初中数学专题旋转问题

中考数学初中数学 旋转综合经典题附答案一、旋转1．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。

（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）； （2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC=45°，求α的值。

【答案】（1）1302α︒-（2）见解析（3）30α=︒【解析】解：（1）1302α︒-。

（2）△ABE 为等边三角形。

证明如下：连接AD ，CD ，ED ，∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ， ∴BC=BD ，∠DBC=60°。

又∵∠ABE=60°，∴1ABD 60DBE EBC 302α∠=︒-∠=∠=︒-且△BCD 为等边三角形。

在△ABD 与△ACD 中，∵AB=AC ，AD=AD ，BD=CD ，∴△ABD ≌△ACD （SSS ）。

∴11BAD CAD BAC 22α∠=∠=∠=。

∵∠BCE=150°，∴11BEC 180(30)15022αα∠=︒-︒--︒=。

∴BEC BAD ∠=∠。

在△ABD 和△EBC 中，∵BEC BAD ∠=∠，EBC ABD ∠=∠，BC=BD ， ∴△ABD ≌△EBC （AAS ）。

∴AB=BE 。

∴△ABE 为等边三角形。

（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴DCE 1506090∠=︒-︒=︒。

又∵∠DEC=45°，∴△DCE 为等腰直角三角形。

∴DC=CE=BC 。

∵∠BCE=150°，∴(180150)EBC 152︒-︒∠==︒。

而1EBC 30152α∠=︒-=︒。

∴30α=︒。

（1）∵AB=AC ，∠BAC=α，∴180ABC 2α︒-∠=。

初中数学旋转题型
在初中数学中，旋转是一个重要的概念和技能。

掌握旋转的原理和方法，可以帮助我们解决很多几何问题。

下面介绍一些初中数学中常见的旋转题型。

1. 点的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个点P(x, y)，绕原点旋转θ度，求旋转后的点坐标。

解法：设旋转后的点为P'(x', y')，则有：
x' = x*cosθ - y*sinθ
y' = x*sinθ + y*cosθ
其中，cosθ和sinθ可以通过三角函数表查找。

2. 图形的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个图形，绕原点旋转θ度，求旋转后的图形。

解法：将图形上的每个点都按照点的旋转方法进行旋转，然后连接这些点，就得到了旋转后的图形。

3. 对称图形的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个对称图形，绕对称轴旋转θ度，求旋转后的图形。

解法：对称轴不变，将图形上的每个点都按照点的旋转方法进行旋转，然后连接这些点，就得到了旋转后的图形。

4. 正方形的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个正方形，绕其中心旋转θ度，求旋转后的正方形。

