高中数学选修二 北师大版 离散型随机变量的分布列 第2课时 教案

离散型随机变量及其分布列【教学目标】1、引导学生通过实例初步了解随机变量的作用，理解随机变量、离散型随机变量的概念．初步学会在实际问题中如何恰当地定义随机变量．2、让学生体会用函数的观点研究随机现象的问题，体会用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，树立用随机观念观察、分析问题的意识．3、发展数学应用意识，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，逐步认识数学的科学价值和应用价值．【教学重点】随机变量、离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当的定义随机变量． 【教学难点】对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究． 【自主检测】1,写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X 是一个随机变量．2，袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记01X ⎧=⎨⎩两球全红两球非全红．求X 的分布列．【知识点拨】问题1：芦溪中学第六届教师篮球赛高一年级对高二年级这场比赛中高一队对高二队造成犯规，由高二年纪邵新贵老师3次罚球（投中一个记1分，未投中记0分）的得分结果？随机变量定义：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 通常用大写的英文字母如X ，Y 来表示。

问题2：芦溪中学预定在5月23日举行升旗仪式，如果那天下雨则取消升旗仪式，如果不下雨则照常进行升旗仪式，问能否用随机变量表示结果？问题3：芦溪中学为纪念建党90周年举行了征文比赛，由高二（16）班林汉卿同学及其他班级同学共100名参加比赛，比赛设置一等奖10，二等奖20名，三等奖70名，随机变量X 表示林汉卿同学获得X 等奖，分别说明下列集合所代表的随机事件}{2)1(=X {}1)2(>X }{31)3(<≤X离散型随机变量定义：如果随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 .问题4：甲、乙同学做游戏，甲猜乙的出生月份，甲只能猜一次，甲猜的月份为 X ，则 X 可能取的值有1，2，3，…12.如果甲猜对把 X 取各值的概率列表如下：这个表指出了随机变量 可能取的所有值，以及取这些值的概率，此表给出了随机变量X 在随机试验中取各个值的概率的分布情况，把这个表称为随机变量 X 的概率分布 .离散型随机变量X 的分布列定义：设离散型随机变量X 可能取的值为 x 1 ，x 2 ，· · · ，x i · · · ，X 取每一个值 xi ( i = 1，2， · · · ，) 的概率 P (X = x i ) = p i ，或表称为随机变量 的概率分布，简称为的分布列 . 离散型随机变量的分布列的性质：（1）p i > 0 ，i = 1 ，2 ，3 ， · · · ；(2) p 1 + p 2 +…p i +… = 1 .【经典体验】例1：一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数为X；写出随机变量X可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果例2：从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值呢？求X的分布列．例3：王二用两元买了一注双色球彩票，随机变量X 表示王二中奖的结果，求X的分布列双色球玩法说明: 每注投注号码由6个红色球号码和1个蓝色球号码组成，红色球号码从1--33中选择；蓝色球号码从1--16中选择。

课 题： 1．1离散型随机变量的分布列 (二)教学目的：1理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列；⒉掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单的问题．⒊了解二项分布的概念，能举出一些服从二项分布的随机变量的例子 教学重点：离散型随机变量的分布列的概念 教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列 授课类型：新授课 课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）请同学们阅读课本P 5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？ 二、讲解新课：1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量的概率分布，简称的分布列2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量的概率分布如下：由于kn k k n q p C -恰好是二项展开式11100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记kn k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．4. 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，P(k A )=p ，P(k A )=q(q=1-p)，那么112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q pξ---====（k ＝0,1,2,…， p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：称这样的随机变量ξ服从几何分布， 记作g (k ，p )= 1k qp -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．三、讲解范例：例1．一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数ξ的分布列．分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每一值时的概率．解：设黄球的个数为n ，由题意知绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ． ∴ 7474)1(===n n P ξ，717)0(===n n P ξ，7272)1(==-=n n P ξ．说明：在写出ξ的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1．分析：“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ξ＝7”、“ξ＝8”、“ξ＝9”、“ξ＝10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，可以求得此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．解：根据射手射击所得的环数ξ的分布列，有 P (ξ=7)＝0.09，P (ξ=8)＝0.28，P (ξ=9)＝0.29，P (ξ=10)＝0.22. 所求的概率为 P (ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88例3. 一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n 次终止的概率是n 21(n =1,2,3,…)．记ξ为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求P (ξ≤10)．解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目的分布列为∴ P (ξ≤10)=P ( ξ=2)+P ( ξ=4)+P ( ξ=8) =87814121=++． 说明：一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．例4．（2000年高考题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布． 解：依题意，随机变量ξ～B (2，5%)．所以，P (ξ=0)=02C (95%)2=0.9025，P (ξ=1)=12C (5%)(95%)=0.095， P (2=ξ)=22C (5%)2=0.0025．因此，次品数例5.． 解：依题意，随机变量ξ～B ⎪⎭⎫ ⎝⎛61,5．∴ P (ξ=4)=6561445⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛C =777625，P (ξ=5)=55C 561⎪⎭⎫ ⎝⎛=77761． ∴ P (ξ>3)=P(ξ=4)+P (ξ=5)=388813四、课堂练习：1.