1.3.1三角函数的诱导公式

§1.3.1 三角函数的诱导公式（第1课时）[教学重点]：用联系的观点，发现并证明诱导公式，体会把未知问题化为已知问题的思想方法.[教学难点]：如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现问题，提出研究方法.[教学过程]：一、课前导语利用§1.2中的诱导公式一可以把任意角的三角函数值化为02π 的角的三角函数值，但是像5sin 6π，cos π76等的三角函数值又如何求出呢？我们继续探讨其他几组诱导公式，是使任意角的三角函数值转化为锐角三角函数值.二、自主学习1.几组诱导公式①回顾公式一：sin(2)ακπ+⋅=________；cos(2)ακπ+⋅=________； tan(2)ακπ+⋅=_________. 其中κ∈Z②公式二：sin()πα+=_________； cos()πα+=_________； tan()πα+=_________.③公式三：sin()α-= _________； cos()α-=_________； tan()α-= _________.④公式四：sin()πα-=_________； cos()πα-=_________； tan()πα-=_________.2.以上诱导公式一～公式四可以概括如下：2()ακπκ+∈Z ,α-,πα±的三角函数值,等于α的______________,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.3.利用诱导公式求任意角的三角函数值,步骤如下:任意角的三角函数_____________−−−−−−−→利用任意的三角函数_____________−−−−−−−→利用 02π 的三角函数_____________−−−−−−−→利用 锐角三角函数.三、例题讲解例1.利用公式求下列三角函数值：⑴cos 225 ； ⑵11sin3π ； ⑶16sin()3π-； ⑷cos(2040)-例2.化简cos(180)sin(360)sin(180)cos(180)αααα++---- .四、课堂反馈1.把下列函数值表示成锐角三角函数值.（1）sin155 ; (2) cos 210 ; (3)tan(324)- .2. 11tan()6π的值是（ ）A.五、小结本节课学习了四个诱导公式，要求掌握并能够应用四个诱导公式解决一些三角函数求值、化简和证明问题.。

x
计算：（1）sin1200
你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗?
公 式 cos( ＋k· 3600) =cos cos(1800＋)=－cos 一
sin( ＋k· 3600) =sin
sin( 1800＋ )=－sin
公 式 二
tan( ＋k· 3600) =tan tan(1800＋) =tan
计算：（1）cos2100
（2）tan2400
二、－ 与 － 的终边与角 的终边有 何关系? sin = y sin(－ )=－y cos = x cos(－) =x y tan α x y tan( α ) x y

P(x,y) y
O
x
x
-y
P (x,-y)
0 π－ cos(180 －)=－cos 0 tan(180 π－ －) =－tan
tan(－) =－tan
公 式 四
应用 例1 求cos(-20400)的值： 解: cos(-20400)＝cos20400 =cos(5×3600+2400) =cos2400=cos(1800+600)
三、1800－ 与 角 1800－ 的终边与角 的 y 终边有何关系? 1800－ sin = y P(x,y) P (-x,y) sin( 1800－ )=y y y cos = x cos(1800－)=－x x y -x O x tan α y x 0 tan(180 －)
x
三、1800－ 与 角 1800－ 的终边与角 的 终边有何关系? sin = y sin( 1800－ )=y cos = x cos(1800－)=－x y tan α x y 0 tan(180 －) sin(1800－ )=sin cos(1800－ )=－cos tan(1800－ )=－tan （2）tan1500

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化简： (1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)；
sin2α＋πcosπ＋α (2)tanπ－αcos3－α－πtan－α－2π. [分析] 先观察角的特点，选用恰当的诱导公式化简，然 后依据同角关系式求解．
思路方法技巧
命题方向 1 求值问题 利用诱导公式求任意角三角函数的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化； (2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角； (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为
锐角； (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．
第一章 1.3 1.3.1
－cos6π＝－
3 2.
第一章 1.3 1.3.1
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[点评] 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三 角函数，其一般步骤：①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化为[0°，360°)内的三角函数；③化为锐角的三角函数．可 概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”(有时也直接化 到锐角求值)．
[解析] ∵sin(π＋α)＝－sinα，∴sinα＝13，
∴cosα＝± 1－cos2α＝± 1－132＝±232
又∵cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cosα＝±2
3
2 .
第一章 1.3 1.3.1
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若cos(π－α)＝－13，32π<α<2π.则sin(5π＋α)的值是多少？
(3)cos94π＝
2 2.
第一章 1.3 1.3.1
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1.3.1三角函数的诱导公式命题方向1 求值问题利用诱导公式求任意角三角函数的步骤(1)“负化正”——用公式一或三来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．[特别提醒] 牢记0°，30°，45°，60°，90°角的正弦、余弦和正切值对给角求值问题很重要！求下列三角函数值：(1)sin960°；(2)cos(－43π6)． [分析] 先将不是[0°，360°)范围内角的三角函数，转化为[0°，360°)范围内的角的三角函数(利用诱导公式一)，或先将负角转化为正角，然后再用诱导公式化到[0°，90°]范围内的三角函数的值．[解析] (1)sin960°＝sin(960°－720°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32. (2)cos(－43π6)＝cos 43π6＝cos(7π6＋6π)＝cos 7π6＝cos(π6＋π)＝－cos π6＝－32.[点评] 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为[0°，360°)内的三角函数；③化为锐角的三角函数．可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”(有时也直接化到锐角求值)．解决条件求值问题策略解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向所求式转化，要么将所求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．[解析] ∵sin(π＋α)＝－sin α，∴sin α＝13， ∴cos α＝±1－cos2α＝±1－(13)2＝±223又∵cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝±223. 命题方向2 三角函数式的化简问题三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数；(2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数；(3)注意“1”的变形应用．化简：(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)；(2)sin2(α＋π)cos(π＋α)tan(π－α)cos3(－α－π)tan(－α－2π). [分析] 先观察角的特点，选用恰当的诱导公式化简，然后依据同角关系式求解．[解析] (1)原式＝(－sin α)·cos(π＋α)·tan α＝－sin α·(－cos α)·sin αcos α＝sin2α.(2)原式＝(－sin α)2·(－cos α)(－tan α)·(－cos α)3·(－tan α)＝－sin2αcos α－tan2α·cos3α＝1. 命题方向3 三角函数式的证明问题三角函数关系式的证明方法证明简单的三角函数关系式常用的途径有(1)由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则．(2)证明左边＝A ，右边＝A ，则左边＝右边，这里的A 起着桥梁的作用．(3)通过作差或作商证明，即左边－右边＝0或左边右边＝1.设tan(α＋87π)＝m.求证：sin(157π＋α)＋3cos(α－137π)sin(20π7－α)－cos(α＋227π)＝m ＋3m ＋1. [分析] 本题主要考查诱导公式，从已知角的关系入手，将所求各角用α＋87π表示，然后用诱导公式和三角函数关系式求解．[解析]左边＝sin[π＋(87π＋α)]＋3cos[(α＋8π7)－3π]sin[4π－(α＋87π)]－cos[2π＋(α＋8π7)] ＝－sin(α＋8π7)－3cos(α＋8π7)－sin(α＋8π7)－cos(α＋8π7) ＝tan(α＋87π)＋3tan(π＋87π)＋1 ＝m ＋3m ＋1＝右边．∴等式成立．[点评] 本题是条件等式的证明，证明条件等式一般常用的方法有两种：一是从被证等式一边推向另一边，并在适当的时候，将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称为代入法；二是直接将条件变形，变形为被证等式，这种方法称为推出法或直接法．证明条件等式无论使用哪种方法，都要盯住目标，据果变形．。