中考数学专题39__数学思想方法问题 2

39第7章圆之三角形的内切圆一、单项选择题1．假设Rt ABC 的外接圆半径为R,内切圆半径为r ,那么其内切圆的面积与Rt ABC 的面积比为〔 〕 A ．22rr R π+B ．2rR r π+C ．42rR r π+D ．4rR r π+【答案】B【分析】画好符合题意的图形,由切线长定理可得：,,,CE CF r AE AG m BF BG n ======结合勾股定理可得：22,mn Rr r =+再求解直角三角形的面积()()21==22ACB S m r n r Rr r +++,从而可得直角三角形的内切圆的面积与直角三角形的面积之比． 【详解】解：如图,由题意得：902ACB AB R ∠=︒=，，111O E O F O G r ===,由切线长定理可得：,,,CE CF r AE AG BF BG ====设,,AE AG m BF BG n ====()()()222m r n r m n ∴+++=+,2,m n R += ()2mn m n r r ∴=++,22,mn Rr r ∴=+ 而()()()211=+22ACB S m r n r mn mr nr r ++=++()221=222Rr r Rr r +++ 2=2Rr r +122.22O ABC Sr r S Rr r R r ππ∴==++应选B ．【点评】此题考查的是三角形的内切圆与三角形的外接圆,切线长定理,勾股定理的应用,掌握以上知识是解题的关键．2．如图,⊙O 是等边△ABC 的内切圆,分别切AB ,BC ,AC 于点E ,F ,D ,P 是DF 上一点,那么∠EPF 的度数是〔 〕A ．65°B ．60°C ．58°D ．50°【答案】B【分析】连接OE,OF ．求出∠EOF 的度数即可解决问题．【详解】解：如图,连接OE,OF ．∵⊙O 是△ABC 的内切圆,E,F 是切点,∴OE ⊥AB,OF ⊥BC,∴∠OEB=∠OFB=90°,∵△ABC 是等边三角形,∴∠B=60°,∴∠EOF=120°,∴∠EPF=12∠EOF=60°, 应选：B ．【点评】此题考查三角形的内切圆与内心,切线的性质,圆周角定理等知识,解题的关键是熟练掌握根本知识,属于中考常考题型．3．如图,矩形ABCD 的周长为16,E 和F 分别为ABC ∆和ADC ∆的内切圆,连接AE ,CE ,AF ,CF ,EF ,假设37AECFABCD S S =四边形矩形,那么EF 的长为〔 〕A ．32．23．27．43【答案】B【分析】设AB=x,BC=y,内切圆半径为r,由矩形的对称性知ABCE ADCF S S =四边形四边形,结合直角三角形内切圆半径与三角形面积间的关系得到x 、y 、r 的关系式,再由37AECF ABCD S S =四边形矩形推导出x 、y 、r 的关系,从而分别求出r,xy 、22x y +的值,最后由勾股定理求得EF 值.【详解】 如图,设AB=x,BC=y,内切圆半径为r,那么∵矩形ABCD 的周长为16,∴x+y=8①∵E 和F 分别为ABC ∆和ADC ∆的内切圆,∴11(22ABC S xy x y r ∆==++② 由矩形的对称性知ABCE ADCF S S =四边形四边形, ∵37AECFABCD S S =四边形矩形, ∴247ABCE ABCD S S =四边形矩形, ∴112()4227xr yr xy +=, 即()47x y r xy +=③ 由①、②、③联立方程组,解得：r=1,xy=14,2236x y +=,作EH ⊥FH 于H,由勾股定理得：222EF EH FH =+22(2)(2)x y =-+-224()8x y x y =+-++=36-32+8=12,∴EF=23,应选：B.【点评】此题主要考查了矩形的性质、直角三角形内切圆性质、勾股定理等知识,熟练掌握三角形内切圆半径与面积、周长间的关系是解答的关键.4．如图,ABC ∆中,8AB =,6AC =,90A ∠=︒,点D 在ABC ∆内,且DB 平分ABC ∠,DC 平分ACB ∠,过点D 作直线PQ ,分别交AB 、AC 于点P 、Q ,假设APQ ∆与ABC ∆相似,那么线段PQ 的长为〔 〕A ．5B ．356C ．5或356D ．6 【答案】B【分析】分△APQ ∽△ABC,△APQ ∽△ACB 两种情况,结合相似三角形的性质和三角形内切圆求解即可.【详解】解：假设△APQ ∽△ABC,∴∠APQ=∠ABC,∴PQ ∥BC,AP AQ PQ AB AC BC==, ∴∠PDB=∠DBC,∵BD 平分∠ABC,∴∠PBD=∠CBD,∴∠PBD =∠PDB,∴PB=PD,同理,DQ=CQ,∵8AB =,6AC =,90A ∠=︒,∴,设AP=x,根据AP AQ AB AC=得43AP AB AQ AC ==, ∴AQ=34x , ∴PB=PD=8-x,CQ=DQ=6-34x , ∴PQ=PD+QD=7144x -, ∴AP PQ AB BC ,即7144810x x -=,解得：x=14 3,∴PQ=356；假设△APQ∽△ACB,那么AP AQ PQ AC AB BC==,由题意知：D为△ABC的内心,设△ABC的内切圆交AB于M,交AC于N, 可知四边形AMDN为正方形,∴∠A=∠AMD=∠AND=∠MDN=90°,∴AM∥DN,AN∥DM,∴∠MPD=∠NDQ,∠MDP=∠NQD,∴△MPD∽△NDQ,∴MP MD ND NQ=,∵AB=8,AC=6,BC=10,∴DM=DN=68102+-=2,∴AM=AN=2,设PM=x,那么22xNQ =,∴NQ=4 x ,∵AP AQAC AB=,即42268x x++=,解得：x=32或-2〔舍〕,∴AP=32+2=72,∴PQ=AP×BC÷AC=72×10÷6=356.综上：PQ的值为35 6.应选B.【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质,三角形内切圆,角平分线的定义,有一定难度,解题的关键是将三角形相似分两种情况讨论.532,那么这个多边形的内角和为〔〕A．720︒B．360︒C．240︒D．180︒【答案】A【分析】设AB是正多边形的一边,OC⊥AB,在直角△AOC中,利用三角函数求得∠AOC的度数,从而求得中央角的度数,然后利用360度除以中央角的度数,求出边数,根据内角和公式即可求出多边形的内角和.【详解】如图：∵32,∴32,设AB 是正多边形的一边,OC ⊥AB, 32OC OA OB k ===k ，,在直角△AOC 中,32OC cos AOC AO ∠==, ∴∠AOC=30°,∴∠AOB=60°, 那么正多边形边数是：360660︒︒=, ∴多边形的内角和为：()62180720-⨯︒=︒,应选：A ．【点评】此题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的水平,正多边形的计算一般是转化成半径,边心距、以及边长的一半这三条线段构成的直角三角形的计算．二、填空题6．如图,在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,8AC =,6BC =,⊙O 为ABC ∆的内切圆,OA ,OB 与⊙O 分别交于点D ,E ．那么劣弧DE 的长是_______．【答案】32π 【分析】先利用勾股定理计算出10AB =,再利用直角三角形内切圆半径的计算方法得到681022OD +-==,接着三角形角平分线的性质得到135AOB ∠=︒,然后根据弧长公式计算劣弧DE 的长．【详解】解：90C ∠=︒,8AC =,6BC =,226810AB ∴=+=,O 为ABC 的内切圆,681022OD +-∴==,OA 平分BAC ∠,OB 平分ABC ∠, 1190909013522AOB C ∴∠=︒+∠=︒+⨯︒=︒, ∴劣弧DE 的长135231802ππ⨯⨯==． 故答案为32π． 【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了直角三角形内切圆半径的计算方法和弧长公式．7．如图,ABC 的内切圆O 与BC,CA,AB 分别相切于点,,D E F ,且5,13AB BC ==,12CA =,那么阴影局部的面积为_______ (结果保存π)．【答案】262π-【分析】先根据勾股定理的逆定理得出ABC 是直角三角形,再设O 的半径为r,根据三角形的面积公式得出r 的值,然后根据正方形的判定与性质、扇形的面积公式、三角形的面积公式即可得．【详解】5,2,113AB BC CA ===222AB CA AB ∴+=∴ABC 是直角三角形,且90A ∠=︒设O 的半径为r,那么OD OE OF r ===内切圆O 与BC,CA,AB 分别相切于点,,D E F,,OD BC OE CA OF AB ∴⊥⊥⊥ABC OBC OAC OAB S S S S =++11112222AB AC BC OD CA OE AB OF ∴⋅=⋅+⋅+⋅ 即1111512131252222r r r ⨯⨯=⨯+⨯+⨯ 解得2r又,,90OE CA OF AB A ⊥⊥∠=︒∴四边形AEOF 是矩形,90EOF ∠=︒OE OF =∴矩形AEOF 是正方形那么ABC O AEOF EOF EOF S S S S S S =-+-+阴影扇形扇形222190902360360r r AB AC r OE OF πππ=⋅-+-⋅+ 22219029025122222360360πππ⨯⨯=⨯⨯-⨯+-⨯+ 262π=-故答案为：262π-．【点评】此题考查了勾股定理的逆定理、三角形内切圆的性质、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点,掌握三角形内切圆的性质与扇形的面积公式是解题关键．8．假设△ABC 的三边长为3、4、5,那么△ABC 的外接圆半径R 与内切圆半径r 的差为___．【答案】32【分析】先证实△ABC 为直角三角形,然后可知外接圆的半径为斜边的一半,然后求出内切圆的半径,即可得到答案．【详解】解：如下图：连接DF,EF ．∵32+42=52,∴△ABC 为直角三角形．∴它的外接圆的半径为：15522R =⨯=． ∵AB 是圆的切线,DF 是圆的半径,∴DF ⊥AB ．同理EF ⊥BC ．∴∠FDB=∠DBE=∠BEF=90°．∴四边形DBEF 是矩形．∵DF=EF,∴四边形DBEF 是正方形．∴DB=BE ．设圆F 的半径为r,那么4-r+3-r=5．解得：r=1．∴它的内切圆的半径为1． ∴53122-=． 故答案为：32． 【点评】此题主要考查的是三角形的内切圆、外接圆,利用切线长定理列出方程是解题的关键．9．如图,O 是四边形ABCD 的内切圆,连接OA 、OB 、OC 、OD ．假设108AOB ∠=︒,那么COD ∠的度数是____________．【答案】72︒【分析】如图,设四个切点分别为点,,,E F G H ,分别连接切点与圆心,可以得到4对全等三角形,进而得到12∠=∠,34∠=∠,56∠=∠,78∠=∠,根据这8个角和为360°,∠1+∠8=108AOB ∠=︒,即可求出COD ∠=∠5+∠4=72°．【详解】解：设四个切点分别为点,,,E F G H ,分别连接切点与圆心,那么OE AB ⊥,OF CB ⊥,OG CD ⊥,OH AD ⊥且OE OF OG OH ===,在Rt BEO ∆与Rt BFO ∆中OE OF OB OB=⎧⎨=⎩ ∴Rt BEO Rt BFO ∆∆≌,∴12∠=∠,同理可得：34∠=∠,56∠=∠,78∠=∠, 1145(3456)[360(1278)]22COD ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠ 11[3602(18)][3602108]7222=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒．故答案为：72︒【点评】此题考查了切线的性质,添加辅助线构造全等等知识点,一般情况下,直线为圆的切线,构造过切点的半径是常见辅助线做法．10．如图,将边长为8的正方形纸片ABCD 沿着EF 折叠,使点C 落在AB 边的中点M 处.点D 落在点D 处,MD '与AD 交于点G ,那么AMG 的内切圆半径的长为___________．【答案】43【分析】由勾股定理可求ME ＝5,BE ＝3,通过证实△AMG ∽△BEM,可得AG ＝163,GM ＝203,即可求解． 【详解】解：∵将边长为8的正方形纸片ABCD 沿着EF 折叠,使点C 落在AB 边的中点M 处,∴ME ＝CE ,MB ＝12AB ＝4＝AM ,E C D M ＝90°, 在Rt △MBE 中,ME 2＝MB 2 ＋BE 2,∴ME 2＝16＋〔8－ME 〕2,∴ME ＝5,∴BE ＝3,∵DA D ME B ＝90°＝∠B,∴∠EMB ＋∠BEM ＝90°,D EMB AM ＋＝90°,∴A B M M D E ,且GAM B ＝90°, ∴△AMG ∽△BEM, ∴AM AG GM BE MB ME==, ∴4345AG GM ==, ∴AG ＝163,GM ＝203, ∴△AMG 的内切圆半径的长＝+423AM GM AG =－故答案为：43【点评】此题考查三角形内切圆和内心、勾股定理、相似三角形的判定和性质,解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质求出AG 、GM 的长度．三、解做题11．：ABC ∆．问题一：请用圆规与直尺〔无刻度〕直接在ABC ∆内作内切圆,〔要求清楚地保存尺规作图的痕迹,不要求写画法〕问题二：假设ABC ∆的周长是24,ABC ∆的面积是24,,求ABC ∆的内切圆半径．【答案】〔1〕见解析；〔2〕r=2【分析】〔1〕先作∠B 和∠C 的平分线交于点O,再过点O 作OH ⊥AB 于H,然后以点O 为圆心,OH 为半径作圆即可； 〔2〕连结OA 、OB 、OC,作OD ⊥AB 于D,OE ⊥BC 于E,OF ⊥AC 于F,根据切线的性质得OD=OE=OF=r,那么利用S△ABC =S △AOB +S △OBC +S △OAC 得到12r AB+12r BC+12r AC=24,变形得到12r 〔AB+BC+AC 〕=24,然后把周长为24代入计算即可得到r 的值．【详解】解：〔1〕如图,O 为所求作的ABC ∆的内切圆；〔2〕解：如下列图,连结OA、OB、OC,作OD⊥AB于D,OE⊥BC于E,OF⊥AC于F, 设它的内切圆的半径为r,那么OD=OE=OF=r,∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC,∴12r AB+12r BC+12r AC=24,∴12r〔AB+BC+AC〕=24,∴12r24=24,∴r=2．即ABC的内切圆的半径为2．【点评】此题考查了如何作三角形的内切圆与求三角形内切圆的半径,在作内切圆的时先要明确如何确定三角形的内心,即三角形三个内角角平分线的交点,以及三角形的内心到三角形三边的距离是三角形内切圆的半径,掌握以上要点是完成作图的关键；三角形的内心到三角形三边的距离相等和切线的性质,是解答第〔2〕小题,建立等式的关键．12．：如图,△ABC三边BC=a,CA=b,AB=c,它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．