2020年陕西省汉中市高考数学全真模拟试卷(文科)(5月份)(有答案解析)

陕西省高考数学全真模拟试卷（文科）（五）一、选择题1．设复数z=（2﹣i）2，则z的共轭复数为（）A．3+4i B．3﹣4i C．5﹣4i D．5+4i2．﹣sin215°的值为（）A．B．C．D．3．已知命题p：∀x∈R，cosx＞1，则￢p是（）A．∃x∈R，cosx＜1 B．∀x∈R，cosx＜1 C．∀x∈R，cosx≤1 D．∃x∈R，cosx≤14．已知平面向量=（1，1），=（1，﹣1），则向量﹣=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，2）5．已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）A．B．C．D．6．一个简单组合体的三视图及尺寸如图所示（单位：mm），则该组合体的体积为（）A．32 B．48 C．64 D．567．海面上有A，B，C三个灯塔，|AB|=10n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则|BC|=（）n mile．（n mile表示海里，1n mile=1582m）A．10B．C．5D．58．如图，一面旗帜由A，B，C三块区域构成，这三块区域必须涂上不同的颜色，现有红、黄、绿、黑四种颜色可供选择，则A区域是红色的概率是（）A．B．C．D．9．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率为（）A．B．C．D．210．执行如图的算法语句，则输出S为（）A．B．C．D．11．已知点P是圆x2+y2=4上的动点，点A，B，C是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且=0，则||的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．712．已知函数和函数，若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[1，2）C． D．二、填空题13．已知实数x，y满足，则x+2y的最大值为______．14．已知l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列4个命题：①若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β=m，且l∥m，则l∥α．其中真命题的序号是______．（填上你认为正确的所有命题的序号）15．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），当x≠1时，有xf′（x）＞f′（x）成立；若1＜m＜2，a=f（2m），b=f（2），c=f（log2m），则a，b，c大小关系为______．16．已知抛物线C：y2=4x与点M（﹣1，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k=______．三、解答题17．已知函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）﹣2．（1）若点P（，﹣1）在角α的终边上，求f（α）的值；（2）若x∈[0，]，求f（x）的最小值．18．如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′=2AC=2BC，E为AA′的中点，C′E⊥BE．（1）求证：C′E⊥平面BCE；（2）若AC=2，求三棱锥B′﹣ECB的体积．19．班主任想对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（1）如果按性别比例分层抽样，男女生各抽取多少位才符合抽样要求？（2）随机抽出8位，他们的数学、地理成绩对应如表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95地理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95①若规定85分以上（包括85分）为优秀，在该班随机调查一位同学，他的数学和地理分数均为优秀的概率；②根据如表，用变量y与x的相关系数或散点图说明地理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01），如果不具有线性相关关系，请说明理由．参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：=b+a，其中：b=，a=﹣b，是x i对应的回归估计值．参考数据：≈77.5，≈84.9，=1050，≈456.9，≈687.5，≈32.4，≈21.4，≈23.5．20．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点M为椭圆上一动点，△F1MF2面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长交直线x=4分别于P、Q两点，问•是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．21．设函数f（x）=﹣klnx，k∈R．（1）求f（x）的单调性；（2）判断方程f（x）=0在区间（1，）上是否有解？若有解，说明解的个数及依据；若无解，说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，弦AB与CD相交于圆O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，且PD=2DA．（1）求证：△PED∽△PAE；（2）若PE=2，求PA长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中ρ≥0，θ∈[0，2π））．（1）直线l过原点，且它的倾斜角α=，求l与圆E的交点A的极坐标（点A不是坐标原点）；（2）直线m过线段OA中点M，且直线m交圆E于B、C两点，求|MB|•|MC|为定值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x+a|，g（a）=a2﹣a﹣2．（1）若a=3，解关于x的不等式f（x）＞g（a）+2；（2）当x∈[﹣a，1]时恒有f（x）≤g（a），求实数a的取值范围．陕西省高考数学全真模拟试卷（文科）（五）参考答案与试题解析一、选择题1．设复数z=（2﹣i）2，则z的共轭复数为（）A．3+4i B．3﹣4i C．5﹣4i D．5+4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z=（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i，∴．故选：A．2．﹣sin215°的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的余弦．【分析】直接利用二倍角公式化简求解即可．【解答】解：﹣sin215°=cos30°==．故选：B．3．已知命题p：∀x∈R，cosx＞1，则￢p是（）A．∃x∈R，cosx＜1 B．∀x∈R，cosx＜1 C．∀x∈R，cosx≤1 D．∃x∈R，cosx≤1【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是∃x∈R，cosx≤1，故选：D．4．已知平面向量=（1，1），=（1，﹣1），则向量﹣=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，2）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】直接利用向量的运算法则求解即可．【解答】解：平面向量=（1，1），=（1，﹣1），则向量﹣=（1，1）﹣=（﹣1，2）．故选：D5．已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）A．B．C．D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，故选D．6．一个简单组合体的三视图及尺寸如图所示（单位：mm），则该组合体的体积为（）A．32 B．48 C．64 D．56【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两个长方体组成．利用长方体的体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两个长方体组成．上面的长方体的棱长分别为：5，4，2；下面的长方体的棱长分别为：6，4，1．∴该组合体的体积=5×4×2+6×4×1=64．故选：C．7．海面上有A，B，C三个灯塔，|AB|=10n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则|BC|=（）n mile．（n mile表示海里，1n mile=1582m）A．10B．C．5D．5【考点】解三角形的实际应用．【分析】△ABC中，|AB|=10n mile，∠A=60°，∠B=75°，∠C=45°，利用正弦定理，即可求得结论．【解答】解：由题意，△ABC中，|AB|=10n mile，∠A=60°，∠B=75°，∴∠C=45°∴由正弦定理可得=，∴|BC|=5n mile．故选：D．8．如图，一面旗帜由A，B，C三块区域构成，这三块区域必须涂上不同的颜色，现有红、黄、绿、黑四种颜色可供选择，则A区域是红色的概率是（）A．B．C．D．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由题意知本题是一个古典概型，列出树状图，要做到不重不漏，从树状图可以看出试验发生的所有事件，数出满足条件的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，如图所有可能结果共有4×6=24种．A区域是红色可能结果有6种，所以A区域是红色的概率是=．故选：B．9．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0能够得到，由此能够推导出双曲线的离心率．【解答】解：由得b=2a，，．故选A．10．执行如图的算法语句，则输出S为（）A．B．C．D．【考点】伪代码．【分析】模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出S=1++++…+的值，用裂项法即可计算求值．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出S=1++++…+的值．由于S=1++++…+=1+2×[（）+（）+…+（﹣）]=1+2×（﹣）=．故选：B．11．已知点P是圆x2+y2=4上的动点，点A，B，C是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且=0，则||的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】由题意画出图形，把用向量与表示，然后利用向量模的运算性质求得||的最小值．【解答】解：∵=0，∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，∴AC为△ABC外接圆直径，如图，设坐标原点为O，则==，∵P是圆x2+y2=4上的动点，∴，∴||=．当与共线时，取得最小值5．故选：B．12．已知函数和函数，若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[1，2）C． D．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据已知函数f（x）的定义域，求出其值域，对于g（x）利用导数求出其值域，已知存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2），可知g（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，g（x）的最小值小于等于f（x）的最大值；【解答】解：函数，当＜x≤1时，f（x）=，f′（x）==＞0，f（x）为增函数，∴f（）＜f（x）≤f（1），∴f（x）∈（，]；当0≤x≤时，f（x）=﹣x+，为减函数，∴f（）≤f（x）≤f（0），∴f（x）∈[0，]，综上：f（x）∈[0，]；函数，g′（x）=，0≤≤，∴g′（x）＞0；g（x）为增函数，g（0）≤g（x）≤g（1），∴g（x）=[1﹣a，1﹣]，∵存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，∴g（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，g（x）的最小值小于等于f（x）的最大值，∴解得≤a≤2，故选C；二、填空题13．已知实数x，y满足，则x+2y的最大值为3．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+2y过点A（0，3）时，z最大值即可．【解答】解：根据约束条件，画出可行域如图：直线z=x+2y过点A时，z最大值，由，解得A（1，1）．即目标函数z=x+2y的最大值为3，故答案为：3．14．已知l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列4个命题：①若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β=m，且l∥m，则l∥α．其中真命题的序号是②．（填上你认为正确的所有命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对于①，根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l⊥α；对于②，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个；对于③，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α；对于④，若l∥m，且α∩β=m，则l∥α或l⊂α【解答】解：对于①，若l⊂β，且α⊥β，则根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l⊥α，所以①错；对于②，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个，即若l⊥β，α∥β，l⊥α；②正确对于③，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α，所以③错对于④，若l∥m，且α∩β=m，则l∥α或l⊂α，所以④错故答案为②15．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），当x≠1时，有xf′（x）＞f′（x）成立；若1＜m＜2，a=f（2m），b=f（2），c=f（log2m），则a，b，c大小关系为a＞b＞c．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】函数f（x）在定义域R内可导，f（x）=f（2﹣x），知函数f（x）的图象关于x=1对称．再根据函数的单调性比较大小即可．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），令x=x+1，则f（x+1）=f[2﹣（x+1）]=f（﹣x+1），∴函数f（x）的图象关于x=1对称；令g（x）=，则g′（x）=，当x≠1时，xf′（x）＞f′（x）成立，即xf′（x）﹣f′（x）＞0成立；∴x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增，∵1＜m＜2，∴2＜2m＜4，0＜＜1，∴a＞b＞c，故答案为：a＞b＞c．16．