<≤，则（）A.π()2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.()f x 的周期是π2C.()f x 的单调递增区间是πππ,π,36⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭k k k Z D.()f x 的零点是ππ,6k k +∈Z【答案】AC 【解析】【分析】先根据条件求出()f x 的解析式，然后利用三角函数的性质逐一判断即可.【详解】由已知2A =，由(0)1f =得π2π,6k k ϕ=+∈Z 或5π2π,6k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ≤，所以π6ϕ=，又由π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭得ππ2π,62k k ωϕ+=+∈Z ，即6312,πk k ϕω=-++∈Z ，当π6ϕ=时，212,k k ω=+∈Z ，此时()π0212π6k ωϕ<=+≤，得1163k -<≤，则2ω=；所以π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，A 正确；周期2ππT ω==，B 错误；令πππ2π22π,262k x k k -+<+<+∈Z ，解得ππππ,36k x k k -+<<+∈Z ，即()f x 的单调递增区间是πππ,π,36k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，C 正确；令π2π,6x k k +=∈Z ,解得ππ,122k x k =-+∈Z ，D 错误.故选：AC.10.有五名志愿者参加社区服务，共服务周六､周天两天，每天从中任选两人参加服务，则（）A.只有1人未参加服务的选择种数是30种B.恰有1人连续参加两天服务的选择种数是40种C.只有1人未参加服务的选择种数是60种D.恰有1人连续参加两天服务的选择种数是60种【答案】AD 【解析】【分析】有1人未参加服务或恰有1人连续参加两天服务都要先从5人中选出1人，再从余下的人中选取服务于周六周日，根据分步乘法原理，即可求得答案.【详解】由题意得只有1人未参加服务，先从5人中选1人，未参加服务，有15C 5=种选法，再从余下4人中选2人参加周六服务，剩余2人参加周日服务，有24C 6=种选法，故只有1人未参加服务的选择种数是5630⨯=种，A 正确，C 错误；恰有1人连续参加两天服务，先从5人中选1人，服务周六､周天两天，有15C 5=种选法，再从余下4人中选1人参加周六服务，剩余3人选1人参加周日服务，有1134C C 12=种选法，故恰有1人连续参加两天服务的选择种数是51260⨯=种，B 错误，D 正确，故选：AD11.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A.直径为0.99m 的球体B.所有棱长均为1.4m 的四面体C.底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D.底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.【详解】对于选项A ：因为0.99m 1m <，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A 正确；对于选项B 1.4>，所以能够被整体放入正方体内，故B 正确；对于选项C 1.8<，所以不能够被整体放入正方体内，故C 不正确；对于选项D ：因为1.2m 1m >，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过1AC 的中点O 作1OE AC ⊥，设OE AC E =I ，可知1131,=2AC CC AC ===，则11tan CC OE CAC AC AO ∠==，32=，解得64OE =，且223990.6482425⎛==>= ⎝⎭，即60.64>，故以1AC 为轴可能对称放置底面直径为1.2m 圆柱，若底面直径为1.2m 的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心1O ，与正方体的下底面的切点为M ，可知：111,0.6AC O M O M ⊥=，则1111tan CC O MCAC AC AO ∠==，10.6AO =，解得1AO =，根据对称性可知圆柱的高为2 1.732 1.21.4140.03520.01-⨯≈-⨯=>，所以能够被整体放入正方体内，故D 正确；故选：ABD.12.已知平面直角坐标系xOy 中，(3,0)M -，(3,0)N ，动点P 满足12PM PN ⋅=，其轨迹为一条连续的封闭曲线C ．则（）A.曲线C 关于y 轴对称B.曲线C 与x轴交点为(-和C.PMN 面积的最大值为6D.OP的取值范围为【答案】ABD 【解析】【分析】先求得(),P x y 所满足的方程并进行化简，A ：以x -代x ，根据方程是否变化进行判断；B ：令0y =，求解出x 的值，则与x 轴的交点坐标可知；C ：将方程看成关于2x 的一元二次方程，根据0∆≥求解出y 的取值范围，则PMN 面积的最大值可求；D ：变形方程得到2290y x =-≥，由此求解出2x 的范围，则22xy +的范围可求，故OP的取值范围可知.【详解】设(),P x y ，因为12PM PN ⋅=12=，化简可得()2222914436x y x ++=+，即229x y +=；对于A ：以x -代x ，则()229x y -+=，即229x y +=，方程未变化，所以曲线C 关于y 轴对称，故A 正确；对于B ：令0y =，则29x =，解得=x所以曲线C 与x 轴交点为()和)，故B 错误；对于C ：将229x y +=化为()4224221818630x y x y y +-++-=，因为方程一定有解，所以()()2242218418630y y y ∆=--+-≥，解得24y ≤，即[]2,2y ∈-，所以()max 12662PMN S =⨯⨯= ，故C 正确；对于D ：因为2290y x =-≥，解得2021x ≤≤，所以()[]214436144,900x+∈[]12,30，所以[]2293,21x y +=-∈，所以OP ∈，故D 正确；故选：ABD.【点睛】结论点睛：曲线C 的方程为(),0F x y =，①如果(),0F x y -=，则曲线C 关于y 轴对称；②如果(),0F x y -=，则曲线C 关于x 轴对称；③如果(),0F x y --=，则曲线C 关于原点对称.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知i 为虚数单位，计算：14i43i+=-________．【答案】819i 2525-+【解析】【分析】直接利用复数的除法运算计算即可.【详解】()()()()14i 43i 14i 819i43i 43i 43i 25+++-+==--+.故答案为：819i 2525-+.14.若多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则123a a a ++=________．【答案】15【解析】【分析】根据二项展开式定理，分别求出()()341,4x x -+的展开式，即可得出结论.【详解】()3321331x x x x -=-+-，()443214641x x x x x +=++++，所以1145a =+=，2363a =-+=，3347a =+=，所以12353715a a a ++=++=，故答案为：15.15.已知平面向量,a b满足112a b a b ==⋅= ，22||c b c =⋅ ，则22c c a b -+- 的最小值是__________.【答案】72【解析】【分析】根据余弦定理求解长度，进而可判断点C 的轨迹为以OD 为直径的圆，进而根据三点共线求解最值.【详解】令OA a = ，OB b = ，OC c =，OB 中点为D ，OD 中点为F ，E 为AB 中点，由112a b a b ==⋅=，得cos ,12cos ,1a b a b a b a b ⋅=⋅=⨯= ，即1cos ,2a b=，即60AOB ∠=︒，所以AB ==222AO AB OB +=，即90OAB ∠=︒、30ABO ∠=︒,故2EF =，由22||c b c =⋅ ，即()1222202OC OC OB OC OC OC OB OC OC OD OC DC ⎛⎫⋅-⋅=⋅-=⋅-=⋅= ⎪⎝⎭，即有OC CD ⊥，故点C 的轨迹为以OD 为直径的圆，由2222cos CB BE CE BE CE BEC =+-⋅∠，()2222cos 180CA AE CE AE CE BEC =+-⋅︒-∠，故222222CA CB AE BE CE +=++，则222222223222CA CB AE BE CE C c E c a b =+=-+-++=+ ，故当F 、C 、E 三点共线，且点C 在点F 、E 之间时，CE 最小，此时131222CE EF OD =-=-，故222233172222222c a c b CE ⎫=+≥+-=-⎪⎪⎝⎭-+- .