(完整版)导数的概念及导数的几何意义.docx

导数的概念及几何意义知识集结知识元导数及其几何意义知识讲解1．导数及其几何意义【知识点的知识】1、导数的定义如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f （x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．2、导数的几何意义函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）＝．【典型例题分析】题型一：根据切线方程求斜率典例1：已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′＝﹣＝，解得x0＝3或x0＝﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．题型二：求切线方程典例2：已知函数其图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1，则它在点（﹣3，f（﹣3））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+3解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A故选A．【解题方法点拨】（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．（3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，（4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．例题精讲导数及其几何意义例1.'已知函数，其中a>0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：-3<f（x1）+f（x2）<-2．'例2.'求下列函数的导数（1）y=2x3-3x2-4；（2）y=xlnx；（3）．'例3.'已知函数f（x）=ax3-x2（a>0），x∈[0，+∞）．（1）若a=1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；（2）若函数y=f'（x）的递减区间为A，试探究函数y=f（x）在区间A上的单调性．'导数的计算知识讲解1．导数的运算【知识点的知识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（x n）′＝nx n﹣1（n∈R）③（sin x）′＝cos x④（cos x）′＝﹣sin x⑤（e x）′＝e x⑥（a x）′＝（a x）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log a x）]′＝*（log a e）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．例题精讲导数的计算例1.已知函数f（x）=2lnx+x，则f'（1）的值为___．例2.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=e x f′（1）+3lnx，则f′（1）=___．例3.函数f（x）=sin x+e x（e为自然对数的底数），则f′（π）的值为______。

《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。

2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。

函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。

3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=.4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。

由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。

当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。

特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。

5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。

导数的概念及其几何意义【考点精讲】（一）导数的概念：1.导函数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即xx f x x f x y x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0000。

（二）导数的几何意义：1. 导数的几何意义:设函数()y f x =如图，AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线，由此割线的斜率是00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率。

当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即：000()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆切线AD 的斜率，曲线()y f x =过点00(,())x f x 切线的斜率等于0()f x '。

2.切线的方程：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点P 00(,())x f x 处的切线的斜率。

由此，求曲线在一点处的切线的一般步骤： ①求出P 点的坐标； ②求点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆得曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程（三）常见函数的导数：（高等数学中有证明过程）(1) (2) (3)(4) (5) (6)()ln (0,1)x x a a a a a '=>≠ （7） （8）1()2x x '=(9)a x x a ln 1)(log ='（四）导函数的四则运算法则：()'''u v u v +=+，()'''uv u v uv =+ ，2''()'u u v uv v v -= （五）复合函数的导数:设函数在点处有导数,函数在点的对应点处有导数,则在点处有导数.).)((0'0x x x f y y -=-)(0为常数C C =')(1Q n nx x n n ∈='-）（x x cos )(sin ='x x sin )(cos -='xx 1)(ln ='xx e e =')()(x u ψ=x )(x u x ψ'=')(u f y =x u )(u f y u '='f y =)]([x ψx x u x u y y '⋅'='（六）如何求函数的导数：（1）由导数的定义求函数)(x f y =的导数的一般方法:①求函数的变量)()(f x f x x f -∆+=∆; ②求平均变化率xx f x x f x∆-∆+=∆∆)()(f ;③求导数＝xx ∆∆→∆f lim 0。

导数的概念、几何意义及其运算常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ：+-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数；;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e xx x x ln )(;)(''==；e x x x x a a log 1)(log ;1)(ln ''==法则1： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u +=法则3： )0)(()()()()()(])()([2'''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （一）基础知识回顾：1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率xx f x x f x y o x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/x f 或0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f 。

称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =，就是导函数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y =＝)(0/x f 。

导数的概念和几何意义导数是数学分析中的一个重要概念，广泛应用于各个学科领域中。

它不仅有着重要的理论意义，也具有丰富的几何意义。

首先，我们来了解导数的概念。

在数学上，导数可以理解为函数在其中一点上的变化率。

具体而言，设函数$y=f(x)$在其中一点$x_0$的邻近有定义，那么函数在此点的导数可以定义为：$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$其中，$\Delta x$ 表示自变量 $x$ 在 $x_0$ 处的增量。

这个极限值即为导数。

在几何意义上，导数可以理解为函数图像上其中一点切线的斜率。

具体而言，设函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数为$k$，那么在点$(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率为$k$。

这意味着，切线的斜率描述了函数在该点的变化趋势。

如果导数为正，代表函数在该点上升；如果导数为负，代表函数在该点下降；如果导数为零，代表函数在该点取得极值。

以一个简单的例子来说明导数的几何意义。

考虑函数$y=x^2$，我们可以求得其在点$x_0$处的导数为$2x_0$。

这个导数可以看做是函数$y=x^2$在点$x_0$处的切线的斜率。

比如，在点$(1,1)$处，导数为$2$，那么切线的斜率为$2$。

我们可以绘制出函数曲线$y=x^2$，并在点$(1,1)$处绘制出斜率为$2$的切线。

通过这条切线，我们可以近似描述函数$y=x^2$在点$(1,1)$处的局部行为。

导数的几何意义还可以通过函数图像的凹凸性来解释。

如果函数在其中一区间上的导数始终为正（或始终为负），则函数在该区间上单调递增（或单调递减）。

如果函数在其中一区间上的导数变号，则函数在该区间上存在极值点。

此外，如果函数在其中一点的导数为$0$，则函数在该点可能存在极值点，或者函数在该点处具有水平切线。

另外，导数还可以用于判断函数的连续性。

导数的概念几何意义及其运算导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在其中一点上的变化率。

它的几何意义可以通过切线来进行解释，并且有一些运算规则可以用来求解导数。

首先，我们来看一下导数的定义和几何意义。

给定一个函数f(x)，如果x的变化引起f(x)的变化，那么这个变化率可以用导数来表示。

导数的定义如下:如果函数f(x)在点x上有定义，那么它在这一点的导数可以表示为:f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x))/h这个定义表示的是在x点附近，当x的增量趋近于0时，f(x)的增量与x的增量之比的极限。