已知抛物线C：y2=4x与点M（﹣1，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k=1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线AB斜率为k，得出AB的方程，联立方程组，由根与系数的关系得出A，B两点的坐标的关系，令k MA•k MB=﹣1列方程解出k．【解答】解：抛物线的焦点为F（1，0），∴直线AB的方程为y=kx﹣k．联立方程组，消元得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2==2+．x1x2=1．∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=，y1y2=﹣4．∵•=0，∴MA⊥MB，∴k MA•k MB=﹣1．即=﹣1，∴y1y2﹣2（y1+y2）+4+x1x2+x1+x2+1=0，∴﹣4﹣+4+1+2++1=0，解得k=1．故答案为：1．三、解答题17．已知函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）﹣2．（1）若点P（，﹣1）在角α的终边上，求f（α）的值；（2）若x∈[0，]，求f（x）的最小值．【考点】三角函数的最值；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】（1）根据题意和任意角的三角函数定义求出sinα、cosα，代入解析式求出f（α）的值；（2）根据二倍角公式、两角差的正弦公式化简解析式，由x求出的范围，由正弦函数的性质求出f（x）的最小值．【解答】解：（1）∵点P（，﹣1）在角α的终边上，∴sinα=，cosα=，∴f（x）=2sinα（cosα+sinα）﹣2=2×（）﹣2=﹣3；（2）由题意得，f （x ）=2sinx （cosx +sinx ）﹣2 =sin2x +2sin 2x ﹣2=sin2x ﹣cos2x ﹣1 =，由x 得，，则，即，∴f （x ）的最小值是f （0）=﹣2．18．如图，直三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′中，AA ′=2AC=2BC ，E 为AA ′的中点，C ′E ⊥BE ． （1）求证：C ′E ⊥平面BCE ；（2）若AC=2，求三棱锥B ′﹣ECB 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）证明C ′E ⊥EC ，利用C ′E ⊥BE ，CE ∩BE=E ，即可证明C ′E ⊥平面BCE ； （2）利用等体积转化求三棱锥B ′﹣ECB 的体积． 【解答】（1）证明：在矩形A ′ACC ′中，E 为A ′A 中点且AA ′=2AC ， ∴EA=AC ，EA ′=A ′C ′， ∴∠AEC=∠A ′EC=45°， ∴C ′E ⊥EC ，∵C ′E ⊥BE ，CE ∩BE=E ， ∴C ′E ⊥平面BCE ；（2）解：∵B ′C ′∥BC ，B ′C ′⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ， ∴B ′C ′∥平面BCE ， ∴V B ′﹣ECB =V C ′﹣ECB ， ∵C ′E ⊥平面BCE ， ∴C ′E ⊥BC ，∵BC ⊥CC ′，C ′E ∩CC ′=C ′，∴BC ⊥平面ACC ′A ′′∴BC ⊥CE ， ∵AC=2，∴BC=2，EC=EC ′=2， ∴V B ′﹣ECB =V C ′﹣ECB ==．19．班主任想对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（1）如果按性别比例分层抽样，男女生各抽取多少位才符合抽样要求？ （2）随机抽出8位，他们的数学、地理成绩对应如表：学生编号1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数x 6065 70 75 80 85 90 95 地理分数y 7277 80 84 88 90 93 95①若规定85分以上（包括85分）为优秀，在该班随机调查一位同学，他的数学和地理分数均为优秀的概率；②根据如表，用变量y与x的相关系数或散点图说明地理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01），如果不具有线性相关关系，请说明理由．参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：=b+a，其中：b=，a=﹣b，是x i对应的回归估计值．参考数据：≈77.5，≈84.9，=1050，≈456.9，≈687.5，≈32.4，≈21.4，≈23.5．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．（2）①根据古典概型的概率公式进行计算即可．②首先求出两个变量的平均数，再利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，把做出的系数和x，y的平均数代入公式，求出a的值，写出线性回归方程，得到结果．【解答】解：（1）从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析抽取女生数=5人，男生数=3人；（2）①规定85分（含85分）以上为优秀，一个学生两科都优秀的为6.7.8三个同学，则两科都优秀的概率是P=．②r=r=≈0.99，非常接近于1，∴地理成绩y与数学成绩x之间有较强的线性相关关系，则对应的散点图如图：∵==77.5，==84.9b≈0.65，a≈34.53则线性回归方程为：y=0.65x+34.5320．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点M为椭圆上一动点，△F1MF2面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长交直线x=4分别于P、Q两点，问•是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设c=t，（t＞0）．则a=2t，b=，由△F1PF2面积取最大值，求出t=1，由此能求出椭圆方程．（2）设直线AB的方程为x=ty+1，联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、直线方程、向量的数量积，结合已知条件能求出•为定值0．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，∴设c=t（t＞0）．则a=2t，b=，又△F1PF2面积取最大值时，即点P为短轴端点，∴=，解得t=1，∴椭圆方程为．（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，∴，，直线AA1的方程为y=，直线BA1的方程为y=，∴P（4，），Q（4，），∴=（3，），=（3，），∴=9+（）（）=，∴•为定值0．21．设函数f（x）=﹣klnx，k∈R．（1）求f（x）的单调性；（2）判断方程f（x）=0在区间（1，）上是否有解？若有解，说明解的个数及依据；若无解，说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）先求导，再分类根据导数和函数单调性的关系即可解决；（2）根据函数的单调性以及k的范围，即可判断f（x）=0在区间（1，）解得个数．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣klnx，其定义域为（0，+∞），∴f′（x）=x﹣，当k≤0时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）单调递增，当k＞0时，令f′（x）=0，解得x=当f′（x）＞0时，解得x＞，此时函数f（x）在（，+∞）单调递增，当f′（x）＜0时，解得0＜x＜，此时函数f（x）在（0，）单调递减，综上所述，当k≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，当k＞0时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）单调递减．（2）由（1）可知，①当k≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，∵方程f（x）=0在区间（1，）上是有解，∴即此时k的值不存在，②∵f（1）=＞0，f（）=，当0＜＜1时，即0＜k＜1时，f（x）在（1，）单调递增，由f（1）=＞0，故f（x）=0在区间（1，）上无解当1≤≤时，即1≤k≤e时，f（x）min=f（）=﹣kln=kln＞0，故f（x）=0在区间（1，）上无解当＞时，即k≥e时，f（x）在（1，）单调递减，由f（）=＜0，故f（x）=0在区间（1，）上有唯一解，综上所述，当k≤e时，f（x）=0在区间（1，）上无解，当k＞e时，故f（x）=0在区间（1，）上有唯一解．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，弦AB与CD相交于圆O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，且PD=2DA．（1）求证：△PED∽△PAE；（2）若PE=2，求PA长．【考点】相似三角形的性质．【分析】（1）证明两组对应角相等，即可证明：△PED∽△PAE；（2）利用相似三角形的性质，结合PE=2，求PA长．【解答】（1）证明：∵BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，∵在圆中∠BCD=∠BAD⇒∠PED=∠BAD，∴△PED∽△PAE；（2）解：∵△PED∽△PAE，∴=，∴PE2=PA•PD．设AD=x∵PD=2DA，∴PA=3x，PD=2x，∴6x2=（2）2，∴x=2∴PA=6．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中ρ≥0，θ∈[0，2π））．（1）直线l过原点，且它的倾斜角α=，求l与圆E的交点A的极坐标（点A不是坐标原点）；（2）直线m过线段OA中点M，且直线m交圆E于B、C两点，求|MB|•|MC|为定值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由直线l的倾斜角α=，可得直线l的极角θ=，或θ=．代入圆E的极坐标方程即可得出．（2）由（1）可得：线段OA的中点M，可得直角坐标M．又圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程，设直线l的参数方向为：（t 为参数），代入圆的方程可得关于t的一元二次方程，利用|MB|•|MC|=|t1|•|t2|=|t1•t2|即可证明．【解答】解：（1）∵直线l的倾斜角α=，∴直线l的极角θ=，或θ=．代入圆E的极坐标方程ρ=4sinθ可得：或ρ=﹣2（舍去）．∴l与圆E的交点A的极坐标为．（2）由（1）可得：线段OA的中点M，可得直角坐标M（﹣1，1）．又圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2﹣4y=0，设直线l的参数方向为：（t为参数），代入圆的方程可得：t2﹣2t（sinα+cosα）﹣2=0，△＞0，∴t1t2=﹣2．∴|MB|•|MC|=|t1|•|t2|=|t1•t2|=2，为定值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x+a|，g（a）=a2﹣a﹣2．（1）若a=3，解关于x的不等式f（x）＞g（a）+2；（2）当x∈[﹣a，1]时恒有f（x）≤g（a），求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）若a=3，f（x）=|x﹣1|+|x+3|，g（3）=4，f（x）＞g（a）+2化为|x﹣1|+|x+3|＞6，即可得出结论；（2）当x∈[﹣a，1]时恒有f（x）≤g（a），1+a≤a2﹣a﹣2，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=3时，f（x）=|x﹣1|+|x+3|，g（3）=4，f（x）＞g（a）+2化为|x﹣1|+|x+3|＞6，x＜﹣3时，﹣x+1﹣x﹣3＞6，∴x＜﹣4，﹣3≤x≤1时，﹣x+1+x+3＞6，无解，x＞1时，x﹣1+x+3＞6，∴x＞2．综上所述，x＜﹣4或x＞2，∴不等式的解集为{x|x＜﹣4或x＞2}；（2）∵x∈[﹣a，1]，∴f（x）=1+a，∴f（x）≤g（a），化为1+a≤a2﹣a﹣2，∴a2﹣2a﹣3≥0，∴a≥3或a≤﹣1，﹣a＜1，∴a＞﹣1，∴a≥3．。

陕西省汉中市2020年高三第二次模拟考试文科数学试题本试卷共23题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{4,5,7,9}M =，{3,4,7,8,9}N =，全集U M N =⋃，则集合()U M N ⋂ð中的元素共有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 2．在复平面内，复数21(1)ii +-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．若0a b <<，则下列不等式中不成立的是（ ） A ．||||a b > B ．22ab >C ．11a b> D ．11a b a>- 4．总体由编号为01，02，…19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．01B ．02C ．07D ．085．已知函数()cos 221f x x x =++，则下列判断错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称 D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 6．已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩则(5)f 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．138．在直角ABC △中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =u u u r u u u r，则CD CB ⋅=u u u r u u u r （ ）A ．18-B ．63-C ．18D ．639．如图是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由该圆的四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．41π- D ．42π-10．函数||()2sin 2x f x x =⋅的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．若直线220(0,0)ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的圆周，则12a b+的最小值为（ ）A ．322+．323+ C ．4D ．512．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式24[]36[]450x x -+<成立的x 的范围是（ ） A ．315,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．[2,8]C ．[2,8)D ．[2,7]第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的离心率为2，则a =_____． 14．在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若223a b bc -=，sin 3sin C B =，则A =____．15．