故答案为：72【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用平面向量的几何意义得到各向量所表示的有向线段的关系，从而将问题化为点到圆上的点的距离的最小值问题，由此得解.16.已知函数()()31,21,21x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩，若方程[]22()2()30a f x f x a --+=有两个不同实根，则实数a 的取值范围是________．【答案】3712⎧⎫+⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭【解析】【分析】先作出函数图象，然后验证0a =时的情况，对于0a ≠，先验证Δ0=的情况，对于0∆>，利用利用根的分布，结合函数()f x 的图象列不等式求解.【详解】作出函数()f x的图象如下：令()f x t =，则方程22230at t a --+=有两个不同实根，当0a =时，方程的根为32t =，此时()32f x =无实根，不符合题意，舍去；当0a ≠时，若方程22230at t a --+=有两相等实根，则()4830a a ∆=--=，解得32a -=或32a =，当32a -=时，方程的根32t +=，此时()32f x +=无根，不符合题意，舍去；当372a +=时，方程的根372t -=，此时()372f x -=有两个不同实根，符合题意；若方程22230at t a --+=有两个不同实根，设为12,t t ，所以()4830a a ∆=-->，解得372a <或372a >同时有12101t t >⎧⎨<<⎩或1210t t =⎧⎨≤⎩或120t t ≤⎧⎨≤⎩所以0302230a a a a >⎧⎪-+>⎨⎪--+<⎩或0302230a a a a <⎧⎪-+<⎨⎪--+>⎩或223011a a a --+=⎧⎪⎨≤⎪⎩或10302a a a⎧≤⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩解得1a =-.综上32a +=或1a =-故答案为：3,12⎧⎫+⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A 24020B21030（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k 0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【答案】（1）A ，B 两家公司长途客车准点的概率分别为1213，78（2）有【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据及公式计算2K ，再利用临界值表比较即可得结论.【小问1详解】根据表中数据，A 共有班次260次，准点班次有240次，设A 家公司长途客车准点事件为M ，则24012()26013==P M ；B 共有班次240次，准点班次有210次，设B 家公司长途客车准点事件为N ，则210()27840==P N .A 家公司长途客车准点的概率为1213；B 家公司长途客车准点的概率为78.【小问2详解】列联表准点班次数未准点班次数合计A 24020260B 21030240合计4505050022()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++=2500(2403021020) 3.205 2.70626024045050⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.18.数列{}n a 满足11a =，12(1)2n n na n a n +-+=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）21n n a n =⋅-（2）()1212n n S n n +=-+-⋅【解析】【分析】（1）将递推关系变形得到11121n n a a n n +++=+，由此可知1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，则1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式可求，故{}n a 的通项公式可求；（2）设{}2nn ⋅的前n 项和为nT ，先用错位相减法求解出nT ，然后通过分组求和法求解出nS.【小问1详解】因为12(1)2n n na n a n +-+=+，所以12(1)22n n na n n a n ++=+++，所以()()()11211n n n a n a ++=++，所以11121n n a a n n+++=+，又11201a +=≠，所以1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列，所以11222n n n a n-+=⋅=，所以21n n a n =⋅-.【小问2详解】设{}2nn ⋅的前n 项和为nT ，因为1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，所以234121222322n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，两式作差可得123122222nn n T n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅，所以()1212212n n nT n +--=-⋅-，所以()()11212221212n n n n T n n ++-=-+⋅=+-⋅-，所以()1212n n n S T n n n +=-=-+-⋅.19.记钝角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若B 为锐角且cos()0A B -=．（1）证明：sin sin c a A b B =-；（2）若2c =，求ABC 周长的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）()4,+∞【解析】【分析】（1）根据条件先确定出,A B 的关系，然后通过诱导公式化简22sin sin A B -，最后根据正弦定理进行化简并完成证明；（2）根据正弦定理将a b c ++表示为关于B 的三角函数形式，然后分析B 的范围，由此可求a b c ++的取值范围，则ABC 周长的取值范围可知.【小问1详解】由条件可知：()π0,π,0,2A B ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，所以()π,π2A B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，因为()cos 0A B -=，所以π2A B -=，所以π2A B =+，因为22ππsin sin sin sin sin sin 22A B A B B A ⎛⎫⎛⎫-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()sin cos sin cos sin sin πsin A B B A A B C C =+=+=-=，所以22sin sin sin C A B =-，由正弦定理可知：sin sin c a A b B =-.【小问2详解】因为ππππ222C A B B B B ⎛⎫=--=-++=- ⎪⎝⎭且sin sin sin c a b C A B ==，所以22ππcos 2sin sin 2sin 22a bB B B B ===⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2cos 2sin ,cos 2cos 2B Ba b B B==，所以()()()2cos sin 2cos 2sin 22cos 2cos sin cos sin B B B Ba b c B B B B B ++++=+=++-，因为ππ0222π02B B ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，所以π0,4B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos 0B B +>，所以222πcos sin cos 4a b c B BB ++=+=+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为π0,4B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,442B ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πcos 0,42B ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2,πcos 4B ∈+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()24,πcos 4a b c B ++=+∈+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以ABC 周长的取值范围是()4,+∞.20.