1.2.2《极坐标和直角坐标的互化》课件(人教A版选修4-4)(2)

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1.2.2《极坐标和直角坐标的互化》课件(人教A版选修4-4)(2)

2 12
所以线段AB中题8分，共24分）
7.极坐标系中，点（6，7 ）的直角坐标为_______.
3
【解析】∵x=ρcosθ=6cos 7 =3,
3
y=ρsinθ=6sin 7 = 3 3 ,
∴点的极坐标（6，7 ）化为直角坐标为（3， 3）. 3
【解析】∵tanθ= - ,
5 5 4 3 ＜θ＜π, 2
∴cosθ= - 3 ，sinθ= 4 , ∴x=5cosθ=-3,y=5sinθ=4, ∴点M的直角坐标为(-3,4). 答案：(-3,4)
三、解答题（共40分）
x=2x 10.（12分）已知点P的直角坐标按伸缩变换变换为点 y= 3y
2.直角坐标系中，点（1， 3）的极坐标可以是( -
)
【解析】
3.把点的直角坐标(3,-4)化为极坐标(ρ ,θ )(ρ ≥0,0≤θ ＜
2π )，则( ) （B）ρ =5,θ =4
（A）ρ =3,θ =4
（C）ρ =5,tanθ = 4
3
（D）ρ =5,tanθ =-
4 3 x 3
【解析】选D.由公式得ρ= x 2 +y2 = 32 +(-4)2 =5, tanθ = y =- 4 ,
θ∈［0,2π).
4.在极坐标系中，点A(2,
(A)1 (B)2
)与B(2,- )之间的距离为( 6 6
)
(C)3
6
(D)4
)的直角坐标分别 6
【解析】选B.方法一：点A(2, )与B(2,为( 3,1)与( 3,-1), 于是|AB|= ( 3- 3)2 +(1+1)2 =2.
方法二：由点A(2, )与B(2,- )知|OA|=|OB|=2,∠AOB= ,

人教A版高中数学选修4-4课件：1.2.2极坐标与直角坐标的互化 (共17张PPT)

(2) 将点M的直角坐标( 3， 1)化成极坐标.
练习：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 ( 2 3 ,2) 极坐标
(4, ) 6
(0,1)
(3,0)
( 3, )
(1, ) 2
直角坐标 (3, 3 )
极坐标
5 (2 3 , ) 6
( 3 ,1) ( 5,0)
7 ( 2, ) 6
y x y , tan ( x 0) O x
x

M y N x
三、极坐标与直角坐标的互化公式
y 直化极： x y , tan ( x 0) x
2 2 2
极化直： x cos , y sin
2 例 (1) 将点M 的极坐标(5, )化成直角坐标. 3
P

O X
线上取一点M，使OM= ;
如图示：
M
新课讲解
2、负极径的实例在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置 [1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM= 3; 如图示： M（－3，/4）
●
P
= /4
O X
M
新课讲解
3、关于负极径的思考 “负极径”真是“负”的吗？
极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,). 从下图可以得出它们之间的关系：
x cos , y sin .
2 2 2
①y 由①又可得到下面的关系式：
于极点对称的点的一个坐标是 (A)
A.(8, ) 6

高二数学,人教A版,选修4-4 , 第2课时,极坐标,和直角坐标的互化 , 课件

7π 3，－1)化为极坐标为2， 6 .
[规律方法]
2
将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，
2
y 运用公式 ρ＝ x ＋y ，tan θ＝x(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由 y tan θ＝x(x≠0)求 θ 时，要根据直角坐标符号特征判断出点所在的象限．如果允许 θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为 θ ＋2kπ(k∈Z)即可．
解析： (1)∵ρ＝2，θ＝0，
∴x＝2cos θ＝2，y＝2sin θ＝0， ∴将极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0)． 0 (2)∵ρ＝－2 ＋0 ＝2，tan θ＝＝0，－2
2 2
由于点(－2,0)在 x 轴的非正半轴上，所以 θ＝π， ∴将直角坐标(－2,0)化为极坐标为(2，π)．
(2)互化公式：设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x， y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M 互化公式直角坐标(x，y)
______ cos θ x＝ρ sin θ ______ y＝ρ
极坐标(ρ，θ)
x2＋y2 ρ2＝______

tan θ＝－1，θ∈[0,2π)， 3π 由于点(－1,1)在第二象限，所以 θ＝ 4 ，
∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为
2 2
3π 2， 4 .
－1 3 (2)ρ＝－ 3 ＋－1 ＝2，tan θ＝＝3，－ 3 7π 由于点(－ 3，－1)在第三象限，所以 θ＝ 6 ， ∴直角坐标(－
二极坐标第2课时极坐标和直角坐标的互化
课标定位
1．了解极坐标系与直角坐标系的联系．
2．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式．