已知随机变量ξ服从二项分布，ξ~B(6，1/3)，则P(ξ=2)等于( ) A.3/16； B.4/243； C.13/243； D.80/2432.设某批电子手表正品率为3/4，次品率为1/4，现对该批电子手表进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ=3)等于( )A.)43()41(223⨯C ；B. )41()43(223⨯C ；C. )43()41(2⨯；D. )41()43(2⨯ 3.设随机变量ξ的分布列为3,2,1,)31()(=⋅==i a i P iξ，则a 的值为( ) A .1； B.9/13； C.11/13； D.27/134．10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得()k k n ≤次红球的概率为（ ）A ．2191010n k-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．191010k n k-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11191010kn kk n C ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．111191010k n kk n C ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5.设随机变量ξ的分布列为()()1,2,3,,,k P k k n ξλ===⋯⋯，则λ的值为（ ）A ．1；B ．12； C ．13； D ．14答案：1.D 2.C 3.D 4.C 5.B 6.某一射手射击所得环数ξ分布列为解：“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ξ=7”，“ξ=8”，“ξ=9”，“ξ=10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，有：P （ξ≥7）=P （ξ=7）+P （ξ=8）+P （ξ=9）+P （ξ=10）=0.887.某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中的任意连续取出2件，求次品数ξ的概率分布 解：ξ的取值分别为0、1、2ξ=0表示抽取两件均为正品 ∴p(ξ=0)=02C (1－0.05)2=0.9025 ξ=1表示抽取一件正品一件次品p(ξ=1)= 12C ( (1－0.05)×0.05=0.95 ξ=2表示抽取两件均为次品p(ξ=2)= 22C 0.052=0.0025∴ξ的概率分布为：注：求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤:（1）确定随机变量的所有可能的值x i（2）求出各取值的概率p(ξ=x i)=p i（3）画出表格五、小结：⑴根据随机变量的概率分步（分步列），可以求随机事件的概率；⑵二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它是概率论中最重要的几种分布之一 (3)离散型随机变量的几何分布六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：预习提纲：⑴什么叫做离散型随机变量ξ的数学期望？它反映了离散型随机变量的什么特征？⑵离散型随机变量ξ的数学期望有什么性质？。

§1 离散型随机变量及其分布列[对应学生用书P20]离散型随机变量(1)掷一枚均匀的骰子，出现的点数． (2)在一块地里种下10颗树苗，成活的棵数．(3)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，所含红球的个数． 问题1：上述现象有何特点？提示：各现象的结果都可以用数表示． 问题2：现象(3)中红球的个数x 取什么值？ 提示：x ＝0,1,2,3,4.问题3：掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上，其结果能用数字表示吗？ 提示：可以，如用数1和0分别表示正面向上和反面向上．1．随机变量将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量，通常用大写的英文字母X ，Y 来表示．2．离散型随机变量如果随机变量X 的所有可能的取值都能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量.离散型随机变量的分布列1．抛掷一枚均匀的骰子，用X 表示骰子向上一面的点数． 问题1：X 的可能取值是什么？ 提示：X ＝1,2,3,4,5,6.问题2：X 取不同值时，其概率分别是多少？ 提示：都等于16.问题3：试用表格表示X和P的对应关系．提示：X 12345 6P 161616161616问题4：试求概率和．提示：其和等于1.1．离散型随机变量的分布列的定义设离散型随机变量X的取值为a1，a2…，随机变量X取a i的概率为p i(i＝1,2，…)，记作：P(X＝a i)＝p i(i＝1,2，…)，(1)或把上式列成表X＝a i a1a2…P(X＝a i)p1p2…上表或(1)式称为离散型随机变量X的分布列．2．离散型随机变量的性质(1)p i＞0；(2)p1＋p2＋p3＋ (1)1．随机试验中，确定了一个对应关系，使每一个试验结果用一个确定的数字表示，这些数字随着试验结果的变化而变化，称为随机变量．2．判断一个随机变量是否为离散型随机变量关键是看随机变量的所有可能取值能否一一列出．3．求离散型随机变量的分布列关键是搞清随机变量所取的所有可能值，以及对应的概率．[对应学生用书P21]随机变量的概念[例1]的结果：(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.[思路点拨] 把随机变量的取值一一列举出来，再说明每一取值与试验结果的对应关系．[精解详析] (1)X的可能取值为1,2,3，…，10，X＝k(k＝1,2，…，10)表示取出第k 号球．(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.X＝k表示取出k个红球，(4－k)个白球，其中k＝0,1,2,3,4.(3)X的可能取值为2,3,4，…，12.若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点，且骰子乙得j点，则X＝2表示(1,1)；X＝3表示(1,2)，(2,1)；X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；X＝12表示(6,6)．[一点通] 解答此类问题的关键在于明确随机变量所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意义，即随机变量的一个取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程不要漏掉某些试验结果．1．下列变量中属于离散型随机变量的有________．①在2 014张已编号的卡片(从1号到2 014号)中任取一张，被取出的编号数为X；②连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X；③从2 014张已编号的卡片(从1号到2 014号)中任取3张，被取出的卡片的号数和X；④某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差X；⑤投掷一枚骰子，六面都刻有数字6，所得的点数X.解析：①②③中变量X的所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量．④中X的取值为某一范围内的实数，无法全部列出，不是离散型随机变量．⑤中X的取值确定，是6，不是随机变量．答案：①②③2．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次品就停止，设抽取次数为X，则X＝3表示的试验结果是________．解析：X ＝3表示前2次均是正品，第3次是次品． 答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品3．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X ，试求X 的集合，并说明“X >4”表示的试验结果．解：设第一枚骰子掷出的点数为x ，第二枚骰子掷出的点数为y ，其中x ，y ＝1,2,3,4,5,6. 依题意得X ＝x －y . 则－5≤X ≤5，即X 的集合为{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}． 则X ＞4⇔X ＝5，表示x ＝6，y ＝1，即第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．离散型随机变量分布列的性质[例2] X ＝i 1 2 3 4 5 P (X ＝i )110310a110110(1)求a ；(2)求P (X ≥4)，P (2≤X ＜5)．