已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，14AA=，E 为AB 中点，且满足平面11A C E ⊥平面11BDD B .（1）若P 为棱1DD 上一点，且1B P ⊥平面11A C E ，求PD ；（2）求平面11A C E 与平面1A BD 所成二面角的正弦值.【答案】（1）72PD =（2）99【解析】【分析】（1）由题意可直接建立空间直角坐标系，设出AD 长度，借助题目条件平面11A C E ⊥平面11BDD B ，找出法向量即可得；（2）求出两面的法向量计算即可得.【小问1详解】以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设()0AD a a =>，则有()0,0,0D 、(),0,0A a 、(),2,0B a 、()0,2,0C 、()1,2,4B a 、()10,0,4D 、(),1,0E a 、()1,0,4A a 、()10,2,4C ，则有(),2,0DB a = 、()10,0,4DD = 、()11,2,0A C a =- 、()10,1,4A E =-,设平面11A C E 与平面11BDD B 的法向量分别为()111,,m x y z = 、()222,,n x y z =r，则有11112040ax y y z -+=⎧⎨-=⎩与2222040ax y z +=⎧⎨=⎩，可令1y a =、2y a =，则有2,,4a m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭、()2,,0n a =-，由平面11A C E ⊥平面11BDD B ，则有m n ⊥，即240m n a ⋅=-+=，解得2a =，即12,2,2m ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，设()0,0,P t ，则()12,2,4B P t =---，由1B P ⊥平面11A C E ，则有1//B P m ，即有1222224t ==---，即72t =，即72PD =；【小问2详解】()10,2,4A B =- 、()2,2,0DB = ，设平面1A BD 的法向量为()333,,j x y z =，则有3333220240x y y z +=⎧⎨-=⎩，令32x =，则()2,2,1j =-- ，则1332cos ,99m j m j m j-⋅===-，则其正弦值为sin 99θ=.21.已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A ，B 关于直线12y mx =+对称．（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．【答案】（1）3m <-或3m >；（2）2.【解析】【详解】（1）可设直线AB 的方程为1y x b m =-+，从而可知有两个不同的解，再由AB 中点也在直线上，即可得到关于m 的不等式，从而求解；（2）令1t m=，可将AOB ∆表示为t 的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而求解.试题解析：（1）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m =-+，由，消去y ，得，∵直线1y x b m =-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，∴224220b m ∆=-++>，①，将AB 中点2222(,)22mb m b M m m ++代入直线方程12y mx =+解得2222m b m +=-，②．由①②得63m <-或63m >；（2）令1(,0)(0,)22t m =∈-⋃，则212AB t =+，且O 到直线AB 的距离为212t d +=AOB ∆的面积为()S t ，∴1()22S t AB d =⋅=≤，当且仅当212t =时，等号成立，故AOB ∆面积的最大值为2.考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.点到直线距离公式；3.求函数的最值.22.已知函数()log xa f x ab x =-，其中1a >．（1）当e b =时，若()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）当1b =时，讨论()f x 的零点个数．【答案】（1）ea ≥（2）答案见解析【解析】【分析】（1）将()f x 在区间(1,)+∞上单调递增转化为()0f x '≥在(1,)+∞上恒成立，转化为最值求解即可；（2）先求出()(),log x a s x a t x x ==均与直线y x =相切时的a 值，然后利用指数函数的图像与a 的变化关系求解.【小问1详解】当e b =时,()elog xa f x a x =-，则2e ln e ()ln ln ln x xxa a f x a a x a x a -'=-=，因为()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，且1a >，(1,)x ∈+∞，则2ln e 0x xa a -≥在(1,)x ∈+∞上恒成立，即2e ln x xa a≥在(1,)x ∈+∞上恒成立，又明显函数x y xa =在(1,)+∞上单调递增，所以()2min e ln x xa a a=≥，即2ln e a a ≥，又明显函数()2ln g x x x =在(1,)+∞上单调递增，且()2e e ln e e g ==，所以()()e g a g ≥，所以e a ≥；【小问2详解】当1b =时，()log x a f x a x =-，1a >令()log 0x a f x a x =-=，得log xa a x =，令()(),log x a s x a t x x ==，这两个函数的图象关于直线y x =对称当()(),log x a s x a t x x ==均与直线y x =相切时，如图：设切点为()00,x x a ，又()ln x s x aa '=，所以0ln 1x a a =则切线方程为00xy x x a =-+，代入点()0,0得000x x a =-+，所以000000000ln ln ln 1e x x x a a x x a x x x =-+⇒=⇒=⇒=⇒=，所以1e e e e a a =⇒=，即当1e e a =，()(),log xa s x a t x x ==的图象相切，只有一个交点，则当1e e a >，()(),log x a s x a t x x ==的图象不相交，没有交点，当1e e a <，()(),log xa s x a t x x ==的图象相交，有两个交点，综上所述：当1eea=时，()f x有一个零点；当1eea>时，()f x无零点；当1eea<时，()f x有两个零点.【点睛】方法点睛：导函数问题要学会转化：对于第一问：函数在某区间上单调递增，转化为导函数不小于零恒成立；函数在某区间上单调递减，转化为导函数不大于零恒成立；第二问：函数零点个数问题经常转化为函数图象的交点个数来解决.。

2022-2023学年四川省成都市蓉城名校联盟高二上学期入学联考数学（理）试题一、单选题1．若集合{}1,1,3,5,7A =-，{}15B x x =-<≤，则A B =（ ） A ．{}1,3 B ．{}1,3,5 C ．{}1,1,3,5- D ．{}1,1,3,5,7-【答案】B【分析】利用交集的定义运算即得.【详解】因为{}1,1,3,5,7A =-，{}15B x x =-<≤， 所以{}1,3,5A B =. 故选：B ． 2．5cos 6π=A ．12B ．12-C D ． 【答案】D【分析】直接根据特殊角的三角函数值，得出答案.【详解】根据特殊角的三角函数值，可知5πcos6=.故选D. 【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.从0到π内特殊角的三角函数值需要熟练记忆.3．方程112xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的根位于区间（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,3【答案】C【分析】令函数1()12xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用零点存在定理确定正确选项．【详解】令函数1()12xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，易得函数单调递减，原方程的根即()y f x =的零点，()14f -=，()02f =，()112f =，()324f =-，∵()()120f f ⋅<，可得根位于区间(1,2).4．如图，网格上绘制的是某几何体的三视图，其中网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A ．92B ．272C ．9D ．27【答案】C【分析】由三视图确定该几何体是棱锥，且得出棱锥的性质，然后由体积公式计算． 