最新翼教版八年级数学上导学案 15.3 二次根式的加减运算

八年级数学上册第十五章二次根式专题练习二次根式的加减运算3 （新版）冀教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册第十五章二次根式专题练习二次根式的加减运算3 （新版）冀教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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二次根式的加减运算一、选择题1、在12，34，48，6中能与3进行加减合并的根式有_________．2、下列根式中与其他三个不同类的是( ）A ．2B ．98C ．48D ．503、下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（ )A ．12与72B ．63与78C ．38x 与22xD ．18与6 4、下列根式合并过程正确的是（ ）A ．23—3-=2B ．a c +b c =a+b cC ．5a +12a =a+12a D ．133a -143a =1123a5、若53+y =63，则y 值为（ ）A ． 3B ．1C ．23D ．3二、计算：(1)7238550(2）x x x x 1246932-+三、计算:（1）213904540（2）232282xy x x +-(0,0)x y >>四．计算:(1)212+348（（3（4)143a。

15.3二次根式的加减运算教学目标【知识与能力】1.了解二次根式(根号下仅限于数)的加减运算.2.会合并被开方数相同的二次根式,能进行二次根式的加减运算.【过程与方法】1.经历探索二次根式的加减运算法则的过程,培养学生的探究精神和合作交流的习惯.2.体会用类比的思想研究二次根式的加减运算法则,体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般,由简单到复杂.【情感态度价值观】1.教学中为学生创造大量的操作、思考和交流的机会,关注学生思考问题的过程,鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑.2.让学生品尝成功的喜悦,激发学生应用数学的热情,培养学生主动探索,敢于实践,善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识.教学重难点【教学重点】二次根式的加减运算法则.【教学难点】能正确地计算二次根式的加减法.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:1.复习最简二次根式(1)怎样的二次根式叫做最简二次根式?(2)2√5与√20的实质区别是什么?2.复习整式的加减【课件1】计算下列各式.(1)2x+3x;(2)2x2-3x2+5x2;(3)y+2y+3y;(4)3a2-2a2+a2.说明:上面题目的计算,实际上就是我们以前学过的合并同类项,合并同类项的法则是:字母及其指数不变,系数相加减.[设计意图]复习合并同类项的方法,为学生学习合并被开方数相同的二次根式做好铺垫.导入二:【课件2】一个运动场要修两块长方形草坪,第一块草坪的长是10米,宽是√5米,第二块草坪的长是20米,宽也是√5米.你能告诉运动场的负责人要准备多大面积的草皮吗?问题:10√5+20√5等于多少?说明:学生回答,教师出示课题并说明研究该问题就是如何进行二次根式的加法运算.[设计意图]从实际问题中抽象出二次根式的加法运算,指明本节课的学习内容.导入三:引语:这节课我们先来解决简单的问题,同学们注意抢答.提问:(1)2+3等于几?(2)√2+√3呢?(3)√2+√2呢?教师把问题一个一个给出,学生抢答.对于第(2)(3)小题的回答,教师先不要急于评价,让学生讨论、说理.[设计意图] 先抛出一个极其简单老套的问题,引起学生的不屑,但同时也会激发学生的兴趣;第(2)(3)小题,学生会有不同的看法,再度引起争议从而为更好地掌握二次根式的加减法打好基础.二、新知构建：活动一:二次根式的加减运算思路一 1.试着做做【课件3】 计算下列各式.(1)5√3+2√3; (2)√12+√75; (3)6√7-√17. 2.通过观察以上三道计算题,你联想到了什么? 3.你能试着解决它们吗?解:(1)5√3+2√3=(5+2)√3=7√3.(2)√12+√75=2√3+5√3=(2+5)√3=7√3. (3)6√7-√17=6√7-17√7=(6-17)√7=41√77.归纳:遇到两个二次根式相加(或相减)时,我们希望利用分配律,这里利用分配律的实质是这两个二次根式的被开方数相同,这种类似的情况我们过去也遇到过:将两个单项式相加,如果想利用分配律的话,那么就应当要求两个单项式除了系数以外,其余的都相同.这就启发我们,类比整式的加减中的合并“同类项”,能不能在二次根式的加减中,也合并一种“同类二次根式”呢?4.