【答案】S=12(a+b+c)r【分析】设△ABC与⊙O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF,根据S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC,即可求解【详解】如图,设△ABC与⊙O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．那么OD⊥AB,OE⊥AC,OF⊥BC．∵S△AOB=12AB•OD=12cr,同理,S△OBC=12ar,S△OAC=12br．∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC,即S=12cr+12ar+12br=12(a+b+c)r【点评】此题考查了三角形的内切圆的计算,正确作出辅助线,把△ABC的面积的计算分解成几个三角形的面积的计算是关键.13．：如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C=90°．(1)假设AC=12cm,BC=9cm,求⊙O的半径r；(2)假设AC=b,BC=a,AB=c,求⊙O的半径r．【答案】〔1〕r=3cm. (2) r=12〔a+b-c〕．【分析】首先设AC、AB、BC与⊙O的切点分别为D、E、F；易证得四边形OFCD是正方形；那么根据切线长定理可得：CD=CF=12〔AC+BC-AB〕,由此可求出r的长．【详解】〔1〕如图,连接OD,OF；在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12cm,BC=9cm；根据勾股定理AB=22AC BC=15cm；四边形OFCD中,OD=OF,∠ODC=∠OFC=∠C=90°；那么四边形OFCD是正方形；由切线长定理,得：AD=AE,CD=CF,BE=BF；那么CD=CF=12〔AC+BC-AB〕；即：r=12〔12+9-15〕=3cm．〔2〕当AC=b,BC=a,AB=c,由以上可得：CD=CF=12〔AC+BC-AB〕；即：r=12〔a+b-c〕．那么⊙O的半径r为：12〔a+b-c〕．【点评】此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法．利用切线长定理得出四边形OFCD是正方形是解题关键．14．〔特例感知〕〔1〕如图〔1〕,ABC ∠是O 的圆周角,BC 为直径,BD 平分ABC ∠交O 于点D ,3CD =,4BD =,求点D到直线AB 的距离． 〔类比迁移〕〔2〕如图〔2〕,ABC ∠是O 的圆周角,BC 为O 的弦,BD 平分ABC ∠交O 于点D ,过点D 作DE BC ⊥,垂足为点E ,探索线段AB ,BE ,BC 之间的数量关系,并说明理由．〔问题解决〕〔3〕如图〔3〕,四边形ABCD 为O 的内接四边形,90ABC ∠=︒,BD 平分ABC ∠,72BD =,6AB =,求ABC 的内心与外心之间的距离．【答案】〔1〕125；〔2〕2AB BC BE +=,理由见解析；〔35 【分析】〔1〕如图①中,作DF AB ⊥于F ,DE BC ⊥于E ．理由面积法求出DE ,再利用角平分线的性质定理可得DF DE =解决问题；〔2〕如图②中,结论：2AB BC BE +=．只要证实()DFA DEC ASA ∆≅∆,推出AF CE =,Rt BDF Rt BDE(HL)∆≅∆,推出AF BE =即可解决问题；〔3〕如图③,过点D 作DF ⊥BA,交BA 的延长线于点F ,DE ⊥BC,交BC 于点E ,连接AC ,作△ABC △ABC 的内切圆,圆心为M ,N 为切点,连接MN ,OM ．由〔1〕〔2〕可知,四边形BEDF 是正方形,BD 是对角线．由切线长定理可知：610842AN +-==,推出541ON =-=,由面积法可知内切圆半径为2,在Rt OMN ∆中,理由勾股定理即可解决问题；【详解】解：〔1〕如图①中,作DF AB ⊥于F ,DE BC ⊥于E ．图① BD 平分ABC ∠,DF AB ⊥,DE BC ⊥,DF DE ∴=, BC 是直径,90BDC ∴∠=︒, 2222435BC BD CD ∴=+=+=,1122BC DE BD DC =, 125DE ∴=, 125DF DE =∴=． 故答案为125 〔2〕如图②中,结论：2AB BC BE +=．图②理由：作DF BA ⊥于F ,连接AD ,DC ． BD 平分ABC ∠,DE BC ⊥,DF BA ⊥,DF DE ∴=,90DFB DEB ∠=∠=︒,180ABC ADC ∠+∠=︒,180ABC EDF ∠+∠=︒,ADC EDF ∴∠=∠,FDA CDE ∴∠=∠,90DFA DEC ∠=∠=︒,()DFA DEC ASA ∴∆≅∆,AF CE ∴=,BD BD =,DF DE =,Rt BDF Rt BDE(HL)∴∆≅∆,BF BE ∴=,2AB BC BF AF BE CE BE ∴+=-++=．〔3〕如图③,过点D 作DF ⊥BA,交BA 的延长线于点F ,DE ⊥BC,交BC 于点E ,连接AC ,作△ABC △ABC 的内切圆,圆心为M ,N 为切点,连接MN ,OM ．由〔1〕〔2〕可知,四边形BEDF 是正方形,BD 是对角线．图③ 72BD =,∴正方形BEDF 的边长为7,由〔2〕可知：28BC BE AB =-=,10AC ∴=, 由切线长定理可知：610842AN +-==, 541ON ∴=-=,设内切圆的半径为r , 那么11111068682222r r r ⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯ 解得2r ,即2MN =,在Rt OMN ∆中,OM ===【点评】此题属于圆综合题,考查了角平分线的性质定理,全等三角形的判定和性质,勾股定理,解直角三角形,正方形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．15．如图1,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形OABC 的顶点B 在y 轴的正半轴上,O 为坐标原点,现将正方形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转,旋转角为θ〔045θ︒≤≤︒〕〔1〕当点A 落到y 轴正半轴上时,求边BC 在旋转过程中所扫过的面积；〔2〕假设线段AB 与y 轴的交点为M 〔如图2〕,线段BC 与直线y x =的交点为N ,当22.5θ=︒时,求此时BMN △内切圆的半径；〔3〕设MNB 的周长为l ,试判断在正方形OABC 旋转的过程中l 值是否发生变化,并说明理由．【答案】〔1〕8π；〔2〕322-〔3〕不发生变化,理由见详解. 【分析】〔1〕由题意当点A 落到y 轴正半轴上时,边BC 在旋转过程中所扫过的面积OCB OBC OBB OCC S S S S ∆'∆''=+--扇形扇形由此计算即可．〔2〕如图2中,在OA 取一点E ,使得EM EO =,首先证实AEM ∆是等腰直角三角形,推出AM AE =,设AE AM x ==,那么2EM EO x ==,可得21x x +=,解得21x =,推出1(21)22BM AB AM =-=-=同理可得22BN =,推出2222MN BM ==,设BMN ∆的内切圆的半径为r ,那么有11()22MN BM BN r BM BN ++=,由此求出r 即可解决问题． 〔3〕在正方形OABC 旋转的过程中l 值不发生变化．如图3中,延长BA 到E 使得AE CN =．只要证实OAE OCN ∆≅∆,推出OE ON =,AOE CON ∠=∠,再证实MOE MON ∆≅∆,推出EM MN =,推出BNM ∆的周长()()MN BM BN EM BM BN AM BM AE BN =++=++=+++()()22AM BM CN BN AB =+++==．【详解】解：〔1〕如图1中,由题意当点A 落到y 轴正半轴上时,边BC 在旋转过程中所扫过的面积OCB OBC OBB OCC S S S S ∆'∆''=+--扇形扇形 OBB OCC S S ''=-扇形扇形 2245(2)451360360ππ=- 8π=．〔2〕如图2中,在OA 取一点E ,使得EM EO =,22.5AOM ∠=︒,22.5EOM EMO ∴∠=∠=︒,45AEM EOM EMO ∴∠=∠+∠=︒,AEM ∴∆是等腰直角三角形,AM AE ∴=,设AE AM x ==,那么2EM EO x ==, 21x x ∴+=,21x ∴=-,1(21)22BM AB AM ∴=-=--=-,同理可得22BN =-,2222MN BM ∴==-,设BMN ∆的内切圆的半径为r ,那么有11()22MN BM BN r BM BN ++=, 2(22)3222222222BM BN r MN BM BN -∴===-++-+-+-． 〔3〕在正方形OABC 旋转的过程中l 值不发生变化．理由：如图3中,延长BA 到E 使得AE CN =．AE CN =,90OAE OCN ∠=∠=︒,OA OC =,OAE OCN ∴∆≅∆,OE ON ∴=,AOE CON ∠=∠,45MON ∠=︒,45MOA CON MOA AOE ∴∠+∠=∠+∠=︒,MOE MON ∴∠=∠,OM OM =,MOE MON ∴∆≅∆,EM MN ∴=,BNM ∴∆的周长MN BM BN EM BM BN =++=++()()()()22AM BM AE BN AM BM CN BN AB =+++=+++==,BNM ∴∆的周长为定值．【点评】此题考查圆综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内切圆、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．16．如下图,等腰ABC △,5AB AC ==,6BC =,求三角形的内切圆O 的半径R .【答案】32R = 【解析】作AD ⊥BC,根据等腰三角形的性质可得BD 的长,利用勾股定理可求出AD 的长,即可求出△ABC 的面积,设△ABC 的内切圆与△ABC 各边的切点为E 、F 、G,根据S △ABC =S △AOB +S △BOC +S △AOC 列方程即可求出R 的值,可得答案.【详解】在图〔1〕中,作AD BC ⊥,垂足为D∵5AB AC ==,6BC =,∴BD=CD=3,∴AD=22AB BD -=4,∴1122ABC S BC AD ∆=⋅= 在图〔2〕中,设ABC △的内切圆O 切点分别为E 、F 、G,连接 OA 、OE 、OB 、OG 、OC 、OF, ∴OE ⊥AB,OG ⊥BC,OF ⊥AC,∵()12ABC ABO BCO ACO S S S S AB BC AC R ∆∆∆=++=++⋅ ∴()1125562R =++⨯ ∴32R =【点评】此题考查了三角形的内切圆、等腰三角形的性质,熟练掌握面积法求三角形内切圆的半径方法是解题的关键..17．阅读材料：,如图〔1〕,在面积为S 的△ABC 中, BC=a ,AC=b , AB=c ,内切圆O 的半径为r 连接OA 、OB 、OC ,△ABC 被划分为三个小三角形．1111()2222OBC OAC OAB S S S S BC r AC r AB r a b c r ∆∆∆=++=⋅+⋅+⋅=++ ∴2=++S r a b c．〔1〕类比推理：假设面积为S 的四边形ABCD 存在内切圆〔与各边都相切的圆〕,如图〔2〕,各边长分别为AB=a ,BC=b ,CD=c ,AD=d ,求四边形的内切圆半径r ；〔2〕理解应用：如图(3),在等腰梯形ABCD 中,AB ∥DC ,AB =21,CD =11,AD =13,⊙O 1与⊙O 2分别为△ABD 与△BCD 的内切圆,设它们的半径分别为r 1和r 2,求12r r 的值. 【答案】〔1〕2S r a b c d=+++〔2〕12149r r =. 【分析】〔1〕如图,连接OA 、OB 、OC 、OD,那么△AOB 、△BOC 、△COD 和△DOA 都是以点O 为顶点、高都是r 的三角形,根据AOB BOC COD AOD S S S S S ∆∆∆∆=+++即可求得四边形的内切圆半径r.〔2〕过点D 作DE ⊥AB 于点E,分别求得AE 的长,进而BE 的长,然后利用勾股定理求得BD 的长；然后根据11(132120)2ABD S r ∆=++,21(111320)2BCD S r ∆=++,两式相除,即可得到的值.【详解】解：〔1〕如图〔2〕,连接OA 、OB 、OC 、OD.∵11111()22222AOB BOC COD AOD S S S S S ar br cr dr a b c d r ∆∆∆∆=+++=+++=+++ ∴2S r a b c d=+++〔2〕如图〔3〕,过点D 作DE ⊥AB 于点E, ∵梯形ABCD 为等腰梯形, ∴11()(2111)522AE AB DC =-=-= ∴21516BE AB AE =-=-= 在Rt △AED 中,∵AD=13,AE=5,∴DE=12, ∴2222121620BD DE BE +=+=∵AB ∥DC,∴2111ABD BCD S AB S DC ∆∆==. 又∵1112221(132120)5427214422(111320)2ABDBCD r S r r S r r r ∆∆++===++, ∴1227212211r r =.即12149r r =.18．如下图,在Rt ABC △中,90,3,4C AC BC ∠=︒==〔1〕求BOA ∠.〔2〕求ABC △内切圆半径.【答案】〔1〕135BOA ∠=︒；〔2〕内切圆半径为1.【解析】〔1〕由三角形内角和可得∠CBA+∠CAB=90°,由O 为内切圆圆心可得OA 、OB 为∠CBA 和∠CAB 的角平分线,即可得出∠OAB+∠OBA=45°,根据三角形内角和求出∠BOA 的度数即可；〔2〕连接OD,OE 、OF,由切线性质可得OD ⊥BC,OE ⊥AC,OF ⊥AB,由∠C=90°,OD=OE 可证实四边形DCEO 是正方形,可得OD=CD,利用勾股定理可求出AB 的长,根据切线长定理可得CD=CE,AE=AF,BD=BF,设内切圆半径OD=r,根据AB=BF+AF 列方程即可求出r 的值,即可得答案.【详解】〔1〕∵∠C=90°, ∴∠CBA+∠CAB=90°,∵O 为内切圆圆心,∴OA 、OB 为∠CBA 和∠CAB 的角平分线,∴∠OAB+∠OBA=12∠CBA+12∠CAB=45°,∴∠BOA=180°-45°=135°.〔2〕连接OD,OE、OF,∵AB、AC、BC是切线,切点为D、E、F,∴OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,CD=CE,AE=AF,BD=BF,∵∠C=90°,OD=OE,∴四边形DCEO是正方形,∴CD=OD,设OD=r,∴AF=AE=3-r,BF=BD=4-r,∵AC=3,BC=4,∴AB=22=5,AC BC∴AB=BF+AF=3-r+4-r=5,△内切圆半径为1.解得r=1,即ABC【点评】此题考查了三角形的内切圆的性质、切线长定理、正方形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解题关键．。