【详解】解：由三视图可知几何体的直观图（如图）是底面为正方形的四棱锥，且PD ⊥平面ABCD ，3PD AD ==，∴该几何体的体积为1(33)393V =⨯⨯⨯=，故选：C ．5．已知α，β是空间中不重合的两平面，a ，b ，l 是空间中不同的三条直线，A ，B 是空间中不同的两点，则下列结论正确的是（ ） A ．a b ∥，b a αα⊂⇒∥ B ．a α∥，b α∥，a ，b βαβ⊂⇒∥ C ．a α∥，b a b α⇒∥∥D ．A α∈，A β∈，l A l αβ⋂=⇒∈【分析】根据线面平行的判定定理判断A ，面面平行的判定定理判断B ，线面位置关系判断C ，平面公理判断D ．【详解】由直线与平面平行的判定定理知A 错误（需要加条件a α⊄）；由平面与平面平行的判定定理知B 错误（需加条件两直线相交）；直线与平面平行不具备传递性，C 错误（,a b 可以平行、可能异面也可能相交）；由平面公理知D 正确， 故选：D ．6．已知1cos 43πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A B C D 【答案】B【分析】由同角三角函数的基本关系可得sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而由配凑法及两角和与差的余弦公式可得 cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，代值化简即可.【详解】0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,444πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭.又1cos 43πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，sin 43πα⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭， cos cos 44ππαα⎡⎤⎛⎫∴=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 4444ππππαα⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2424ππαα⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 故选：B ．7．若单位向量1e ，2e 满足121222e e e e +=-，则1e ，2e 的夹角为（ ） A ．6π B ．2π C ．56π D ．0【答案】B【分析】利用向量数量积的运算律可得120e e ⋅=，进而即得. 【详解】原式两边平方得2222112211224444e e e e e e e e +⋅+=-⋅+，解得120e e ⋅=，即12,2e e π=。

2024届高三第二次联考理科数学（答案在最后）考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名､座位号和考籍号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案：非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上､试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21230,31x A xx x B x -=--=>∣∣ ，则A B ⋂=（）A.(]1,1- B.[]1,3- C.(]1,3 D.[)3,∞+2.某圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）A.πC. D.2π3.若角α的终边位于第二象限，且1sin 2α=，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.12B.12-C.32D.32-4.14C 同位素测年法最早由美国学者Willard Frank Libby 在1940年提出并试验成功，它是利用宇宙射线在大气中产生的14C 的放射性和衰变原理来检测埋在地下的动植物的死亡年代，当动植物被埋地下后，体内的碳循环就会停止，只进行放射性衰变.经研究发现，动植物死亡后的时间n （单位：年）与λ满足关系式lg25730lg n λ=，且0n P P λ=（动植物体内初始14C 的含量为0P ，死亡n 年后14C 的含量为n P ）.现在某古代祭祀坑中检测出一样本中14C 的含量为原来的70%，可以推测该样本距今约（）（参考数据：lg20.30,lg70.85≈≈）A.2750年B.2865年C.3050年D.3125年5.若复数z 满足21z -=，则z 的最小值为（）A.0B.1D.26.在ABC 中，“CA CB AB +<”是“ACB ∠是钝角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.2023世界科幻大会在成都举办，主题场馆以自由､扩散､无界的未来建筑形象诠释科学与科幻主题，提取古蜀文化中神秘“古蜀之眼（黄金面具）”融入“星云”屋顶造型，建筑首层围绕共享中庭设置了剧场､主题展区及博物馆三大主题空间.现将4名志愿者安排到这三个主题空间进行志愿服务，则每个主题空间都有志愿者的不同的安排方式有（）A.6种B.18种C.24种D.36种8.若函数()()2log 21xf x ax =+-是偶函数，则a =（）A.-1B.12-C.1D.129.已知一样本数据（如茎叶图所示）的中位数为12，若,x y 均小于4，则该样本的方差最小时，,x y 的值分别为（）A.1，3B.11，13C.2，2D.12，1210.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左，右焦点，点()()000,0M x y y ≠是双曲线E 上的点，点C 是12MF F 内切圆的圆心，若121212CMF CMF CF F S S S =+ ，则双曲线E 的渐近线为（）A.0y ±=B.0x =C.20x = D.20y =11.已知函数()e ,,x x tf x kx x t⎧=⎨<⎩ ，若对任意的实数,m t ，均满足关于x 的方程()f x m =至多有一根，则k 的取值范围是（）A.(]0,e B.(1,e ∞-⎤-⎦C.[]1,e D.)2e ,1-⎡⎣12.若函数()1sin cos 22f x x x =+在区间][0,,,2a a a ⎡⎤⎣⎦上的值域分别为[][],,,m n p q ，则下列命题错误的是（）A.若[][][],,1,1m n p q ==-，则a 的最小值为4π3B.若[][],,m n p q =，则a 的最小值为π3C.若m q ，则a 的取值范围为2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.若n p ，则a 的取值范围为2π0,9⎛⎤ ⎥⎝⎦二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若抛物线22y px =-过点()1,2-，则该抛物线的焦点为__________.14.函数()e cos xf x x x =+在点0x =处的切线方程为__________.15.在ABC 中，1cos ,7,87A AB BC =-==，则BC 边上的高为__________.16.如图，在平行四边形ABCD 中，4,44DC AB AF EC =====，且EF 交AC 于点G ，现沿折痕AC 将ADC 折起，直至满足条件DC BC ⊥，此时cos EGF ∠=__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和()2*12n S n kn k =-+∈N ，且n S 的最大值为92.（1）确定常数k ，并求n a ；（2）求数列{}n a 的前15项和15T .18.（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1160,,CAA AB BC AC CC ∠===.（1）求证：1AC A B ⊥；（2）若底面ABC 是正三角形，且平面11ACC A ⊥平面ABC ，求直线1A B 与平面11BCC B 所成角的正弦值.19.（12分）某半导体公司打算对生产的某批蚀刻有电源管理芯片的晶圆进行合格检测，已知一块直径为120mm 的完整的晶圆上可以切割若干块电源芯片，检测方法是：依次检测一块晶圆上的任意4块电源芯片.若4块电源芯片均通过检测，再检测该晶圆其他位置的1块电源芯片，若通过检测，则该块晶圆合格；若恰好3块电源芯片通过检测，再依次检测该晶圆其他位置的2块电源芯片，若都通过检测，则该块晶圆也视为合格，其他情况均视为该块晶圆不合格.假设晶圆上的电源芯片通过检测的概率均为12，且“各块芯片是否通过检测”相互独立.（1）求一块晶圆合格的概率；（2）已知检测每块电源芯片所需的时间为10秒，若以“一块晶圆是否合格”为标准，记检测一块晶圆所需的时间为X （单位：秒），求X 的分布列及数学期望.20.（12分）在平面直角坐标系中，分别过点()()2,0,2,0A B -的直线12,l l 的斜率之积为34-.