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09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。
试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。
（15分）解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设 ：（1）地面为连续曲面（2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。
以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。
当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。
容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。
为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和，()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。
由假设（1），()f θ,()g θ均为θ的连续函数。
又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（∀θ）。
不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。
证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。
作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。
数学建模 试卷及参考答案一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分）1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分）答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。
2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分)答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。
3、人工神经网络方法有什么特点？(5分)答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。
二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）1、 某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达山顶并留宿.次日早8:00沿同一路径下山,下午5:00回到旅店.证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) 证明:记出发时刻为t=a,到达目的时刻为t=b,从旅店到山顶的路程为s.设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t),t 是一天内时刻变量，则f(t),g(t)在[a,b]是连续函数。
作辅助函数F(t)=f(t)-g(t),它也是连续的，则由f(a)=0,f(b)>0和g(a)>0,g(b)=0,可知F （a ）<0, F(b)>0,由介值定理知存在t0属于(a,b)使F(t0)=0, 即f(t0)=g(t0) 。
2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分)解:模型构成记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，k=1，2,........，k x ，k y =0，1，2，3。
将二维向量k s =（k x ，k y ）定义为状态。
安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S 。
葡萄酒的评价摘要葡萄酒的评价结果反映了葡萄酒的优劣程度，而葡萄酒的质量是由多种因素综合决定的。
本文综合考虑了评酒员对葡萄酒的品尝评分、酿酒葡萄及葡萄酒的理化指标等因素，建立了相应的数学模型，利用excel软件，C++编程，变量的相关分析及统计学相关知识等对模型求解，并对所得结果分析比较，对葡萄酒进行评价。
针对问题一，根据附件1中两组品酒员对红、白葡萄酒的品尝评分，分别计算出两组品酒员对红、白葡萄酒各酒样品的评分总值及均值，确定出各酒样品的质量。
通过欧式距离公式，计算出两组品酒员的评价结果差异性数据，得出两组品酒员的评价结果都存在显著性差异。
然后通过计算两组品酒员对两种酒的评价总分的方差均值，判断评价结果的稳定性，从而得出第二组的评价结果更可信。
针对问题二，根据附件2中酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标，通过聚类算法对红、白两种葡萄进行聚类划分，将酒样品分为4类。
然后根据葡萄酒质量，划分出样品的等级。
再由葡萄酒样品等级，对聚类后的酿酒葡萄进行分级。
针对问题三，根据附件2，可以得出葡萄酒中的一些物质含量相对于葡萄中的一些物质含量有所减少或增加。
在葡萄酒的制作过程中，由于陈酿条件和发酵工艺及条件可能会造成物质的流失，导致酒中物质含量的减少，而葡萄酒中含量相对增加的物质可能是由葡萄中与其不相关的物质转化而形成的。
通过分析葡萄酒中含量增加的指标与葡萄的各理化指标的相关性系数，判断出酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。