换句话说，导数描述了函数在x点附近的平均而微小的变化率。

几何上，导数表示了函数曲线在一个点上的切线的斜率。

切线是曲线在其中一点附近与曲线最为接近的直线，所以导数就是曲线在这一点上的斜率。

如果导数为正，曲线向上倾斜，而如果导数为负，曲线向下倾斜。

导数的运算有一些规则可以用来求导。

下面是一些常用的导数运算规则:1. 常数规则: 对于常数k，导函数为0，即d/dx (k) = 0。

2. 幂规则: 如果f(x) = x^n，其中n是任意实数，那么导数为f'(x) = nx^(n-1)。

3.和、差、积法则:如果函数f(x)和g(x)都可导，那么它们的和、差和积的导数可以通过以下规则得到:d/dx (f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)d/dx (f(x) - g(x)) = f'(x) - g'(x)d/dx (f(x) * g(x)) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)4.商法则:如果函数f(x)和g(x)都可导，并且g(x)在其中一点x上的值不为0，那么它们的商的导数可以通过以下规则求得:d/dx (f(x) / g(x)) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^2这些运算规则可以帮助我们快速求解导数，从而帮助我们更好地理解函数的变化率。

导数的几何意义及导数公式导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在特定点的变化率。

导数的几何意义是描述函数曲线在其中一点的切线的斜率。

本文将详细介绍导数的几何意义以及导数的计算公式。

一、导数的几何意义在几何中，我们知道曲线上每一点的切线可以用斜率来描述。

而导数就是函数在其中一点的切线的斜率，它告诉我们函数在该点的变化情况。

导数的几何意义可以通过以下两个方面来理解：1.切线的斜率导数是切线的斜率，它表示函数在特定点上的变化速率。

如果导数是正数，那么函数在该点上是递增的；如果导数是负数，那么函数在该点上是递减的。

导数的绝对值越大，曲线在该点附近的变化速率越大；导数的绝对值越小，曲线在该点附近的变化速率越小。

2.切线的方向导数不仅告诉我们切线的斜率，还告诉我们切线的方向。

如果导数是正数，那么切线是向上倾斜的；如果导数是负数，那么切线是向下倾斜的。

导数等于零表示切线是水平的，也就是曲线上的极值点。

通过以上两个方面，我们可以通过导数来近似描述函数在任意点的行为，从而更好地理解函数的性质。

二、导数的计算公式导数的计算公式是一系列可以计算导数的规则。

下面是一些常见的导数计算公式：1.常数规则如果f(x)=c，其中c是常数，那么f'(x)=0。

这是因为常数的导数为零，表示该常数没有变化。

2.幂规则如果f(x) = x^n，其中n是整数，那么f'(x) = nx^(n-1)。

这是指数函数的导数公式。

3.常见函数的导数公式- 如果f(x) = sin(x)，那么f'(x) = cos(x)。

- 如果f(x) = cos(x)，那么f'(x) = -sin(x)。

- 如果f(x) = tan(x)，那么f'(x) = sec^2(x)。

-如果f(x)=e^x，那么f'(x)=e^x。

- 如果f(x) = ln(x)，那么f'(x) = 1/x。

4.和、差的导数规则如果f(x)和g(x)是可导函数，那么(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。

<<高等数学〉>教案课型：讲授章节第二章导数与微分第一节导数及其运算 1·导数的概念及导数的几何意义教学目的：1、理解导数定义,能够运用定义求解简单函数的导数2、了解导数的几何意义,会求曲线在某点的切线和法线方程3、掌握可导与连续的关系,判别函数在某点的可导性与连续性教学重点：1、导数定义,包括函数在某点与在某区间的定义,单侧导数的定义2、导数的几何意义,求切线方程与法线方程教学难点:1、导数定义,包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学过程:1、简介微积分的组成，微分与积分的区别2、引入导数概念3、给出导数定义（1）函数在某点导数的定义（2）函数在某区间导数的定义（3）单侧导数的定义4、求导数举例5、导数的几何意义6、求切线和法线方程举例7、可导与连续的关系8、举例判别函数在某点处的连续性和可导性9、课堂小结10、布置作业§1 导数及其运算一、 导数的概念1、导数的引入设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数： s f (t ），求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值000)()(t t t f t f t t s s --=--，这个比值可认为是动点在时间间隔t t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短， 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度。

但这样做是不精确的， 更确地应当这样: 令t t 0®0, 取比值00)()(t t t f t f --的极限， 如果这个极限存在， 设为v ， 即 00)()(limt t t f t f v t t --=→,这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2、导数的定义从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限： 00)()(lim 0x x x f x f x x --→.令x x x 0， 则y f （x 0x ）f (x 0) f (x )f (x 0)， x ®x 0相当于x ®0, 于是00)()(limx x x f x f x x --→成为 x yx ∆∆→∆0lim或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000。