解法：连接正方形的对角线，得到两个对称轴，分别将正方形上的每个点按照点的旋转方法进行旋转，然后连接这些点，就得到了旋转后的正方形。

5. 圆的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个圆，绕其中心旋转θ度，求旋转后的圆。

解法：圆上每个点到圆心的距离不变，因此可以先求出旋转后的圆心坐标，然后将圆心和圆上的每个点都按照点的旋转方法进行旋转，就得到了旋转后的圆。

以上就是初中数学中常见的旋转题型，希望能对大家的学习有所帮助。

专题旋转重难点模型汇编【题型1手拉手模型】【题型2“半角”模型】【题型3构造旋转模型解题】【题型4奔驰模型】【题型5费马点模型】【题型1手拉手模型】1如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=2-2，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α0°<α<360°，分别连接CE、BD．(1)如图2，当0°<α<90°时，求证：CE=BD；(2)如图3，当α=90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；(3)连接CD，在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)△BCD的面积的最大值为3-2，旋转角α=135°【详解】(1)证明：由题意得，AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90°，∵∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE=90°，∴∠CAE=∠BAD，在△ACE和△ABD中，AC =AB∠CAE =∠BAD AE =AD，∴△ACE ≌△ABD SAS ，∴CE =BD ；(2)证明：根据题意：AB =AC ，AD =AE ，∠CAB =∠EAD =90°，在△ACE 和△ABD 中，AC =AB∠CAE =∠BAD AE =AD∴△ACE ≌△ABD SAS ，∴∠ACE =∠ABD ，∵∠ACE +∠AEC =90°，且∠AEC =∠FEB ，∴∠ABD +∠FEB =90°，∴∠EFB =90°，∴CF ⊥BD ，∵AB =AC =2，AD =AE =2-2，∠CAB =∠EAD =90°，∴BC =AB 2+AC 2=2，CD =AC +AD =2，∴BC =CD ， ∵CF ⊥BD ，∴CF 是线段BD 的垂直平分线；(3)解： 在△BCD 中，边BC 的长是定值，则BC 边上的高取最大值时，△BCD 的面积有最大值，∴当点D 在线段BC 的垂直平分线上时，△BCD 的面积取得最大值，如图，∵AB =AC =2，AD =AE =2-2，∠CAB =∠EAD =90°，DG ⊥BC ，∴AG =12BC =1，∠GAB =45°，∴DG =AG +AD =3-2，∠DAB =180°-45°=135°，∴△BCD 的面积的最大值为：12BC ⋅DG =12×2×3-2 =3-2，此时旋转角α=135°．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，寻找全等三角形，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．2如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC =2，D ，E分别为AC ,BC 的中点，将△CDE 绕点C 逆时针方向旋转得到△CD E (如图2)，使直线D E 恰好过点B ，连接AD ．(1)判断AD 与BD 的位置关系，并说明理由；(2)求BE 的长；(3)若将△CDE绕点C逆时针方向旋转一周，当直线D E 过Rt△ABC的一个顶点时，请直接写出BE 长的其它所有值．【答案】(1)AD ⊥BD ，见详解(2)14-22(3)2+142或14-2 2【详解】(1)解：AD 与BD 的位置关系为AD ⊥BD ．∵AC=BC，D，E分别为AC,BC的中点，∴CD=CE，即CD =CE ，∵∠C=90°，即∠BCA=∠D CE =90°，∴∠ACD =∠BCE ,∴△CD A≌△CE B，∴∠CE B=∠CD A，∵∠C=90°，CD =CE ，AC=BC，∴∠CD E =∠CE D =∠CAB=∠CBA=45°，∴∠CE B=∠CD A=135°，∴∠AD B=135°-45°=90°，即：AD ⊥BD ．(2)解：Rt△ACB中，AC=BC=2，∴BA=AC2+BC2=22，同理可求D E =2，∵△CD A≌△CE B，∴AD =BE ，设AD =BE =x，在Rt△AD B中，由勾股定理得：x2+2+x2=222，解得：x=14-22(舍负)，∴BE =14-22．(3)解：①经过点B 时，题(2)已求BE =14-22；②经过点A 时，如图所示，同理可证：△CD A ≌△CE B ，∴∠D AC =∠E BC ，BE =AD∵∠1=∠2，∴∠AE B =∠BCA =90°，设BE =AD =x ，在Rt △AE B 中，由勾股定理得：x 2+x -2 2=22 2，解得：x =2+142(舍负)，即：BE =2+142；③再次经过点B 时，如下图：同理可证：△CD A ≌△CE B ，AD ⊥BE ，设BE =AD =x ，在Rt △AD B 中，由勾股定理得：x 2+x -2 2=22 2，解得：x =2+142(舍负)，即：BE =2+142；综上所述：BE =2+142或BE =14-22．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等的应用，正确熟练掌握知识点是解题的关键．3如图，△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°．(1)【猜想】如图1，点E 在BC 上，点D 在AC 上，线段BE 与AD 的数量关系是，位置关系是；(2)【探究】：把△DCE 绕点C 旋转到如图2的位置，连接AD ，BE ，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3)【拓展】：把△DCE 绕点C 在平面内自由旋转，若AC =6，CE =22，当A ，E ，D 三点在同一直线上时，直接写出BE的长．【答案】(1)BE=AD，BE⊥AD(2)(1)中的结论成立，理由见解析(3)42-2或42+2【详解】(1)解：∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴BC=AC，EC=DC，∠ACB=90°，∴BC-EC=AC-DC，∴BE=AD，∵∠ACB=90°，∴BE⊥AD，故答案为：BE=AD，BE⊥AD；(2)解：(1)中结论仍然成立，理由：由旋转知，∠BCE=∠ACD，∵BC=AC，EC=DC，∴△BCE≌△ACD，∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，∵∠ACB=90°，∴∠CBE+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠BHC=90°，∵∠BHC=∠AHG，∴∠CAD+∠AHG=90°，∴∠AGH=90°，∴BE⊥AD；(3)解：①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M，∵△DCE是等腰直角三角形，且CE=22，∴DE=CE2+CD2=4，∵CM⊥AD，DE=2，∴CM=EM=12在Rt△ACM中，AC=6，∴AM=AC2-CM2=42，∴AE=AM-EM=42-2，在Rt△ACB中，AC=6，AB=AC2+AB2=62，在Rt△ABE中，BE=AB2-AE2=42+2；②当点D在线段AE上时，如图4，过点C作CN⊥AE于N，∵△DCE是等腰直角三角形，且CE=22，∴DE=CE2+CD2=4，∵CN⊥AD，DE=2，∴CN=EN=12在Rt△ACN中，AC=6，∴AN=AC2-CN2=42，∴AE=AN+NE=42+2，在Rt△ACB中，AC=6，AB=AC2+AB2=62，在Rt△ABE中，BE=AB2-AE2=42-2；综上，BE的长为42-2或42+2．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．4已知：如图1，△ABC中，AB=AC∠BAC=60°，D、E分别是AB、AC上的点，AD=AE，不难发现BD、CE的关系．(1)将△ADE绕A点旋转到图2位置时，写出BD、CE的数量关系；(2)当∠BAC=90°时，将△ADE绕A点旋转到图3位置．①猜想BD与CE有什么数量关系和位置关系?请就图3的情形进行证明；②当点C、D、E在同一直线上时，直接写出∠ADB的度数．【答案】(1)BD=CE(2)①BD=CE，BD⊥CE，证明见解析，②45°或135°【详解】(1)∵∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，水不撩不知深浅∴△BAD≌△CAE SAS∴BD=CE；(2)①BD=CE，BD⊥CE，证明：如图，BD交AC于点F，交CE于点M，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE SAS∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，在△BAF和△CMF中，∵∠ABD=∠ACE，∠AFB=∠MFC，∴∠FMC=∠FAB，∵∠BAC=90°，∴∠FMC=90°，∴BD⊥CE，因此BD=CE，BD⊥CE；②如图，当点 C、D、E 在同一直线上，且点D在线段CE上时，如图I所示，在等腰Rt△ADE中，∠ADE=45°，∵BD⊥CE，∴∠EDB=90°，∴∠ADB=∠EDB-∠ADE=45°；当点 C、D、E 在同一直线上，且点E在线段DE上时，如图II所示，在等腰Rt△ADE中，∠ADE=45°，∵BD⊥CE，∴∠EDB=90°，∴∠ADB =∠EDB +∠ADE =135°；故∠ADB 的度数为：45°或135°．5△ABC是等腰直角三角形，点D 是△ABC 外部的一点，连接AD ，AB =AC =2AD =6，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连接ED ，CE ，BD ．(1)如图1，当点D 在线段EC 上时，线段EC 与线段BD 的数量关系是，位置关系是；(2)如图2，线段EC 交BD 于点P ，此时(1)中线段EC 与线段BD 的关系是否依然成立，请说明理由；(3)如图3，线段EC 交BD 于点P ，点Q 是AC 边的中点，连接DC ，PQ ，当DC =32时，求PQ 的长．【答案】(1)BD =CE ，BD ⊥CE(2)(1)中线段EC 与线段BD 的关系是否依然成立，理由见解析(3)PQ 的长为32【详解】(1)解：BD =CE ，BD ⊥CE ，理由如下：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC =90°，AB =AC ，∵将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，∴∠DAE =90°，AE =AD ，∴∠BAD =∠CAE ，在△ABD 与△ACE 中，AB =AC∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△ABD ≌△ACE ，∴BD =CE ，∠ABD =∠ACE ，∴∠ACE +∠DBC +∠ACB =∠ABD +∠DBC +∠ACB =∠ABC +∠ACB =90°，∴∠BDC =90°，∴BD ⊥CE ；故答案为：BD =CE ，BD ⊥CE ；(2)解：(1)中线段EC 与线段BD 的关系依然成立；理由：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC =90°，AB =AC ，∵将线段AD 绕点A 逆时针旋转 90° 得到线段AE ，∴∠DAE=90°，AE=AD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD与△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB=∠ABC+∠ACB=90°，∴∠BPC=90°，∴BD⊥CE；(3)解：连接PQ，∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴∠DAE=90°，AE=AD=3，∴DE=2AD=32，∵DC=32，∴DE=CD，由(2)知BD⊥CE，∴EP=CP，∵点Q是AC边的中点，∴PQ=12AE=32．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，旋转的性质，三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．【题型2“半角”模型】6如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且∠MAN=45°，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，连接AM、AN、MN．(1)试判断DM，BN，MN之间的数量关系；(2)如图②，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，∠MAN=45°，连接MN，请写出MN 、DM 、BN 之间的数量关系，并写出证明过程．(3)如图③，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B +∠D =180°，点N ，M 分别在边BC ，CD 上，∠MAN =60°，请直接写出BN ，DM ，MN 之间数量关系．【答案】(1)MN =DM +BN (2)MN =BN -DM ，证明见解析(3)MN =DM +BN【详解】(1)解：MN =DM +BN ，证明如下：如图：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =∠BAD =∠D =90°，，由旋转的性质可得：AE =AM ，BE =DM ，∠ABE =∠D =90°，∠DAM =∠BAE ，∴∠ABE +∠ABC =180°，∴点E 、B 、C 共线，∵∠DAM +∠BAM =90°，∴∠BAE +∠BAM =90°=∠EAM ，∵∠MAN =45°，∴∠EAN =∠EAM -∠MAN =45°=∠MAN ，在△EAN 和△MAN 中，AE =AM∠EAN =∠MANAN =AN∴△EAN ≌△MAN SAS ，∴EN =MN ，∵EN =BE +BN ，∴MN =DM +BN ；(2)解：MN =BN -DM ，证明如下：如图，在BC 上取BE =MD ，连接AE ，，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =∠ADC =∠BAD =90°，AB =AD ，∵∠ADC +∠ADM =180°，∴∠ADC =∠ADM =∠ABE =90°，在△ABE 和△ADM 中，AB =AD∠ABE =∠ADM BE =DM，∴△ABE≌△ADM SAS ，∴AE =AM ，∠BAE =∠MAD ，∵∠BAE +∠EAD =∠BAD =90°，∴∠DAM +∠EAD =∠EAM =90°，∵∠MAN =45°，∴∠EAN =∠EAM -∠MAN =45°=∠MAN ，在△EAN 和△MAN 中，AE =AM∠EAN =∠MAN AN =AN，∴△EAN ≌△MAN SAS ，∴EN =MN ，∵EN =BN -BE ，∴MN =BN -DM ；(3)解：如图，将△ABN 绕点A 逆时针旋转120°得△ADE ， ∴∠B =∠ADE ，AB =AD ，AE =AN ，∴∠B +∠ADC =180°，∴∠ADE +∠ADC =180°，∴点E 、D 、C 共线，∵∠BAN +∠NAD =∠BAD =120°，∴∠DAE +∠NAD =∠NAE =120°，∵∠MAN =60°，∴∠EAN =∠EAM -∠MAN =60°=∠MAN ，在△EAN 和△MAN 中，AE =AN∠EAM =∠NAM AM =AM，∴△EAM ≌△NAM SAS ，∴EM =MN ，∴MN =DM +BN ．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键．7如图，已知在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 是BC 边上的点，将△ABD 绕点A 旋转，得到△ACD，连接D E ．(1)当∠BAC =120°，∠DAE =60°时，求证：DE =D E ；(2)当DE=D E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．(3)在(2)的结论下，当∠BAC=90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△D EC是等腰直角三角形？(直接写出结论，不必证明)【答案】(1)见解析(2)∠DAE=12∠BAC，理由见解析(3)DE=2BD【详解】(1)证明：∵△ABD绕点A旋转得到△ACD ，∴AD=AD ，∠CAD =∠BAD，∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，∴∠D AE=∠CAD +∠CAE=∠BAD+∠CAE=∠BAC-∠DAE=120°-60°=60°，∴∠DAE=∠D AE，在△ADE和△AD E中，∵AD=AD∠DAE=∠D AE AE=AE，∴△ADE≌△AD E(SAS)，∴DE=D E；(2)解：∠DAE=12∠BAC．理由如下：在△ADE和△AD E中，AD=AD AE=AE DE=D E，∴△ADE≌△AD′E(SSS)，∴∠DAE=∠D AE，∴∠BAD+∠CAE=∠CAD′+∠CAE=∠D′AE=∠DAE，∴∠DAE=12∠BAC；(3)解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠ACD =45°，∴∠D CE=45°+45°=90°，∵△D EC是等腰直角三角形，∴D E=2CD ，由(2)DE=D E，∵△ABD绕点A旋转得到△ACD ，∴BD=C D ，∴DE=2BD．【点睛】本题考查了几何变换的综合题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小找出三角形全等的条件是解题的关键．8学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD 中，∠EAF =45°，求证：EF =BE +DF ．”小明同学的思路：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠B =∠ADC =90°．把△ABE 绕点A 逆时针旋转到△ADE 的位置，然后证明△AFE ≌△AFE ，从而可得EF =E F ．E F =E D +DF =BE +DF ，从而使问题得证．(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D =90°，∠EAF =12∠BAD ，直接写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，∠EAF =12∠BAD ，求证：EF =BE +DF ．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是⊙O 的内接四边形，BC 是直径，AB =AC ，请直接写出PB +PC 与AP 的关系．【答案】(1)BE +DF =EF (2)证明见解析(3)PB +PC =2PA【详解】(1)解：结论：BE +DF =EF ，理由如下：证明：将△ABE 绕点A 逆时针旋转，旋转角等于∠BAD ，使得AB 与AD 重合，点E 转到点E 的位置，如图所示，可知△ABE≌△ADE ，∴BE=DE ．由∠ADC+∠ADE =180°知，C、D、E 共线，∠BAD，∵∠EAF=12∴∠BAF+∠DAF=∠EAF，∴∠DAE +∠DAF=∠EAF=∠E'AF，∴△AEF≌△AE F，∴EF=E F=BE+DF．(2)证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，旋转角等于∠BAD，使得AB与AD重合，点E转到点E 的位置，如图所示，由旋转可知△ABE≌△ADE ，∴BE=DE ，∠B=∠ADE ，∠BAE=∠DAE ，AE=AE ．∴∠ADC+∠ADE =180°，∴点C，D，E 在同一条直线上．∠BAD，∵∠EAF=12∴∠BAE+∠DAF=1∠BAD，2BAD，∴∠DAE +∠DAF=12∠BAD，∴∠FAE =12∴∠EAF=∠FAE ．∵AF=AF，∴△FAE ≌△FAE，∴FE=FE ，即BE+DF=EF．(3)结论：PB+PC=2PA，理由如下：证明：将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到△ACP ，使得AB与AC重合，如图所示，由圆内接四边形性质得：∠ACP +∠ACP=180°，即P，C，P 在同一直线上．∴BP=CP ，AP=AP ，∵BC为直径，∴∠BAC=90°=∠BAP+∠PAC=∠CAP +∠PAC=∠PAP ，∴△PAP 为等腰直角三角形，∴PP =2PA，即PB+PC=2PA．【点睛】本题考查了旋转与全等三角形的综合应用、直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的判定及性质等知识点．解题关键是利用旋转构造全等三角形．9阅读下面材料．小炎遇到这个一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中，她先尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB、AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE 绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决这个问题(如图2)．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：(1)写出小炎的推理过程；(2)如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足于关系时，仍有EF=BE+DF；(3)如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC =2，求DE的长．【答案】(1)见解析(2)∠B+∠ADC=180°(3)5【详解】(1)解：如图所示，将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠ADC=∠BAD=90°，由旋转的性质可得AE=AG，BE=DG，∠BAE=∠DAG，∠ADG=∠B=90°，∴∠ADC+∠ADG=180°，即C、D、G三点共线，∵∠BAE+∠DAE=90°，∴∠DAG+∠DAE=90°，即∠EAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAF=45°=∠EAF，又∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF SAS，∴EF=GF，又∵GF=DF+DG，DG=BE，∴EF=BE+DF；(2)解：当∠B+∠ADC=180°时，仍有EF=BE+DF，理由如下：如图所示，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，∴BE=DG，AE=AG，∠BAE=∠DAG，∠B=∠ADG∵∠B+∠ADC=180°，∠B=∠ADG，∴∠ADC+∠ADG=180°，即C、D、G三点共线，∵∠BAD=90°∴∠BAE+∠DAE=90°，∴∠DAG+∠DAE=90°，即∠EAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAF=45°=∠EAF，又∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF SAS，∴EF=GF，又∵GF=DF+DG，DG=BE，∴EF=BE+DF，故答案为：∠B+∠ADC=180°；(3)解：如图所示，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，∴∠B=∠ACG，BD=CG=1，AD=AG，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠CAG+∠CAD=90°，∠ACG+∠ACB=90°，即∠ECG=90°，∠DAG=90°，∵∠DAE=45°，∴∠GAE=45°=∠DAE，又∵AE=AE，∴△ADE≌△AGE SAS，∴GE=DE，在Rt△CEG中，由勾股定理得GE=CE2+CG2=5，∴DE=GE=5．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．10如图1，E，F分别是正方形ABCD的边CD，BC上的动点，且满足∠EAF=45°，试判断线段BF，EF，ED之间的数量关系，并说明理由．