三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，22PA =，底面ABC △中4BAC π∠=，边2BC =，则三棱锥P ABC -外接球的体积等于______．16．已知函数2()ln f x ax x x =-在1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，则实数a 的取值范围是______．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17．设等差数列{}n a 满足39a =-，105a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最小的n 的值．18．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，且CE AB P ． （Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAD ； （Ⅱ）若1PA AB ==，3AD =，2CD =，45CDA ∠=︒，求四棱锥P ABCD -的正弦值．19．眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的．某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图． （1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；（2）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？是否做操是否近视不做操做操近视 44 32 不近视618附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P k k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k2.7063.8415.0246.6357.87920．如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，点,,A B C 为椭圆上的三个点，A 为椭圆的右端点，BC 过中心O ，且||2||BC AB =，3ABC S =△．（1）求椭圆的标准方程；（2）设,P Q 是椭圆上位于直线AC 同侧的两个动点（异于,A C ），且满足PBC QBA ∠=∠，试讨论直线BP 与直线BQ 斜率之间的关系，并求证直线PQ 的斜率为定值．21．已知函数3211()(,)32a f x x x bx a ab +=-++∈R ，且其导函数()f x '的图像过原点． （1）若存在0x <，使得()9f x '=-，求a 的最大值； （2）当0a >时，求函数()f x 的零点个数．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的参数方程为3112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）已知点(1,0)M ，直线l 与曲线C 交于A B 、两点，求||MA MB -‖‖． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|2|f x x a a =-+（1）当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-．当x R ∈时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．参考答案一、选择题：二、填空题13．1 14．6π 15．323π 16．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题17解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1(1)n a a n d =+-及39a =-，105a =得112995a d a d +=-⎧⎨+=⎩ 解得1132a d =-⎧⎨=⎩数列{}n a 的通项公式为215n a n =- （2）由（1）知214n S n n =-因为2(7)49n S n =-- 所以7n =时，n S 取得最小值．18解：（1）证明 因为PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ， 所以PA CE ⊥． 因为AB AD ⊥，CE AB P ，所以CE AD ⊥．又PA AD A ⋂=，所以CE ⊥平面PAD ．（2）解：由（1）可知CE AD ⊥在Rt CDE △中，cos451DE CD =⋅︒=，sin451CE CD =⋅︒=所以2AE AD ED =-=．又因为1AB CE ==，CE AB P ，所以四边形ABCE 为矩形．所以12ECD ABCE ABCD S S S AB AE CE DE =+=⋅+⋅△矩形四变形 15121122=⨯+⨯⨯=又PA ⊥平面ABCD ，1PA =，115513326ABCD P ABCD V S PA -=⋅=⨯⨯=四边形四棱锥19．解：（1）由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人， 因为后三组的频数成等差数列，共有100(3727)63-++=（人）所以后三组频数依次为24，21，18， 所以视力在5．0以上的频率为0．18，故全年级视力在5．0以上的人数约为8000.18144⨯=人（2）22100(4418326)50507624k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯1507.8957.87919=≈> 因此能在犯错误的概率不超过0．005的前提下认为视力与眼保健操有关系．21．解：3211()32a f x x x bx a +=-++，2()(1)f x x a x b '=-++ 由(0)0f '=得0b =，()(1)f x x x a '=--．（1）存在0x <，使得()(1)9f x x x a '=--=-，991()6a x x x x ⎛⎫--=--=-+-≥= ⎪⎝⎭，7a ≤-，当且仅当3x =-时，7a =-． 所以a 的最大值为7-． （2）当1a >时，x ，()f x '，()f x 的变化情况如上表： ()f x 的极大值(0)0f a =>，()f x 的极小值2331111(1)(1)306624f a a a a a ⎡⎤⎛⎫+=-+=-+-+<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦又14(2)03f a -=--<，213()(1)32f x x x a a ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦，3(1)02f a a ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭． 所以函数()f x 在区间(2,0)-，(0,1)a +，31,(1)2a a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内各有一个零点，故函数()f x 共有三个零点．22．解：（1）对于曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，可得24cos ρρθ=，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得224x y x +=，即22(2)4x y -+=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=．由直线l的参数方程为112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数可得， 直线l的普通方程为1)y x =-，即y x =-． （2）设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，将直线l的参数方程1212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线22:40C x y x +-=中，可得2211410242t t t ⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．化简得230t --=，设点,A B 所对应的参数分别是12,t t故12t t +=12t t ⋅=所以1212||||||||||MA MB t t t t -=-=+=‖ 23．解：（1）当2a =时，()|22|2f x x =-+．解不等式|22|26x -+„得13x -剟．因此()6f x „的解集为{|13}x x -剟．（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12||212||1|f x g x x a a x x a x a a a +=-++--+-+=-+…，所以当x R ∈时，()()3f x g x +…等价于|1|3a a -+≥．① 当1a „时，①等价于13a a -+…，无解． 当1a >时，①等价于13a a -+…，解得2a …． 所以a 的取值范围是[2,)+∞．。

2020年陕西省汉中市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合A ＝[1, 2]，B ＝{x ∈Z|x 2−2x −3<0}，则A ∩B ＝（ ） A.[1, 2] B.(−1, 3) C.{1} D.{1, 2}2.z =5i1−2i （i 是虚数单位）则z 的共轭复数为（ ） A.2−i B.2+i C.−2−i D.−2+i3.已知向量a →,b →满足|a →|=1,a →⋅b →=−2，则a →⋅(2a →−b →)=() A.4 B.−4 C.0 D.24.已知sin(α−π2)=2sinα，则tan2α的值为（ ） A.−43 B.−34C.165D.125.函数y =x 33x −1的图象大致是（ ）A. B.C. D.6.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是______________.7.已知函数f(x)={(12)x ,x ≥0f(x +2),x <0，则f(log 215)=()A.516B.54C.52D.58.地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A.AB.BC.DD.E9.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π，若f(x)在x∈[0, t)时函数值没有最小值，则实数t的范围是（）A.(0,π6] B.(0,23π] C.(π3,5π6] D.(π3,23π]10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(32+x)=f(x−32)，且x∈(−32,0)时，f(x)＝log2(−3x+1)，则f(2020)＝（）A.4 B.log27 C.2 D.−211.若双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被曲线(x−2)2+y2＝2所截得的弦长为2．则该双曲线的离心率为（）A.√3B.2√33C.√5 D.2√5512.已知函数f(x)=14x2+12x+a(x<0)，g(x)＝lnx(x>0)，其中a∈R．若f(x)的图象在点A（x1, f(x1)）处的切线与g(x)的图象在点B （x2, g(x2)）处的切线重合，则a的取值范围是（）A.(−1+ln2, +∞)B.(−1−ln2, +∞)C.(−34,+∞) D.(ln2−ln3, +∞)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上）13.曲线y ＝x 3−2x +4在(1, 3)处的切线的倾斜角为________．14.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为√15，b −c ＝2，cosA =−14，则a 的值为________2√6．15.正四棱锥P −ABCD 底面的四个顶点A 、B 、C 、D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果V P−ABCD =163，则球O 的体积是________323π．16.已知函数f(x)＝log a (x +3)−1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +4＝0上，其中mn >0，则1m+1+2n 的最小值为________．三、解答题（共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，第22～23题为选考题）17.已知等差数列{a n }满足a 4=7，2a 3+a 5=19． (1)求通项a n ；(2)设{b n −a n }是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{b n }通项公式及前n 项和T n ．18.2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x ¯和中位数a(a 的值精确到0.01)；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5, 7, 5)，[7.5, 8.5)的学生中抽取9名参加座谈会． (i)你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；(ii)座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),(n =a +b +c +d)． 临界值表：19.如图，在四面体PABC中，PA＝PC＝AB＝BC＝5，AC＝6，PB＝4√2，线段AC，AP的中点分别为O，Q．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求四面体POBQ的体积．20.已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的√3倍，焦距为2√2．(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(−1, 0)，若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C，D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．21.已知函数f(x)＝lnx+ax−1(a∈R)．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若函数f(x)的图象与x轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数x1，x2，都有f(x2)−f(x1)x2−x1<1x1+1x2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为{x=−√33ty=2+√63t（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝3sinθ．（1）求C1和C2的直角坐标方程；（2）设点P(0, 2)，直线C1交曲线C2于M，N两点，求|PM|2+|PN|2的值．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)＝|x−2|+|x−3|．（1）求不等式f(x)<2的解集；（2）若f(x)≥a|2x+1|的解集包含[3, 5]，求实数a的取值范围．2020年陕西省汉中市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合A ＝[1, 2]，B ＝{x ∈Z|x 2−2x −3<0}，则A ∩B ＝（ ） A.