[思路点拨] (1)利用分布列中所有概率和为1的性质求解． (2)借助互斥事件概率求法求解．[精解详析] (1)由110＋310＋a ＋110＋110＝1，得a ＝25.(2)P (X ≥4)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝110＋110＝15，P (2≤X ＜5)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝310＋25＋110 ＝45. [一点通] 利用分布列的性质解题时要注意以下两个问题： (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的．(2)p 1＋p 2＋…＝1，且p i ＞0，i ＝1,2，….4．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13i，i ＝1,2,3，则a 的值为( )A ．1 B.913 C.1113D.2713解析：由分布列的性质，知P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝a ·13＋a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝1327a ＝1.∴a ＝2713.答案：D5．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k10，k ＝1,2,3,4.求：(1)P (X ＝1或X ＝2)；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <72. 解：∵P (X ＝k )＝k10，k ＝1,2,3,4，(1)P (X ＝1或X ＝2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝110＋210＝310. (2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <72 ＝P (X ＝1或X ＝2或X ＝3) ＝1－P (X ＝4)＝1－410＝610＝35.离散型随机变量的分布列[例3] (103个球，设X 表示取出3个球中的最大号码，求X 的分布列．[思路点拨] 先确定X 的所有可能取值，然后分别求出X 取各值时的概率即可． [精解详析] 根据题意，随机变量X 的所有可能取值为3,4,5,6.X ＝3，即取出的3个球中最大号码为3，其他2个球的号码为1,2.所以，P (X ＝3)＝C 22C 36＝120；(2分)X ＝4，即取出的3个球中最大号码为4，其他2个球只能在号码为1,2,3的3个球中取．所以，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320；(4分)X ＝5，即取出的3个球中最大号码为5，其他2个球只能在号码为1,2,3,4的4个球中取．所以，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310；(6分)X ＝6，即取出的3个球中最大号码为6，其他2个球只能在号码为1,2,3,4,5的5个球中取．所以，P ＝(X ＝6)＝C 25C 36＝12.(8分)所以，随机变量X 的分布列为X ＝x i 3 4 5 6 P (X ＝x i )12032031012(10分)[一点通] (1)求离散型随机变量的分布列关键是搞清离散型随机变量X 取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列组合知识求出X 取每个值的概率，最后列出分布列．(2)求离散型随机变量X 的分布列的步骤：首先确定X 的所有可能的取值；其次，求相应的概率P (X ＝x i )＝p i ；最后列成表格的形式．6．在射击的试验中，令X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 射中，0，未射中，如果射中的概率为0.8，求随机变量X 的分布列．解：由P (X ＝1)＝0.8，得P (X ＝0)＝0.2.所以X 的分布列为：7．(天津高考改编)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张， 编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中， 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X 的分布列． 解：(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P (A )＝C 12C 35＋C 22C 25C 47＝67. 所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的分布列为8．(湖南高考改编)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)求x ，y 的值；(2)将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间X 的分布列． 解： (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P (X ＝1)＝15100＝320，P (X ＝1.5)＝30100＝310， P (X ＝2)＝25100＝14，P (X ＝2.5)＝20100＝15， P (X ＝3)＝10100＝110. X 的分布列为X 1 1.5 2 2.5 3 P32031014151101．随机变量X 是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量X 的线性组合Y ＝aX ＋b (a ，b 是常数)也是随机变量．2．离散型随机变量X 的分布列实质上就是随机变量X 与这一变量所对应的概率P 的分布表，它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．[对应课时跟踪训练九]1．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是( )A ．小球滚出的最大距离B ．倒出小球所需的时间C ．倒出的三个小球的质量之和D ．倒出的三个小球的颜色种数解析：A ，B 不能一一列举，不是离散型随机变量，而C 是常量，是个确定值，D 可能取1,2,3，是离散型随机变量．答案：D2．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能值的个数是( )A ．25B ．10C ．9D ．5解析：第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.答案：C3．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，若P (X <4)＝0.3，则n ＝( ) A ．3 B ．4 C ．10D ．不确定解析：∵X 等可能取1,2,3，…，n ， ∴X 的每个值的概率均为1n.由题意知P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n＝0.3，∴n ＝10. 答案：C4．设随机变量X 等可能地取值1,2,3,4，…，10.又设随机变量Y ＝2X －1，P (Y <6)的值为( )A ．0.3B ．0.5C ．0.1D ．0.2解析：Y <6，即2X －1<6，∴X <3.5.X ＝1,2,3，P ＝310.答案：A5．随机变量Y 的分布列如下：则(1)x ＝(3)P (1＜Y ≤4)＝________.解析：(1)由 i ＝16p i ＝1，∴x ＝0.1.(2)P (Y ＞3)＝P (Y ＝4)＋P (Y ＝5)＋P (Y ＝6) ＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45.(3)P (1＜Y ≤4)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＋P (Y ＝4) ＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55. 答案：(1)0.1 (2)0.45 (3)0.55 6．随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝Ck k ＋1，k ＝1,2,3，其中C 为常数，则P (X ≥2)＝________.解析：由P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1，得C 1×2＋C 2×3＋C 3×4＝1，∴C ＝43.P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝432×3＋433×4＝13.答案：137．若离散型随机变量X 的分布列为：，求常数a 及相应的分布列．解：由离散型随机变量的性质得 ⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－a ＋3－8a ＝1，0≤9a 2－a ≤1，0≤3－8a ≤1，解得a ＝13，或a ＝23(舍)．所以随机变量X 的分布列为：X ＝x i 0 1 P (X ＝x i )23138．设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)记“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举A 包含的基本事件； (2)设X ＝m 2，求X 的分布列．解：(1)由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3， 即S ＝{x |－2≤x ≤3}．X ＝x i 0 1 P (X ＝x i )9a 2－a3－8a由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以X ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P (X ＝0)＝16，P (X ＝1)＝26＝13， P (X ＝4)＝26＝13，P (X ＝9)＝16.故X 的分布列为。