（1）求1l 与2l 的交点P 的轨迹方程；（2）已知直线AP 与直线2x =交于点Q ，线段QB 的中点为M ，若点F 的坐标为()1,0F ，证明：点B 关于直线FM 的对称点在PF 上.21.（12分）已知函数()()()ln f x x b x a =++的导函数为()f x '.（1）当0a =且1b =时，求()f x '的最小值；（2）当0a ≠且0b =时，若()f x 存在两个极值点，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos ,1sin ,x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点M 是曲线:1sin C ρθ=-上的一动点.（1）若直线l 过点()2,0A ，求直线l 的斜率；（2）设直线l 恒过定点N ，若32MN =，求点M 的极径M ρ.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()()223,f x x a x ba b +=-++∈R .（1）当1a b ==时，解不等式()6f x ；（2）若函数()f x 的最小值为m ，且2a b +=，求m 的最小值.2024届高三第二次联考理科数学参考答案及评分标准一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()1,0-14.210x y -+=15.216.12-解析：1.解：由2230x x -- 解得[]1,3A =-，由131x ->解得()1,B ∞=+，所以(]1,3A B ⋂=，选C.2.解：由题可知该圆锥的底面半径为1，选B.3.解：因为角α的终边位于第二象限，则cos 2α==-，所以π3sin cos 22αα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，选D.4.解：经过n 年后含量为00.7P ，所以有0107n P P =，代入关系式得10lg25730lg 7n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()lg 1071lg7573057302865lg2lg2n ÷-=⨯=⨯≈，所以2865n ≈，选B.5.解：设i z x y =+（i 为虚数单位），有()2i 1x y -+=，即22(2)1,x y z -+=在复平面上对应的点在该圆上，所以z 是该圆上的点到原点距离的最小值，z 的最小值为1，选B .6.解：“CA CB AB +< ”等价于“CA CB CB CA +<- ”，平方可化为0CA CB ⋅<，显然,,A B C 不共线，原条件等价于ACB ∠是钝角，选C .7.解：首先将志愿者分成三组有246C =种，安排到三个主题空间有336A =种，根据分步乘法计数原理，不同的安排方式有6636⨯=种，选D.8.解：因为x ∈R ，所以()()()()22212log 21log log 2112xxxxf x ax ax a x -⎛⎫+-=++=+=+-- ⎪⎝⎭，又()()f x f x -=，所以11,2a a a =-=，选D.9.解：因为,x y 均小于4，由茎叶图可知，中位数为1010122x y+++=，所以4x y +=，样本的平均值为12351010141516201010x y +++++++++++=，要使样本的方差2S 最小，即使22x y +最小，又222()82x y x y ++= ，当且仅当“2x y ==”时，等号成立，所以,x y 均为2，选C.10.解：设12MF F 内切圆的半径为r ，则有1212111224MF r MF r F F r ⋅=⋅+⋅，所以12MF MF c -=，由双曲线的定义可知2c a =，继而,b E =的渐近线为22220x y a b-=，化简为0y ±=，选A.11.解：①若0k =，对于0m =，方程()f x m =有无数个解，不符合题意；②若0k <，函数()f x 在区间(),t ∞-上为减函数，在区间[),t ∞+上为增函数，对于任意{}()max e ,,t m kt ∞∈+，方程()f x m =恒有两不同的解，不符合题意；③若0k >，函数()f x 在区间()[),,,t t ∞∞-+上为增函数，当x t <时，()max f x kt →，当x t 时，()min e tf x =，若满足题设条件，则只需满足e tkt 即可，当0t 时，恒成立，当0t >时，e tk t即可，令()()()()2e 1e ,,t tt g t g t g t t t-'==在(),1∞-上为减函数，在()1,∞+上为增函数，所以()()min 1e g t g ==，即0e k < .综上所述：k 的取值范围为0e k < ，选A .12.由题可知()πsin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，令()()41,π2π3f x x k k =-=+∈N ，令()()π1,2π3f x x k k ==+∈N ，若1m =-，则4π3a ，当4π3a =时，872ππ33a =>，此时[][][],,1,1m n p q ==-，A 正确；因为[][],,m n p q =，若π3a，则12m p ==，所以()122f a =，解得π3a =或0a =（舍），所以a 的最小值为π,B 3正确；又因为当2π03a <<时，12m =，此时()12f a >，与条件m q 不符，当2π8π39a 时，()()2f a f a ，此时()m q f a ==，满足条件m q ，当8π4π93a <<时，()()2m f a f a =<，不满足条件m q ，当4π3a时，1m =-，不满足条件m q ，C 错误；因为当()2π0,9a n f a p <== ，满足条件n p ，当2ππ93a <<时，()()2n f a f a p =>=，不满足条件n p ，当π3a 时，1n =，不满足条件n p ，D 正确，选C.13.解：将()1,2-代入抛物线方程得2p =，所以抛物线的焦点为()1,0-.14.解：因为()01f =，又()()ecos sin 1xf x x x =-+'，有()02f '=，所以在点0x =处的切线方程为()120y x -=-，化简为210x y -+=.15.解：因为43sin 7A ==，由正弦定理得sin 4313sin 7782AB A C BC ⋅==⨯⨯=，设BC 边上的高为h ，则sin 2h AC C =⋅=.16.解：由题意可知AGF CGE ≅ ，所以1GF GE ==，折起后如图所示，因为DC BC ⊥，易得BC ⊥平面1D AC ，继而得到平面1D AC ⊥平面ABC ，分别过点,E F 作AC 的垂线,EM FN ，垂足分别为点,M N ，又平面1D AC ⋂平面ABC AC =，即有,EM MN MN NF ⊥⊥，同时易证得EM NF ⊥，222211,2322EF EM MN NF EF EM MN NF =++=++=++= ，所以EF =221131cos 2112EGF ∠+==-⨯⨯.三､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（12分）解：（1）当n k =时，212n S n kn =-+取得最大值，即222119,3,222k S k k k k =-+===所以2132n S n n =-+，当2n 时，()2211173(1)31222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+---+-=-⎢⎥⎣⎦，当1n =时，1152a S ==（符合上式），所以72n a n =-；（2）151532T S S =-+2211153153152333.222⎛⎫⎛⎫=--⨯+⨯+-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18.（12分）解：（1）作AC 的中点O ，连接1,,OA OB AC ，因为1160,CAA AC CC ∠==，所以1ACC 是正三角形，又点O 为AC 的中点，所以1AO AC ⊥，又因为AB BC =，点O 为AC 的中点，所以BO AC ⊥，因为1AO OB O ⋂=，又因为1,A O OB ⊂平面1AOB ，所以AC ⊥平面1AOB ，又因为1A B ⊂平面1AOB ，所以1AC A B ⊥；（2）由平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A ⋂平面ABC AC =，因为1A O ⊂平面11ACC A ，又由（1）知1A O AC ⊥，所以1AO ⊥平面ABC ，分别以1,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AC a =，则())()0,,0,,0,0,0,,0A a BC a -，())()111,,,0,2A B a C a ，所以()()10,,,,0BB a BC a == ，设平面11BCC B 的法向量(),,n x y z =，所以100BB n ay BC n ay ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取非零向量()1n =- ，又因为)1,0,A B =，设直线1A B 与平面11BCC B 所成角为θ，所以111sin cos ,5A B n A B n A B nθ⋅===⨯ ，所以直线1A B 与平面11BCC B所成角的正弦值为5.19.