1.2 极坐标和直角坐标的互化第2课时课件(人教A版选修4-4)

(6)因为 cos
p = 12
p = 12
1 + cos 2 p 6 =
p 6 =
2+ 3 = 4 4－2 3 = 8
4+ 2 3 = 8 6－ 2 ， 4
6+ 2 ， 4
1 －cos 2
sinBiblioteka 2－ 3 = 4所以 x = r cos q= 4?
y = r sin q= 4?
6－ 2 6－ 2， 4 p (4, ) 化为直角坐标为 ( 6 + 所以点的极坐标 12
2p 3p ).(3)(3, ). 3 2 3p p (4)(4,－ ).(5)(5,6).(6)(4, ). 2 12 (1)(2,0).(2)(2,
【解题探究】1.点的极坐标化为直角坐标惟一吗？ 2.点的极坐标化为直角坐标的公式是什么？探究提示： 1.极坐标化为直角坐标是惟一的. 2.x=ρcos θ,y=ρsin θ.
x
θ∈［0，2π)，再将点的极坐标表示为(ρ，θ+2kπ),k∈Z.
2.将直角坐标系中点A(-1，-1)化为极坐标为_________. 【解析】设将直角坐标系中点A(-1，-1)化为极坐标为 (ρ,θ),则ρ2=x2+y2=(-1)2+(-1)2=2，所以 r = 2，
y = 1, 且θ角终边过点(-1，-1)， x 5p 5p 所以 q = 4 + 2kp ，k ? Z, 所以化为极坐标为 ( 2，4 + 2kp ), k ? Z. 5p ( 2 ， + 2kp ), k ? Z 答案： 4
(4)因为 x = r cos q = 4cos(－
3p y = r sin q = 4sin(－ ) = 4, 2 3p (4, － ) 化为直角坐标为(0, 4). 所以点的极坐标 2

高中数学第一讲坐标系二第二课时极坐标和直角坐标的互化课件新人教A版选修4_4

x [0,2π)范围内，由tan θ＝y (x≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征
x 判断出点所在的象限.如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，
表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可.
跟踪训练2
在直角坐标系中，求与点M 52，－5
2
3

的距离为1且与原点距
离最近的点N的极坐标.
解
把点
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
M
的直角坐标52，－5 2
3化为极坐标，
得 ρ＝
522＋－5
2
32＝5，tan
θ＝－552
3 ＝－
3.
因为点 M 在第四象限，所以 θ＝53π＋22kπ，k∈Z，
则点 M 的极坐标为5，53π＋2kπ，k∈Z.
依题意知，M，N，O三点共线，
A.1，－π3
B.2，43π
√C.2，－π3
D.2，－43π
解析以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则由极坐标
与直角坐标的互化公式，得
ρ＝
x2＋y2＝
12＋－
32＝2，tan
θ＝yx＝－1
3 ＝－
3.
∵点 P 在第四象限，结合选项知，θ 可以是－π3，
∴点 P 的极坐标可以是2，－π3.