中考数学专题复习一常用的数学思想和方法一、常用的数学思想（数学中的四大思想）1.函数与方程的思想用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想，函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法。

深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础，运用方程思想解题可归纳为三个步骤：①将所面临的问题转化为方程问题；②解这个方程或讨论这个方程，得出相关的结论；③将所得出的结论再返回到原问题中去。

2．数形结合思想在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。

3．分类讨论思想在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。

分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。

分类讨论的解题步骤一般是：（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；（2）合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复；（3）逐步讨论，分级进行；（4）归纳总结作出整个题目的结论。

4.等价转化思想等价转化是指同一命题的等价形式.可以通过变量问题的条件和结论，或通过适当的代换转化问题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现。

常用的转化策略有：已知与未知的转化；正向与反向的转化；数与形的转化；一般于特殊的转化；复杂与简单的转化。

二、常用的数学方法主要有换元法、配方法和待定系数法三种。

三、例题解析【例1】（2004年北京市东城区）解方程：x+1-3x+1=2．解：设x＋1＝y，则原方程化为y-3y=2去分母，得y2-2y-3=0．解这个方程，得y1=-1,y2=3．当y＝－1时，x＋1＝－1，所以x＝－2；当y＝3时，x＋1＝3，所以x＝2．经检验，x＝2和x＝－2均为原方程的解．〖点拨〗解分式方程通常是采用去分母或还元法化为整式方程，并特别要注意验根。

