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第一章答案一、(1)(c) (2)(c) (3)(b) (4)(c) (5)(d) (6)(a) 7（d）二、(1)4Ω(2)4A(3)7V，7Ω(4)(5)40W (6)5Ω，20Ω三、1．解：电路为一平衡电桥，c、d两点为等位点。
将连接于c、d间的支路断开，可得2.解：如图2所示。
图2求的电路可改画为图2(a)，则求的电路可改画为图2(b)，则求的电路可改画为图2(c)，则3.解：（1）由题3图（a），有(2) 应用Y–Δ等效变换，将题3图(b)电路等效变换为图3(c)，则图3(c)4.解：将无限网络看成无限多个梯形节组成，每一节如图4虚线框中所示。
当去掉第一节后，从cd 看去仍是个无限网络，应有。
作出图4(a)的等效电路如图4(b)所示。
图4则解，得5.解：（1）题图5(a)所示电路的简化过程如图所示。
图5(a)（2）图5(b)所示电路的简化过程如图5(b)所示。
图5(b)（3）图5(c)所示电路的简化过程如图5(c)所示。
图5(c)6.解：应用电源等效变换，将题6图所示电路等效为图6(a)所示电路。
图6(a)由KVL，有7.解：应用电源等效变换及电阻串并联，先将题7图所示电路等效为图7（a）所示电路。
（由于待求量I、U所在支路属于2U受控源与2Ω并联支路的外电路，故求I、U时可将与受控源并联的2Ω电阻去掉）(a) (b)图7由KVL，有将代入上式，得再由7（b）所示电路求出受控源支路的电流。
由KCL，有受控源的功率为（发出功率）8、解：在端口加一电压源U，流过电流I，如图8所示。
(a) (b) (c) 图8（1）由KCL，有把代入上式，得由KVL，有（2）由KCL，有 (1)由KVL，有 (2)(1)式代入(2)式，得由KVL，有（3）由KCL，有(3)(4)由KVL，有(5)把(3)、(4)代入上式，得(6) 把(3)、(6)式代入(5)式，得9、解：15V电压源、4A电流源单独作用时的电路如图9（a）、（b）所示。
戴维南定理和诺顿定理戴维南定理（Thev enin’s theorem ）是一个极其有用的定理，它是分析复杂网络响应的一个有力工具。
不管网络如何复杂，只要网络是线性的，戴维南定理提供了同一形式的等值电路。
先了解一下二端网络/也叫一端口网络的概念。
（一个网络具有两个引出端与外电路相联，不管其内部结构多么复杂，这样的网络叫一端口网络）。
含源单口（一端口）网络──内部含有电源的单口网络。
单口网络一般只分析端口特性。
这样一来，在分析单口网络时，除了两个连接端钮外，网络的其余部分就可以置于一个黑盒子之中。
含源单口网络的电路符号：图中N ──网络 方框──黑盒子U单口松驰网络──含源单口网络中的全部独立电源置零，受控电源保留，（动态元件为零状态），这样的网络称为单口松驰网络。
电路符号：一、戴维南定理（一）定理：一含源线性单口一端网络N ，对外电路来说，可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换，此电压源的电压等于端口的开路电压，电阻等于该单口网络对应的单口松驰网络的输入电阻。
（电阻等于该单口网络的全部独立电源置零后的输入电阻）。
上述电压源和电阻串联组成的电压源模型，称为戴维南等效电路。
该电阻称为戴维南等效电阻。
U任意负载任意负载U oc =U s求戴维南等效电路，对负载性质没有限定。
用戴维南等效电路置换单口网络后，对外电路的求解没有任何影响，即外电路中的电流和电压仍然等于置换前的值。
（二）戴维南定理的证明：1. 设一含源二端网络N 与任意负载相接，负载端电压为U ，端电流为I 。
2. 任意负载用电流源替代，取电流源的电流为I I S 。
方向与I 相同。
替代后，整个电路中的电流、电压保持不变。
下面用叠加定理分析端电压U 与端电流I 。
3. 设网络N 内的独立电源一起激励，受控源保留，电流源I S 置零，即ab 端开路。
