重庆一中2015届高三上学期期中考试 数学文试题

秘密★启用前重庆市重庆一中2015届高三上期第一次月考数学（理科） 2014. 9数学试题共4页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．一. 选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足(1)i i z +=, 则z =( )A. 1122i +B. 1122i -C. 1122i -+D. 1122i --2. 设0.53a =, 3log 2b =, 0.5log 3c =, 则（ ）A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D. b c a <<3. 函数22x x y e -+=(03x ?) 的值域是（ ）A. 3(,1)e -B. 3[,1)e -C. 3(,]e e -D. (1,]e4. 把ln(1)y x =+的图像的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的三倍，再向右移动一个单位，得到的函数解析式是（ ）A. ln 3y x =B. ln 3x y =C. 2ln 3x y += D. ln(32)y x =-5. 函数()2ln 25f x x x =+-的零点个数为（ ）A. 1B. 2C. 0D. 3 6．若定义在实数集R 上的偶函数)(x f 满足0)(>x f , )(1)2(x f x f =+, 对任意R x ∈恒成立, 则(2015)f =（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 17. 若某程序框图如右图所示, 当输入50时, 则该程序运算后输出的结果是( )A. 8B. 6C. 4D. 28. 如图所示, 医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体. 开始输液时, 滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计), 设输液开始后x 分钟, 瓶内液面与进气管的距离为h 厘米, 已知当0x =时, 13h =. 如果瓶内的药液恰好156分钟滴完. 则函数()h f x =的图像为（ ）A. B.C. D.9. 函数|1|,1()21,1x a x f x x -ì=ïï=íï+?ïî,若关于x 的方程22()(25)()50f x a f x a -++=有五个不同的实数解, 则a 的取值范围是（ ）A.55(2,)(,)22+∞UB.(2,)+?C.[2,)+?D. 55[2,)(,)22+?U10. 若定义域在[0,1]的函数()f x 满足： ① 对于任意12,[0,1]x x Î，当12x x <时，都有12()()f x f x ³;②(0)0f =;③1()()32x f f x =;④(1)()1f x f x -+=-,则19()()32014f f +=（ ）A. 916- B ．1732- C ．174343- D ．5121007-二. 填空题: 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。

重庆市名校联盟2014年秋高2015级第一次联考数学（文史类）试题注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定位置。

2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净，再选涂其他答案标号。

3. 答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定位置。

4. 所有试题必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题（共10个小题，每小题5分,共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{1,2,3,4}U =，{1,2}A =，{2,4}B =，则()U A B ⋃ð=（ ） A. {2}B. {3}C. {1,2,4}D. {1,4}2.复数22ii-所对应的点位于复平面内（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. “14m <”是“方程20x x m ++=有实根”的（ ）A.充分不必要条件 B 必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.函数sin3y x =的图像可以由函数cos3y x =的图像（ ）A.向右平移6π个单位得到 B.向左平移6π个单位得到 C.向右平移2π个单位得到D.向左平移π个单位得到5.函数()|2|ln f x x x =--的零点个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 36.偶函数()f x 在[0,)+∞上为减函数，若(lg )(1)f x f >，则x 的取值范围是（ ） A. 1(,1)10B. 1(0,)(1,)10⋃+∞ C. 1(,10)10D. (0,1)(10,)⋃+∞7.在边长为2的正∆ABC 中，P 是BC 边上的动点，则()AP AB AC ⋅+（ ） A.有最大值8B.有最小值2C.是定值6D. 与P 的位置有关8.一多面体的三视图如图（10题下面）所示，则该多面体的体积是（ ）A. 223B.323 C. 6 D. 79.数列{}n a 中，6(3)3,7,7n n a n n a a n ---≤⎧=⎨>⎩，且对任意*n N ∈，都有1n n a a +<，则实数a 的取值范围是（ ）A. 9(,3)4B. 9[,3)4C. (1,3)D. (2,3)10.函数32()f x x bx cx d =+++的图像如图所示，则函数222()log ()33b cg x x x =++的单调递减区间是（ ）A. 1(,)2+∞B. 1(,)2-∞C. (2,3)-D. (,2)-∞-二、填空题（共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应的位置。