[1, 2] B.(−1, 3) C.{1} D.{1, 2}【解答】 ∵集合A ＝[1, 2]，B ＝{x ∈Z|x 2−2x −3<0}＝{x ∈Z|−1<x <3}＝{0, 1, 2}， ∴A ∩B ＝{1, 2}．2.z =5i1−2i （i 是虚数单位）则z 的共轭复数为（ ） A.2−i B.2+i C.−2−i D.−2+i【解答】∵z =5i1−2i =5i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=5i(1+2i)5=−2+i ，∴z ¯=−2−i ．3.已知向量a →,b →满足|a →|=1,a →⋅b →=−2，则a →⋅(2a →−b →)=() A.4 B.−4 C.0 D.2【解答】向量a →,b →满足|a →|=1,a →⋅b →=−2，所以：a →⋅(2a →−b →)=2|a →|2−a →⋅b →=2+2=4， 4.已知sin(α−π2)=2sinα，则tan2α的值为（ ） A.−43 B.−34C.165D.12【解答】解：由sin(α−π2)=−cosα=2sinα， 可得：tanα=−12， 故tan2α=2tanα1−tan 2α=−43． 故选A .5.函数y =x 33x −1的图象大致是（ ）A. B.C. D.【解答】函数的定义域为{x|x ≠0}，排除A ． 当x →−∞时，y →+∞，排除B ，当x →+∞时，x 3<3x −1，此时y →0，排除D ，6.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是______________. 【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有C 42=6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法， 红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法， 所以所求的概率为46=23． 故答案为：23. 7.已知函数f(x)={(12)x ,x ≥0f(x +2),x <0，则f(log 215)=()A.516 B.54C.52D.5【解答】根据题意，函数f(x)={(12)x ,x ≥0f(x +2),x <0，又由log 215=−log 25，则−3<log 215=−log 25<−2， 则f(log 215)＝f(−log 25)＝f(2−log 25)＝f(4−log 25)＝f(log 2165)=(12)log 2165=2log 2516=516，8.地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A.AB.BC.DD.E【解答】同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放D、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，得到D疏散乘客比A快；同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，得到A疏散乘客比E快；同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，得到A疏散乘客比C快；同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，同时开放C、D两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，得到D疏散乘客比B快．综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D．9.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π，若f(x)在x∈[0, t)时函数值没有最小值，则实数t的范围是（）A.(0,π6] B.(0,23π] C.(π3,5π6] D.(π3,23π]【解答】由题意，2πω=π，得ω＝2．∴f(x)=sin(2x+π6)．当x∈[0, t)时，2x+π6∈[π6, 2t+π6)，∵f(x)在[0, t)上没有最小值，∴5π6<2t+π6≤3π2，∴π3<t≤2π3，∴t的取值范围为：(π3, 2π3]，10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(32+x)=f(x−32)，且x∈(−32,0)时，f(x)＝log2(−3x+1)，则f(2020)＝（）A.4 B.log27 C.2 D.−2【解答】根据题意，f(x)满足f(32+x)=f(x−32)，即f(x+3)＝f(x)，函数f(x)是周期为3的周期函数，则f(2020)＝f(1+2019)＝f(1)，又由f(x)为奇函数，则f(1)＝−f(−1)＝−log2(3+1)＝−2，故选：D．11.若双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被曲线(x−2)2+y2＝2所截得的弦长为2．则该双曲线的离心率为（）A.√3B.2√33C.√5 D.2√55【解答】双曲线C:x 2a −y2b=1(a>0,b>0)的一条渐近线不妨为：bx+ay＝0，圆(x−2)2+y2＝2的圆心(2, 0)，半径为√2，双曲线的一条渐近线被圆(x−2)2+y2＝2所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：√(√2)2−12=1=√22，4b2c=4c2−4a2c=1，解得：e=ca =2√33，12.已知函数f(x)=14x2+12x+a(x<0)，g(x)＝lnx(x>0)，其中a∈R．若f(x)的图象在点A（x1, f(x1)）处的切线与g(x)的图象在点B （x2, g(x2)）处的切线重合，则a的取值范围是（）A.(−1+ln2, +∞)B.(−1−ln2, +∞)C.(−34,+∞) D.(ln2−ln3, +∞)【解答】由题意知，x 1<0<x 2，当x 1<0时，函数f(x)在点A （x 1, f(x 1)）处的切线方程为y −(14x 12+12x 1+a)＝(12x 1+12)(x −x 1)；当x 2>0时，函数g(x)在点B （x 2, g(x 2)）处的切线方程为y −lnx 2=1x 2(x −x 2)．两直线重合的充要条件是1x 2=12x 1+12①，lnx 2−1=−14x 12+a ②，得a ＝lnx 2+(1x 2−12)2−1＝−ln 1x 2+(1x 2−12)2−1，令t =1x 2，由①及x 1<0<x 2知，则0<t <12，且a ＝t 2−t −lnt −34，设ℎ(t)＝t 2−t −lnt −34(0<t <12)， 则ℎ′(t)＝2t −1−1t =2t 2−t−1t=(t+1)(2t−1)t ，当t ∈(0, 12)时，ℎ′(t)<0，ℎ(t)在(0, 12)为减函数， 则ℎ(t)>ℎ(12)＝ln2−1，又t →0时，ℎ(t)→+∞． ∴a >ln2−1，则a 的取值范围是(ln2−1, +∞)．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上）曲线y ＝x 3−2x +4在(1, 3)处的切线的倾斜角为________． 【解答】y′＝3x 2−2，切线的斜率k ＝3×12−2＝1． 故倾斜角为45∘．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为√15，b −c ＝2，cosA =−14，则a 的值为________2√6． 【解答】由于cosA =−14，则π2<A <π， 利用sin 2A +cos 2A ＝1，解得sinA =√154， 由于△ABC 的面积为√15，所以12bcsinA =√15，解得bc ＝8． 由于b −c ＝2，所以(b −c)2＝4，整理得b 2+c 2＝20，所以a 2＝b 2+c 2−2bccosA =20+2×8×14=24， 解得a ＝2√6．正四棱锥P −ABCD 底面的四个顶点A 、B 、C 、D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果V P−ABCD =163，则球O 的体积是________323π． 【解答】如图，正四棱锥P −ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，∴PO ⊥底面ABCD ，PO ＝R ，S ABCD ＝2R 2，VP −ABCD =163，∴13⋅2R 2⋅R =163，解得：R ＝2，球O 的体积：V =43πR 3=323π，已知函数f(x)＝log a (x +3)−1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +4＝0上，其中mn >0，则1m+1+2n 的最小值为________． 【解答】由f(x)＝log a (x +3)−1知，f(x)过定点A(−2, −1)． 因为点A 在直线mx +ny +4＝0上，所以2m +n ＝4， 又mn >0，所以m >0，n >0， 所以1m+1+2n =(1m+1+2n )(m+13+n6)=23+n6(m+1)+2(m+1)3n≥23+2√n6(m+1)⋅2(m+1)3n=43，当且仅当n6(m+1)=2(m+1)3n，即m =12，n ＝3时取等号，所以1m+1+2n 的最小值为43．三、解答题（共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，第22～23题为选考题） 已知等差数列{a n }满足a 4=7，2a 3+a 5=19． (1)求通项a n ；(2)设{b n −a n }是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{b n }通项公式及前n 项和T n ． 【解答】解：(1)∵a 4=7，2a 3+a 5=19． {a +3d =7,2(a 1+2d)+a 1+4d =19,解得d =2，a 1=1， ∴a n =2n −1.(2)∵{b n −a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴b n −a n =2n ， ∴b n =2n +2n −1，∴T n =(2+22+...+2n )+[1+3+...+(2n −1)] =2(1−2n )+1+2n −1⋅n=2n+1+n 2−2.2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x ¯和中位数a(a 的值精确到0.01)；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5, 7, 5)，[7.5, 8.5)的学生中抽取9名参加座谈会． (i)你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；(ii)座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),(n =a +b +c +d)． 临界值表：【解答】该组数据的平均数x ¯=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯因为0.03+0.1+0.2+0.35＝0.68>0.5，所以中位数a ∈[8.5, 9.5)， 由0.03+0.1+0.2+(a −8.5)×0.35＝0.5，解得a =0.5−0.330.35+8.5≈8.99；(i)每周阅读时间为[6, 5, 7.5)的学生中抽取3名，每周阅读时间为[7.5, 8.5)的学生中抽取6名．………………………………理由：每周阅读时间为[6, 5, 7.5)与每周阅读时间为[7.5, 8.5)是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为0.1，0.2，所以按照1:2进行名额分配．……………………(ii)由频率分布直方图可知，阅读时间不足8.5小时的学生共有200×(0.03+0.1+0.2)＝66人，超过8.5小时的共有200−66＝134人． 于是列联表为：………… K 2的观测值k =200×(40×74−26×60)266×134×100×100≈4.432>3.841，……所以有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关．… 如图，在四面体PABC 中，PA ＝PC ＝AB ＝BC ＝5，AC ＝6，PB ＝4√2，线段AC，AP的中点分别为O，Q．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求四面体POBQ的体积．【解答】证明：因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，在Rt△PAO中，PA＝5，OA＝3，且PA为直角三角形的斜边，由勾股定理，得PO＝4，因为BA＝BC，O是AC的中点，所以BO⊥AC．在Rt△BAO中，因为BA＝5，OA＝3，由勾股定理，得BO＝4．因为PO＝4，OB＝4，PB＝4√2，有PO2+OB2＝PB2，则PO⊥OB，且BO∩AC＝O，BO，AC⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC，而PO⊂平面PAC，故平面PAC⊥平面ABC．由（1）可知平面PAC⊥平面ABC．因为平面ABC∩平面PAC＝AC，BO⊥AC，BO⊂平面ABC，所以BO⊥平面PAC，因为在△AOP中，Q是AP的中点所以S△PQ0=12S△PA0＝3，所以V P−OBQ＝V B−POQ=13S△PQ0⋅BO=13×12S△PA0×4=13×3×4＝4．已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的√3倍，焦距为2√2．(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(−1, 0)，若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C，D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．【解答】解：(1)依题意c=√2，{a =√3b,a 2−b 2=2,解得{a =√3,b =1, ∴椭圆方程是x 23+y 2=1； (2)假若存在这样的k 值，由{y =kx +2,x 2+3y 2=3得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0． ∴Δ=(12k)2−36(1+3k 2)>0①，设C(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，则{x 1+x 2=−12k1+3k 2,x 1x 2=91+3k 2,②而y 1y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4. 要使以CD 为直径的圆过点E(−1, 0)， 即CE ⊥DE ，则y 1x1+1⋅y 2x2+1=−1，即y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0,∴(k 2+1)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0③，将②式代入③整理解得k =76，经验证，k =76，使①成立． 故存在k =76，使得以CD 为直径的圆过点E ． 已知函数f(x)＝lnx +ax −1(a ∈R)． (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若函数f(x)的图象与x 轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数x 1，x 2，都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<1x 1+1x 2．