针对问题四，对葡萄的理化指标与葡萄酒的评价指标进行相关性分析，结合问题三的结论，得出酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响。
根据附件1，可知评价葡萄酒要综合考虑香气、口感等方面，而葡萄和葡萄酒的理化指标主要与口感相关，但并不能决定葡萄酒的质量。
芳香物质与香气有关，在一定程度上也可能会影响葡萄酒的质量。
分别对葡萄和葡萄酒的芳香物质进行聚类分析，将聚类结果与葡萄酒质量等级比较，从而得出结论。
最后，我们就模型存在的不足之处提出了改进方案，并对优缺点进行了分析。
数学建模国赛2013年b题【最新版】目录一、数学建模国赛 2013 年 b 题概述二、题目背景与要求三、题目分析与解题思路四、解答过程与结果五、总结与启示正文【一、数学建模国赛 2013 年 b 题概述】数学建模国赛是一项面向全国大学生的竞赛活动，旨在培养学生的创新意识、团队协作精神和实际问题解决能力。
2013 年的 b 题是关于传染病传播的动力学模型，要求参赛选手运用数学方法对传染病的传播进行建模和预测。
【二、题目背景与要求】传染病在全球范围内造成了巨大的经济损失和人员伤亡。
因此，研究传染病的传播规律，预测疫情发展趋势，对制定防控措施具有重要意义。
2013 年 b 题要求参赛选手建立一个传染病传播的动力学模型，并根据实际数据进行参数估计和模型验证，最终预测疫情在未来一段时间内的传播情况。
【三、题目分析与解题思路】传染病传播的动力学模型主要包括三个基本要素：感染者、易感者和康复者。
根据题目给出的数据，我们需要建立一个包含这三个要素的数学模型，并利用相关数学方法对模型进行求解。
【四、解答过程与结果】解答过程主要包括以下几个步骤：1.根据题目描述，确定感染者、易感者和康复者之间的转换关系。
2.根据实际数据，建立初始值和边界条件。
3.利用微分方程等数学方法，求解模型。
4.对模型进行参数估计和模型验证。
5.根据模型预测疫情在未来一段时间内的传播情况。
通过以上步骤，我们可以得到传染病在未来一段时间内的传播趋势，从而为政府和相关部门制定防控措施提供科学依据。
【五、总结与启示】数学建模国赛 2013 年 b 题的解答过程充分体现了数学方法在解决实际问题中的应用价值。
通过参加此类竞赛，学生可以提高自己的数学素养、团队协作精神和创新能力。
华中师范大学网络教育学院《算法设计与分析》练习题库及答案《算法设计与分析》练习题库及答案(加粗红色字体为2013下新增题目) 一、概念题：请解释下列术语。
1．数据类型2．队列3．多项式复杂度4．满二叉树5． NP-难度6．算法7． SIMD(并行算法)8．连通图9．抽象数据类型10．指数复杂度11．递归12．完全二叉树13．状态空间树14． NP-完全的15．算法与过程16．有向图与无向图17．树18． P类问题19. 确定的算法20. NP问题21. 最小生成树22. 动态规划23. 数据结构24. 排序二、填空题1. 简单递选分类过程中所需进行移动存储的操作次数较少，其最大值为___________。
2. 一组有序的n个数，采用逐个查找算法查找一给定的数是否出现在序列中，其算法复杂性为_____________。
3. 动态规划实际上是研究一类__________________的算法，其应用非常广泛。
4. BFS算法的中文名称是______________________算法。
5. 一棵树中定义为该树的高度或深度。
6. 二分检索树要求树中所有结点中的元素满足。
7. 比较树的结点由称为和的两种结点组成。
8. 外结点用一个结点表示，在二分检索算法中它表示不成功检索的一种情况。
9. 由根到所有内部结点的距离之和称为 ;由根到所有外部结点的距离之和称为 .10．max和min被看成是两个内部函数，它们分别求取两个元素的大者和小者，并认为每次调用其中的一个函数都只需作次元素比较。
11．如果用分治策略来设计分类算法，则可使最坏情况时间变为o(n logn)。
这样的算法称为。
12.贪心算法可行的第一个基本要素是。
13. 当一个问题的最优解包含着它的子问题的最优解时，称此问题具有性质。
14. 二路归并模式可以用树来表示。
15. kruskal算法对于每一个无向连通图g产生一棵。
16．因为如果有环，则可去掉这个环且不增加这条路径的长度(不含有负长度的环)。
数学建模名词解释：一阶差分方程标准答案：2．第9题名词解释：数学模型标准答案：数学模型（Mathematical Model）是由数字、字母或者其他数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法.3．第10题名词解释：二阶差分方程4．第15题名词解释：（1）线性规划模型；（2）线性规划模型的可行域；（3）线性规划模型的最优解和最优值；（4）不可行的线性规划模型；（5）无界的线性规划模型.标准答案：5．第4题标准答案：6．第11题司机在驾驶过程中遇到突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到车完全停住汽车行驶的距离称为刹车距离，车速越快，刹车距离越长. 请问刹车距离与车速之间具有怎样的数量关系7．第12题考虑弹簧-质量系统，收集弹簧伸长的长度与弹簧末端悬挂的质量的实验数据，记录在表1（单位省略）. 请计算出伸长与质量的函数关系的经验公式.表1 弹簧伸长和质量的测量数据伸长 5.675 6.5007.2508.0008.750标准答案：8．第14题（接续47 酶促反应(1)和48酶促反应(2)）请分析Michaelis-Menten模型非线性拟合和线性化拟合的结果有何区别？原因是什么？标准答案：您的答案：题目分数：4.0此题得分：0.09．第1题阅读材料电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB胶粘合扬声器中的磁钢与夹板. 