某某一中2015届高三上学期第一次月考数 学 试 题 卷（文科）【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能. 一、选择题：（每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）【题文】1、已知为虚数单位，若1(,)1ia bi ab R i +=+∈-，则a b +=（ ）A ．0B ．C ．1-D ．2 【知识点】复数相等的充要条件．L4【答案解析】B 解析：∵a+bi====i ，∴a=0，b=1．∴a+b=1．故选：D ．【思路点拨】利用复数的运算法则和复数相等即可得出．【题文】2、命题“若函数mx e x f x-=)(在),0[+∞上是减函数，则1>m ”的否命题是（ ） A ．若函数mx e x f x-=)(在),0[+∞上不是减函数，则1≤m B ．若函数mx e x f x -=)(在),0[+∞上是减函数，则1≤m C ．若1>m ，则函数mx e x f x-=)(在),0[+∞上是减函数 D ．若1≤m ，则函数mx e x f x -=)(在),0[+∞上不是减函数 【知识点】四种命题．A2【答案解析】A 解析：否定命题的条件作条件，否定命题的结论作结论，即可得到命题的否命题．命题“若函数mx e x f x-=)(在),0[+∞上是减函数，则1>m ”的否命题是：若函数mx e x f x -=)(在),0[+∞上不是减函数，则m≤1．故选：A ．【思路点拨】直接写出命题的否命题，即可得到选项．【题文】3、如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的 成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为乙组甲组16.8，则y x ,的值分别为（ ）A ． 5,2B ． 5,5C ．8,5D ．8,8 【知识点】茎叶图．I2【答案解析】C 解析：∵甲组数据的中位数为15，∴10+y=15，∴y=5；又∵乙组数据的平均数为16.8，∴9+15+（10+x ）+18+24=16.8×5，∴x=8；∴x ，y 的值分别为8，5； 故选：C ．【思路点拨】由甲组数据的中位数求出y 的值，乙组数据的平均数求出x 的值． 【题文】4、下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ）A ．()2x f x -=B ．2()1f x x =+C ．3()f x x =D ．21()f x x =【知识点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．B3 B4【答案解析】D 解析：只有函数21()f x x =，2()1f x x =+是偶函数，而函数3()f x x =是奇函数，()2xf x -=不具有奇偶性．而函数21()f x x =，2()1f x x =+中，只有函数21()f x x =在区间(,0)-∞上单调递增的．综上可知：只有D 正确．故选：D ．【思路点拨】利用函数函数的奇偶性和单调性即可判断出． 【题文】5、阅读右边程序框图，为使输出的数据为31， 则判断框中应填入的条件为（ ） A ．4i ≤B ．5i ≤ C ．6i ≤D ．7i ≤【知识点】程序框图．L1【答案解析】A 解析：程序在运行过程中各变量的值如下表示： S i 是否继续循环 循环前 1 1 第一圈 3 2 是 第二圈 7 3 是 第三圈 15 4 是 第四圈 31 5 否所以当i≤4时．输出的数据为31， 故选A ．【思路点拨】析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环求S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．【题文】6、设0.53x =，3log 2y =，cos2z =,则（ ）A ．z y x <<B ．z x y <<C ．y z x <<D ．x z y << 【知识点】对数值大小的比较．B7 【答案解析】A 解析：∵x=30.5=＞1，0=log31＜y=log32＜log33=1，z=cos2＜0，∴z＜y ＜x ．故选：A ．【思路点拨】利用指数函数、对数函数、三角函数的性质求解．【题文】7、若函数()sin cos f x a x x ωω=-的相邻两个零点的距离为π，且它的一条对称轴为π32=x ，则()3f π-等于（ ） A ．2B ．3-C ．3D ． 2- 【知识点】两角和与差的正弦函数．C5【答案解析】D 解析：∵函数()sin cos f x a x x ωω=-的相邻两个零点的距离为π，∴ •=π，求得ω=1．再根据函数的一条对称轴为π32=x ，可得asin ﹣cos =±，平方可得=0，求得a=．则f （x ）=sinx ﹣cosx=2（sinx ﹣cosx ）=2sin （x ﹣），()3f π-=2sin （﹣﹣）=2sin （﹣）=﹣2sin =﹣2，故选：D ． 【思路点拨】根据函数()sin cos f x a x x ωω=-的相邻两个零点的距离为π，求得ω=1．再根据函数的一条对称轴为x=π，可得asin﹣cos=±，平方求得a=，可得函数f （x ）的解析式，从而求得()3f π-的值 【题文】8、某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为（ ）wordA ．30B ．24C ．18D ．12【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案解析】B 解析：由三视图知该几何体是高为5的三棱柱截去同底且高为3的三棱锥所得几何体，棱柱的体积等于=30，所截棱锥的体积为：=6， 故组合体的体积V=30﹣6=24，故选：B ． 【思路点拨】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱载去一个同底不等高的三棱锥所得，求出棱柱及棱锥的底面面积和高，代入棱柱和锥体体积公式，相减可得答案．【题文】9、已知函数3()sin 1(,,)f x a x bx cx a b c R =+++∈， (lg(lg3))3f =，则3(lg(log 10))f =（ ）A ．3B ．1-C ．3-D ．2014 【知识点】函数的值．B1【答案解析】B 解析：∵3()sin 1(,,)f x a x bx cx a b c R =+++∈，(lg(lg3))3f =， ∴asin（lg （lg3））+b （lg （lg3））3+c （lg （lg3））+1=3，∴asin（lg （lg3））+b （lg （lg3））3+c （lg （lg3））=2， ∴f（lg （log310））=f[﹣（（lg （lg3））]=﹣[asin （lg （lg3））+b （lg （lg3））3+c （lg （lg3））]+1=﹣2+1=﹣1．故选：B ．【思路点拨】利用对数性质和函数性质求解．【题文】10、已知函数22,0()4cos 1,0x x f x x x x ⎧+≥=⎨⋅+<⎩,且方程()1f x mx =+在区间[2]ππ-,内有两个不等的实根, 则实数m 的取值X 围为（ ）A.[4,2]-B. (4,3)-C. (4,2){4}-D.[2,4] 【知识点】分段函数的应用．B9【答案解析】C 解析：直线y=mx+1过定点（0，1），43 233正视图左视图俯视图作出函数f （x ）的图象如图：由图象可知，当直线y=mx+1y 与f （x ）=x2+2在第一象限相切时，满足方程f （x ）=mx+1在区间[﹣2π，π]内有三个不等的实根，此时x2+2=mx+1，即x2﹣mx+1=0，则判别式△=m2﹣4=0，解得m=2或m=﹣2（舍去）． 当直线y=mx+1在x=0时与f （x ）=4xcosx+1相切时，有两个不等的实根， 此时f′（x ）=4cosx ﹣4sinx ，m=f′（0）=4，此时满足条件． 当m ＜0，由4xcosx+1=mx+1，即m=4cosx ，当此时方程m=4cosx 在[﹣2π，0）只有一个解时，即m=﹣4，此时方程f （x ）=mx+1在区间[﹣2π，π]内有1个实根， 此时不满足条件．综上满足条件的m 的取值X 围为﹣4＜m ＜2或m=4，故选：C【思路点拨】作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论． 二、填空题：（每小题5分，共计25分，把答案填在答题卡的相应位置．）【题文】11、已知集合1{}A x y x ==，2{}B y y x ==，则A B =【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】(0,)+∞ 解析：∵集合A={x|y=}={x|x≠0}，B={y|y=x2}={y|y≥0}， ∴A∩B={x|x＞0}=（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．【思路点拨】利用交集定义求解． 【题文】12、若两个非零向量,a b 满足a b a b +=-，则向量a 与b 的夹角为【知识点】数量积表示两个向量的夹角．F3【答案解析】2π解析：∵，为非零向量，且|+|=|﹣|，∴|+|2=|﹣|2，∴=，即，∴与夹角为 ．故答案为：．【思路点拨】由，为非零向量，且|+|=|﹣|，知|+|2=|﹣|2，由此得到，从而得到与夹角为．【题文】13、在不等式组1 02 0 0x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域内随机地取一点P ，则点P 恰好落在第二象限的概率为【知识点】几何概型；简单线性规划．E5 K3【答案解析】92解析：不等式组1 02 0 0x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为一直角三角形，其面积为=，点P 恰好落在第二象限平面区域为一直角三角形，其面积为=，∴点P 恰好落在第二象限的概率为=．故答案为：．【思路点拨】先根据不等式组画出平面区域，然后求出区域的面积，以及点P 恰好落在第二象限区域内的面积，最后利用几何概型的概率公式解之即可．【题文】14、已知直线:l x y -+=14360和直线:pl x =-22，若抛物线:()C y px p =>220上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2，则抛物线C 的方程为 【知识点】抛物线的简单性质．H7【答案解析】y x =24 解析：设抛物线上的一点P 的坐标为（a2，2a ），则P 到直线l2：x=﹣的距离d2=a2+；P 到直线:l x y -+=14360的距离d1=，则d1+d2=+a2+=a2﹣a++，当a=时，P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2， ∴p=2，∴抛物线C 的方程为y2=4x 故答案为：y2=4x ． 【思路点拨】设出抛物线上一点P 的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P 到直线l1和直线l2的距离d1和d2，求出d1+d2，利用二次函数求最值的方法，求出距离之和的最小值，即可得出结论．