【解答】（1）函数f(x)的定义域为(0, +∞)，f ′(x)=1x +a =ax+1x．当a ≥0时，f ′(x)>0，f(x)在(0, +∞)上单调递增；…………………………当a <0时，由f ′(x)＝0，得x =−1a ． 若x ∈(0,−1a )，f ′(x)>0，f(x)单调递增； 若x ∈(−1a ,+∞)，f ′(x)<0，f(x)单调递减 综合上述：当a ≥0时，f(x)在(0, +∞)上单调递增； 当a <0时，f(x)在(0,−1a )单调递增，在(−1a ,+∞)上单调递减．………………（2）证明：由(Ⅰ)知，当a≥0时，f(x)在(0, +∞)上单调递增，不满足条件．当a<0时，f(x)的极大值为f(−1a)=−ln(−a)，由已知得−ln(−a)＝0，故a＝−1，此时f(x)＝lnx−x+ 1．……………………不妨设0<x1<x2，则f(x2)−f(x1)x2−x1<1x1+1x2等价于ln x2x1<x2x1−x1x2+x2−x1，即证：ln x2x1−x2x1+x1x2<x2−x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯令g(x)=lnx−x+1x(x> 1)，………………………………………………………故g(x)在(1, +∞)单调递减，所以g(x)<g(1)＝0<x2−x1．所以对于任意互不相等的正实数x1，x2，都有f(x2)−f(x1)x2−x1<1x1+1x2成立．…[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为{x=−√33ty=2+√63t（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝3sinθ．（1）求C1和C2的直角坐标方程；（2）设点P(0, 2)，直线C1交曲线C2于M，N两点，求|PM|2+|PN|2的值．【解答】直线C1的参数方程为{x=−√3t3y=2+√63t（其中t为参数），消去t可得√2x+y−2=0．由ρcos2θ＝3sinθ，得ρ2cos2θ＝3ρsinθ，代入x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得曲线C2的直角坐标方程为x2＝3y；将直线C1的参数方程{x=−√33ty=2+√63t代入x2＝3y，得t2−3√6t−18=0，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t 1+t 2=3√6，t 1t 2＝−18，∴|PM|2+|PN|2=(t 1+t 2)2−2t 1t 2=90． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x −2|+|x −3|． （1）求不等式f(x)<2的解集；（2）若f(x)≥a|2x +1|的解集包含[3, 5]，求实数a 的取值范围． 【解答】f(x)={2x −5,x >31,2≤x ≤35−2x,x <2 ，由f(x)<2，解得32<x <72，即不等式f(x)<2的解集是{x|32<x <72}；f(x)≥a|2x +1|的解集包含[3, 5]，即当x ∈[3, 5]时不等式恒成立， 当x ∈[3, 5]时，f(x)＝2x −5，f(x)≥a|2x +1|，即2x −5≥a(2x +1)， 因为2x +1>0，所以2x−52x+1≥a ，令g(x)=2x−52x+1=1−62x+1，x ∈[3, 5]，易知g(x)在[3, 5]上单调递增， 所以g(x)的最小值为17，因此a ≤17，即a 的取值范围为a ∈(−∞,17]．。

2020届高三第五次质量检测文科数学试题(时间120分钟，满分150分)第I 卷(共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题四个选项中只有一项符合题意) 1.已知集合{10}A x x =-≤，集合2{60}B x x x =--<，则AB =A.{3}x x <B.{31}x x -<≤C.{2}x x <-D.{21}x x -<≤ 2.复数z 满足(2－i)z ＝|3＋4i|，则z ＝A.－2－iB.2－iC.－2＋iD.2＋i3.方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是 A.－3<m<0 B.－3<m<2 C.－3<m<4 D.－1<m<34.中国古代数学石作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。

”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一关的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了A.24里B.48里C.96里D.192里 5.边长为m 的正方形内有一个半径为n 2m n ⎛⎫< ⎪⎝⎭的圆，向正方形中随机扔一粒豆子(忽略大小，视为质点)，若它落在该圆内的概率为34，则国周率π的值为 A.34m n B.34nmC.2234m n D.2234n m 6.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“我没有获奖”，乙说：“是丙获奖”，丙说：“是丁获奖”，丁说：“我没有获奖”。

在以上问题中只有一人回答正确，根据以上的判断，获奖的歌手是 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 7.函数2()(1)cos 1xf x x e =-+图象的大致形状是8.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ≡n(mod m)，例如10≡4(mod 6)，如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入a ＝2，b ＝3，c ＝5，则输出的N ＝A. 6B. 9 c. 12 D. 219.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期是π，将函数f(x)的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数图象过点P(0，1)，则函数()sin()f x x ωϕ=+ A.有一个对称中心,012π⎛⎫⎪⎝⎭B.有一条对称轴6x π=C.在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D.在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 10.四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥P －ABCD 的侧面积等于4(1)，则该外接球的表面积A .4π B.12π C.24π D.36π11.过抛物线C ：x 2＝2py(p>0)的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，若4|AF|＝| BF|，O 为坐标原点，则AFOF= A.54 B.34C.4D.5 12.己知函数f(x)＝xlnx ＋x(x －a)2(x ∈R)，若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得f(x)>xf ’(x)成立，则实数a的取值范围是 A.9,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B.3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.)+∞ D.()3,+∞第II 卷(共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前陕西省汉中市普通高中2020届高三毕业班第五次教学质量检测数学(文)试题(解析版)一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每题给出的四个选项中，只有一项符合题意．）1.集合{|10}A x x =-≤，集合2{|60}B x x x =--<，则A B =U （）A. {|3}x x <B. {|31}x x -<≤C. {|2}x x <-D. {|21}x x -<≤ 【答案】A【解析】【分析】求得集合{|1}{|23},B A x x x x =-<<=≤,再根据并集的运算,即可求解.【详解】由题意,集合{|10}{|1}A x x x x =-≤=≤,集合2{|60}{|23}B x x x x x =--<=-<<,则{|3}A B x x =<U ,故选A.【点睛】本题主要考查了集合的运算,其中解答中正确求解集合,A B 是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.2.已知复数z 满足()234i z i -=+,则z =（ ）A. 2i --B. 2i -C. 2i -+D. 2i +【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由(2)z |34|5i i -=+=, 得55(2)z 22(2)(2)i i i i i +===+--+． 故选：D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题．3.方程22123+=-+x y m m 表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ） A. －3＜m ＜0B. －3＜m ＜2C. －3＜m ＜4D. －1＜m ＜3 【答案】A【解析】由题意知,()()23032m m m -+<⇒-<<,则C,D 均不正确,而B 为充要条件,不合题意,故选A.4.中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还．”其意思为；“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第一天走了（ ）A. 24里B. 48里C. 96里D. 192里 【答案】D【解析】【分析】 每天行走的步数组成公比为12的等比数列,根据前6项和为378列式可解得. 【详解】设第n 天行走了n a 步,则数列{}n a 是等比数列,且公比12q =, 因为123456378a a a a a a +++++=,所以23451(1)378a q q q q q +++++=,。

2020年陕西省高考数学模拟试卷(文科)(二)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|x2−2x≤0}，则A∩B=()A. [0,1]B. [−1,2]C. [−1,0]D. (−∞,1]∪[2,+∞)2.若复数x=2，其中i为虚数单位，则z−=()1+iA. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i3.5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如下统计图：根据该统计图，下列说法错误的是()A. 2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B. 2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C. 2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D. 2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量4.曲线f(x)=xe x−1在点(1,1)处切线的斜率等于()A. 2eB. eC. 2D. 15.“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“—”和“——”，其中“—”在二进制中记作“1”，“——”在二进制中记作“0”，例如二进制数1011(2)化为十进制的计算如下：1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20=11(10).若从两类符号中任取2个符号进行排列，则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为()A. 0B. 12C. 13D. 146. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m ⊥α，n ⊥β，则“m ⊥n ”是“α⊥β”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知cosα=17,α∈(0,π2)，则cos(α−π3)等于( )A. −1114B. 3√314 C. 5√314D. 13148. 将函数f(x)=sin(ωx +π3)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度，得到的图象关于y 轴对称，则ω的最小值为( )A. 7B. 6C. 5D. 49. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f(x)=1x−1，则f(12)等于( )A. −23B. 23C. −2D. 210. 已知双曲线C:x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，M 是双曲线上的一点，且满足F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2a 2=0，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. (1,√3]B. [√3,+∞)C. (1,√2]D. [√2,+∞)11. 已知函数f(x)=|lnx |+x ，若f(x 1)=f(x 2)，其中x 1≠x 2，则( )A. x 1+x 2<2B. x 1+x 2>2C. 1x 1+1x 2>2D. 1x 1+1x 2<212. 已知直线x −y −2=0与x 轴交于点M ，与抛物线y 2=2px(p >0)交于A ，B 两点，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则p =( )A. 12B. 1C. 2D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若实数x,y 满足约束条件{x +2y ≥0x −y ≤0x −2y +2≥0，则z =3x −y 的最小值等于______． 14. 已知a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(−2,1)，则|2a ⃗ −b⃗ |= ______ ． 15. 在△ABC 中，内角A,B,C 所对边分别为a ，b ，c ，若，则△ABC 的面积的最大值是______．16.在四棱锥P−ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形．若直线PC与平面PDB所成的角为30°，则四棱锥P−ABCD的外接球的表面积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求{a n}的前n项的和S n．18.为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学．高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析，结果如表：(记成绩不低于120分者为“成绩优秀”)(1)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？(2)在上述样本中，学校从成绩为[140,150]的学生中随机抽取2人进行学习交流，求这2人来自同一个班级的概率．