像5√3和2√3,3√a 和2√a ,这样的两个二次根式都可以合并.如果几个二次根式可以进行合并,它们具备的特点是:(1)被开方数相同;(2)二次根式必须是最简二次根式;(3)与前面的“系数”无关. 5.想一想:怎样把被开方数相同的最简二次根式进行合并?引导学生归纳:二次根式的加减与整式的加减类似,只要对被开方数相同的最简二次根式进行合并,合并的方法是“系数”相加减,被开方数不变. [设计意图] 通过计算、观察、类比使学生发现二次根式的加减法的实质就是把二次根式化简之后,合并被开方数相同的二次根式的过程,让学生体会前后知识的联系. 思路二(针对导入三)说理:事实上,如果√2+√3=√5,那么√2+√2=√4,而√4=2,也就是说√2+√2=2,这显然是错误的.提问:(1)同学们还记得你们曾犯过类似的错误吗?(12+13=15)(2)那么√2+√2到底等于多少呢?√2+√3呢?能不能直接相加呢?如何进行二次根式的加减法运算呢?[设计意图] 通过说理环节让学生意识到问题原来不是那么简单的,通过强烈的反差使学生意识到二次根式的加减并不简单,接着再通过两个问题使学生在愉悦的氛围中学习,同时引导学生进行思考.计算:√18+√32-√50.解:√18+√32-√50=3√2+4√2-5√2=(3+4-5)√2=2√2.上面的计算中,先把二次根式化简,几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,就可以合并在一起.二次根式相加减时,先把各个二次根式化简,再把它们进行合并.合并时与合并同类项类似.因此,二次根式的加减可以比照整式的加减进行.在二次根式的运算中,实数的运算性质和法则同样适用. 活动二:例题讲解 【课件4】计算下列各式. (1)2√3-3√12+5√27;(2)√8+√0.5-(√0.2-√132).先让学生独立完成,教师可适当点拨:(1)先将不是最简二次根式的化成最简二次根式,然后合并被开方数相同的项.(2)可先将根号下的小数化成分数,然后再去括号,化成最简二次根式后进行计算.解:(1)原式=2√3-6√3+15√3=11√3. (2)原式=2√2+√12-( √15-14√12)=2√2+√22-√55+√28=21√28-√55. 说明:教师巡视全班,对有困难的学生加以点拨指导,对学生交流后反馈的情况加以总结,并引导学生得出结论.请同学们完成下面两道题.【课件5】 (教材第99页做一做)计算下列各式. (1)2√28-3√63+5√49; (2)√24+√16-( √56+√0.96).引导学生独立完成,指定两名同学板演,其他学生在练习本上完成. 提示:(1)35-5√7. (2)53√630-√306. 【课件6】计算下列各式.(1)2√12-3√13-√27; (2)(√48-10√0.2)-3(√45-√13). 提问:(1)两题中有被开方数相同的项吗? (2)能否将它们化简呢? 学生自主完成.解:(1)2√12-3√13-√27=4√3-√3-3√3=0. (2)(√48-10√0.2)-3(√45-√13)=4√3-10×√55-3×(3√5-√33)=4√3-2√5-9√5+√3=5√3-11√5.总结方法:第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;第二步,将被开方数相同的项进行合并.[知识拓展] 在二次根式的加减运算中,要注意以下几点:(1)二次根式的加减运算的实质就是合并被开方数相同的最简二次根式,因此正确地化简二次根式及准确地进行合并是关键.二次根式的加减运算与整式的加减运算类似,只需将被开方数相同的最简二次根式的“系数”相加减,根指数不变,被开方数也不变,不要把被开方数不同的二次根式进行加减运算.如2+√5=2√5是错误的,运算时一定要注意.(2)在进行二次根式的加减运算时,加法运算律中的交换律和结合律,去括号和添括号法则都是适用的.(3)二次根式加减运算的结果应写成最简形式,系数是带分数的一定要化成假分数,如2 3√2+5√2=173√2,不能写成523√2.(4)二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下表所示:[设计意图]通过对例题的讲解,让学生明确在二次根式的计算中,如果有些二次根式的被开方数不同,应先将其化成最简二次根式,然后再将其合并.各例题层层递进,各有不同,让学生自主分析,自主完成,培养学生动手、动脑的良好习惯,培养了学生的解题能力.三、课堂小结：1.几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式就可以合并.合并的时候,只把“系数”相加减,根指数和被开方数不变.2.二次根式的加减法的步骤:(1)如果有括号,根据去括号法则去括号;(2)把不是最简二次根式的二次根式进行化简;(3)合并被开方数相同的最简二次根式.。