【题文】15、给出定义：设()'f x 是函数()y f x =的导数，()''f x 是函数()'f x 的导数，若方程()0''=f x 有实数解0x ,则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某某武中高2015级某学霸经探究发现：任何一个一元三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠都有“拐点”，且该“拐点”也为该函数的对称中心.若3231()122f x x x x =-++，则122014()()()201520152015f f f +++=【知识点】利用导数研究函数的单调性．B12【答案解析】2014 解析：由3231()122f x x x x =-++，∴f′（x ）=3x2﹣3x ﹣，∴f′′（x ）=6x ﹣3，由f′′（x ）=6x ﹣3=0，得x=，∴f（）=1，∴f（x ）的对称中心为（，1），∴f（1﹣x ）+f （x ）=2， ∴f（）+f （）=f （）+f （）=…=f（）+f （）=2∴=2014 故答案为：2014【思路点拨】求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0求出x 的值，可得f （1﹣x ）+f （x ）=2，从而得到则122014()()()201520152015f f f +++的值．三、解答题：（本大题共6小题，共计75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）【题文】16、（本小题满分13分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问7分）城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求，为此，某某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如图所示（单位：min ）组别候车时间人数一 [0,5)2 二 [5,10)6 三 [10,15) 4 四 [15,20) 2 五[20,25]1(Ⅰ)估计这60名乘客中候车时间少于10min 的人数； (Ⅱ)若从表中的第三、四组中任选两人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式．K2【答案解析】(Ⅰ) 32(Ⅱ)815解析：(Ⅰ)候车时间少于10min 的概率为2681515+=， 故候车时间少于10min 的人数为8603215⨯=.(Ⅱ)将第三组乘客分别用字母,,,a b c d 表示，第四组乘客分别用字母,A B 表示，则随机选取的2人所有可能如,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB ，共有15种不同的情况，其中两人恰好来自不同组包含8种情况，故所求概率为815.【思路点拨】（Ⅰ）候车时间少于10分钟的人数所占的比例为，用60乘以此比例，即得所求．（Ⅱ）从这6人中选2人作进一步的问卷调查，①用列举法列出上述所有可能情况共有15种，②用列举法求得抽到的两人恰好来自不同组的情况共计8种，由此求得抽到的两人恰好来自不同组的概率． 【题文】17、（本小题满分13分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问7分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若向量2(,)m b c a bc =++， (,1)n b c =+-，且0m n =.（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若3a =ABC 的面积的最大值.【知识点】正弦定理；余弦定理．菁优C8【答案解析】（Ⅰ）2.3A π=（Ⅱ）4解析：（Ⅰ）因为0m n =，所以22()0b c a bc +--=，即222.b c a bc +-=- 故2221cos .222b c a bc A bc bc +--===- 又(0,)A π∈，所以2.3A π=（Ⅱ）由（Ⅰ）及a =223.b c bc +=-又222b c bc +≥（当且仅当b c =时取等号），故32bc bc -≥，即 1.bc ≤故112sin 1sin 223ABCSbc A π=≤⨯=【思路点拨】（Ⅰ）由两向量的坐标及两向量数量积为0，列出关系式，再利用余弦定理表示出cosA ，将得出关系式代入求出cosA 的值，即可确定出角A 的大小；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，把cosA 与a 的值代入，并利用基本不等式求出bc 的最大值，即可确定出三角形ABC 面积的最大值． 【题文】18、（本小题满分13分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问7分） 已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和.(Ⅰ)求()f x 的解析式； (Ⅱ)若2()sin 3f αα+=，求)141tan παα-++的值.【知识点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；同角三角函数基本关系的运用．C2C4【答案解析】（Ⅰ）()cos f x x =（Ⅱ）59-解析：(Ⅰ)因为()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤为偶函数，故2πϕ=，从而()sin()cos 2f x x xπωω=+=.再由()f x 图象上相邻的一个最高点和最低点间的距离2T π=，从而2T π=，故1ω=. 所以()cos f x x =.(Ⅱ) 原式2sin 2cos 212sin cos 2sin 2sin cos sin cos sin 1cos cos αααααααααααα-++===++.由条件知2cos sin 3αα+=，平方得412sin cos 9αα+=，从而52sin cos 9αα=-.【思路点拨】（1）函数f （x ）=sin （ωx+ϕ）（ω＞0，0≤ϕ≤π）为偶函数，其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离，确定函数的周期，求出ω，确定ϕ的值，求出f （x ）的解析式；（2）把上一问求出的结果代入函数的解析式，得到角的正弦与余弦的和，用诱导公式和二倍角公式把所给的式子进行整理，根据同角的三角函数之间的关系得到结果． 【题文】19、（本小题满分12分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问7分） 已知函数()ln ()f x x a x a R =+∈．（I ）若1a =-时，求曲线()y f x =在点1x =处的切线方程；（II ）若0a ≤，函数()f x 没有零点，求a 的取值X 围．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性.有B12 【答案解析】（Ⅰ）1y =（Ⅱ）e 0a -<≤解析：（I ）'()(0)x af x x x +=>，切点为(1,1)，/(1)0f =，故切线方程为1y =.（II ）当0a =时，()f x x =在定义域(0,)+∞上没有零点，满足题意； 当0a <时，函数()f x 与'()f x 在定义域上的情况如下表：()f a -是函数()f x 的极小值，也是函数()f x 的最小值，所以，当()(ln()1)0f a a a -=-->，即e a >-时，函数()f x 没有零点. 综上所述，当e 0a -<≤时，()f x 没有零点.ENMD CBA【思路点拨】（I ）求出a=﹣1时，函数f （x ）和导数，求得切点和切线的斜率，即可得到切线方程；（II ）讨论当a=0时，当a ＜0时，求出函数的单调区间和极值，判断也是最值，且与0的关系，即可判断零点的情况． 【题文】20、（本小题满分12分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问7分） 如图，正方形ABCD 所在平面与直角三角形ABE 所在的平面互相垂直，AE AB ⊥，设,M N 分别是,DE AB 的中点，已知2AB =，1AE =（Ⅰ）求证：//MN 平面BEC ； （Ⅱ）求点E 到平面BMC 的距离．【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．G4 G11【答案解析】解析：(Ⅰ)证明：取EC 中点F ，连接,MF BF .由于MF 为CDE ∆的中位线，所以1//,2MF CD MF CD =；又因为1//,2NB CD NB CD=,所以//,NB MF NB MF =所以四边形NBFM 为平行四边形，故//MN BF ，而BF ⊆平面BEC ，MN ⊄平面BEC ， 所以//MN 平面BEC ；(Ⅱ)因为//MN 平面BEC ，所以：111123323E BMC M BEC N BEC C BEN BEN V V V V S CB ----∆====⋅=⨯⨯=因为,AB AD AB AE ⊥⊥,所以AB ⊥平面EAD ，故AB AM ⊥,从而：2MB ====因为//CD AB ,所以CD ⊥平面EAD ,故CD DM ⊥,从而：2MC ====在BMC ∆中，,22MB MC BC ===,所以BMC ∆的面积11222BMC S BC ∆=⋅=⨯=所以1133E BMC BMC V S h -∆=⋅=（其中h 表示点E 到平面BMC 的距离），即1133h =，解出h =， 所以点E 到平面BMC【思路点拨】（Ⅰ）取EC 中点F ，连接MF ，BF ．由线线平行证明线面平行，（Ⅱ）将体积等价转化，求出体积，再求出底面面积，从而求高，得距离． 【题文】21、（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为3，且经过点(1,3Q ．若分别过椭圆的左、右焦点12,F F 的动直线12,l l 相交于点P ，且与椭圆分别交于A 、B 与C 、D 不同四点，直线OA 、OB 、OC 、OD 的斜率1234,,,k k k k 满足1234k k k k +=+．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在定点M 、N ，使得PM PN+为定值？若存在，求出点M 、N 的坐标；若不存在，说明理由．【知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程.所有H5 H8【答案解析】（Ⅰ）22132x y +=（Ⅱ）存在定点Ｍ、Ｎ为(0,1)±，使得点Ｐ满足PM PN +为定值解析：(Ⅰ) 设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则2222231413c aa ba b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩222321a b c ⎧=⎪⇒=⎨⎪=⎩故椭圆的方程为22132x y +=。