小聪同学的想法：将△DAE顺时针旋转90°，得到△BAH，然后通过证明三角形全等可得出结论．请你参考小聪同学的思路完成下面的问题．(1)线段BF，EF，ED之间的数量关系是．(2)如图2，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，连接BD，分别交AF，AE于点M，N，试判断线段BM，MN，ND之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)EF=BE+DF(2)MN2=BM2+DN2【详解】(1)解：结论：EF=BE+DF理由：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，由旋转的性质可知：AH=AE，∠ADE=∠ABH=90°，HB=DE，∠EAH=90°，∵∠EAF=45°，∴∠FAH=45°，∴∠FAH=∠EAF，∵∠ABF+∠ABH=90°+90°=180°，∴F、B、H三点共线，又∵AF=AF，∴△AFE≌△AFH SAS，∴EF=FH，∵FH=BF+BH=BF+DE，∴EF=BE+DF．(2)结论：MN2=BM2+DN2,证明如下：如图所示，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△BAG．∵BA=AD，∠BAD=90°，∴∠ABD=∠ADB=45°，由旋转的性质可知：AN=AG，∠ABG=∠ADB=45°，∠GAE=90°，∴∠MBG=∠ABG+∠ABD=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAM=∠BAG+∠BAM=90°-∠EAF=45°，∴∠MAG=∠MAN，∵AM=AM，∴△AGM≌△ANM SAS，∴MN=GM，∵∠MBG=90°，∴BM2+BG2=GM2，∴MN2=BM2+DN2．【点睛】本题涉及了旋转变换，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．【题型3构造旋转模型解题】11如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足∠EAF=45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N，下列说法中：①BE+DF=EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③BE=2，DF=3，则S△AEF=15；④若AB=62，BM=3，则MN=5．其中结论正确的个数是()A.4B.3C.2D.1【答案】A【分析】根据旋转的性质得到BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，得到∠EAH=∠EAF=45°，根据全等三角形的性质得到EH=EF，∠AEB=∠AEF，于是得到BE+BH=BE+DF=EF，故①正确；过A作AG⊥EF于G，根据全等三角形的性质得到AB=AG，于是得到点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长，故②正确；求出EF=BE+DF=5，设BC=CD=n，根据勾股定理即可得到S△AEF=15，故③正确；把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，再证明△AMQ≌△AMN(SAS)，从而得MQ=MN，再证明∠QBM=∠ABQ+∠ABM=90°，设MN=x，再由勾股定理求出x即可．【详解】解：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转的性质得，BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，∵∠EAF=45°，∴∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，∴∠EAH=∠EAF=45°，在△AEF和△AEH中，AH=AF∠EAH=∠EAF=45oAE=AE，∴△AEF≌△AEH(SAS)，∴EH=EF，∴∠AEB=∠AEF，∴BE+BH=BE+DF=EF，故①正确；过A作AG⊥EF于G，∴∠AGE=∠ABE=90°，在△ABE与△AGE中，∠ABE=∠AGE∠AEB=∠AEGAE=AE，∴△ABE≌△AGE(AAS)，∴AB=AG，∴点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；故②正确；∵BE=2，DF=3，∴EF=BE+DF=5，设BC=CD=n，∴CE=n-2，CF=n-3，∴EF2=CE2+CF2，∴25=(n-2)2+(n-3)2，∴n=6(负值舍去)，∴AG=6，∴S△AEF=12×6×5=15．故③正确；如图，把△ADN 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABQ ，连接QM ，由旋转的性质得，BQ =DN ，AQ =AN ，∠BAQ =∠DAN ，∠ADN =∠ABQ =45°，∵∠EAF =45°，∴∠MAQ =∠BAQ +∠BAE =∠DAN +∠BAE =90°-∠EAF =45°，∴∠MAQ =∠MAN =45°，在△AMQ 和△AMN 中，AQ =AN∠MAQ =∠MAN AM =AM，∴△AMQ ≌△AMN (SAS )，∴MQ =MN ，∵∠QBM =∠ABQ +∠ABM =90°，∴BQ 2+MB 2=MQ 2，∴ND 2+MB 2=MN 2，∵AB =62，∴BD =2AB =12，设MN =x ，则ND =BD -BM -MN =9-x ，∴32+(9-x )2=x 2，解得：x =5，∴MN =5，故④正确，故选A ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键是旋转三角形ADF 和三角形AND ．12如图，已知点P 是正方形ABCD 内的一点，连接PA 、PB 、PC ．若PA =4，PB =2，∠APB =135°，则PC 的长为．【答案】26【分析】先根据正方形的性质得BA=BC，∠ABC=90°，则可把△BAP绕点B顺时针旋转90°得到△CBE，连接PE，如图，根据旋转的性质得BP=BE=2，CE=AP=4，∠PBE=90°，∠BEC=∠APB= 135°，于是可判断△PBE为等腰直角三角形，所以PE=2PB=22，∠PEB=45°，则∠PEC=90°，然后在Rt△PEC中利用勾股定理计算PC的长．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴BA=BC，∠ABC=90°，把△BAP绕点B顺时针旋转90°得到△CBE，连接PE，如图，∴BP=BE=2，CE=AP=4，∠PBE=90°，∠BEC=∠APB=135°，∴△PBE为等腰直角三角形，∴PE=2PB=22，∠PEB=45°，∴∠PEC=135°-45°=90°，在Rt△PEC中，∵PE=22，CE=4，∴PC=42+(22)2=26．故答案为：26．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．13(1)问题发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，当△DCA应转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD，则①∠BEC=；②线段AD，BE之间的数量关系；(2)拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，若AE=12，DE=7，求AB的长度；(3)如图3，P为等边三角形ABC内一点，且∠APC=150°，∠APD=30°，AP=4，CP=3，DP=7，求BD的长．【答案】(1)①120°；②AD=BE；(2)13；(3)229【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质和勾股定理的应用，(1)证明△ACD≌△BCE(SAS)．得到∠ADC=∠BEC．利用△DCE为等边三角形，得到∠CDE=∠CED=60°，再利用点A，D，E在同一直线上，可得∠ADC=120°，即可得∠BEC=120°；(2)证明△ACD≌△BCE(SAS)，可得AD=BE=AE-DE=15-7=8，∠ADC=∠BEC，再证明∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，利用勾股定理求解即可；(3)把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，可得△BEC≌△APC，证明△PCE是等边三角形，证明∠BED=90°，再证明D、P、E在同一条直线上，求出DE，利用勾股定理求解即可．【详解】解：(1)①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°．∴∠BEC=120°．②由①得：△ACD≌△BCE，∴AD=BE；故答案为：①120°；②AD=BE．(2)∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE=AE-DE=12-7=5，∠ADC=∠BEC，∵△DCE为等腰直角三角形∴∠CDE=∠CED=45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°．∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°．∴AB=AE2+BE2=144+25=13；(3)把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，如图所示：AP=4，CP=3，DP=7则△BEC≌△APC，∴CE=CP，∠PCE=60°，BE=AP=4，∠BEC=∠APC=150°，∴△PCE是等边三角形，∴∠EPC=∠PEC=60°，PE=CP=3，∴∠BED=∠BEC-∠PEC=90°，∵∠APD=30°，∴∠DPC=150°-30°=120°，又∵∠DPE=∠DPC+∠EPC=120°+60°=180°，即D、P、E在同一条直线上，∴DE=DP+PE=7+3=10，在Rt△BDE中，BD=BE2+DE2=229，即BD的长为229．【点睛】本题涉及全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，解题的关键是利用旋转构造全等三角形，把分散的已知条件集中到同一个三角形中．【题型4奔驰模型】14如图，已知点D是等边△ABC内一点，且BD=3，AD=4，CD=5．(1)求∠ADB的度数；以下是甲，乙，丙三位同学的谈话：甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将△BCD绕点B顺时针旋转60°或绕点A逆时针旋转60°；乙：我也赞成旋转，不过我是将△ABD进行旋转；丙：我是将△ACD进行旋转．请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求∠ADB的度数；(2)若改成BD=6，AD=8，CD=10，∠ADB的度数=°，点A到BD的距离为；类比迁移：(3)已知，∠ABC=90°，AB=BC，BE=1，CE=3，AE=5，求∠BEC的度数．【答案】(1)∠ADB=150°(2)150，4.(3)∠BEC=135°【详解】(1)解：(1)选择甲：如图1，作∠DBE=60°，且BE=BD，连接DE，AE，则△BDE是等边三角形，∴DE=BD=3，∠BDE=60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∴∠ABE=∠CBD，∴△ABE≌△CBD，∴AE=CD=5，∵AD2+DE2=42+32=52=AE2，∴∠ADE=90°，∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=90°+60°=150°；乙：如图2，同理可得，∠BFD=60°，∠DFC=90°，∴∠ADB=∠BFC=∠BFD+∠DFC=60°+90°=150；丙：如图3同理可得，∠AGD=60°，∠BDG=90°，∴∠ADB=∠ADG+∠BDG=60°+90°=150；(2)同理(1)可得：AD2+BD2=CD2，∴∠ADB=150°，如图4，过点A作BD的垂线AH，垂足为H，∴∠ADH=30°，AD=4，∴AH=12故答案为：150，4.(3)如图5，将△ABE绕着点B顺时针旋转90°，得到△CBF，连接EF，∴△ABE≌△CBF，∴BE=BF=1，AE=CF=5，∴∠FBE=∠BEF=45°，∴EF2=BE2+BF2=2∵EF2+EC2=2+3=5=AE2，∴∠FEC=90°，∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=45°+90°=135°【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解．15(1)问题发现：如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP 处，这样就可以将三条线段PA,PB,PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请按此方法求∠APB的度数，写出求解过程；(2)拓展研究：请利用第(1)题解答的思想方法，解答下面的问题：①如图2，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点E，F为BC边上的点，且∠EAF=45°，判断BE,EF,CF 之间的数量关系并证明；②如图3，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=4，BC=6，在△ABC内部有一点P，连接PA,PB,PC，直接写出PA+PB+PC的最小值．【答案】(1)150°，见解析；(2)①BE2+CF2=EF2，见解析；②213【分析】(1)连接PP ，根据题意得到AP=AP =3,∠PAP =60°，BP=CP =4，∠APB=∠AP C，进而得到△APP '为等边三角形，PP =AP=3,∠AP P=60°，根据勾股定理逆定理证明△PP C是直角三角形，且∠PP C=90°，即可求出∠APB=∠AP C=150°；(2)①证明∠B=∠ACB=45°，将△BAE绕点A逆时针旋转90°， 得到△CAD， 连接DF，得到∠BAE=∠DAC，∠ACD=∠B=45°，AD=AE，BE=CD，进而得到∠DCE=90°，根据勾股定理得到DF2=CF2 +CD2=CF2+BE2 ，证明△AEF≌△ADF，得到EF=DF，即可得到BE2+CF2=EF2；②将△ABP绕点B逆时针旋转60°，得到△A BP ， 连接PP ，A C，即可得到∠ABA =∠PBP =60°，A B= AB=4，BP=BP ，A P =AP，从而得到△BPP 为等边三角形，∠A BC=90°，BP=PP ，根据两点之间线段最短得到PA+PB+PC=A P +PP +CP≥A C ，即可得到当且仅当A ，P ，P，C四点共线时，PA +PB+PC的值最小为 A C的长，根据勾股定理求出A C=213，即可得到PA+PB+PC的最小值为213 ．【详解】解：(1)连接PP ，∵将△APB绕顶点 A 逆时针PP 旋转60°到△ACP ，∴AP=AP =3,∠PAP =60°，BP=CP =4,∠APB=∠AP C，∴△APP '为等边三角形，∴PP =AP=3,∠AP P=60°，∵P P2+P C=32+42=25，PC2=52=25，∴P P2+P C=PC2，∴△PP C是直角三角形， 且∠PP C=90°，∴∠AP C=∠AP P+∠CP P=150°，∴∠APB=∠AP C=150°；(2)①BE2+CF2=EF2．证明：∵AB=AC,∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，如图，将△BAE绕点A逆时针旋转90°， 得到△CAD， 连接DF，则：∠BAE=∠DAC，∠ACD=∠B=45°，AD=AE，BE=CD，∴∠DCE=∠ACB+∠ACD=90°，∴DF2=CF2+CD2=CF2+BE2 ，∵∠EAF=45°，∠EAD=90°，∴∠DAF=∠EAF=45°，又∵AE=AD,AF=AF ，∴△AEF≌△ADF，∴EF=DF，∴BE2+CF2=EF2；②PA+PB+PC的最小值为 213如图，将△ABP绕点B逆时针旋转60°，得到△A BP ， 连接PP ，A C，则：∠ABA =∠PBP =60°，A B=AB=4，BP=BP ，A P =AP，∴△BPP 为等边三角形，∠A BC=∠A BA+∠ABC=90°，∴BP=PP ，∴PA+PB+PC=A P +PP +CP≥A C ，∴当且仅当A ，P ，P，C四点共线时，PA+PB+PC的值最小为 A C的长，∵∠A BC=90°，∴A C=A B2+BC2=42+62=213，∴PA+PB+PC的最小值为213 ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．16(2023•崂山区模拟)阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．请你回答：图1中∠APB的度数等于150°．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：(1)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，PB=1，PD=，则∠APB的度数等于135°，正方形的边长为 ；(2)如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2，PB=1，PF=，则∠APB的度数等于120°，正六边形的边长为 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：阅读材料：把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，由旋转的性质，P′A=PA=3，P′D=PB=4，∠PAP′=60°，水不撩不知深浅∴△APP′是等边三角形，∴PP′=PA=3，∠AP′P=60°，∵PP′2+P′C2=32+42=25，PC2=52=25，∴PP′2+P′C2=PC2，∴∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；故∠APB=∠AP′C=150°；(1)如图3，把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP′，由旋转的性质，P′A=PA=22，P′D=PB=1，∠PAP′=90°，∴△APP′是等腰直角三角形，∴PP′=2PA=2×22=4，∠AP′P=45°，∵PP′2+P′D2=42+12=17，PD2=172=17，∴PP′2+P′D2=PD2，∴∠PP′D=90°，∴∠AP′D=∠AP′P+∠PP′D=45°+90°=135°，故，∠APB=∠AP′D=135°，∵∠APB+∠APP′=135°+45°=180°，∴点P′、P、B三点共线，过点A作AE⊥PP′于E，则AE=PE=12PP′=12×4=2，∴BE=PE+PB=2+1=3，在Rt△ABE中，AB===13；(2)如图4，∵正六边形的内角为16×(6-2)•180°=120°，∴把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△AFP′，由旋转的性质，P′A=PA=2，P′F=PB=1，∠PAP′=120°，∴∠APP′=∠AP′P=12(180°-120°)=30°，过点A作AM⊥PP′于M，设PP′与AF相交于N，则AM=12PA=12×2=1，P′M=PM===3，∴PP′=2PM=23，∵PP′2+P′F2=(23)2+12=13，PF2=132=13，水不撩不知深浅∴PP′2+P′F2=PF2，∴∠PP′F=90°，∴∠AP′F=∠AP′P+∠PP′F=30°+90°=120°，故，∠APB=∠AP′F=120°，∵P′F=AM=1，∵△AMN和△FP′N中，，∴△AMN≌△FP′N(AAS)，∴AN=FN，P′N=MN=12P′M=32，在Rt△AMN中，AN===7 2，∴AF=2AN=2×72=7．故答案为：150°；(1)135°，13；(2)120°，7．【题型5费马点模型】17如图，四边形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM的最小值为．【答案】63【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，AB=3，AH=3BH=33，∴BH=12∴AE=2AH=63．故答案为63．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．难度比较大．作出恰当的辅助线是解答本题的关键．18如图，在等边三角形ABC内有一点P．(1)若PA=2，PB=3，PC=1，求∠BPC的度数；(2)若等边三角形边长为4，求PA+PB+PC的最小值；(3)如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，PB=2，PC=1，求正方形ABCD的边长．【答案】(1)∠BPC=150°，(2)43(3)5【详解】(1)解： 如图所示，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段B P ，连接A P 、P P ，∴△BPC≌△BP A，∴BP=B P ，A P =PC=1，∠PB P =60°，∠A P B=∠BPC，∴△B P P是等边三角形，∴∠B P P=∠PB P =60°，P P =BP=3，∵AP 2+PP 2=1+3=4=AP2，∴△A P P是直角三角形，∠A P P=90°，∴∠A P B=∠AP P +∠B P P=150°，∴∠BPC=150°，(2)解：如图所示，将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△ACD，则△ABP≌△ACD，PA=DA，∠PAD=60°，则△APD是等边三角形，∴AP=PD，再将△APC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，则△APC≌△ADE∴PC=DE，∠CAE=60°，CA=EA，∴PA+PB+PC=BP+PD+DE≥BE当B,P,D,E四点共线时，PA+PB+PC取得最小值，即BE的长，设BE，AC交于点F，∵AB=AC=AE,∠BAF=∠EAF，∠BAE=∠BAF+∠EAF=120°，BE ,∴BE⊥AF，BF=EF=12∴∠ABF=30°，AB=2 ,∴AF=12在Rt△ABF中，BF=AB2-AF2=23 ,∴BE=2BF=43，即PA+PB+PC的最小值为43；(3)如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BEA，∴△BPC≌△BEA，∴BE=BP=2，AE=PC=1，∠PBE=90°，∠AEB=∠BPC，∴△BEP是等腰直角三角形，∴∠BEP=∠EPB=45°，PE=2PB=2，∵AE2+PE2=1+4=5=AP2，∴△AEP是直角三角形，∠AEP=90°，如图，延长AE，过点B作BF⊥AE于F，则∠F=90°，∵∠AEP=90°，∠BEP=45°，∴∠BEF=45°=∠EBF，∴BF=EF=1，∴AF=AE+EF=2，∴AB=AF2+BF2=22+1=5，即正方形的边长为5．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．19背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，当∠APB=∠APC=∠CPB=120°时，则PA+PB+PC取得最小值．(1)如图2，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数，为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP 处，此时△ACP ≌△ABP这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=；知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与△ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．(2)如图3，△ABC三个内角均小于120°，在△ABC外侧作等边三角形△ABB ，连接CB ，求证：CB 过△ABC的费马点．(3)如图4，在RT△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点P为△ABC的费马点，连接AP、BP、CP，求PA+PB+PC的值．(4)如图5，在正方形ABCD中，点E为内部任意一点，连接AE、BE、CE，且边长AB=2；求AE+BE+ CE的最小值．【答案】(1)150°；(2)见详解；(3)7；(4)6+2．【详解】(1)解：连结PP′，∵△ABP≌△ACP ，∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，∵△ABC为等边三角形，。