新人教A版高中数学第1章坐标系二第二课时极坐标和直角坐标的互化课件选修4_4

[例 3] 在极坐标系中，如果等边三角形 ABC 的两个顶点的极坐标分别为 A2，

B2，54π，且 ρ≥0，θ∈[0,2π)，求： (1)顶点 C 的极坐标； (2)三角形的面积．
[解析] (1)由公式xy＝＝ρρscionsθθ，，得点 A2，π4，B2，54π的直角坐标分别为 A( 2 B(－ 2，－ 2)．点 C 必在直线 y＝－x 上，且|OC|＝2tan 60°＝2 3，设点 C 的直角坐标为(x，－x)，则 x2＋－x2＝2 3，即 2|x|＝2 3，解得 x＝± 6，故点 C 的直角坐标为(－ 6， 6)或( 6，－ 6)．
(1)(－2,2)；(2) 23，－12；(3)(0，－ 6)． [解析] (1)由 ρ＝ x2＋y2＝2 2，tan θ＝xy＝－1，且角 θ 的终边经过点(－2,2)，
当 θ∈[0,2π)时，θ＝34π，

故点的极坐标为2

2，34π.
(2)由 ρ＝ x2＋y2＝1， tan θ＝xy＝－ 33，且角 θ 的终边经过点 23，－12，当 θ∈[0,2π)时，θ＝116π，故点的极坐标为1，116π.
3．极坐标系中，已知 O 是极点，A6，76π，B3，32π， (1)求|AB|； (2)判断△AOB 的形状．解析：(1)由公式 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 求得点 A6，76π，B3，32π的直角坐标分为 A(－3 3，－3)，B(0，－3)，得|AB|＝3 3. (2)由上述得，直线 AB 平行于 x 轴，∠OBA＝90°，∠OAB＝30°.所以△AOB 是角三角形，其中∠OAB＝30°.
，并
2．互化公式：设 M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标 θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：

1.2 极坐标系课件(人教A选修4-4)(2)

只需将已知条件代入相关公式即可．
5π (1)∵x＝ρcos θ＝4· cos 3 ＝2. 5π y＝ρsin θ＝4sin 3 ＝－2 3. ∴A 点的直角坐标为(2，－2 3)． (2)∵ρ＝ x2＋y2＝ 22＋－22＝2 2 －2 tan θ＝ 2 ＝－1.且点 B 位于第四象限内， 7π 7π ∴θ＝ 4 .∴点 B 的极坐标为(2 2， 4 )．又∵x＝0，y＜0，ρ＝15， 3π ∴点 C 的极坐标为(15， 2 )．
[研一题] [例 2] 系． 5π (1)已知点 A 的极坐标(4， 3 )，求它的直角坐标； (2)已知点 B 和点 C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π) 若以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标
[精讲详析]
本题考查立意]
本题主要考查点的极坐标的求法以及直角坐标
与极坐标的转化．
[解析]
5π 依题意，点 B 的极坐标为(4，12)，
5π π π π π π π ∵cos 12＝cos (4＋6)＝cos 4cos 6－sin 4sin 6 6－ 2 2 3 21 ＝ 2 ·2 － 2 ·＝ 4 ， 2 5π π π π π π π sin 12＝sin (4＋6)＝sin 4cos 6＋cos 4sin 6
的极径ρ表示点M与极点O的距离|OM|，因此ρ≥0；但必要时，
允许ρ＜0.
[通一类] 1．边长为 a 的正六边形的一个顶点为极点，极轴通过它的一边，求正六边形各顶点坐标．
解：由点的极坐标的定义可知，正六边形各顶点的极坐标分别 π π π 2 为：(0,0)、(a,0)、( 3a，6)、(2a，3)、( 3a，2)、(a，3π)或(0,0)、 π π π 2 (a,0)、( 3a、－6)、(2a，－3)、( 3a，－2)、(a，－3π).

选修4-4,极坐标与平面直角坐标的相互转化 (共22张PPT)

思考：
平面内一点M的直角坐标是(1, 3)，
其极坐标如何表示?
点Q的极坐标为 (4, ) ，其直角坐
标如何表示？
6
在直角坐标系中, 以原点 y M (1, 3)
作为极点,x轴的正半轴作 θ
为极轴, 并且两种坐标系 O
x
中取相同的长度单位。
点M的直角坐标为 (1, 3)
M (2, )
设点M的极坐标为(ρ,θ)
6
A
用余弦定理求
AB的长即可。 o
x
小结
1、极坐标系的四要素极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向。
2、点与其极坐标一一对应的条件
0, [0,2 )
3、极坐标与直角坐标的互化公式
2 x2 y2, tan y ( x 0)
x
x cos , y sin
A (3, )
B (2, )
C (1, )
)
4
练习: 已知点的直角坐标, 求它们的极坐标.
A (3, 3) C (5,0)
B (1, 3) D (0,2)
E (3,3)
例2：已知两点 A(2, )，B(3, )
求两点间的距离。 3
2
B
解：AOB
极化直：x cos , y sin
例1：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 (2 3,2) (0,1) (3,0)
极坐标 (4, ) (1, ) (3, )
6
2
直角坐标
极坐标
(3, 3 ) ( 3,1)
5
(2 3, )
7
(2, )
6
6
(5,0)
(5,0)
练习：已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。