秘密★启用前重庆市重庆一中2014年高2015级高三上期一诊模拟考试数 学 试 题 卷（文科）2015.1数学试题共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一．选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．设集合2{|2150}M x x x =+-<，{17}N x x x =≥≤-或，则M N = （ ） A ．[1,3) B ．(5,3)- C ．(5,1]- D ．[7,3)- 2、对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件3．设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，242,20,(),0 1.x x f x x x ⎧--≤≤=⎨<<⎩，则5()2f ＝（ ）A ．0B ． 1C ．12 D ．1-4.下列结论正确的是（ ）A ．111x x >⇒< B.12x x +≥C.11x y x y >⇒<D.22x y x y >⇒>5.若23a =，则3log 18=（ ） A.13a +B.13a -C.12a +D.12a -6.如图所示，四面体ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD 的正视图，左视图，俯视图依次是（用①②③④⑤⑥代表图形）（ ）A ．①②⑥B ．①②③C ．④⑤⑥D ．③④⑤7. 已知O 是坐标原点，点()11，-A ，若点()y x M ,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则OM OA ⋅的取值范围是（ ）A ．[]01，- B ．[]10， C ．[]20， D ．[]21，- 8. 执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．29. 抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，M 足抛物线C 上的点，若三角形OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．810. 已知函数=)(x f 221,0,2,0,x x x x -⎧-≥⎨+<⎩ =)(x g 22,0,1,0.x x x x x ⎧-≥⎪⎨<⎪⎩则函数)]([x g f 的所有零点之和是（ ）A.321+-B. 321+C.231+- D. 231+ 二．填空题（本大题共5个小题，每题5分，共25分）11. 设数列{n a }的前n 项和为2n S n =,中5a =___________ .12. 已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且(1)7m i ni +=+，则m nim ni +=- ___________13.已知1,2,,60a b a b ==<>= ，则2a b- = ___________14.已知2cos()63πα-=，且62ππα<<，则cos 2α= ___________ . 15. 设等比数列{}n a 满足公比,n q N a N **∈∈，且{}n a 中的任意两项之积也是该数列中的一项，若8112a =，则q 的所有可能取值的集合为___________三．解答题（本大题共6个小题，共75分） 16.（13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，350,5S S ==-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列21211{}n n a a -+的前n 项和.17.（13分）随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm ，求污损处的数据；（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高176cm 的同学被抽中的概率．18.（13分） 已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且满足222b c bc a +=+（1）求角A ；（2）若2a =，求ABC ∆的面积的最大值.19.（12分）（原创）已知1()1f x x =++（1）求函数()f x 在4x =处的切线方程（用一般式作答）；（2）令()2(1)1F x m x =-+，若关于x 的不等式()0F x ≤有实数解.求实数m 的取值范围.A20.（12分）如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AD DC ⊥，2AD =，4AB =，90ADF ∠=．（1）求证:AC FB ⊥（2）求几何体EF ABCD -的体积．21.（12分）（原创）已知椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F ，且与x 轴的一个交点为(1,0).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知椭圆C 过点，P 是椭圆C 上任意一点，在点P 处作椭圆C 的切线l ，12,F F 到l 的距离分别为12,d d .探究：12d d ⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是说明理由(提示：椭圆221mx ny +=在其上一点00(,)x y 处的切线方程是001mx x ny y +=)；（3）求（2）中12d d +的取值范围.命题人：周波涛 审题人：张志华2015年重庆一中高2015级高三上期一诊模拟考试数 学 答 案 解 析 （文科）2015.11．设集合2{|2150}M x x x =+-<，{17}N x x x =≥≤-或，则M N = A ．[1,3) B ．(5,3)- C ．(5,1]- D ．[7,3)- 答案：A2、对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件 答案：B3．设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，242,20,(),0 1.x x f x x x ⎧--≤≤=⎨<<⎩，则5()2f ＝A ．0B ． 1C ．12 D ．1-答案：D4.下列结论正确的是（ ）A ．111x x >⇒< B.12x x +≥C.11x y x y >⇒<D.22x y x y >⇒>答案：A5.若23a=，则3log 18=（ ）A.13a +B. 13a -C 12a +.D. 12a -答案：C6.如图所示，四面体ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD 的正视图，左视图，俯视图依次是（用①②③④⑤⑥代表图形）（ ）A ．①②⑥B ．①②③C ．④⑤⑥D ．③④⑤ 答案：B7. 已知O 是坐标原点，点()11，-A ，若点()y x M ,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则OM OA ⋅的取值范围是A ．[]01，- B ．[]10， C ．[]20， D ．[]21，- 答案：C8. 执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2答案：C9. 抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，M 足抛物线C 上的点，若三角形OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的值为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案：D10. 已知函数=)(x f 221,0,2,0,x x x x -⎧-≥⎨+<⎩ =)(x g 22,0,1,0.x x x x x ⎧-≥⎪⎨<⎪⎩则函数)]([x g f 的所有零点之和是（ ）A.321+-B. 321+C.231+- D. 231+ 答案：B11. 设数列{n a }的前n 项和为2n S n =,中5a = .答案：912. 已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且(1)7m i ni +=+，则m nim ni +=-答案：i 13.已知1,2,,60a b a b ==<>=，则2a b- =14.已知2cos()63πα-=，且62ππα<<，则cos 2α= .答案：15. 设等比数列{}n a 满足公比,n q N a N **∈∈，且{}n a中的任意两项之积也是该数列中的一项，若8112a =，则q 的所有可能取值的集合为【答案】392781{2,2,2,2,2} 解析：根据题意得对任意*12,n n N ∈有*n N ∈,使1212118118181222n n n n n n a a a qqq---=⇒=⋅，即128112n n n q --+=，因为*q N ∈，所以12811n n n --+是正整数1、3、9、27、81，q 的所有可能取值的集合为392781{2,2,2,2,2}.16.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，350,5S S ==-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列21211{}n n a a -+的前n 项和.解答： 设{}n a 的公差为d ，则由题得1113301,15105a d a d a d +=⎧⇒==-⎨+=-⎩则2n a n =-（2）由（1）得212111111()(32)(12)22321n n a a n n n n -+==-----则所求和为12nn -17.随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损． （Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm ，求污损处的数据；（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高176cm 的同学被抽中的概率． 解答： (1)15816216316816817017117918210a x +++++++++=170=解得a =179 所以污损处是9(2)设“身高为176 cm 的同学被抽中”的事件为A ，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件，∴P(A)＝410＝2518. 已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且满足222b c bc a +=+（1）求角A ；（2）若2a =，求ABC ∆的面积的最大值. 解答：（1）由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，则3A π=； （2）由题得22424b c bc bc bc +=+≥⇒≤，则1sin 2ABC S bc A b c ∆=≤=时取等号）故ABC ∆.19.（原创）已知1()1f x x =+（1）求函数()f x 在4x =处的切线方程（用一般式作答）；（2）令()2(1)1F x m x =-+，若关于x 的不等式()0F x ≤有实数解.求实数m 的取值范围. 解答：（1）由题21()f x x '=-，则721(4),(4)164f f '==，则所求切线为()2174416y x -=-即716+560x y -=（2）()021F x mx x ≤⇔≥++，显然0x =时不是不等式的解，故0x >，故1()0211()F x mx x m f x x ≤⇔≥++⇔≥++=由（1）可知min ()(1)4f x f ==，则4m ≥.20. 如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AD DC ⊥，2AD =，4AB =，90ADF ∠= ．（1）求证:AC FB ⊥（2）求几何体EF ABCD -的体积． 解答：（1）证明：由题意得，AD DC ⊥，AD DF ⊥，且DC DF D = ， ∴AD ⊥平面CDEF ， ∴AD FC ⊥， ………………2分 ∵四边形CDEF 为正方形. ∴DC FC ⊥由DC AD D = ∴FC ABCD ⊥平面 ∴A FC C ⊥ ………………4分 又∵四边形ABCD 为直角梯形，AB CD ，AD DC ⊥，2AD =，4AB =∴C A =C B = 则有222AC BC AB += ∴A C BC ⊥由BC FC C = ∴AC FCB ⊥平面 ∴AC FB ⊥ ……………6分 （２）连结EC ，过B 作CD 的垂线，垂足为N ， 易见BN ⊥平面CDEF ，且2BN =.…………8分∵EF ABCDV -E ABCD B ECF V V --=+ ……………9分 1133ABCD EFC S DE S BN =⋅+⋅△△163= ……………11分 ∴ 几何体EF ABCD -的体积为163 …………12分21.（原创）已知椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F，且与x 轴的一个交点为(1,0).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知椭圆C 过点，P 是椭圆C 上任意一点，在点P 处作椭圆C 的切线l ，12,F F 到l 的距离分别为12,d d .探究：12d d ⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是说明理由(提示：椭圆221mx ny +=在其上一点00(,)x y 处的切线方程是001mx x ny y +=)；（3）求（2）中12d d +的取值范围.解答：由题，21()2c b aa ==⇒=，因为椭圆C 与x 轴的一个交点为(1,0)，则 若1a =，则212b =，则椭圆C 方程为2221x y +=；若1b =，则22a =，则椭圆C 方程为2212y x +=. 故所求为者22112y x +=或2212y x +=因为椭圆C过点，故椭圆C 方程为2221x y +=，且12(F F ）设(,)P m n ，则l 的方程是21mx ny +=，则12d d ⋅11m -≤≤，故21102m ->，故212221124m d d m n -⋅=+，又因为2221m n +=，代入可得1212d d =，故12d d ⋅为定值12；由题12d d +==因为2102n ≤≤，故12d d +∈2].。