离散型随机变量【教学目标】1.理解随机变量的意义；2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.【教学重难点】教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义【教学过程】一、复习引入：展示教科书章头提出的两个实际问题(有条件的学校可用计算机制作好课件辅助教学)，激发学生的求知欲某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…，命中10环等结果，即可能出现的结果可能由0，1，……10这11个数表示；某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由0，1，2，3，4这5个数表示在这些随机试验中，可能出现的结果都可以用一个数来表示．这个数在随机试验前是否是预先确定的?在不同的随机试验中，结果是否不变?观察，概括出它们的共同特点二、讲解新课：思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和 0分别表示正面向上和反面向上（图2.1一1 ) .在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )．随机变量常用字母 X , Y，ξ，η，…表示．思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域．例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } .利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品” , {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢？定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y 也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，….思考3：电灯的寿命X 是离散型随机变量吗？电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以 X 不是离散型随机变量．在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000 小时，那么就可以定义如下的随机变量：⎧⎨≥⎩0，寿命<1000小时；Y=1,寿命1000小时.与电灯泡的寿命 X 相比较，随机变量Y 的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度ξ是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达.如投掷一枚硬币，ξ=0，表示正面向上，ξ=1，表示反面向上（2）若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量三、讲解范例：例1． 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η.解：(1) ξ可取3，4，5ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5（2）η可取0，1，…,n ，…η=i ，表示被呼叫i 次，其中i=0,1,2,…例2． 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点例3 某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2(Ⅱ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．四、课堂练习：1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数ξ；②长江上某水文站观察到一天中的水位ξ；③某超市一天中的顾客量ξ 其中的ξ是连续型随机变量的是（ ）A ．①；B ．②；C ．③；D ．①②③２.随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,,n …，若()40.3P ξ<=，则（ ） A ．3n =； B ．4n =； C ．10n =； D ．不能确定3.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（ ）A ．1112；B ．3136；C ．536；D ．1124.如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. ξ取每一个可能值的概率都是非负数；B. ξ取所有可能值的概率之和为1；C. ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和答案：1.B 2.C 3.B 4.D五、小结 ：随机变量离散型、随机变量连续型随机变量的概念 随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=a ξ+b(其中a 、b 是常数)也是随机变量六、课后作业：2．1．1离散型随机变量课前预习学案一、预习目标通过预习了解什么是随机变量，什么是离散型随机变量二、预习内容1、随机变量2、随机变量的表示方法3、随机变量的取值4、离散型随机变量三、提出疑惑课内探究学案一、学习目标1.理解随机变量的意义；2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.二、学习重难点：教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义三、学习过程（一）随机变量、离散型随机变量问题1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？问题2：：随机变量和函数有类似的地方吗？问题3：（电灯的寿命X是离散型随机变量吗？（二）归纳小结：（三）典型例题例1．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η.例2．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？例3 某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?（五）当堂检测1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数ξ；②长江上某水文站观察到一天中的水位ξ；③某超市一天中的顾客量ξ 其中的ξ是连续型随机变量的是（ ）A ．①；B ．②；C ．③；D ．①②③２.随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,,n …，若()40.3P ξ<=，则（ ）A ．3n =；B ．4n =；C ．10n =；D ．不能确定3.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（ ）A ．1112；B ．3136；C ．536；D ．1124.如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. ξ取每一个可能值的概率都是非负数；B. ξ取所有可能值的概率之和为1；C. ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和答案：1.B 2.C 3.B 4.D课后练习与提高1.10件产品中有4件次品，从中任取2件，可为随机变量的是（ ）A ．取到产品的件数 B.取到次品的件数C.取到正品的概率D.取到次品的概率2.有5把钥匙串成一串，其中有一把是有用的，若依次尝试开锁，若打不开就扔掉，直到打开为止则试验次数ξ的最大取值为（ ）A.5B.2C.3D.43.将一颗骰子掷2次，不是随机变量为（ ）A.第一次出现的点数B.第二次出现的点数C.两次出现的点数之和D.两次出现相同的点数的种数4离散型随机变量是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.5.一次掷2枚骰子，则点数之和ξ的取值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.答案：1.B 2.A 3.D 4. 所有取值可以一一列出的随机变5.2,3,4,4,5,6,7,8,9,10,11,12.2． 1．2离散型随机变量的分布列【教学目标】1. 知道概率分布列的概念。