参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)临界值表：P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.82819.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB．(1)求证：平面BCE⊥平面CDE；(2)若AB=1，求四棱锥C−ABED的体积．20.函数f(x)=1．xln x(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若21x>x a对任意x∈(0,1)都成立，求实数a的取值范围．21.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A、B，它的右焦点是F(1,0).椭圆上一动点P(x0,y0)(不是顶点)满足k PA⋅k PB=−12．(1)求椭圆的方程；(2)设过点P且与椭圆相切的直线为m，直线m与椭圆的右准线l交于点Q，试证明∠PFQ为定值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是{x =1+2cosα,y =1+sinα(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π4)=√2． (Ⅰ)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)设曲线C 的对称中心为P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求△PAB 的面积．23. 已知函数f(x)=x 2+2|x −1|．(1)求不等式f(x)>|2x|x的解集；(2)若f(x)的最小值为N ，且a +b +c =N ，(a,b ，c ∈R).求证：√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：B={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|0≤x≤1}=[0,1]，故选：A求出集合B，根据交集定义进行求解．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：A解析：解：z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，则共轭复数z−=1+i．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：本题考查统计图表，根据图表，逐项分析即可．解：由图可看出2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多为3829.4万部，故A正确，由图可看出下半年手机市场各月份出货量基本都是在3000∼3650万部之间，而上半年各月份波动较大，故B正确，由当月的同比可以看出只有4月，5月略有增长，其它的是负增长，故可得2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量，故C正确;2018年12月的手机出货量为3044.41−14.7％≈3569.05，8月手机出货量为3087.51−5.3％≈3260.30，故错误．故选D．4.答案：C解析：本题主要考查导数的几何意义，比较基础．求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．解：函数的导数为f′(x)=e x−1+xe x−1=(1+x)e x−1，当x=1时，f′(1)=2，即曲线f(x)=xe x−1在点(1,1)处切线的斜率k=2．故选C．5.答案：D解析：本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题．依题意，列出所有可能的情况，计算相应的二进制数所对应的十进制数，选取得到的二进制数所对应的十进制数大于2的情况，运用概率公式计算即可．解：依题意，记符号“—”为a，记“——”为b，从两类符号中任取2个符号进行排列，排列情况有：ab，ba，aa，bb，共4种情况，①若ab，即10，则10(2)=1×21+0×20=2；②若ba，即01，则01(2)=0×21+1×20=1；③若aa，即11，则11(2)=1×21+1×20=3；④若bb，即00，则00(2)=0×21+0×20=0；故得到的二进制数所对应的十进制数大于2，只有③一种情况，，故得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为：14故选D．6.答案：C解析：本题考查了空间线面关系及充分必要条件，属于基础题．由空间线面关系及充分必要条件得：因为m⊥α，n⊥β，则“m⊥n”⇔“α⊥β”，即“m⊥n”是“α⊥β”的充要条件，得解．解：因为m ⊥α，n ⊥β， 则“m ⊥n ”⇔“α⊥β”，即“m ⊥n ”是“α⊥β”的充要条件， 故选：C ．7.答案：D解析：本题主要考查两角差的余弦公式的应用．由两角差的余弦公式与同角三角函数关系直接求解．解：因为cosα=17,α∈(0,π2)，所以sinα=√1−cos 2α=√1−172=4√37,所以．故选D ．8.答案：C解析：本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题． 求出平移后函数解析式，可得−ωπ6+π3=kπ+π2，k ∈Z ，求得ω的最小值．解：∵将函数f(x)=sin(ωx +π3)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度， 得到y =sin(ωx −ωπ6+π3)的图象关于y 轴对称， ∴−ωπ6+π3=kπ+π2，k ∈Z ， 则ω的最小值为5， 故选：C ．9.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性的应用，题目基础．由函数f(x)为偶函数可得f(12)=f (−12)，借助已知求解即可．。

2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科数学试卷（六模）-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第1题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第1题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第1题5分已知平面向量a→=(1,−2)，b→=(2,m)，且a→//b→，则m=（）．A. 4B. 1C. −1D. −42、【来源】 2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第2题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第2题5分已知集合A={x|−1<x<3}，B={x∈Z|x2−4x<0}，则A∩B=（）．A. {x|0<x<3}B. {1,2,3}C. {1,2}D. {2,3,4}3、【来源】 2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第3题5分2019~2020学年2月广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期月考理科第2题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第3题5分，f(x)=x2−x+1，则f(z)=（）．设z=3−4i4+3iA. iB. −iC. −1+iD. 1+i4、【来源】 2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第4题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第4题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第4题5分下列四个命题中，正确命题的个数是（）个．①若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则α//β；②若平面α//平面β，直线m//平面α，则m//β；③平面α⊥平面β，且α∩β=l，点A∈α，若直线AB⊥l，则AB⊥β；④直线m、n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，若m⊥n，则α⊥β．A. 1B. 2C. 3D. 45、【来源】 2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第5题5分2019~2020学年四川成都青羊区成都市树德中学高二下学期开学考试理科第1题4分2020~2021学年4月陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三下学期月考理科（十四模）第3题5分2020~2021学年4月陕西西安碑林区西安市铁一中学高三下学期月考理科（六模）第3题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第5题5分下列说法错误的是（）．A. “若x≠2，则x2−5x+6≠0”的逆否命题是“若x2−5x+6=0，则x=2”B. “x>3”是“x2−5x+6>0”的充分不必要条件C. “∀x∈R，x2−5x+6≠0”的否定是“∃x0∈R，x02−5x0+6=0”D. 命题：“在锐角△ABC中，sin⁡A<cos⁡B”为真命题6、【来源】 2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第6题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第6题5分若f(tan x)=sin⁡2x，则f(−1)的值为（）．A. −sin⁡2B. −1C. 12D. 17、【来源】 2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第7题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第7题5分若函数f(x)与g(x)=(12)x的图象关于直线y=x对称，则f(4−x2)的单调递增区间是（）．A. (−2,2]B. [0,+∞)C. [0,2)D. (−∞,0]8、【来源】 2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第8题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第8题5分在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为线段BD的中点，P在直线CC1上，直线OP与B1D1所成的角为α，则sin⁡α为（）．A. 1B. √32C. 12D. 变化的值9、【来源】 2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第9题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第9题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第8题5分若f(x)是R上的偶函数，若将f(x)的图象向右平移一个单位，则得到一个奇函数的图象，若f(2)=−1，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2019)=（）．A. 2019B. 1C. −1D. −201910、【来源】 2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第10题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第10题5分设曲线f(x)=mcos⁡x(m>0)上任一点(x,y)处切线斜率为g(x)，则函数y=x2g(x)的部分图象可以为（）．A.B.C.D.11、【来源】 2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第11题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第9题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第11题5分已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+S n=1，则S1a1+S2a2+S3a3+⋯+S9a9=（）．A. 1013B. 1035C. 2037D. 205912、【来源】 2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第12题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第12题5分2019~2020学年四川成都青羊区成都市树德中学高二下学期开学考试理科第5题4分已知抛物线y2=2mx与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)有相同的焦点F，P是两曲线的公共点，若|PF|=5m6，则椭圆的离心率为（）．A. √32B. 3−√32C. 2−√22D. 12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第13题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第13题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第13题5分抛物线x=−2y2的准线方程是．14、【来源】 2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第14题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第14题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第14题5分若x，y，z∈R，且2x+y+2z=6，则x2+y2+z2的最小值为．15、【来源】 2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第15题5分2018~2019学年广东广州荔湾区广东广雅中学高一下学期期末广州六中、广雅中学、执信中学第15题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第15题5分2017年江西九江高三一模文科第14题5分已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)+g(x)=2x+x，则f(log2⁡3)=．16、【来源】 2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第16题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第16题5分定义在区间(0,2)上的函数f(x)=x2−x+t−1恰有一个零点，则实数t的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第17题12分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第17题12分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第17题12分设函数f(x)=cos⁡(x+23π)+2cos2⁡x2−1，x∈R．(1) 求f(x)的值域．