2015-2016学年重庆一中高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题（本大题12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）集合A＝{x∈N|x≤6}，B＝{x∈R|x2﹣3x＞0}，则A∩B＝（）A．{3，4，5}B．{4，5，6}C．{x|3＜x≤6}D．{x|3≤x＜6} 2．（5分）已知复数z满足：zi＝2+i（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．2i B．﹣2i C．2D．﹣23．（5分）已知条件，则使得条件p成立的一个充分不必要条件是（）A．x＞1B．x＞0C．x≤0或x≥1D．x＜0或x≥1 4．（5分）已知函数，则f（0）＝（）A．﹣1B．0C．1D．35．（5分）等差数列{a n}中，a1•a2015为方程x2﹣10x+21＝0的两根，则a2+a2014＝（）A．10B．15C．20D．406．（5分）若cosα+sinα＝，则的值为（）A．﹣1B．0C．D．7．（5分）设函数f（x）＝sin（x+θ）﹣cos（x+θ）（|θ|＜）的图象关于y轴对称，则角θ＝（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝2a•4x﹣2x﹣1，若关于x的方程f（x）＝0有实数解，则实数a 的取值范围为（）A．B．C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）9．（5分）在边长为1的正三角形ABC中，设，，则•＝（）A．﹣B．C．﹣D．10．（5分）在△ABC中，角，边AB＝1，则△ABC周长的取值范围是（）A．（2，3]B．[1，3]C．（0，2]D．（2，5]11．（5分）定义域为R的可导函数y＝f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＞f′（x）且f（0）＝1，则不等式＜1的解为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）12．（5分）已知a≥1，f（x）＝x3+3|x﹣a|，若函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M、m，则M﹣m的值为C（）A．8B．﹣a3﹣3a+4C．4D．﹣a3+3a+2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知幂函数f（x）＝x a的图象经过点，则实数a＝．14．（5分）已知向量满足||＝，||＝2，|+|＝，则向量与夹角的余弦值为．15．（5分）函数y＝cos2x+2cos x的最大值为．16．（5分）设函数f（x）是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f（x）﹣f（﹣x）＝0，当x∈[﹣1，0]，f（x）＝x2e﹣（x+1），若g（x）＝f（x）﹣log a x在x∈（0，+∞）有且仅有三个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题：（共70分）17．（12分）已知函数f（x）＝cos x+a•x，x∈R的图象在处的切线的斜率为0．（1）求实数a的值；（2）求f（x）的单调区间．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cos B＝b cos C．（1）求角B的大小，（2）若a＝3，△ABC的面积为，求的值．19．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x．（1）写出函数f（x），x∈R的解析式；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最小值h（a）．20．（12分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+12＝4S n+4n+1，n∈N*，且a2，a5，a14恰好是等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，（T n+）k≥3n﹣6恒成立，求实数k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝（m+）lnx+﹣x，（其中常数m＞0）．（1）当m＝2时，求f（x）的极大值；（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y＝f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f （x2）），使得曲线y＝f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD＝BC；（2）△BCD∽△GBD．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，求直线的倾斜角α的值．选修4-5：不等式证明选讲24．已知函数f（x）＝|2x+b|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2}，求实数b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x+3）+f（x+1）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．2015-2016学年重庆一中高三（上）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12道小题，每小题5分，共60分）1．【解答】解：∵集合A＝{x∈N|x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，B＝{x∈R|x2﹣3x＞0}＝{x∈R|x＜0或x＞3}∴A∩B＝{4，5，6}．故选：B．2．【解答】解：由zi＝2+i，得，∴z的虚部是﹣2．故选：D．3．【解答】解：当x＜0时，不等式成立．当x＞0时，则不等式等价为x≥1，所以p：x≥1或x＜0．A．x＞1是x≥1或x＜0成立的充分不必要条件．B．x＞0是x≥1或x＜0成立的既不充分也不必要条件．C．x≥1或x≤0是x≥1或x＜0成立的既不充分也不必要条件．D．x≥1或x＜0是x≥1或x＜0成立的充分且必要条件．故选：A．4．【解答】解：函数，则f（0）＝f（2）＝log22﹣1＝0．故选：B．5．【解答】解：由a1，a2015为方程x2﹣10x+21＝0的两根，得a1+a2015＝10，∵数列{a n}为等差数列，∴a2+a2014＝a1+a2015＝10．故选：A．6．【解答】解：∵sin（2α﹣）+1＝（sin2α﹣cos2α）+1＝sin2α﹣cos2α+1＝sin2α+2sin2α，∴原式＝＝＝＝2sinαcosα．又∵sin a+cos a＝，∴1+2sinαcosα＝，2sinαcosα＝﹣．∴原式＝﹣．故选：D．7．【解答】解：函数f（x）＝sin（x+θ）﹣cos（x+θ）＝，∵函数f（x）的图象关于y轴对称，∴当x＝0时，＝±1，又|θ|＜，解得，故选：A．8．【解答】解：∵2a•4x﹣2x﹣1＝0，∴a＝＝（+），∵+＞0，∴a＞0，故选：D．9．【解答】解：如图，根据条件：＝＝＝＝．故选：A．10．【解答】解：由正弦定理，即有a＝sin A，b＝sin B，则△ABC周长＝a+b+c＝sin A+sin B+1＝（sin A+sin B）+1＝[sin A+sin（﹣A）]+1＝（sin A+cos A）+1＝2sin（A+）+1，由0＜A＜，可得：＜A+＜，解得：sin（A+）≤1解得：2sin（A+）+1∈（2，3]．故选：A．11．【解答】解：设F（x）＝，则F′（x）＝，∵f（x）＞f′（x），∴F′（x）＜0，即函数F（x）在定义域上单调递减．∵f（0）＝1，∴不等式＜1等价为F（x）＜F（0），解得x＞0，故不等式的解集为（0，+∞）故选：B．12．【解答】解：∵a≥1，x∈[﹣1，1]，∴x﹣a≤0，∴f（x）＝x3+3|x﹣a|＝x3﹣3x+3a，∴f′（x）＝3x2﹣3，当x∈[﹣1，1]时，f′（x）≤0恒成立，故函数f（x）在[﹣1，1]上为减函数，故M﹣m＝f（﹣1）﹣f（1）＝﹣1+3+3a﹣（1﹣3+3a）＝4，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【解答】解：∵幂函数f（x）＝x a的图象经过点，∴，解得：a＝，故答案为：14．【解答】解：由||＝，||＝2，|+|＝，得，即，∴3+2×+4＝5，即cos＜，＞＝﹣．故答案为：﹣．15．【解答】解：∵y＝cos2x+2cos x＝2cos2x+2cos x﹣1＝2（cos x+）2﹣，∴当cos x＝1时，函数y＝cos2x+2cos x取最大值y max＝2（1+）2﹣＝3．故答案为：3．16．【解答】解：∵对任意的实数x，恒有f（x）﹣f（﹣x）＝0，∴函数f（x）是周期为2的偶函数，∵当x∈[﹣1，0]，f（x）＝x2e﹣（x+1），∴f′（x）＝2xe﹣（x+1）﹣x2e﹣（x+1）＜0，则函数f（x）在[﹣1，0]上递减，在（0，1]上递增，而g（x）＝f（x）﹣log a x在x∈（0，+∞）有且仅有三个零点可化为函数f（x）与y＝log a x在x∈（0，+∞）上有三个不同的交点，故作函数f（x）与y＝log a x在（0，+∞）上的图象可得，由图象可得，log a3＜1，log a5＞1，解得3＜a＜5，故答案为：（3，5）．三、解答题：（共70分）17．【解答】解：（1）函数f（x）＝cos x+a•x的导数为f′（x）＝a﹣sin x，由题意可得a﹣sin＝0，解得a＝；（2）由f′（x）＝﹣sin x＞0，解得2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z，由f′（x）＜0，解得2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，即有单调增区间为（2kπ﹣，2kπ+），单调减区间为（2kπ+，2kπ+），k∈Z．18．【解答】解：（1）∵（2a﹣c）cos B＝b cos C，由正弦定理得：（2sin A﹣sin C）cos B＝sin B•cos C，∴2sin A cos B＝sin C cos B+cos C sin B＝sin（B+C）＝sin A，∵0＜A＜π，∴sin A＞0，∴2cos B＝1，cos B＝，又0＜B＜π，∴B＝；（2）法一：∵a＝3，△ABC的面积为，∴•3c•sin＝，∴c＝2，b2＝22+32﹣2×2×3cos＝7，∴b＝，∴cos A＝＝，∴•＝bc cos（π﹣A）＝2×（﹣）＝﹣1．法二：•＝（﹣）＝||•||•cos＜，＞﹣＝2×3×﹣22＝﹣1．19．【解答】解：（1）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x．当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x所以：（2）①当a+1≤1时，即a≤0，g（x）min＝g（1）＝1﹣2a②当1＜a+1＜2时，即0＜a＜1③当a+1≥2时，即a≥1g（x）min＝g（2）＝2﹣2a综上：．故答案为：（1）（2）20．【解答】（Ⅰ）由题意，，当n≥2时，，∴4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝，，又a n＞0，∴a n+1＝a n+2．∴当n≥2时，{a n}是公差d＝2的等差数列．又a2，a5，a14构成等比数列，，，解得a2＝3，由条件可知，，∴a1＝1，又a2﹣a1＝3﹣1＝2，∴{a n}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列．数列{a n} 的通项公式为a n＝2n﹣1，则b1＝a2＝3，b2＝a5＝9，b3＝a14＝27，且{b n}是等比数列，∴数列{b n}的通项公式为．（Ⅱ）＝＝，∴对n∈N*恒成立，∴对n∈N*恒成立，令c n＝，c n﹣c n﹣1＝＝，当n≤3时，c n＞c n﹣1，当n≥4时，c n＜c n﹣1，∴，∴．21．【解答】解：（1）当m＝2时，（x＞0）令f′（x）＜0，可得或x＞2；令f′（x）＞0，可得，∴f（x）在和（2，+∞）上单调递减，在单调递增故（2）（x＞0，m＞0）①当0＜m＜1时，则，故x∈（0，m），f′（x）＜0；x∈（m，1）时，f′（x）＞0此时f（x）在（0，m）上单调递减，在（m，1）单调递增；②当m＝1时，则，故x∈（0，1），有恒成立，此时f（x）在（0，1）上单调递减；③当m＞1时，则，故时，f′（x）＜0；时，f′（x）＞0此时f（x）在上单调递减，在单调递增（3）由题意，可得f′（x1）＝f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）即⇒∵x1≠x2，由不等式性质可得恒成立，又x1，x2，m＞0∴⇒对m∈[3，+∞）恒成立令，则对m∈[3，+∞）恒成立∴g（m）在[3，+∞）上单调递增，∴故从而“对m∈[3，+∞）恒成立”等价于“”∴x1+x2的取值范围为考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．选修4-1：几何证明选讲22．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD＝DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF＝BD∴CF∥AD，CF＝AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF＝CD∵，∴BC＝AF，∴CD＝BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD＝∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG＝∠ADF＝∠DBC＝∠BDC．所以△BCD～△GBD．选修4-4：坐标系与参数方程23．【解答】解：（1）∵ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ可化为：ρ2＝4ρcosθ，∴x2+y2＝4x，∴（x﹣2）2+y2＝4．（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2＝4得：（t cosα﹣1）2+（t sinα）2＝4，化简得t2﹣2t cosα﹣3＝0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，∴|AB|＝|t1﹣t2|＝＝，∵|AB|＝，∴＝．∴cos．∵α∈[0，π），∴或．∴直线的倾斜角或．选修4-5：不等式证明选讲24．【解答】解：（Ⅰ）由不等式f（x）≤3可得|2x+b|≤3，解得≤x≤．再由不等式f（x）≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2}，可得＝﹣1，＝2，解得b＝﹣1．（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）＝|2x﹣1|，设g（x）＝f（x+3）+f（x+1），则g（x）＝|2x+5|+|2x+1|≥|（2x+5）﹣（2x+1）|＝4，若f（x+3）+f（x+1）≥m对一切实数x恒成立，应有4≥m．故实数m的取值范围为（﹣∞，4]．。