1．数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．✮（4）数轴上两点间的距离公式：AB=X B-X A(即：右端点减左端点）✮（5）数轴上中点数公式：=+2(即：中点等于两端点相加除以2）例题精讲【例1】.如图，点A在数轴上表示的数为﹣3，点B表示的数为2，点P在数轴上表示的是整数，点P不与A、B重合，且PA+PB＝5，则满足条件的P点表示的整数有___________.解：∵PA+PB＝5，∴点P在A，B两点之间，A，B两点之间的整数有﹣2，﹣1，0，1，变式训练【变式1-1】．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝15，且OA＝2OB，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若3AP+2OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝ 2.5或5.5．解：∵AB＝15，OA＝2OB，∴AO＝AB＝10，BO＝AB＝5，∴A点对应数为﹣10，B点对应数为5，设经过t秒，则AP＝＝，OP＝5+4t，BP＝5+4t﹣（5+2t）＝2t，当t≤15时，3AP+2OP﹣mBP＝45﹣3t+10+8t﹣2mt＝（5﹣2m）t+55，∴当5﹣2m＝0，即m＝2.5时，3AP+2OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，当t＞15时，3AP+2OP﹣mBP＝3t﹣45+10+8t﹣2mt＝（11﹣2m）t﹣35，∴当11﹣2m＝0，即m＝5.5时，上式为定值﹣35，也不随t发生改变，故m为2.5或5.5．故答案为：2.5或5.5．【变式1-2】．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为M点的3倍，点P 从原点出发，速度为每秒1个单位．（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距46个单位？（2）若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？（3）当时间t满足t1＜t≤t2时，M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出t1，t2的值．解：（1）设运动时间为t秒，由题意可得：6+8+2t+6t＝46，∴t＝4，∴运动4秒，点M与点N相距46个单位；（2）设运动时间为t秒，由题意可知：M点运动到6+2t，N点运动到﹣8+6t，P点运动到t，由t＝﹣8+6t可得t＝1.6，当t＜1.6时，点N在点P左侧，若MP＝NP，则t﹣（﹣8+6t）＝6+2t﹣t，解得t＝（s）；当t＞1.6时，点N在点P右侧，若MP＝NP，则﹣8+6t﹣t＝6+2t﹣t，解得t＝（s），∴运动s或s时，点P到点M，N的距离相等；（3）由题意可得：M、N、P三点之间整数点的多少可看作它们之间距离的大小，M、N两点距离最大，M、P两点距离最小，可得出M、P两点向右运动，N点向左运动①当t1＝4s时，P在4，M在14，N在﹣32，再往前一点，MP之间的距离即包含10个整数点，NP之间有47个整数点；②当N继续以6个单位每秒的速度向左移动，P点向右运动，若N点移动到﹣33时，此时N、M之间仍为47个整数点，若N点过了﹣33时，此时N、M之间为48个整数点故t2＝+4＝（s），∴t1，t2的值分别为4s，s．【例2】．如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A，B，C，D，E，F，点A 落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上﹣2023的点是点D．解：由图形可知，旋转一周，点B对应的数是1，点C对应的数是0，点D对应的数是﹣1，点E对应的数是﹣2，点F对应的点为﹣3，点A对应的点为﹣4，继续旋转，点B对应的点为﹣5，点C对应的点为﹣6．∵2023÷6＝337…1，∴数轴上表示﹣2025的点与圆周上点D重合．故答案为：点D．变式训练【变式2-1】．在数轴上，点A，O，B分别表示﹣15，0，9，点P，Q分别从点A，B同时开始沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒4个单位，点Q的速度是每秒1个单位，运动时间为t秒．若点P，Q，O三点在运动过程中，其中一个点恰好是另外两点为端点的线段的一个中点，则运动时间为或或秒．解：由题知，P点对应的数为：﹣15+4t，Q点对应的数为：9+t，（1）当O为PQ中点时，根据题意得15﹣4t＝9+t，解得t＝，（2）当P是OQ的中点时，根据题意得2（4t﹣15）＝9+t，解得t＝，（3）当Q是OP的中点时，根据题意得2（9+t）＝4t﹣15，解得t＝，故答案为：或或．【变式2-2】．如图：在数轴上A点表示数﹣3，B点示数1，C点表示数9．（1）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示的点重合；（2）若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动．①若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值；②当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m 的值，若不存在，请说明理由．解：（1）AB＝9﹣（﹣3）＝12，12÷2＝6，AB的中点表示的数为：9﹣6＝3，3﹣1＝2，3+2＝5，则点B与5表示的点重合；（2）①由题意可知，t秒时，A点所在的数为：﹣3﹣2t，B点所在的数为：1﹣t，C点所在的数为：9﹣4t，（i）若B为AC中点，则．∴t＝1；（ii）若C为AB中点，则，∴t＝4；（iii）若A为BC中点，则，∴t＝16，∴综上，当t＝1或4或16时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点；②假设存在．∵C在B右侧，B在A右侧，∴BC＝9﹣4t﹣（1﹣t）＝8﹣3t，AB＝1﹣t﹣（﹣3﹣2t）＝4+t，mBC﹣2AB＝m（8﹣3t）﹣2（4+t）＝8m﹣3mt﹣8﹣2t＝8m﹣8﹣（3mt+2t）＝8m﹣8﹣（3m+2）t，当3m+2＝0即m＝时，mBC﹣2AB＝8×（﹣）﹣8＝﹣为定值，∴存在常数m＝﹣，使mBC﹣2AB的值为定值．1．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”“8cm”的刻度分别对应数轴上的是﹣3和x所表示的点，那么x等于（）A．5B．6C．7D．8解：根据数轴可知：﹣3+8＝5，故选：A．2．等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2021次后，点B（）A．对应的数是2019B．对应的数是2020C．对应的数是2021D．不对应任何数解：结合数轴，根据连续翻转可得出从原点开始，向右依次是A、B、C循环排列，2021次后共得出2022个顶点，∵2022÷3＝674，∴最后一个点为C，∵最后一个点C是翻转了2021次后得到的，∴点C表示的数为2021，∴点B表示的数为2020，故选：B．3．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点的距离，|x﹣2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（）①若|x﹣2022|＝1，则x＝2021或2023；②若|x﹣1|＝|x+3|，则x＝﹣1；③若x＞y，则|x﹣2|＞|y﹣2|；④关于x的方程|x+1|+|x﹣2|＝3有无数个解．A．1B．2C．3D．4解：①若|x﹣2022|＝1，可得x﹣2022＝±1，则则x＝2021或2023；所以①说法正确；②若|x﹣1|＝|x+3|，几何意义是数轴到表示数1的点和表示数3的点的距离相等的点，即可得出x＝﹣1；所以②说法正确；③当y＜x＜0时，则|x﹣2|＜|y﹣2|，所以③说法不正确；④因为|x+1|+|x﹣2|＝3的几何意义是到数轴上表示﹣1的点与表示2的点的距离和等于3的点，即﹣1≤x≤2时满足题意，所以有无数个解，故④说法正确．故选：C．4．数轴上点A表示的数是﹣3，把点A向右移动5个单位，再向左移动7个单位到A′，则A′表示的数是﹣5．解：依题意得：﹣3+5﹣7＝﹣5，即则A′表示的数是﹣5．故答案为：﹣5．5．数轴上点A表示﹣8，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O 和点B，C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动．其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，t＝4.4时，M、N两点相遇（结果化为小数）．解：当点M、N都运动到折线段O﹣B﹣C上，即t≥2时，M表示的数是×（t﹣2）＝2t﹣4，N表示的数是12﹣3（t﹣2）＝18﹣3t，∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，∴2t﹣4＝18﹣3t，解得：t＝＝4.4，故答案为：4.4．6．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且ab＜0．（1）原点在第②部分（填序号）；（2）化简式子：|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|；（3）若|c﹣5|+（a+1）2＝0，且BC＝2AB，求点B表示的数．解：（1）∵点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且ab＜0，∴a＜0，b＞0，∴原点在点A和点B之间，又∵从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，∴原点在第②部分；故答案为：②（2）∵a＜0，b＞0，∴a﹣b＜0，c＞0，∴c﹣a＞0，∴|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|＝b﹣a﹣（c﹣a）﹣（﹣a）＝b﹣a﹣c+a+a＝a+b﹣c；（3）∵|c﹣5|+（a+1）2＝0，又∵|c﹣5|≥0，（a+1）2≥0，∴c﹣5＝0，a+1＝0，∴c＝5，a＝﹣1，∵B对应的数是b，5＞b＞﹣1，∴BC＝5﹣b，AB＝b﹣（﹣1）＝b+1，又∵BC＝2AB，∴5﹣b＝2×（b+1），即3b＝3，解得：b＝1，∴点B表示的数为1．7．已知b是最小的正整数，且（c﹣5）2与|a+b|互为相反数．（1）填空：a＝﹣1，b＝1，c＝5；（2）若P为一动点，其对应的数为x，点P在0和2表示的点之间运动，即0≤x≤2时，化简：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）；（3）如图，a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，在（1）的条件下，若点A 以1个单位长度/s的速度向左运动，同时，点B和点C分别以2个单位长度/s和5个单位长度/s的速度向右运动．ts后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．解：（1）依题意得，b＝1，c﹣5＝0，a+b＝0，解得a＝﹣1，c＝5．故答案为：﹣1，1，5；（2）点P在0和2表示的点之间运动，即0≤x≤2时，当0≤x≤1时，x+1＞0，x﹣1≤0，x+5＞0，原式＝x+1+x﹣1+2x+10＝4x+10；当1＜x≤2时，x+1＞0，x﹣1＞0，x+5＞0，原式＝x+1﹣x+1+2x+10＝2x+12．综上可知，|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|＝4x+10或2x+12；（3）不变，理由：t秒后A点表示的数是﹣1﹣t，B点表示的数是1+2t，C的表示的数是5+5t，∵AB＝1+2t﹣（﹣1﹣t）＝3t+2，BC＝5+5t﹣（1+2t）＝3t+4，∴BC﹣AB＝2，∴BC﹣AB的值不变，是2．8．数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B 的右侧，AC﹣AB＝2．（1）若m＝﹣8，n＝2，点D是AC的中点．①则点D表示的数为﹣2．②如图2，线段EF＝a（E在F的左侧，a＞0），线段EF从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动（点F不与B点重合），点M是EC的中点，N是BF的中点，在EF 运动过程中，MN的长度始终为1，求a的值；（2）若n﹣m＞2，点D是AC的中点，若AD+3BD＝4，试求线段AB的长．解：（1）①∵m＝﹣8，n＝2，∴AB＝2﹣（﹣8）＝10．∵AC﹣AB＝2，∴AC＝12，∴点C对应的数字为4，∵点D是AC的中点，∴CD＝AC＝6，设点D表示的数为x，∴4﹣x＝6，∴x＝﹣2．∴点D表示的数为﹣2．故答案为：﹣2；②设EF运动的时间为t秒，则点E对应的数字为t﹣8，点F对应的数字为t﹣8+a，∵点M是EC的中点，N是BF的中点，∴点M对应的数字为＝，点N对应的数字为＝，∵MN＝1，∴||＝1．解得：a＝0或a＝4，∵a＞0，∴a＝4；（2）设点C对应的数字为c，点D对应的是为d，∵点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B的右侧，AC﹣AB＝2，∴c＝n+2，AB＝n﹣m．∵点D是AC的中点，∴d＝，∴AD＝m＝，BD＝n﹣＝，∵AD+3BD＝4，∴＝4，解得：n﹣m＝3．∴AB＝3．9．如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，其中a＜0，b＞0．（1）若a＝﹣7，b＝3，求线段AB的长度及线段AB的中点C表示的数c；（2）该数轴上有另一点D表示数d．①若d＝2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD．求整式2a+8b+2023的值；②若d＝﹣2，且AB＝5BD，能否求整式2a+8b+2023的值？若能，求出该值；若不能，说明理由．解：（1）∵a＝﹣7，b＝3，∴线段AB的中点C表示的数c＝3﹣×（|﹣7|+3）＝3﹣×10＝3﹣5＝﹣2；（2）①∵d＝2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD，∴AB＝b﹣a，BD＝b﹣2，∴b﹣a＝5（b﹣2），∴a+4b＝10，∴2a+8b+2023＝2（a+4b）+2023＝2×10+2023＝2043；②能求出代数式的值，∵d＝﹣2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD，∴AB＝b﹣a，BD＝b+2，∴b﹣a＝5（b+2），∴a+4b＝﹣10，∴2a+8b+2023＝2（a+4b）+2023＝2×（﹣10）+2023＝﹣20+2023＝2003；10．先阅读，后探究相关的问题【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（1）如图，先在数轴上画出表示点4.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为﹣4.5和 3.5，B，C两点间的距离是8；（2）若点A表示的整数为x，则当x为﹣2时，|x+6|与|x﹣2|的值相等；（3）要使代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣1≤x≤2．解：（1）4.5的相反数是﹣4.5，即点B表示的数为﹣4.5；点C表示的数为5﹣1.5＝3.5；B，C两点间的距离是3.5﹣（﹣4.5）＝3.5+4.5＝8；故答案为：﹣4.5，3.5，8；（2）∵|x+6|与|x﹣2|的值相等，∴x+6＝x﹣2此种情况等式不成立，或x+6＝﹣（x﹣2），x＝﹣2，∴x＝﹣2时，|x+6|与|x﹣2|的值相等；故答案为：﹣2；（3）∵|x+1|+|x﹣2|值最小，∴在数轴上可以看作表示x的到﹣1的距离与到2的距离和最小，∴数x只能在﹣1与2之间，包括﹣1与2两个端点，∴﹣1≤x≤2．故答案为：﹣1≤x≤2．11．如图，已知点O为数轴的原点，点A、B、C、D在数轴上，其中A、B两点对应的数分别为﹣1、3．（1）填空：线段AB的长度AB＝4；（2）若点A是BC的中点，点D在点A的右侧，且OD＝AC，点P在线段CD上运动．问：该数轴上是否存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化？（3）若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点F从点B以20个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是PE、OF的中点．点P、E、F的运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由．解：（1）∵A、B两点对应的数分别为﹣1、3，∴OA＝1，OB＝3，∴AB＝OA+OB＝4．故答案为：4；（2）数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化．理由：A、B两点对应的数分别为﹣1、3，∴OA＝1，OB＝3，∵点A是BC的中点，∴AC＝AB＝4．∴OC＝AC+OA＝5，∴C点对应的数为﹣5．又∵OD＝AC，点D在点A的右侧，∴D点对应的数为4．设P点对应的数为x，①P点在射线CA上时，PA＝﹣1﹣x，PB＝3﹣x，∴PA+PB＝﹣1﹣x+（3﹣x）＝2﹣2x，∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化；②P点在线段AB上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝3﹣x，∴PA+PB＝x+1+（3﹣x）＝4，∴PA+PB的值随着点P的运动没有发生变化；③P点在射线BD上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝x﹣3，∴PA+PB＝x+1+（x﹣3）＝2x﹣2，∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化．综上，P点在线段AB上时，PA+PB的值没有发生变化，∴数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化；（3）在运动过程中，的值不发生变化．理由：设运动时间为t 分钟，则OP ＝t ，OE ＝5t +1，OF ＝20t +3，∴EF ＝OE +OF ＝25t +4，∵M 、N 分别是PE 、OF 的中点，∴EM ＝PM ＝PE ＝（OP +OE ）＝3t +，ON ＝OF ＝10t +，∴OM ＝OE ﹣EM ＝5t +1﹣（3t +）＝2t +，∴MN ＝OM +ON ＝12t +2，∴．∴在运动过程中，的值不发生变化．12．如图，在数轴上，点O 表示原点，点A 表示的数为﹣1，对于数轴上任意一点P （不与点A 点O 重合），线段PO 与线段PA 的长度之比记作k （p ），即，我们称k （p ）为点P 的特征值，例如：点P 表示的数为1，因为PO ＝1，PA ＝2，所以．（1）当点P 为AO 的中点时，则k （p ）＝1；（2）若k （p ）＝2，求点P 表示的数；（3）若点P 表示的数为p ，且满足p ＝2n ﹣1，（其中n 为正整数，且1≤n ≤7），求所有满足条件的k （p ）的和．解：（1）由题意可知，当点P 为AO 的中点时点P 表示的数为，，∴，故答案为：1；（2）设点P 表示的数为x ，则PO ＝|x |，PA ＝|x ﹣（﹣1）|＝|x +1|，∵k （p ）＝2，∴，即PO ＝2PA ，∴|x|＝2|x+1|，∴x＝2（x+1）或x＝﹣2（x+1），解得：x＝﹣2或；故：点P表示的数﹣2或；（3）点P表示的数为p，且满足p＝2n﹣1，（其中n为正整数，且1≤n≤7），p＝2n﹣1＞0，此时：PO＝p，PA＝p﹣（﹣1）＝p+1，当p＝2n﹣1时∵1≤n≤7，且n为正整数，则所有满足条件的k的值分别为：（p），故所有满足条件的k的和为：＝（p），令，则，②﹣①得：，∴＝＝．