高中数学第一章坐标系1.2.2极坐标和直角坐标的互化课件新人教A版选修44

【解析】因为A点的极坐标为（6, ），
所以
xA
6
cos
3
3，yA
6 sin
3
3 3
3，
所以A(3,3 3),
同理可得B(-4, 4 )3.
设线段AB的中点为M(m,n),由线段的中点坐标公式可
得
m
4 2
3
1， 2
n 4
33 2
3
3， 2
所以线段AB中点的直角坐标为( 1 , 3 ). 22
【延伸探究】 1.试求线段AB中点的极坐标.
【解析】方法一:因为A,B两点的极坐标为(6, π )和(8, 4π )，
33
故A,B两点在一条直线上,且到极点的距离分别为6,8, 故AB中点到极点的距离为1,且在线段OB上,故AB中点的极坐标为 (1, 4).
3
方法二:因为线段AB中点的直角坐标为（ 1 , 3 ），
答案: (6，7) 6
(6，7). 6
2.在极坐标系中,已知 A(3，)，和B(4， ), 求|AB|.
3
6
【解析】由点A的极坐标为(3，)，可得点A的直角坐标为
3
(3，3 3 ), 同理点B的直角坐标为(2 3 ,-2),则|AB|=
22
(3 2 3)2 (3 3 2)2 5.
2
2
自我纠错点的极坐标及其表示
3 故P′的极坐标可以为 (2，, 2)
3
由x=2cos( 2)=-1,y=2sin( 2=)-
3 故点P′的直角坐标为(-1,-
). 3
, 3
3
类型二极坐标与直角坐标转化的应用
【典例】已知A,B两点的极坐标为 (6, π )和(8, 4π )，求线段

1.2.2《极坐标和直角坐标的互化》课件(人教A版选修4-4)(3)

一、选择题（每小题6分，共36分） 1.极坐标系中，点(1,-π )的直角坐标为( （A）(1，0) （B）(0,1) （C）(-1,0) ) （D）(0 ，-1)
【解析】选C.∵x=ρcosθ=cos（-π）=-1，
y=ρsinθ=sin（-π）=0.
பைடு நூலகம்
2 12
所以线段AB中点C的极坐标为 ( 1 , 5 ).
2 12
二、填空题（每小题8分，共24分）
7.极坐标系中，点（6，7 ）的直角坐标为_______.
3
【解析】∵x=ρcosθ=6cos 7 =3,
3
y=ρsinθ=6sin 7 = 3 3 ,
∴点的极坐标（6，7 ）化为直角坐标为（3， 3）. 3
B(2, 5 5 ),C( 3, ), 极点O(0,0), 6 3 2
(1)判断△OAB的形状; (2)求△ABC的面积. 【解析】方法一：所给各点的直角坐标分别为A(0,2),B( - 3，1), C( 3 ,- 3 ),
2 2
O(0,0), (1)∵|AB|= (- 3-0)2 +(1-2)2 =2, |OA|=|OB|=2, ∴△OAB为等边三角形.
6.在极坐标系中，点 A( 2 , ),B( 2 , 2 ) ，则线段AB中点的极坐标为( )
2 6 2 3
【解析】选A.方法一：由点 A( 2 , ),B( 2 , 2 ) 知， ∠AOB=
，于是△AOB为等腰直角三角形， 2
2 6
2
3
所以|AB|= 2 2 =1,
2
设线段AB的中点为C，则|OC|= 1 ，极径OC与极轴所成的角为 5 ,
θ∈［0,2π).

