48×4 (2)每批去 x 名同学，共需去 x 批， 总开支又分为：①买卡所需费用 240x，②包车所需费用 48×4 x ×40. 48×4 ∴y＝240x＋ x ×40(0＜x≤48，x∈Z)． 32 ∴y＝240(x＋ x )≥240×2 32 x× x ＝1 920 2，
32 当且仅当 x＝ x ，即 x＝4 2时取等号． 但 0＜x≤48，x∈Z，
x＋y 1 1 3 3 解析：可以代入 x＝ ，y＝ ，验证 ＝ ，2xy＝ ，显然 4 4 2 2 8 y＋x x＜2xy＜ ＜y. 2 答案：D
2．若1＜a＜3，－4＜b＜2，则a－|b|的取值范围是 ) A．(－1,3) C．(－3,3) ∴－4＜－|b|≤0. 又1＜a＜3， ∴－3＜a－|b|＜3. 答案：C B．(－3,6) D．(1,4)
[答案] C
3．解决实际问题 由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限 制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些 分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次 数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出类似函数 y＝ a x＋x的结构，然后用基本不等式(符合条件)或单调性求最值．这 种变形的技巧经过适当的强化训练，是可以较容易掌握的．
法二：令 y＝|x－4|＋|3－x|. x≥4， 2x－7， 则 y＝1， 3<x<4， －2x＋7， x≤3. 作出图象如图，由图象观察可知，要使不等式|x－4|＋|3 －x|<a 的解集为空集，显然 a≤1.
一、选择题 1．已知 y＞x＞0，且 x＋y＝1，那么 x＋y A．x＜ ＜y＜2xy 2 x＋y B．2xy＜x＜ ＜y 2 x＋y C．x＜ ＜2xy＜y 2 x＋y D．x＜2xy＜ ＜y 2 ( )
≥5＋2×2
xy y ·＝9. x
x y 当且仅当y ＝x，x＋y＝1， 1 即 x＝y＝ 时等号成立． 2 法二：∵x＞0，y＞0，x＋y＝1， x＋y2 1 1 ∴xy≤ ＝ ，∴xy≥4. 4 4 1 1 1 1 1 ∴(1＋x)(1＋ y)＝1＋xy＋x＋y 1 y x ＝1＋xy＋1＋x＋1＋ y
法二：分段讨论：
当x≤－1时，有－x－1＞－x＋3，此时x∈∅；
当－1＜x≤3时，有x＋1＞－x＋3， 即x＞1，∴此时1＜x≤3； 当x＞3时，有x＋1＞x－3成立，∴x＞3. ∴原不等式解集为{x|x＞1}．
(3)∵x2＝|x|2，∴原不等式化为 － 1≤|x|2 － 2|x| － 2≤1 ， 即
本专题主要考查利用不等式性质判断不等式或有关结 论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值(或代数式)
大小的比较，有时考查分类讨论思想，常与函数、数列等
知识综合进行考查．
[例 1]
2
若 a、b 是任意实数，且 a＞b，则
2
(
)
A．a ＞b
a B.b＜1 1a 1b D．( ) ＜( ) 2 2
②当 3<x<4 时，有 4－x＋x－3<a，即 a>1. ③当 x≤3 时，有 4－x＋3－x<a，即 7－2x<a. x≤3， 解不等式组 7－a x> 2 ， 7－a 得 <x≤3，∴a>1. 2
综合①②③可知当 a>1 时， 原不等式有解， 从而当 0<a≤1 时，原不等式解集为空集． 由(1)(2)两种情况可知不等式|x－4|＋|3－x|<a 的解集是 空集时，a 的取值范围是 a≤1.
|x|－3|x|＋1 ≤0 |x|－1＋ 2|x|－1－ |x|≤3， |x|≥1＋ |x|2－2|x|－3≤0 2 |x| －2|x|－1≥0
⇒
2≥0
⇒
2.
∴1＋ 2≤|x|≤3.
∴原不等式解集为[－3，－1－ 2]∪[1＋ 2，3]．
C．lg(a－b)＞0
[解析]
结合不等式性质和函数的性质(单调性)来比较大
小，或用特殊值法判断． a＞b 并不能保证 a、b 均为正数，从而不能保证 A、B 成 立．又 a＞b⇔a－b＞0，但不能保证 a－b＞1，从而不能保证 1x C 成立．显然只有 D 成立．事实上，指数函数 y＝( ) 是减函 2 1a 1b 数，所以 a＞b⇔( ) ＜( ) 成立． 2 2
法二：∵|x－x2－2|＝|x2－x＋2|
＝x2－x＋2(x2－x＋2＞0)，
∴原不等式等价于x2－x＋2＞x2－3x－4⇔x＞－3.
∴原不等式的解集为{x|x＞－3}． (2)法一：|x＋1|＞|x－3|， 两边平方得(x＋1)2＞(x－3)2，∴8x＞8，∴x＞1， ∴原不等式的解集为{x|x＞1}．
求实数a的取值范围．
[解]
设y＝|x－a|＋|x－2|，则ymin＝|a－2|.