解题技巧专题：巧用旋转进行计算之三大题型【考点导航】目录【典型例题】【题型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度】【题型二利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度】【题型三利用旋转计算面积】【典型例题】【题型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度】1(2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中)如图，在△ABC中，BC<BA，将△BCA以点B为中心逆时针旋转得到△BED，点E在边CA上，ED交BA于点F，若∠FEA=40°，则∠DBF=()A.40°B.50°C.60°D.70°【变式训练】1(2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第四十三中学校考期中)如图，在△ABC中，∠B=42°，将△ABC 绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角的度数()A.86°B.96°C.106°D.116°2(2023春·河南新乡·七年级统考期末)如图，在△ABC中，∠BAC=104°，将△ABC绕点A逆时针旋转94°得到△ADE，点B的对应点为点D，若点B，C，D恰好在同一条直线上，则∠E的度数为()A.25°B.30°C.33°D.40°3(2023·浙江温州·校联考三模)如图，在△ABC中，∠BAC=50°，将△ABC绕点A逆时针旋转得△ADE，使点D恰好落在AC边上，连结CE，则∠ACE的度数为()A.45°B.55°C.65°D.75°4(2023春·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考期中)如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB C 的位置，使得CC ∥AB，划∠BAB 的度数是()A.35°B.40°C.50°D.70°5(2023春·江苏连云港·八年级校考阶段练习)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为()A.60°B.70°C.75°D.85°6(2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习)如图，∠AOB=90°，∠B=20°，△A OB 可以看作是△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A 在AB上，则旋转角α的度数是.7(2023春·上海嘉定·七年级校考期末)已知△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转得△CDE，使点B恰好落在边AB上点D处，边DE交边AC于点F(如图)，如果△CDF为等腰三角形，则∠A的度数为．【题型二利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度】1(2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试)如图，将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A B C ，此点A在边B C上，若BC=5,AC=3，则AB 的长为()A.5B.4C.3D.2【变式训练】1(2023春·四川达州·八年级校考期中)如图，把△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，若∠ACB =90°，∠A=30°，AB=10，AC=8，则AD的长为()A.2B.3C.4D.52(2023春·陕西汉中·八年级统考期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC=22,DE=1，则线段BD的长为．3(2023春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中)如图．Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A BC ，若点C 在AB上，则AA 的长为．4(2023·山西运城·校联考模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC的中点，点E是AB边上的一点，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°，得到DF，连接AF，EF，若BE= 22，则AF的长为．5(2023·河南周口·统考一模)如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，D，E分别为边AB和AC的中点，现将△ADE绕点A自由旋转，如图2，设直线BD与CE相交于点P，当AE⊥EC时，线段PC 的长为．6(2023春·陕西渭南·八年级统考阶段练习)如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=3，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在边BC上，求BD的长．【题型三利用旋转计算面积】1(2023秋·湖南永州·九年级校考开学考试)如图，正方形ABCD和正方形EFGO的边长都是1，正方形EFGO绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是()A.14B.12C.13D.不能确定【变式训练】1(2023春·山东青岛·八年级统考期中)将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB C ，则图中阴影部分的面积是( )cm2．A.12.5B.2536C.2533D.不能确定2(2023秋·四川德阳·九年级统考期末)如图，边长为定值的正方形ABCD的中心与正方形EFGH的顶点E重合，且与边AB、BC相交于M、N，图中阴影部分的面积记为S，两条线段MB、BN的长度之和记为l，将正方形EFGH绕点E逆时针旋转适当角度，则有()A.S变化，l不变B.S不变，l变化C.S变化，l变化D.S与l均不变3(2023春·广东清远·八年级校考期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC绕点A逆时针方向旋转60°到△ABC 的位置，则图中阴影部分的面积是．4(2023春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习)马老师在带领学生学习《正方形的性质与判定》这一课时，给出如下问题：如图①，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形A B C O与正方形ABCD的边长相等．在正方形A B C O绕点O旋转的过程中，OA 与AB相交于点M，OC 与BC相交于点N，探究两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系．(1)小亮第一个举手回答“两个正方形重叠部分的面积是正方形ABCD面积的”；请说明理由．(2)马老师鼓励同学们编道拓展题，小颖编了这样一道题：如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD =∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，求四边形ABCD的面积．请你帮小颖解答这道题．5(2023春·广东深圳·八年级统考期末)【问题背景】如图1，在▱ABCD中，AB⊥DB．将△ABD绕点B逆时针旋转至△FBE，记旋转角∠ABF=α0°<α≤180°，当线段FB与DB不共线时，记△ABE的面积为S1，△FBD的面积为S2．【特例分析】如图2，当EF恰好过点A，且点F，B，C在同一条直线上时．(1)α=°；(2)若AD=43，则S1=，S2=；【推广探究】某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中，S1与S2之间存在一定的等量关系．再经过独立思考，获得了如下一些解决思路：思路1：如图1，过点A，E分别作直线平行于BE，AB，两直线交于点M，连接BM，可证一组三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题；思路2：如图2，过点E作EH⊥AB于点H，过点D作DG⊥FB，交FB的延长线于点G，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题；⋯⋯(3)如图3，请你根据以上思路，并结合你的想法，探究S1与S2之间的等量关系为，并说明理由．【拓展应用】在旋转过程中，当S1+S2为▱ABCD面积的12时，α的值为解题技巧专题：巧用旋转进行计算之三大题型【考点导航】目录【典型例题】【题型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度】【题型二利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度】【题型三利用旋转计算面积】【典型例题】【题型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度】1(2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中)如图，在△ABC中，BC<BA，将△BCA以点B为中心逆时针旋转得到△BED，点E在边CA上，ED交BA于点F，若∠FEA=40°，则∠DBF=()A.40°B.50°C.60°D.70°【答案】A【分析】根据旋转的性质可得∠A=∠D，由对顶角相等可得∠BFD=∠EFA，根据三角形的外角性质可得∠DBF=∠AEF，即可求解．【详解】解：∵将△BCA以点B为中心逆时针旋转得到△BED，∴∠A=∠D，∵∠BFD=∠EFA，∴∠BFE=∠A+∠AEF=∠D+∠DBF∵∠FEA=40°，∴∠DBF=∠AEF=40°，故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．【变式训练】1(2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第四十三中学校考期中)如图，在△ABC中，∠B=42°，将△ABC 绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角的度数()A.86°B.96°C.106°D.116°【答案】B【分析】由旋转的性质可知AB=AD，可算出∠ADB=42°，就可以算出旋转角．【详解】由旋转的性质可知：AB=AD，∠BAD是旋转角，∵AB=AD，∴∠ADB=∠B=42°，∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=96°，故选：B．【点睛】本题考查旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，找到旋转的对应边、对应角是解决问题的关键．2(2023春·河南新乡·七年级统考期末)如图，在△ABC中，∠BAC=104°，将△ABC绕点A逆时针旋转94°得到△ADE，点B的对应点为点D，若点B，C，D恰好在同一条直线上，则∠E的度数为()A.25°B.30°C.33°D.40°【答案】C【分析】由旋转的性质可得∠BAD=94°，AB=AD，由等腰三角形的性质可得∠B=∠ADB=43°，即可求解．【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转94°得到△ADE，∴∠BAD=94°，AB=AD，∴∠B=∠ADB=43°，∵∠BAC=104°，∴∠C=180°-104°-43°=33°，故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．3(2023·浙江温州·校联考三模)如图，在△ABC中，∠BAC=50°，将△ABC绕点A逆时针旋转得△ADE，使点D恰好落在AC边上，连结CE，则∠ACE的度数为()A.45°B.55°C.65°D.75°【答案】C【分析】由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求解．【详解】解：由旋转的性质可知，∠CAE=∠BAC=50°，AC=AE，∴∠ACE=∠AEC，在△ACE中，∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，∴50°+2∠ACE=180°，解得：∠ACE=65°，故选：C．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，找出旋转角和旋转前后的对应边得出等腰三角形是解答此题的关键．4(2023春·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考期中)如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB C 的位置，使得CC ∥AB，划∠BAB 的度数是()A.35°B.40°C.50°D.70°【答案】B【分析】根据平行线的性质，结合旋转性质，由等腰三角形性质及三角形内角和定理求解即可得到答案．【详解】解：∵CC ∥AB，∠CAB=70°，∴∠C CA=∠CAB=70°，∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB C 的位置，∴∠C AB =∠CAB=70°，AC =AC，∴∠AC C=∠C CA=70°，∴∠C AC=180°-70°-70°=40°，∵∠BAB =∠CAB-CAB ，∠CAC =∠C AB -CAB ，∴∠BAB =∠C AC=40°，即旋转角的度数是40°，故选：B．【点睛】本题考查旋转性质求角度，涉及平行线的性质、旋转性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，熟练掌握旋转性质，数形结合，是解决问题的关键．5(2023春·江苏连云港·八年级校考阶段练习)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为()A.60°B.70°C.75°D.85°【答案】D【分析】根据旋转的性质得出∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE，根据三角形内角和定理可得∠CAF=20°，进而即可求解．【详解】解：如图所示，设AD,BC交于点F，∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，∴∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE，∵AD⊥BC，∴∠AFC=90°，∴∠CAF=90°-∠C=90°-70°=20°，∴∠DAE=∠CAF+∠EAC=20°+65°=85°，∴∠BAC=∠DAE=85°．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．6(2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习)如图，∠AOB=90°，∠B=20°，△A OB 可以看作是△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A 在AB上，则旋转角α的度数是.【答案】40°/40度【分析】根据旋转的性质得到AO=A O，根据等边对等角得到∠A=70°=∠OA A，再利用三角形内角和定理计算即可．【详解】解：△A OB 可以看作是△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，点A 在AB上，∴AO=A O，∵∠B=20°，∠AOB=90°，∴∠A=70°=∠OA A，∴∠AOA =180°-2×70°=40°，即旋转角α的度数是40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，关键是得出∠A=70°=∠OA A，题目比较典型，难度不大．7(2023春·上海嘉定·七年级校考期末)已知△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转得△CDE，使点B恰好落在边AB上点D处，边DE交边AC于点F(如图)，如果△CDF为等腰三角形，则∠A的度数为．【答案】36°或180°7【分析】如图，设∠B=x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠A=180°-2x，再利用旋转的性质得CB=CD，∠2=∠B=x，则∠1=∠B=x，利用平角定理得∠5=180°-2x，利用三角形外角性质∠3=360°-4x得，讨论：当CD=CF时，∠2=∠3=x，则x=360°-4x；当CD=DF时，∠4=∠3，利用∠2+∠3+∠4=180°得到x+2360°-4x=180°；当CF=DF时，∠2=∠4=x，利用∠2+∠3+∠4= 180°得到x+x+360°-2x=180°，然后分别解关于x的方程，然后计算180°-2x即可得到∠A的度数．【详解】解：如图，设∠B=x，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=x∴∠A=180°-2x，∵△ABC绕点C旋转得△CDE，使点B恰好落在边AB上点D处，∴CB=CD，∠2=∠B=x，∴∠1=∠B=x，∴∠5=180°-2x，∠3=∠A+∠5=360°-4x，当CD=CF时，△CDF为等腰三角形，即∠2=∠3=x，则x=360°-4x，解得x=72°，此时∠A=180°-2x =36°；当CD=DF时，△CDF为等腰三角形，即∠4=∠3，而∠2+∠3+∠4=180°，则x+2360°-4x=180°，解得x=540°7，此时∠A=180°-2x=180°7，当CF=DF时，△CDF为等腰三角形，即∠2=∠4=x，而∠2+∠3+∠4=180°，则x+x+360°-2x=180°，无解，故舍去，综上所述，△CDF为等腰三角形时∠A的度数为36°或180°7，故答案为36°或180°7．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了三角形内角和、等腰三角形的性质和分类讨论思想．【题型二利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度】1(2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试)如图，将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A B C ，此点A在边B C上，若BC=5,AC=3，则AB 的长为()A.5B.4C.3D.2【答案】D【分析】根据图形旋转的性质可得CB =CB=5，即可求解．【详解】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A B C ，此点A在边B C上，∴CB =CB=5，∴AB =CB -CA=5-3=2．故选：D．【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键．【变式训练】1(2023春·四川达州·八年级校考期中)如图，把△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，若∠ACB =90°，∠A=30°，AB=10，AC=8，则AD的长为()A.2B.3C.4D.5【答案】A【分析】利用勾股定理求得BC=6，再根据旋转的性质可得CD=CB=6，即可求解．【详解】解；∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，∴BC=102-82=6，∵把△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，∴CD=CB=6，∴AD=AC-CD=8-6=2，故选：A．【点睛】本题考查勾股定理和旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．2(2023春·陕西汉中·八年级统考期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC=22,DE=1，则线段BD的长为．【答案】32【分析】先由旋转的性质得到AD=AB，DE=BC=1，AE=AC=22，∠DAB=90°，然后由∠ACB= 90°计算出AB的长度，最后由勾股定理算出线段BD的长．【详解】解：由旋转得，AD=AB，DE=BC=1，AE=AC=22，∠DAB=90°，∵∠ACB=90°,∴AB=AC2+BC2=222+12=3，∴AD=AB=3，∵∠DAB=90°，∴BD=AB2+AD2=32+32=32，故答案为：32．【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理，熟练应用“旋转过程中对应线段相等”是解题的关键．3(2023春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中)如图．Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A BC ，若点C 在AB上，则AA 的长为．【答案】25【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再利用旋转的性质可得AC=A C =4，BC=BC =3，∠C=∠BC A =90°，从而求出的长，然后在Rt△A C A中，利用勾股定理进行计算即可解答．【详解】解：∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB=AC2+BC2=42+32=5，由旋转得：AC=A C =4，BC=BC =3，∠C=∠BC A =90°，∴AC =AB-BC =5-3=2，∠AC A =180°-∠BC A =90°，∴AA =C A2+A C 2=22+42=25，故答案为：25．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．4(2023·山西运城·校联考模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC的中点，点E是AB边上的一点，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°，得到DF，连接AF，EF，若BE= 22，则AF的长为．【答案】2【分析】由等腰直角三角形的性质可求AD=DH，由旋转的性质可得DE=DF，∠EDF=90°=∠ADH，由“SAS”可证△ADF≌△HDE，可得AF=HE=2．【详解】解：如图，取AB的中点H，连接CH，DH，∵∠C=90°，AC=BC=6，H是AB的中点，∴AB=62，AH=BH=32=CH，CH⊥AB，又∵点D是AC的中点，∴AD =CD =DH ，AD ⊥DH ，∵BE =22，∴EH =2，∵将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°，∴DE =DF ，∠EDF =90°=∠ADH ，∴∠ADF =∠EDH ，∴△ADF ≌△HDE SAS ，∴AF =HE =2，故答案为：2．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．5(2023·河南周口·统考一模)如图1，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC =2，D ，E 分别为边AB 和AC 的中点，现将△ADE 绕点A 自由旋转，如图2，设直线BD 与CE 相交于点P ，当AE ⊥EC 时，线段PC 的长为．【答案】3-1或3+1【分析】由△ADE 绕点A 自由旋转可知有以下两种情况：①当点E 在AC 的右侧时，AE ⊥CE ，先证△ABD 和△ACE 全等，进而可证四边形AEPD 为正方形，然后求出PE =1，CE =3，进而可得PC 的长；②当点E 在AC 的右侧时，AE ⊥CE ，同理①证△ABD 和△ACE 全等，四边形AEPD 为正方形，进而得PE =1，CE =3，据此可求出PC 的长，综上所述即可得出答案．【详解】解：∵△ADE 绕点A 自由旋转，∴有以下两种情况：①当点E 在AC 的右侧时，AE ⊥CE ，如图：由旋转的性质得：∠DAE =∠BAC =90°，∴∠BAD +∠DAC =∠DAC +∠CAE =90°，∴∠BAD =∠CAE ，∵AB =AC =2，D ，E 分别为边AB 和AC 的中点，∴AD =AE =1，在△ABD 和△ACE 中，AB =AC∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴∠ADB =∠AEC =90°，∴∠ADP =∠DAE =∠AEC =90°，∴四边形AEPD 为矩形，又AD =AE =1，∴矩形AEPD 为正方形，∴PE =AE =1，在Rt△AEC中，AE=1，AC=2，∠AEC=90°，由勾股定理得：CE=AC2-AE2=3，∴PC=CE-PE=3-1；②当点E在AC的右侧时，AE⊥CE，如图：同理可证：△ABD≌△ACE(SAS)，四边形AEPD为正方形，∴BD=CE，PE=AE=1，在Rt△ABD中，AD=1，AB=2，∠ADB=90°，由勾股定理的：BD=AB2-AD2=3，∴CE=BD=3，∴PC=CE+PE=3+1．综上所述：当AE⊥EC时，线段PC的长为3-1或3+1．答案为：3-1或3+1．【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换及其性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握图形的旋转变换，全等三角形的判定、正方形的判定方法，灵活运用勾股定理进行计算，难点是根据题意进行分类讨论并画出示意图，漏解是易错点之一．6(2023春·陕西渭南·八年级统考阶段练习)如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=3，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在边BC上，求BD的长．【答案】3【分析】根据旋转的性质得出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．【详解】∵∠B=60°，AB=3，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，∴AB=AD，∠B=60°，AB=3，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=3，【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质和等边三角形的判定是解题的关键．【题型三利用旋转计算面积】1(2023秋·湖南永州·九年级校考开学考试)如图，正方形ABCD和正方形EFGO的边长都是1，正方形EFGO绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是()A.14B.12C.13D.不能确定【答案】A【分析】根据正方形的性质得出OB=OC，∠OBA=∠OCB=45°，∠BOC=∠EOG=90°，推出∠BON=∠MOC，证出△OBN≌△OCM，即可求出两个正方形重叠部分的面积．【详解】解：∵四边形ABCD和四边形OEFG都是正方形，∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°，∠BOC=∠EOG=90°，∴∠BON+∠BOM=∠MOC+∠BOM=90°∴∠BON=∠MOC．在△OBN与△OCM中，∠OBN=∠OCM OB=OC∠BON=∠COM，∴△OBN≌△OCM ASA，∴S△OBN=S△OCM，∴S四边形OMBN =S△OBC=14S正方形ABCD=14×1×1=14．故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，能推出四边形OMBN 的面积等于三角形BOC的面积是解此题的关键．【变式训练】1(2023春·山东青岛·八年级统考期中)将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB C ，则图中阴影部分的面积是( )cm2．A.12.5B.2536C.2533D.不能确定【答案】B【分析】设AB 与B C 交于D 点，根据旋转角∠CAC =15°，等腰直角△ABC 的一锐角∠CAB =45°，可求∠C AD ，旋转前后对应边相等，对应角相等，AC =AC =5cm ，∠C =∠C =90°，解直角△AC D ，可求阴影部分面积．【详解】解：设AB 与B C 交于D 点，根据旋转性质得∠CAC =15°，而∠CAB =45°，∴∠C AD =∠CAB -∠CAC =30°，又∵AC =AC =5cm ，∠C =∠C =90°，∴设C D =x ，则AD =2x ，∴AD 2=AC 2+C D 2，即2x 2=52+x 2，∴解得x =533，∴C D =533cm ，∴阴影部分面积为：12×5×533=2536cm 2 .故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．关键是通过旋转的性质判断阴影部分三角形的特点，计算三角形的面积．2(2023秋·四川德阳·九年级统考期末)如图，边长为定值的正方形ABCD 的中心与正方形EFGH 的顶点E 重合，且与边AB 、BC 相交于M 、N ，图中阴影部分的面积记为S ，两条线段MB 、BN 的长度之和记为l ，将正方形EFGH 绕点E 逆时针旋转适当角度，则有()A.S 变化，l 不变B.S 不变，l 变化C.S 变化，l 变化D.S 与l 均不变【答案】D 【分析】如图，连接EB ，EC ．证明△EBM ≌△ECN ASA ，可得结论．【详解】解：如图，连接EB ，EC ．∵四边形ABCD 和四边形EFGH 均为正方形，∴EB =EC ，∠EBM =∠ECN =45°，∠MEN =∠BEC =90°，∴∠BEN +∠BEM =∠BEN +∠CEN =90°，∴∠BEM =∠CEN ，在△EBM 和△ECN 中，∠EBM =∠ECNEB =EC ∠BEM =∠CEN，∴△EBM ≌△ECN ASA ，∴BM =CN ，∴S 阴=S 四边形EMBN =S △EBC =14S 正方形ABCD=定值，l =MB +BN =CN +BN =BC =定值，故选：D ．【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3(2023春·广东清远·八年级校考期中)如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =2，将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转60°到△ABC 的位置，则图中阴影部分的面积是．【答案】3【分析】过点B 作B D ⊥AB 于点D ，根据旋转的性质可得到△ABB 是等边三角形，S △ABC =S △AB C ，进而得到阴影部分的面积等于S △ABB ，再由勾股定理求出AB ，继而得到S △ABB，即可求解．【详解】解：如图，过点B 作B D ⊥AB 于点D ，∵将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转60°到△ABC 的位置，∴AB =AB ,∠BAB =60°，△ABC ≌△AB C ，∴△ABB 是等边三角形，S △ABC =S △AB C，∴AB =BB ，阴影部分的面积等于S △ABB，∵AC =BC =2，∠C =90°，∴AB =AC 2+BC 2=2，∴BB =2,BD =1，∴B D =BB 2-BD 2=3，∴S △ABB=12AB ×B D =12×2×3=3，即阴影部分的面积是3．故答案为：3【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．4(2023春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习)马老师在带领学生学习《正方形的性质与判定》这一课时，给出如下问题：如图①，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，正方形A B C O 与正方形ABCD 的边长相等．在正方形A B C O 绕点O 旋转的过程中，OA 与AB 相交于点M ，OC 与BC 相交于点N ，探究两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD 的面积有什么关系．(1)小亮第一个举手回答“两个正方形重叠部分的面积是正方形ABCD 面积的”；请说明理由．(2)马老师鼓励同学们编道拓展题，小颖编了这样一道题：如图②，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =∠BCD =90°，连接AC ．若AC =6，求四边形ABCD 的面积．请你帮小颖解答这道题．【答案】(1)14，见解析(2)18，见解析【分析】(1)只需要证明△MOB ≌△NOC 得到S △MOB =S △NOC ，即可求解．(2)过A 作AE ⊥AC ，交CD 的延长线于E ，证明△EAD ≌△CAB 得到S △ABC =S △ADE ，AE =AC =6，则S △AEC =12×6×6=18S 四边形ABCD =S △ACD +S △ABC =S △ACD +S △ADE =S △EAC =12AE ⋅AC =18．【详解】(1)解：∵四边形ABCD 是正方形，四边形OA B C 是正方形，∴AC ⊥BD ，OB =OC ，∠OBM =∠OCN =45°，∠A OC =90°，∴∠BOC =∠A OC =90°，∴∠BOM =∠CON ，∴△BOM ≌△CON ASA ，∴S △BOM =S △CON ，∴S 四边形OMBN =S △OBC =14S 正方形ABCD ．答案为：14；(2)过A 作AE ⊥AC ，交CD 的延长线于E ，∵AE ⊥AC ，∴∠EAC =90°，∵∠DAB =90°，∴∠DAE =∠BAC ，∵∠BAD =∠BCD =90°，∴∠ADC +∠B =180°，∵∠EDA+∠ADC =180°，∴∠EDA =∠B ，∵AD =AB ，在△ABC 与△ADE 中，∠EAD =∠CABAD =AB ∠EDA =∠B，∴△ABC ≌△ADE ASA ，∴AC =AE ，∵AC =6，∴AE =6，∴S △AEC =12×6×6=18，∴S 四边形ABCD =18．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，四边形内角和，熟知全等三角形的性质与判定是解题的关键．5(2023春·广东深圳·八年级统考期末)【问题背景】如图1，在▱ABCD 中，AB ⊥DB ．将△ABD 绕点B 逆时针旋转至△FBE ，记旋转角∠ABF =α0°<α≤180° ，当线段FB 与DB 不共线时，记△ABE 的面积为S 1，△FBD 的面积为S 2．【特例分析】如图2，当EF 恰好过点A ，且点F ，B ，C 在同一条直线上时．(1)α=°；(2)若AD =43，则S 1=，S 2=；【推广探究】某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中，S 1与S 2之间存在一定的等量关系．再经过独立思考，获得了如下一些解决思路：思路1：如图1，过点A ，E 分别作直线平行于BE ，AB ，两直线交于点M ，连接BM ，可证一组三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题；思路2：如图2，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，过点D 作DG ⊥FB ，交FB 的延长线于点G ，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题；⋯⋯(3)如图3，请你根据以上思路，并结合你的想法，探究S 1与S 2之间的等量关系为，并说明理由．【拓展应用】在旋转过程中，当S 1+S 2为▱ABCD 面积的12时，α的值为【答案】(1)60；(2)33；33；(3)S 1=S 2，理由见解析；拓展应用：60°或120°【分析】(1)由旋转的性质和平行四边形的性质，等角对等边，可得△ABF 是等边三角形，即可求解；(2)过点F 作FM ⊥BD 交DB 延长线于点M ，设AD ,BE 交于点N ，通过证明△ABN ≌△FBM AAS ，进而得出s 1=s 2，再证明AE =AF ，可得S △ABE =12S △EFB ，仅为求解即可；(3)分别根据思路1和2进行推理证明即可；拓展应用：先根据面积之间的关系得出BD=2DG，继而得出∠DBG=30°=∠ABE，分别在图3和图2中进行求解即可．【详解】(1)由旋转可得，∠F=∠BAD,BA=BF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ABF=∠BAD，∴∠ABF=∠F，∴BA=AF，∴BA=AF=BF，∴△ABF是等边三角形，∴∠ABF=α=60°，故答案为：60；(2)如图，过点F作FM⊥BD交DB延长线于点M，设AD,BE交于点N，∵AD∥BC，∴∠ANE=∠ANB=∠EBF=90°=∠ABM，∠EAN=∠AFB，∴∠MBF=∠ABN，∵BF=BA，∴△ABN≌△FBM AAS，∴AN=FM，∵BD=BE，∴S1=S2，∵△ABF是等边三角形，∴∠AFB=60°=∠EAN,AB=AF，∴∠E=30°=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=AF，S△EFB，∴S△ABE=12∵AD=43，∴AB=23=BF,BD=6=BE，×6×23=63，∴S△EFB=12∴S△ABE=33，∴s1=s2=33，故答案为：33,33；(3)解：S1=S2，理由如下：思路1：如图，过点A，E分别作直线平行于BE，AB，两直线交于点M，连接BM，∵AM∥BE,ME∥AB，∴四边形ABEM为平行四边形，∴AM=BE，∠MAB+∠ABE=180°，∵旋转，∴AB=BF，BD=BE，∠ABD=∠EBF=90°，∴BD =AM ，∵∠ABD +∠ABE +∠EBF +∠FBD =360°，∴∠ABE +∠DBF =180°，∴∠MAB =∠DBF ，在△MAB 和△DBF 中，AM =BD∠MAB =∠DBF AB =BF，∴△MAB ≌△DBF ，∴S △MAB =S 2，∵ME ∥AB ，∴S △MAB =S 1，∴S 1=S 2.思路2：如图，过点E 作EH ⊥AB 交AB 延长线于点H ，过点D 作DG ⊥BF 交BF 延长线于点G ，∵EH ⊥AB ，DG ⊥BF ，∴∠H =∠G =90°，∵旋转，∴BD =BE ，AB =BF ，∠DBA =∠EBF =90°，∴∠EBG =90°，∴∠EBG =∠ABD ，∴∠EBG -∠ABG =∠ABD -∠ABG ，即∠EBH =∠GBD ，在△EBH 和△DBG 中，∠H =∠G∠EBH =∠GBD BD =BE，∴△EBH ≌△DBG ，∴EH =DG ，∴S 1=12AB ⋅EH =12BF ⋅DG =S 2；拓展应用：∵S 1=S 2，∴当S 1+S 2为▱ABCD 面积的12时，S 1=S 2=14S 平行四边形ABCD ，由(3)思路2得，S 1=12⋅AB ⋅EH ,S 平行四边形ABCD =AB ⋅BD ,EH =DG ，∴12⋅AB ⋅EH =14AB ⋅BD ，∴BD =2EH ，即BD =2DG ，∴∠DBG =30°=∠ABE ，如图3，∠ABF =120°；如图2,∠DBE =∠ABF=90°-30°=60°，综上，α的值为60°或120°，故答案为：60°或120°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．。