这时端口电压、电流加上标（1），有SU (1)=U ocI (1)=04. I S 单独激励，网络N 内的独立电源均置零，受控电源保留，这时，含源二端网络N 转化成单口松驰网络N 0，图中端口电流、电压加上标（2），有I R I R U eq S eq -=-=)2(I I I S ==)2( 应用叠加定理，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=+=I I I I I R U U U U eq oc )2()1()2()1( （1）可以看到，在戴维南等效电路中，关于ab 端的特性方程与（1）式相同。
实验三诺顿定理、电容及三相电路一、实验目的：1.用实验验证诺顿定理，加深对诺顿定理的印象；2.用实验仿真电容在交流电下的工作情况，得到电压有效值变化情况；3.验证星形线电压和相电压、线电流和相电流的关系。
二、实验原理：1.含源线性单口网络N，就其单口来看，可以等效为一个电流源和一个电阻并联组成，电流源的电流等于该网络N的短路电流，该电阻即为该网络独立元置零时的等效电阻。
2.电容通交阻直，即交流电可以通过电容，而直流电不可以。
但当接通电源的瞬间，电容的电压的有效值为电源电压；随着时间流逝，电容电路稳定下来，电压的瞬时值为正弦图像。
3.三相电路的线电流和相电流、线电压和相电压的关系；三、实验过程：1.诺顿定理如图连接下面两电路可以通过求开路电压，等效电阻的方式，求得与原电路图等效的诺顿图，然后进行验证。
验证结果，如图所示，电流表的示数由电路误差引起，可以忽略，故诺顿定理得证。
2.电容如图连接电路图示波器波形刚开始给电容充电时电压波形电容电路稳定后的电压波形通过波形图，可以看出，随着时间流逝，电容的电压瞬时值仍是变化的，成正弦变化，但电压有效值在随着时间而减小。
3.三项电路A.如图连接电路当开关在Y时当开关不在Y时B.测得实验数据（1）．当开关Y使电阻工作时，使电路处于对称工作状态，在下表中，记录线电压（V）相电压（V）相电流（mA）U A’B’U B’C’U C’A’U A’N’U B’N’U C’N’I A’N’I B’N’I C’N’381.1 381.0 381.0 220.0 220.0 220.0 220.9 220.9 220.8表中，记录各电压表和各电流表的读数。
负载对称时：381.1AB U V =，'220.0AN U V = '381.1 1.732220.0AB AN U U == AB U 、'AN U 之间近似满足关系：'3BN BC U U =同理：BC U 、'BN U 和CA U 、'CN U 之间的关系也基本满足'3BN BC U U = '3CN CA U U =同时220.9A I mA =，220.9B I mA =，220.8C I mA =；A I 、B I 和C I 之间的关系也基本满足：C B A I I I ==即相电流相等。
动力与电气工程32科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATIONDOI：10.16661/ki.1672-3791.2017.28.032电路等效变换中应注意的问题①唐义思(重庆人文科技学院 重庆 401524)摘 要：在电路分析中,经常要求解某支路或某个元件上的电压或电流,但是电路的结构和形式又变化多端,要直接求解某些电量的值是很困难的,因此,在电路分析中,对电路做适当的等效变换是最有效的方法。
要想保证变换的正确性,就必须对各种等效变换方法有一个正确的理解,了解他们的适用条件、适用范围以及使用方法,本文将对电路等效变换中的一些常见问题做简单的归纳和探讨。
关键词：电路 等效变换 适用条件 电源 戴维宁定理中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1672-3791(2017)10(a)-0032-02①作者简介：唐义思(1973,1—),男,汉族,四川德阳人,研究生,讲师,研究方向：单片机应用及开发。
在电路中,电路形式千差万别、变化多端,因此,在进行具体的电路分析特别是要求解某些电量时,对电路进行适当的等效变换是完全必要的。