长期以来，由于对AB胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱胶，影响了产品质量. 表1是一些恰当用胶量的具体数据.2设自变量x为磁钢面积，因变量y为恰当用胶量，用以下MATLAB脚本做一元线性回归分析的计算：x=[11.0;19.4;26.2;46.6;56.6;67.2;125.2;189.0;247.1;443.4];y=[0.164;0.396;0.404;0.664;0.812;0.972;1.688;2.86;4.076;7.332];X=[ones(size(x)),x]; [b,bint,r,rint,stat]=regress(y,X)命令窗口显示的计算结果：b =-0.101210.016546bint =-0.24763 0.0452090.015728 0.017365r =0.08320.176210.071696-0.0058489-0.023312-0.038703-0.28239-0.166040.0886160.096575rint =-0.2348 0.4012-0.11393 0.46635-0.2522 0.39559-0.33976 0.32806-0.35828 0.31166-0.37408 0.29667-0.51782 -0.046954-0.46895 0.13686-0.2249 0.40213-0.077904 0.27105stat =0.99633 2174 4.948e-011 0.02121问题请将计算结果整理成表格，并进行分析.标准答案：10．第6题标准答案：您的答案：题目分数：5.0 此题得分：0.011．第7题标准答案：您的答案：题目分数：9.0 此题得分：0.012．第8题标准答案：您的答案：题目分数：8.0此题得分：0.013．第16题某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C. 另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？标准答案：您的答案：题目分数：8.0 此题得分：0.014．第2题标准答案：您的答案：题目分数：4.0此题得分：0.0教师未批改15．第5题写出以下公式：按照最小二乘法，由样本数据计算一元线性回归模型的回归系数的点估计.标准答案：您的答案：题目分数：5.0此题得分：0.0教师未批改16．第13题请概括数学软件MATLAB的特点。
数学建模作业题注意事项：作业共十题，每题十分，全部是比较简单的建模计算题，题目既是课本上的习题，在课本304~315有参考解答，又是在线题库的题目，在题库里有更详细的解答。
学员应该先自己动脑筋解决，然后才参考一下课本及题库的解答。
评分高低主要是看完成作业的态度、独立程度和表达清晰程度。
上传的作业必须是包括全部作业的单独一份word文档，必须自己录入，不允许扫描，不允许直接插入题库答案中的图片。
严重违反者，不及格。
请于有效期结束前两周提交上传作业，教师尽快批改，请学员有效期结束前一周查看成绩，不及格的学员可以在课程答疑栏目提出或者课程论坛提出重交申请，教师删除原作业后，这些学员可以在有效期结束前之前重交作业。
每人只有一次重交机会。
作业题与考试相关（当然不会一模一样），认真完成作业的学员，必将在考试取得好成绩。
一、教材76页第1章习题1第7题（来自高中数学课本的数学探究问题，满分10分）表1.17是某地一年中10天的白昼时间（单位：小时），请选择合适的函数模型，并进行数据拟合.1.解：根据地理常识，某地的白昼时间是以一年为周期变化的，以日期在一年中的序号为自变量x，以白昼时间为因变量y,则根据表1.17的数据可知在一年（一个周期）内，随着x的增加，y先增后减，y大约在6月21日（夏至）达到最大值，在12月21日（冬至）达到最小值，在3月21日（春分）或9月21日（秋分）达到中间值。
选择正弦函数y=Asin(2π365x—1.3712)+12.385预测该地12月21日的白昼时间为5.49小时二、教材100页第2章习题2第1题（满分10分）继续考虑第2.2节“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？2．解：“两秒准则”表明前后车距D与车速ν成正比例关系D=K2ν,其中K2=2s , 对于小型汽车，“一车长度准则”与“两秒准则”不一致。
承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：石家庄职业技术学院参赛队员(打印并签名) ：1.魏鹏飞2.邢磊3.刘力恒指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：陈佩宁（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期：2013年9月16日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：C题：古塔的变形摘要古塔由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。
为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。
对于第一个问题，求中心点坐标，采用的是均值法，由于前两次测量中第13层第5个点没有数据，要是采用均值法求中心坐标，会产生较大的误差，所以在求第13层中心坐标，采用的是拟合法。
（0349）《数学建模》网上作业题及答案1：第一批次2：第二批次3：第三批次4：第四批次5：第五批次6：第六批次1：[填空题]名词解释13．符号模型14．直观模型15．物理模型16．计算机模拟17．蛛网模型18．群体决策参考答案：13．符号模型：是在一定约束条件或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。