一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列图形中，经过旋转后能够与原图形完全重合的是（）A. 正方形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 长方形2. 将一个正方形绕其中心旋转90°后，它的（）A. 边长不变，角度不变B. 边长不变，角度变为90°C. 边长变为原来的1/2，角度不变D. 边长变为原来的1/2，角度变为90°3. 一个等边三角形绕其中心旋转120°后，它的（）A. 边长不变，角度不变B. 边长不变，角度变为120°C. 边长变为原来的1/2，角度不变D. 边长变为原来的1/2，角度变为120°4. 将一个正五边形绕其中心旋转72°后，它的（）A. 边长不变，角度不变B. 边长不变，角度变为72°C. 边长变为原来的1/2，角度不变D. 边长变为原来的1/2，角度变为72°5. 一个长方形绕其中心旋转180°后，它的（）A. 边长不变，角度不变B. 边长不变，角度变为180°C. 边长变为原来的1/2，角度不变D. 边长变为原来的1/2，角度变为180°二、填空题（每题5分，共25分）6. 一个等边三角形绕其中心旋转180°后，它的形状是______。

7. 将一个正方形绕其中心旋转90°后，它的对角线所成的角度是______。

8. 一个长方形绕其中心旋转180°后，它的长和宽的关系是______。

9. 一个正六边形绕其中心旋转60°后，它的形状是______。

10. 一个正三角形绕其中心旋转120°后，它的形状是______。

三、解答题（每题10分，共30分）11. 一个等腰三角形ABC，AB=AC，点D是边BC的中点，将三角形ABC绕点A旋转60°，求旋转后的三角形与原三角形的关系。

答案：旋转后的三角形与原三角形相似，因为旋转不改变图形的形状和大小，所以AB=AC，∠BAC=∠CAD，∠ABC=∠CDA，根据相似三角形的判定条件，可知△ABC∽△ACD。

一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列关于旋转的叙述中，正确的是（）A. 旋转是图形的一种运动，旋转中心可以是任意一点B. 旋转是图形的一种运动，旋转中心只能是图形的几何中心C. 旋转是图形的一种运动，旋转中心只能是原点D. 旋转是图形的一种运动，旋转中心可以是图形上的任意一点2. 已知点A（2，3）绕原点逆时针旋转90°后的坐标是（）A.（-3，2）B.（3，-2）C.（-2，3）D.（2，-3）3. 一个等腰三角形的顶角是60°，那么它的底角是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°4. 下列图形中，关于原点对称的是（）A. 等边三角形B. 正方形C. 等腰三角形D. 直角三角形5. 在平面直角坐标系中，点（3，4）绕点（2，2）顺时针旋转90°后的坐标是（）A.（1，4）B.（4，2）C.（2，1）D.（5，4）二、填空题（每题4分，共16分）6. 在平面直角坐标系中，点P（-1，2）绕原点逆时针旋转90°后的坐标是（）。

7. 一个等腰直角三角形的底边长为4cm，那么它的斜边长为（）cm。

8. 在平面直角坐标系中，点Q（5，-3）绕点（3，2）逆时针旋转90°后的坐标是（）。

9. 一个圆的半径为3cm，那么它的直径为（）cm。

10. 一个等边三角形的边长为6cm，那么它的高为（）cm。

三、解答题（每题10分，共30分）11. （10分）已知点A（-2，1）绕原点逆时针旋转90°后的坐标是A'，求A'的坐标。

12. （10分）一个等腰三角形的顶角是45°，底边长为8cm，求该三角形的面积。

13. （10分）在平面直角坐标系中，点P（-3，4）绕点（2，3）顺时针旋转90°后的坐标是P'，求P'的坐标。

答案：一、选择题1. A2. B3. A4. B5. A二、填空题6. （1，2）7. 58. （2，2）9. 6 10. 3√3三、解答题11. A'的坐标为（1，2）。

初中数学旋转专题要点感知1将一个平面图形F上的每一个点，绕这个平面内一定点旋转同一个角α，得到图形F′，图形的这种变换叫做旋转.这个定点叫__________，角α叫__________.预习练习1-1 下列运动属于旋转的是( )A.滚动过程中的篮球的滚动B.钟表的钟摆的摆动C.气球升空的运动D.一个图形沿某直线对折的过程要点感知2 一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离__________，两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角__________.预习练习2-1如图，把三角形ABC绕着点C顺时针旋转，得到三角形A′B′C，则图中一定与∠ACA′相等的角是__________.要点感知3旋转不改变图形的__________和__________.预习练习3-1如图，点D是三角形ABC内一点，将三角形DBC绕点B旋转到三角形EBA的位置，若三角形BDC的周长为22 cm，AC=9 cm，则三角形AEB的周长是( )A.31 cmB.13 cmC.22 cmD.15 cm知识点1 旋转1.如图，将左边的长方形绕点P旋转一定角度后，得到位置如右边的长方形，则旋转的角度是( )A.30°B.60°C.90°D.180°2.如图，将三角形ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到三角形A′B′C，则图中一定等于50°的角的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.能由左图旋转得到的图形是( )4.如图，三角形ABC是由三角形EBD旋转得到的，旋转中心是点__________.知识点2 旋转的性质5.如图，将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到三角形COD，若∠AOB=15°，则∠AOD 的度数是 ( )A.15°B.60°C.45°D.75°6.如图，三角形ABC由三角形A′B′C′绕O点旋转180°而得到，则下列结论不成立的是( )A.点A与点A′是对应点B.BO=B′OC.∠ACB=∠C′A′B′D.AB=A′B′7.如图，绕点O旋转得到的两个图形的对应点M与N到旋转中心O的距离__________.(填“相等”或“不相等”)8.如图，将三角形OAB绕点O按逆时针方向旋转至三角形OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上.已知AB=4 cm，BB′=1 cm，则A′B长是__________cm.知识点3 旋转的作图9.如图，三角形ABC以O为旋转中心顺时针旋转90°，请作出旋转后的图形.10.如图，在正方形网格中，将三角形ABC绕点A旋转后得到三角形ADE，则下列旋转方式中，符合题意的是( )A.顺时针旋转90°B.逆时针旋转90°C.顺时针旋转45°D.逆时针旋转45°11.下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后能与原图形完全重合的是( )12. 如图，将直角三角形AOB绕点O旋转得到直角三角形COD，若∠AOB=90°，∠BOC=130°，则∠AOD的度数为( )A．40° B．50° C．60° D．30°13.将如图所示的图案绕其中心旋转n°时与原图案完全重合，那么n的最小值是( )A.60B.90C.120D.18014.如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是( )A.点MB.格点NC.格点PD.格点Q15.有两个完全重合的长方形，将其中一个始终保持不动，另一个长方形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图1，第2次旋转后得到图2，…，则第10次旋转后得到的图形与图1～4中相同的是( )A.图1B.图2C.图3D.图416.如图，将一副三角尺叠放在一起,使直角顶点重合于点O,绕着O任意转动其中一个三角尺,则与∠AOD始终相等的角是__________.17.怎样将图中的甲图案变成乙图案？18.在图中作出“三角旗”绕O点按逆时针旋转90°后的图案.19.如图，如果正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有多少个？是哪几个？参考答案要点感知1旋转中心旋转角预习练习1-1 B要点感知2相等相等预习练习2-1 ∠BCB′要点感知3形状大小预习练习3-1 C1.C2.B3.B4.B5.C6.C7.相等8.39.图略.10.B 11.A 12.B 13.C 14.B 15.B 16.∠BOC17.步骤：(1)将图甲绕某点逆时针旋转一定角度，使树干与地面垂直；(2)接着将旋转后的图形向右平移至与图乙重合即可.18.图略.19.3个.绕点D顺时针旋转90°；绕点C逆时针旋转90°；绕CD中点旋转180°.。