13．把一根小木排放在数轴上，木棒左端点与点A重合，右端点与点B重合，数轴的单位长度为1cm，如图所示．（1）若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点B处时、它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点A处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为5cm；我们把这个模型记为“木捧摸型”；（2）在（1）的条件下，已知点C表示的数为﹣2．若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点C相距3cm时，求木棒的右端点与点A的距离；（3）请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题．某一天，小字问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要41年才出生；你若是我现在这么大，我就有124岁了，世界级老寿星了，哈哈！”请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年龄．解：（1）由图观察可知，三根木棒长是20﹣5＝15（cm），则此木棒长为：15÷3＝5（cm）；故答案为：5cm；（2）由题可知，点A所表示的数是5+5＝10，∵木棒的左端点与点C相距3cm，点C表示的数为﹣2，当左端点在点C右侧3cm时，此时木棒左端点表示的数为：﹣2+3＝1，右端点表示的数为；1+5＝6，木棒的右端点与A的距离为：10﹣6＝4，当左端点在点C左侧3cm时，此时木棒左端点表示的数为：﹣2﹣3＝﹣5，木棒的右端点表示的数为：﹣5+5＝，木棒的右端点与点A的距离＝10﹣0＝10，∴木棒的右端点与点A的距离为4或10；（3）由图可知，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，类似爷爷是小红现在年龄时看作当B点移动到A点时，此时A点所对应的数位﹣41，因为当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为124，所以爷爷比小红大[124﹣（﹣41）]÷3＝55（岁），所以爷爷的年龄为124﹣55＝69（岁），答：爷爷现在的年龄是69岁．14．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．（1）若点A表示数﹣1，点B表示的数2，下列各数：，0，1，4，5所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，C5，其中是点A，B的“联盟点”的是C2，C3，C5；（2）点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，P是数轴上的一个动点：①若点P在线段AB上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；②若点P在点A的左侧，点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点P表示的数．解：（1）∵AC1═﹣﹣（﹣1）═，BC1═2﹣（﹣）═，∴2AC1≠BC1，∴C1不是A，B的“联盟点”．∵AC2═0﹣（﹣1）═1，BC2＝2﹣0＝2，∴2AC2═BC2，∴C2是A，B的“联盟点”．∵AC3═1﹣（﹣1）＝2，BC3═2﹣1＝1，∴AC3═2BC3，∴C3是A，B的“联盟点”．∵AC4═4﹣（﹣1）＝5，BC4═4﹣2＝2，∴AC4≠BC4，∴C4不是A，B的“联盟点”．∵AC5═5﹣（﹣1）＝6，BC5═5﹣2＝3，∴AC5═2BC5，∴C5是A，B的“联盟点”．综合上述，是点A，B的“联盟点”的是C2，C3，C5．（2）解；设点P表示的数为x，①∵P在线段AB上，∴AP＝x+1，BP＝3﹣x，当AP＝2BP时，有x+1＝2（3﹣x），解得x＝，当BP＝2AP时，有3﹣x＝2（x+1），解得x＝，综上所述，点P表示的数为，．②由题意得，AB＝4，∵P在A的左侧，∴AP＝﹣1﹣x，BP＝3﹣x，当点A为B，P的“联盟点”时，若AB＝2AP，则有4＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣3，若AP＝2AB，则有﹣1﹣x＝2×4，解得x＝﹣9，当点B为A，P的“联盟点”时，2AB＝BP，则有2×4＝3﹣x，解得x＝﹣5，当点P为A，B的“联盟点”时，BP＝2PA，则有3﹣x＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣5，综上所述，P表示的数为﹣9，﹣3，﹣5．15．如图，点A，O，B，D在同一条直线l上，点B在点A的右侧，AB＝6，OB＝2，点C 是AB的中点，如图画数轴．（1）若点O是数轴的原点，则点B表示的数是2，点C表示的数是﹣1；（2）若点O是数轴的原点时，D点表示的数为x，且AD＝5，求x；（3）若点D是数轴的原点，点D在点A的左侧，点A表示的数为m，且A，B，C，O 所表示的数之和等于21，求m；（4）当O是数轴的原点，动点E，F分别从A，B出发，相向而行，点E的运动速度是每秒2个单位长度，点F的运动速度是每秒1个单位长度，当EF＝3时，求点A，B，E，F表示的数之和．解；（1）点B在点A的右侧，OB＝2，∴点B表示的数是﹣2，故答案为：2；AB＝6，点C是AB的中点，∴BC＝3，∴点C表示的数是2﹣3＝﹣1，故答案为：﹣1；（2）AB＝6，点B在点A的右侧，点A表示的数是﹣4，AD＝|﹣4﹣x|＝5，x＝1或x＝﹣9；（3）若点D是数轴的原点，点D在点A的左侧，点A表示的数为m，∵AB＝6，C是AB的中点，OB＝2，∴AC＝3，AO＝4，∴点O表示的数是m+4，点C表示的数是m+3，点B表示的数是m+6，m+（m+6）+（m+3）+（m+4）＝21，解得m＝2；（4）设运动时间为t，据题意得：6﹣2t﹣t＝3，解得t＝1，AE＝2，BF＝1，点E表示的数是﹣2，点F表示的数是1，点A，B，E，F表示的数之和为：﹣4+2+（﹣2）+1＝﹣3，16．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a，c满足|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的负整数．（1）a＝﹣4，b＝﹣1，c＝2．（2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数﹣1表示的点重合；（3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A和点B分别以每秒0.4个单位长度和0.3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒0.2个单位长度的速度向左运动，点C到达原点后立即以原速度向右运动，运动时间为t秒，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，请问：5AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出5AB﹣BC的值．解：（1）∵|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的负整数，a＝﹣4，b＝﹣1，c＝2，故答案为：﹣4，﹣1，2；（2）AB＝﹣1﹣（﹣4）＝3，AC＝2﹣（﹣4）＝6，点B为AC的中点，故将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与自身重合，故答案为：﹣1；（3）AB＝3+0.4t＝0.3t＝3+0.1t，当C运动到原点时，t＝2÷0.2＝10（秒），点B运动到点A的位置，当t≤10秒时，BC＝3+0.3t﹣0.2t＝3+0.1t，5AB﹣B＝5（3+0.1t）﹣（3+0.1t）＝15+0.5t﹣3﹣0.1t＝12+0.4t，5AB﹣BC的值随时间的变化而变化；当t＞10时，BC＝4+0.3t+0.2t＝4+0.5t，5AB﹣BC＝5（3+0.1t）﹣（4+0.5t）＝15+0.5t﹣4﹣0.5t＝11．这时5AB﹣BC的值不变．17．定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系．如下图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一个“关联点”．（1）写出点A，C的其他三个“关联点”所表示的数：﹣2、2、7．（2）若点M表示数﹣2，点N表示数4，数﹣8，﹣6，0，2，10所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，C5，其中不是点M，N的“关联点”是点C2．（3）若点M表示的数是﹣3N表示的数是10，点P为数轴上的一个动点．①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“关联点”，求此时点P表示的数．②若点P在点N右侧，且点P，M，N中，有一个点恰好是另外两个点的“关联点”，求此时点P表示的数．解：（1）2﹣1＝1，4﹣2＝2，2是A，C的一个“关联点”，设x是A，C的一个“关联点”，x﹣1＝2（x﹣4）解得x＝7，设y是A，C的一个“关联点”，2（1﹣y）＝4﹣y解得y＝﹣2，A，C的其他三个“关联点”所表示的数为：﹣2、2、7，故答案为：﹣2、2、7，（2）∵﹣2﹣（﹣8）＝6，4﹣（﹣8）＝12，∴C1是关联点，∵﹣2﹣（﹣6）＝4，4﹣（﹣6）＝10，∴C2不是关联点，∵0﹣（﹣2）＝2，4﹣0＝4，∴C3是关联点，∵2﹣（﹣2）＝4，4﹣2＝2，∴C4是关联点，∵10﹣（﹣2）＝12，10﹣4＝6，∴C5是关联点，故答案为：C2．（3）①若点P在点N左侧且在M的右侧，设点P表示的数为x，当2（x+3）＝10﹣x解得，当x+3＝2（10﹣x）解得，若点P在M点左侧，设点P表示的数为x，∴2（﹣3﹣x）＝10﹣x解得x＝﹣16，综上所述：P表示的数为：；②若点P在点N右侧，设点P表示的数为x，当PN＝2MN时，则2×13＝x﹣10解得x＝36，当MN＝2PN时，则13＝2×（x﹣10）解得，当MP＝2MN时，则x+3＝2×13解得x＝23，当MP＝2PN时，则x+3＝2×（x﹣10）解得x＝23，综上所述：P表示的数为：，23.36．18．[知识背景]：数轴上，点A，点B表示的数为a，b，则A，B两点的距离表示为AB＝|a﹣b|．线段AB的中点P表示的数为．[知识运用]：已知数轴上A，B两点对应的数分别为a和b，且（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，P 为数轴上一动点，对应的数为x．（1）a＝4，b＝2；（2）若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x为3，若点B为线段AP的中点，则P点对应的数x为0；（3）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒3个单位长度，则经过122秒点B追上点A；（4）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，它们的速度都为每秒1个单位长度，与此同时点P从表示﹣16的点处以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动．经过多长时间后，点A、点B、点P三点中，其中一点是另外两点组成的线段的中点？解：（1）∵（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，∴a﹣4＝0，b﹣2＝0，∴a＝4，b＝2．故答案为4、2．（2）点A，B表示的数分别为4，2，P对应数为x，若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x＝＝3，若B为线段AP的中点时，则＝2，解得x＝0．故答案为1，0；（3）解：设经过x秒点B追上点A，（3﹣1）x＝4﹣2，2x＝2，x＝1，答：经过1秒点B追上点A．（4）经过t秒后，点A，点B，点P三点中其中一点是另外两点的中点，t秒后，点A的位置为：4﹣t，点B的位置为：2﹣t，点P的位置为：﹣16+2t，当点A为PB的中点时，则有，2×（4﹣t）＝2﹣t﹣16+2t，解得：t＝，当点B为PA的中点时，则有，2×（2﹣t）＝4﹣t﹣16+2t，解得：t＝，当点P为BA的中点时，则有，2×（﹣16+2t）＝4﹣t+2﹣t，解得：t＝，答：经过秒，秒，秒后，点A，点B，点P三点中其中一点是另外两点的中点．故答案为：秒，秒，秒．19．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）探究：①数轴上表示5和3的两点之间的距离是2．②数轴上表示﹣1和﹣4的两点之间的距离是3．③数轴上表示﹣3和5的两点之间的距离是8．（2）归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于|a﹣b|．（3）应用：①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，则|a+4|+|a﹣3|的值＝7．②若a表示数轴上的一个有理数，且|a﹣1|＝|a+3|，则a＝﹣1．③若a表示数轴上的一个有理数，|a﹣1|+|a+2|的最小值是3．④若a表示数轴上的一个有理数，且|a+3|+|a﹣5|＞8，则有理数a的取值范围是a＞5或a＜﹣3．（4）拓展：已知，如图2，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．若当电子蚂蚁P从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以3单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，并写出此时点P所表示的数．解：（1）①5﹣3＝2，故答案为：2；②（﹣1）﹣（﹣4）＝3，故答案为：3；③5﹣（﹣3）＝8，故答案为：8；（2）根据数轴上两点间的距离得|a﹣b|，故答案为：|a﹣b|；（3）①∵表示数a的点位于﹣4与3之间，∴|a+4|+|a﹣3|＝a+4+3﹣a＝7，故答案为：7；②∵|a﹣1|＝|a+3|∴表示数a的点在1和﹣3∴|a﹣1|＝|a+3|，1﹣a＝a+3，a＝﹣1，故答案为：﹣1；③∵|a﹣1|+|a+2|有最小值，∴表示a的点在﹣2与1之间，∴|a﹣1|+|a+2|＝1﹣a+a+2＝3，故答案为：3；④|a+3|+|a﹣5|＞8，当﹣3＜a＜5时，|a+3|+|a﹣5|＝a+3+5﹣a＝8，不合题意舍去；当a＜﹣3时，|a+3|+|a﹣5|＝﹣（a+3）+5﹣a＞8，a＜﹣3；当a＞5时，|a+3|+|a﹣5|＞8，a+3+a﹣5＞8，a＞5，故答案为：a＜﹣3或a＞5；（4）设电子蚂蚁运动x秒时，P、Q相距20个单位长度，①4x+3x+20＝20+100，x＝，点P表示的是4×﹣20＝②4x+3x﹣20＝20+100，x＝20，点P表示的是4×20﹣20＝60，20．将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好函数”为28个单位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．（1）动点P从点A运动至点C需要19秒，动点Q从点C运动至点A需要23秒；（2）P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数；（3）是否存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B 在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，∴OA＝10，BO＝10，BC＝8，∴动点P从点A运动至点C需要的时间是：10÷2+10÷1+8÷2＝19（s），动点Q从点C运动至点A需要的时间是：10÷1+10÷2+8÷1＝23（s），故答案为：19，23；（2）根据题意可知，P、Q两点在OB上相遇，P点运动到OB上时表示的数是t﹣5，Q点运动到OB上时表示的数是10﹣2（t﹣8），∴t﹣5＝10﹣2（t﹣8），解得t＝，∴M点表示的数是﹣5＝；（3）存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”，理由如下：∵点A表示﹣10，点B表示10，∴点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”是20，①当0≤t≤5时，P点在OA上，Q点在BC上，此时P点表示的数是﹣10+2t，Q点表示的数是18﹣t，∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t+10﹣2t＝28﹣3t，由题意可得，28﹣3t＝20，解得t＝；②当5＜t≤8时，P点在OB上，Q点在OC上，此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是18﹣t，∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t﹣t+5＝23﹣2t，由题意可得，23﹣2t＝20，解得t＝（舍）；③8＜t≤13时，点P、Q都在BO上，此时PQ＜10，∴此情况不符合题意；④13＜t≤15时，P点在OB上，Q点在OA上，此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是t﹣13，∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣5+t﹣13＝2t﹣18，由题意可得，2t﹣18＝20，解得t＝19（舍）；⑤15＜t≤19时，P点在BC上，Q点在OA上，此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是t﹣13，∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣13+2t﹣20＝3t﹣33，由题意可得，3t﹣33＝20，解得t＝；⑥19＜t≤23时，P点在C的右侧，Q点在OA上，此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是t﹣13，∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣13+2t﹣20＝3t﹣33，由题意可得，3t﹣33＝20，解得t＝（舍）；⑦t＞23时，P点在C点右侧，Q点在A点左侧，PQ＞20，不符合题意；综上所述：t的值为或．21．在数轴上，点M，N对应的数分别是m，n（m≠n，mn≠0），P为线段MN的中点，同时给出如下定义：如果＝10，那么称M是N的“努力点”．例如：m＝1，n＝，M是N的“努力点”．（1）若|m﹣10|+（n+90）2＝0则m＝10，n＝﹣90；（2）在（1）的条件下，下列说法正确的是③（填序号）；①M是P的“努力点”；②M是N的“努力点”③N是M的“努力点”；④N是P的“努力点”（3）若mn＜0，且P是M，N其中一点的“努力点”，求值？解：（1）∵|m﹣10|+（n+90）2＝0，∴m＝10，n＝﹣90，故答案为：10，﹣90；（2）∵m＝10，n＝﹣90，∴P点对应的数是﹣40，∵||＝，∴M不是P的“努力点”，故①不符合题意；∵m＝10，n＝﹣90，∴||＝，∴M不是N的“努力点”，故②不符合题意；∵||＝10，∴N是M的“努力点”，故③符合题意；∵||＝，∴N是P的“努力点”，故④不符合题意；故答案为：③；（3）∵P为线段MN的中点，∴P点对应的数为，当P是M点的“努力点”时，||＝10，∴＝21或＝﹣19，∵mn＜0，∴＝﹣；当P是N点的“努力点”时，||＝10，∴＝21或＝﹣19，∵mn＜0，∴＝﹣19；综上所述：的值为﹣19或﹣．22．在数轴上，O为原点，点A，B对应的数分别是a，b（a≠b，ab≠0），M为线段AB的中点．给出如下定义：若OA÷OB＝4，则称A是B的“正比点”；若OA×OB＝4，则称A是B的“反比点”．例如a＝2，时，A是B的“正比点”；a＝2，b＝﹣2时，A是B的“反比点”．（1）若|a+2|+（b﹣4）2＝0，则M对应的数为1，下列说法正确的是③④（填序号）．。