14．直观模型：指那些供展览用的实物模型以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。
15．物理模型：主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。
16．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行情况，并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。
17．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。
18．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。
2：[填空题]名词解释7．直觉8．灵感9．想象力10．洞察力11．类比法12．思维模型参考答案：13．符号模型：是在一定约束条件或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。
14．直观模型：指那些供展览用的实物模型以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。
15．物理模型：主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。
16．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行情况，并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。
17．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。
18．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。
数学建模作业题注意事项：作业共十题，每题十分，全部是比较简单的建模计算题，题目既是课本上的习题，在课本304~315有参考解答，又是在线题库的题目，在题库里有更详细的解答。
学员应该先自己动脑筋解决，然后才参考一下课本及题库的解答。
评分高低主要是看完成作业的态度、独立程度和表达清晰程度。
上传的作业必须是包括全部作业的单独一份word文档，必须自己录入，不允许扫描，不允许直接插入题库答案中的图片。
严重违反者，不及格。
请于有效期结束前两周提交上传作业，教师尽快批改，请学员有效期结束前一周查看成绩，不及格的学员可以在课程答疑栏目提出或者课程论坛提出重交申请，教师删除原作业后，这些学员可以在有效期结束前之前重交作业。
每人只有一次重交机会。
作业题与考试相关（当然不会一模一样），认真完成作业的学员，必将在考试取得好成绩。
一、教材76页第1章习题1第7题（来自高中数学课本的数学探究问题，满分10分）表1.17是某地一年中10天的白昼时间（单位：小时），请选择合适的函数模型，并进行数据拟合.1.解：根据地理常识，某地的白昼时间是以一年为周期变化的，以日期在一年中的序号为自变量x，以白昼时间为因变量y,则根据表1.17的数据可知在一年（一个周期）内，随着x的增加，y先增后减，y大约在6月21日（夏至）达到最大值，在12月21日（冬至）达到最小值，在3月21日（春分）或9月21日（秋分）达到中间值。
选择正弦函数y=Asin(2π365x—1.3712)+12.385预测该地12月21日的白昼时间为5.49小时二、教材100页第2章习题2第1题（满分10分）继续考虑第2.2节“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？2．解：“两秒准则”表明前后车距D与车速ν成正比例关系D=K2ν,其中K2=2s , 对于小型汽车，“一车长度准则”与“两秒准则”不一致。
由d—D=ν[κ2ν—（K2—κ1）]可以计算得到当ν＜（K2—κ1）/κ2=54.428㎞/h时有d＜D，“两秒准则”足够安全，或者吧刹车距离实测数据和“两秒准则”都画在同一幅图中，根据图形指出“两秒准则”足够安全的车速范围。
用最大刹车距离除以车速，得到最大刹车距离所需要的尾随时间，并以尾随时间为根据，提出更安全的准则，如“3秒准则”、“4秒准则”或“t 秒准则”（如下图）。
t 秒准则，刹车距离的模型和数据三、教材100页第2章习题2第3题（满分10分）继续考虑第2.3节“生猪出售时机”案例，做灵敏度分析，分别考虑农场每天投入的资金对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响.解：（1）考虑每天投入的资金c 发生的相对为△c/c,则生猪饲养的天数t 发生的相对变化△t/t 是△c/c 的多少倍，即定义t 对c 的灵敏度为 S （t,c ）=△t/t△c/c 因为△c →0，所以重新定义t 对c 的灵敏度为S （t,c ）=△t/t △c/c =dt dc ×ct ①由课本上可知t=rp(0)-gω(0)-c2gr②所以t=rp(0)-g ω(0)2gr-c2gr ,所以t 是c 的减函数为了使t ﹥0，c 应满足rp(0)-g ω(0)-c>0 结合①②可得S （t,c ）= —c rp(0)-g ω(0)-c = － 3.212-0.08×90－3.2= －2这个结果表示的意思是如果农场每天投入的资金c 增加1%，出售时间就应该提前2% 。