(2) 记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c(a>b)，若f(B)=0，b=1，c=√3，求a的值．18、【来源】 2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第18题12分2015年北京西城区高三二模文科第18题2015~2016学年3月湖南长沙开福区长沙市第一中学高三下学期月考文科第17题12分某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．(1) 求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数(2) 若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求a>b的概率(3) 若a=1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）（注：方差s2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2]，其中x为x1，x2，⋯，x n的平均数）19、【来源】 2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第19题12分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第19题12分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第19题12分已知抛物线:y2=4x的焦点为F，直线l:y=k(x−2)(k>0)与抛物线交于A，B两点，AF，BF 的延长线与抛物线交于C，D两点．(1) 若△AFB的面积等于3，求k的值．(2) 记直线CD的斜率为k CD，证明：k CD为定值，并求出该定值．k20、【来源】 2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第20题12分2016~2017学年北京高二上学期单元测试《直线、平面的平行于垂直》第15题2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第20题12分如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC，已知BD=2AD=2PD=8，AB=2DC=4√5．(1) 设M是PC上一点，证明：平面MBD⊥平面PAD．(2) 若M是PC的中点，求三棱锥P−DMB的体积．21、【来源】 2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第21题12分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第21题12分已知函数f(x)=ln⁡x−ax2在x=1处的切线与直线x−y+1=0垂直．(1) 求函数y=f(x)+xf′(x)（f′(x)为f(x)的导函数）的单调递增区间．x2−(1+b)x，设x1，x2(x1<x2)是函数g(x)的两个极值点，若b⩾(2) 记函数g(x)=f(x)+32e2+1−1，证明：x2⩾e．e选做题【选修4-4：坐标系与参数方程】22、【来源】 2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第22题10分2018~2019学年福建厦门思明区福建省厦门第一中学高三上学期期中文科第22题10分 2017年福建厦门高三一模理科第22题10分2017年福建厦门高三一模文科第22题10分2018~2019学年12月广东深圳盐田区深圳外国语学校高三上学期月考理科第22题10分在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{x =2+√7cos⁡αy =√7sin⁡α（α为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=8cos⁡θ，直线l 的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R )．(1) 求曲线C 1的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程．(2) 若直线l 与C 1，C 2在第一象限分别交于A ，B 两点，P 为C 2上的动点，求△PAB 面积的最大值．【选修4-5：不等式选讲】23、【来源】 2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第23题10分 2019~2020学年11月湖南长沙天心区长郡中学高三上学期月考理科第23题10分 2019年湖南长沙天心区长郡中学高三一模理科第23题10分2017~2018学年广东深圳盐田区深圳外国语学校高二下学期段考文科（二）第22题10分 2017年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三一模理科第23题12分已知函数f (x )=|x −a |+|2x −1|(a ∈R )．(1) 当a =1时，求f (x )⩽2的解集．(2) 若f (x )⩽|2x +1|的解集包含集合[12,1]，求实数a 的取值范围．1 、【答案】 D;2 、【答案】 C;3 、【答案】 A;4 、【答案】 A;5 、【答案】 D;6 、【答案】 B;7 、【答案】 C;8 、【答案】 A;9 、【答案】 C;10 、【答案】 B;11 、【答案】 A;12 、【答案】 D;;13 、【答案】x=1814 、【答案】4;;15 、【答案】53};16 、【答案】{t|−1<t⩽1或t=54 17 、【答案】 (1) [−1,1]．;(2) 2．;18 、【答案】 (1) 5;(2) 49;(3) 当b=0时，s2达到最小值．;19 、【答案】 (1) k=2．;(2) 证明见解析．;20 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 16．3;)．21 、【答案】 (1) 单调增区间为(0,√66;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1) 极坐标方程为ρ2−4ρcos⁡θ−3=0，直角坐标方程为y=√3x．;(2) 2+√3．;}．23 、【答案】 (1) {x|0⩽x⩽43;]．(2) [−1,52;。

2020年陕西省高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={−2,−1,0，1，2}，A={y|y=|x|,x∈U}，则∁U A=()A. {0,1，2}B. {−2,−1,0}C. {−1,−2}D. {1,2}2.已知i为虚数单位，m∈R，若复数(2−i)(m+i)在复平面内对应的点位于实轴上、则复数mi的1−i 虚部为()A. 1B. iC. −1D. −i3.条形图给出的是2017年全年及2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数与中位数，饼图给出的是2018年全年全国居民人均消费及其构成，现有如下说法：①2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数的增长率低于2017年；②2018年全年全国居民人均可支配收入的中位数约是平均数的86%；③2018年全年全国居民衣(衣着)食(食品烟酒)住(居住)行(交通通信)的支出超过人均消费的70%．则上述说法中，正确的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 34.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配).”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得()A. 一鹿、三分鹿之一B. 一鹿C. 三分鹿之二D. 三分鹿之一5.在正三角形△ABC内任取一点P，则点P到A，B，C的距离都大于该三角形边长一半的概率为()A. 1−√3π6B. 1−√3π12 C. 1−√3π9 D. 1−√3π186. 已知函数f(x)满足f(x)+f(1−x)=1.执行如图所示的程序框图，输出的结果为A.20192B. 1010C.20212D. 201920207. 一个几何体的三视图如图所示，其体积为( )A. 116 B.116√3C. 32D. 128. 已知函数f(x)={(3a −1)x +4a,x <1a x ,x ≥1是(−∞,+∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,13)C. [16,13)D. (16,13)9. 已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2−y 2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2等于( )A. 34 B. 14C. 45D. 3510. 函数的单调递增区间是( )A. [0,5π12]B. [π6,2π3]C. [π6,11π12] D. [2π3,11π12]11. 过抛物线x =14y 2的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 是坐标原点，抛物线的准线与x 轴交于点M ，若|AF|=4，则△AMB 的面积为( )A. 5√33B. 7√33C. 8√33D. 3√312.已知a，b∈R，直线y=ax+b+π2与函数f(x)=tan x的图象在x=−π4处相切，设g(x)=e x+bx2+a，若在区间[1,2]上，不等式m≤g(x)≤m2−2恒成立，则实数m有()A. 最大值eB. 最大值e+1C. 最小值−eD. 最小值e二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知a⃗=(1,0), b⃗ =(2,1)，则a⃗⋅b⃗ =______ ．14.若sin(π3−α)=45，则cos(2α+π3)=______ ．15.曲线f(x)=2x−1x在点(1,f(1))处的切线与圆x2+y2=R2相切，则R=______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.在数列{a n}中，a3=12，a11=−5，且任意连续三项的和均为11，则a2017=(1)；设S n是数列{a n}的前n项和，则使得S n≤100成立的最大整数n=(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，BC⊥AB，PD=PA=CD=BC=12AB，PB=PC．(1)求证：平面PAD⊥平面PBD；(2)若三棱锥B−PCD的体积为2√23，求PC的长．18.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2asinB=√3b.(1)求角A的大小；(2)若0<A<π2，a=6，且△ABC的面积S=73√3，求△ABC的周长．19.为了丰富学生的课外文化生活，某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式，取得了良好的效果．为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关，学校对300名学生做了问卷调查，列联表如下：已知在全部300人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为415．(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关？请说明你的理由；(3)若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，再从所选出的5人中随机选取2人，求至少有1人学习积极性不高的概率．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．20. 设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率e =√22，已知以坐标原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x −y +2=0相切． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)过F 1的直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，若F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6，求直线l 的方程．21. 已知函数f(x)=ax 2−lnx +1(a ∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当a =1时，f(x)>12x 2+32在(1,+∞)上恒成立．22.平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=√3+2cosα(α为参数)，在以坐标原点y=1+2sinαO为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l:θ=π上，且点P到极点O的距离3为4．(Ⅰ)求曲线C的普通方程与点P的直角坐标；(Ⅱ)求▵OCP的面积．23.已知f(x)=|x−2a|+|2x+a|，g(x)=2x+3．(1)当a=1时，求不等式f(x)<4的解集；,1)时，f(x)<g(x)恒成立，求a的取值范围．(2)若0<a<3，且当x∈[−a2【答案与解析】1.答案：C解析：解：A={0,1，2}；∴∁U A={−2,−1}．故选：C．可求出集合A，然后进行补集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及补集的运算．2.答案：A解析：本题考查复数的四则运算，复数的概念，复数的代数形式表示及其几何意义，属于基础题．解：因为复数(2−i)(m+i)=(2m+1)+(2−m)i，又因为复平面内对应的点位于实轴上，所以2−m=0，即m=2，所以复数mi1−i =2i1−i=2i(1+i)2=−1+i，所以虚部为1．故选A．3.答案：D解析：本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．解：对于①，根据图像可知2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数的增长率低于2017年；对于②，根据图像可知中位数为24336元，平均数为28338元，则；对于③，根据图像可得2018年全年全国居民衣(衣着)食(食品烟酒)住(居住)行(交通通信)的支出超过人均消费的70%故正确的个数有3个，故答案为D．4.答案：B解析：本题主要考查等差数列的通项公式，以及等差数列的求和． 根据题意得{a 1=535a 1+5×42d =5，求得公差，即可得到答案． 解：根据题意得{a 1=535a 1+5×42d =5，解得d =−13， 所以a 3=a 1+2d =53−23=1， 所以是一鹿． 故选B ．5.答案：A解析：先求出正三角形ABC 的面积，再求出满足条件正三角形ABC 内的点到三角形的顶点A 、B 、C 的距离均不小于三角形边长一半的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解：满足条件的正三角形ABC 如下图所示：设边长为2， 其中正三角形ABC 的面积S △ABC =√34×4=√3．满足到正三角形ABC 的顶点A 、B 、C 的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S阴影=12π，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于1的概率是：P=1−√3π6．