由于等效变换的方法多种多样,而各种方法的适用条件和范围又不尽完全相同,因此,就必须对各种变换的基本原理有一个正确的理解。
本文将对电路分析中的几种常用等效变换方法做一些基本的阐述,并对容易发生错误的地方做必要的讨论。
1 电源的等效变换1.1 实际的独立电压源与电流源的相互变换1.1.1 变换原理理想的电压源没有内阻,理想的电流源可以认为内电阻无穷大,而实际的电压源可以看成理想的电压源与一个电阻的串联,实际的电流源可以看成理想的电流源与一个电阻的并联(理想电流源的这个并联电阻为无穷大,这个并联电阻可以看成开路),有一定内电阻的独立电压源与电流源的等效变换如图1所示。
从图1可以看出,电压源与电阻的串联可以等效为电流源与电阻的并联。
1.1.2 应注意的问题电压源与电流源的等效变换只能够对实际的电压源与电流源,对理想的电压源与电流源是不能做这种变换的,在电路中,如果理想的电压源有一个电阻与之串联或者理想的电流源有一个电阻与并联,这时可以把理想的电压源和与之串联的电阻看成一个实际的电压源,把理想电流源和与之并联的电阻看成一个实际的电流源,在这种情况下就可以进行等效变换。
戴维南定理（Thevenin's theorem）：含独立电源的线性电阻单口网络N，就端口特性而言，可以等效为一个电压源和电阻串联的单口网络。
电压源的电压等于单口网络在负载开路时的电压uoc；电阻R0是单口网络内全部独立电源为零值时所得单口网络N0的等效电阻。
戴维南定理（又译为戴维宁定理）又称等效电压源定律，是由法国科学家莱昂·夏尔·戴维南于1883年提出的一个电学定理。
由于早在1853年，亥姆霍兹也提出过本定理，所以又称亥姆霍兹-戴维南定理。
其内容是：一个含有独立电压源、独立电流源及电阻的线性网络的两端，就其外部型态而言，在电性上可以用一个独立电压源V和一个松弛二端网络的串联电阻组合来等效。
在单频交流系统中，此定理不仅只适用于电阻，也适用于广义的阻抗。
戴维南定理在多电源多回路的复杂直流电路分析中有重要应用。
对于含独立源，线性电阻和线性受控源的单口网络（二端网络），都可以用一个电压源与电阻相串联的单口网络（二端网络）来等效，这个电压源的电压，就是此单口网络（二端网络）的开路电压，这个串联电阻就是从此单口网络（二端网络）两端看进去，当网络内部所有独立源均置零以后的等效电阻。
uoc 称为开路电压。
Ro称为戴维南等效电阻。
在电子电路中，当单口网络视为电源时，常称此电阻为输出电阻，常用Ro表示；当单口网络视为负载时，则称之为输入电阻，并常用Ri表示。
电压源uoc和电阻Ro的串联单口网络，常称为戴维南等效电路。
当单口网络的端口电压和电流采用关联参考方向时，其端口电压电流关系方程可表为：u=R0i+uoc戴维南定理和诺顿定理是最常用的电路简化方法。
由于戴维南定理和诺顿定理都是将有源二端网络等效为电源支路，所以统称为等效电源定理或等效发电机定理。
当研究复杂电路中的某一条支路时，利用电工学中的支路电流法、节点电压法等方法很不方便，此时用戴维南定理来求解某一支路中的电流和电压是很适合的。
含源线性单口网络等效电阻的求解
作者：陈海涛
来源：《教育教学论坛》2014年第15期
摘要：戴维南定理和诺顿定理为人们求解复杂电路的等效电路提供了一种重要的方法，在实际运用中，难度较大的是如何求解戴维南和诺顿等效电路中的等效电阻，即含源线性单口网络的等效电阻。
本文总结了几种常见的求解等效电阻的方法，以及人们在求解过程容易出现的误区。
关键词：含源线性单口网络；等效电阻；求解
中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）15-0119-02
对求解含源线性单口网络的等效电路问题，戴维南定理和诺顿定理提供了一种普遍适用的方法，定理指出：含电源的线性单口网络，不论其结构如何复杂，就其端口而言，可等效为一个加压源和电阻相串联的形式，或等效为一个电流源与电阻相并联的形式。
在线性电阻电路中，网络由独立电源、各种受控源及电阻等线性元件组成，对电路本身而言，除了独立电源，其他元件均可看成电路的负载，相当于一个电阻元件，我们称之为等效电阻。
由此可见，戴维南定理和诺顿定理中的电阻就是这里的等效电阻。