秘密★启用前2014年重庆一中高2015级高三上期第二次月考数 学 试 题 卷（文科）2014.10一、选择题：（每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知3sin ,(,)52πααπ=∈，则cos α的值为A. 34B.34-C. 45D.45-2.“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的( )条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要3.函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞4.已知21,e e 是夹角为32π的两个单位向量，若向量2123e e a -=，则=⋅1e aA ．2B ．4C ．5D ．7 5．已知等差数列{}n a 中，20132,a a 是方程0222=--x x 的两根，则=2014SA ．2014-B ．1007-C ．1007D ．20146. 函数()22xf x x =+-的零点所在的一个区间是 A ． (2,1)-- B ．(1,0)- C ． (0,1)D ．(1,2)7.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知命题:p 若22sin =A ，则45A =︒；命题:q 若cos cos a A bB =，则ABC ∆为等腰三角形或直角三角形，则下列的判断正确的是p 为真 B.p q ∧为假 C.q ⌝为真 D.p q ∨为假8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．316B ．332C ．16D ．329.设对任意实数[]1,1x ∈-，不等式230x ax a +-<总成立．则实数a 的取值范围是A ．0a >B ．12a >C ．14a >D ．012a a ><-或10.过双曲线)0(12222>>=-a b b y a x 的左焦点)0)(0,(>-c c F 作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线cx y 42=于点P ．若)(21OP OF OE +=，则双曲线的离心率为A ． 233+B ． 251+C ．25D ． 231+二、填空题：（每小题5分，共计25分，把答案填在答题卡的相应位置．）11.复数=z （i 是虚数单位），则2z z + .12.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()232xf x x m =-+（m 则(1)f = .13.不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++-0≥0≤20 ≥1y y x y x 所表示的平面区域面积为 .14．如图是某算法的程序框图，若任意输入1[,19]2中的实数x ，则输出的x 大于25的概率为 .设()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[,]x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]a b 称为“关联区间”．若2()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3] 上是“关联函数”，则m 的取值范围是.AM CP三、解答题：（本大题共6小题，共计75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.某公司近年来科研费用支出x 万元与公司所获得利润y 万元之间有如下的统计数据：（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+； （2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆy bx a =+的系数公式：1221ˆˆ,ni ii nii x y n x ybay ax xnx ==-⋅⋅==--∑∑参考数据：2×18+3×27+4×32+5×35=42017.已知322()2f x x ax a x =+-+．（1）若1a =，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）若0,>a 求函数()f x 的单调区间.18.先将函数)232cos()(π+=x x f 的图象上所有的点都向右平移12π个单位，再把所有的点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象. （1）求函数)(x g 的解析式和单调递减区间；（2）若A 为锐角三角形的内角，且31)(=A g ，求)2(Af 的值.19.已知三棱锥A BPC -中，AP ⊥PC ，BC AC ⊥,M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形． （1）求证：BC ⊥平面APC ；（2）若3BC =，10AB =，求三棱锥MDC B -的体积MDC B V -．20.已知数列{}n a 中，11,2a =点1(2,2)n n a a +-在直线1y x =+上，其中=1,2,3n .（1）求证：{}1n a -为等比数列并求出{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前,n n 项和为S 且111,2n nn b S b +==，令,nn n c a b =⋅{}n c 求数列的前n 项和n T 。

重庆一中2015届高三数学上学期期中试题 文一、选择题（每题5分，共10题）1.已知全集{}{}6,3,2,6,5,4,3,2,1==A U ，则U A =ð（ ） A ．{}54,1， B ．{}6,3,2 C ．{}6,4,1 D ．{}6,5,4 2.函数()()x x x f -+-=1lg 12的定义域为（ ）A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡121，C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 D.[)∞+，1 3.执行右图的程序，若输入的实数x =4，则输出结果为( )A.4B.3C.2D.144.函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x x y 2sin sin π的最小正周期是（ ）A.2πB. πC. 2πD. 4π 5.直线()011:1=-+-y x a l 和023:2=++ay x l 垂直，则实数a 的值为( ) A.21 B.23 C.41 D.43 6.甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表：从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛，最佳人选是（ ） A ． 甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7.直线02=-+y x 与圆()()12122=-+-y x 相交于B A ,两点，则弦=AB （ ）A.22B.23C.3D.28.若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是( )cm 3A.πB.π2C.π3D.π49.（原创）设实数x 和y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥+-092073032y x y x y x ，且y ax z +=取得最小值的最优解仅为点()2,1A ，则实数a 的取值范围是（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-31, B.⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-31, C.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，31 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,3110.已知正数,,a b c 满足,,a b ab a b c abc +=++=则c 的取值范围是（ ）A.⎥⎦⎤ ⎝⎛34,0 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛34,21 C.⎥⎦⎤⎝⎛3431， D.⎥⎦⎤⎝⎛34,1二、填空题（每题5分，共5题）11.命题“02,>∈∀xR x ”的否定是12.已知复数))(2(i x i z -+=为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数x 的值为13.若向量b a ρρ、的夹角为ο150，4,3==b a ρρ，则=+b a ρρ214.已知数列{}n a 满足：()11,111++==+n n a a a n n ()*∈N n ，则数列{}n a 的通项公式为____15.设n 为正整数，()n n f 131211++++=Λ，计算得()()(),258,24,232>>=f f f ()316>f ，观察上述结果，可推测一般的结论为三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程） 16.（原创）（本题满分13分）已知等差数列{}n a 满足：8,5625=+=a a a .⑴求{}n a 的通项公式；⑵若n an n a b 2+=，求数列{}n b 的前n 项和n S .17. （本题满分13分）从某校高三学生中抽取n 名学生参加数学竞赛，根据成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间[40, 100),且成绩在区间[70, 90)的学生人数是27人. ⑴求n 的值;⑵若从数学成绩（单位：分）在[40,60)的学生中随机选取 2人进行成绩分析，求至少有1人成绩在[40, 50)内的概率.18.（原创）（本题满分13分）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且有(2)cos cos a c B b C -=.⑴求角B 的大小；⑵设向量()()4,5,4cos 3,12cos =-+=n A A m ,且n m ⊥，求tan()4A π+的值.19.（原创）（本题满分12分）如图，已知ACD AB DE ACD DE ∆⊥,//,平面是 正三角形,22===AB DE AD ,且CD F 是的中点． ⑴求证：BCE AF 平面//； ⑵求四棱锥ABED C -的全面积.20. （本题满分12分）已知函数()x x x g ln 2+=，()x xm mx x f ln 2---=，m R ∈． ⑴求函数()g x 的极值；⑵若()()f x g x -在[)1,+∞上为单调函数，求m 的取值范围.21. （本题满分12分）已知椭圆222210)x y a b a b+=>>（的离心率3e =，过点A (0,)b -和B (,0)a. ⑴求椭圆的方程；⑵设12F F 、为椭圆的左、右焦点，过2F 作直线交椭圆于Q P ,两点，求1PQF ∆的内切圆半径r 的最大值.2014年重庆一中高2015级高三上期半期考试数 学 答 案(文科) 2014.11一、选择题1--5：AACBD 6--10:ADBCD 二、填空题 11.02,0≤∈∃x o R x 12.21- 13.214.n 12-15.())(222*∈+≥N n n f n三、解答题 16.⑴由条件知：⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+1186254111d a d a d a 故{}n a 的通项为n a n =⑵nn n b 2+=故()()()222121212211-++=--⋅++=+n n n n n n n S 17.⑴成绩在区间[)9070，的频率是：1-(0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54，∴ 27500.54n ==人．⑵成绩在区间[)4050，的学生人数是：50×0.04=2人， 成绩在区间[)5060，的学生人数是：50×0.06=3人， 设成绩在区间[)4050，的学生分别是A 1，A 2，成绩在区间[)5060，的学生分别是B 1，B 2，B 3，从成绩在[)6040，的学生中随机选取2人的所有结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)， (A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共10种情况．至少有1人成绩在[)5040，内的结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)共7种情况．∴ 至少有1人成绩在[)5040，内的概率P =107．18.⑴由条件)cos cos c B b C -=可得：()C B B C A cos sin cos sin sin 2=-整理得：()A C B C B C B B A sin sin sin cos cos sin cos sin 2=+=+=所以22cos =B ，又π<<B 0，故4π=B ⑵由n m ⊥可得：()()04cos 3412cos 5=-++A A 整理得：08cos 6cos 52=-+A A从而2cos 54cos -==A A 或（舍去） 又π<<A 0，A ∴为锐角故53sin =A ，43tan =A于是7tan 1tan 14tan =-+=⎪⎭⎫⎝⎛+AA A π 19.⑴取CE 中点P ，连结BP FP , ∵F 为CD 的中点，∴DE FP 21//又DE AB 21//∴FP AB // ∴ABPF 为平行四边形，∴BP AF //又∵AF ⊄平面BP BCE ,⊂平面BCE ， ∴AF //平面BCE . ⑵3=ABED S ，3=∆ACD S ，2=∆CDE S ，1=∆ABC S ，6=∆BCE S636++=全S20.（1）()22212xx x x x g -=+-='Θ 令()0>'x g 得：2>x ；令()0<'x g 得：2<x又因为()x g 的定义域为()∞+，0 故()x g 在()2,0上单调递减，在()+∞,2上单调递增 故()()2ln 12+==g x g 极小值，无极大值。

重庆市高三上学期期中考试卷数学文科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（每题5分，共10个，每题只有一个正确选项） 1．若集合A={1,2,3},B={20}x x -≤，则A B 等于（ ） A ．{1} B.{1,2} C.{1,2,3} D.∅ 2. 不等式102x x +≤-的解集是（ ） A ．(1,2]- B.(,1](2,)-∞-+∞ C.[1,2)- D.[2,1]- 3．命题2:",230"p x R x x ∀∈-+≤的否定是（ ） Ａ．2,230x R x x ∀∈-+≥ Ｂ．2000,230x R x x ∃∈-+>Ｃ．2,230x R x x ∀∈-+< Ｄ．2000,230x R x x ∃∈-+<4．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α//，m α//，则l m // C ．若l α//，m α⊂，则l m // D ．若l α⊥，l m //，则m α⊥ 5．若复数21iz i=-,则z 的实部为( ) A.2- B.1- C.1 D.2 6．向量a ,b 有|a|=1,|b|=3,a 、b 的夹角为600，则a ·(a +b )=（ ） A ．1 B.12 C.2 D.527．已知()f x 是R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=-，当(0,2)x ∈，2()2f x x =，则(11)f 等于（ ）A 5- B.4- C.3- D.2-8．一个空间几何体的三视图及部分数据如图，则这个几何体的体积是 ( ) A ．3 B ．52 C ．32D ．29.()f x 在(1,1)-上既是奇函数，又为减函数. 若2(1)(1)0f t f t -+->，则t 的取值范围是( )A ．12t t ><-或B ．1t <<C ．21t -<<D ．1t t <>或 10.数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项的和为（ ）A ．1830 B.1845 C.3660 D.3690第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在答题卡相应的位置上) 11．若函数1)1(2-=+x x f ，则)2(f ＝_____ _____12.. 用长为36m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为3:1，该长方体的最大体积是________3m ． 13.已知函数)(sin )(ϕω+=x A x f )2,0,0(πϕω<>>A 的一段图像如右图所示．则)(x f 的解析式是 。