15.3 二次根式的加减运算学习目标：1.掌握二次根式的加减运算法则，并进行计算.（难点）2.灵活运用二次根式的加减运算解决有关问题.(重点） 学习重点：二次根式的加减运算.学习难点：运用二次根式的加减法解决实际问题.一、知识链接1.满足什么条件的根式是最简二次根式？ 答：___________________________________________________________________________.2.化简下列二次根式⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷； ⑸ ；⑹.二、新知预习3.计算下列各式：（1）①5323+，②1275+，③1677-； （2）请将你的做法和大家进行交流；NOTE ：就像整式合并同类项那样，被开方数相同的最简二次根式与可以合并.二次根式的加减运算 二次根式的加减运算，其实是将被开方数相同的项进行合并.为此，首先应将每个二次根式化简为___________，然后将________相同的最简二次根式进行合并. 三、自学自测 1．计算﹣，正确的结果是（ ） A ．B ．C ．D ．3自主学习2.计算：的值是（ ） A ．0 B ． C ．D ．或3.计算：（1）7238550+- ； （2）xxx x 1246932-+.四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________一、要点探究探究点：二次根式的加减运算 问题1：计算：(1)8＋32； (2)1223＋1332；(3)448－375； (4)1816－3296.【归纳总结】二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，合并同类二次根式可以类比合并同类项进行，不是同类二次根式的不能合并． 【针对训练】下列计算正确的是（ ）A ．23-3-=2B ．a c +b c =a+b cC ．5a +12a =a+12a D ．133a -143a =1123a问题2：计算：合作探究(1)12－33－273；(2)324x －3x9＋3x 1x ； (3)3123－45＋220－1260；(4)0.5－213－(18－75)．【归纳总结】二次根式的加减混合运算步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②运用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一起；③把同类二次根式的系数相加减，被开方数不变．【针对训练】计算：（1）52+8-718； （2）83+12+0.125-6+32.问题3：一个三角形的周长是(23＋32)cm ，其中两边长分别是(3＋2)cm ，(33－22)cm ，求第三边长．【归纳总结】由三角形周长的意义可知，三角形的周长减去已知两边的长，可得第三边的长．解决问题的关键在于把实际问题转化为二次根式的加减混合运算． 【针对训练】母亲节到了，为了表达对母亲的爱，小明做了两幅大小不同的正方形卡片送给妈妈，其中一个面积为8cm 2,另一个为18cm 2，他想如果再用金彩带把卡片的边镶上会更漂亮，他现在有长为50cm 的金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗？二、课堂小结内容二次根式的加减法在进行二次根式的加减运算时，通常先将每个二次根式化简，然后再将被开方数________的二次根式的________相加减，但被开方数________．即m a ±n a ＝(m ±n)a(a ≥0)．步骤：(1)化：将每个二次根式化成最简二次根式； (2)找：找出被开方数相同的最简二次根式；(3)并：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项(即系数直接相加减，被开方数与根指数不变).解题策略1.化成最简二次根式的一般方法：①若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再化简；②若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数，再化简；③被开方数是多项式的要进行因式分解；2.化简时先将被开方数化为一个数(式)的平方与另一个因数(式)的乘积；再将根号内开得尽方的因数(式)移到根号外．注：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数.1.已知最简二次根式34x -与5能合并成一项，则x 的值为（ ） A.5 B.2 C.3 D.42.下列计算中正确的是（ ） A.257+=B.x y x y -=-C.5322m m m -=- D.()a b b a a b ab +=+ 3.计算1126823-+的结果是（ ） A.3223- B.52- C.53- D.24.已知等腰三角形的两边长分别为23和52，则这个等腰三角形的周长为（ ） A.4352+ B.23102+ C.43102+ D.43102+或23102+5.计算：当堂检测()31128375;427-+()1212240.5246.238⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当堂检测参考答案： 1.C 2.C 3.A 4.B 5.()31317931283754215342;4271212-+=-+=+()12112222240.52462664623822342166246431266462341656 2.34⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+-+⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-。

二次根式解题中的常见错误由于概念不清或考虑问题不全面，同学们在解二次根式的习题中常会出现以下的一些错误．一、关于运算顺序的错误简析：错解的原因是错误理解了“先乘除、后加减”，以加减而言,乘除法应先进行运算，而乘法与除法同为二级运算，应依次进行运算．一般的方法是先将除式m m mnm n n+--颠倒转化为乘法，然后再做计算。

解：略．二、误用运算法则的错误简析：上解误用了“乘法分配律”，乘法分配律是乘法对加法（代数和)进行分配，而不是乘法对除法(或乘法）进行分配,正确的解法应先算小括号内的运算．解：略．简析: 错解把和对除数的分配即a b c (a b c)d d d d ++÷=++误解为被除数对和（代数和）的分配,即a a a a (b c d)b c d÷++=++。

事实上，这后一个等式是不成立的． 解：略．三、分母有理化的错误错解:(n p)(n p)(p m)(p m)(m-n)(m n)(m n)(m n)(n p)(n p)(p m)(p m)-----+-+-+-原式 (n p)(n p)(p m)(p m)(m-n)(m n)=m n -----m n n p p m0==简析:上解的结果是正确的，但解法存在问题．当m=n 或n=p 或p=m 时，即(m —n ）(n —p)(p —m ）=0时,上解便不成立。