在运用这两个定理求解线性单口网络的等效电路时，关键在于如何求得单口网络的等效电阻Req。
笔者结合多年的教学经验，通过分析线性单口网络的不同含源情况，总结归纳出了三种求解等效电阻的方法。
方法一：直接求解法。
当线性单口网络只含有独立电源（独立电压源或独立电流源）而不含受控源时，可将单口网络内的独立电源置零，即将独立电压源短路，独立电流源断路，然后利用各电阻之间的联接方式，直接根据串并联公式或Δ-Y变换化法，求得等效电阻Req。
例1 求图1所示电路的戴维南等效电阻Req，其中Us1=40V，Is2=30A，R1=R2=R4=4Ω，R3=R5=8Ω。
解：先将电压源短路，电流源断路。
此时，电阻R2、R3被短路，故端口ab处的等效电阻为：
Rep=（R1+R4）//R5=（4Ω+4Ω）//8Ω=4Ω
方法二：开路短路法。
当单口网络既含有独立电源又含有受控源时，无法采用方法一来直接求解等效电阻，可用该单口网络的开路电压Uoc与短路电流Isc之比来求解，短路电流方向是由开路电压正极流向负极。
例2 求如图2所示单口网络的等效电阻Req。
已知：R1=15Ω，R2=5Ω，R3=10Ω，
Us=10V。
解：先求ab端为开路时的电压Uoc，如图2（a）。
要想求Uoc，需要先知道流过电阻R3电流i的大小，电流i可根据左边的回路，列出回路电压方程求得，即：
R1i+R2（i-ai）+R3i=us'
i=■=■A
从而：uoc=R3i=10×■=■V
求短路电流，即将ab端短接求如图2（b）电路所示的电流Isc。
ab端相联，即R3被短接，流过R3的电流为零，所以有：
R1Isc+R2Isc=us
Isc=■=■A
由此可得：Req=■=■Ω
注意：在用开路短路法时，如求得的开路电压Uoc=0，则此法不可用，也不必再求Isc，Isc也必为零。
此时只能用其他方法来求解单口网络的等效电阻了。
方法三：外加电源法。
在求解复杂的二端口网络，尤其是含受控源的二端口网络的等效电阻时，可以通过在网络输出端外加上电压源（或电流源），然后求出输出端的电流（或电压），再由公式RO=■，求得等效电阻Req。
但人们在利用这一方法求解等效电阻时，常存在一误区，即一直强调要将单口网络内部的独立源置零，电压源短路，电流源断路。
实际上，在利用该法时，内部独立源不一定要置零，因为此法实际上是利用二端口的VCR关系，如果独立源置零，那么对于线性时不变电阻电路而言，端口VCR在U-I平面上是一条经过坐标原点的直线；如果独立源不置零，那么端口的VCR关系是一条不经过坐标原点的直线，但这两条直线的斜率是一样的。
而我们的等效电阻更准确一点讲是VCR关系曲线的斜率，所以不管独立源置零不置零，直线的斜率是不会发生变化的，也就是等效电阻是不变的。
例3 求如图3所示单口网络的等效电阻Req。
已知：R1=15Ω，R2=5Ω，R3=10Ω，
Us=10V。
解：我们采用外加电源的方法，在端口处外加一电压源（或电流源），求出端口电流（或端口电压）的关系。
如将独立源置零，即将10V电压源短接。
则有：
u=R3i1=R2（i+αi1-i1）+R1（i-i1）
解得：u=■i，所以Req=■。
如果独立源电压源不置零，即保留10V电压源。
则有：
u=R3i1=R2（i+αi1-i1）+R1（i-i1）+10
解得：u=■i+■，这是一条不通过V-I平面原点的直线，直线斜率即等效电阻同样为
Req=■Ω。
由此可见，在用外加电源法求单口网络等效电阻时，内部独立源置零不置零均可。
有多种方法求解含源线性单口网络等效电阻，但每一种方法适用的对象不同和求解难易程度不同，在这些方法中，方法一最简单，但受限也最大，单口网络中不能含有受控源。
方法二是最常用的方法，大部分情况下都可以采用这种方法，但当开路电压或短路电流为零时，就无法使用该方法了。
方法三是最普适的方法，求等效电阻时，内置独立源既可以置零也可以不置零。
参考文献：
[1]李瀚荪.电路分析基础[M].第4版.北京：高等教育出版社，2011.
[2]邱光源.电路[M].第5版.北京：高等教育出版社，2012.
作者简介：陈海涛（1978-），男，河南人，博士，副教授，研究方向：电气工程。