重庆一中2015届高三上学期12月月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）设集合A={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，集合B={x|x2﹣4=0}，则A∩B=（）A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．∅2．（5分）函数y=3sin（3x+）﹣3的最小正周期为（）A．B．C．3πD．3．（5分）圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心坐标和半径分别是（）A．（1，﹣2），5 B．（1，﹣2），C．（﹣1，2），5 D．（﹣1，2），4．（5分）己知a∈R，则“a=±1”是“a2﹣1+（a﹣1）i为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9=π，则cos（a2+a8）的值为（）A．B．C．D．6．（5分）登山族为了了解某山高y（km）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表如下：气温（0C）18 13 10 ﹣1山高（km） 24 34 38 64由表中数据，得到线性回归方程=﹣2x+（∈R），由此估计山高为72km处气温的度数是（）A．﹣10 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣47．（5分）已知0＜a＜1，则a2、2a、log2a的大小关系是（）A．a2＞2a＞log2a B．2a＞a2＞log2a C．log2a＞a2＞2a D．2a＞log2a＞a28．（5分）程序框图表示求式子23×53×113×233×473×953的值，则判断框内可以填的条件为（）A．i≤90？B．i≤100？C．i≤200？D．i≤300？9．（5分）已知平面向量，的夹角为，且||=，||=2，在△ABC中，=2+2，=2﹣6，D为BC中点，则||=（）A．2 B．4 C．6 D．810．（5分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．[，1）D．[，1）二、填空题（本大题有5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）设x∈[0，4]，则x2≤4的概率是．12．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣6x﹣7=0相切，则p的值为．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为3，则正视图中的x=．14．（5分）已知b＞0，直线（b2+1）x﹣ay+2=0与直线x+b2y﹣1=0互相垂直，则ab的最小值为．15．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0．则a的取值范围是．三、解答题（6道大题，共75分）16．（13分）已知函数f（x）=x﹣1﹣2lnx（1）求曲线f（x）在点（1，f（x））处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间．17．（13分）某中学共有学生2000人，各年级男，女生人数如下表：一年级二年级三年级女生373 x y男生377 370 z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到2014-2015学年高二年级女生的概率是0.19．（1）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在2015届高三年级抽取多少名？（2）已知y≥245，z≥245，求2015届高三年级中女生比男生多的概率．18．（13分）已知数列{a n}满足a1=4，a n+1=3a n﹣2（n∈N+）（1）求证：数列{a n﹣1}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）令b n=log3（a1﹣1）+log3（a2﹣1）+…+log3（a n﹣1），求数列{}的前n项和T n．19．（12分）己知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanC=（Ⅰ）求角C大小；（Ⅱ）当c=1时，求a2+b2的取值范围．20．（12分）如图所示四棱锥E﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，AE⊥平面CDB，且AR=3，AB=6．（1）求证：AB⊥平面ADE；（2）求四棱锥E﹣ABCD的体积．21．（12分）设椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且AB⊥AF2．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，若点P （m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，求m的取值范围．重庆一中2015届高三上学期12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）设集合A={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，集合B={x|x2﹣4=0}，则A∩B=（）A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．∅考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先求出方程x2﹣4=0的实数根，即求出集合B，再由交集的运算求出A∩B．解答：解：由方程x2﹣4=0，解得x=±2，则B={﹣2，2}，又集合A={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，所以A∩B={﹣2}，故选：A．点评：本题考查了交集及其运算，属于基础题．2．（5分）函数y=3sin（3x+）﹣3的最小正周期为（）A．B．C．3πD．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据y=Asin（ωx+φ）的周期等于 T=，可得结论．解答：解：函数y=3sin（3x+）﹣3的最小正周期为T=，故选：B．点评：本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．3．（5分）圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心坐标和半径分别是（）A．（1，﹣2），5 B．（1，﹣2），C．（﹣1，2），5 D．（﹣1，2），考点：圆的标准方程．专题：计算题．分析：将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径即可．解答：解：圆的方程化为标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5，则圆心是（﹣1，2），半径为．故选D点评：此题考查了圆的标准方程，将圆方程化为标准方程是本题的突破点．4．（5分）己知a∈R，则“a=±1”是“a2﹣1+（a﹣1）i为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：若a2﹣1+（a﹣1）i为纯虚数，可得，解得a=﹣1．即可判断出．解答：解：若a2﹣1+（a﹣1）i为纯虚数，则，解得a=﹣1．∴“a=±1”是“a2﹣1+（a﹣1）i为纯虚数”必要也不充分条件．故选：B．点评：本题考查了简易逻辑的判定方法、纯虚数的定义，属于基础题．5．（5分）已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9=π，则cos（a2+a8）的值为（）A．B．C．D．考点：数列的应用．专题：计算题．分析：先利用等差数列的性质求出a5=，进而有a2+a8=，再代入所求即可．解答：解：因为{a n}为等差数列，且a1+a5+a9=π，由等差数列的性质；所以有a5=，所以a2+a8=，故cos（a2+a8）=﹣故选 A．点评：本题是对等差数列性质以及三角函数值的考查．这一类型题，考查的都是基本功，是基础题．6．（5分）登山族为了了解某山高y（km）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表如下：气温（0C）18 13 10 ﹣1山高（km） 24 34 38 64由表中数据，得到线性回归方程=﹣2x+（∈R），由此估计山高为72km处气温的度数是（）A．﹣10 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：求出==10，==40，代入回归方程，求出，将=72代入，即可求得x的估计值．解答：解：由题意，==10，==40，代入到线性回归方程=﹣2x+，可得=60，∴=﹣2x+60，∴由=﹣2x+60=72，可得x=﹣6，故选：C．点评：本题考查回归方程的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）已知0＜a＜1，则a2、2a、log2a的大小关系是（）A．a2＞2a＞log2a B．2a＞a2＞log2a C．log2a＞a2＞2a D．2a＞log2a＞a2考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数，幂函数，对数函数的性质分别判断取值范围即可得到结论．解答：解：∵0＜a＜1，∴0＜a2＜1，1＜2a＜2，log2a＜0，∴2a＞a2＞log2a，故选：B．点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数，幂函数，对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．8．（5分）程序框图表示求式子23×53×113×233×473×953的值，则判断框内可以填的条件为（）A．i≤90？B．i≤100？C．i≤200？D．i≤300？考点：循环结构．专题：图表型．分析：先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后输出的结果，从而得出所求．解答：解：根据题意可知该循环体运行情况如下：第1次：s=1×23，i=1×2+1=5第2次：s=23×53，i=5×2+1=11第3次：s=23×53×113，i=11×2+1=23第4次：s=23×53×113×233，i=23×2+1=47第5次：s=23×53×113×233×473，i=47×2+1=95第6次：s=23×53×113×233×473×953，i=95×2+1=191因为输出结果是23×53×113×233×473×953的值，结束循环，判断框应该是i≤100？．故选B．点评：本题主要考查了循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，以及周期性的运用，属于基础题．新课改地区2015届高考常考题型．也可以利用循环的规律求解．9．（5分）已知平面向量，的夹角为，且||=，||=2，在△ABC中，=2+2，=2﹣6，D为BC中点，则||=（）A．2 B．4 C．6 D．8考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知中平面向量，的夹角为，且||=，||=2，=3，再由D为边BC 的中点，==2，利用平方法可求出2=4，进而得到答案．解答：解：∵平面向量，的夹角为，且||=，||=2，∴=||||cos=3，∵由D为边BC的中点，∴==2，∴2=（2）2=4，∴=2；故选：A．点评：本题考查了平面向量数量积，向量的模，一般地求向量的模如果没有坐标，可以通过向量的平方求模．10．（5分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．[，1）D．[，1）考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：作出简图，则＞，则e=．解答：解：由题意，如图若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，由∠APO＞45°，即sin∠APO＞sin45°，即＞，则e=，故选A．点评：本题考查了椭圆的基本性质应用，属于基础题．二、填空题（本大题有5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）设x∈[0，4]，则x2≤4的概率是．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：据题意，所有事件构成的是区间，属于几何概型，求出区间长度，利用几何概型概率公式求出概率．解答：解：x对应的所有结果构成的区间长度是4﹣0=4，∵x2≤4，x∈[0，4]，∴0≤x≤2∴满足x2≤4的x构成的区间长度是2﹣0=2，由几何概型概率公式得P=；故答案为：点评：本题考查几何概型的概率求法，利用几何概型的概率公式求事件的概率关键是明确基本事件对应的测度是区域长度，还是区域面积或者体积．12．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣6x﹣7=0相切，则p的值为2．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题．分析：先表示出准线方程，然后根据抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到p的值．解答：解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，所以3+=4，解得p=2．故答案为：2点评：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系，理解直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为3，则正视图中的x=3．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA=x，底面是一个上下边分别为1，2，高为2的直角梯形．据此即可得出答案．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA=x，底面是一个上下边分别为1，2，高为2的直角梯形．∴V==3，解得x=3，故答案为3．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．14．（5分）已知b＞0，直线（b2+1）x﹣ay+2=0与直线x+b2y﹣1=0互相垂直，则ab的最小值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用相互垂直的直线与斜率之间的关系可得ab2=b2+1．再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：当a=0时，不满足条件，舍去．当a≠0，b＞0时，直线（b2+1）x﹣ay+2=0与直线x+b2y﹣1=0的斜率分别为，﹣．∵两条直线互相垂直，∴•（﹣）=﹣1．化为ab2=b2+1．∴ab==b+=2，当且仅当b=1时取等号．∴ab的最小值为2．点评：本题考查了相互垂直的直线与斜率之间的关系、基本不等式的性质，属于基础题．15．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0．则a的取值范围是．考点：利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，求出函数的导数，利用导数和极值之间的关系转化为求极小值f（）＞0，解出即可．解答：解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0） 0 （0，）（，+∞）f′（x）+ 0 ﹣ 0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f （x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：x （﹣∞，）（，0）0 （0，+∞）f′（x）﹣ 0 + 0 ﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值f（）=a（）3﹣3（）2+1＞0，化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．三、解答题（6道大题，共75分）16．（13分）已知函数f（x）=x﹣1﹣2lnx（1）求曲线f（x）在点（1，f（x））处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数，再求得f（1），然后利用直线方程的点斜式得答案；（2）求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在不同区间段内的符号得到原函数的单调期间．解答：解：（1）由f（x）=x﹣1﹣2lnx，得，则f′（1）=﹣1，又f（1）=1﹣1﹣2ln1=0，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣1=0；（2）由（1）知（x＞0），当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的单调区间，是中档题．17．（13分）某中学共有学生2000人，各年级男，女生人数如下表：一年级二年级三年级女生373 x y男生377 370 z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到2014-2015学年高二年级女生的概率是0.19．（1）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在2015届高三年级抽取多少名？（2）已知y≥245，z≥245，求2015届高三年级中女生比男生多的概率．考点：分层抽样方法；等可能事件的概率．专题：计算题．分析：（1）先根据抽到2014-2015学年高二年级女生的概率是0.19，做出2014-2015学年高二女生的人数，再用全校的人数减去2014-2015学年高一和2014-2015学年高二的人数，得到2015届高三的人数，全校要抽取48人，做出每个个体被抽到的概率，做出2015届高三被抽到的人数．（2）设出2015届高三年级女生比男生多的事件为A，2015届高三年级女生，男生数记为（y，z），因为y+z=500，且y，z∈N，列举出基本事件空间包含的基本事件有共11个，事件A包含的基本事件数，得到结果．解答：解：（1）∵，∴x=3802015届高三年级人数为y+z=2000﹣（373+377+380+370）=500现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在2015届高三年级抽取的人数为（名）．（2）设2015届高三年级女生比男生多的事件为A，2015届高三年级女生，男生数记为（y，z），由（2）知y+z=500，且y，z∈N，基本事件空间包含的基本事件有（245，255），（246，254），（247，253），┅，（255，245）共11个．事件A包含的基本事件（251，249），（252，248），（253，247），（254，246），（255，245）共5个．∴点评：本题考查等可能事件的概率，考查分层抽样，是一个统计的综合题，题目运算量不大，也没有难理解的知识点，是一个基础题．18．（13分）已知数列{a n}满足a1=4，a n+1=3a n﹣2（n∈N+）（1）求证：数列{a n﹣1}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）令b n=log3（a1﹣1）+log3（a2﹣1）+…+log3（a n﹣1），求数列{}的前n项和T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）由a n+1=3a n﹣2（n∈N+），变形为a n+1﹣1=3（a n﹣1），即可证明．（II）由（I）可得log3（a n﹣1）=n．可得b n=1+2+…+n=．可得==2．利用“裂项求和”即可得出．解答：（I）证明：∵a n+1=3a n﹣2（n∈N+），∴a n+1﹣1=3（a n﹣1），∴数列{a n﹣1}为等比数列，a1﹣1=3．∴a n﹣1=3n，∴．（II）解：由（I）可得log3（a n﹣1）=n．∴b n=log3（a1﹣1）+log3（a2﹣1）+…+log3（a n﹣1）=1+2+…+n=．∴==2．∴数列{}的前n项和T n=+…+==．点评：本题考查了等比数列的定义、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）己知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanC=（Ⅰ）求角C大小；（Ⅱ）当c=1时，求a2+b2的取值范围．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题．分析：（I ）利用锐角△ABC中，sinC=，求出角C的大小．（II）先求得B+A=150°，根据B、A都是锐角求出A的范围，由正弦定理得到a=2sinA，b=2sinB=2sin（A+30°），根据 a2+b2=4+2sin（2A﹣60°）及A的范围，得（2A﹣60°），从而得到a2+b2的范围．解答：解：（I ）由已知及余弦定理，得tanC===，∴sinC=，故锐角C=．（II）当C=1时，∵B+A=150°，∴B=150°﹣A．由题意得，∴60°＜A＜90°．由=2，得 a=2sinA，b=2sinB=2sin（A+30°），∴a2+b2=4[sin2A+sin2（A+30°）]=4[+]=4[1﹣cos2A﹣（cosA﹣sin2A）]=4+2sin（2A﹣60°）．∵60°＜A＜90°，∴（2A﹣60°）．∴7＜a2+b2≤4+2．点评：本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理得应用，其中判断sin（2A﹣60°）的取值范围是本题的难点．20．（12分）如图所示四棱锥E﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，AE⊥平面CDB，且AR=3，AB=6．（1）求证：AB⊥平面ADE；（2）求四棱锥E﹣ABCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由已知得AB⊥CD，CD⊥AD，由此能证明AB⊥平面ADB．（2）过点E作EF⊥AD于F，过点B作BF⊥AD于点F，由此能求出四棱锥E﹣ABCD的体积．解答：（1）证明：∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDB，∴AB⊥CD，在正方形ABCD中，CD⊥AD，∵AD∩AB=A，∴CD⊥平面ADB，∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADB．（2）解：在Rt△ADB中，AB=3，AD=6，∴DE==3，过点E作EF⊥AD于F，∵DE==3，过点B作BF⊥AD于点F，∵AB⊥平面ADB，EF⊂平面ADE，∴EF⊥AB，∵AD∩AB=A，∴EF⊥平面ABCD，∵AD•EF=AE•DE，∴EF==，又正方形ABCD的面积S ABCD=36，∴四棱锥E﹣ABCD的体积V===18．点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．（12分）设椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且AB⊥AF2．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，若点P （m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，求m的取值范围．考点：圆与圆锥曲线的综合；直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质．专题：综合题．分析：（Ⅰ）由题意知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b），由知F1为BF2的中点，由AB⊥AF2，知Rt△ABF2中，BF22=AB2+AF22，由此能求出椭圆的离心率．（Ⅱ）由，知，，，Rt△ABF2的外接圆圆心为（﹣，0），半径r=a，所以，由此能求出椭圆方程．（Ⅲ）由F2（1，0），l：y=k（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），由，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此能求出m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由题意知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b）∵知F1为BF2的中点，AB⊥AF2∴Rt△ABF2中，BF22=AB2+AF22，又a2=b2+c2∴a=2c故椭圆的离心率…（3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知得，于是，，Rt△ABF2的外接圆圆心为（﹣a，0），半径r=a，所以，解得a=2，∴c=1，，所求椭圆方程为…（6分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知F2（1，0），l：y=k（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），由，代入得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0则，y1+y2=k（x1+x2﹣2）…（8分）由于菱形对角线垂直，则故x1+x2﹣2m+k（y1+y2）=0即x1+x2﹣2m+k2（x1+x2﹣2）=0，…（10分）由已知条件知k≠0，∴∴故m的取值范围是．…（12分）点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．。