（2）同（1）理总收益Q 对每天投入资金c 的灵敏度为S （Q,c ）= dQ dc ×cQ ③Qmax=[rp(0)－g ω(0)－c]²4gr④结合③④得 Qmax=－ 2crp(0)－g ω(0)－c =－ 2×3.212－0.08×90－3.2 =－4这结果表示的意思是如果每天投入的资金c 增加1%，那么最大利润就会减少4%四、教材143页第3章习题3第2题（满分10分） 某种山猫在较好、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别为1.68%、0.55%和-4.5%. 假设开始时有100只山猫，按以下情况分别讨论山猫数量逐年变化的过程及趋势：(1) 三种自然环境下25年的变化过程，结果要列表并图示；(2) 如果每年捕获3只，山猫数量将如何变化？会灭绝吗？如果每年只捕获1只呢？ (3) 在较差的自然环境下，如果要使山猫数量稳定在60只左右，每年要人工繁殖多少只？①解记第k 年山猫 x k ,设自然坏境下的年平均增长率为r ，则列式得x k+1=(1+r)x k , k=0,1,2…其解为等比数列x k =x 0(1+r)k , k=0,1,2…当分别取r=0.0168 , 0.0055和-0.0450时，山猫的数量在25年内不同的环境下的数量演变为年较好中等较差0 100 100 1001 102 101 962 103 101 913 105 102 874 107 102 835 109 103 796 111 103 767 112 104 728 114 104 699 116 105 6610 118 106 6311 120 106 6012 122 107 5813 124 107 5514 126 108 5215 128 109 5016 131 109 4817 133 110 4618 135 110 4419 137 111 4220 140 112 4021 142 112 3822 144 113 3623 147 113 3524 149 114 3325 152 115 32从上可以得出结论：（1）在较好的自然环境下即r=0.0168时，x k单调增趋于无穷大，山猫的数量将无限增长；（2）在中等的自然环境下即r=0.0055时，x k单调增并且趋于稳定值；（3）在较差的环境中即r=-0.0450时，x k单调衰减趋于0，山猫将濒临灭绝。
②若每年捕获3只,b=－3，则列式为X k+1=(1+r)x k－b则山猫在25年内的演变为年较好中等较差0 100 100 1001 99 98 932 97 95 853 96 93 784 95 90 725 93 88 666 92 85 607 90 83 548 89 80 499 87 77 4310 86 75 3911 84 72 3412 83 70 2913 81 67 2514 79 64 2115 78 62 1716 76 59 1317 74 56 1018 73 54 619 71 51 320 69 48 021 67 46 -322 65 43 -623 63 40 -924 61 37 -1125 59 35 -14由图上可知，无论在什么环境下，如果每年捕获山猫3只，单调减趋于0，那么最终山猫的数量都会灭绝，在较差的环境中第20年就会灭绝。
同理，如果每年人工捕获山猫1只，那么山猫在不同环境中的演变为年较好中等较差0 100 100 1001 101 100 952 101 99 893 102 99 844 103 98 795 104 98 756 104 97 707 105 97 668 106 96 629 107 96 5910 107 95 5511 108 95 5112 109 94 4813 110 94 4514 111 93 4215 111 93 3916 112 92 3617 113 92 3418 114 92 3119 115 91 2920 116 91 2621 117 90 2422 118 90 2223 119 89 2024 120 88 1825 121 88 16如果每年人工捕获山猫一只，在较好的环境下山猫的数量仍然会一直增加，在中等的环境下，山猫的数量趋于稳定，但会慢慢减少，在较差的环境下，山猫的数量一直在减少，很快就会灭绝。
③若要使山猫的数量稳定在60只左右，设每年需要人工繁殖b只，到第k年山猫的数量为x k=(1+r)x k-1+b, k=0,1,2…这时x k= x k-1 =60，r=-4.5%，代入上式得b≈3五、教材143页第3章习题3第4题（满分10分）某成功人士向学院捐献20万元设立优秀本科生奖学金，学院领导打算将这笔捐款以整存整取一年定期的形式存入银行，第二年一到期就支取，取出一部分作为当年的奖学金，剩下的继续以整存整取一年定期的形式存入银行……请你研究这个问题，并向学院领导写一份报告.解：记存款的年利息为r ,由于一开始存入银行的本金为x0,第k 年存入银行的钱为X k,并且每年取出当奖金的钱为b,则它们之间存在的关系有：每年利息=本年存入款项 年利息每年取出款项=上一年存入款项+每年利息每年存入款项=每年取出款项 奖金列式得：由上式解得由实际情况，已知x0=20(万元)，r在近10多年的变化幅度在2%~4%之间，我们取3个值，分别为2%，3%，4%，（1）当年利率为2%时，每年存入款项随奖金数变化如下年数\奖金数额 2千元 4千元 6千元0 20.0000 20.0000 20.00001.0000 20.2000 20.0000 19.80002.0000 20.4040 20.0000 19.59603.0000 20.6121 20.0000 19.38794.0000 20.8243 20.0000 19.17575.0000 21.0408 20.0000 18.95926.0000 21.2616 20.0000 18.73847.0000 21.4869 20.0000 18.51318.0000 21.7166 20.0000 18.28349.0000 21.9509 20.0000 18.049110.0000 22.1899 20.0000 17.810111.0000 22.4337 20.0000 17.566312.0000 