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θ∈［0,2π).
4.在极坐标系中，点A(2, )与B(2,- )之间的距离为( 6 6
)
(A)1
(B)2
(C)3
6
(D)4
)的直角坐标分别 6
【解析】选B.方法一：点A(2, )与B(2,为( 3,1)与( 3,-1), 于是|AB|= ( 3- 3) 2 +(1+1) 2 =2.
4 3
＜θ ＜π ,则 2
点M的直角坐标为_______.
【解析】∵tanθ= - ,
5 5 4 3 ＜θ＜π, 2
∴cosθ= - 3 ，sinθ= 4 , ∴x=5cosθ=-3,y=5sinθ=4, ∴点M的直角坐标为(-3,4). 答案：(-3,4)
三、解答题（共40分）
x=2x 10.（12分）已知点P的直角坐标按伸缩变换变换为点 y= 3y
一、选择题（每小题6分，共36分） 1.极坐标系中，点(1,-π )的直角坐标为( （A）(1，0) （B）(0,1) （C）(-1,0) ) （D）(0 ，-1)
【解析】选C.∵x=ρcosθ=cos（-π）=-1，
y=ρsinθ=sin（-π）=0.
∴6为第四象限角，故-6为第一象限角.
所以极坐标为（3，-6）的点在第一象限.
6.在极坐标系中，点 A( 2 , ),B( 2 , 2 ) ，则线段AB中点的极坐标为( )
2 6 2 3
【解析】选A.方法一：由点 A( 2 , ),B( 2 , 2 ) 知，
，于是△AOB为等腰直角三角形， 2 所以|AB|= 2 2 =1, 2
2 6 2 3
∠AOB=
设线段AB的中点为C，则|OC|= 1 ，极径OC与极轴所成的角为 5 ,
2 12
所以线段AB中点C的极坐标为 ( 1 , 5 ).
2 12
二、填空题（每小题8分，共24分）
7.极坐标系中，点（6，7 ）的直角坐标为_______.
3
【解析】∵x=ρcosθ=6cos 7 =3,
P′(6,-3)，限定ρ ＞0，0≤θ ＜2π 时，求点P的极坐标.
【解析】
11.（14分）在极坐标系中，已知三点M(2, ),N(2,0)，
P(2 3, ).判断M，N，P三点是否在一条直线上？说明理由. 6
3
【解析】
12.（14分）已知△ABC三个顶点的极坐标分别为 A(2, ),
方法二：由点A(2, )与B(2,- )知|OA|=|OB|=2,∠AOB= ,
6 6 3
于是△AOB为等边三角形，所以|AB|=2.
5.（2010·营）第二象限（D）第四象限
2
（A）第一象限（C）第三象限
【解析】选A.∵ 3 ＜6＜2π，
3
y=ρsinθ=6sin 7 = 3 3 ,
∴点的极坐标（6，7 ）化为直角坐标为（3， 3）. 3
3 3
答案：(3, 3 3)
8.将点的直角坐标 - ，）化为极坐标（ρ ＞0，θ ∈[0，2π )) （
为_______. 【解析】
2 2
答案： 2 , 3 ）（
2 4
9.已知点M的极坐标为(5,θ )，且tanθ = - ,
B(2, 5 5 ),C( 3, ), 极点O(0,0), 6 3
2
(1)判断△OAB的形状; (2)求△ABC的面积. 【解析】方法一：
所给各点的直角坐标分别为A(0,2),B( - 3，1), C( 3 ,- 3 ),
2 2
O(0,0), (1)∵|AB|= (- 3-0) 2 +(1-2) 2 =2, |OA|=|OB|=2, ∴△OAB为等边三角形.
2.直角坐标系中，点（1， 3）的极坐标可以是( -
)
【解析】
3.把点的直角坐标(3,-4)化为极坐标(ρ ,θ )(ρ ≥0,0≤θ ＜
2π )，则( ) （B）ρ =5,θ =4
（A）ρ =3,θ =4
（C）ρ =5,tanθ = 4
3
（D）ρ =5,tanθ =-
4 3
x 3
【解析】选D.由公式得ρ= x 2 +y 2 = 32 +(-4) 2 =5, tanθ = y =- 4 ,

1.2.2《极坐标和直角坐标的互化》课件(人教A版选修4-4)(2)

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