某某市某某一中2015届高三数学上学期第二次月考试题 文（含解析）【试卷综析】试题紧扣教材，内容全面，题型设计合理、规X ，体现了新课程数学教学的目标和要求，能较全面的考查学生对数学思想方法的应用及数学知识的掌握情况。

本试题知识点覆盖面广，重视基本概念、基础知识、基本技能的考察，同时也考查了逻辑思维能力，运算能力、空间想象能力以及运用所学数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。

一、选择题：（每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）【题文】1.已知3sin ,(,)52πααπ=∈，则cos α的值为 A. 34B. 34-C. 45D. 45-【知识点】两角和与差的余弦函数．C5 【答案解析】D 解析：已知α∈（，π），则α的中终边在第二象限内．已知sinα=根据三角恒等式sin 2α+cos 2α=1，进一步求出cosα=﹣，故选：D ． 【思路点拨】首先根据α所在的象限，利用已知条件求得cosα值的符号，然后根据sin 2α+cos 2α=1进一步求出cosα的值．【题文】2.“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的( )条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要【知识点】充要条件．A2【答案解析】B 解析：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln （x+1）＜0； ∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x ＜0，∴x＜0， ∴“x＜0”是ln （x+1）＜0的必要不充分条件． 故选：B ．【思路点拨】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【题文】3.函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞D ．[1,1)(1,)-+∞【知识点】函数的定义域及其求法．B1 【答案解析】C 解析：要使函数有意义需，解得x ＞﹣1且x≠1．∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选C ．【思路点拨】依题意可知要使函数有意义需要x+1＞0且x ﹣1≠0，进而可求得x 的X 围．【题文】4.已知21,e e 是夹角为32π的两个单位向量，若向量2123e e a -=，则=⋅1e aA ．2B ．4C ．5D ．7 【知识点】平面向量数量积的运算．F3 【答案解析】B 解析：∵，是夹角为的两个单位向量，且=3﹣2，∴•=（3﹣2）•=3﹣2=3﹣2×1×1×cos =4，故选：B【思路点拨】由题意可得•=（3﹣2）•=3﹣2，代入已知数据化简可得．【题文】5．已知等差数列{}n a 中，20132,a a 是方程0222=--x x 的两根，则=2014SA ．2014-B ．1007-C ．1007D ．2014 【知识点】等差数列的性质．D2【答案解析】D 解析：∵等差数列{a n }中，a 2，a 2013是方程x 2﹣2x ﹣2=0的两根， ∴a 2+a 2013=2，∴a 1+a 2014=a 2+a 2013=2，∴S 2014==2014故选：D ．【思路点拨】由韦达定理和等差数列的求和公式和性质可得S 2014==，计算可得．【题文】6. 函数()22xf x x =+-的零点所在的一个区间是 A ．(2,1)-- B ．(1,0)- C ．(0,1) D ．(1,2)【知识点】函数零点的判定定理．B9【答案解析】C 解析：∵f（x ）=2x+x ﹣2在R 上单调递增又∵f（0）=﹣1＜0，f （1）=1＞0由函数的零点判定定理可知，函数的零点所在的一个区间是（0，1） 故选C.【思路点拨】利用函数的零点判定定理，先判断函数的单调性，然后判断端点值的符合关系．【题文】7.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知命题:p 若22sin =A ，则45A =︒；命题:q 若cos cos a A bB =，则ABC ∆为等腰三角形或直角三角形，则下列的判断正确的是p 为真 B.p q ∧为假 C.q ⌝为真 D.p q ∨为假【知识点】复合命题的真假．A2【答案解析】B 解析：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 由若可得A=45°或A=135°．故p ：若，则A=45°为假命题；在△ABC 中，∵cosA=，cosB=，∴•a=•b，化简得：a 2c 2﹣a 4=b 2c 2﹣b 4，即（a 2﹣b 2）c 2=（a 2﹣b 2）（a 2+b 2），①若a 2﹣b 2=0时，a=b ，此时△ABC 是等腰三角形；②若a 2﹣b 2≠0，a 2+b 2=c 2，此时△ABC 是直角三角形， 所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．即q 为真． ∴￢p 为真命题，￢q 为假命题 ∴p∧q 为假命题，p∨q 为真命题． 故选B ．【思路点拨】由题意可得p ：若，则A=45°为假命题，命题q ：若acosA=bcosB ，则△ABC 为等腰三角形或直角三角形为真命题，从而可求￢p 为真命题，￢q 为假命题，从而可判断．【题文】8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．316B ．332C ．16D ．32【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案解析】A 解析：由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为2，四棱锥的底面是对角线长为4的正方形，∴底面正方形的边长为2， ∴几何体的体积V=××2=．故选：A ．【思路点拨】几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，由三视图判断四棱锥的高为4，底面是对角线长为4的正方形，求出正方形的边长，把数据代入棱锥的体积公式计算． 【题文】9.设对任意实数[]1,1x ∈-，不等式230x ax a +-<总成立．则实数a 的取值X 围是A ．0a >B ．12a >C ．14a >D ．012a a ><-或【知识点】函数恒成立问题；二次函数的性质．B5【答案解析】B 解析：设f （x ）=x 2+ax ﹣3a ，∵对任意实数x ∈[﹣1，1]，不等式x 2+ax ﹣3a ＜0恒成立，∴，即，∴，故．故选B ．【思路点拨】设f （x ）=x 2+ax ﹣3a ，由对任意实数x ∈[﹣1，1]，不等式x 2+ax ﹣3a ＜0恒成立，知，由此能求出实数a 的X 围．【题文】10.过双曲线)0(12222>>=-a b b y a x 的左焦点)0)(0,(>-c c F 作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线cx y 42=于点P ．若)(21OP OF OE +=，则双曲线的离心率为A ． 233+B ． 251+C ． 25D ． 231+【知识点】双曲线的简单性质．H6【答案解析】B 解析：设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c ，0）∵抛物线为y 2=4cx ，∴F'为抛物线的焦点，O 为FF'的中点， ∵，∴E 为FP 的中点，∴OE 为△PFF'的中位线，∵O 为FF'的中点，∴OE∥PF'，∵|OE|=a ，∴|PF'|=2a ∵PF 切圆O 于E ，∴OE⊥PF，∴PF'⊥PF， ∵|FF'|=2c，∴|PF|=2b 设P （x ，y ），则x+c=2a ，∴x=2a﹣c过点F 作x 轴的垂线，则点P 到该垂线的距离为2a由勾股定理 y 2+4a 2=4b 2∴4c（2a ﹣c ）+4a 2=4（c 2﹣a 2） ∴e 2﹣e ﹣1=0，∵e＞1，∴e=．故选B ．【思路点拨】先设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c ，0），因为抛物线为y 2=4cx ，所以F'为抛物线的焦点，O 为FF'的中点，又可得E 为FP 的中点，所以OE 为△PFF'的中位线，得到|PF|=2b ，再设P （x ，y ） 过点F 作x 轴的垂线，由勾股定理得出关于a ，c 的关系式，最后即可求得离心率．二、填空题：（每小题5分，共计25分，把答案填在答题卡的相应位置．）【题文】11.复数132-+=iz i 是虚数单位），则2z z + .【知识点】复数代数形式的混合运算．L4开1n =结是输出x 否 输入21x x =-1=+n n2?n ≤ 【答案解析】-1 解析：∵复数z=，z 2=i ，∴z+z 2=﹣1．故答案为：﹣1．【思路点拨】利用复数的运算法则即可得出．【题文】12.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()232xf x x m =-+（m 为实常数），则(1)f = . 【知识点】函数奇偶性的性质．B4【答案解析】25-解析：∵f（x ）为定义在R 上的奇函数，∴f（0）=0，即1+2m=0，解得m=﹣， ∴f（﹣1）=﹣f （1）==，∴f（1）=， 故答案为：【思路点拨】根据函数是奇函数，由f （0）=0，可得m ，然后利用f （﹣1）=﹣f （1），即可得到结论．【题文】13.不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++-0≥0≤20 ≥1y y x y x 所表示的平面区域面积为 .【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域．E5【答案解析】49解析：作出不等式组对应的平面区域如图：则A （﹣1，0），C （2，0），由，解得，即B （，），则三角形的面积S==，故答案为：【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，根据对应图形的面积公式即可得到结论．【题文】14．如图是某算法的程序框图，若任意输入1[,19]2中的实数x ，则输出的x 大于25的概率为 . 【知识点】循环结构．L1【答案解析】2437 解析：根据算法的程序框图，若任意输入[，19]中的实数x ，则输出的是2（2x ﹣1）﹣1=4x ﹣3，由4x ﹣3＞25，得x ＞7．此数大于0.5而小于等于19，则构成的区域长度为：19﹣7=12， 在区间[，19]上任取一个数x 构成的区域长度为19﹣， 输出的x 大于25的概率为=；故答案为：．【思路点拨】利用程序框图可得所有的结果2（2x ﹣1）﹣1＞25，解此不等式求出x 的取值X 围，是几何概型中的长度类型，由“输入[，19]中的实数x“求出构成的区域长度，再求出不等式求出x 的取值X 围构成的区域长度，再求两长度的比值．由此求得输出的x 大于25的概率．【题文】15.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[,]x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]a b 称为“关联区间”．若2()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3] 上是“关联函数”，则m 的取值X 围是 .【知识点】函数的零点；函数的值．B1 B9【答案解析】9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦ 解析：∵f （x ）=x 2﹣3x+4与g （x ）=2x+m 在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 2﹣5x+4﹣m 在[0，3]上有两个不同的零点，x 23 4 5 Y18 27 32 35故有，即 ，解得﹣＜m≤﹣2，故答案为 ．【思路点拨】由题意可得h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 2﹣5x+4﹣m 在[0，3]上有两个不同的零点，故有，由此求得m 的取值X 围．三、解答题：（本大题共6小题，共计75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.某公司近年来科研费用支出x 万元与公司所获得利润y 万元之间有如下的统计数据： （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+； （2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆy bx a =+的系数公式：1221ˆˆ,ni ii nii x y n x ybay ax xnx ==-⋅⋅==--∑∑参考数据：2×18+3×27+4×32+5×35=420 【知识点】线性回归方程．I2【答案解析】(1)5.68.4y x ∧=+（2）64.4万元解析：(1)2345182732353.5,2844x y ++=+++====，41218327432532420i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，4222221234554i x==+++=∑，………………………………………5分412242144204 3.5284203925.6,5449544 3.54i ii ii x yx y b xx--∧=-=--⨯⨯-====--⨯-∑∑28 5.6 3.58.4,a y b x ∧-∧-=-=-⨯=………………………9分所求线性回归方程为:5.68.4y x ∧=+．………………………………10分（2）当10x =时,5.6108.464.4y ∧=⨯+=(万元)，故预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润为64.4万元………………13分 【思路点拨】(1) 根据表中所给的数据，做出利用最小二乘法所用的四个量，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．（2）把所给的x 的值，代入上一问求出的线性回归方程中，做出对应的y 的值，这是一个估计值，是一个预报值．【题文】17.已知322()2f x x ax a x =+-+．（1）若1a =，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）若0,>a 求函数()f x 的单调区间.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．B12【答案解析】(1)014=--y x （2）单调递减区间为(,)3a a -，单调递增区间为(,)a -∞-和(,)3a+∞.解析：（1）1=a ∴2)(23+-+=x x x x f ∴123)(2-+='x x x f ∴=k 4)1(='f ， 又3)1(=f ，所以切点坐标为)3,1(∴ 所求切线方程为)1(43-=-x y ，即014=--y x . …………… 6分（2）22()32()(3)f x x ax a x a x a '=+-=+- 由()0f x '= 得x a =- 或3ax =…………… 8分0a >，由()0f x '<， 得3a a x -<<．由()0f x '>， 得x a <-或3ax >…………… 11分此时()f x 的单调递减区间为(,)3a a -，单调递增区间为(,)a -∞-和(,)3a +∞.……13分【思路点拨】（1）先求出函数的表达式，通过求导得出斜率k 的值，再求出切点坐标，从而求出切线方程；（2）先求出函数的导数，分别令f′（x ）＞0，f′（x ）＜0，从而求出函数的单调区间．【题文】18.先将函数)232cos()(π+=x x f 的图象上所有的点都向右平移12π个单位，再把所有的点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象. （1）求函数)(x g 的解析式和单调递减区间；（2）若A 为锐角三角形的内角，且31)(=A g ，求)2(Af 的值.【知识点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性；余弦函数的单调性．C4【答案解析】(1))6sin()(π-=x x g ,单调递减区间为).](235,232[Z k k k ∈++ππππ（2）6解析：（1）x x x f 2sin )232cos()(=+=π，∴依题意，有)6sin()(π-=x x g ，…………… 4分 由πππππk x k 223622+≤-≤+得：ππππk x k 235232+≤≤+，.Z k ∈()g x ∴它的单调递减区间为).](235,232[Z k k k ∈++ππππ…………… 8分（2）由（1）知，31)6sin()(=-=πA A g ，A 是锐角A BM CDP260ππ<-<∴A ，.322)6cos(=-∴πA ∴.6322213222331]6)6sin[(sin )2(+=⨯+⨯=+-==ππA A A f ………… 13分【思路点拨】（1）依题意，易求g （x ）=sin （x ﹣），利用正弦函数的单调性可求得函数g（x ）的单调递减区间；（2）由（1）知，g （A ）=sin （A ﹣）=，易知0＜A ﹣＜，于是得cos （A ﹣）=，f （）=sinA=sin[（A ﹣）+]，利用两角和的正弦即可求得答案．【题文】19.已知三棱锥A BPC -中，AP ⊥PC ，BC AC ⊥,M 为AB 的中点，D 为PB的中点，且△PMB 为正三角形． （1）求证：BC ⊥平面APC ；（2）若3BC =，10AB =，求三棱锥MDC B -的体积MDC B V -．【知识点】直线与平面垂直的判定．G5【答案解析】(1)见解析；（2）32解析：（1）证明：∵△PMB 为正三角形， 且D 为PB 的中点，∴MD ⊥PB ．又∵M 为AB 的中点，D 为PB 的中点， ∴MD//AP ，∴AP ⊥PB ．又已知AP ⊥PC ，∴AP ⊥平面PBC ， ∴AP ⊥BC ，又∵AC ⊥BC ，ACAP A =，∴BC ⊥平面APC ，…………… 6分 （2）解：有--=M BCD B MDC V V .∵AB=10，∴MB=PB=5，又BC=3，BC PC ⊥，4PC ∴=， ∴11324BDC PBC S S PC BC ==⋅=△△．又532MD =15332△-∴=⋅=M BCD BDC V MD S ．…………… 12分4【思路点拨】（1）运用等边三角形的性质和中位线定理，证得AP ⊥平面PBC ，再由线面垂直的性质得，AP ⊥BC ，结合条件AC ⊥BC ，即可得证；（2）运用V M ﹣BCD =V B ﹣MDC ．由棱锥的体积公式，计算三角形BCD 的面积和MD ，即可得到．【题文】20.已知数列{}n a 中，11,2a =点1(2,2)n n a a +-在直线1y x =+上，其中=1,2,3n .（1）求证：{}1n a -为等比数列并求出{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前,n n 项和为S 且111,2n nn b S b +==，令,nn n c a b =⋅{}n c 求数列的前n 项和n T 。