故选A．6.答案：A解析：本题主要考查程序框图的应用．比较基础．根据程序框图，让数值进行循环，找到满足条件时，输出的S即为所求．解：S=f(12020)+f(22020)+⋯+f(20192020)，因为f(12020)+f(20192020)=1，f(22020)+f(20182020)=1，…，f(20192020)+f(12020)=1，所以S=20192．故选A．7.答案：A解析：解：该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥，如图所示，则其体积为：V=12×2×1×2−1 3×12×1×1×1=116．故选：A．画出三视图对应的几何体的图形，判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．8.答案：C解析：解：∵函数f(x)={(3a −1)x +4a,x <1a x ,x ≥1是(−∞,+∞)上的减函数，∴{3a −1<00<a <13a −1+4a ≥a ，求得16≤a <13， 故选：C ．利用分段函数以及函数的单调性，列出不等式组，求得a 的范围．本题主要考查函数的单调性的性质，指数函数、一次函数的单调性，属于基础题．9.答案：A解析：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．根据双曲线的定义，结合|PF 1|=2|PF 2|，利用余弦定理，即可求cos∠F 1PF 2的值． 解：将双曲线方程x 2−y 2=2化为标准方程x 22−y 22=1，则a =√2，b =√2，c =2，设|PF 1|=2|PF 2|=2m ，则根据双曲线的定义，|PF 1|−|PF 2|=2a 可得m =2√2， ∴|PF 1|=4√2，|PF 2|=2√2， ∵|F 1F 2|=2c =4， ∴cos∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=32+8−162×4√2×2√2=2432=34． 故选A ．10.答案：B解析：本题考查三角函数的单调区间的求法，将看作一个整体，根据y =sinx 的单调减区间求解．解：函数，由2kπ+π2≤2x +π6≤2kπ+3π2(k ∈Z)，得kπ+π6≤x ≤kπ+2π3(k ∈Z)，令k =0得．故选B ．11.答案：C解析：本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定A，B的坐标是解题的关键．利用抛物线的定义，求出A，B的坐标，再计算△AMB的面积．解：抛物线x=14y2即为y2=4x的准线l：x=−1．∵|AF|=4，∴点A到准线l：x=−1的距离为4，∴1+x A=4，∴x A=3，∴y A=±2√3，不妨设A(3,2√3)，∴S△AFM=12×2×2√3=2√3，∵F(1,0)，∴直线AB的方程为y=√3(x−1)，∴{y=√3(x−1) y2=4x，解得B(13,−2√33)，∴S△BFM=12×2×2√33=2√33，∴S△AMB=S△AFM+S△BFM=2√3+2√33=8√33，故选：C12.答案：B解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．求得f(x)的导数，可得切线的斜率，解方程可得b =−1，a =2，求出g(x)的导数和单调性，可得最值，解不等式即可得到m 的最值． 解：∵f(x)=tanx =sinxcosx ，∴f′(x)=cosx 2−sinx⋅(−sinx)cos 2x=1cos 2x ，∴a =f′(−π4)=2，又点(−π4,−1)在直线y =ax +b +π2上， ∴−1=2⋅(−π4)+b +π2，∴b =−1，∴g(x)=e x −x 2+2，g′(x)=e x −2x ，g′′(x)=e x −2， 当x ∈[1,2]时，g′′(x)≥g′′(1)=e −2>0， ∴g′(x)在[1,2]上单调递增，∴g′(x)≥g(1)=e −2>0，∴g(x)在[1,2]上单调递增，∴{m ≤g(x)min =g(1)=e +1m 2−2≥g(x)max =g(2)=e 2−2⇒m ≤−e 或e ≤m ≤e +1， ∴m 的最大值为e +1，无最小值， 故选：B ．13.答案：2解析：解：由已知a ⃗ =(1,0), b ⃗ =(2,1)，则a ⃗ ⋅b ⃗ =1×2+0×1=2； 故答案为：2．利用平面向量的数量积公式的坐标运算进行计算即可．本题考查了平面向量的数量积公式的坐标运算；熟记公式是关键．14.答案：725解析：本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．由条件利用诱导公式求得cos(π6+α)的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos(2α+π3)的值．解：∵sin(π3−α)=cos(π6+α)=45，∴cos(2α+π3)=2cos2(α+π6)−1=2×1625−1=725，故答案为：725．15.答案：√105解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线和圆相切的条件：d=r，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，再由圆心到切线的距离等于半径，计算可得所求值．解：f(x)=2x−1x 的导数为f′(x)=2+1x，可得切线的斜率为k=3，切点为(1,1)，即有在x=1处的切线方程为y−1=3(x−1)，即为3x−y−2=0，由切线与圆x2+y2=R2相切，可得d=√10=R，解得：R=√105．故答案为√105．16.答案：429解析：解：由题意可得a n+a n+1+a n+2=11，将n换为a n+1+a n+2+a n+3=11，可得a n+3=a n，可得数列{a n}是周期为3的数列．a3=12，a11=−5，即有a2=−5，a1=11−12+5=4，可得a2017=a3×672+1=a1=4；当n=3k，k为自然数，时，S n=11k；当n=3k+1，k为自然数时，S n=11k+4；当n=3k+2，k为自然数时，S n=11k+4−5=11k−1；使得S n≤100成立，由11k≤100，可得k的最大值为9，此时n=27；由11k+4≤100，可得k的最大值为8，此时n=25；由11k−1≤100，可得k的最大值为9，此时n=29．则使得S n≤100成立的最大整数n为29．故答案为：4，29．将a n+a n+1+a n+2=11中n换为n+1，可得数列{a n}是周期为3的数列．求出a2=−5，a1=4，即可得到a2017=a1，讨论n为3的倍数或余1或余2，计算n的最大值，即可得到所求值．本题考查了数列的周期性、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：证明：(1)取AD的中点O，BC的中点F，连接PO，OF，PF．∵底面ABCD是直角梯形，AB//CD，BC⊥AB，∴OF//AB，OF⊥BC．又∵PB=PC，∴PF⊥BC，且PF∩OF=F，PF，OF⊂平面POF，∴BC⊥面POF．∵PO⊂面POF，∴BC⊥PO，又PA=PD，∴PO⊥AD，又直线AD与BC相交，且AD、BC在平面ABCD内，∴PO⊥面ABCD．∵BD⊂面ABCD，∴PO⊥BD．∵BC=CD，BC⊥CD∴BD=√2BC，，又AB=2BC，AD=BD=√2BC,AD2+BD2=AB2,∴AD⊥BD，∵PO∩AD=O，PO,AD⊂面PAD，∴BD⊥面PAD，且DB⊂面PDB，∴平面PAD⊥平面PBD；解：(2)设BC=a，则PO=√22a，∵V B−PCD=V P−BCD=13PO×S BCD=13×√22a×a22=√212a3=2√23．∴a=2，从而PO=√2, OF=2+42=3 ，PF=√(√2)2+32=√11 ， PC=√(√11)2+12=2√3，故PC=2√3．解析：本题考查面面垂直的判定定理的应用，直线与平面垂直判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，属于一般题．(1)易证PO⊥面ABCD，又BD=√2BC，AB=2BC，可得AD⊥BD，即可证明面PAD⊥平面PBD；(2)利用棱锥B−PCD的体积为2√23，求得BC，再求PC．18.答案：解：(1)由题意2asinB=√3b.由正弦定理得：2sinAsinB=√3sinB．∵0<B<π，sinB≠0∴sinA=√32．∵0<A<π．∴A=π3或2π3．(2)∵△ABC的面积S=73√3，即12bcsinA=73√3，可得：bc=283．由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA=(b+c)2−3bc，即36=(b+c)2−28，从而b+c=8故△ABC的周长l=a+b+c=14．解析：(1)由2asinB=√3b，根据正弦定理化简即可求角A的大小．(2)利用“整体”思想，利用余弦定理求解b+c的值，即可得△ABC的周长．本题主要考查了正弦定理，余弦定理的灵活运用能力．属于基础题．19.答案：解：(1)设学习积极性不高的学生的学生共x名，则x300=415，解得x=80．则列联表如下：(2)有理由：由已知数据可求K2=300×(180×60−20×40)2200×100×220×80≈85>7.879，因此有99.5%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关．(3)根据题意，可设抽出的学习积极性高的同学为A、B，学习积极性不高的同学为C、D、E，则选取的两人可以是：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE．所以至少有一名同学学习积极性不高的概率为910．解析：本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．(1)根据条件计算并填写列联表；(2)由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；(3)利用列举法求出基本事件数，再计算所求的概率值．20.答案：解：(Ⅰ)由椭圆的离心率e=ca =√1−b2a2=√22，则a=√2b，由b=√12+12=√2，则a=2，∴椭圆的标准方程为：x24+y22=1；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：椭圆的焦点F1(−√2,0)，F2(√2,0)，当直线l 斜率不存在时，则x =−√2，则A(−√2,1)，B(−√2,−1)，则F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2,−1)(−2√2,1)=7≠6，不符合题意，舍去，当直线l 的斜率存在，且不为0，设直线l 的方程为：y =k(x +√2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{y =k(x +√2)x 24+y 22=1，消去y 得，(2k 2+1)x 2+4√2k 2x +4k 2−4=0，x 1+x 2=−4√2k 22k 2+1，x 1x 2=4k 2−42k 2+1，y 1y 2=k 2(x 1+√2)(x 2+√2)=k 2(x 1x 2+√2(x 1+x 2)+2)=−2k 22k +1，则F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−√2,y 1)(x 2−√2,y 2) =x 1x 2−√2(x 1+x 2)+2+y 1y 2=4k 2−4+8k 2−2k 22k 2+1+2=6，则k 2=4，解得：k =±2， ∴直线l 的方程为y =±2(x +√2).解析：本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查转化思想，属于中档题．(Ⅰ)根据椭圆的离心率公式及点到直线的距离公式即可求得a 和b 的值，求得椭圆的方程； (Ⅱ)分类讨论，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得k 的值，可求得直线l 的方程．21.答案：解(1)由于f(x)=ax 2−lnx +1故f′(x)=2ax −1x=2ax 2−1x(x >0)…(1分)当a ≤0时，f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立， 所以f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数…(2分) 当a >0时，令f′(x)=0，得x =√12a …(3分)当x 变化时，f′(x)，f(x)随的变化情况如表：x(0 , √12a )√12a(√12a , +∞ )f′(x)−0+ f(x)↘极小值↗由表可知，f(x)在(0 , √12a )上是单调递减函数，在(√12a , +∞ )上是单调递增函数..(5分)综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0,+∞)，无单调递增区间；当a>0时，f(x)的单调递减区间为( 0 , √12a ),单调递增区间为(√12a,+∞)…(6分)(2)当a=1时，F(x)=x2−lnx+1−12x2−32=12x2−lnx−12…(7分)则F′(x)=x−1x =x2−1x=(x+1)(x_1)x>0在(1,+∞)上恒成立，…(9分)所以F(x)在(1,+∞)上为增函数，且F(1)=0…(10分)即F(x)>0在(1,+∞)上恒成立所以当a=1时,f(x)>12x2+32在(1,+∞)上恒成立…(12分)解析：(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)代入a的值，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．22.答案：解：(1)消去参数α，得曲线C的普通方程为(x−√3)2+(y−1)2=4，点P的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3).(2)(方法一)圆心C(√3,1)，OC:y=√33x⇒x−√3y=0，点P到OC的距离d=|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|=2，所以S△OCP=12|OC|⋅d=2.(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图像利用极坐标的几何含义，可得，|OC|=2,|OP|=4，所以=12⋅2⋅4⋅sin π6=2．所以S△OCP=2．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程和曲线的参数方程，是中档题．(1)消去参数α可得曲线C的普通方程，由P的极坐标转为P的直角坐标；(2)(方法一)，先得出直线OC的方程，再得出点P到OC的距离，即可得出△OCP的面积；(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图像利用极坐标的几何含义，可得△OCP的面积．23.答案：解：(1)当a=1时，不等式f(x)<4可化为|x−2|+|2x+1|<4，若x<−12，则有2−x−2x−1<4，解得x>−1，∴此时−1<x<−12；若−12≤x≤2，则有2−x+2x+1<4，解得x<1，∴此时−12≤x<1；若x>2，则有x−2+2x+1<4，解得x<53，∴此时无解，综上可得，原不等式的解集是{x|−1<x<1}；(2)当x∈[−a2,1)时，f(x)=|x−2a|+2x+a，f(x)<g(x)即为|x−2a|<3−a恒成立，∵0<a<3，∴3−a>0，∴a−3<x−2a<3−a，即3a−3<x<3+a在x∈[−a2,1)上恒成立，∴{−a2>3a−31≤3+a0<a<3，解得0<a<67．解析：本题主要考查绝对值不等式的求解，属于中档题． (1)将f(x)分区间求解即可；(2)将f(x)<g(x)恒成立转化为|x −2a|<3−a 恒成立，然后求解得到{−a2>3a −31≤3+a 0<a <3，解出a 的取值范围．。