（12分）解：（1）设第一次取出的4块均通过检测为事件1A ，第一次取出的4块中恰有3块通过检测为事件2A ，第二次取出的1块通过检测为事件1B ，第二次取出的2块均通过检测为事件2B ，这一块晶圆合格为事件C ，()()()()()111222P C P A P B A P A P B A =+∣∣4324344111113;2222232C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）X 的可能取值为20,30,40,50,60，并且()0211120224P X C ==⨯⨯=，()121111302224P X C ==⨯⨯⨯=，()22311134022216P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，()4343441111*********P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3341111602228P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为X2030405060P 141431631618期望()11331295203040506044161688E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20.（12分）解：（1）设点P 的坐标为()1,,x y l 的斜率为2,2y l x +的斜率为2y x -，由3224y y x x ⨯=-+-化简可得()221243x y x +=≠±，所以点P 的轨迹方程为()221243x y x +=≠±；（2）“点B 关于直线FM 的对称点在PF 上”等价于“FM 平分PFB ∠”，设直线AP 的方程为()()20y k x k =+≠，则()()2,4,2,2Q k M k ，设点()00,P x y ，由()222143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222341616120k x k x k +++-=，得2028634k x k -+=+且021234k y k =+，①当PF x ⊥轴时，01x =，此时12k =±，所以()()31,,2,2,2,12P Q M ⎛⎫±±± ⎪⎝⎭，此时，点M 在PFB ∠的角平分线所在的直线1y x =-或1y x =-+上，FM 平分PFB ∠，②当12k ≠±时，PF的斜率为0204114PF y k kx k ==--，所以PF 的方程为()244140kx k y k +--=，所以点M 到直线PF 的距离()222412,41k k d k BE k +====+点B 关于直线FM 的对称点在PF 上.21.（12分）解：（1）当0a =且1b =时，()()()()11ln ,0,,ln 1f x x x x f x x x∞=+∈++'=+，令函数()()1ln 1,0,h x x x x ∞=++∈+，则有()22111x h x x x x-=-='，当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '<为减函数；当()1,x ∞∈+时，()()0,h x h x '>为增函数，所以()min ()12h x h ==，即()f x '的最小值为2；（2）当0b =时，()()ln f x x x a =+，因为此时(),x a ∞∈-+，有()()ln x f x x a x a=+++'，令()()g x f x ='，有()()2212()()a x a g x x a x a x a '+=+=+++，①当0a >时，因为220x a a a a +>-+=>，所以()0g x '>，即()f x '在(),a ∞-+上为增函数，故()f x 不可能存在两个极值点，②当0a <时，解()0g x '=，得2x a =-，显然2a a ->-，故当(),2x a a ∈--时，()()0,g x f x '<'为减函数，当()2,x a ∞∈-+时，()()0,g x f x '>'为增函数，所以()()min ()2ln 2f x f a a '='-=-+，i.当()ln 20a -+ ，即2e a -- 时，()()0,f x f x ' 在(),a ∞-+上为增函数，故()f x 不存在极值点，ii.当()ln 20a -+<，即2e 0a --<<时，又因为222a a a a -<-<-，所以()2222ln 12ln ln2122a a f a a a a '⎛⎫-=+-=--++ ⎪-⎝⎭，又由第（1）问知：1ln 12x x ++ ，所以1ln 1x x+ ，继而有()()212ln 2ln 2a a a a ⎡⎤-+=-+⎢⎥--⎣⎦ ，所以23ln202a f a ⎛⎫'--> ⎪⎝⎭，又因为12a a ->-，所以()110f a a -=->'，又因为()()2ln 20f a a '-=-+<，所以存在()212,2,2,12a x a a x a ⎛⎫∈--∈- ⎪⎝⎭使得()0f x '=，且()f x 在()()120,,,x x ∞+上为增函数，在()12,x x 上为减函数，所以12,x x 分别是()y f x =的极大值点和极小值点，综上所述，a 的取值范围为()2e ,0--.22.（10分）解：（1）将()2,0A 代入直线l 的参数方程cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，即2cos 01sin t t αα=⎧⎨=+⎩，解得1tan 2α=-，所以直线l 的斜率为12-；（2）由直线l 的参数方程可知点N 的坐标为()0,1，又点M 是曲线:1sin C ρθ=-上的一动点，设点M 的极坐标为()1sin ,θθ-，在OMN 中，由余弦定理得：2312cos 4M M MON ρρ∠=+-⨯⨯，即23π12cos ,42M M ρρθ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭即()231214M M M ρρρ=+-⨯⨯-，解得12M ρ=或16M ρ=.23.（10分）解：（1）当1a b ==时，()6f x 等价于316x x -++ ；当1x - ，原不等式等价于316x x --- ，解得21x -- ，当13x -<<，原不等式等价于316x x -++ ，解得13x -<<，当3x ，原不等式等价于316x x -++ ，解得34x ，综上所述：不等式()6f x 的解集为24x - ；（2）因为()222222333f x x a x b x a x b a b =-++---=+ ，即223m a b =+，又由柯西不等式()222131()3a b a b ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ ，所以23()34m a b += ，当且仅当“3a b =”，即“13,22a b ==”时，等号成立.。

2024年12月四川省名校联盟高2022级12月联考数学试卷一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.) 1.已知(13)10z i ⋅−=，则z =( ) A.23i −B.1+3iC.3iD.3i −2.已知单位向量,a b 满足b b −=+a a ，则=+b 2a ( ) A.8B.3C.22D.53.已知命题,2x x p x e e −∀∈+≥R ：，命题()10,0:∈∃x q ，5)10(>−x x ，则( ) A.命题p 与q 均为真命题B.命题p 与q ⌝均为真命题C.命题p ⌝与q 均为真命题 D.命题p ⌝与q ⌝均为真命题4.已知平行四边形ABCD 的顶点(0,1)A ，边AB 所在直线方程是10x y −+=，对角线的交点为(2,2)M ，则边CD 所在直线方程为( ) A.10x y −−=B.20x y −+=C.10x y +−=D.30x y +−=5.设n m ,为两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列说法一定成立的是( ) A.若αβα∥，∥m ，则β∥m B.若βγβα⊥⊥，，则γα∥C.若βα⊥⊥n m n m ，，∥，则αβ∥D.若n m ，与α所成角相等，则n m ∥6.点P 在边长为1的正三角形ABC 的外接圆上，则AB AP ⋅的最大值为( )A.132+ B.12D.327.已知实数a 满足22=+a a ，则函数a x x x f −+−=132)(23的零点个数为( ) A.0B.1C.2D.38.已知函数|1|2)32ln()(−++−=x e x x x f ，设)0(f a =，)4(log 3f b =，)5(log 4f c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c b a << B.c a b <<C.a b c <<D.a c b <<二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.)9.