初中数学旋转专题训练一．填空题（共40小题）1．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AMN，点C和点N是对应点，若AB＝2，则BM＝．2．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB 上，且∠AOC的度数为100°，则∠C的度数是．3．如图，E为正方形ABCD内的一点，△AEB绕点B按顺时针旋转90°后成为△CFB，连接EF，若A、E、F三点在同一直线上，则∠AEB的度数为．4．如图，在△ABC中，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，使旋转角∠DAB＝70°，则∠AEC＝°．5．如图，一副三角板如图1放置，AB＝CD，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连结AD，BC，AC，下列四个结论中说法正确的有．①四边形ABCD是平行四边形；②CE垂直平分AB；③若AB2＝6，则BC2＝5+2；④DE⊥AC．6．如图，△ABC绕顶点A顺时针旋转53°至△ADE．若∠BAE＝17°，∠D＝45°，则∠C的大小为度．7．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．CD＝2，BC＝1，若将△CDE 绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为．8．如图，等边△ABC的边长是2，点D是线段BC上一动点，连接AD，点E是AD的中点，将线段DE绕点D顺时针旋转60°得到线段DF，连接FC，当△CDF是直角三角形时，则线段BD的长度为．9．如图，点M为正方形ABCD边AB上一动点，AB＝4，BP＝1，将点M绕点P顺时针旋转90°到点N，若E、F分别为PN、PC中点，则EF的最小值为．10．如图，将一副三角板按如图所示放置，∠CAB＝∠DAE＝90°，∠C＝45°，∠E＝30°，且AD＜AC，则下列结论中：①∠1＝∠3＝45°；②若AD平分∠CAB，则有BC∥AE；③将三角形ADE绕点A旋转，使得点D落在线段AC上，则此时∠4＝15°；④若∠3＝2∠2，则∠C＝∠4．其中结论正确的选项．（写出所有正确结论的序号）11．如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝10，AC＝6，将线段BC绕着点B逆时针旋转60°得到BC′，连接AC′，CC′，则△ABC′的面积为．12．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝75°，将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形A1B1C1D1，当C1D1第一次经过顶点C时，旋转角∠ABA1＝．13．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAC＝80°，∠ABC＝50°，射线DC绕点D 逆时针旋转一定角度α，交AC于点E，∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点P．下列结论：①∠C＝50°；②∠P＝∠BAD；③α＝2∠P﹣∠BAD；④若∠ADE＝∠AED，则∠BAD＝2α．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，此时点A恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为．15．如图，△ABC，△EFG均为边长为4的等边三角形，点D是BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M，当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值为．16．图1是“靠左侧道路行驶”的交通标志，若将图1所示的交通标志绕其中心逆时针旋转90°，就可以得到图2所示的交通标志，图2所示的交通标志的含义是．17．如图，某游乐场的摩天轮（圆形转盘）上的点距离地面最大高度为160米，转盘直径为153米，旋转一周约需30分钟．某人从该摩天轮上到地面距离最近的点登舱，逆时针旋转20分钟，此时，他离地面的高度是米．18．时针从钟面上2点旋转到6点，共旋转了度．19．下列运动方式中：①钟表上钟摆的摆动，②投篮过程中球的运动，③“神十一”火箭升空的运动，④传动带上物体位置的变化，属于旋转的是．20．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是．21．如图，菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为．22．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，在旋转过程中始终要求点E在直线BC上方，当三角板DCE运动中，有一边和AB平行时，则∠BCE的度数为．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．将△ABC绕BC的中点D旋转得△EFG，连接CE，则CE的最大值为．24．如图，将△ABC就点C按逆时针方向旋转65°后得到△A'B'C，若∠ACB＝20°，则∠BCA'的度数为°．25．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BO′，则点A′的坐标为．26．定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点P，OP＝2，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为．27．如图，已知线段AB＝6，O为AB的中点，P是平面内的一个动点，在运动过程中保持OP＝1不变，连结BP，将PB绕点P逆时针旋转90°到PC，连结BC、AC，则线段AC 的取值范围是．28．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为．29．如图，菱形ABCD中，∠BAC＝α，M是AC、BD的交点，P是线段BM上的动点（不与点B、M重合），将线段P A绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，点Q恰好在CD边上，若要使得PQ＝QD，则α的范围为．30．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，P为△ABC内一点，则P A+PB+PC 的最小值为．31．图1是小明骑自行车的某个瞬间的侧面示意图，将小明右侧髋关节和车座看作一个整体抽象为A点，将膝盖抽象为B点，将脚跟、脚掌、踏板看作一个整体抽象为C点，将自行车中轴位置记为D点（注：自行车中轴是连接左右两个踏板，使两个踏板绕其旋转的部件），在骑行过程中，点A，D的位置不变，B，C为动点．图2是抽象出来的点和线．若AB＝BC＝40cm，CD＝16cm，小明在骑车前，需调整车座高度，保证在骑行过程中脚总可以踩到踏板，则AD最长为cm．32．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转50°，得到Rt△AB'C'，点C'恰好落在边AB上，连接BB'，则∠BB'C'＝度．33．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E为BC的中点，连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90°得到FE，连接FD，则FD的值为．34．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果DE∥AB，那么n的值是．35．如图，将Rt△ABC（∠BAC＝65°）绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一直线上，则旋转角度为．36．如图，△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC，点E为线段AD上的动点，连接CE，以CE为边作等边△CEF，连接DF，则线段DF的最小值为．37．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，则∠AOB'的度数是．38．平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC 边上，B′C′与CD交于点E，则∠DEB′＝．39．如图，四边形ABCD中，∠DAB＝30°，连接AC，将△ABC绕点B逆时针旋转60°，点C的对应点与点D重合得到△EBD，若AB＝5，AD＝4，则AC的长度为．40．如图，P是等边△ACB中的一个点，P A＝2，，PC＝4，则△ACB的边长是．初中数学旋转专题训练参考答案与试题解析一．填空题（共40小题）1．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AMN，点C和点N是对应点，若AB＝2，则BM＝2．【分析】由旋转得AB＝AM，∠MAB＝60°，从而有△ABM是等边三角形，即可求出MB 的长度．【解答】解：连接MB，∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AMN，∴AB＝AM，∠MAB＝60°，∴△ABM是等边三角形，∴MB＝AB＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟记旋转的性质是解题的关键．2．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB 上，且∠AOC的度数为100°，则∠C的度数是35°．【分析】根据△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，得∠AOD＝∠BOC＝30°，AO＝DO，可求出∠BOD＝40°，∠ADO＝75°，再通过外角的性质求出∠B的度数，即可解决问题．【解答】解：∵△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，∴∠AOD＝∠BOC＝30°，AO＝DO，∠B＝∠C，∴∠ADO＝∠A＝（180°﹣∠AOD）＝75°，∵∠AOC＝100°，∴∠BOD＝100°﹣30°×2＝40°，∵∠ADO是△OBD的外角，∴∠B＝∠ADO﹣∠DOB＝75°﹣40°＝35°，∴∠C＝∠B＝35°．故答案为35°．【点评】本题主要考查了旋转的性质、以及三角形外角的性质，熟记旋转前后对应角相等是解题的关键．3．如图，E为正方形ABCD内的一点，△AEB绕点B按顺时针旋转90°后成为△CFB，连接EF，若A、E、F三点在同一直线上，则∠AEB的度数为135°．【分析】由旋转的性质知△BEF为等腰三角形，根据△AEB绕点B按顺时针旋转90°后成为△CFB，得旋转角∠EBF＝90°，即△BEF为等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于和他不相邻的内角和．即可求得．【解答】解：由旋转可知，BE＝BF，∠EBF＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴∠BEF＝45°，∵A、E、F三点在同一直线上∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°，故答案为：135°．【点评】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质．灵活运用旋转的性质和等腰三角形的性质这些知识进行推理是解本题的关键．4．如图，在△ABC中，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，使旋转角∠DAB＝70°，则∠AEC＝55°．【分析】根据旋转的性质得AE＝AC，∠BAD＝∠EAC，再根据等腰三角形的性质得∠AEC ＝∠ACE，则∠AEC＝∠ACE＝55°．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，∴AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝70°，∴∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠ACE＝＝55°，故答案为55．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．5．如图，一副三角板如图1放置，AB＝CD，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连结AD，BC，AC，下列四个结论中说法正确的有①②③．①四边形ABCD是平行四边形；②CE垂直平分AB；③若AB2＝6，则BC2＝5+2；④DE⊥AC．【分析】过点E作EF∥AB，由∠AED＝75°得AB∥CD，再由AB＝CD得四边形ABCD 为平行四边形；由这是一副三角板且∠AED＝75°得∠BEC＝∠AEC，再证明△AEC≌△BEC得AC＝BC，再由AE＝BE可知CE垂直平分AB；延长CE交AB于G，AB2＝6结合②的结论求出BG、CG，由勾股定理得BC2＝5+2；假设DE⊥AC，结合②必有菱形ABCD，即有∠ABE＝∠ABC＝30°，这与题设矛盾，由此知DE⊥AC错误．【解答】解：如图，过点E作EF∥AB，∴∠BAE＝∠AEF＝45°，∵∠AED＝75°，∴∠FED＝∠AED﹣∠AEF＝30°，∴∠FED＝∠EDC，∴EF∥CD，∴AB∥CD，∵AB＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形，故①正确；∵∠AED＝75°，∠DEC＝60，∴∠AEC＝135°，∵∠AEB＝90°，∴∠BEC＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠BEC＝∠AEC，在△AEC与△BEC中，，∴△AEC≌△BEC（SAS），∴AC＝BC，∵AE＝BE，∴CE垂直平分AB，故②正确；延长CE交AB于G，由②知：CG⊥AB，∵AE＝BE，EG⊥AB，∴AG＝BG＝GE，∵AB2＝6，∴AB＝，AG＝BG＝GE＝，∵AB＝CD，∴CD＝，∵∠EDC＝30°，∴CE＝ED，∵EC²+CD²＝ED²，∴CE＝，∵BG²+CG²＝BC²，∴BC2＝5+2，故③正确；假设DE⊥AC，∵∠DEC＝60°，∴∠ACE＝30°，由②知：∠ACE＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴平行四边形ABCD为菱形，如图，连接BD，必然有BD⊥AC，∴E必然在BD上，∴∠ABE＝∠ABC＝30°，这与∠ABE＝45°矛盾，不合题意，故④不正确．故答案为：①②③．【点评】本题是三角形旋转变换综合题，主要考查了平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理、菱形的判定，过点E作EF∥AB证明AB∥CD、证明△AEC≌△BEC、延长CE交AB于G在△CBG中使用勾股定理是本题全程关键．6．如图，△ABC绕顶点A顺时针旋转53°至△ADE．若∠BAE＝17°，∠D＝45°，则∠C的大小为65度．【分析】由旋转的性质可得∠DAB＝∠CAE＝53°，∠D＝∠B，再由已知角可求∠BAC ＝70°，∠B＝45°，即可求∠C＝65°．【解答】解：∵△ABC绕顶点A顺时针旋转53°至△ADE，∴∠DAB＝∠CAE＝53°，∠D＝∠B，∵∠BAE＝17°，∴∠BAC＝17°+53°＝70°，∵∠D＝45°，∴∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣45°﹣70°＝65°，故答案为65．【点评】本题考查旋转的性质，熟练掌握图形旋转前后对应边、对应角的关系是解题的关键．7．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．CD＝2，BC＝1，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为或．．【分析】可以将△CDE不动，△ACB绕点C顺时针旋转，点A落在线段CE上或当点A 落在线段EC的延长线上时，分别通过构造直角三角形，将BE转化为AD来解决问题．【解答】解：可以将△CDE不动，△ACB绕点C顺时针旋转，点A落在线段CE上，如图1：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，∴BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，CE＝CD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD，∵CD＝2，BC＝AC＝1，∴DA⊥CE，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝，∴BE＝AD＝，当点A落在线段EC的延长线上时，如图2：同理可知：△BCE≌△ACD，∴BE＝AD，过点E作EH⊥BD于H，则EH＝，在Rt△BEH中，由勾股定理得：BE＝，综上所述：BE＝或．故答案为：或．【点评】本题主要考查了勾股定理、旋转的性质等知识，可以通过动静互换将复杂图形简单化来解决问题．8．如图，等边△ABC的边长是2，点D是线段BC上一动点，连接AD，点E是AD的中点，将线段DE绕点D顺时针旋转60°得到线段DF，连接FC，当△CDF是直角三角形时，则线段BD的长度为1或．【分析】①当∠DFC＝90°时，当点F在AC上时，根据等边三角形的性质得∠FDC＝180°﹣∠DFC﹣∠C＝30，根据旋转的性质得DF＝AD，根据等腰三角形三线合一，得BD＝BC＝1．②∠DCF＝90°，延长DF到G使DG＝DA，连接AG、CG，过G作GH⊥BC交BC延长线于H，根据相全等三角形的判定得△ABD≌△ACG，即CG＝2CH，设CH＝x，则CG＝BD＝2x，由旋转性质得出DF＝DG，再由形似三角形的判定得出△DCF∽△DHG，再由形似的性质得出＝＝，即BD＝；③当∠CDF＝90°时，∠ADF+∠CDF＝210°＞180°，∠CDF＝90°不成立．