因为当m=n 时,在分母有理化时m n 0=，也就是说在分子分母上同乘了一个零。

后两个分式的分母有理化同样也存在这一问题，这第一步分母有理化运算与分式的基本性质是不相符的．正确的运算应对分子进行分解因式后约分化简．解:略．四、有关符号的错误五、忽略分类的错误错解:由x-2≥0，得x≥2．简析: 当2≤x<3时,x210--<，上解不成立，应分类求解。

正解为：原式=-+---x21x21∴应由2≤x≤3和x＞3分类求解．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

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15.3二次根式的加减运算
【学习目标】
1.能根据实际情况灵活地运用两个法则进行有关实数的四则运算;
2.会进行简单的二次根式的加、减混合运算.
【学习重点、难点】
灵活地运用法则和逆用法则进行实数的运算
【预习自测】
积的算术平方根和商的算术平方根的性质：
);
0,0(≥≥⋅=b a b a b a )0,0(>≥=b a b
a b a 【合作探究】
探究活动一
探究活动二
2==
归纳：对能合并的二次根式进行合并，仿照合并同类项的方式（同类二次根式）
1.=__________.
2.计算：=____________.
3.计算：3227128--+= .
【解难答疑】 1. 825- 2. 12－ 3 3. 188+
4.24812+
5.5145203-
-
【反馈拓展】
1．28-的结果是（ ）
A ．6
B ．22
C ．2
D ．2 2
的结果是（ ） A ．1 B ．1-
C
D
3
= ．
4．化简：32583-的结果为 .
5.
6. 02)+
7.已知y =522+-+
-x x ， 求 的值.
【学习反思】 1.本节课我学会了：
还有些疑惑：
2.做错的题目有： 原因：
【作业】课后习题A 组1,2,B 组2,3
101(2008π)2-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭y
x。

二次根式的加减运算【知识与技能】1.掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式.2.掌握二次根式加减乘除混合运算的方法.【过程与方法】通过二次根式的加减法运算培养学生的运算能力.【情感态度】形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题.【教学重点】二次根式加减法的运算.【教学难点】探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确进行二次根式加减法的运算.一、情境导入，初步认识1.合并同类项：（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2.解：（1）5x；（2）4x2.这几道题是你运用什么知识做的？加减法则.2.化简：3.如何进行二次根式的加减计算?先化简，再合并.4.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式.如22与32；28、38与58.二、思考探究，获取新知例1计算：例2计算：【教学说明】进行二次根式的加减运算时，必须先将其化简，是同类二次根式才可合并.例3计算：【教学说明】在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.三、运用新知，深化理解.1.下列计算是否正确？为什么？【教学说明】这类计算的简便方法是先变形，再代入求值.四、师生互动，课堂小结请学生分组讨论，小组代表汇报，教师展示本节课学习的知识要点.1.布置作业：从教材相应练习和“习题”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课通过复习整式的加减法合并同类项，引入二次根式的概念及二次根式的合并方法，对法则的教学与整式的加减比较学习，在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.。

15.3 二次根式的加减运算专题 二次根式的加减运算规律与技巧1.计算：()()3-231+．2.已知25x =+，52y =-，求22x xy y -+的值.3.观察下列各算式： ①2246816(28)1616420⨯⨯⨯+=⨯+=+=； ②24681016(410)1640444⨯⨯⨯+=⨯+=+=； ③268101216(612)1672476⨯⨯⨯+=⨯+=+=； ④2810121416(814)161124116⨯⨯⨯+=⨯+=+=，…（1）根据以上规律计算：200620082010201216⨯⨯⨯+（注意计算技巧哦！）； （2）请你猜想2(22)(24)(26)16n n n n ++++的结果（用含n 的式子表示）.4. 如果记)(1x f x x y =+=，并且)1(f 表示当1=x 时y 的值，即21111)1(=+=f ；)2(f 表示当2=x 时y 的值，即212)2(+=f ；)21(f 表示当21=x 时y 的值，即12121121)21(+=+=f ；…. 求++++)3()21()2()1(f f f f )1001()100()31(f f f +++ 的值．状元笔记【知识要点】1.同类二次根式化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式.2. 二次根式的加减运算法则二次根式的加减运算法则：首先将每个二次根式化为最简二次根式，然后按原运算将被开方数相同的最简二次根式的项进行合并.【温馨提示】1.判断几个二次根式是同类二次根式的步骤是：（1）将各二次根式化简；（2）看被开方数是否相同.2.注意简便方法的运用.参考答案1.解：原式=2-3+233-=31-.2.解：由已知得25x y +=，3xy =，原式=2()3x y xy +-=22(25)311-=.3.解：（1）原式=2(20062012)162006201244036076⨯+=⨯+=；（2）原式=[]222(26)162(26)44124n n n n n n ⨯++=⨯++=++.4.解：原式=12131212211331+++++++++…+ 100111001001+++= 1221311213+++++++…+10011100++=12+1+1+…+1=12+99=9912.初中数学试卷灿若寒星 制作。