因为不等式|x－a|＋|x－2|≥1对∀ x∈R恒成立， 所以|a－2|≥1，解得：a≥3或a≤1.
[例9]
若不等式|x－4|＋|3－x|<a的解集是空集，求a
的取值范围． [解] 法一：(1)当 a≤0 时，
不等式|x－4|＋|3－x|<a 的解集是空集． (2)当 a>0 时，先求不等式|x－4|＋|3－x|<a 有解时，a 的取值范围． 令 x－4＝0，得 x＝4，令 3－x＝0，得 x＝3. ①当 x≥4 时，x－4＋x－3<a，即 2x－7<a， x≥4， 解不等式组 a＋7 x< 2 ， a＋7 得 4≤x< ，∴a＞1. 2
32 又当 x1＝5 时，y1＝240×(5＋ )＝2 736； 5 32 当 x2＝6 时，y2＝240×(6＋ )＝2 720. 6 ∵y1＞y2，∴当 x＝6 时，y 有最小值， 即 ymin＝2 720. 2 720 故每人最少应交 ≈56.67(元). 48
1．公式法 |f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)；
(5)当 x＜0 时，原不等式可化为－2x＋1＜－x＋1， 解得 x＞0， 又∵x＜0，∴x 不存在； 1 当 0≤x＜ 时，原不等式可化为－2x＋1＜x＋1， 2 解得 x＞0， 1 1 又∵0≤x＜ ，∴0＜x＜ ； 2 2 1 当 x≥ 时，原不等式可化为 2x－1＜x＋1，即 x＜2， 2 1 ∴ ≤x＜2. 2 综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}.
[答案] D
1．证明不等式
不等式的证明方法很多，关键是从式子的结构入手分析，
运用基本不等式证明不等式时，要注意成立的条件，同时熟
记一些变形形式，放缩的尺度要把握好．
[例 2]
1 已知 x＞0， y＞0， x＋y＝1， 且 求证： (1＋x)(1
1 ＋y )≥9. [证明] 法一
∵x＋y＝1，
1 x＋y y ∴x＝ x ＝1＋x， 1 x＋y x ∴y ＝ y ＝1＋y ， 1 1 y x ∴(1＋x)(1＋ y)＝(2＋x)(2＋y ) x y ＝5＋2(y＋x)
若不等式对于给定区间内的任意值都成立，我们称它为 不等式恒成立问题，常用的解决方法有： (1)实根分布法 涉及到指定区间上一元二次不等式的恒成立问题时，应
根据“三个二次”的辩证统一关系，按照二次三项式有无实根
分类讨论去解决问题． (2)最值法 运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒 成立中的参数范围问题．
[解]
设买 x 张游泳卡，总开支为 y 元，则
48×8 (1)每批去 x 名同学，共需去 x 批， 总开支又分为：①买卡所需费用 240x， 48×8 ②包车所需费用 x ×40. 48×8 ∴y＝240x＋ x ×40(0＜x≤48，x∈Z)． 64 64 ∴y＝240(x＋ x )≥240×2 x× x ＝3 840， 64 当且仅当 x＝ x ，即 x＝8 时取等号． 3 840 故每人最少应交 ＝80(元)． 48
1 y x ＝3＋xy＋x＋y≥3＋4＋2 y x 当且仅当x＝ y，x＋y＝1， 1 即 x＝y＝ 时等号成立． 2
xy y ·＝9. x
[例 3]
若 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1.
1 1 1 9 求证： ＋ ＋ ≥ . a＋b b＋c c＋a 2
[证明] ∵a、b、c∈R＋且 a＋b＋c＝1， ∴2＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)． 1 1 1 ∴[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]· ( ＋ ＋ ) a＋b b＋c c＋a ≥3 a＋bb＋cc＋a×3 ∴原式得证． 3 3 1 1 1 · · ＝9. a＋b b＋c c＋a
|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)．
2．平方法 |f(x)|＞|g(x)|⇔[f(x)]2＞[g(x)]2.
3．零点分段法
含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个 含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值 依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨 论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号， 转化为不含绝对值的不等式去解．
2．求函数的最值 在利用基本不等式求函数最值时，一定要满足下列三 个条件：①x、y为正数．②“和”或“积”为定值．③等号一 定能取到，这三个条件缺一不可．
[通一类] 1 [例 4] 已知 0＜x＜ ，求函数 y＝x(1－3x)的最大值． 3 1 [解] y＝x(1－3x)＝ ×3x×(1－3x)， 3
[例 6]
某游泳馆出售冬游泳卡， 每张 240 元， 其使用规定：
不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有 48 名同 学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡 外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的 包车费均为 40 元． (1)若使每个同学游 8 次，每人最少应交多少元钱？ (2)若使每个同学游 4 次，每人最少应交多少元钱？