【解答】解：①当∠DFC＝90°时，当点F在AC上时，∵△ABC是等边三角形且边长为2，∴AB＝AC＝BC＝2，∠C＝60°，∴∠FDC＝180°﹣∠DFC﹣∠C＝30°，∵DE旋转60°得到线段DF，∴∠EDF＝60°，∴∠ADC＝∠EDF+∠FDC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝30°，∴DF＝AD，∵E是AD的中点，∴DE＝AD，∴DE＝DF，即AD⊥BC时，∠DFC＝90°，∴BD＝BC＝1；②∠DCF＝90°，如图，延长DF到G使DG＝DA，连接AG、CG，过G作GH⊥BC交BC延长线于H，∵AD＝DG，∠ADG＝60°，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，AD＝AG，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，∴∠BAC＝∠DAG，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAG﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAG，在△ABD和△ACG中，，∴△ABD≌△ACG（SAS），∴BD＝CG，∠B＝∠ACG＝60°，∴∠GCH＝180°﹣∠ACB﹣∠ACG＝60°，∵GH⊥BC，∴∠H＝90°，∴∠CGH＝30°，∴CG＝2CH，设CH＝x，则CG＝BD＝2x，∵E是AD中点，∴DE＝AD，由旋转性质可知DF＝DE，∵AD＝DG，∴DF＝DG，∵∠DCF＝90°＝∠H，∠CDF＝∠HDG，∴△DCF∽△DHG，∴＝＝，∴DC＝DH，∴DC＝CH＝x，∵BD+DC＝2，∴2x+x＝2，x＝，∴BD＝；③当∠CDF＝90°时，∵∠ADF＝60°，∴∠ADF+∠CDF＝210°＞180°，∴∠CDF＝90°不成立，综上，BD＝1或．【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理等．解本题要熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理等基本知识点．关键注意要分情况讨论．9．如图，点M为正方形ABCD边AB上一动点，AB＝4，BP＝1，将点M绕点P顺时针旋转90°到点N，若E、F分别为PN、PC中点，则EF的最小值为．【分析】由旋转的性质可得PM＝PN，∠MPN＝∠HPC＝90°，由“SAS”可证△MPH≌△NPC，可得MH＝CN，由三角形中位线定理可得EF＝CN，可得当CN有最小值时，EF有最小值，即MH有最小值时，EF有最小值，则当MH⊥AB时，MH有最小值，即可求解．【解答】解：如图，过点P作PH⊥BC，且PH＝PC，连接MH，CN，∵将点M绕点P顺时针旋转90°到点N，∴PM＝PN，∠MPN＝∠HPC＝90°，∴∠MPH＝∠CPN，在△MPH和△NPC中，，∴△MPH≌△NPC（SAS），∴MH＝CN，∵E、F分别为PN、PC中点，∴EF＝CN，∴当CN有最小值时，EF有最小值，即MH有最小值时，EF有最小值，∴当MH⊥AB时，MH有最小值，此时，MH⊥AB，HP⊥BC，∠B＝90°，∴四边形BPHM是矩形，∴BP＝MH＝1，∴MH的最小值为1，∴EF的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．10．如图，将一副三角板按如图所示放置，∠CAB＝∠DAE＝90°，∠C＝45°，∠E＝30°，且AD＜AC，则下列结论中：①∠1＝∠3＝45°；②若AD平分∠CAB，则有BC∥AE；③将三角形ADE绕点A旋转，使得点D落在线段AC上，则此时∠4＝15°；④若∠3＝2∠2，则∠C＝∠4．其中结论正确的选项②③④．（写出所有正确结论的序号）【分析】①根据同角的余角相等得∠1＝∠3，但不一定得45°；②都是根据角平分线的定义、内错角相等，两条直线平行，可得结论；③根据对顶角相等和三角形的外角等于不相邻的两个内角得和，可得结论；④根据三角形内角和定理及同角的余角相等，可得结论．【解答】解：①如图，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，即∠1+∠2＝∠3+∠2+90°，∴∠1＝∠3≠45°，故①不正确；②∵AD平分∠CAB，∴∠1＝∠2＝45°，∵∠1＝∠3，∴∠3＝45°，又∵∠C＝∠B＝45°，∴∠3＝∠B，∴BC∥AE，故②正确；③将三角形ADE绕点A旋转，使得点D落在线段AC上，则∠4＝∠ADE﹣∠ACB＝60°﹣45°＝15°，故③正确；④∵∠3＝2∠2，∠1＝∠3，∴∠1＝2∠2，∠1+∠2＝90°，∴3∠2＝90°，∴∠2＝30°，∴∠3＝60°，又∠E＝30°，设DE与AB交于点F，则∠AFE＝90°，∵∠B＝45°，∴∠4＝45°，∴∠C＝∠4，故④正确，故答案为：②③④．【点评】本题主要考查了同角的余角相等、角平分线定义、平行线的判定的运用，解题关键是熟练掌握同角的余角相等及平行线的判定．11．如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝10，AC＝6，将线段BC绕着点B逆时针旋转60°得到BC′，连接AC′，CC′，则△ABC′的面积为．【分析】延长AC至D，使AD＝BD，连接BD，可以证明△ABD为等边三角形，结合△BCC'为等边三角形可用“SAS”证明△DBC≌△ABC'，从而S△DBC＝S△C'AB．过点B作BE ⊥AD于点E，由三角函数可求BE，又CD＝AD﹣AC，故S△DBC＝可求，即可得△ABC′的面积．【解答】解：延长AC至D，使AD＝BD，连接BD，如图，∵∠CAB＝60°，∴△ABD为等边三角形．∵BC绕着点B逆时针旋转60°得到BC′，∴△BCC'为等边三角形，∴BC＝BC'，∠CBC'＝60°，∵∠DBA﹣∠ABC＝∠CBC'﹣∠ABC，即∠DBC＝∠ABC'．在△DBC和△ABC'中，，∴△DBC≌△ABC'（SAS）．∴S△DBC＝S△C'AB，过点B作BE⊥AD于点E，∴BE＝AB•sin60°＝10×＝5，DC＝AD﹣AC＝10﹣6＝4，∴S△DBC＝＝＝10，∴S△C'AB＝10．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，解直角三角形，图形旋转的性质，全等三角形的判定与性质，构造等边三角形ABD，证明△DBC≌△ABC'是解决本题的关键．12．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝75°，将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形A1B1C1D1，当C1D1第一次经过顶点C时，旋转角∠ABA1＝30°．【分析】先根据平行四边形的性质得到∴∠BCD＝∠A＝75°，再根据旋转的性质得到∠ABA1＝∠CBC1，BC＝BC1，∠C1＝∠BCD＝75°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BCC1即可．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝75°，∵平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形A1B1C1D1，∴∠ABA1＝∠CBC1，BC＝BC1，∠C1＝∠BCD＝75°，∵BC＝BC1，∴∠C1＝∠BCC1＝75°，∴∠CBC1＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠ABA1＝30°．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的性质．确定等腰三角形BCC1底角的度数是解决问题的关键．13．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAC＝80°，∠ABC＝50°，射线DC绕点D 逆时针旋转一定角度α，交AC于点E，∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点P．下列结论：①∠C＝50°；②∠P＝∠BAD；③α＝2∠P﹣∠BAD；④若∠ADE＝∠AED，则∠BAD＝2α．其中正确的是①③④．（写出所有正确结论的序号）【分析】利用三角形内角和定理判断①，根据角平分线的定义和三角形外角的性质求得∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠ADE+α＝∠ABC+∠DAB，∠ADE+2α＝∠ABC+2∠P，从而判断②和③，利用三角形外角的性质判断④．【解答】解：∵∠BAC＝80°，∠ABC＝50°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝50°，故①正确；∵∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点P，∴∠PDE＝∠ADE，∠PBD＝∠ABC，又∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠ADE+α＝∠ABC+∠DAB①，∠PDC＝∠PDE+∠EDC＝∠PDE+α＝∠PBD+∠P＝∠ABC+∠P，∴2∠PDE+2α＝∠ABC+2∠P，即∠ADE+2α＝∠ABC+2∠P②，②﹣①得：α＝2∠P﹣∠DAB，故②错误，③正确；∵∠ADC＝∠ADE+α＝∠ABC+∠DAB，∠AED＝∠C+∠EDC＝∠C+α，又∵∠ADE＝∠AED，∴∠C+α+α＝∠ABC+∠DAB，又∵∠C＝50°，∠ABC＝50°，∴∠C＝∠ABC，∴∠BAD＝2α，故④正确，故答案为：①③④．【点评】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质，掌握三角形的外角等于不相邻的两个内角和，并正确推理角的数量关系是解题关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，此时点A恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为．【分析】作CD⊥AB于D，连接BB'，由勾股定理求出AB＝5，再由等积求出高CD，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD＝，根据AC＝CA'，CD⊥AA'，得AA'＝2AD＝，再通过△CAA'∽△CBB'即可求出BB'的值．【解答】解：作CD⊥AB于D，连接BB'，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB＝，∴由面积知CD＝，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝，∵AC＝CA'，CD⊥AA'，∴AA'＝2AD＝，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，∴∠ACA'＝∠BCB'，CA＝CA'，CB＝CB'，∴△CAA'∽△CBB'，∴，∴，∴BB'＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、以及三角形相似的判定与性质，求出AA'的长度是解题的关键．15．如图，△ABC，△EFG均为边长为4的等边三角形，点D是BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M，当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值为．【分析】首先证明∠AMF＝90°，判定出点M在以AC为直径的圆上运动，当M运动到BM⊥AC时，BM最短来解决问题．【解答】解：如图，连接AE、EC、CG，∵DE＝CD＝DF，∴∠DEC＝∠DCF，∠DFC＝∠DCF，∵∠DEC+∠DCF+∠DFC＝+∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°，∵△ABC、△EFG是边三角形，D是BC、EF的中点，∴∠ADC＝∠GDC＝90°，∴∠ADE＝∠GDC，在△ADE和△GDC中，，∴△ADE≌△GDC（SAS），∴AE＝CG，∠DAE＝∠DGC，∵DA＝DG，∴∠DAG＝∠DGA，∴∠GAE＝∠AGC，∵AG＝GA，∴△AGE≌△GAC，∴∠GAK＝∠AGK，∴KA＝KG，∵AC＝EG，∴EK＝KC，∴∠KEC＝∠KCE，∵∠AKG＝∠EKC∴∠KAG＝∠KCE，∴EC∥AG，∴∠AMF＝∠ECF＝90°，∴点M在以AC为直径的圆上运动，∴当BM⊥AC时，BM最短，∵AB＝4，∴OB＝2，AO＝OM＝2，∴BM的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆的有关知识等，解题的关键是证明∠AMF＝90°，判定出M在以AC为直径的圆上运动，．16．图1是“靠左侧道路行驶”的交通标志，若将图1所示的交通标志绕其中心逆时针旋转90°，就可以得到图2所示的交通标志，图2所示的交通标志的含义是靠右侧道路行驶．【分析】根据旋转的定义和交通标志的含义即可求解．【解答】解：观察图形可知，图2所示的交通标志的含义是靠右侧道路行驶．故答案为：靠右侧道路行驶．【点评】考查了生活中的旋转现象，关键是熟悉交通标志的含义．17．如图，某游乐场的摩天轮（圆形转盘）上的点距离地面最大高度为160米，转盘直径为153米，旋转一周约需30分钟．某人从该摩天轮上到地面距离最近的点登舱，逆时针旋转20分钟，此时，他离地面的高度是121.75米．【分析】设此人从点A处登舱，逆时针旋转20分钟后到达点C，根据已知条件求出旋转了240°，那么∠AOC＝120°．过点O作OE⊥CD于点E，构建矩形BDEO和直角△OEC，利用矩形的性质和解该直角三角形来求CD的长度即可．【解答】解：设此人从点A处登舱，逆时针旋转20分钟后到达点C．∵旋转一周约需30分钟．某人从该摩天轮上到地面距离最近的点登舱，逆时针旋转20分钟，∴此人旋转了×20＝240°，∴∠AOC＝120°．如图，过点O作OE⊥CD于点E，则四边形BDEO是矩形，∴DE＝OB＝160﹣＝83.5（米）．在直角△OEC中，∵∠COE＝120°﹣90°＝30°，OC＝＝76.5米，∴CE＝OC＝38.25米，∴CD＝CE+DE＝38.25+83.5＝121.75（米）．故答案为121.75．【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键是把实际问题转化为数学问题加以计算．18．时针从钟面上2点旋转到6点，共旋转了120度．【分析】先求出时钟上的时针一小时匀速旋转的度数为30°，再求从2点走到6点经过4个小时，从而计算出时针旋转的度数．【解答】解：因为时钟上的时针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的时针匀速旋转一周需要12小时，则时钟上的时针一小时匀速旋转的度数为：360÷12＝30°，那么从2点走到6点经过了4小时，时针旋转了4×30°＝120°．故答案为：120．【点评】本题考查钟表上的时针所转过的角度计算．时针每小时转动5小格（或1大格），即30°．19．下列运动方式中：①钟表上钟摆的摆动，②投篮过程中球的运动，③“神十一”火箭升空的运动，④传动带上物体位置的变化，属于旋转的是①．【分析】利用旋转和平移的定义对各运动方式进行判断．【解答】解：钟表上钟摆的摆动属于旋转；投篮过程中球的运动属于抛物运动，神十一”火箭升空的运动和传动带上物体位置的变化属于平移．故答案为①．【点评】本题考查了生活中的旋转现象：旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．20．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是6秒或19.5秒．【分析】设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），推出t≤45﹣12，即t≤33．利用平行线的判定，构建方程解决问题即可．【解答】解：设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），∴t≤45﹣12，即t≤33．由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：①如图1，∠MAM'＝∠PBP'，12t＝4（12+t），解得t＝6；②如图2，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t﹣180+4（12+t）＝180，解得t＝19.5；综上所述，满足条件的t的值为6秒或19.5秒．故答案为：6秒或19.5秒．【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．如图，菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为3．【分析】连接BE，作BH⊥AD，由旋转的性质可得△DCF≌△BCE，把求DF的最小值转化为求BE的最小值，再根据垂线段最短可得答案．【解答】解：连接BE，作BH⊥AD交DA的延长线于H，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°．∵∠ECF＝120°，∴∠BCD＝∠ECF，∴∠BCE＝∠DCF由旋转可得：EC＝FC，在△BEC和△DFC中，，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF＝BE，即求DF的最小值转化为求BE的最小值．∵在Rt△AHB中，∠BAH＝60°，AB＝2，∴BH＝2×sin60°＝3，当E与H重合时，BE最小值是3，∴DF的最小值是3．故答案为：3．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．22．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，在旋转过程中始终要求点E在直线BC上方，当三角板DCE运动中，有一边和AB平行时，则∠BCE的度数为30°或120°或165°．【分析】分三种情况画出图形，由平行线的性质可得出答案．【解答】解：分三种情况：①如图1，CD∥AB时，∵CD∥AB，∴∠A＝∠ACD＝30°，∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠BCE＝∠ACD＝30°；②如图2，CE∥AB时，∵CE∥AB，∴∠A＝∠ACE＝30°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°+30°＝120°；③DE∥AB时，如图3，当DE∥AB时，延长BC交DE于M，∴∠B＝∠DMC＝60°，∵∠DMC+∠EMC＝180°，∠EMC+∠E+∠MCE＝180°，∴∠DMC＝∠E+∠MCE，∴∠ECM＝15°，∴∠BCE＝165°，故答案为30°或120°或165°．【点评】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．将△ABC绕BC的中点D旋转得△EFG，连接CE，则CE的最大值为2+．【分析】连接AD，则E点的运动轨迹为以D为圆心AD为半径的圆，所以当E在CB延长线上时CE有最大值，求出此时的CE长度即可．【解答】解：连接AD，则E点的运动轨迹为以D为圆心AD为半径的圆，∴当点E在CB延长线上时CE有最大值为CD+圆的半径，即CD+AD，∵BC＝4，D为BC的中点，∴CD＝BC＝2，又∵AC＝3，∴AD＝＝＝，∴CE的最大值为2+，故答案为：2+．【点评】本题主要考查勾股定理的应用和旋转的性质，根据旋转确定E点的运动轨迹是解题的关键．24．如图，将△ABC就点C按逆时针方向旋转65°后得到△A'B'C，若∠ACB＝20°，则∠BCA'的度数为45°．。