第二课时 离散型随机变量的方差[对应学生用书P33][例1]若EX ＝23，求DX 的值．[思路点拨] 解答本题可先根据∑i ＝1nP i ＝1求出p 的值，然后借助EX ＝23求出x 的取值，最后代入相应的公式求方差．[精解详析] 由12＋13＋p ＝1，得p ＝16.又EX ＝0×12＋1×13＋16x ＝23，∴x ＝2.∴DX ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232×16＝59. [一点通] 求离散型随机变量的方差的方法： (1)根据题目条件先求分布列．(2)由分布列求出均值，再由方差公式求方差，若分布列中的概率值是待定常数时，应先由分布列的性质求出待定常数再求方差．1．(浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.解析：由题意设P (ξ＝1)＝p ，ξ的分布列如下由E (ξ)＝1，可得p ＝35，所以D (ξ)＝12×15＋02×35＋12×15＝25.答案：252．已知随机变量X 的分布列为试求DX 和D (2X －解：EX ＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1 ＝1.8.所以DX ＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.2X －1的分布列为所以E (2X －1)＝所以D (2X －1)＝(－1－2.6)2×0.2＋(1－2.6)2×0.2＋(3－2.6)2×0.3＋(5－2.6)2×0.2＋(7－2.6)2×0.1＝6.24.[例2] 4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X 的均值和方差．[思路点拨]确定X的取值→计算概率 →列出分布列 →求EX ，DX[精解详析] X 可能取值为1,2,3,4,5.P (X ＝1)＝15， P (X ＝2)＝45×14＝15， P (X ＝3)＝45×34×13＝15， P (X ＝4)＝45×34×23×12＝15， P (X ＝5)＝45×34×23×12×1＝15.∴X 的分布列为由定义知，EX ＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3.DX ＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.[一点通] (1)求离散型随机变量X 的均值和方差的基本步骤： ①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； ②求X 取每个值时的概率； ③写X 的分布列； ④求EX ，DX .(2)若随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )， 则EX ＝np ，DX ＝np (1－p )．3．一批产品中次品率为13，现在连续抽查4次，用X 表示次品数，则DX 等于( )A.43 B.83 C.89D.19解析：∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13， ∴DX ＝np (1－p )＝4×13×23＝89.答案：C4．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．求X 的分布列，均值和方差．解：由题意，得X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，所以P (X ＝0)＝1020＝12，P (X ＝1)＝120，P (X ＝2)＝220＝110，P (X ＝3)＝320，P (X ＝4)＝420＝15.故X 的分布列为所以EX ＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.DX ＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.[例3] 所得次品数分别为X ，Y ，X 和Y 的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较．[思路点拨] 解本题的关键是，一要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即数学期望，二要看出次品数的波动情况，即方差值的大小．根据数学期望与方差值判断两名工人的技术水平情况．[精解详析] 工人甲生产出次品数X 的数学期望和方差分别为EX ＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，DX ＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝分)工人乙生产出次品数Y 的数学期望和方差分别为EY ＝0×510＋1×510＋2×210＝0.7，DY ＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝分)由EX ＝EY 知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但DX ＞DY ，可见乙的技术比较稳定．分)[一点通] 均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的方差，方差大说明随机变量取值较分散，方差小，说明取值比较集中．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决问题时，两者都要分析．5．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X 和Y ，且X ，Y 的分布列为求：(1)a ，b 的值；(2)计算X ，Y 的数学期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况． 解：(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a ＋0.1＋0.6＝1，∴a ＝0.3.同理0.3＋b ＋0.3＝1，b ＝0.4.(2)EX ＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，EY ＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，DX ＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，DY ＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于EX >EY ，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但DX >DY ，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势和劣势．6．最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财，提出了三种方案： 第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万块钱全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利与亏损的概率均为12.第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万块钱全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，也可能损失10%，还可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，15，15.第三种方案：李师傅妻子认为：投入股市、基金均有风险，应该将10万块钱全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%.针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由． 解：若按方案一执行，设收益为X 万元，则其分布列为EX ＝4×12＋(－2)×12＝1(万元)．若按方案二执行，设收益为Y 万元，则其分布列为EY ＝2×35＋0×15＋(－1)×5＝1(万元)．