专题39 几何图形模型胡不归问题专项训练（解析版）一．选择题1．（2022•南山区模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，则AB ＝2BC ．请在这一结论的基础上继续思考：若AC ＝2，点D 是AB 的中点，P 为边CD 上一动点，则AP +12CP 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2思路引领：过C 作CE ⊥AB 于E ，过点P 作PF ⊥EC 于F ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等边三角形的性质得出PF =12CP ，再由AP +12CP ＝AP +PF ≥AE ，结合勾股定理求出AE 即可．解：过C 作CE ⊥AB 于E ，过点P 作PF ⊥EC 于F ，∵∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，∴CD =12AB ＝AD ，∵∠CAB ＝30°，∴∠B ＝60°，∴△BCD 为正三角形，∴∠DCE ＝30°，∴PF =12CP ，∴AP +12CP ＝AP +PF ≥AE ，∵∠CAB ＝30°，AC ＝2，∴CE =12AC ＝1，∴AE =AC 2―CE 2=3，∴AP +12CP 的最小值为3．故选：C ．总结提升：本题主要考查了含30°直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解决此题的关键是作出垂线CE 和PF ，将12CP 转化为PF ．2．（2022•平南县二模）如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，点E 为AC 中点，D 是BE 上的一个动点，则CD +12BD 的最小值是（ ）A ．3B ．33C ．6D ．3+3思路引领：如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，则CD +DH ≥CF ，先解直角三角形可求出CF ，再由直角三角形的性质得DH =12BD ，进而可得CD +12BD =CD +DH ，从而可得CD +12BD 的最小值．解：如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，则CD +DH ≥CF ，∵△ABC 是等边三角形，AB ＝6，∴∠A ＝∠ABC ＝60°，AF ＝BF ＝3，∴CF ＝AF tan60°=33，∵点E 是AC 的中点，∴∠DBH ＝60°÷2＝30°，在Rt △BDH 中，DH =12BD ，∴CD +12BD =CD +DH ≥33，∴CD +12BD 的最小值为：33．故答案为：B ．总结提升：本题主要考查解直角三角形，等边三角形的性质、垂线段最短等知识，解题关键是将CD +12BD 转化成CD +DH ．3．（2022春•覃塘区期中）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，E 是边BC 的中点，P 是对角线BD 上的一个动点，连接AE ，AP ，若AP +12BP 的最小值恰好等于图中某条线段的长，则这条线段是（ ）A ．AB B ．AEC ．BD D ．BE思路引领：由菱形的性质可得∠DBC =12∠ABC ＝30°，可得PF =12BP ，可得AP +12BP ＝AP +PF ，由垂线段最短，可求解．解：如图，过点P 作PF ⊥BC 于点F ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠DBC =12∠ABC ＝30°，且PF ⊥BC ，∴PF =12BP ，∴AP +12BP ＝AP +MP ，∴当点A ，点P ，点F 三点共线且垂直BC 时，AP +PF 有最小值，∴AP +12BP 最小值为AE 故选：B ．总结提升：本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，最短路径问题，熟练运用菱形的性质是本题的关键．4．（2022春•新罗区校级月考）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BE ⊥AC 于点E ，BE ＝2AE ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +55BD 的最小值是（ ）A ．25B ．45C ．55D ．10思路引领：过点D 作DH ⊥AB ，垂足为H ，过点C 作CM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt △ABE 中，利用勾股定理求出AE ，BE 的长，再证明DH =55BD ，从而可得CD +55BD ＝CD +DH ，然后再由垂线段最短即可解答．解：过点D 作DH ⊥AB ，垂足为H ，过点C 作CM ⊥AB ，垂足为M ，∵BE ⊥AC ，∴∠AEB ＝90°，∵BE ＝2AE ，AB ＝10，∴AE 2+BE 2＝AB 2，∴5AE 2＝100，∴AE＝25或AE＝﹣25（舍去），∴BE＝2AE＝45，∴sin∠ABE=AEAB=2510=55，∵∠A＝∠A，∠AEB＝∠AMC＝90°，AB＝AC，∴△AEB≌△AMC（AAS），∴CM＝BE＝45，在Rt△BHD中，DH＝BD sin∠ABE=55 BD，∴CD+55BD＝CD+DH，∵CD+DH≥CM，∴CD+55BD≥45，∴CD+55BD的最小值是：45，故选：B．总结提升：本题考查了胡不归问题，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2021秋•澄海区期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+3x﹣4的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则PQ+22PC的最小值是（ ）A．6B．2+322C．2+32D．32思路引领：过P作PH⊥BC，过Q作QH'⊥BC．再由PH=22PC得PQ+22PC＝PQ+PH，根据垂线段最短可知，PQ+PH的最小值为QH'，求出QH'即可．解：连接BC，过P作PH⊥BC，过Q作QH'⊥BC，令y＝0，即x2+3x﹣4＝0，解得x ＝﹣4或1，∴A （1，0），C （﹣4，0），∵OB ＝OC ＝4，∠BOC ＝90°，∴∠PCH ＝45°，∴PH ＝PC sin45°=22PC ．∴PQ +22PC ＝PQ +PH ，根据垂线段最短可知，PQ +PH 的最小值为QH '，∵BQ ＝OB +OQ ＝4+2＝6，∠QBH ′＝45°，∴QH ′＝sin45°•BQ ＝32，∴PQ +22PC 的最小值为32．故选：D ．总结提升：本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是将求PQ +22PC 的最小值转化为求PQ +PH 的最小值．属于中考选择题中的压轴题．6．（2022秋•任城区校级期末）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝15，tan A ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +55BD 的最小值是（ ）A ．35B ．65C ．53D ．10思路引领：如图，作DH ⊥AB 于H ，CM ⊥AB 于M ．由tanA =BE AE=2，设AE ＝a ，BE ＝2a ，利用勾股定理构建方程求出a ，再证明DH =55BD ，推出CD +55BD =CD +DH ，由垂线段最短即可解决问题．解：如图，作DH ⊥AB 于H ，CM ⊥AB 于M ．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tanA=BEAE=2，设AE＝a，BE＝2a，则有：225＝a2+4a2，∴a2＝45，∴a＝35或﹣35（舍弃），∴BE＝2a＝65，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝65（等腰三角形两腰上的高相等），∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH=DHBD=AEAB=55，∴DH=55 BD，∴CD+55BD=CD+DH，∵CD+DH≥CM，∴当点H与M重合，且C，D，H共线时，CD+DH的值最小，∴CD+55BD的最小值为线段CM的长，∴CD+55BD的最小值为65．故选：B．总结提升：本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．7．（2022•邗江区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=―49x2+83x与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该抛物线对称轴上一点，则3BC+5AC的最小值为（ ）A ．24B ．25C ．30D ．36思路引领：连接OB ，过C 点作CM ⊥OB 于M 点，过A 点作AN ⊥OB 于N 点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，继而得出BD 、OA 、OD ，再证明△OBD ∽△CBM ，△OBD ∽△OAN ，进而可得3BC +5AC ＝5MC +5AC ＝5（AC +CM ），当A 、C 、M 三点共线，且三点连线垂直OB时，AC +CM 最小，根据AN OA =BD OB求出AN ，AC +CM 最小值即为AN ，则问题得解．解：连接OB ，过C 点作CM ⊥OB 于M 点，过A 点作AN ⊥OB 于N 点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，如图，令y ＝0，得方程―49x 2+83x =0，解得：x 1＝0，x 2＝6，∴A 点坐标为（6，0），即OA ＝6，将y =―49x 2+83x 配成顶点式得：y =―49(x ―3)2+4，∴B 点坐标为（3，4），∴BD ＝4，OD ＝3，∵CM ⊥OB ，AN ⊥OB ，∴∠BMC ＝∠ANO ＝90°，根据抛物线对称轴的性质可知BD ⊥OA ，∴∠BDO ＝90°，在Rt △BDO 中，利用勾股定理得OB =OD 2+BD 2=32+42=5，∵∠OBD ＝∠CBM ，∠BDO ＝∠BMC ＝90°，∴△OBD ∽△CBM ，同理可证得△OBD ∽△OAN ，∴BC MC =BO OD ，AN OA =BD OB，∴BC MC =BO OD =53，即3BC ＝5MC ，∴3BC +5AC ＝5MC +5AC ＝5（AC +CM ），∵当A 、C 、M 三点共线，且三点连线垂直OB 时，AC +CM 最小，∴AC +CM 最小值为AN ，如图所示，∵AN OA =BD OB，∴AN =BD OB ×OA =45×6=245，∴AC +CM 最小值245，∴即3BC +5AC ＝5（AC +CM ）＝24．故选：A ．总结提升：本题考查了求抛物线与坐标轴的交点和抛物线顶点的坐标、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，利用三角形相似得出3BC ＝5MC ，进而得出3BC +5AC ＝5（AC +CM ）是解答本题的关键．8．（2021•锦州二模）如图所示，菱形ABCO 的边长为5，对角线OB 的长为45，P 为OB 上一动点，则AP +55OP 的最小值为（ ）A．4B．5C．25D．35思路引领：如图，过点A作AH⊥OC于点H，过点P作PF⊥OC于点F，连接AC交OB于点J．利用面积法求出AH，再证明PF=55OP，利用垂线段最短，可得结论．解：如图，过点A作AH⊥OC于点H，过点P作PF⊥OC于点F，连接AC交OB于点J．∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB，∴OJ＝JB＝25，CJ=OC2―OJ2=52―(25)2=5，∴AC＝2CJ＝25，∵AH⊥OC，∴OC•AH=12•OB•AC，∴AH=12×45×255=4，∴sin∠POF=PFOP=CJOC=55，∴PF=55 OP，∴AP+55OP＝AP+PF，∵AP+PF≥AH，∴AP+55OP≥4，∴AP +55OP 的最小值为4，故选：A ．总结提升：本题考查胡不归问题，菱形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．二．填空题9．（2022春•广陵区期末）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝AC ＝10，对角线AC 、BD 相交于点O ，点M 在线段AC 上，且AM ＝2，点P 为线段BD 上的一个动点，则MP +12PB 的最小值是 ．思路引领：过P 点作PH ⊥BC 于H ，过M 点作MN ⊥BC 于N ，如图，根据菱形的性质得到AB ＝BC ，BO 平分∠ABC ，AO ⊥BD ，再判断△ABC 为等边三角形得到∠ABC ＝∠ACB ＝60°，则∠OBC ＝30°，所以PH =12BP ，则MP +12PB ＝MP +PH ，所以MP +PH 的最小值为MN 的长，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出MN 即可．解：过P 点作PH ⊥BC 于H ，过M 点作MN ⊥BC 于N ，如图，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝BC ，BO 平分∠ABC ，AO ⊥BD ，∵AB ＝AC ＝10，∴AB ＝AC ＝BC ＝10，∴△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴∠OBC ＝30°，∴PH =12BP ，∴MP +12PB ＝MP +PH ，当M 、P 、H 共线时，MP +PH 的值最小，即MP +PH 的最小值为MN 的长，∴CM＝10﹣2＝8，在Rt△MNC中，∵∠MCN＝60°，∴CN=12CM＝4，∴MN=3CN＝43，即MP+12PB的最小值为43．故答案为：43．总结提升：本题考查了胡不归问题：利用垂线段最短解决最短路径问题，把12PB转化为PH是解决问题的关键．也考查了菱形的性质和等边三角形的性质．10．（2022春•武汉期末）如图，▱ABCD中∠A＝60°，AB＝6，AD＝2，P为边CD上一点，则3PD+2PB 最小值为 ．思路引领：由直角三角形的性质可得DH=12DP，HP=3DH=32DP，则当点H，点P，点H三点共线时，HP+PB有最小值，即3PD+2PB有最小值，即可求解．解：如图，过点P作PH⊥AD，交AD的延长线于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠CDH＝60°，∴∠DPH＝30°，∴DH=12DP，HP=3DH=32DP，∵3PD+2PB＝2（32PD+PB）＝2（HP+PB），∴当点H，点P，点H三点共线时，HP+PB有最小值，即3PD+2PB有最小值，此时：BH⊥AH，∠A＝60°，∴∠ABP＝30°，∴AH=12AB＝3，BH=3AH＝33，则3PD+2PB最小值为63，故答案为：63．总结提升：本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，构造直角三角形是解题的关键．11．（2022春•江汉区月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝30°．BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则32BP+CP的最小值是 ．思路引领：过点P作PE⊥AB于点E，先在Rt△ABD中求出∠ABD及BD，再在Rt△BPE中利用sin60°得到32BP+CP=EP+CP，当当C、P、E三点在同一直线上，且CE⊥AB时其取得最小值，最小值为CE，计算即可求出结果．解：过点P作PE⊥AB于点E，在Rt△ABD中，∠ABD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，BD=12AB=5，在Rt△BPE中，sin60°=EPBP=32，∴EP=32 BP，∴32BP+CP=EP+CP，当C、P、E三点在同一直线上，且CE⊥AB时32BP+CP=EP+CP取得最小值．∵AB＝AC＝10，BD⊥AC，CE⊥AB，∴CE＝BD＝5，∴32BP+CP=EP+CP的最小值为5．故答案为5．总结提升：此题是胡不归模型，涉及到等腰三角形的性质，直角三角形的性质、锐角三角函数等，解题关键是将32BP+CP转化成EP+CP．12．（2022•江北区开学）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=33x―3分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为 ．思路引领：先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点B'，可证△ABB'是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH=12AC，则2BC+AC＝2（B'C+CH），即当点B'，点C，点H三点共线时，B'C+CH有最小值，即2BC+AC有最小值，由直角三角形的性质可求解．解：∵一次函数y=33x―3分别交x轴、y轴于A、B两点，∴点A（3，0），点B（0，―3），∴AO＝3，BO=3，∴AB=AO2+OB2=9+3=23，如图，作点B关于OA的对称点B'，连接AB'，B'C，过点C作CH⊥AB于H，∴OB＝OB'=3，又∵AO⊥BB'，∴BB'＝23，AB＝AB'＝23，BC＝B'C，∴AB＝BB'＝B'A，∴△ABB'是等边三角形，∵AO⊥BB'，∴∠BAO＝30°，∵CH⊥AB，∴CH=12 AC，∴2BC+AC＝2（BC+12AC）＝2（B'C+CH），∴当点B'，点C，点H三点共线时，B'C+CH有最小值，即2BC+AC有最小值，此时，B'H⊥AB，△ABB'是等边三角形，∴BH＝AH=3，∠BB'H＝30°，∴B'H=3BH＝3，∴2BC+AC的最小值为6，故答案为：6．总结提升：本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C 的位置是解题的关键．13．（2021秋•缙云县期末）如图，在直角坐标系中，点M 的坐标为（0，2），P 是直线y =3x 在第一象限内的一个动点．（1）∠MOP ＝ ．（2）当MP +12OP 的值最小时，点P 的坐标是 ．思路引领：（1）设P （t ，3t ），过点P 作PH ⊥x 轴交于H ，由tan ∠POH =3，则∠POH ＝60°，即可求∠MOP ＝30°；（2）作M 点关于直线y =3x 的对称点M '，过M '作M 'N ⊥y 轴交于N ，连接MM '，则有MP +12OP ＝M 'P +NP ＝M 'N ，此时MP +12OP 的值最小．解：（1）设P （t ，3t ），过点P 作PH ⊥x 轴交于H ，∴OH ＝t ，PH =3t ，∴tan ∠POH =PH OH =3，∴∠POH ＝60°，∴∠MOP ＝30°，故答案为：30°；（2）作M 点关于直线y =3x 的对称点M '，过M '作M 'N ⊥y 轴交于N ，连接MM '，∴MP ＝M 'P ，∵∠MOP＝30°，∴NP=12 OP，∴MP+12OP＝M'P+NP＝M'N，此时MP+12OP的值最小，∵MM'⊥OP，∠MOP＝30°∴MG=12 OM，∵M（0，2），∴MG＝1，∴MM'＝2，∵∠OMG＝60°，∴MN＝1，∴ON＝1，∴P（33，1），故答案为：P（33，1）．总结提升：本题考查胡不归问题，熟练掌握胡不归问题的解题方法，轴对称求最短距离的方法，直角三角形的性质是解题的关键．14．（2022•马鞍山一模）如图，AC垂直平分线段BD，相交于点O，且OB＝OC，∠BAD＝120°．（1）∠ABC＝ ．（2）E为BD边上的一个动点，BC＝6，当AE+12BE最小时BE＝ ．思路引领：（1）根据垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质即可求得∠ABC ；（2）作A 关于OB 的对称点A '，过A 作AG ⊥A 'B 于G ，过点E 作EF ⊥A 'B 于F ，将12BE 转化为EF ，再根据AE +12BE ＝AE +FE ≥AG ，设AG 与OB 交于E '，BE '即为当AE +12BE 最小时的BE ，求出BE '即可．解：（1）∵AC 垂直平分线段BD ，∴AB ＝AC ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵∠BAD ＝120°，∴∠ABD ＝（180°﹣120°）÷2＝30°，∵OB ＝OC ，OB ⊥OC ，∴∠OBC ＝45°，∴∠ABC ＝30°+45°＝75°，故答案为：75°；（2）作A 关于OB 的对称点A '，过A 作AG ⊥A 'B 于G ，过点E 作EF ⊥A 'B 于F ，∵∠ABO ＝30°，∴∠A 'BO ＝30°，∴FE =12BE ，∴AE +12BE ＝AE +FE ≥AG ，设AG 与OB 交于E '，BE '即为当AE +12BE 最小时的BE ，∵BC ＝6，∠OBC ＝45°，∴OB ＝OC ＝BC cos45°=32，∵cos ∠A 'BO =OB BA′=32BA′=32，∴BA '=26，∵∠A 'BA ＝60°，AB ＝A 'B ，∴△ABA '为等边三角形，∴BG =12BA '=6，∵cos ∠A 'BO =BG BE′=6BE′=32，∴BE '＝22．故答案为：22．总结提升：本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，锐角三角函数解三角形，解决此题的关键是作出垂线EF 和AG ，将12BE 转化为EF ．15．（2021秋•福清市期末）如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC ，△ABC 的面积为3，点P 为BD上动点，连接AP ，则AP +12BP 的最小值为 ．思路引领：过A 作AF ⊥CB 于E ，过点P 作PE ⊥BC 于E ，故PE =12BP ，故AP +12BP ＝AP +PE ≥AF ，求出AF 即可．解：过A 作AF ⊥CB 于E ，过点P 作PE ⊥BC 于E ，∵△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝30°，∴PE=12 BP，∴AP+12BP＝AP+PE≥AF，∵△ABC的面积为3，∴34AC2=3，∴AC＝2，∴12BC•AF=3，∴AF=3，∴AP+12BP的最小值为3．故答案为：3．总结提升：本题主要考查了含30°角的直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边一半，作出垂线PE，得到PE=12BP是解决本题的关键．16．（2021秋•亭湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点A（﹣3，0），B （1，0）．根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：在Rt△ABC中，AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若点D是AB边上的动点，则CD+12AD的最小值为 ．思路引领：作射线AG，使得∠BAG＝30°，过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，故DE=1 2AD，故CD+12AD＝CD+DE≥CF，求出CF即可．解：作射线AG，使得∠BAG＝30°，过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，∴DE=12 AD，∴CD+12AD＝CD+DE≥CF，∵A（﹣3，0），B（1，0）．∴AB＝4，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴BC=12AB＝2，∴AC=AB2―BC2=23，∵∠CAG＝∠CAB+∠BAG＝60°，∴AF=12AC=3，∴CF=AC2―AF2=3，∴CD+12AD的最小值为3．故答案为：3．总结提升：本题主要考查了含30°直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边一半，作出射线AG，使得∠BAG＝30°是本题的关键．17．（2021秋•宜兴市期末）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点C沿BE折叠与AB上的点D重合．