22.6824 20.0000 17.317613.0000 22.9361 20.0000 17.063914.0000 23.1948 20.0000 16.805215.0000 23.4587 20.0000 16.541316.0000 23.7279 20.0000 16.272117.0000 24.0024 20.0000 15.997618.0000 24.2825 20.0000 15.717519.0000 24.5681 20.0000 15.431920.0000 24.8595 20.0000 15.140521.0000 25.1567 20.0000 14.843322.0000 25.4598 20.0000 14.540223.0000 25.7690 20.0000 14.231024.0000 26.0844 20.0000 13.915625.0000 26.4061 20.0000 13.593926.0000 26.7342 20.0000 13.265828.0000 27.4102 20.0000 12.5898 29.0000 27.7584 20.0000 12.2416 30.0000 28.1136 20.0000 11.8864①当年利率为2%，学金定为4千元时，因为0,100><<x r ， 经验算得知rb x x k ==0，因此存款的数额将趋于稳定.②当年利率为2%，奖学金的数额大于4 千元时，k x 单调递减并且将在某一年变为零.同理，当奖学金的数额小于4 千元时，存款的数额将会无限增长.（2） 当年利率为3%时，每年存入款项随奖金数变化如下年数\奖金数额 4千元 6千元 8千元 0 20.0000 20.0000 20.0000 1.0000 20.2000 20.0000 19.8000 2.0000 20.4060 20.0000 19.5940 3.0000 20.6182 20.0000 19.3818 4.0000 20.8367 20.0000 19.1633 5.0000 21.0618 20.0000 18.9382 6.0000 21.2937 20.0000 18.7063 7.0000 21.5325 20.0000 18.4675 8.0000 21.7785 20.0000 18.2215 9.0000 22.0318 20.0000 17.9682 10.0000 22.2928 20.0000 17.7072 11.0000 22.5616 20.0000 17.4384 12.0000 22.8384 20.0000 17.161614.0000 23.4173 20.0000 16.5827 15.0000 23.7198 20.0000 16.2802 16.0000 24.0314 20.0000 15.9686 17.0000 24.3523 20.0000 15.6477 18.0000 24.6829 20.0000 15.3171 19.0000 25.0234 20.0000 14.9766 20.0000 25.3741 20.0000 14.6259 21.0000 25.7353 20.0000 14.2647 22.0000 26.1074 20.0000 13.8926 23.0000 26.4906 20.0000 13.5094 24.0000 26.8853 20.0000 13.1147 25.0000 27.2919 20.0000 12.7081 26.0000 27.7106 20.0000 12.2894 27.0000 28.1419 20.0000 11.8581 28.0000 28.5862 20.0000 11.4138 29.0000 29.0438 20.0000 10.9562 30.0000 29.5151 20.0000 10.4849①年利率为3%，学金定为6千元时，因为0,100><<x r ， 经验算得知rbx x k ==0，因此存款的数额将趋于稳定.② 当年利率为3%，奖学金的数额大于6 千元时，k x 单调递减并且将在某一年变为零.同理，当奖学金的数额小于6 千元时，存款的数额将会无限增长.（3）当年利率为4%时，每年存入款项随奖金数变化如下年数\奖金数额6千元8千元1万元0 20.0000 20.0000 20.00001.0000 20.2000 20.0000 19.80002.0000 20.4080 20.0000 19.59203.0000 20.6243 20.0000 19.37574.0000 20.8493 20.0000 19.15075.0000 21.0833 20.0000 18.91676.0000 21.3266 20.0000 18.67347.0000 21.5797 20.0000 18.42038.0000 21.8428 20.0000 18.15729.0000 22.1166 20.0000 17.883410.0000 22.4012 20.0000 17.598811.0000 22.6973 20.0000 17.302712.0000 23.0052 20.0000 16.994813.0000 23.3254 20.0000 16.674614.0000 23.6584 20.0000 16.341615.0000 24.0047 20.0000 15.995316.0000 24.3649 20.0000 15.635117.0000 24.7395 20.0000 15.260518.0000 25.1291 20.0000 14.870919.0000 25.5342 20.0000 14.465820.0000 25.9556 20.0000 14.044421.0000 26.3938 20.0000 13.606222.0000 26.8496 20.0000 13.150423.0000 27.3236 20.0000 12.676424.0000 27.8165 20.0000 12.183525.0000 28.3292 20.0000 11.670826.0000 28.8623 20.0000 11.137727.0000 29.4168 20.0000 10.583228.0000 29.9935 20.0000 10.006529.0000 30.5933 20.0000 9.406730.0000 31.2170 20.0000 8.7830①年利率为4%，学金定为8千元时，因为0,100><<x r ， 经验算得知rbx x k ==0，因此存款的数额将趋于稳定.