若按方案三执行，收益z ＝10×4%×(1－5%)＝0.38(万元)， ∴EX ＝EY >z .又DX ＝(4－1)2×12＋(－2－1)2×12＝9.DY ＝(2－1)2×35＋(0－1)2×15＋(－1－1)2×15＝85. 由上知DX >DY ，说明虽然方案一、二收益相等，但方案二更稳妥． ∴建议李师傅家选择方案二投资较为合理．1．随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差越小，则随机变量的取值越集中在其均值周围；反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散．2．随机变量的方差与样本方差的区别：样本方差是随着样本的不同而变化的，因此，它是一个变量，而随机变量的方差是一个常量．[对应课时跟踪训练十四1．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X 为途中遇到红灯的次数，则随机变量X 的方差为( )A.65 B.1825 C.625D.18125解析：由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，∴DX ＝3×25×35＝1825. 答案：B2．已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝13(k ＝1,2,3)，则D (3X ＋5)＝( )A ．6B ．9C ．3D ．4解析：EX ＝(1＋2＋3)×13＝2，∵Y ＝3X ＋5可能取值为8,11,14，其概率均为13，∴EY ＝8×13＋11×13＋14×13＝11.∴DY ＝D (3X ＋5)＝(8－11)2×13＋(11－11)2×13＋(11－14)2×13＝6.答案：A3．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X 的均值与方差分别为( )A ．EX ＝0，DX ＝1B ．EX ＝12，DX ＝12C ．EX ＝0，DX ＝12D ．EX ＝12，DX ＝1解析：EX ＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0，DX ＝(1－0)2×0.5＋(－1－0)2×0.5＝1.答案：A4．若随机变量X 的分布列为P (X ＝0)＝a ，P (X ＝1)＝b .若EX ＝13，则DX 等于( )A.13B.23C.19D.29解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b ＝13，∴a ＝23，b ＝13.DX ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－132×23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－132×13＝29. 答案：D5．从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是________． 解析：从1,2,3,4,5中任取不同的两个数，其乘积X 的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每个值的概率都是110，∴EX ＝110×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)＝8.5.答案：8.56．变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若EX ＝3，则DX 的值为________．解析：由a ，b ，c 成等差数列可知2b ＝a ＋c . 又∵a ＋b ＋c ＝3b ＝1，∴b ＝13，a ＋c ＝23.又∵EX ＝－a ＋c ＝13，∴a ＝16，c ＝12.∴DX ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×12 ＝59. 答案：597．(全国新课标改编)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、数学期望及方差．解：(1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80. 当日需求量n ＜16时，利润y ＝10n －80. 所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －80，n ＜16，80，n ≥16(n ∈N )．(2)X 可能的取值为60,70,80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7.X 的分布列为X 的数学期望为EX ＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76. X 的方差为DX ＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.8．(浙江高考)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E η＝53，D η＝59，求a ∶b ∶c .解：(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13， P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19， P (ξ＝6)＝1×16×6＝136. 所以ξ的分布列为(2)由题意知η所以E η＝a a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c ＝3， D η＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59. 化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0，解得a ＝3c ，b ＝2c ， 故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.。

离散型随机变量的均值与方差（二）教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

过程与方法：了解方差公式“D (aξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散型随机变量的方差、标准差。

教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题。

教学过程：复习：均值(数学期望)是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值．对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差. 回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，x 是它们的平均值，那么：[12nS =21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差 . 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为：则称=)(X E +11p x +22p x …++n n p x …为X 的均值(数学期望). 均值(期望)的一个性质:b X aE b aX E +=+)()(若X ～B(n,p ），则EX=np .问题：要从甲、乙两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录， 甲同学击中目标靶的环数X 1的分布列为： 乙同学击中目标靶的环数X 2的分布列为：应派哪位同学参赛？1. 如果仅从平均射击成绩比较，能否区分甲、乙两名同学的射击水平？E(X 1)=8, E(X2)=8；他们的均值相等，只根据均值无法区分这两名同学的射击水平。

2. 考察X 1，X 2的分布列图，甲、乙两人的射击水平有何差异？比较两个图形，乙的成绩更集中于8环，他的成绩更稳定。