1.（一）如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN（2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF2.（10AB =AC ，图15-1AC 边在一条直线上，B ． （1BF 与CG 然后证明你的猜想； （2）当三角尺沿AC 方向平移到图15-2所示的位置时， 一条直角边仍与AC 边在同一直线上，另一条 直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE ⊥BA 于点E ．此时请你通过观察、测量DE 、DF 与CG 的长度，猜想并写出DE ＋DF 与CG 之间满足 的数量关系，然后证明你的猜想； （3）当三角尺在（2）的基础上沿AC 方向继续平移到图15-3所示的位置（点F 在线段AC 上，且点F 与点C 不重合）时，（2）中的猜想是否 仍然成立？（不用说明理由）3.(2010梅州)用两个全等的正方形ABCD 和CDFE 拼成一个矩形ABEF ，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF 的中点D 重合，且将直角三角尺绕点D 按逆时针方向旋转．（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF 的两边BE EF ，相交于点G H ，时，如图甲，通过观察或测量BG 与EH 的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论．（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE 的延长线，EF 的延长线相交于点G H ，时（如图乙），你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由．4.（09）如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2. （1）求证：△BDE ≌△BCF ；（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取图13－2 图13－3 图13－1 A ( B ( E ) 图15-3 图15-1A B G CE HF D A BG C EH F D值范围.5.如图①，四边形AEFG 和ABCD 都是正方形，它们的边长分别为a b ，（2b a ≥），且点F 在AD 上（以下问题的结果均可用a b ，的代数式表示）．（1）求DBF S △；（2）把正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的DBF S △；（3）把正方形AEFG 绕点A 旋转一周，在旋转的过程中，DBF S △是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．6.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点P 在AB 上从A 向B 运动，连接DP 交AC 于点Q ． （1）试证明：无论点P 运动到AB 上何处时，都有△ADQ ≌△ABQ ；（2）当点P 在AB 上运动到什么位置时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的61； （3）若点P 从点A 运动到点B ，再继续在BC 上运动到点C ，在整个运动过程中，当点P 运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．1.解：（1）BM=FN 。