为了研究某校高三年级学生的性别和身高是否低于170cm 的关联性，研究小组从该校高三学生中获取容量为500的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到如下列联表：单位：人附：22()=()()(+)()n ad bc a b c d a c b d χ−+++，其中n a b c d =+++.110后再进行独立性检验，则下列说法正确的是( ) A.依据=0.01α的独立性检验，小组成员甲可以认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联 B.依据=0.01α的独立性检验，小组成员甲不能认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联C.小组成员甲、乙计算出的2χ值相同，依据=0.01α的独立性检验，他们得出的结论也相同D.小组成员甲、乙计算出的2χ值不同，依据=0.01α的独立性检验，他们得出的结论也不同 10.已知数列)}({*N ∈n a n 为无穷等差数列，公差为d ，前n 项和为n S ，则下列说法正确的是( ) A.若175S S =，0＜d ，则001211<>a a ，B.若*N ∈q p n m ,,,且互不相等，则p qm n a a a a m n p q−−=−−C.若*N ∈q p n m ,,,，q p n m q n p m +=+，＜＜＜，则m n p q a a a a <D.若02025=a ，则12124049......n n a a a a a a −+++=+++)4049(<N ∈*n n ， 11.已知函数x x x f nnn cos sin )(+=，*N ∈n ，则下列说法正确的是( ) A.若532cos =x ，则2517)(4=x f B.当]2,2[ππ−∈x 时，函数)(4x f y =与434sin +=x y 的图象恰有5个交点 C.当*,12N ∈+=k k n 时，函数)(x f y n =的图象关于直线4x π=成轴对称图形D.当*,2N ∈=k k n 时，记函数)(2x f k 的最小值为k a ，则12nkk a=<∑三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上.)12.已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点(2,0)P ，(0,1)Q ，则椭圆C 的标准方程为_______.13.已知棱长为1的正四面体P ABC −，E ，F 分别为PA ，BC 的中点，若以EF 的中点O 为球心的球与该正四面体的棱有公共点，则球O 半径的最大值为_______.14.整数的商nm (其中0≠n )称为有理数，任一有限小数或无限循环小数可以化为整数的商mn (其中0≠n )的形式，则=•21._______(写成nm的形式，m 与n 为互质的具体正整数)；若1.2，1.22，1.222，⋅⋅⋅构成数列{}n a ，令()()111011n n n b a +=−⋅−，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则n S 的取值范围为_______. 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(13分) 已知ABC ∆的内角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，向量)cos 1,sin 3(A C +=m ，),(a c =n ，且n m ∥.(1)求角A ；(2)如图，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，1=AD ，求CDBD 11+的取值范围.16.(15分) 已知圆9)5(:22=−+y x C ，圆1C 经过点(1M −，且与圆C 相切于点(0,2)N . (1)求圆1C 的标准方程；(2)已知直线l 过点)2,1(−−Q ，且被圆1C 截得的弦长为32，求直线l 的方程.17.(15分) 已知函数)20(tan )(π，，∈−=x x ax x f .(1)当2=a 时，求()f x 的单调区间； (2)若2≤a ，证明：()sin 2f x x <.18. (17分) 如图，在四棱锥ABCD P −中，底面ABCD 是直角梯形，BC AB CD AB ⊥，∥，且42===CD BD AB ，侧面PCD 是正三角形，侧面PCD ⊥底面ABCD ，E 为PC 中点，作EF PB ⊥交PB 于F . (1)求证：PB ⊥平面DEF ；(2)求平面PBD 与平面PBC 的夹角的余弦值；(3)在平面DEF 内是否存在点Q ，使得0=⋅QB QA ，若存在，求动点Q 的轨迹长度；若不存在，请说明理由.19.(17分) 定义：如果在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点,A B 的坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，那么称()1212,d A B x x y y =−+−为,A B 两点间的曼哈顿距离；(),D A B =,A B两点间的欧几里得距离.(1)已知1),(=P O d ，求(),D O P 的最小值；(2)已知(3,2)M ，(),2D O N =，求(),d M N 的最大值； (3)已知0>a ，点A ),(11y x 在函数()1()0h x x x=−<图象上，点B ),(22y x 在函数()ln g x a x x =−图象上，且12y y ≠，点,A B 有(),d A B 的最小值为4，求实数a 的取值.四川省名校联盟12月联考数学参考答案一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.) B D B A C A D C二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.) 9.AD 10.ABD 11.ACD三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)12.2214x y += 14.119 ；199185n S <≤ 四、解答题(本题共5小题，共77分.)15.解：(1) ∵n m ∥sin cos C c c A =+， ……………………………..……………..2分sin sin sin cos A C C C A =+.∵sin 0C ≠cos 1A A −=， ………...………………………………..…………..4分 即1sin()62A π−=. ∵(0,)A π∈，∴66A ππ−=，∴3A π=. ……………………………………..……………..………….…..6分(2) 在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AD BD B BAD =∠，∴1sin 2sin sin 30BB BD AD ==. ………8分 同理ACD ∆中有12sin C CD=， ∴112(sin sin )B C BD CD+=+. ………………………………………...10分 ∵3A π=，23B C π+=，∴22(sin sin )2[sin sin()])36B C B B B ππ+=+−=+. ………………..12分 ∵2(0,)3B π∈，∴1sin()(,1]62B π+∈，∴11BD CD+的范围为. ………………………………………..……..13分 16.解(1)∵圆1C 与圆C 相切于)20(，N ，且过点)31(，−M ， ∴圆1C 与圆C 外切，且圆心在直线CN 上. …………………….………………………………….2分设圆心1C ),0(b ，半径为r ，则2221(r bb r =−⎧⎪⎨+=⎪⎩，………………………………………………………4分 解得⎩⎨⎧==2r b . ∴圆1C 的标准方程为422=+y x . ………………………………..………………………………………6分 (2) 【方法一】由题意可知，直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为：1(2)x t y +=+，即120x ty t −+−=,……………..…………………………………8分 设圆心1C 到直线l 的距离为d，则1d ===，…………...........................……….10分解得0t =，或43t =，..………………………………………………….……………………………………13分 直线l 的方程为10x +=，或3450x y −−=....……………………………………………………………15分 【方法二】设圆心1C 到直线l 的距离为d，则1d ==，………………….………………8分① 直线l 的斜率不存在时，l 的方程为1x =−，此时圆心1C 到直线l 的距离为1d =，符合题意. ……………………………………………………………………………..…………………………10分 ② 直线l 的斜率存在时，设为k ，则直线l 的方程可表示为20kx y k −+−=，1d ==，解得34k =，………………………………………………………….