连接DE，请你探究：BCAB=　12　；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在△OPM中，∠OPM＝90°，∠M＝30°，若OM＝2，点G是OM边上的动点，则PG+12MG的最小值为　．思路引领：由折叠的性质可得AD ＝BD ，BC ＝BD ，则有AB ＝2BC ；作P 点关于OM 的对称点P '，作P 'N⊥PM 交于N 点，交OM 于G '点，PG +12MG =P 'G '+G 'N ≥P 'N ，此时PG +12MG 的值最小，求出P 'N 的长即为所求．解：∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∵点C 沿BE 折叠与AB 上的点D 重合，∴∠DBE ＝∠CBE ＝30°，∴∠A ＝∠ABE ，∵∠BDE ＝∠C ＝90°，∴AD ＝BD ，∵BC ＝BD ，∴AB ＝2BC ，∴BC AB =12，作P 点关于OM 的对称点P '，作P 'N ⊥PM 交于N 点，交OM 于G '点，∴PG '＝P 'G '，∵∠M ＝30°，∴NG '=12G 'M ，∴PG +12MG =P 'G '+G 'N ≥P 'N ，此时PG +12MG 的值最小，∵OM ＝2，在Rt △OPM 中，OP =12OM ＝1，∴PM =3，在Rt △PDM 中，PD =12PM =32，∵∠P'＝30°，∴PN=3 2，在Rt△PP'N中，P'N=3 2，∴PG+12MG的最小值为32，故答案为：12，32．总结提升：本题是图形的折叠变换，熟练掌握折叠的性质，直角三角形的勾股定理，正确作出辅助线利用轴对称求路线最短是解题的关键．18．（2021秋•汕尾期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则C点的坐标是 ，2PD+PC的最小值是 ．思路引领：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据2PD+PC=2（PD+22PC）=2（DP+PJ），求出DP+PJ的最小值即可解决问题．解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），C（3，0），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，∴DH＝BD•sin45°＝22，∵PJ⊥CB，∴∠PJC＝90°，∴PJ=22 PC，∴2PD+PC=2（PD+22PC）=2（DP+PJ），∵DP+PJ≥DH，∴DP+PJ≥22，∴DP+PJ的最小值为22，∴2PD+PC的最小值为4．故答案为：（3，0），4．总结提升：本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是将求2PD+PC得最小值转化为求2（DP+PJ）的最小值．属于中考选择题中的压轴题．19．（2021秋•南海区期末）如图，△ABC中AB＝AC，A（0，8），C（6，0），D为射线AO上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为A →D →C ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的53倍，要使整个运动时间最少，则点D 的坐标应为 ．思路引领：过B 点作BH ⊥AC 交于H 点，交AO 于D 点，连接CD ，设P 点的运动时间为t ，在CD 上的运动速度为v ，t =1v （AD53+CD ），只需AD 53+CD 最小即可，再证明△ADH ∽△ACO ，可得DH =AD 53，则当B 、D 、H 点三点共线时，此时t 有最小值，再由△BDO ∽△ADH ，求出OD 即可求坐标．解：过B 点作BH ⊥AC 交于H 点，交AO 于D 点，连接CD ，∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，设P 点的运动时间为t ，在CD 上的运动速度为v ，∵点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的53倍，∴t =AD 53v +CD v =1v （AD53+CD ），∵∠AHD ＝∠AOC ＝90°，∴△ADH ∽△ACO ，∴AD AC =DH CO，∵A （0，8），C （6，0），∴OC ＝6，OA ＝8，∴AC ＝10，∴AD 10=DH 6，∴DH =AD53，∴t =1v（DH +CD ），当B 、D 、H 点三点共线时，t =1v×BH ，此时t 有最小值，∵∠BDO ＝∠ADH ，∴∠DBO ＝∠OAC ，∴△BDO ∽△ADH ，∴DO BO =OC AO ，即DO 6=68，∴DO =92，∴D （0，92），故答案为：（0，92）．总结提升：本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离和胡不归求最短距离的方法，三角形相似的判定及性质是解题的关键．20．（2022•无棣县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣x +4的图象分别与y 轴和x 轴交于点A 和点B ．若定点P 的坐标为（0，63），点Q 是y 轴上任意一点，则12PQ +QB 的最小值为 ．思路引领：过点P 作直线PD 与y 轴的夹角∠OPD ＝30°，作B 点关于y 轴的对称点B '，过B '点作B 'E ⊥PD 交于点E 、交y 轴于点Q ，12PQ +QB ＝QE +B 'Q ＝B 'E ，此时12PQ +QB 取最小值，求出B 'E 即可．解：过点P 作直线PD 与y 轴的夹角∠OPD ＝30°，作B 点关于y 轴的对称点B '，过B '点作B 'E ⊥PD 交于点E 、交y 轴于点Q ，∵B 'E ⊥PD ，∠OPE ＝30°，∴QE =12PQ ，∵BQ＝B'Q，∴12PQ+QB＝QE+B'Q＝B'E，此时12PQ+QB取最小值，∵∠OPD＝30°，∠POD＝90°，∴PD＝2OD，∠ODP＝60°，∵P的坐标为（0，63），∴PO＝63，∴OD2+（63）2＝（2OD）2，∴OD＝6，∵直线y＝﹣x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B，∴A（0，4），B（4，0），∴OB＝4，∴OB'＝4，∴B'D＝10，∵B'E⊥PD，∠ODP＝60°，∴∠EB'D＝30°，∴DE=12B'D＝5，∴B'E=B′D2―DE2=102―52=53，∴12PQ+QB取最小值为53，故答案为：53．总结提升：本题考查胡不归求最短路径，熟练掌握胡不归求最短距离的方法，通过构造直角三角形及特殊角，将12PQ+QB的系数12进行转化是解题的关键．21．（2022春•梁溪区校级期中）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝8，BC＝3，P为边CD上的一动点，则PB+12PD的最小值等于 ．思路引领：过点P作AD的垂线交AD延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，所以∠EDP＝∠DAB＝30°，得EP=12DP，要求PB+12PD的最小值，即求PB+EP的最小值，当点B、P、E三点共线时，PB+EP取最小值，最小值为BE的长，根据30度角所对直角边等于斜边的一半即可求出PB+12PD的最小值．解：如图过点P作AD的垂线交AD延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDP＝∠DAB＝30°，∴EP=12 DP，要求PB+12PD的最小值，即求PB+EP的最小值，当点B、P、E三点共线时，PB+EP取最小值，最小值为BE的长，∵在Rt△ABE中，∠EAB＝30°，AB＝8，∴BE=12AB＝4．故答案为：4．总结提升：本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握30度角所对直角边等于斜边的一半．22．（2022秋•江夏区校级期末）如图在△ABC中．∠B＝45°．AB＝4．点P为直线BC上一点．当BP+2AP 有最小值时，∠BAP的度数为 ．思路引领：以BC为边，作∠CBF＝30°，过点P作PH⊥BF于H，则BP+2AP＝2（12BP+AP）=12（PH+AP），故当A、P、H三点共线时，PH+AP最小，从而解决问题．解；如图，以BC为边，作∠CBF＝30°，过点P作PH⊥BF于H，∴PH=12 BP，∴BP+2AP＝2（12BP+AP）=12（PH+AP），∴当A、P、H三点共线时，PH+AP最小，过点A作AG⊥BF于G，交BC于P'，在Rt△ABG中，∠ABG＝30°+45°＝75°，∴∠BAG＝15°，∴当BP+2AP有最小值时，∠BAP的度数为15°，故答案为：15°．总结提升：本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，胡不归问题，垂线段最短等知识，根据题意，作辅助线，将BP+2AP的最下值转化为12AG的长是解题的关键．23．（2022•东阳市开学）如图：二次函数y=―32x2+3x+92的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D．（1）在抛物线的对称轴上找一点P，使BP﹣CP的值最大时，则点P的坐标为 ；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PA+1010PD的值最小时，则点P的坐标为 ．思路引领：（1）设点C 关于直线x ＝1的对称点为C ′，直线BC ′与对称轴的交点即为点P ；（2）如图，连接AD ，DB ，过点Z 作AF ⊥BD 于点F ，对称轴交x 轴于点E ，连接AP ，过点P 作PH ⊥BD 于点H ，设AF 交DE 于点T ．求出点T 的之比，证明PH =1010PD ，把问题转化为垂线段最短即可解决问题．解：（1）∵y =―32（x ﹣1）2+6，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，顶点（1，6），令y ＝0，―32（x ﹣1）2+6＝0，解得x ＝﹣1或3，∴A （﹣1，0），B （3，0），令x ＝0，得到y =92，∴C （0，92），设点C 关于直线x ＝1的对称点为C ′，则C ′（2，92），直线BC ′与对称轴的交点即为点P ，设直线BC ′的解析式为y ＝kx +b ，则3k +b =02k +b =92，∴k =―92b =272，∴直线BC ′的解析式为y =―92x +272，当x ＝1时，y ＝9，∴P （1，9）．故答案为：（1，9）；（2）如图，连接AD，DB，过点Z作AF⊥BD于点F，对称轴交x轴于点E，连接AP，过点P作PH⊥BD于点H，设AF交DE于点T．∵D（1，6），B（3，0），A（﹣1，0），∴AD＝DB=22+62=210，∵∠TAE＝∠EDB，∴tan∠TAE＝tan∠EDB=1 3，∴ETAE=13，∴ET=2 3，∴T（1，23），∴PH＝DP•sin∠EDB=1010PD，∴PA+1010PD＝AP+PH≥AF，∴当点P与点T重合时，PA+1010PD的值最小，此时P（1，23）．故答案为：（1，23）．总结提升：本题考查胡不归问题，二次函数的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．24．（2021秋•北碚区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分别是边AB，AD 的动点，满足AM＝DN，连接CM、CN，E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连接AE、BE、NF，当△CFN面积最小时，12BE+AE的最小值为 ．思路引领：连接MN 、AC ，由菱形ABCD 的性质和∠BAD ＝120°得到AB ＝AD ＝CD 、∠BAC ＝∠DAC ＝∠ADC ＝60°，从而得到△ADC 和△ABC 为等边三角形，然后得到AC ＝DC ，然后结合AM ＝DN 得证△AMC ≌△DNC ，得到CM ＝CN 、∠DCN ＝∠ACM ，从而得到∠MCN ＝60°，得到△CMN 为等边三角形，由点F 是CM 上靠近点C 的四等分点得到S △CFN =14S △CMN ，所以△CMN 的面积最小时，△CFN 的面积也最小，从而有当CN 和CM 最短，即CN ⊥AD 、CM ⊥AB 时△CFN 的面积最小，取BE 的中点为点G ，连接MG ，由△ABC 为等边三角形和CM ⊥AB 得到点M 是AB 的中点、AE ＝BE ，进而有MG =12AE =12BE ，所以12BE +AE =32AE ，最后由点E 是CM 上的动点，得到AE 的最小值即为AM 的长度，从而求得结果．解：如图，连接MN 、AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAC ＝∠DAC ＝∠ADC ＝60°，∴△ADC 和△ABC 为等边三角形，∴AC ＝DC ，∠ACD ＝60°，∵AM ＝DN ，∴△AMC ≌△DNC （SAS ），∴CM ＝CN ，∠DCN ＝∠ACM ，∴∠MCN ＝∠MCA +∠ACN ＝∠DCN +∠ACN ＝∠ACD ＝60°，∴△CMN 为等边三角形，∵点F 是CM 上靠近点C 的四等分点，∴S △CFN =14S △CMN ，∴△CMN 的面积最小时，△CFN 的面积也最小，∵S △CMN =34CM 2，∴当CN 和CM 长度最短时，S △CMN 的面积最小，即CN ⊥AD ，CM ⊥AB 时△CFN 的面积最小，取BE的中点为点G，连接MG，∵△ABC为等边三角形，CM⊥AB，∴点M是AB的中点，∴AE＝BE，∴MG=12AE=12BE，∴12BE+AE=12AE+AE=32AE，∵点E是CM上的动点，∠AME＝90°，∴AE的最小值即为AM的长度，∵CD＝4，∴AM=12AB＝2，∴（12BE+AE）最小值=32×2＝3，故答案为：3．总结提升：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短、等边三角形的面积，将求三角形CFN的面积最小值转化为CM和CN的最小值是解题的关键．25．（2022•郧西县模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为　．思路引领：变形2AD+CD＝2（AD+12CD），在BC的下方作∠BCL＝30°，作DE⊥CL，则DE=12CD，进而求得．解：如图，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，∴AC=ABtan30°=23，在BC的下方作∠BCL＝30°，作AF⊥CL于F，作DE⊥CL于E，∴DE＝CD•sin 30°=12 CD，AF＝AC•sin∠ACL＝23×32=3，∴AD+12CD=AD+DE≥AE≥AF，∴当D点在D′时，（AD+12CD）最小＝AF＝3，∴2AD+CD＝[2（AD+12CD）]最小＝2×3＝6，故答案是6．总结提升：本题考查了“胡不归“问题，即PA+k•PB问题，关键构造出k或1 k ．26．（2022•贡井区模拟）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BD的最小值是 ．思路引领：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tan A=BEAE=2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH=55BD，推出CD+55BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tan A=BEAE=2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝25或﹣25（舍弃），∴BE＝2a＝45，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝45（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH=DHBD=AEAB=55，∴DH=55 BD，∴CD+55BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+55BD≥45，∴CD+55BD的最小值为45．故答案为45．总结提升：本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．27．（2022秋•电白区期末）如图，AB＝AC，A（0，15），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A﹣D﹣C，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 ．思路引领：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．运动时间t=AD4+CD1=AD4+CD，由AHD∽△AOB，推出DH=14AD，可得14AD+CD＝CD+DH，推出当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短．解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．∵运动时间t=AD4+CD1=AD4+CD，∵AB＝AC，AO⊥BC，∴BO＝OC＝1，∵A（0，15），C（1，0），AB＝AC，AO⊥BC，∴OB＝OC＝1，AB＝AC=OA2+OB2=15+1=4，∵∠DAH＝∠BAO，∠DHA＝∠AOB＝90°，∴△AHD∽△AOB，∴ADAB=DHOB，∴DH=14 AD，∴14AD+CD＝CD+DH，∴当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短，∵12•BC•AO=12•AB•CM，∴CM=15 2，∴AM=AC2―CM2=42―(152)2=72，∵AD′＝4MD′，设MD′＝m，则AD′＝4m，则有：16m2﹣m2=49 4，∴m=71530或―71530（舍弃），∴AD′=1415 15，∴D（0，1515），故答案为（0，1515）．总结提升：本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．三．解答题（共3小题）28．（2021秋•梅江区校级期末）抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（3，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是线段AB上方抛物线上一动点，当△PAB的面积最大值时，求出此时P点的坐标；（3）点Q是线段AO上的动点，直接写出12AQ+BQ的最小值为．思路引领：（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）过点P作PG∥y轴交AB于点G，设P（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3），则S△PAB=―32（t―32）2+278，再由此求解即可；（3）作∠OAK ＝30°，过点B 作BK ⊥AK 交于K 点，交x 轴于点Q ，则12AQ +BQ ＝BK ，求出BK 的长即可．解：（1）将点A （3，0），B （0，3）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，∴―9+3b +c =0c =3，解得b =2c =3，∴y ＝﹣x 2+2x +3；（2）设直线AB 的解析式为y ＝kx +m ，∴3k +m =0m =3，解得k =―1m =3，∴y ＝﹣x +3，过点P 作PG ∥y 轴交AB 于点G ，设P （t ，﹣t 2+2t +3），则G （t ，﹣t +3），∴PG ＝﹣t 2+2t +3+t ﹣3＝﹣t 2+3t ，∴S △PAB =12×3×（﹣t 2+3t ）=―32（t ―32）2+278，当t =32时，△PAB 的面积有最大值278，此时P （32，154）；（3）作∠OAK ＝30°，过点B 作BK ⊥AK 交于K 点，交x 轴于点Q ，∵∠OAK ＝30°，∴QK =12AQ ，∴12AQ +BQ ＝QK +QB ＝BK ，∵∠BKA ＝∠BOA ＝90°，∠BQO ＝∠AQK ，∴∠BOQ ＝∠OAK ＝30°，∵OB ＝3，∴OQ =3，BQ ＝23，∵OA ＝3，∴AQ ＝3―3，∴QK=12（3―3）=32―32，∴BK＝23+32―32=332+32，∴12AQ+BQ的最小值为332+32，故答案为：332+32．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，胡不归求最短距离的方法是解题的关键．29．（2022春•九龙坡区校级月考）在△ABC中，∠A＝45°，点D是边AB上一动点，连接CD．（1）如图1，若∠ADC＝30°，将线段CD绕着D逆时针旋转90°得到ED，连接CE．若CE＝12，求AD的长；（2）如图2，过点C作CF⊥AB于F，当点D在线段BF上时，将线段CD绕着D逆时针旋转90°得到ED，连接CE，过点E作EG∥AC交AB于点G．求证：AG＝2DF；（3）如图3，若∠ABC＝15°，AB＝3+33，将线段CD绕着D逆时针旋转120°得到ED，连接CE．请直接写出DE+12BD的最小值．思路引领：（1）过点C 作CH ⊥AB 交于点H ，先求出CD ＝62，在Rt △CDH 中，求出CH ＝32，DH ＝36，在Rt △ACH 中，求出AH ＝HC ＝32，即可得AD ＝AH +DH ＝32+36；（2）过E 点作EK ⊥AB 交于点K ，证明△EDK ≌△DCF （AAS ），可得DK ＝CF ，EK ＝DF ，根据∠A ＝45°，推导DK ＝AF ，再由GE ∥AC ，推导出GD ＝KF ，即可证明AG ＝2DF ；（3）过点C 作CF ⊥AB 交于F 点，过点B 作∠ABG ＝30°，过点D 作DM ⊥BG 交于点M ，过点C 作CN⊥BG 交于点N ，当DE +12BD ＝CN 时，DE +12BD 有最小值；过A 作AQ ⊥BC 交延长线于点Q ，设CQ ＝x ，则AC ＝2x ，AQ =3x ，在Rt △ACF 中，AF ＝CF =2x ，利用△ABC 的面积求出BC =3+333•2，在等腰直角三角形BCN 中求出CN =22BC =3+3，即可得DE +12BD 的最小值是3+3．（1）解：过点C 作CH ⊥AB 交于点H ，由旋转可知，DE ＝CD ，∠CDE ＝90°，∵CE ＝12，∴CD ＝62，在Rt △CDH 中，∠ADC ＝30°，∴CH ＝32，DH ＝36，在Rt △ACH 中，∠A ＝45°，∴AH ＝HC ＝32，∴AD ＝AH +DH ＝32+36；（2）证明：过E 点作EK ⊥AB 交于点K ，由旋转可知，DE ＝CD ，∠CDE ＝90°，∴∠EDK +∠FDC ＝∠FDC +∠DCF ，∴∠EDK ＝∠DCF ，∴△EDK ≌△DCF （AAS ），∴DK＝CF，EK＝DF，∵∠A＝45°，∴CF＝AF，∴DK＝AF，∵GE∥AC，∴∠EGK＝∠A＝45°，∴GK＝EK＝DF，∴GD＝KF，∴DF＝DK+KF＝AF+GD，∴AG＝2DF；（3）解：过点C作CF⊥AB交于F点，过点B作∠ABG＝30°，过点D作DM⊥BG交于点M，∴MD=12 BD，∵CD＝ED，∴DE+12BD＝DE+MD＝CD+MD≥CM，过点C作CN⊥BG交于点N，当DE+12BD＝CN时，DE+12BD有最小值；过A作AQ⊥BC交延长线于点Q，∵∠BAC＝45°，∠ABC＝15°，∴∠ACQ＝60°，设CQ＝x，则AC＝2x，AQ=3x，在Rt△ACF中，AF＝CF=2x，∴AB•CF＝BC•AQ，∴（3+33）•2x＝BC•3x，解得BC=3+333•2，∵∠CBN＝45°，∴CN=22BC=3+3，∴DE+12BD的最小值是3+3．总结提升：本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质，勾股定理，胡不归求最短距离的方法是解题的关键．30．（2022秋•碑林区校级期末）问题提出（1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P为高AE上的动点，过点P作PH⊥AC于H，则PHAP的值为　；问题探究（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线y=―3x+23与x轴、y轴分别交于点A、B．若点P是直线AB上一个动点，过点P作PH⊥OB于H，求OP+PH的最小值．问题解决（3）如图3，在平面直角坐标系中，长方形OABC的OA边在x轴上，OC在y轴上，且B（6，8）．点D在OA边上，且OD＝2，点E在AB边上，将△ADE沿DE翻折，使得点A恰好落在OC边上的点A′。