② 当年利率为4%，奖学金的数额大于8 千元时，k x 单调递减并且将在某一年变为零.同理，当奖学金的数额小于8 千元时，存款的数额将会无限增长.六、教材143页第3章习题3第5题（满分10分） 有一位老人60岁时将养老金10万元以整存零取方式（指本金一次存入，分次支取本金的一种储蓄）存入，从第一个月开始每月支取1000元，银行每月初按月利率0.3%把上月结余额孳生的利息自动存入养老金. 请你计算老人多少岁时将把养老金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？解：记养老金第k 月末的银行账户余额为x k 元，则列式为x k+1=(1+r)x k －b根据一阶线性常系数非齐次差分方程得x k =（x 0+b r ）(1+r)k －br k=0,1,2,3……由题目可知x 0=100000，b=1000元，r=0.003,所以账户余额的变化如下月份余额0 10.00001.0000 9.93002.0000 9.85983.0000 9.78944.0000 9.71875.0000 9.64796.0000 9.57687.0000 9.50568.0000 9.43419.0000 9.362410.0000 9.290511.0000 9.218312.0000 9.146013.0000 9.073414.0000 9.000715.0000 8.927716.0000 8.854417.0000 8.781018.0000 8.707419.0000 8.633520.0000 8.559421.0000 8.485122.0000 8.410523.0000 8.335724.0000 8.260725.0000 8.185526.0000 8.110127.0000 8.034428.0000 7.958529.0000 7.882430.0000 7.806031.0000 7.729532.0000 7.652633.0000 7.575634.0000 7.498335.0000 7.420836.0000 7.343137.0000 7.265138.0000 7.186939.0000 7.108540.0000 7.029841.0000 6.950942.0000 6.871744.0000 6.712745.0000 6.632946.0000 6.552847.0000 6.472448.0000 6.391849.0000 6.311050.0000 6.230051.0000 6.148652.0000 6.067153.0000 5.985354.0000 5.903255.0000 5.821056.0000 5.738457.0000 5.655658.0000 5.572659.0000 5.489360.0000 5.405861.0000 5.322062.0000 5.238063.0000 5.153764.0000 5.069165.0000 4.984466.0000 4.899367.0000 4.814068.0000 4.728469.0000 4.642670.0000 4.556671.0000 4.470272.0000 4.383673.0000 4.296874.0000 4.209775.0000 4.122376.0000 4.034777.0000 3.946878.0000 3.858679.0000 3.770280.0000 3.681581.0000 3.592682.0000 3.503383.0000 3.413884.0000 3.324185.0000 3.234186.0000 3.143888.0000 2.962389.0000 2.871290.0000 2.779891.0000 2.688292.0000 2.596393.0000 2.504094.0000 2.411695.0000 2.318896.0000 2.225797.0000 2.132498.0000 2.038899.0000 1.9449 100.0000 1.8508 101.0000 1.7563 102.0000 1.6616 103.0000 1.5666 104.0000 1.4713 105.0000 1.3757 106.0000 1.2798 107.0000 1.1837 108.0000 1.0872 109.0000 0.9905 110.0000 0.8934 111.0000 0.7961 112.0000 0.6985 113.0000 0.6006 114.0000 0.5024 115.0000 0.4039 116.0000 0.3051 117.0000 0.2060 118.0000 0.1067 119.0000 0.0070 120.0000 -0.0930 121.0000 -0.1933 122.0000 -0.2939 123.0000 -0.3947 124.0000 -0.4959 125.0000 -0.5974由表中和图中可知，到第119个月账户余额为70元，到了第120个月就没有余额了。