……………13分 直线l 的方程为3450x y −−=.……………………………………………………….....……………14分 综上①②，直线l 的方程为10x +=，或3450x y −−=. ………………………………….………15分17.(1)解xx f 2cos 12)('−=， …………………………………………………………………………2分 令0)('＞x f ，解得4＜0＜πx ；令0)('＜x f ，解得2＜＜4ππx ， …………………..…………….4分故)(x f 单调递增区间为)4,0(π，单调递减区间为)2,4(ππ. ………………….……….………..6分(2) 【方法一】证明：20≤a x ，＞ ， x ax 2≤∴，∴x x x f tan 2)(−≤， …………….….…..8分 要证明()sin 2f x x <，则只需证明x x x 2sin tan 2<−， 令x x x x g 2sin tan 2)(−−=，)2,0(π∈x ， ……………………………………………….…..10分)cos 1cos 4(42cos 2cos 12)('222xx x x x g +−=−−=， )2,0(π∈x )1,0(cos 2∈∴x ， ∴4cos 1cos 422≥+x x ，当且仅当)1,0(21cos 2∈=x 时，上式等号成立， …………………..12分 ∴当)2,0(π∈x 时，0)('≤x g ，∴)(x g 在区间)2,0(π上单调递减， ……………………….....13分 0g(0))(=<∴x g ，即x x x 2sin tan 2＜−，∴当)2,0(π∈x 时，x x f 2sin )(<得证. ……………………………………………….……..15分 【方法二】证明：令x x ax x g 2sin tan )(−−=，)2,0(π∈x ， ……………………………….....8分)cos 1cos 4(2)('22xx a x g +−+=， ……………………………………………………….……..10分 )2,0(π∈x ，)10(cos 2，∈∴x ，∴4cos 1cos 422≥+x x ，当且仅当)10(21cos 2，∈=x 时，上式等号成立， …………………..12分 242)('−=−+≤∴a a x g ，又2≤a ，∴当)2,0(π∈x 时，0)('≤x g ，∴)(x g 在区间)2,0(π上单调递减， ……………..13分0g(0))(=<∴x g ，∴当)2,0(π∈x 时，x x f 2sin )(<得证. ………………………..………………………...…..15分18.(1)证明：∵//AB CD ，AB BC ⊥ ∴CD BC ⊥. ………………………..1分 又∵平面PCD⊥平面ABCD ，且平面PCD ⋂平面=ABCD CD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面PCD . ∵DE ⊂平面PCD ，∴BC DE ⊥. ……….……..……..3分 ∵正三角形PCD 中E 为PC 中点，∴DE PC ⊥. ∵=BC PC C ⋂，∴DE ⊥平面PBC .∵PB ⊂平面PBC ，∴DE PB ⊥. ……………….……..5分 ∵EFPB ⊥，且EF DE E ⋂=，∴PB ⊥平面DEF . ………….……..6分 (2) 由(1)知PB ⊥平面DEF ，∵DF ⊂平面DEF ，∴PB DF ⊥.又∵EFPB ⊥，∴DFE ∠为平面PBD 与平面PBC 的夹角(或其补角)， ….……………..7分 由(1)知DE ⊥平面PBC ，∴DE EF ⊥. ∵AB BC ⊥且24AB BD CD ===，∴BC =，3BDC π∠=.∴在正PCD ∆ 中，2PC =，DE = 由(1)知BC ⊥平面PCD ，∵PC ⊂平面DEF ，∴BC PC ⊥. …………………………..……………..9分 ∴PCB ∆为直角三角形.∵2PC =,BC =，∴4PB =. ∵E 是PC 中点，且EF PB ⊥，∴PEF ∆∽PBC ∆，∴EF PEBC PB=，解得EF =………………………………………………………………………………………..11分∴在Rt DEF ∆中，DF ==，∴cos EF DFE DF ∠==.∴平面PBD 与平面PBC . …………………...………….……………..12分 (3)过D 点作DN ⊥平面ABCD ，取AB 中点M 连接DM ，由条件知DM ，DC ，DN 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系. ……………………………………..……………………..……………..13分由条件知，点0)M ， ，B ，P ，∴(23,1,3)PB =− ， .………………………………………………………………….……………..14分由(1)知PB ⊥平面DEF ，∴平面DEF 法向量取PB =，假设在平面DEF 内存在点Q ，使得0QA QB ⋅=，则可知Q 是以AB 为直径的球与平面DEF 的交点， 设球心M 到平面DEF 的距离为d ，||1234||DM PB d PB ⋅===， …………………………………………….…….……………..16分 又∵3d =>||22AB =，故不存在. ……………………………………………………..………..17分 19.解：(1)设(,)P x y ，由(),1d O P =得：||||1x y +=，………………………………………………..1分点P 的轨迹是由直线1,1x y x y +=±−=±. ∴点O 到直线1x y +=的距离即为(),D O P 的最小值，∴()min ,2D O P ==.……………………………………………………………………………...4分 (2) 设(,)N x y ，由(),2D O N =得：224x y +=，……………………………………………………..5分令2cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(R θ∈)， ∴(),|3||2|32cos 22sin 5)4d M N x y πθθθ=−+−=−+−=−+. ………………..8分∵R θ∈，∴()max ,5d M N =+ ……………………………………..9分 (3)∵()ln g x a x x =−过定点()1,1−，当B 为)1,1(−时， 此时()()1212111111,112()4d A B x x y y x x x x =−+−=−+−+=+−+−≥， 即()1,1A −，()1,1B −时满足(),4d A B =.∵对于函数()()h x g x 、图象上的点A B 、有(),d A B 的最小值为4，∴只需(),4d A B ≥，求a 的值即可. …………………………………………….…….……..10分 ∵10x <，20x >，∴12x x <， ∴()2112,d A B x x y y =−+− ①当12y y <时，()()222111,()ln d A B x x a x x x =−+−−−2122211111ln ln x x a x x a x x x x =−+=−++−∵2ln R x ∈，111()R x x −+∈， ∴此时没有a 能使(),4d A B ≥恒成立. ………………………………….…….……..11分 ②当12y y >时，()()222122211111,()ln ()(ln )d A B x x a x x x x a x x x x =−+−−−=−+−−− 22122112ln ()()2ln 2x a x x x a x x =−+−+−≥−+，当且仅当11x =− 时，上式等号成立. 要使(),4d A B ≥，则222ln 24x a x −+≥，即222ln 20x a x −−≥. ……….………….…..13分 构造函数()()2ln 20x x a x x ϕ=−−>，要使(),4d A B ≥，即等价于求a 取何值时()0x ϕ≥恒成立. ∵()22a x a x xxϕ−'=−=，令()0x ϕ'=，得2ax =(0a >).7 ∴(0,)2a x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ∴在(0,)2a 上单调递减； ∴()2a x ∈+∞，时，()0x ϕ'>，()x ϕ∴在()2a +∞，上单调递增. ∴min ()()ln 222aa x a a ϕϕ==−−，要使()0x ϕ≥恒成立，即min ()ln 202a x a a ϕ=−−≥. ……………………………………………………………………………………..……………….……..15分 构造函数()()ln202x k x x x x =−−>， ∵()1(ln 1)ln 22x x k x '=−+=−，令()ln 02x k x '=−=，得2x =， ∴()0,2x ∈时，()0k x '>，∴()k x 在()0,2x ∈上单调递增；∴()2,+x ∈∞时，()0k x '<，∴()k x 在()2x ∈+∞，上单调递减. ∴max ()(2)0k x k ==，因此要使()0x ϕ≥恒成立，则2a =. ……………………………………………..……..17分 结合图象可知，当2a =时，也满足1212,x x y y <>.因此，2a =.。