第2课时离散型随机变量及其分布列1．了解离散型随机变量及分布列的概念．(重点)2．掌握离散型随机变量分布列的求法．(难点)[基础·初探]教材整理1 离散型随机变量阅读教材P35“抽象概括”以下部分，完成下列问题．随机变量的取值能够__________，这样的随机变量称为离散型随机变量．【答案】一一列举出来下列随机变量中不是离散型随机变量的是________(填序号)．①某宾馆每天入住的旅客数量是X；②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X；③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；④虎门大桥一天经过的车辆数是X.【解析】①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．【答案】②教材整理2 离散型随机变量X的分布列阅读教材P35“抽象概括”以下内容～P37“习题2－1”以上部分，完成下列问题．1．定义设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…随机变量X取a i的概率为p i(i＝1,2，…)，记作：P(X＝a i)＝p i(i＝1,2，…)，(1)或把(1)式列成如下表格：如果随机变量X 的分布列为上述表格或(1)式，我们称随机变量X 服从这一分布(列)，并记为：X ～______________. 2．性质在离散型随机变量X 的分布列中， (1)p i >________； (2)p 1＋p 2＋…＝________.【答案】 1.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1 a 2…p 1 p 2 … 2.(1)0 (2)1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( ) (2)离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等．( ) (3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.( )【解析】 (1)× 因为在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]范围内．(2)× 因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件． (3)√ 由分布列的性质可知，该说法正确． 【答案】 (1)× (2)× (3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)某座大桥一天经过的车辆数X ； (2)某超市5月份每天的销售额；(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.【精彩点拨】 随机变量的实际背景→判断取值是否具有可列性→得出结论【自主解答】(1)车辆数X的取值可以一一列出，故X 为离散型随机变量． (2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量． (3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量． (4)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．“三步法”判定离散型随机变量1．依据具体情境分析变量是否为随机变量． 2．由条件求解随机变量的值域．3．判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．[再练一题]1．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ. (1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量．【解】 (1)是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为6,11,16,21.显然，η为离散型随机变量．3个球，用X 表示取出的最大号码，求X 的分布列．【精彩点拨】 X 的可能取值为3,4,5,6，是离散型随机变量．可以利用组合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率．【自主解答】 随机变量X 的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为C 36，事件“X＝3”包含的基本事件总数为C 33，事件“X＝4”包含的基本事件总数为C 11C 23，事件“X＝5”包含的基本事件总数为C 11C 24，事件“X＝6”包含的基本事件总数为C 11C 25.从而有P(X ＝3)＝C 33C 36＝120，P(X ＝4)＝C 11C 23C 36＝320，P(X ＝5)＝C 11C 24C 36＝310，P(X ＝6)＝C 11C 25C 36＝12，所以随机变量X 的分布列为1．求离散型随机变量的分布列的步骤(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值x i (i ＝1,2，…，n)． (2)求出取每一个值的概率P(ξ＝x i )＝p i . (3)列出表格．2．求离散型随机变量分布列时应注意的问题(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确．[再练一题]2．从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X 表示赢得的钱数，随机变量X 可以取哪些值呢？求X 的分布列．【解】 从箱中取两个球的情形有以下6种：{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}． 当取到2白时，结果输2元，随机变量X ＝－2； 当取到1白1黄时，输1元，随机变量X ＝－1； 当取到1白1黑时，随机变量X ＝1；当取到2黄时，X ＝0；当取到1黑1黄时，X ＝2； 当取到2黑时，X ＝4.则X 的可能取值为－2，－1,0,1,2,4. P (X ＝－2)＝C 26C 212＝522，P(X ＝－1)＝C 16C 12C 212＝211，P(X ＝0)＝C 22C 212＝166，P(X ＝1)＝C 16C 14C 212＝411，P(X ＝2)＝C 14C 12C 212＝433，P(X ＝4)＝C 24C 212＝111.从而得到X 的分布列如下：能否求出q 【提示】 由分布列的性质得，1－2q≥0，q 2≥0，12＋(1－2q)＋q 2＝1，∴q ＝1－22.探究2 上述问题中，请求出P(ξ<0)，P(ξ≤0)的值．【提示】 P(ξ<0)＝P(ξ＝－1)＝12，P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0) ＝12＋1－2⎝⎛⎭⎪⎫1－22＝2－12. 设随机变量X 的分布列为P(X ＝i)＝ia (i ＝1,2,3,4)，求：(1)P(X ＝1或X ＝2)；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X<72. 【精彩点拨】 先由分布列的性质求a ，再根据X ＝1或X ＝2，12<X<72的含义，利用分布列求概率．【自主解答】 (1)∵∑i ＝14p i ＝1a ＋2a ＋3a ＋4a ＝1，∴a ＝10， 则P(X ＝1或X ＝2) ＝P(X ＝1)＋P(X ＝2) ＝110＋210＝310. (2)由a ＝10，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X<72 ＝P(X ＝1)＋P(X ＝2)＋P(X ＝3) ＝110＋210＋310＝35.1．利用离散型随机变量分布列的性质，(1)可以求随机变量取值的概率；(2)可以检验所求分布列是否正确．2．分布列中随机变量取不同值时所表示的随机事件彼此互斥，因此在求随机变量在某一范围内取值的概率时，可先确定随机变量可取哪几个值，再利用概率的加法公式求其概率．[再练一题]3．设随机变量X 的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak(k ＝1,2,3,4,5)． (1)求常数a 的值；(2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X≥35； (3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X<710.【解】 题目所给随机变量X 的分布列为：(1)由a ＋2a 得a ＝115.(2)法一：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P(X ＝1)＝15＋415＋13＝45. 法二：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X≥35＝1－P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X≤25＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫115＋215＝45.(3)因为110<X<710，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫110<X<710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＝115＋215＋15＝25.[构建·体系]1．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13i，i ＝1,2,3，则a 的值为( )【导学号：62690029】A ．1 B.913 C.2713D.1113【解析】 由分布列的性质可知：a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋19＋127＝1，解得a ＝2713. 