中考数学思想及解题方法小集合
1.中考数学解题方法：
（1）代入法：代入法就是指先求出两个未知数的关系，再用其中一个代入另一个
例：A市至B市的航线长1200km，一架飞机从A市顺风飞往B市需2个小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分，求飞机的平均速度与风速
解：设飞机在无风状态时速度为X,风速为Y
1200/2.5=X+Y;;;1200/(10/3)=X-Y
X+Y=480;;;;X=360+Y
代入得360+Y+Y=480
Y=60
X=420
风速为60KM/小时
飞机平均速度=1200*2/(2.5+10/3)=2400/(35/6)=411.43
【注】这些思想及方法在学习过程中自然会运用到，在这里只是归纳一下而已。

（2）消元法：分为加减消元法和代入消元法两种。

降次法：
因式分解法：
换元法：
配方法:
待定系数法：
图解法：
图像法：
2.中考基本数学思想：
用字母表示数思想：
函数与方程思想：
转化化归思想：
属性结合思想：
分类讨论思想：
数学建模思想：
整体思想：
运动变化思想：
统计思想：
以上思想只需要灵活运用，中考数学便胜券在握。

中考数学复习知识点总结与解题方法专题讲解专题39 图形折叠中的等腰三角形问题【精典讲解】1、如图例7-1，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为 .图例7-1【解析】根据△CDB′为等腰三角形，以CD为腰或底分三种情况讨论，①DB′=DC；②CB′=CD；③CB′=DB′. 对于①DB′=DC，作图方法以E为圆心BE长为半径作弧，以D为圆心CD长为半径作弧，两弧交点即为B′. 对于②CB′=CD，作图方法以E为圆心BE长为半径作弧，以C为圆心CD长为半径作弧，两弧交点即为B′. 对于③CB′=DB′，作图方法以E为圆心BE长为半径作弧，弧与CD垂直平分线的交点为B′.图例7-2 图例7-3 图例7-4详解：①DB′=DC，如图例7-2所示.易知：DB′=DC=16.②CB′=CD，如图例7-3所示.由折叠性质可知：BF= B′F=CD=16，此时F点与C点重合，不符题意.③CB′=DB′，如图例7-4所示.由题意得，DN=CN=8，因为AE=3，所以EM=5. B′E=BE=13.在Rt△EB′M中，由勾股定理得，B′M=12.所以B′N=4.在Rt△DB′N中，由勾股定理得，B′D=54.综上所述，B′D的长为16或54.【点睛】以CD为腰或底分三种情况讨论，排除其中一种，利用勾股定理求解.【针对训练】1、如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P为边AD上一动点，连接BP，把△ABP沿BP折叠，使A落在A′处，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为（）A．2 B C．2D．2【解析】【分析】根据△A′DC为等腰三角形，分三种情况进行讨论：①A'D=A'C，②A'D=DC，③CA'=CD，分别求得AP的长，并判断是否符合题意．【详解】①如图，当A′D=A′C时，过A′作EF⊥AD，交DC于E，交AB于F，则EF垂直平分CD，EF垂直平分AB∴A'A=A'B由折叠得，AB=A'B，∠ABP=∠A'BP∴△ABA'是等边三角形∴∠ABP=30°∴AP===；②如图，当A'D=DC时，A'D=2由折叠得，A'B=AB=2∴A'B+A'D=2+2=4连接BD，则Rt△ABD中，=∴A'B+A'D＜BD（不合题意）故这种情况不存在；③如图，当CD=CA'时，CA'=2由折叠得，A'B=AB=2∴A'B+A'C=2+2=4∴点A'落在BC上的中点处此时，∠ABP=12∠ABA'=45°∴AP=AB=2．综上所述，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为2．故选C.【点睛】本题以折叠问题为背景，主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，分类时注意不能重复，不能遗漏．2、如图，菱形ABCD 的边，8AB =，60B ∠=,P 是AB 上一点，3BP =，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ．当'CA 的长度最小时，'C Q 的长为（ ）A ．5B ．7C ．8D ．132【解析】【分析】作CH AB ⊥于H ，如图，根据菱形的性质可判断ABC ∆为等边三角形，则CH AB ==4AH BH ==，再利用7CP =勾股定理计算出，再根据折叠的性质得点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，然后证明CQ CP =即可．【详解】解：作CH AB ⊥于H ，如图，菱形ABCD 的边8AB =，60B ∠=，ABC ∆∴为等边三角形，2CH AB ∴==，4AH BH ==， 3PB =，1HP ∴=，在Rt CHP ∆中，7CP ==，梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ，∴点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上，∴当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，APQ CPQ ∴∠=∠，而//CD AB ，APQ CQP ∴∠=∠，CQP CPQ ∴∠=∠，7∴==.CQ CP故选：B．【点睛】考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了折叠的性质．解决本题的关键是确定A′在PC上时CA′的长度最小．3、如图，在矩形ABCD中，AB＝√3，BC＝3，将△ABC沿对角线AC折叠，点B恰好落在点P处，CP与AD交于点F，连接BP交AC于点G，交AD于点E，下列结论不正确的是( )A．PGCG =13B．△PBC是等边三角形C．AC＝2AP D．S△BGC＝3S△AGP【解析】【分析】如图，首先运用勾股定理求出AC的长度，进而求出∠ACB＝30°，此为解决该题的关键性结论；运用翻折变换的性质证明△BCP为等边三角形；运用射影定理求出线段CG、AG之间的数量关系，进而证明选项A、B、C成立，选项A不成立.【详解】如图，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°；由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，而AB＝√3，BC＝3，∴AC＝2√3，AB＝12AC，∴∠ACB＝30°；由翻折变换的性质得：BP⊥AC，∠ACB＝∠ACP＝30°，BC＝PC，AB＝AP，BG＝PG，∴GC＝√3BG＝√3PG，∠BCP＝60°，AC＝2AP，∴△BCP为等边三角形，故选项B、C成立，选项A不成立；由射影定理得：BG2＝CG•AG，BG，CG＝3AG，∴AG＝√33∴S△BCG＝3S△ABG；由题意得：S△ABG＝S△AGP，∴S△BGC＝3S△AGP，故选项D正确；故选：A．【点睛】考查了翻折变换的性质、矩形的性质、射影定理、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用矩形的性质、射影定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．4、如图，将一张正方形纸片ABCD对折，使CD与AB重合，得到折痕MN后展开，E为CN上一点，将△CDE沿DE所在的直线折叠，使得点C落在折痕MN上的点F处，连接AF，BF，BD.则下列结论中：①△ADF是等边S正方形ABCD；④BF2＝DF·EF.其中正三角形；②tan∠EBF＝2－√3；③S△ADF＝13确的是( )A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【解析】【分析】由正方形的性质得出AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，由折叠的性质得出MN垂直平分AD，FD=CD，BN=CN，∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC，由线段垂直平分线的性质得出FD=FA，得出△ADF是等边三角形，①正确；设AB=AD=BC=4a，则MN=4a，BN=AM=2a，由等边三角形的性质得出∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，FA=AD=4a，FM=√3AM=2√3a，得出FN=MN-FM=（4-2√3）a，由三角函数的定义即可得出②正确；AD•FM=4√3a2，正方形ABCD的面积=16a2，得出③求出△ADF的面积=12错误；求出∠BFE=∠DFB，∠BEF=∠DBF，证出△BEF∽△DBF，得出对应边成比例，得出④正确；即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，由折叠的性质得：MN垂直平分AD，FD=CD，BN=CN，∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC，∴FD=FA，∴AD=FD=FA，即△ADF 是等边三角形，①正确；设AB=AD=BC=4a ，则MN=4a ，BN=AM=2a ，∵△ADF 是等边三角形，∴∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，FA=AD=4a ，FM=√3AM=2√3a ，∴FN=MN -FM=（4-2√3）a ，∴tan∠EBF=FN BN =4−2√32=2-√3，②正确；∵△ADF 的面积=12AD•FM=12×4a×2√3a=4√3a 2，正方形ABCD 的面积=（4a ）2=16a 2，∴S ΔADF S 正方形ABCD =4√316=√34，③错误；∵AF=AB，∠BAF=90°-60°=30°，∴∠AFB=∠ABF=75°，∴∠DBF=75°-45°=30°，∠BFE=360°-90°-60°-75°=135°=∠DFB，∵∠BEF=180°-75°-75°=30°=∠DBF，∴△BEF∽△DBF，∴BFDF ＝EFBF，∴BF2=DF•EF，④正确；故选B．【点睛】本题是相似形综合题目，考查了正方形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形是等边三角形和证明三角形相似是解决问题的关键．5、已知ABC中，AC BC=，RtC∠=∠．如图，将ABC进行折叠，使点A落在线段BC上（包括点B和点C），设点A的落点为D，折痕为EF，当DEF是等腰三角形时，点D可能的位置共有（）．A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【解析】（1）当点D与C重合时，∵AC=BC，AE=DE（即CE），AF=DF（即CF），∴此时△AFC（即△AFD）是等腰直角三角形，点E是斜边AC的中点，∴EF=DE，∴△EDF为等腰三角形．（2）当点D与B点重合时，点C与E重合，∵AC=BC，AF=DF（即BF），AB=DF（即BF），∴此时EF=12∴△DEF是等腰三角形；（3）当点D移动到使DE=DF的位置时，△DEF是等腰三角形．综上所述，当△DEF 为等腰三角形时，点D 的位置存在3中可能. 故选B.6、如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，3AE =，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF ∆沿EF 折叠，点B 落在'B 处，若'CDB ∆恰为等腰三角形，则'DB 的长为______.【解析】【分析】根据翻折的性质，可得B’E 的长，根据勾股定理可得CE 的长，然后再根据等腰三角形的判定进行分情况讨论【详解】需分三种情况讨论：（1）若'DB DC =，则'16DB =（易知此时点F 在BC 上且不与点C 、B 重合）；（2）若'CB CD =，因为'EB EB =，'CB CB =，所以点E 、C 在'BB 的垂直平分线上，则EC 垂直平分'BB ，由折叠可知点F 与点C 重合，不符合题意，则这种情况不成立；（3）如图，若''CB DB =，作'B G AB ⊥与AB 交于点G ，交CD 于点H .因为AB CD ∥，所以'B H CD ⊥.因为''CB DB =，所以182DH CD ==，所以8AG DH ==，则5GE AG AE =-=，因为'13B E BE ==.在'Rt B EG ∆中，由勾股定理求得'12B G =，所以''4B H GH B G =-=.在'Rt B DH ∆中，由勾股定理求得'DB =综上，'16DB =或【点睛】本题考查折叠性质和勾股定理，本题关键在于能够对等腰三角形的情况进行分类讨论7、在菱形ABCD 中，∠B＝60°，BC ＝2cm ，M 为AB 的中点，N 为BC 上一动点（不与点B 重合），将△BMN 沿直线MN 折叠，使点B 落在点E 处，连接DE ，CE ，当△CDE 为等腰三角形时，线段BN 的长为_____．【解析】【分析】分两种情况：①如图1，当DE=DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，由菱形的性质得出AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，得出∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，DE=AD=2，求出BG=BC+CG=3，由折叠的性质得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，证明△ADM≌△EDM，得出∠A=∠DEM=120°，证出D、E、N三点共线，设BN=EN=x，则GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②如图2，当CE=CD上，CE=CD=AD，此时点E与A重合，N与点C重合，CE=CD=DE=DA，△CDE是等边三角形，BN=BC=2（含CE=DE这种情况）．【详解】解：分两种情况，①如图1，当DE=DC 时，连接DM ，作DG⊥BC 于G ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，∴DE=AD=2，∵DG⊥BC，∴∠CDG=90°-60°=30°，∴CG=12CD=1，BG=BC+CG=3，∵M 为AB 的中点，∴AM=BM=1，由折叠的性质得：EN=BN ，EM=BM=AM ，∠MEN=∠B=60°，在△ADM 和△EDM 中，AD ＝ED ，AM ＝EM ，DM ＝DM ，∴△ADM≌△EDM（SSS ），∴∠A=∠DEM=120°，∴∠MEN+∠DEM=180°，∴D、E 、N 三点共线，设BN=EN=x ，则GN=3-x ，DN=x+2，在Rt△DGN 中，由勾股定理得：（3-x）² =（x+2）²，解得：x=45，，即BN=45；②当CE=CD时，CE=CD=AD，此时点E与A重合，N与点C重合，如图2所示：CE=CD=DE=DA，△CDE是等边三角形，BN=BC=2（符合题干要求）；综上所述，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为45或2；故答案为45或2．【点睛】本题考查了折叠变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.。

函数中的新定义问题知识方法精讲1．一次函数的性质一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．2．正比例函数的性质正比例函数的性质．3．一次函数图象上点的坐标特征一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．4．一次函数与一元一次不等式（1）一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．5．一次函数综合题（1）一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．（2）一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．（3）用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．6．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．7．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．8．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．9．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．10．二次函数的最值（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．11．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c ＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．12．二次函数与不等式（组）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．13．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．14．解新定义题型的方法：方法一:从定义知识的新情景问题入手这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力．因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。

中考数学思想方法专题复习之二：注意问题间的联系1.（1）如图(1)，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外做等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD.请画出图形，并证明：BE=CD；（2）如图（2），已知△ABC，以AB、AC为直角边向外做等腰直角三角形ABD和ACE.连接BE，CD.BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=450，∠CAE=900，AB =100米，BC=50米，AC=AE.求BE的长.2．（2015•德州）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP．（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在∠ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．3、已知：在△AOB与△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°．（1）如图1，点C、D分别在边OA、OB上，连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM，则线段AD与OM之间的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，将图1中的△COD绕点O逆时针旋转，旋转角为α(0°＜α＜90°)．连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将图1中的△COD绕点O逆时针旋转到使△COD 的一边OD恰好与△AOB的边OA在同一条直线上时，点C落在OB 上，点M为线段BC的中点．请你判断（1）中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．4.（2015菏泽8分）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=B C．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．5、（2015树人第一次月考）△ABC是等边三角形，点A与点D的坐标分别是A（4，0），D（10，0）.（1）如图1，当点C与点O重合时，求直线BD的解析式；（2）如图2，点C从点O沿y轴向下移动，当以点B为圆心，AB 为半径的⊙B与y轴相切（切点为C）时，求点B的坐标；（3）如图3，点C从点O沿y轴向下移动，过点B作BQ⊥x轴，垂足为Q，当点C的坐标为C（0，DQBQ的值。