【答案】 C2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于( )A ．0 B.13 C.12D.23【解析】 设P(ξ＝1)＝p ，则P(ξ＝0)＝1－p. 依题意知，p ＝2(1－p)，解得p ＝23.故P(ξ＝0)＝1－p ＝13.【答案】 B3．随机变量η的分布列如下：则x ＝【解析】 由分布列的性质得 0．2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55. 【答案】 0 0.554．(2016·阜阳一模)如图2­1­1所示，A ，B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X ，则P(X≥8)＝________.图2­1­1【解析】 由已知得，X 的取值为7,8,9,10，故P(X≥8)与P(X ＝7)是对立事件，所以P(X≥8)＝1－P(X ＝7)＝1－C 22C 12C 35＝45.【答案】 455．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X ，求X 的分布列及 P(X>1)．【解】 依题意，有P(X ＝1)＝2P(X ＝2)，P(X ＝3)＝12P(X ＝2)．由分布列的性质得：1＝P(X ＝1)＋P(X ＝2)＋P(X ＝3)＝72P(X ＝2)，所以P(X ＝2)＝27，所以X 的分布列如下：故P(X>1)＝P(X ＝2)＋P(X ＝3)＝7.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是( ) A.B.C.D.【解析】 ξ取值不能重复，可排除选项A ；由性质(1)p i >0，可排除选项B ；由性质(2) i ＝1npi＝1，可排除选项C ，故选D.【答案】 D2．某一随机变量ξ的概率分布列如下表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n2的值为( )A.－0.2 C ．0.1D ．－0.1【解析】 由离散型随机变量分布列的性质可得m ＋n ＋0.2＝1，又m ＋2n ＝1.2，解得m ＝n ＝0.4，可得m －n2＝0.2.【答案】 B3．已知随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝12k ，k ＝1,2，…，则P(2<X≤4)等于( ) 【导学号：62690030】A.316B.14C.116 D.15【解析】 ∵2<X≤4时，X ＝3,4.∴P(2<X≤4)＝P(X ＝3)＋P(X ＝4)＝123＋124＝316.【答案】 A4．抛掷两颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P(X≤4)等于( ) A.16 B.13 C.12D.23【解析】 根据题意，有P(X≤4)＝P(X ＝2)＋P(X ＝3)＋P(X ＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1,1)，X ＝3对应(1,2)，(2,1)，X ＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)，故P(X ＝2)＝136，P(X ＝3)＝236＝118，P(X ＝4)＝336＝112，所以P(X≤4)＝136＋118＋112＝16.【答案】 A5．随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝n)＝a ＋，n ＝1,2,3,4，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<52的值为( )A.23 B.34 C.45 D.56【解析】a 1×2＋a 2×3＋a 3×4＋a 4×5＝ a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15 ＝45a ＝1. ∴a ＝54.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<52＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝54×⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2＋12×3＝56.【答案】 D 二、填空题6．若随机变量X 服从两点分布，则P(X ＝0)＝0.8，P(X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P(Y ＝－2)＝________.【解析】 由Y ＝－2，且Y ＝3X －2，得X ＝0， ∴P(Y ＝－2)＝0.8. 【答案】 0.87．设离散型随机变量X 的概率分布列为：则P(X≤2)＝【解析】 P(X≤2)＝1－25＝35.【答案】 358．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X 的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab ，则这名运动员得3【解析】 由题中条件，知2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，再由分布列的性质，知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以得3分的概率是16.【答案】 16三、解答题9．盒中装有一打(12个)乒乓球，其中9个新的，3个旧的(用过的球即为旧的)，从盒中任取3个使用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量，求ξ的分布列．【解】 ξ的所有可能取值为3,4,5,6. P(ξ＝3)＝C 33C 312＝1220；P(ξ＝4)＝C 19C 23C 312＝27220；P(ξ＝5)＝C 29C 13C 312＝2755；P(ξ＝6)＝C 39C 312＝2155.所以ξ的分布列为：10.《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，记一位选手该题得分为X.(1)求该选手得分不少于6分的概率； (2)求X 的分布列.【解】 (1)P(X ＝6)＝C 24A 44＝14，P(X ＝12)＝1A 44＝124，该选手得分不少于6分的概率为P ＝P(X ＝6)＋P(X ＝12)＝724.(2)X 的可能取值是0,3,6,12.P(X ＝3)＝C 14×2A 44＝13，P(X ＝0)＝1－724－13＝924＝38.X 的分布列为：1．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X ，则X 的所有可能取值个数为( )A ．25B ．10C ．7D ．6【解析】 X 的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.【答案】 C2．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P(ξ＝2)B ．P(ξ≤2)C ．P(ξ≤4)D ．P(ξ＝4)【解析】 C 47表示从交通不方便的7个村庄中选4个，C 68表示从交通方便的8个村庄中选6个，结合超几何分布的定义知D 项正确．【答案】 D3．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 【解析】 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c. 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P(|X|＝1)＝a ＋c ＝23.【答案】 234．在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x ，y ，记ξ＝|x －2|＋|y －x|.(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； (2)求随机变量ξ的分布列．【解】 (1)∵x ，y 可能的取值为1,2,3， ∴|x －2|≤1，|y －x|≤2，∴ξ≤3，且当x ＝1，y ＝3或x ＝3，y ＝1时，ξ＝3. 因此，随机变量ξ的最大值为3.∵有放回抽两张卡片的所有情况有3×3＝9种， ∴P(ξ＝3)＝29.故随机变量ξ的最大值为3，事件“ξ取得最大值”的概率为29.(2)ξ的所有取值为0,1,2,3.∵ξ＝0时，只有x ＝2，y ＝2这一种情况；ξ＝1时，有x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝1或x ＝2，y ＝3或x ＝3，y ＝3四种情况； ξ＝2时，有x ＝1，y ＝2或x ＝3，y ＝2两种情况； ξ＝3时，有x ＝1，y ＝3或x ＝3，y ＝1两种情况． ∴P(ξ＝0)＝19，P(ξ＝1)＝49，P(ξ＝2)＝29，P(ξ＝3)＝29.则随机变量ξ的分布列为：。